初中物理竞赛及自主招生专题讲义：第7讲 密度、压强与浮力(共5节)含解析
第七讲 密度、压强与浮力
第一节 密度
一、质量的测量
物体所含物质的多少叫做质量，质量是物体本身的一种属性。质量用符号m 来表示，单位是千克。实验室中测量质量的基本工具是托盘天平。
托盘天平在使用前应先将游码归零，并将天平的横梁调节至水平平衡。在天平左盘放上待测物体，在右盘放上砝码，并调节游码，至天平重新水平平衡。则物体质量等于砝码总质量与游码读数之和。
托盘天平实际上是一个等臂杠杆，在一些问题中，可以利用杠杆的平衡条件来确定物体的质量。 例1 （上海第2届大同杯初赛）用一只底座已调成水平而横梁未调成水平的等臂天平去称量物体的质量。当物体放在左盘时，右盘内放上质量为1m 的砝码，横梁正好能水平；若将物体放在右盘内，左盘内放上质量为2m 的砝码，横梁正好水平。不考虑游码的移动，且设12m m >，则物体的真实质量M 及横梁原来的状态是（ ）
A ．M =
B ．M =
C ．()121
2
M m m =
+，横梁右高左低 D ．()121
2
M m m =
+，横梁左高右低 分析与解 由题意，放上物体和砝码且天平两次水平平衡时，放在右盘的砝码质量1m 大于放在左盘的砝码质量2m ，因此天平应右盘较轻，即横梁右高左低。当天平水平平衡时，相当于在右盘额外放了质量为m △的物体，因此当物体放在左盘时有1M m m =+△，当物体放在右盘时有
2m m M =?+，解得()121
2
M m m =
+，选项C 正确. 二、密度 1．密度的概念
单位体积的某种物质的质量，叫做这种物质的密度，公式表示为m
V
ρ=
。密度的国际单位为千克/米3
，符号为“3
kg /m ”，常用单位为克/厘米3，符号为“3
kg /m ”。
密度是物质的一种特性，它反映了相同体积的不同物质的质量的区别，可以用来鉴别物质。物质的密度与组成该物质的分子质量有关，和分子排列的紧密程度有关，即使是同种物质，物质状态变化时，分子的排列方式发生了变化物质的密度也往往会改变。
由于热膨胀现象，大多数物质的密度会随温度的升高而减小，少数反常膨胀的物质（如0~4C ?的水）在温度升高时密度增大。不过固体和液体的密度变化是很小的。气体的密度变化往往比较明显。
2．密度的应用
（1）鉴别物质因为密度是物质的特性之一，以用密度值来鉴定物体由何种物质组成。例如，金的密度较大，我们可以用密度和其他特性来辨别它的真伪和成色。
（2）测量体积：某些形状不规则的物体，如果不便直接测量它的体积，就可以由密度ρ和质量
m ，根据公式m
V ρ
=
来计算物体的体积。甚至可以用一定的方法测量形状不规则的平面图形的面积。
（3）测量质量：某些物体的质量不便直接测量，以由体积V 、密度ρ，根据公式m V ρ=计算其质量。
例2 （上海第21届大同杯初赛）现有密度分别为1ρ和2ρ的两种液体，且12ρρ<。在甲杯中盛满这两种液体，两种液体的质量各占一半；在乙杯中也盛满这两种液体，两种液体的体积各占一半。假设两种液体之间不发生混合现象，甲、乙两个杯子也完全相同，则（ ）
A ．甲杯内液体的质量大
B ．乙杯内液体的质量大
C ．两杯内液体的质量一样大
D ．无法确定
分析与解 设两种液体在甲杯中的质量均为m ，则甲杯中液体总质量为2m m =甲，杯子容积
1
z
m
m
V ρρ=
+
.乙杯中液体总质量为
()()2
1212121212
112222m
V V m m ρρρρρρρρρρ+??=+=++= ???乙
则
()()2
2
1212121212
4144m m ρρρρρρρρρρ+-+==>甲乙 因此选项B 正确。
3．混合物的平均密度
几种密度不同的物质混合在一起后，混合物的平均密度不是各组分密度的平均值，而是要根据密度定义进行必要的计算：m V ρ=总
总
，另外在涉及混合的百分含量时，一定要分清是质量分数还是体积分数。
例3一件用金和银制成的工艺品，测得其密度为3
14.9g /cm ，求这件工艺品中含金的体积分数和质量分数（3
19.3g /cm ρ=金，3
10.5g /cm ρ=银）.
分析与解 设工艺品中含金、银的体积分别为V 金、V 银，则工艺品密度=
V V V V ρρρ++金金银银
金银
，
代入数据解得
=1V V 金银
，因此含金的体积分数为50%，含金的质量分数为
100%V V V ρρρ?=+金金
金金银银19.3
100%64.77%19.310.5
?=+。
练习题
1．（上海第9届大同杯初赛）一个水分子的质量大约是（ ） A ．19
0.310
g -? B ．22
0.310
g -? C ．19
0.310
kg -? D ．26
0.310
kg -?
