2019内蒙古高中数学竞赛预赛试题及答案
2019内蒙古高中数学竞赛预赛试题
2019内蒙古高中数学竞赛预赛答案
各省高中数学竞赛预赛试题汇编
2012各省数学竞赛汇集
目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值 为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：
2016年1月内蒙古自治区普通高中学业水平考试数学试题
试卷类型：A 2016年1月内蒙古自治区普通高中学业水平考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题本大题共20小题，其中第1 15题每小题2分，第16 20题每小题3分，共45分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{}{}|13,|2A x x B x x =-≤≤=>，则A B 等于 A. {}|23x x <≤ B. {}|x 1x ≥- C. {}|2x 3x ≤< D.{}|x 2x > 2.已知i 是虚数单位，则()2i i -的共轭复数为 A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 3.已知角α的终边经过点()1,1P -，则cos α的值为 A. 1 B.1- C. 2- D. 2 4.函数()()lg 12 x f x x -=-的定义域是 A. ()1,2 B. ()()1,22,+∞ C. ()1,+∞ D.[)()1,22,+∞ 5.设x 为实数，命题2:,210p x R x x ?∈++≥，则命题p 的否定是 A. 2:,210p x R x x ??∈++< B. 2:,210p x R x x ??∈++≤ C. 2:,210p x R x x ??∈++< D. 2:,210p x R x x ??∈++≤ 6.按照程序框图（如右图）执行，第3个输出的数是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,//a b αβαβ??，则,a b 的位置关系是 A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.平行或异面 8.已知平面向量()()2,3,1,a b m == ，且//a b ，则实数m 的值为 A. 23- B. 23 C. 32- D. 32 9.若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱台 D.三棱台 10.若函数()()()2f x x x a =-+是偶函数，则实数a 的值为 A.2 B. 0 C. 2- D.2± 11.函数()32x f x x =+的零点所在的一个区间为 A. ()2,1-- B.()1,0- C. ()0,1 D.()1,2 12.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位： 台）的茎叶图，则由此估计总体数据落在区间内的概率为 A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 13.如果两个球的体积之比为8:27，那么这两个球的表面积之比为 A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D.2:9 14.已知0.8 1.2512,,log 42a b c -??=== ??? ，则,,a b c 的大小关系为 A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. b c a << 15.下列函数中，既是偶函数，又在区间(),0-∞上是减函数的是
24江苏省夏令营高中数学竞赛(练习题)
最新高中数学奥数竞赛 练习题 1.在ABC ?中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、 BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营) 证明：作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心． ∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ． ∵ AD 平分∠A ，∴ 点Y 在⊙M 上，同理点X 也在⊙M 上．∴ MX =MY ． 记NE ∩AD =F ，由于直线DEZ 与ΔLNF 的三边相交，直线AEC 与ΔBDF 三边相交，直线BFE 与ΔADC 三边相交，由梅氏定理，可得： LZ ZN ·NE EF ·FD DL =1．?NZ ZL =NE EF ·FD DL =BE EF ·FD DA ； FE EB ·BC CD ·DA AF =1，AF FD ·DB BC ·CE EA =1． 三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BC AC ． 另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ， ∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ． ∴ LX NY =AF BG =AC BC ， ∴ NZ ZL · LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX NY =1． 由梅氏定理可得，X 、Y 、Z 三点共线． 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ， 过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：AK ⊥BC ； 证明：作高AH ． 则由?BDP ∽?BAH ，?BH PB =BA BD ，由?CDQ ∽?CAH ，?CQ HC =DC CA ． 由AD 平分∠BAC ，?DC BD =AC AB ，由DP ⊥AB ，DQ ⊥AC ，?AP=AQ ． ∴ AP PB ·BH HC ·CQ QA =AP QA ·BH PB ·CQ HC =BA BD ·DC CA =DC BD ·BA CA =1， 据塞瓦定理，AH 、BQ 、CP 交于一点，故AH 过CP 、BQ 的交点K ， ∴ AK 与AH 重合，即AK ⊥BC ． 3.设P 是△ABC 内任一点，在形内作射线AL ，BM ，CN ，使得∠CAL ＝∠PAB ，∠MBC ＝∠PBA ，∠NCA ＝∠BCP ，求证：AL 、BM 、CN 三线共点。 证明：设AL 交BC 于L ，BM 交CA 于M ，CN 交AB 于N ，则由正弦定理得： CAL AC BAL AB LC BL ∠∠=sin sin PAB AC PAC AB ∠∠=sin sin PBC AB PBA BC MA CM ∠∠=sin sin ，PCA BC PCB AC NB AN ∠∠=sin sin H K Q P D C B A A C B Y X Z M N L E D F G H
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
2019年全国高中数学联赛内蒙古赛区预赛试题
