首届中国东南地区数学奥林匹克(有答案)

首届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）

一、设实数a 、b 、c 满足2

2

2

3232

a b c ++=

，求证：39271a b c

---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、

PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN

三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2

122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。

四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2

n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。

第二天

（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）

五、已知不等式63)cos()2sin 2364

sin cos a a π

θθθθ+-

+

-<++对于0,2πθ??

∈??

??

恒成立，求a 的取值范围。

六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=?

七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。

注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。

八、求满足

0x y y z z u

x y y z z u

---++>+++，且110x y z

u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

首届中国东南地区数学奥林匹克（答案）

一、解：

由柯西不等式，(

)2

222

(23)))))

9a b c ++≤+++=

所以，233a b c ++≤，所以

39271a b c ---++≥≥=

二、证明：

对AMD ?和直线BEP 用梅涅劳斯定理得：1(1)AP DE MB PD EM BA ??=， 对AFD ?和直线NCP 用梅涅劳斯定理得：

1(2)AC FN DP

CF ND PA ??=， 对AMF ?和直线BDC 用梅涅劳斯定理得：

1(3)AB MD FC

BM DF CA

??= （1）（2）（3）式相乘得：

1DE FN MD

EM ND DF

??=，又

所以有DM DN DM DE DN DE

=--， 所以DM=DN 。

三、解：

（1）假设存在正整数数列{}n a 满足条件。

212212221231

112,0,...,3,4,....,222n n n n n n n n n n n a a a a

a a a a n a a a a --++----1≥>∴

≤?≤?≤≤?= 又

2222111,2a a a a -≤?所以有2211

12n n n a a

a a --≤?对n=2，3，4，…成立。 2

2

2221222(2)(3)

(2)(3) (111111)

1

...2

22n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----+--+-++??????∴≤≤??≤≤?? ? ? ?

??????

?

所以122

22

21

12n n n n a a a

---??≤?

???

。

设212[2,2),k k a k N +∈∈，取3N k =+，则有

1

221

2

2

22

211

11121

12

2N k k N N N k k a a a a -++--++????≤?

≤

? ???

??

，这与N a 是正整数矛盾。 所以不存在正整数数列{}n a 满足条件。

（2）(1)(2)

2

n n n a π

--=

就是满足条件的一个无理数数列。此时有2

12242n n n n n a a a a a +++=≥。

四、解：为叙述方便，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格中所填的数，则称此格为行优的。由于每一行中填较小的2004个数的格子不是行优的，所以每一行中有n －2004个行优的。一个方格为“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数不大于

(2004)n n -。

另一方面，将棋盘的第i (1,2,3,...,)i n =行，第 1...

2003i i i ++、、、（大于n 时取模n 的余数）列中的格子填入“*”。将1、2、3、…、2004n 填入有“*”的格子，其余的数填入

没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数，所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”，共有(2004)n n -个。

此时每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）。实际上，当12003i ≤≤时，第i 列的第1、2、…、i 、n+i －2003、n+i －2002、...、n 行中有“*”。当2004i ≥时，第i 列的第i －2003、i －2002、...、i 行中有“*”。所以每行有2004个格子有“*”，每列也有2004

所以棋盘中“优格”个数的最大值是(2004)n n -。

五、解：设sin cos x θθ+=，则2cos(),sin 21,4

2

x x x π

θθ?-=

=-∈? 从而原不等式可化为：26

(23)2(1)36a x x a x

++

--<+ 即2

622223340,2()3()0x ax x a x x a x a x x x

---++>+--+->，

()2

(23)0

(1)x x a x x ??

?-+->∈ ????

∴ 原不等式等价于不等式（1）

,230x x ?∈∴-

（1

）不等式恒成立等价于()

2

0x a x x

?+

-<∈?恒成立。

从而只要max 2

()()a x x x

?>+∈?。

又容易知道2()f x x x =+

在??

上递减，max 2

()3()x x x

?∴+=∈?。

所以3a >。

六、证明：设AF 的延长线交BDF 于K ，,AEF AKB AEF AKB ∠=∠∴?? ，因此

,EK BK AE AK

AF AB AF AB

==。于是要证（1）， 只需证明：(2)CD BK DF AK BD AB ?+?=?

又注意到KBD KFD C ∠=∠=∠。 我们有1

sin 2

DCK S CD BK C ?=

??∠ 进一步有

1

sin 2

1

sin 2

ABD

ADK

S BD AB C S AK DF C ??=??∠=??∠

因此要证（2），只需证明ABD DCK ADK S S S ???=+（3） 而（3）//(4)ABC AKC S S BK AC ???=?

事实上由BKA FDB KAC ∠=∠=∠知（4）成立，得证。

七、解：（1）如右图所示：表格中有“*”， 表示该球队在该周有主场比赛，不能出访。 容易验证，按照表中的安排，6支球队四周 可以完成该项比赛。 （2）下面证明7支球队不能在四周

完成该项比赛。设(1,2,3,4,5,6,7)i S i =表示 i 号球队的主场比赛周次的集合。假设4周内 能完成该项比赛，则i S 是{1，2，3，4}的非空真子集。

一方面由于某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛，所

以(1,2,3,4,5,6,7)i S i =中，没有一个集是另一个的子集。

另一方面，设

{}{}{}{1},{1,2},{1,2,3},{2},{2,3},{2,3,4},{3},{1,3},{1,3,4}A B C ===

{}{}{}{4},{1,4},{1,2,4},{2,4},{3,4}D E F === 由抽屉原理，一定存在

,,,,{1,2,3,4,5}i j i j i j ≠∈，,i j S S 属于同一集合A 或B 或C 或D 或E 或F ，必有i j S S ?或j i S S ?发生。

所以，n 的最大值是6。

八、解：设(,,,)a b b c c d

f a b c d a b b c c d

---=

+++++。 记:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}A x y z u x y z u f x y z u ≤≤>，

:{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}B x y z u x y z u f x y z u ≤≤<， :{(,,,)|1,,,10,(,,,)0}C x y z u x y z u f x y z u ≤≤=，

显然4()()()10card A card B card C ++=。

我们证明()()card A card B =。对每一个(,,,)x y z u A ∈，考虑(,,,)x u z y 。

(,,,)(,,,)000(,,,)0(,,,)x y y z z u u x

x y z u A f x y z u x y y z z u u x

x u u z z y y x

f x y z u x u z y B x u u z z y y x

----∈?>?+++>++++----?

+++

接着计算()card C 。

(,,,)()()()0()()()()

xz yu xz yu

x y z u C z x u y xz yu x y z u y z u x --∈?

=?---=++++

设1{(,,,)|,1,,,10}C x y z u x z x y z u ==≤≤， 2{(,,,)|,,1,,,10}C x y z u x z y u x y z u =≠=≤≤， 3{(,,,)|,,,1

,,,10}

C x y z u x

z y

u x z

y u x y z u =≠≠=≤≤。 满足,(,,,)a b c d a b c d ?=?为1、2、3、...、10的两两不同的无序四元组只有

1623,1824,11025,2634,2936,21045,?=??=??=??=??=??=? 3846,31056,41058?=??=??=?。

满足,,x y z u x z ==≠的四元组共90个，满足,,x z y u x z ==≠的四元组共90个，

312()4299090252,()1000,()900card C card C card C =??++===。

所以，()2152,()3924card C card A ==。