2．（上海第22届大同杯初赛）积雪会造成简易厂房和集贸市场屋顶坍塌事故，新下的积雪密度约为3
0.1g /cm ，一夜积雪厚度为10cm ，家用轿车车顶雪的质量约为（ ）
A ．4kg
B ．40kg
C ．400kg
D ．4000kg
3．（上海第18届大同杯初赛）甲、乙、丙三位同学先后用一个不等臂天平来称量某散装物品。甲先取一部分物品放在右盘，当左盘放入7g 砝码时，天平正好平衡；接着，甲又取另外一部分物品放在左盘，当右盘放入14g 砝码时，天平正好平衡，甲将前后两次称量的物品混合在一起交给了老师。乙、丙均采用了相同的方法，只不过乙前后两次在左右盘内放置的砝码分别为10g 、10g ；丙
前后两次在左、右盘内放置的砝码分别为9g 、12g 。老师把三位同学交来的物品用标准天平来称量，
发现上述三位同学称出的物品中，有一位同学称量的正好是20g ，那么该同学一定是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．甲、乙、丙均有可能
4．（上海第16届大同杯初赛）建筑工地需要长1.0m 、宽0.5m 、高0.3m 的花岗岩350块，现用一辆载重量为5t 的卡车去加工厂运回，知花岗岩密度为3
3
2.610kg /m ?，则共需要运几次方可运完？（ ）
A ．28
B ．29
C ．30
D ．31
5．（上海第16届大同杯初赛）实验室测量油膜分子的大小：取待测油1mL 滴入容量瓶中，再向容量瓶中倒入某有机溶剂直至总体积达到500mL 。用滴定管取
1
mL 25
滴入水槽中。由于该有机溶剂与水的结合力远大于油，故水面最终留下了一层油膜，测出其面积约2
500cm ，则该油膜分子的直径约为（ ）
A ．9
1.610m -?
B ．10
1.610
m -? C ．9
3.210m -?
D ．10
3.210
m -?
6．（上海第15届大同杯初赛）有三个质量相等球外半径也相等的空心铜球、铁球和铝球，已知
ρρρ>>铜铁铝。如果在三个球的空心部分灌满水，则灌水后，三个球所受重力G 铜，G 铁和G 铝的
关系应是（ ）。
A ．G G G >>铜铁铝
B ．G G G <<铜铁铝
C ．==G G G 铜铁铝
D ．G G G <<铜铁铝
7．（上海第15届大同杯初赛）两个完全相同的容器分别装有两种不同的液体，如图7.1所示。已知甲图中的液体重力大于乙图中的液体重力，因此可以肯定（ ）
A ．甲图中的液体密度大于乙图中的液体密度
B ．甲图中的液体密度小于乙图中的液体密度
C ．甲图中的液体密度等于乙图中的液体密度
D ．上述三种答案都可能出现 8．（上海第15
届大同杯初赛）鸡尾酒是由几种不同颜色的酒调配而成的。经调配后不同颜
色的酒界面分明，这是由于不同颜色的酒有（ ）
A ．不同质量
B ．不同体积
C ．不同温度
D ．不同密度
9．（上海第11届大同杯初赛）将一块密度为ρ、质量为m 的金属块均匀分成三块，则每一小块的体积和密度分别是（ ）
A ．
3m
ρ和3
ρ B ．
m ρ和3
ρ
C ．
3m
ρ
和ρ D ．
m
ρ
和ρ 10．（上海第10届大同杯初赛）A ，B 两物体质量分别为1m 和2m ，体积分别为1V 和2V ，密度分别为1ρ和2ρ，已知12ρρ>，则下列关系式中错误的是（ ）
A ．12m m >，12V V >
B ．12m m >，12V V <
C ．12m m <，12V V >
D ．12m m <，12V V <
11．（上海第9届大同杯初赛）某种矿砂质量为m ，倒入量筒中，使矿砂上表面水平，刻度显示的读数为1V ，再将体积为2V 的水倒入盛有矿砂的量筒内，充分搅拌后，水面显示读数为3V ，则矿砂密度为（ ）
A ．
1
m
V B ．
32
m
V V -
C ．
31
m
V V -
D ．
312
m
V V V --
12．（上海第9届大同杯初赛）现有许多完全相同的零件，要用天平测出每个零件的质量，但手头只有一个100g 砝码。当左盘放40个零件，右盘放这个砝码时，天平不能平衡。如果再在右盘上放15个零件，天平恰能平衡。这时可求得每个零件的质量约为（ ）
A ．0.28g
B ．0.26g
C ．0.24g
D ．0.25g
13．（上海第28届大同杯初赛）以下是一则新闻消息：“今天零时，发改委将汽油、柴油价格每吨分别降低125元和120元，测算到零售价格90号汽油和0号柴油每升分别降低0.09元和0.10
元……”据此估测90号汽油的密度为（不考虑90号汽油生产过程中的密度变化）（ ）
A ．3
3
0.8010kg /m ? B ．33
0.7510kg /m ? C ．3
3
0.7210kg /m ?
D ．3
3
0.7010kg /m ?
