多值函数的单值化方法与技巧

多值函数Lnz w =的单值化方法与技巧

1 引言

在复变函数中，多值函数是较为复杂的函数，也是较难理解的函数，对于多值函数、多值函数单值化以及在支点、支割线判定上对于教学者和初学者来说都是一个难点，初学者更不易掌握．所以系统的对多值函数单值化方法与技巧做一下研究是很有必要的．我主要是针对多值函数Lnz w =的单值化方法与技巧来做一下详细研究与总结．

多值函数对我们来说是棘手的，然而我们经常不可避免地会遇到它，例如在研究代数函数时就会遇到，但前人在这方面已做了详细的研究．对于多值函数Lnz w =的单值化方法与技巧．我们有一些传统的方法，比如割破z 平面法．其主要是在z 平面上从原点0z =起割破负实轴的区域D 内，可以得到Lnz w =的无穷多个不同的单值解析分支函数．

下面就针对这个课题详细进行探讨一下．

2 预备知识

概念1 支点——设()w f z =是多值函数，a 是z 平面上一点，如果z 在a 点的充分小的邻域内绕a 的任一简单闭曲线一周后，()w f z =从一支进入另一支，即，从它在曲线上一点的任一值连续变动到其他一值，则称a 是()w f z =的一个支点．

概念２ 支割线——用来割破z 平面，借以分出多值函数()w f z =的单值解析分支函数的割线，叫做()f z 的支割线．

3 多值函数w Lnz =的单值化方法与技巧

3.1 割破平面法

这个方法是很传统的方法，它的步骤是：首先确定多值函数的支点，再在复平面上以连接支点 的曲线作支割线得一区域，然后在这一区域内多值函数分成了单值解析分支函数．

ln arg 2ln 2w Lnz z i z k i z k i ππ==++=+ （k Z ∈）． （i ） 其中，ln ln arg z z i z =+（ln z 是Lnz 的主值） (1) 确定w Lnz =的支点

在0或∞的充分“小”的邻域内，任作一简单连续曲线C 围绕0或∞．

根据Argz 的连续变化情况，当一点z 从C 上一点1z 出发沿C 连续变动一周时，Lnz 从它在1

z 的任一值连续变动到其他一值．这可以由（i ）式看出，（任何不是零的复数有无穷多个对数，其中任意两个相差2π的整数倍）．

所以由预备知识概念1，0或∞称为对数函数w Lnz =的支点． (2) 对w Lnz =做支割线，确定区域

一般在复平面上，取连接0及∞的任一条无界简单连续曲线1K 作为割线隔开z 平面．即由预备知识概念2可知1K 为支割线．

w Lnz =就是取这样的1K 作为支割线的，且通常是取负实轴．

现在确定区域：设区域

11D C K =-，并且11z D ∈，

则1D 即为所确定区域． (3) 将w Lnz =单值化

在1D 内任意取定一点0z ，并指定0z 的一个辐角值，则在1D 内的每一点z ，皆可由0z 的辐角依连续变化而唯一确定z 的辐角．

若支割线从原点割破负实轴，C 是1D 内任一简单闭曲线，C 不会穿过负实轴，它的内部不包含原点0z =，当变点z 从0z 绕C 一周后，这时arg z 又回到起点的辐角0arg z ，而z 的像点

()ln arg 2k k w w z z i z k i π==++，

（k Z ∈） 则画出一条闭曲线而回到原来的位置()0k w z ，（如图１）．画出的闭曲线是包含在w 平面上的宽为

2π的带形域k B 内

k B ： ()()()2121,k v k k Z ππ-<<+∈

这些带形域互不相交而填满w 平面．

因此，在1D 内可得到的无穷多个单值解析分支函数，记作

()()ln ln arg 2k k w z z i z k π==++，

（k Z ∈）． 同理，w Lnz =的支割线也可以取正实轴割破z 平面，方法同上.

