教师资格证数学学科知识与教学能力(高中数学)
第一章课程知识
1.高中数学课程的地位和作用：
⑴高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的
内容，是培养公民素质的基础课程。
⑵高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解
决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
⑶高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。
⑷@
⑸高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。
2.高中数学课程的基本理念：
⑴高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。
⑵高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、
特长提供空间。
⑶让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。⑷)
⑸提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学
习兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。
⑹强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探
究、数学建模。
⑺重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本
质；强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。
⑻强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的
重要作用。
⑼全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价
和过程性评价。
3.`
4.高中数学课程的目标：
⑴总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要
的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
⑵三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
⑶把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。
⑷五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理
能力
5.-
6.高中数学课程的内容结构：
⑴必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3
（算法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式）
⑵选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）：
①选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统
计、推理与证明、复数、框图）
②选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、
2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率）③~
④选修系列3（6个专题）
⑤选修系列4（10个专题）
7.高中数学课程的主线：
函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。
8.教学建议：
⑴】
⑵以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划
⑶帮助学生打好基础，发展能力：
①强调对基本概念和基本思想的理解和掌握
②重视基本技能的训练
③与时俱进地审视基础知识与基本能力
⑷>
⑸注重联系，提高对数学整体的认知
⑹注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力
⑺关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成
⑻改善教与学的方式，使学生主动地学习
⑼恰当运用现代信息技术，提高教学质量
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10.评价建议：
⑴重视对学生数学学习过程的评价
⑵正确评价学生的数学基础知识和基本能力
⑶重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评）
⑷实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象）
⑸…
⑹根据学生的不同选择进行评价
第二章教学知识
11.教学原则
抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”）
12.教学过程
【
备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用）
13.教学方法
⑴讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教学
语言）
⑵讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。
⑶自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学
⑷、
⑸发现法：又称问题教学法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问
题解法；完善问题解答，总结思路方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。14.概念教学
⑴概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩
小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。
⑵概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉
关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）
⑶概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，
如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如“f(f)=f f”）
⑷…
⑸数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）
15.命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实施之
前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）
16.推理教学
⑴推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的
⑵推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前
提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）
17.^
18.问题解决教学
⑴数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则
⑵纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所
得到的解）
⑶非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解
数学模型；检验；交流和评价；推广）
19.学习方式：自主学习、探究学习、合作学习
第三章￥
第四章教学技能
20.教学设计
⑴课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科
学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。
⑵教学设计与教案的关系：
①内容不同：
、
教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景分
析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设
计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什
么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、