14．（上海第3届大同杯初赛）A ，B ，C 三种物质的质量对体积的关系如图7.2所示，可知（ ）
A ．A
B
C ρρρ>>，且C ρρ>水 B ．A B C ρρρ>>，且A ρρ>水 C ．A B C ρρρ<<，且C ρρ>水
D ．A B C ρρρ<<，且A ρρ>水
15．（上海第3届大同杯初赛）两种质量相等、密度分别为1ρ，()212ρρρ>的液体相混合，混合后液体的密度为（ ）
A ．122ρρρ+=
B ．12
2
ρρρ-= C ．12
12
2ρρρρρ=
+
D ．12
12
2ρρρρρ=
+
16．（上海第20届大同杯复赛）一容器装满水后，容器和水的总质量为1m ；若在容器内放一质量为m 的小金属块A 后再加满水，总质量为2m ；若在容器内放一质量为m 的小金属块A 和另一质量也为m 的小金属块B 后再加满水，总质量为3m ，则金属块A 和金属块B 的密度之比为（ ）
A ．23:m m
B ．()()2131:m m m m --
C ．()()3221:m m m m --
D ．()()2312:m m m m m m +-+-
17．（上海第20届大同杯复赛）有A ，B ，C 三个由同种材料制成的金属球，它们的质量分别为128g ，400g ，60g ，体积分别为3
16cm ，3
50cm ，3
12cm ，则（ ）
A ．A 球一定是空心的
B ．B 球一定是空心的
C ．C 球一定是空心的
D ．它们一定都是实心的
18．（上海第20届大同杯复赛）现有一台旧天平，虽然两臂不等长，但是可以设法将其调节到水平平衡状态，砝码盒中有各种规格的砝码，其中最小质量的砝码为0.1g 。用此天平称质量为4g 的药品，先放在左盘中称，再放在右盘中称，记下两次结果，其记录数据可能是下列的哪一组？（ ）
A ．3.5g ，4.6g
B ．3.4g ，3.6g
C ．3.3g ，3.7g
D ．3.2g ，4.7g
19.有密度为1ρ，2ρ的两种物质，按质量比为1:2混合，所得混合物的密度为________；若按体积比为1:2混合，设总体积不变，则所得混合物的密度为________。
20.某工厂用密度为1ρ和2ρ的两种纯金属混合熔炼合金材料。若采取3:2的比例配方，即密度
为1ρ的金属质量取3份，密度为2ρ的金属质量取2份，那么混合后所得合金材料的密度ρ为________。
参考答案
1．B 。1mol 水（含有236.0210?个水分子）的质量为18g ，则一个水分子的质量约为23
3g 10-?，
即22
0.310
g -?。
2．B 。估测家用轿车车顶的面积约为2
4m s =，则车顶积雪的体积为2
4m V sh ==0.1m
?30.4m =，积雪质量3330.110kg /m 0.4m 40kg m V ρ==??=。
3．A 。设天平的左右两臂长度分别为1l ，()212l l l ≠，由杠杆的平衡条件可知，天平平衡时，左右两盘所放物体的质量之比为定值，即
2
1
m l m l =左右设甲同学第一次在右盘所放物体质量为g x ，第二次在左盘所放物体质量为20g x -，则有
2172014
l x l x -==，因此得到关于x 的一元二次方程：220980x x -+=
，解得(10g x =±。
同理，对于乙同学，可得到关于x 的一元二次方程：2
201000x x -+=，解得10g x =，这样可推出
11a m l l m ==左
右
，与题意不符。对于丙同学，可得到关于x 的一元二次方程：
2201080x x -+=，该方程判别式小于零，方程无解。综上所述，本题正确选项为A 。
4．C 。每块花岗岩的质量3
3
3
2.610kg /m 0.15m 390kg m V ρ==??=，卡车每次可装载的岩石个数5000kg 12.82390kg
M n m =
==，由于车不能超载，故只能取12n =，则共需要运送次数350
29.1712
N =
=，因此共需要运载30次。 5．A 。待测油与有机溶剂组成的溶液浓度为
1500，
1
mL 25
溶液中含有的油的体积为511
mL 810mL 25500
V -=
?=?，油膜在水面充分散开后形成单分子层，分子直径即为油膜厚度，则分子直径为5792
810mL
1.610cm 1.610m 500cm
V d s ---?===?=?。 6．A 。根据m
V ρ
=
，可知金属球实心部分的体积，铝最大，铜最小，由于金属球大小相同，所
以铜球空心部分最大，所装水的质量最大，则铜球总重力最大铝球总重力最小。
7．D 。由于甲中液体质量大，体积也大，所以无法判断其密度与乙密度大小的关系。 8．D 。密度不同、互不相溶的液体，在同一容器中，密度大的液体会沉在底层，密度小的会浮在上层。
9．C 。略。
10．C 。由12ρρ>，可得
12
12
m m V V >，显然不可能存在12m m <且12V V >的情况。 11．B 。由于矿砂砂粒之间存在间隙，1V 比矿砂的实际体积要大。矿砂的体积应等于32V V -，所以矿砂密度32
m
V V ρ=
-。
12．B 。设每个零件质量为m ，则根据左、右盘总质量相等，有40010015m g m =+，解得
0.26g m =。
13．C 。90号汽油每吨降价125元，每升降价0.09元，则每吨汽油的体积为3
12512.5L m 0.099
=，因此汽油的密度33
1000kg
720kg /m 12.5m 9
ρ=
=。
14．B 。某种物质的质量随体积变化的图像（m V -图像）的斜率表示物质的密度。 15．C 。设液体质量均为m ，则液体体积为11
m
V ρ=
，22
m
V ρ=
，混合后液体的密度为
121212
22m V V ρρρρρ=
=++。
16．D 。设金属块A ，B 的体积分别为A V ，B V ，金属块B 的密度和体积分别为B ρ，B V ，水
的密度为ρ水。容器内放入金属块A 再加满水后的总质量2m 等于空容器装满水后的总质量1m 与金属块质量m 之和再减去与金属块体积相同的水的质量，即12A m m m V ρ=+-水，变形为1
A V m ρ=水2m m +-.同理，323m m m V ρ=+-水，变形为23
B V m m m ρ=+-水，则可得
12
23
A B V m m m V m m m +-=+-，21
12
A B B A V m m m V m m m ρρ+-==+-，故选项D 正确。 17．C 。三个球质量与体积的比值分别为38g /cm A ρ=，38g /cm B ρ=，3
5g /cm C ρ=，由于C 的质量与体积的比值最小，则C 球一定是空心的。若这种物质的密度等于3
8g /cm ，则A ，B 两球是实心的；若这种物质的密度大于3
8g /cm ，则A ，B 两球是空心的。
18．A 。设天平左臂长为1l ，右臂长为2l ，将天平调节水平平衡后，将物体m 放在左盘，右盘
放质量为1m 的砝码，则有112ml m l =；将物体m 放在右盘，左盘放质量为2m 的砝码，则有212m l ml =。
两式相除，得
1
2m m m m
=，即12m m m =，四个选项中只有A 选项的两组数据计算结果最接近4g ，因此答案A 正确。
19.
12
1232ρρρρ+，1223
ρρ+。略。
20.
12
12
523ρρρρ+。略。
第二节 压强
一、压强的概念
压强是表示压力作用效果的物理量，用单位面积上物体受到的压力大小来表示，公式为F
P s
=，其中s 是受力面积。压强的单位为帕斯卡，符号“Pa ”。F
P s
=是压强的定义式，适用于固体、液体和气体的压强计算。
二、柱体对水平地面的压强
柱体是指横截面积处处相同的几何体，体积公式为V sh =。如图7.3所示为几种常见的柱体。
对于置于水平面上的柱体来说，柱体对水平地面的压力大小等于其重力大小，设柱体密度为ρ，高为h ，底面积为s ，因此柱体对水平地面的压强g s V hg
F mg P gh s s s s
ρρρ=====，可见，柱体对水平地面的压强与柱体底面积无关。
例1 （上海第30届大同杯初赛）如图7.4所示，甲、乙两个完全相同的直角三棱劈放置在水平桌面上。三棱劈的密度均匀且底面为矩形，若分别沿两物体图中虚线将右上侧切掉m 甲△和m 乙△，且m m <甲乙△△，则剩余部分对桌面的压强P 甲和P 乙的大小关系为（ ）
A ．P P >甲乙
B ．P P <甲乙
C ．P P =甲乙
D ．都有可能
分析与解 显然，三棱劈可看做底面为矩形的柱体的一半，三棱劈对地的压强等于等高的柱体压强的一半，即1
2
P gh ρ=
，因此与高度有关，切除之后乙的高度较大，因此本题正确选项为B 。 例2 （上海第19届大同杯复赛）如图7.5所示，A ，B 两正方体叠置在一起放于水平桌面上，
A 的密度为A ρ，
B 的密度为B ρ，若它们的边长比为:1:1a b =，A 对B 的压强与对桌面的压强之
比:2:3A B P P =，则:A B ρρ=________。若不断地缩小A 立方体的体积，但始终保持A 的形状为立方体，使A ，B 两立方体的边长:a b 的比值由1:1逐渐变为1:2，则压强:A B P P 的比值变化情况为________（提示：通过计算分析后，写出变化情况）。
分析与解 设A ，B 的边长分别为a ，b ，则A A P ga ρ=，33
2
A B B ga gb P b
ρρ+=
，因此
233
A A
B A B P ab P a b ρρρ=+，将1a b =代入得023A A A B P P ρρρ==+，则2A B ρρ=。
a 减小后，有
22
2
2
333
32332222222222A A B A s P ab ab b b b b b P a b a b
a a a a a ρρρ====+++++
令33
2
222b b y a a a
=++，由基本不等式，可得 33
3362
2
33232322222
b b b b b
y a a a a
a a =++
??==定值
当且仅当3
2
22b a a =，即3114 1.5874a b =≈时，y 取最小值。当a b
由1:1逐渐变为1:1.5874时，y
减小，当
a b
由1:1.5874逐渐变为1:2时，y 增大，因此A B P
P 先增大后减小。
三、液体的压强
液体由于受重力作用且具有流动性，液体对容器底部和侧壁均有压强，液体的压强公式为
P gh ρ=，其中ρ是液体密度，h 是液体中某处的深度。液体内部同一深度的位置，向各个方向的
压强均相等。
由液体压强公式P gh ρ=可知，液体压强与深度成正比，我们可以得出深度为h 的液体，对侧壁压强的平均值为2
h
P g
ρ=，即平均压强等于一半深度处的压强。若侧壁面积为s ，则侧壁受液体的压力为1
2
F Ps ghs ρ==
。值得一提的是，
液体对侧壁压力的等效作用点却不在2
h
处。实际上，压力的等效作用点叫做“压心”，面我们用类比法来寻找压心的位置。
如图7.6所示，作一个与矩形挡板ABCD 等底、等高的三角形EFG △，并让EF 与BC 共线。用一些距离为x △的等距平行线将矩形挡板分成n 个相同的小矩形，则这组平行线将EFG △分成
n 个等高的梯形（最上面一个可视为上底为零的“特殊”梯形）。考察第i 个小矩形和小梯形，适当
调节各个恒量的值，可使得各小梯形所受到的重力与对应的小矩形所受液体的压力相等，所以，矩形ABCD 所受压力的压心位置与EFG △重心位置等高由三角形重心知识可得，重心到三角形顶点的距离等于边EF 上中线长的
2
3
，故水对矩形侧壁ABCD 的压心与AD 边的距离为
23
h 。 例3 （上海第30届大同杯复赛）地震造成了很多堰塞湖，如图7.7所示，假设有一块立方体石块堵住了水的去路，设水的密度为ρ，石块的质量为m ，石块的左右侧面为正方形，边长为a ，宽度为b ，石块与地面
足够粗糙，不会滑动，水若能推倒石块，则石块的宽度b 应该满足的条件是（ ）
A ．4
9a b m
ρ<
B ．4
2a b m
ρ<
C ．4
3a b m
ρ<
D ．4
4a b m
ρ<
分析与解 石块被推倒时，将绕图7.8中O 点转动。当水的深度等于石块高度a 时，石块最容易被推倒，此时水对石块侧面的平均压强为2
a
P g ρ=，水对石块侧壁的压力2
312F Pa ga ρ==
，考虑到压力的等效作用点距水底的距离为13
水的深度，则在能被推倒的情形下，应有32
a b F G >，解得4
3a b m ρ<，选
项C 正确。本题极易将2
a
处作为压力的等效作用点，导致得出错误答案。
四、压强的变化问题
物体静止在水平面上时，对水平面的压强大小等于压力与受力面积的比值，由于物体对水平面压力的大小等于物重，因此压