2019年高中数学联赛内蒙古预赛试题 2019.05.19 一、填空题： 1、已知()sin 2sin 2n a b g 轾+=臌，则()() tan tan a g b a g b ++=-+ 2、若函数()y f x =满足()()()()30 lim 01,2,x f x f f x f x x ?==-=则()=f x 3、函数()f x 的最大值为 4、已知()()(),,,,,a b c d x y 是圆心在原点的单位圆上三个点的坐标，则 ()()()()2222ax by c bx ay d cx dy a dx cy b +-+-+++++--= 5、方程[]2x 870x -+=的解为 6、方程212345+10x x x x x +++=的非负整数解的个数为 7、已知1abc =且1+0c ac +?，则 111a b c a ab b cb c ac ++=++++++ 8、已知1 1x x +=-，则202020201x x -= 9、1863年法国数学家Prouhet 将三角形的九点圆定理类比推广到垂心四面体中，由此产生Prouhet 球面的概念，随后又得到广义Prouhet 球面的定义如下(注:以点O 的球心，以R 为半径的球面表示为(,)S O R 设任意一个四面体1234A A A A 的外接球面为(,)S O R ，对于空间中异于 点O 任意一个点H ，以线段OH 的第二个三等分点P 为球心， 3R 为半径的球面称为四面体1234A A A A 的广义球面记为(,)3R S P ,其中球心P 满足23 OP OH =uu u r uuu r . 根据上述定义证明如下结论:设四面体1234A A A A 的外接球面为(,)S O R ， 对于空间中异于点O 的任意一个点H ，记线段OH 的中点为G ，连接 i A G 并延长至i G ，使得i 1=,3 i GG AG 1,2,3,4i ，则该四面体的广义Prouhet
全国高中数学联赛试题及答案教程文件
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
2018年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品
2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___.
高中数学竞赛预选赛试题
2020年学科知识竞赛预赛遴选 高中数学试题 考试时间：2020年5月10日 10:00-11:30 （全卷共120分） 一、填空题.（每题8分，一共10个题目） .______________,4)1,1,21122的方程为最小时，直线为圆心，当两点，交于：（与圆的直线、过点l ACB C B A y x C l M ∠=+-??? ??._________,2343cos ,,,,,,,2=+=?=?c a BC BA B c b a c b a C B A ABC 则，且成等比数列，已知的对边分别为中，内角、在._______1,23的最大值为那么满足、如果复数++=-++i z i z i z z .______________0)10(,2110)(4为的解集则或的解集为、已知一元二次不等式>??????>-< 2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的 顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线 全国高中数学联赛江西省预赛试题 一、选择题（每小题6分,共36分） 1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞U ． 2、设2 2 1a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y + =有公共点，则a b 的取值范围是（ ）. A 、11,22?? -???? ； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞U ； D 、[]2,2-. 3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则CD = . A 、7 ； B 、13 ； C 、18 ； D 、27． 4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ?+?=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3． 5、设(21 2n n a +=+，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）． A 、必为无理数； B 、必为偶数； C 、必为奇数； D 、可为无理数或有理数． 6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和. 你的判断是（ ） A.甲对乙错； B. 甲错乙对； C.甲乙都对； D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分） 7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22 194 x y + =所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 . 8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 . 9、 四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ?的垂心，G 是ABC ?的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ． 10、000sin 20sin 40sin80??= . 11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根， 山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛（及答案） 一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分) 1.函数 ()f x =的最大值是________________ 。 (王泽阳 供题) 解:()f x =≤,其等号仅当=即 1 2 x = 时成立, 所以,f(x)最大=. 2.如果自然数a 的各位数字之和等于5,那么称a 为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大排成一列a 1,a 2,…,a n .若a n =2012.则n=_______________. (王继忠 供题) 解:设12 m x x x 为吉祥数,则x 1+x 2+…+x m =5,由x 1≥1和x 2,…,x m ≥0 得 (x 1-1)+x 2+…+x m =4,所以,12m x x x 为第4 3m C +个吉祥数.2 1m x x 为第4 2 m C +个吉祥数. 由此得:一位吉祥数共1个,二位吉祥数共455C =个,三位吉祥数共 4615C =个, 因以1为首位的四位吉祥数共4615C =个,以2为首位的前两个四位吉祥数为: 2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38. 3.已知f(x)是2011次多项式,当n=0,1,…,2011时,()1 n f n n = +. 则f(2012)=______。 (王 林 供题) 解:当n=0,1,…,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有2012个根, 设(x+1)f(x)-x=a x(x -1)(x -2)…(x -2011). 取x=-1,则1=2012!a .故 1 2012!a = , (1)(2)(2011)()2012!(1)1 x x x x x f x x x ---= + ++, 2012!20122013 (2012)12012!201320132013 f = +==. 4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k 步转过k 个间隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到_________个红点. (龚红戈 供题) 解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点. 5.如图，设O ,I 分别为ABC ?的外心、内心，且60B ∠=，AB ＞BC ， A ∠的外角平分线交⊙O 于D ，已知18AD =,则OI =_____________ 文 供题) 解: 连接BI 并延长交⊙O 于E ,则E 为弧AC 的中点.连 OE 、AE 、CE 、OC ，由60B ∠=，易知AOE ?、COE ?均为 正三角形.由内心的性质得知：AE IE CE ==,所以 2015年内蒙古自治区高中数学联赛预赛参考答案 一、填空题（每小题8分，共64 分） 1.己知汇3,叱1 ，则江汪的值等于 sin cos 2 si n2 cos 2 【答案】 81 解：sin 3,cos -1 得， sin 2 3 58 sin cos 2 sin 2 2 1 sin 2 2 cos 9si n 2 !cos 2 35 2 9 cos ,所以cos 2 32 4 4 35 cos2 2cos 2 1 2 geos )2 1 cos 2 2 3 cos2 cos2 cos2 2cos 2 1 29 ' sin 2 cos2 81 sin 2 cos2 58 3 .一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球， 若这三个小球的半径均为2,且每个小球都与半球的底面和球面相切, 则该半球的半径R ___________ . 解：丄 1 . 3 相关题:（2009年陕西预赛）一个含有底面的半 球形容器内放置有三个两两外切的小球， 若这三个 小球的半径均为1,且每个小球都与半球的底面和 解: 三个小球的球心01,02,03构成边长为2的正三角形，则其外接圆半 设半球的球心为O ,小球O 与半球底面相切于点 A,如图6,经过 点O,O 1,A 作半球的截面，半圆 O 的半径OC OAQ 1B OC 于点B ,则 OA O 1B 213 .在 Rt OAO 1 中，由(R 1)2 ( 2 3 )2 1 2 ，得 3 21 . 3 3 3 2 .设P 是函数y x -（x x x 和y 轴作垂线，垂足分别为 0）的图像上任意一点，过点 P 向直线 【答案】-3 .解：设P （X 0,X 。 ! i P A PB ( M ) ( x 0,0) 1 I 代B ,则P A PB 的值是 ~),易求 A(x ° X 。 3 x o X o 球面相切，则该半球的半径 R= ____ -),B(0, x o X o 关于举办第十届高中数学夏令营暨 第三十一期中学数学讲习班第一次通知 为了培养中学生的数学兴趣，开发智力潜能，提高参加高考以及数学竞赛的应试能力和竞赛成绩，拓展个性才能的空间，提高中学数学奥林匹克教练水平，中国科学技术大学数学科学学院今年暑假在中国科学技术大学举办第十届高中数学夏令营暨第三十一期中学数学（教练员）讲习班。 中国科学技术大学党委副书记叶向东教授、安徽省数学会秘书长陈发来教授任本届夏令营营长。 中国科学技术大学数学科学学院在校本部举办过九届全国中学生数学夏令营，连续举办了30期暑期中学数学讲习班，已有500余所中学的教师和学生参加过夏令营和讲习班。 本期讲习班由陈永高（南京师范大学）、余红兵（苏州大学）、李建泉(天津师范大学) 、陈计（宁波大学）、陈发来（中国科学技术大学）、李思敏（中国科学技术大学）、王建伟（中国科学技术大学）、王新茂（中国科学技术大学）等专家主讲（主讲教师以第二次通知为准）。 主讲专家具有丰富的数学授课及竞赛培训经验，历年来他们严谨生动的讲解受到讲习班师生的欢迎和好评。 现将本次活动的有关事宜通知如下： 一．参加人员 各省市高中学生和数学教师，请携带学生证和教师资格证。 二．活动时间和地点 2016年7月24日报到，7月25日－7月30日上课。 报到地点：安徽省合肥市金寨路96号中国科学技术大学东区五教一楼5104教室，时间:：2016年7月24日8：00 -18.00。 三．培训内容 1．本次培训分为普通班、高级班。普通班注重高中数学基础，提高数学兴趣与修养，增强理解问题、解决问题的能力，为学员提高高考成绩打下基础(建议高一学生参加)；高级班在高中数学的基础上进一步提高解题技巧，开拓数学视野，提高数学竞赛的应试能力(建议高二或已经全部学习完成高中数学知识成绩突出的高一学生参加)，同时培养数学竞赛教练员。 2．邀请国内著名数学家做数学科普知识及近代前沿数学知识讲座。 四.关于教练员证 1．凡参加本期讲习班学习，经考核合格的教师将授予中国数学奥林匹克二级教练员证书。申请者需带两张二寸彩色照片。 2.凡申报一级教练员证书的老师，必须是已获得二级教练员证书者，同时又必须是培养过获得全国联赛一等奖选手，或联赛二等奖并在国内外正式刊物上发表过有关数学竞赛研究论文者，申报者请携证书及证明原件，报到时验原件，收复印件。 教练员申报表在附后的网页中下载，自行打印填写，加盖单位公章，报到时需提交。 五．关于报名 为了便于安排食宿、教室、以及掌握办班规模等，请各位务于2016年5月25日前将报名表填好发送下面信箱。我们将根据报名情况于6月15日前后发第二次通知。报名时一律预交报名费100元，开班后统一结算。 2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00?9:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z (C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000?)=__________． 2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值． 2012各省数学竞赛汇集 目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷- 2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级） 3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级） 4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷 5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷 6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷 7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级） 8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷 9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷- 10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷 11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷 12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷页 13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级） 14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级） 15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级） 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为_____. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =_______. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ? 的面积为_______. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是________. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 ____________. 8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=______. 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为____. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a += （2） 2 2sin cos cos 2 C A B a b c += + 绝密★启用前 内蒙古2019年高考数学文科试卷 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（） A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，2）D．? 2．（5分）设z＝i（2+i），则＝（） A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（） A．B．2C．5D．50 4．（5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（） A．B．C．D． 5．（5分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（） A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．（5分）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1B．e﹣x+1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+1 7．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（） 山东省2009届高中数学夏令营 数学竞赛试题 一、填空题(本题共4道小题，每小题8分，满分32分) 1．在任意给定的n 个无理数中，总存在这样的三个无理数，其中任意两个数之和仍是无理数，则n 的最小值是________。（龚红戈供题） 2．设x 为任意整数，则4x 关于模16的最小非负剩余是________。（叶景梅供题） 3．设M 是整系数多项式()P x 的集合，并满足系数的绝对值都小于2009，且所有的根均是两两不同的整数．则M 中多项式次数的最大值是________。（王林供题） 4．设实数a 使得不等式2|2||32|x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_______。（夏兴国供题） 二、解答题(本题共5道小题，每小题20分，满分l00分) 5．证明：存在无穷多个棱长为正整数的长方体，其体积恰等于对角线长的平方，且该长方体的每一个表面总可以割并成两个整边正方形．（邹明供题） 6．设k 是正整数，定义数列{}n a 如下：0a k =，(1)n n a d a =-，n=1，2，…．其中()d a 表示a 的正约数的个数．求所有正整数k 使得数列{}n a 中无完全平方数．（注：若a 的标准分 解式为1 2 12s s a p p p ααα=???，则12()(1)(1)(1)s d a ααα=++???+） （叶景梅供题） 7．圆内接四边形ABCD 对角线交于E ，△EAB 、△ECD 的垂心分别为H 1、H 2．求证：H 1H 2、AD 、BC 三线共点或平行。（叶中豪供题） 8.设正整数1a ，2a ，…，2009a 满足： （1）119i a ≠（i=1，2，…，2009）； （2）任意连续若干项之和119≠，求 2009 1 min i n a =?? ??? ∑。（李胜宏供题） 9．设x 1=2009，112(1)n n n x x x n ---?? =? ??? ， n=l ，2，…….，其中表示[x ]不超过x 的最大整数．试求数列{}n x 的通项公式。（夏兴国供题） 全国高中数学联赛试题 及解答 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN] 2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:009:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩R B是() (A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D) 2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k+，2k+)，k Z(B)(+，+)，k Z (C)(2k+，2k+)，k Z(D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，k Z 3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以，3，7，9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0 (C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000)=__________． 2．设a n是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++… +))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)ab，bc，cd，da； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n N*，求f(n)=的最大值．2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
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