如何教。
②核心目的不同：
教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达到
更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好教
学内容。
③范围不同：
从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。
⑶|
⑷数学课堂教学设计的意义：
①使课堂教学更规范、操作性更强
②使课堂教学更科学
③使课堂教学过程更优化
⑸数学课堂教学设计的基本要求：
①，
②充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本
③适应学生的学习心理和年龄特征
④重视课程资源的开发和利用
⑤注重预设与生成的辩证统一
⑥辩证认识和处理教学中的多种关系
⑦/
⑧整体把握教学活动的结构
⑹数学教学设计的准备：
①认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求
②全面关注学生需求
③认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图
④，
⑤广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计
⑥制定学期教学计划、单元教学计划
⑺教材分析
①分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务
②整体系统的观念用教材
③，
④理解教材的编排意图
⑤突出教材的重点和难点
⑻学情分析
①分析学生原有的认知基础
②分析学生的个体差异
③，
④了解学生的生理、心理
⑤了解学生对本学科学习方法的掌握情况
⑥分析学习知识时可能要遇到的困难
⑼制定合理教学目标的要求
①反映学科特点，体现内容本质
②]
③要有计划性，可评价性
④格式要规范，用词要考究
⑤要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等
⑥注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究）
⑦要实在具体，不浮华
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⑾教学反思
①教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思
②教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；个
人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文
⑿教学设计的撰写：
①教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用）；过程与方法（提高能力）；情感态
度与价值观（体验规律、培养看问题的方法）
②\
③学情分析
④教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析
⑤教学理念
⑥教学策略
⑦教学环境
⑧…
⑨教学过程
⑩教学反思
21.教学实施
⑴课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬
念导入法
⑵课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进
性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则
⑶'
⑷课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分
析综合提问、评价提问
⑸学生活动：
①学生活动体现了学生在学习中的主体地位
②作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分
③学生活动的目的是促进学生的理解
④/
⑤从总体上说，学生活动必须是思维活动
⑹课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和
启下法、发散法和拓展法
⑺结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外
沟通，立疑开拓
22.教学评价
⑴数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、
学生行为、教学效果
⑵-
⑶数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能
第五章常用数学公式
一、函数、导数
1.函数的单调性
⑴设f1、f2∈[f,f]且f1 ￥ f(f1)?f(f2)<0?f(f)在[f,f]上是增函数； f(f1)?f(f2)>0?f(f)在[f,f]上是减函数。 ⑵设函数y=f(f)在某个区间内可导，若f′(f)>0，则在该区间内f(f)为增函 数；若f′(f)<0，则在该区间内f(f)为减函数 2.函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称） 对于定义域内任意的f，都有f(?f)=f(f)，则f(f)是偶函数； ~ 对于定义域内任意的f，都有f(?f)=?f(f)，则f(f)是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。 3.函数在点f0处的导数的几何意义 函数f=f(f)在点f0处的导数f′(f0)是曲线f=f(f)在P(f0,f(f0))处的切线的斜率，相应的切线方程是f?f(f0)=f′(f0)(f?f0)。 4.几种常见函数的导数 | C′=0（C为常数）；(f f)′=f f ln f； (f f)′=ff f?1（n∈Q）；(f f)′=f f； (sin f)′=cos f；(cos f)′=?sin f； (arc sin f)′=?(arc cos f)′=； (arc tan f)′=?(arc cot f)′=1 1+f2 ； ~ (ln f)′=1 f ；(lo g f f) ′=1 f ln f ； 5.导数的运算法则 (f±f)′=f′±f′；(ff)′=f′f+ff′；f=f(f)，v=f(f)，f′=f′(f)f′ 6.f α<0 < ， 减函数 增函数 增函数 7. 求函数=的极值的方法:解方程0⑴ 如果在f 0附近的左侧f ′(f 0)>0，右侧f ′(f 0)<0，则f (f 0)是极大值； ⑵ 如果在f 0附近的左侧f ′(f 0)<0，右侧f ′(f 0)>0，则f (f 0)是极小值； 8. 凹凸函数：设f (f )在开区间I上存在二阶导数： ⑴ , ⑵ 若对任意f ∈I，有f “(f )>0，则f (f )在I上为下凸函数； ⑶ 若对任意f ∈I，有f “(f )<0，则f (f )在I上为上凸函数； 二、 三角函数、三角变换、解三角形、向量 9. 同角三角函数的基本关系式 sin 2f +cos 2f =1，tan θ= sin θ cos θ ，tan f ?cot f =1 10. ^ 11. 正弦、余弦的诱导公式 sin (f π 2±α)={(?1)f 2sin f (?1)f ?1 2cos f (f 为偶数)(f 为奇数) cos (f π2 ±α)= {(?1)f 2cos f (?1)f +1 2sin f (f 为偶数)(f 为奇数) 12. 和角与差角公式 sin (α±β)=sin f cos f ±cos f sin f ； 《 cos (α±β)=cos f cos f ?sin f sin f ； tan (α±β)= tan f ±tan f 1?tan f tan f αsin f +f cos f =√f 2+f 2sin (α±φ)（辅助角φ所在象限由点(f ,f )的象限决定, tan θ=b f ） 13. 二倍角公式 sin 2f =2sin f cos f ； — cos 2α=cos 2f ?sin 2f =2cos 2f ?1=1?2sin 2f ； tan 2f = 2tan f 1?tan 2f 14. 三角函数的周期 函数f =f sin (ωα+φ)，f ∈R及函数f =f cos (ωα+φ)，f ∈R （f ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0）的周期T = 2f f ；函数f =f tan (ωα+φ)，f ≠ff + f 2 ，f ∈Z（f ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0）的周期T =f f 。 15. 三角函数的图像变换： ⑴ 。 ⑵ 函数f =f sin (ωα+φ)，f ∈R即f =sin f 横坐标伸长（0<ω<1）或缩短 （ω>1）到原来的1ω 倍，再向左（f ω >0）或向右（f ω <0）平移|f ω |个单位，最后纵 坐标伸长（A >1）或缩短（0 ⑶ 函数f =f sin (ωα+φ)，f ∈R即f =sin f 向左（φ>0）或向右（φ<0） 平移|φ|个单位，再横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）到原来的1 ω倍，再，