选修4-4第一讲学案

2012—2013学年下学期高二文数学案第4周第一节平面直角坐标系

学习目标：

1.理解平面直角坐标系的定义，并会建立恰当的坐标系

2.掌握坐标法解决几何问题的步骤并能灵活应用

3.掌握平面直角坐标系中的伸缩变换公式并能灵活运用

学习重点：理解平面直角坐标系中的伸缩变换

学习难点：能够建立适当的坐标系解决数学问题

学习过程：

一、知识要点

1．平面直角坐标系

（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与（有序实数对）、曲线与建立联系，从而

实现的结合．

（2）坐标法：根据集合对象的，选择适当的坐标系，建立它的，通过研究它的及与其他集合图形的。

（3）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的元素，将几何问题转化为问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成结论．

2．平面直角坐标系中的伸缩变换

（1）平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为伸缩变换，这就是用研究变换．

（2）设点(,)

P x y是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?：的作用下，点(,)

''',称?为平面直角坐标系中

P x y

P x y对应到点(,)

的，简称变换

二、例题展示

【探究一】运用坐标法解决问题

例1、声响定位问题

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）

解决此类应用题的关键：

1、建立平面直角坐标系

2、设点（点与坐标的对应）

3、列式（方程与坐标的对应）

4、化简

5、说明

建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。

（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 变式1：已知点A 为定点，线段B C 在定直线l 上滑动，

已知4BC =,点A 到直线l 的距离为3，求A B C ?的外心的轨迹方程。

例2、已知△ABC 的三边a,b,c 满足b 2+c 2=5a 2,BE,CF 分别为边AC,CF 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系。

【探究二】平面直角坐标系中的伸缩变换

23x x y y

'=??

'=?

例3、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

后的图形。 (1) 2x+3y=0; (2) x 2+y 2

=1

变式3：在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

1312x x y y

?'=????'=??

后的图形

（1）2

2

19

4

x

y

+

= （2）

2

2

118

12

x

y

-

= （3）2

2y x =

三、练习与巩固

1、若点(2011,2012)P -在伸缩变换1201212011x x y y ?'=????'=??

后所得的点在曲线k y x '='上，则（ ）

A 、 1

B 、-1

C 、2012

D 、-2012

2、在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换： 曲线2

2

4936x y +=变为曲线2

2

1x y ''+=

3、在同一直角坐标系下经过伸缩变换3x x

y y

'=??

'=?后，曲线C 变为

22

99x y ''-= ，求曲线C 的方程并画出图形。

【思考】在伸缩变换下，直线、椭圆、双曲线、抛物线可能变为什么图形？ 四、小结

1.利用坐标系解决问题的方法和步骤是：

2.伸缩变换公式为：

3.伸缩变换有三种题型：①已知伸缩变换求曲线方程；②探求伸缩变换；③利用伸缩变换求参数

2012—2013学年下学期高二文数学案第4周

第二节 极坐标系（第1课时）

编写人：丁淑红 审核人：文数数学组 2013.03.11

学习目标：

1． 认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；

2． 体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。 学习重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标互化。 学习难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应

关系的认识。 学习过程：

认真阅读教材P8—10，结合实例，理解极坐标的建立、点与极坐标的对应；结合任意角的三角函数的定义，理解极坐标和直角坐标间的互化。 一、 极坐标系的概念

1．极坐标系：在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个 ，一个 (通常用弧度)及其正方 向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

2．极坐标：如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距

离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ；有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ； 注：一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R

特别的，当点M 在极点时，它的极坐标为 ，θ可以取 。

例1.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐

标，并标出点D(2，6

π

) ，E(4，34

π) ， F(3.5，53

π)

所在的位置。

例2．在右图中，点A ，B ，C ，D ，E 分别表示教学楼，体育

馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置。建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标。

思考1:在极坐标系中，（4，6

π

），（4，26

ππ+），（4，46

ππ+），（4，26

ππ-）

表示的点有什么关系？你能体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？

思考2：如果规定0ρ>，02θπ≤<，那么平面内的点与极坐标极是一一对应的吗？

6极坐标系与直角坐标系的区别

二、极坐标与平面直角坐标的互化

1引入：为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，应当如何建立这两个坐标系呢？

2极坐标与平面直角坐标的互化：

1）互化前提： 与 重合， 与 重合；取 的单位长度

2）互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是

(,)x y ，极坐标是(,)ρθ那么两者之间的关系：

cos ,sin x y ρθρθ==--------（1） 坐标化为

坐标

2

2

2

,tan (0)

y x y x x

ρθ=+=

≠-----（2）

坐标化为 坐标

你能联想到过去所学的哪个知识？ . 3例题：

例3.将点M 的极坐标（5，23

π）化成直角坐标。

例4.将点M 的直角坐标（-1）化成极坐标。

六、达标训练

1．已知点的极坐标分别为)4

,3(π

-A ，)3

2,

2(πB ，),2

3(

πC ，求它们的直

角坐标。

2.已知点的直角坐标分别为)32,2(),3

5,0(),3,3(---C B A ，)

3,1(-，

求它们的极坐标。

3．极坐标系中，点A 的极坐标是)6

,

3(π

，则 （1）点A 关于极轴对称的点

是_______.

(2) 点A 关于极点对称的点的极坐标是___. (3) 点A 关于直线2

π

θ=

的对称点的极坐标是________.(规定:

)0(>ρ[)πθ2,0∈

4．在极坐标中，若等边?ABC 的两个顶点是)4

,2(π

A 、)4

5,

2(πB ，那么顶

点C 的坐标可能是（ ）

)43,

4.(πA

)4

3,

32(πB

),32.(πC

),3.(πD

5已知两点的极坐标)6

,

3(),2

,

3(π

π

B A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所

成的角为________. 七、课堂小结

1． 极坐标系和点的极坐标

极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。 2． 平面直角坐标与极坐标的区别

在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

3． 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。 4． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极

坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 5． 极坐标与直角坐标的互化

（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的

正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

（2） 互化公式???==θ

ρθρsin cos y x ，

??

?

?

?≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。

八、课后反思: