数学竞赛训练题(上册)

函数与极限

._______,)(lim .

1)0(,)1()(.12

02==-='=+'-+''=→a a x x

x y y e y x y x y x y y x x 则若且满足设函数 .

________,1,))(()(.2===---=b x e x b x a x b e x f x 则为可去间断点处在处为无穷间断点在已知

3. 求x

x

x a a x 1111lim ???

?

??--?+∞→，其中0,1a a >≠.

4、设当0x >时，方程2

1

1kx x +

=有且仅有一个解，求k 的取值范围. 5．求11201cos2lim

4n n

t

dt n t →?. 6、设()f x 在上连续[,]a b ，证明：1

22

00

lim ()d (0)2

h h f x x f h x π

+

→=+?。 证明：()f x 在上连续[,]a b ，因而有界，所以0M ?>，当[,]x a b ∈时有()f x M ≤。

_________.)

(lim ,4]cos 1)(1[ln 121lim

7.30

==-+-→→x

x f x x f x x

x 则已知 8、设函数

(,)f x y 可微，1)2

,0(),,(),(,=-='π

f y x f y x f x ，且满足

y n

n e y f n y f cot ),0()1,0(lim =????

??????

+∞

→，求(,)f x y 。 9．求曲线1(0)(1)

x

x

x y x x +=>+的斜渐近线方程。

10、设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，且()()0f a f b ==，

()0,()0f a f b +-''>>，证明：12,(,)a b ηη?∈，使得12()0,()0f f ηη''''<>。

11、设函数()f x 满足(1)1f =，且对1x ≥时，有221

()()

f x x f x '=

+，证明：

(1)lim ()x f x →+∞

存在；（2）lim ()14

x f x π

→+∞

≤+

。

12、设(,)f u v 具有二阶连续的偏导数，且满足22222f f

u v

??+=??，用变量代换u xy =，

22

1()2

v x y =-将(,)f u v 变成(,)g x y ，

试求满足222222g g a b x y x y ??-=+??的常数a 和b 。

13．设()1sin 0lim 0

n

n x x x f x n x x n x α

β→∞?>??

=?+???+≤ ??-?

??，试讨论()f x 在0x =处的连续性。

14．设22

22

tan(),(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y x y f x y x y -?+≠?+=??=?

，证明：(,)f x y 在（0,0）处可

微，并求(0,0)(,)df x y 。

15

求22101(1)x n

n n x x t dt ∞

+→--∑?

分析：由于21

2100

11(1)(1)2(21)!(21)!n

n n n n n n t n n ∞

∞

++==-=-++∑

t R ∈

3)x

x e x

=

且：012

133

x →=-=

16．试求2211lim

()()

n

n

n i j n

n i n j →∞

==++∑∑的值。

导数与微分

1. 设,222z y x u ++=

求函数u 在点M(1,1,1)处沿曲面222y x z +=在点M 处的外法线

方向→

n 的方向导数

M

n

u →??

2、设??

?'+'+=++=),

()(0),

()(u u y x u u y ux z ψ?ψ?其中函数),(y x z z =具有二阶连续偏导数，证明：

.02

22222=???

?

?????-?????y x z y z x z

.

______________),(,),0(,)0,(,),(.322===+=???=y x f y y f x x f y x y

x z

y x f z 则且满足设

.

___________________),,(,d )2(d )2(d )2(d ,),,(.4222=-+-+-==z y x u z y x z y z x y x z y x u z y x u u 则且可微已知函数

.___________)(,d )(13)(.51

022=--=?x f x x f x x x f 则已知函数

6 x x f 22/tan )(sin =，求)(x f 7. 已知]1)([)(//-=-x f x x f ，求)(x f

8. 设)(u f 在+∞<<∞-u 内可导，且0)0(=f ，又

??

?>≤<=1

101

)(ln /x x

x x f ，求)(u f

9. 设)(x f y =在x 处的改变量为)(1x o x x

y

y ?+?+=

?（0→?x ）

，1)0(=y ，求)1(/y 10. 由方程

1sin e 22

y 0

t =+?

?

dt t

t dt x （0>x ）确定y 是x 的函数，求

dx

dy 11. )(x y y =是由01

2

=-

?

+-dt e x x

y t 确定的函数，求0//=x y

12、设函数),,(z y x f u =是可微函数，如果,z

f y f x f z y x '='='证明：u 仅为r =的函数。

中值定理与导数的应用

1．设函数f （x ，y )可微，且对任意x,y,t ,满足),(),(2y x f t ty tx f =，)2,2,1(0-P 是曲面

),(:y x f z =∑上的一点，求当4)2,1(=-'x f 时，∑在点0P 处的法线方程.

2. 设连续函数()f u 在u=0处可导,且(0)0f =，(0)3f '=-。

试求：4

2222

1

lim d d t t x y z t f x y z π→++≤???

.

3、设函数()f x 在(1,)+∞上可微，且对1x >满足

2222

()

()(()1)

x f x f x x f x -'=+证明：.))((lim +∞=+→∞x x f x 4、设二元函数xy y x y x u +--=2275),(，其定义域为{}

75),(22≤-+=xy y x y x D

（1）设点,),(00D y x M ∈求过点0M 的方向向量→

l ，使

M l

u →??为最大，并记此最大值

为),(00y x g .