强可以表示为F mg P s s
=
=，当s 不变而压力变化了F △时，固体对水平面压强的变化量为F
P s
=
△△。 F
P s
=
是压强的定义式，对固体、液体和气体都适用；P gh ρ=是由压强定义式推导出来的，适用于计算液体内部的压强，同时也适用于计算柱状固体对水平地面的压强，可见对液体和柱状物体，当液体或柱体的高度变化了h △时，柱体对接触面的压强变化量为h P g ρ=?△。
同样多的水盛于不同形状的容器中，对容器的压力压强却不一定相同，液体对容器底部的压力也不一定等于液体的重力。当液体对容器底部的压力等于液体所受重力大小时（一般是圆柱形容器且容器内只有液体），可用G P s
=
液
来计算液体对容器底部的压强。 在处理液体压强变化的问题时，要灵活应用P gh ρ=和G P s
=液
这两个公式。 压强变化问题多是立方体问题和圆柱形容器内的液体问题。
例4 甲、乙两个实心立方体分别放在水平地面上，它们对水平地面的压强相等，如图7.9所示。则：
（1）甲、乙的密度关系是________。
（2）若将甲、乙两个立方体分别沿竖直方向截去厚度相等的部分，则两者对地面的压强'
P 甲、'
P 乙的关系是________。
（3）若在甲、乙两个立方体上分别放置一个质量相等的铜块，则它们对地面压强'
P 甲、'
P 乙的大小关系是________。
（4）若将甲、乙两个立方体分别沿水平方向截去高度相等的部分，则两者对地面的压强'P 甲、'
P 乙
的关系是________。
分析与解 压强的变化有两个公式：F
P s
=△△和P g h ρ=△△，本题要针对不同的问题选择合适的公式。
（1）由甲、乙对水平地面的压强相等，可得gh gh ρρ=甲甲乙乙，由图可知h h >甲乙，则ρρ<甲乙。 （2）将甲、乙分别沿竖直方向截去厚度相等的部分，由于柱体压强P gh ρ=，竖直截去部分
厚度不会影响压强的大小，因此甲、乙对地面的压强不变，有''
P P =甲乙。
（3）在甲、乙上分别放置一个质量相等的铜块时，、乙对地面的压力的增加量F △相等，等于铜块重力的大小。则F P s =
甲甲△△，F
P s =乙
乙
△△，由于s s >甲乙因此P P <甲乙△△，乙的压强增加
较大，则有''
P P <甲乙。
（4）将甲、乙分别沿水平方向截去高度相等的部分，则甲、乙压强的减少量分别为
P P h ρ=?甲甲△，P P h ρ=?乙乙△，由于..，则P
P <甲乙△△，可见甲压强减小的较少，因此剩余部分的压强'
'
P P >甲乙。
例5 （上海第30届大同杯初赛）如图7.10所示，底面积不同的柱状容器甲、乙分别盛有两种液体，液体对容器底部的压强P P <甲乙，若要使两容器中的液体对容器底部的压强相等，一定可行的方法是在（ ）
A ．甲中抽取、乙中倒入相同高度的原有液体
B ．乙中抽取、甲中倒入相同高度的原有液体
C ．甲、乙中同时抽取相同高度的原有液体
D ．甲、乙中同时倒入相同高度的原有液体
分析与解 由P P <甲乙，结合h h h >甲乙，根据P gh ρ=，可得ρρ<甲乙。若在甲中抽取、乙中倒人相同高度的原有液体，则P 甲减小，P 乙增大，P 甲与P 乙不可能相等，选项A 错误。若在甲中倒入、乙中抽取相同高度的原有液体，则P 甲增大，P 乙减小，但存在一种可能，即甲中已经倒满时，P 甲仍小于P 乙，
因此B 项并不能保证一定可行，选项B 错误。若在甲、乙中抽取相同高度的原有液体，则P 甲减小，P 乙减小，
由P g h ρ=△△，可知甲和乙压强的减少量P P <甲乙△△，又初始时h h >甲乙，因此可以假设抽取的高度等于h 乙，则P 乙减为零，而P 甲大于零，因此，在抽取的高度适当的时候，可以满足剩余液体对容器底部压强相等，选项C 正确。若在甲、乙中同时倒入相同高度的原有液体，则甲和乙压强的增加量P P <甲乙△△，因此更不会满足题意。本题正确选项为C 。
练习题
1．（上海第16届大同杯初赛）室温下两个容积相同的烧瓶用密封细管相连，右边烧瓶内装满水，左边烧瓶内充满空气，如图7.11所示。现将装置浸没在热水中，则气、液界面O 点向哪个方向移动？（ ）
A ．向右
B ．向左
C ．不动
D ．无法确定
2．（上海第21届大同杯初赛）如图7.12所示，、乙两容器内盛有水，水对容器底部的压强分别为P 甲和P 乙。当水温从80℃降低到2℃时，P 甲和P 乙的变化情况是（ ）
A ．P 甲变小，P 乙不变
B ．P 甲不变，P 乙变小
C ．P 甲和P 乙均变小
D ．P 甲和P 乙均不变
3．（上海第29届大同杯初赛）质量相等的甲、乙两个均匀实心正方体物块放在水平地面上，密度关系是ρρ>甲乙，当在甲、乙两物块上分别放重为1G ，2G 的物体或分别施加竖直向上的力1F ，2F （1F ，2F 均小于物块重力）时，甲、乙两物块对水平地面的压强相等，则1G 与2G ，1F 与2F 的大小关系是（ ）
A ．12G G >，12F F >
B ．12G G >，12F F <
C ．12G G <，12F F <
D ．12G G <，12F F >
4．（上海第29届大同杯初赛）一根两端开口的细玻璃管竖直插入水银槽内，再注入高度为1h 的某种液柱，结果使管内水银面下降了2h 。如果水银密度为0ρ，则该液体密度为（ ）
A ．()012h h ρ+
B ．
02
1
h h ρ C ．
01
2
h h ρ D ．()012h h ρ-
