2012―2018高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何专题复习(附详细解析)
2012-2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编
立 体 几 何
一、选择题
【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）
【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ） A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π
【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =， α
平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ） A ．3 B ．22 C ．3 D ．13
【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问
题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在
屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，
米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62
立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=( ) B
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【2015，11】 【2014，8】 【2013，11】
【2012，7】
【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A ．三棱锥
B ．三棱柱
C ．四棱锥
D ．四棱柱
【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
【2012，8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）
A ．6π
B ．43π
C ．46π
D ．63π
【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，该圆柱的表面积为
12π B. 12π C. 8π D. 10π
【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A. 2
B.
C. 3
D. 2
【2018，10】在长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为
A. 8
B. 6
C. 8
D. 8
二、填空题 【2017，16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA SCB ⊥平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_______．
【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．
三、解答题
【2017，18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=?．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=?，且四棱锥P ABCD -的体积为83
，求该四棱锥的侧面积．
【2016，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ．连结PE 并延长交AB 于点G ．
（1）求证：G 是AB 的中点；
（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．
P
A
B
D
C
G E
【2015，18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，
(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面BED ；
(Ⅱ)若∠ABC=120°，AE ⊥EC ， 三棱锥E- ACD 6
【2014,19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.
（1）证明：;1AB C B ⊥
（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB
求三棱柱111C B A ABC -的高.
【2013，19】如图，三棱柱ABC －A1B1C1中，CA ＝CB ，AB ＝AA1，∠BAA1＝60°．
(1)证明：AB ⊥A1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A1C 6，求三棱柱ABC －A1B1C1的体积．
【2012，19】如图，三棱柱ABC －A1B1C1中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=?，AC=BC=
21AA1，D 是棱AA1的中点． （1）证明：平面BDC1⊥平面BDC ； （2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
【2018，18】如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA 。
证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP=DQ=DA ，求三棱锥Q-ABP 的体积。
D A 1B 1C A B C 1
解 析
一、选择题
【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）
【解法】选A ．由B ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由D ，AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故A 不满足，选A ．
【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3
，则它的表面积是（ ）． A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π
解析：选A ． 由三视图可知，该几何体是一个球截去球的18
，设球的半径为R ，则37428ππ833R ?=，解得2R =．该几何体的表面积等于球的表面积的78，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的14， 所以该几何体的表面积为22714π23π284
S =??+???14π3π17π=+=．故选A ． 【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α
平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ） A ．32 B ．22 C ．33 D ．13
解析：选A ． 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示．通过寻找线线平行构造出平面α，即平面AEF ，即研究AE 与AF 所成角的正弦值，易知3
EAF π∠=3．故选A ．
A B C D A 1B 1C 1D 1E
F
解法二（原理同解法一）：过平面外一点A 作平面α，并使α∥平面11CB D ，不妨将点A 变换成B ，作β使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到β，即为平面1A BD ，如图所示，即研究1A B 与BD 所成角的正弦值，易知13
A BD π∠=
，所以其正弦值为32．故选A ． D 1
C 1B 1A 1D
C B A
【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位
多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米
有( ) B
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
解：设圆锥底面半径为r ，依题11623843
r r ??=?=，所以米堆的体积为211163203()54339
????=，故堆放的米约为3209÷1．62≈22，故选B ．
【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=( ) B
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2πr2+πr×2r+πr2+2r×2r =5πr2+4r2=16+20π，
解得r=2，故选B ．
【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的
一个几何体的三视图，则这个几何体是( )B
A ．三棱锥
B ．三棱柱
C ．四棱锥
D ．四棱柱
解：几何体是一个横放着的三棱柱． 故选B