(2)设0M 在D 的边界7522=-+xy y x 上变动，求),(00y x g 的最大值.

5、设函数()f x 在[,]a b 上连续，且存在(,)c a b ∈使得()0f c '=，证明：(,)a b ξ?∈使得

()()

()f f a f b a

ξξ-'=

-。

._______d d )cos(1lim ,:.62

220

222=+≤+??-→+

r

D y x r r y x y x e r r y x D 则设 7．设函数2(,)()x f x y e ax b y -=+-，若(1,0)f -为(,)f x y 的极大值，求常数,a b 满足的条件。

.12)10.(2有且仅有三个实根证明方程分八+=x x

9、设函数()f x 在[],a b 上有连续的导数，且存在(),c a b ∈，使得()0f c '=，证明：存在

(,)a b ξ∈，使得()()()f f a f b a

ξξ-'=-

10、设在上半空间0>z 上函数有连续的二阶偏导数，

且2(),(),(),x y z u x y z x r u x y r u x z z r φφφ'''=+++=+=++

其中r =

0lim ()r r φ+

→存在，

(,,)(0,0,0)

lim (,,)0x y z u x y z →=，[(,,)]0div gradu x y z =，求(,,)u x y z 的表达

式。

11. 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根．

12. 设),(y x f 有二阶连续偏导数,

),(),(22y x e f y x g xy +=, 且

))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极

大值还是极小值, 并求出此极值.

13. 设f (x )在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正整数ｎ，必存在]1,0[∈n x ，使)1()(n

x f x f n n +=．

14.是其中求且有连续的二阶导数设)(,)()(lim

,0)(,0)0()0(,)(0

)(0

0x u dt

t f dt

t f x f f f x f x x u x ?

?+

→>''='=

.))(,()(轴上的截距处切线在在点曲线x x f x x f y =

15、(10分) 讨论是否存在 [0,2] 上满足下列条件的函数, 并阐述理由: f (x ) 在 [0,2] 上有连续导数, f (0) = f (2)=1, .1|)(|,1|)(|2

≤≤'?

dx x f x f

不定积分与定积分

1．求不定积分

2dx y ?，其中：22()y x y x -=.

.

2. 设曲线Γ是平面1x y z ++=与球面2221x y z ++=的交线，试求积分2()d x y s Γ

+?

.

.

3、求最小的实数C ，对于连续函数()f x ，总有

11

|()|f dx C f x dx ≤?

?成立。

4、设球22221:x y z R Ω++≤和球2222:2(0)x y z Rz R Ω++≤>的公共部分体积为512

π

时，求1Ω的表面位于2Ω内的部分1S 的面积.

5．设1

(),(1)x

f x t t dt x -=

≥-?

，求曲线()f x 与x 轴所围封闭图形的面积S.

6、是否存在[0,]π上的连续函数()f x ，

使得：

2

3()sin 4

f x x dx π

-≤

?

与 2

3

()cos 4

f x x dx π

-≤

?

成立 7、设在上半平面{}

0),(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=.证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有

?=-L

dy y x xf dx y x yf 0),(),(.

8、设函数)(x f 在区间[0,1]上具有连续导数，1)0(=f ，且满足

????='t

t

D D dxdy t f dxdy y x f )(),(，

其中{}

)10(0,0),(≤<≤≤-≤≤=t t x x t y y x D t .求)(x f 的表达式.

9．设Ω是由锥面z =

与半球面z 围成的空间区域，∑是Ω的

整个边界的外侧，计算

d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++??。

10、设二元函

数2,1,(,)2,x x y f x y x y ?+

=≤+≤{(,)|2}D x y x y =+≤，求(,)d D

f x y σ??。

11．设()f x 为周期函数，

证明：220

2

(cos sin )d 2)d f a x b x x f x x π

π

π-+=?

?。

12．设2

2

2

:1x y z Ω++≤，计算222

222()d x y z v a b c Ω

++???。

13、求曲线积分222222()d ()d ()d L

I y z x z x y x y z =

+++++?

，其中L 是球面

2222x y z bx ++=与柱面222(0)x y ax a b +=<<的交线在0z ≥的部分，L 的方向规

定为：从z 轴正向往下看曲线L 所围成的球面部分∑总在L 的左边。

14．

设Ω是由锥面z =

与半球面z =围成的空间区域，∑是Ω的

整个边界的外侧，试求：

d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++??

微分方程

5．设二阶线性微分方程x y ay by ce '''++=（,,a b c 均为常数）有特解2(1)x x y e xe -=+，求此方程的通解.

6、设函数,,2,1,0),)1(()1(31

)1()(2

1

1 =+<≤+-=+n n x n n x y n ππ2()y x 是方程

2sin x y y y e x -'''+-=满足条件1

(0)0,(0)3

y y '==-的特解，求广义积分

120

min{(),()}d y x y x x +∞

?

.

7．求方程2(2)(2)ln(2)x y x y y x x '''++++=+的通解.

8．求以函数()3sin 3x y x xe x =+为特解的四阶常系数齐次线性微分方程的表达式和通解。

9.

10.

11.

12.