5．（上海第29届大同杯初赛）如图7.13所示在两个底面积不同的圆柱形容器A 和B （2A s s >）内分别盛有甲、乙两种液体，甲的液面低于乙的液面，此时两液体对各自容器底部的压强恰好相等。若容器足够高，并在两容器中同时倒入或同时抽出各自适量的液体，最终使得两液体对各自容器底部的压力相等，下列说法中正确的是（ ）
A ．倒入的液体体积V 甲可能等于V 乙
B ．倒入的液体高度h 甲一定大于h 乙
C ．抽出的液体体积V 甲可能小于V 乙
D ．抽出的液体高度h 甲一定等于h 乙
6．（上海第28届大同杯初赛）如图7.14所示两端开口的C 形管中充满水，A ，B 两端开口处均用手指堵住，若同时松开手指，则（ ）
A ．只有水从A 端流出
B ．只有水从B 端流出
C ．A ，B 两端同时有水流出
D ．A ，B 两端都没有水流出
7．（上海第17届大同杯初赛）如图7.15所示，a ，b 是两个不同的实心圆柱体，其中a
的高
度小于b ，a 的底面积大于b ，而它们对地面的压强正好相等，则下列判断正确的是（ ）
A ．因为a 的高度比较小，所以a 的密度大
B ．因为a 的质量比较大，所以a 的密度大
C ．因为a 的底面比较大，所以a 的密度小
D ．因为a 的体积比较大，所以a 的密度小
8．（上海第28届大同杯初赛）如图7.16所示，均匀圆柱体甲和盛有液体乙的圆柱形容器放置在水平地面上，甲、乙质量相等。现沿水平方向切去部分甲并从容器中抽取部分乙后，甲对地面的压强小于乙对容器底部的压强，若甲、乙剩余部分的体积分别是V 甲，V 乙，则（ ）
A ．V 甲可能等于V 乙
B ．V 甲可能大于V 乙
C ．V 甲一定大于V 乙
D ．V 甲一定小于V 乙
9．（上海第26届大同杯初赛）如图7.17所示质量分布均匀的甲、乙两个实心正方体放置在水平地面上，它们对地面的压强相同。若要使甲对地面的压强比乙大，下列做法中正确的是（ ）
A ．沿竖直方向切去相同的体积
B ．沿竖直方向切去相同的厚度
C ．沿水平方向切去相同的质量
D ．沿水平方向切去相同的体积
10．（上海第25届大同杯初赛）如图7.18所示，于水平桌面上的一个密闭的圆锥形容器内装满了重力为G 的某种液体。已知圆锥形容器的容积公式为23
R h
V π=
，其中R ，h 分别为容器的底面
半径和高，则容器内的液体对容器侧面的压力大小为（ ）
A ．G
B ．2G
C ．3G
D ．0
11．（上海第20届大同杯初赛）如图7.19所示，通器左端试管横截面的半径为2R ，右端试管横截面的半径为R 。左、右水面的高度分别为H 和1
2
H 。那么打开开关K 后，右管水面能够上升到距离底部的最大高度为（ ）
A ．1.5H
B ．1.3H
C ．1.1H
D ．0.9H
12．（上海第13届大同杯初赛）如图7.20所示容器重为1G ，放在水平面上，容器内盛有重为2
G 的液体，若用1N 表示容器对桌面的压力，2N 表示液体对容器底的压力，则1N 和2N 应满足（ ）
A ．112N G G =+，22N G =
B ．112N G G >+，22N G >
C ．112N G G <+，22N G =
D ．112N G G =+，22N G >
13．（上海第10届大同杯初赛）如图7.21所示，某密闭容器内盛有一部分水，如图所示位置时，水对底部压强为P ，水对底部压力为F 。当把容器倒置放在桌面上时（ ）
A ．P 增大，F 减小
B ．P 增大，F 增大
C ．P 减小，F 不变
D ．P 减小，F 减小
14.如图7.22所示，圆柱形容器内注人某种液体，深度为h ，容器底的半径为r 。如果液体对侧壁的压力等于对容器底部的压力，那么:h r 为（ ）
A ．1:1
B ．1:2
C ．2:1
D ．
1
:12
15．（上海第17届大同杯初赛）“纳米”是长度单位之一，符号为“nm ”，且91nm 10m -=。纳米技术是以0.1~100nm 的尺度为研究对象的前沿科学，目前我国在这方面的研究已跻身世界前列，已知我国研制成的碳纳米管的强度（单位面积能承受的最大拉力）是钢的100倍，而碳纳米管的密度仅为钢的1/6，假设有两根同样粗细的细绳，一根由碳纳米管制成，一根由钢管制成，将它们分别在地面附近竖直悬挂起来，则它们能承受自身重力而不断裂时的最大长度之比:L L 钢纳米为（ ）
A ．600:1
B ．3600:1
C ．100:6
D ．100:1
16．（上海第23届大同杯初赛）图7.23是一个足够长、细均匀的U 形管，先从A 端注入密度为A ρ的液体，再从B 端注入密度为B ρ、长度为l 的液柱，平衡时左右两管的液面高度差为2
l
.现再从A 端注密度为C ρ的液体，且1
2
C B ρρ=
，要使左右两管的液面等高，则注入的液柱长度为（ ） A ．
23
l B ．
34l C ．
45
l D ．l
17．（上海第13届大同杯初赛）如图7.24所示，轻质薄片刚要脱落，若水的密度为0ρ，则油的密度是（ ）
A ．
2
ρ B ．
3
ρ
C ．
4
ρ D ．无法确定，因横截面积不知
18．（上海第29届大同杯复赛）如图7.25所示，一个足够长的两端开口的U 形管内装着水银，
U 形管左管横截面积为26.5cm ，右管横截面积为215cm .将800g 水缓慢灌入U 形管左管，平衡后
在水和水银面的交界处液体产生的压强大小为________Pa ，U 形管右管水银面高度上升了________cm .