图1

例１ 将函数Lnz 沿正实轴（包括原点）割破z 平面，试在所得区域D 内取定函数Lnz 在正实轴上岸的点1z =处取12ln i π=的一个解析分支，并求这一分支在1z =-处的值及正实轴下岸的点

1z =处的值（区域的边界可以看作是有不同两岸，上、下或左、右，且同一单值解析分支在两岸所

取的值不同）．如图２

图２

解 因12ln i π=，从而arg12π=，所以取定的单值解析分支函数为

[]ln ln 2L z z i Argz i π=++，z D ∈．

([]L Argz 表示Argz 在曲线L 上的改变量，如下同义)，在D 内逆时针作以正实轴上岸的点1z =为起点、分别以1z =-和正实轴下岸的点1z =为终点的简单曲线1L 和2L ,则

[]1

L

Argz π=，[]2

2L Argz π=,

()[]1

ln 1ln 123L i Argz i i ππ-=-++=，

[]2

ln1ln 124L i Argz i i ππ=++=下．

这里接下来简单介绍一下具有多个有限支点的对数函数，方法不是很难理解的，与w Lnz =的 单值化方法基本相同．它也是先确定函数的支点，只不过是有多个支点，再适当连接支点作支割线来割破z 平面，最后在z 平面上以此支割线为边界的区域D 内就能分出该函数的单值解析分支．因为，在D 内变点z 不能穿过支割线，也就不能单独绕任一个支点转一周，函数就不能在D 内同一点取不同的值．看如下例题

例２ 试证()

21Ln z -在割去线段[][]1,,1,i i -，及射线0,1x y =≥的区域内可取出单值分支？ 并求0z =时等于零的那一支在2z =的值

解 (1) ()

21Ln z -的支点为1z =±及∞ 因 ()

()()2ln 1ln 1ln 1z z z -=-++，

当变点z 单绕1-或+1一周时,()

2ln 1z -的值就改变2i π（沿正向）或2i π-（沿负向），即

()2ln 1z -从一支变成另一支；

当变点z 同绕+1及1-一周时, ()

2ln 1z -共改变4i π（沿正向）或4i π-（沿负向），即()

2ln 1z - 也从一支变成另一支．

将z 平面沿题中要求割破后（如图2），变点z 既不能单绕1-或+1转一周，也不能同绕1- 及 +1转一周．

于是，在这样割破了的z 平面上任一区域D 内，(

)2

1Ln z

-就能分出无穷多个单值解析分支．

(2) 当z 从0z =沿D 内一条简单曲线C 变动到2z =时，由图３

图３

()()()()()2arg 1arg 11arg 1arg 10C C C C

z z z z z ππ

??-=+-??

????=++-????????=+=．

已知此指定分支在0z =的值为0，从而此初值的虚部为零，故由公式

()()()()221ln ln arg arg C f z f z i f z i f z =++????

可知该分支在2z =的值为

2

2

ln 1ln3z z i i ππ=-+=+．

3.2 给定某点函数值法

多值函数w Lnz =有支点0z =，z =∞，适当割破z 平面后（如沿着负实轴割破z 平面，相当 于限制z 的辐角范围为：arg z ππ-<≤），多值函数w Lnz =可分出如下无穷多个单值解析分支

()[]ln arg 2k k w lnz z i z k π==++ （z D ∈，k Z ∈）

（D 为割破z 平面后的区域），一般是选取从0z =开始沿着z =∞的射线来割破z 平面，随着 割破z 平面的射线选取不同，z 的辐角范围也不相同．于是，有下面在给定某点0z z =函数值

()0w w z =时，单值解析分支确定的具体方法：

(1) 确定z 的辐角范围．设割破z 平面的射线与x 轴正向夹角为α（02απ<≤）则z 的辐角范围为:arg 2z z απα<≤+

(2) 确定w Lnz =的带形区域为arg 2w απα<≤+，并由此得出()0arg w z 的值

(3) 确定各个单值解析分支k w 所在的带形：

()()2arg 21k k w k k Z παπα+<≤++∈

并由

()()()02arg 21z k w k k Z παπα+<≤++∈

来求出k 值，从而可得所求单值解析分支．

例3 设w Lnz =是在沿上半虚轴割破了的z 平面上，并且()3

2

w i i π=-左（上半虚轴左岸i 点的值），现试在所得区域内取定函数Lnz 在正实轴取正实值的一个解析分支，及求()

w i 右的值．

解 所求的解析分支是

3

ln arg arg 2

2z i z z ππ??+-<< ???．

这里3

2

απ=-，于是

3arg 22z ππ-<<，则3arg 22

w ππ-<<． 又因为()32

w i i π=-左，所以()arg 2

w i π

=-

左，再由

()()33

221222

k k k Z πππππ-<-≤+-∈，

解得0k =

故所求得单值解析分支为

()()()0ln 2w Lnz r z i z k k Z θπ==++∈????，

于是

()()()()0ln arg 02w i w i Ln i i i i i π

??===++=??右右右右右．

例4 设w Lnz =是在沿正实轴割破了的z 平面上，并且()1w i π-=，现试在所得区域内取定函数Lnz 在正实轴上沿取实值的一个解析分支，及求在正实轴下沿的值．