19.血管变细是“高血压”发病的诱因之一。为研究这一问题，我们可做一些简化和假设：设血液通过一定长度血管时受到的阻力f 与血液流速v 成正比，即f kv =（其中k 与血管粗细无关），为维持血液匀速流动，在这血管两端需要有一定的压强差。设血管内径为1d 时所需的压强差为p ?，当血管内径减为2d 时，为了维持在相同时间内流过同样多的血液，此时血液的流速是原来的________倍；血管两端的压强差必须变为原来的________倍。
20．（上海第22届大同杯复赛）图7.26所示为一种水闸，闸门的底部与铰轴O 相连，厚度不计的闸门高为H 、宽为a 。AB 为一根不计质
量的杆，A 端通过铰链与闸门相连，B 端通过铰链与地面相连杆AB 与地面成60°角，A 端距离地面高为h 。已知水的密度为ρ，试求杆AB 对闸门的作用力。
参考答案
1．B 。装置浸没在热水中时，水和空气温度都升高水是液体，比气体难压缩得多，所以在水和空气都有膨胀趋势的情况下，水将向左压缩气体，O 点左移。
2．B 。设容器底面积为s ，液体密度为ρ，深度为h ，则液体对容器底部的压强为p gh ρ=，液体对容器底部的压力F Ps gsh ρ==，考虑到sh 恰为底面积为s 、高为h 的圆柱体的体积，因此液体对容器底部的压力大小，等于以容器底s 为底面积、以液体深度h 为高的圆柱形“液柱”所受到的重力，当然，由于容器形状未必是柱形，因此液体对容器底部压力不一定等于液体重力。考虑到甲、乙两容器，由于甲为圆柱形容器，因此甲液体对底部压力大小始终等于甲液体重力。乙容器在降温时，高度下降，其所对应的“液柱”体积减小，液体对容器底部压力减小。选项B 正确。
3．D 。由甲、乙质量相同，而ρρ>甲乙，则可知甲的边长较小，即s s <甲乙，易知P P >甲乙。
在甲、乙上方放置重物时，甲、乙对地面的压强均增加，当''
P P =甲乙时，显然有P P ?
1G P s =?甲甲，2G P s =?乙乙，可得12G G <。若对甲、乙分别施加竖直向上的力，使得''P
P =甲乙，显然此时甲对地面的压力小于乙对地面的压力，由于两者原来质量相同，因此12F F >，选项D 正确。
4．B 。注入高度为1h 的液柱后，设液柱密度为ρ，管内外液体在分界面处压强相等，则有
102gh gh ρρ=，解得02
1
h h ρρ=
。
5．C 。由于甲、乙液体对容器底部压强相等，可得ρρ>甲乙，再由A B s s <，可得甲、乙对液体底部压力F F >甲乙。若倒入的液体体积V V =甲乙，则甲增加的质量多，甲对容器底部的压力大，选项A 错误；若倒入的液体高度h 甲大于h 乙，同样是甲对容器底部压力增加得多，选项B 错误；当抽取液体时，由于甲液体密度较大，因此抽取较小的体积时，抽取的质量也可能大于乙，从而最终剩余液体质量相同，选项C 正确，选项D 错误。
6．B 。手指移开后，A 端压强等于大气压强，而B 端压强等于大气压强加上A ，B 间竖直高度的水产生的压强，因此水会从B 端流出，而空气从A 端进入管内，选项B 正确。
7．A 。提示：根据圆柱体对水平地面的压强公式P gh ρ=，可知压强相同时柱体高度越小，密度越大。
8．D 。由图7.16可知，甲的体积较小，因此ρρ>甲乙。水平切去一部分甲并抽取部分乙后，
''P P <甲乙，
考虑到s s <甲乙，因此两者剩余部分质量''m m <甲乙，结合ρρ>甲乙，可知剩余部分体积V 甲一定小于V 乙，选项D 正确。
9．CD 。竖直切不会改变甲、乙对地面的压强选项AB 错误。甲、乙原来对地面压强相同，而甲底面积较大，当两者水平切去相同质量时，甲压强减小得较少，甲剩余部分对地面的压强大于乙，选项C 正确。由题易知甲的密度小于乙两者水平切去相同体积时，甲切去的质量较小，亦能得出选项D 正确。
10．B 。液体对圆锥底面的压强P gh ρ=，圆锥底面受到的液体压力2
πF Ps gh R ρ==?，圆锥容器内液体重力2
π3
gh R G Vg ρρ?==
，可见3F G =。取液体为研究对象，整个液体应受重力G ，
圆锥底面对液体的支持力大小为3G ，因此容器侧面对液体的作用力应竖直向下，大小为2G ，由作用力和反作用力的知识可知，液体对容器侧面的压力大小为2G ，方向竖直向上。
11．B 。不考虑机械能损失，打开开关之前水的重力势能等于右管水面上升到最高时的重力势能（此时水柱速度为零）。设水的密度为
ρ，打开开关之前，水的重力势能表示为
()2
21π2π224
p H H H
E g R H g R ρρ=?
+?，打开开关，右管达到的最大高度设为x ，由于水的总体
积为()2
2
π2π2H
V R H R =+，则左管水面高度为()
22
π984π2V R x H x R x -='=-，故此时水的重力势能为()2
2p2π2π22
x x
E g R x g R x ρρ''=?