解 所求的的解析分支是

()ln arg 0arg 2z i z z π+≤<

这里0α=，于是

0arg 2z π<≤，则0arg 2w π<≤．

又因为()1w i π-=，所以()arg 12

w π

-=

．再由

()()2212

k k k Z π

ππ<

≤+∈，

解得0k =，于是在正实轴下沿z x =处的值是

()()()()()0ln arg 0ln 2w x w x Ln x x i x x i π??===++=+??下下下下下

3.3 取单值域法

相关概念 为了确定多值函数的单值域和单值分支，所以要先引入一些概念．

设多值函数()F z 在a 点的空心邻域上定义，环绕a 作一简单闭曲线C ，取定一点0z C ∈和多 值函数()F z 在0z 的值．让动点z 从0z 出发沿C 绕行，同时使()F z 的值连续地变化．

若动点z 不管绕C 多少周，()F z 总不回到原来的值，则称a 是()F z 的一个对数支点； 若动点z 绕行n 周后，()F z 回到原来的值，则称a 为一个代数支点．

因此将复平面沿连接支点的曲线（可以是一条或几条）切开，得到区域D （可以是单连通域或多连通域），只要动点z 沿D 内任一简单闭曲线绕行一周时，函数()F z 总是回到出发点时的值，则

D 即为多值函数()F z 的一个单值域．取定多值函数()F z 在一点0z C ∈的值，即取定它在D 内的

一个单值分支函数．

例5 求多值函数()z a

Ln

a b z b -≠-的支点与单值域． 解 多值函数()z a

Ln a b z b

-≠-在a 点的空心邻域内定义，

动点沿环绕z a =的充分小闭曲线一周 时，函数虚部增加2π，绕行n 周时，虚部增加2k π，所以z a =是一个对数支点．同理z b =，也是Lnz 的对数支点．

考虑z =∞，当沿包含z =∞的充分小简单闭曲线C 绕行一周后，因为这时函数在C 上的该变 量为

()()000C C C

z a Ln Ln z a Ln z b z b -??=---=-=??????????-??， 所以z =∞不是支点．

用一曲线或直线段连接z a =，z b =这两支点，记此曲线为γ．

则{}\D C γ=即为()z a

Ln

a b z b

-≠-的单值域． 取定()z a Ln a b z b -≠-在0z D ∈的值，即得()z a

Ln a b z b

-≠-的一个单值分支．

4 总结

多值函数单值化方法与技巧，前人已经做了大量的研究，但大多都是对根式函数的单值化方法与技巧进行了详细的研究，而对数函数的单值化方法与技巧却研究者甚少，大多也只是在判定其支点，支割线的方法上．因此，针对多值函数w Lnz

=的单值化方法与技巧可以仿照根式函数单值化方法进行，比如3.1割破平面法；但其本身还是有一些巧妙的方法，比如3.2给定某点函数值法、3.3取单值域法，读者可以多加注意一下．

由于这方面内容本身对初学者就是一个难以解决的问题，所以要能熟练掌握对数函数单值化方法与技巧还需要大量的练习来巩固，所以希望我的课题能给好学的人带来一点帮助．我暂时只能对=的单值化方法与技巧做这几点研究，也希望好学的读者还能提供一些更好的方法多值函数w Lnz

与技巧．

参考文献

[1] 方企勤．复变函数教程[M]．北京：北京大学出版社，2003

[2] 余家荣．复变函数[M]．第三版．北京：高等教育出版社，2004

[3] 路可见，钟寿国，刘士强．复变函数[M]．第二版．武汉：武汉大学出版社，2007

[4] 钟玉泉．复变函数论[M]．第三版．北京：高等教育出版社，2005

[5] 钟玉泉．复变函数学习指导书[M]．北京：高等教育出版社，2005

[6] 于慎根，杨永发，张相梅．复变函数与积分变换[M]．天津：南开大学出版社，2006

[7] Marsden JE．1973．Basic Complex Analysis．San Francisco：WH Freeman and Company