+?，结合p1p2E E =，解得 1.3x H =。 12．D 。结合练习题2的解答过程，液体对容器底部的压力大小等于以容器底s 为底面积、以液体深度h 为高的圆柱形“液柱”所受到的重力，显然这个“液柱”比容器中水的体积要大，因此液体对容器底部的压力2N 大于容器中液体重力2G ；容器底部对桌面的压力1N 等于容器重力1G 与液体重力2G 之和。
13．A 。提示：比较练习题12所作的“液柱与实际水的体积关系可知，容器倒置前，水对容器底部的压力大于水的重力，倒置后，水对容器底部的压力小于水的重力，可知F 变小；倒置后水的深度增加，水对容器底部的压强P 增大。
14．A 。水对侧壁的平均压强，等于一半深度处的压强，即2
h
P g
ρ=，侧壁面积12πs rh =，因此水对侧壁的压力2
11πF Ps g rh ρ==，
液体对容器底部的压力2
22πF Ps gh r ρ==?，若12F F =，显然有:1:1h r =。
15．A 。取横截面积均为s 的钢丝和碳纳米管，设它们所能承受的最大长度分别为L 钢和L 纳米，密度分别为ρ钢和ρ纳米，单位面积的最大承受力分别为F 钢和F 纳米，则sL g
F s
ρ=
铜铜钢，同理
=
sL g
F s
ρ钠米纳米纳米，因此=F L F L ρρ铜铜铜
纳米纳米纳米
，可得600F L =钢纳米。 16．A 。注入密度为B ρ的液体平衡后，对B 液体底部所在的水平面，由连通器原理，有
2B A l gl g ρρ=，可得1
2
B A ρρ=
。设从A 端注入的液体C 长度为x ，则右端A ，C 液柱的分界面与左端B 液体底端的高度差为l x -，同样由连通器原理，有()B C A gl gx g l x ρρρ=+-，将密度关系代人，解得23
l x =
。 17．B 。薄片脱落时，油和水在薄片处产生的压强相同，即()02g h h gh ρρ+=油，解得0
3
ρρ=
油。
18.41.2310?，2.74。设左、右两管横截面积分别为1s ，2s ，则水对液面交界处的压强为
4
42
1
0.810N 1.2310Pa 6.510m
G P s -?=
=
=??水水。设左端水银面下降1h ，右端水银面上升2h ，则右端水银在左端水银面处产生的压强和水在该处产生的压强相等，有()12g h h P ρ+=汞水
，又1122s h s h =，解
得1 6.32cm h =，2 2.74cm h =。
19.2122d d ；412d d 。在t ?时间内流过血管的血液体积为2
2d Q sv t v t π??=?=? ???
，血管内径减小后，
t ?时间内流过的血液体积仍相同，则2211
22
d v d v =，得2
21212
v d v d =。血液匀速流动时，血液两端所受
压力差等于阻力，即Ps kv ?=，则2
π2d P kv ??
??= ???
，解得24πk v P d ?=
?，则血管变细后压强差之比24
21211241
22P d v d v P d d ?==?。 20.以水闸为研究对象，如图7.27所示，由于AB 杆为轻杆，且两端均与铰链相连，因此杆A 端对水闸的作用力A F 必沿BA 方向，取O 点为转轴，由几何关系，A F 的力臂为1
2
A L h =.水闸还受到水的压力F 水的作用，水对水闸的平均压强为2h P g
ρ=，水闸受压面积为s ah =，因此2
12
F Ps gah ρ==水，考虑到水对矩形侧壁的压力等效作用点在水深的23处，即F 水的力臂为1
3
h ，根据有固定转动轴物体的平衡条件，有1
3A A F L F h =?水，代解得21
3
A F gah ρ=
。 第三节 气体压强
一、气体压强的产生及特点
气体的压强是指气体对容器壁的压强。气体压强是由于大量气体分子对容器器壁的不断撞击，形成持续而均匀的压力的结果。压强即单位面积上受到的压力，气体压强的大小取决于单位体积内的分子数和分子的平均动能。
气体对容器的各个侧壁以及顶部和底部均有压强，由于气体质量很小，可以忽略掉容器内气体的重力，因此气体对容器侧壁和底部的压强均相等。
二、大气压强
我们的地球被一层厚度为80~100km 的大气层包裹着大气也受到地球的吸引力作用，因此大气不会逃逸到宇宙中去。由于大气也受重力作用大气会对处于其中的物体产生压强，我们称之为大气压强。17世纪中期，德国马德堡市的市长做了著名的马德堡半球实验，证明了大气压强的存在。
大气压强一般用0P 表示，5
01,0110Pa P =?，在数值上等于76cm 高的水银柱产生的压强。大气压的大小与海拔高度有关，高度越大的地方，气压越低。通常把相当于760mm 高的水银柱产生
的压强叫做1标准大气压。
三、封闭气体压强的计算
封闭气体是指被水银柱、活塞密封在气缸或玻璃管等容器中的气体，气体所受重力可以忽略不计。
在计算气缸中被活塞封闭的气体或玻璃管中被液体柱封闭的气体的压强时，一般应对活塞、气缸、液体柱或玻璃管进行受力分析，然后根据活塞、气缸、液体柱或玻璃管的状态列出平衡方程，从所列方程求出压强。
例1 如图7.28所示，竖直静止放置的气缸内，活塞质量为m ，面积为s ，活塞上方气体压强为P 上，下方气体压强为P 下，试求出P 上，P 下所满足的关系。
分析与解 对活塞进行受力分析，活塞除了受自身重力以外，还受到上下气体的压力作用，由平衡条件，可得P s mg P s +=下上，即mg
P P s
+
=上下。若记活塞自身重力产生的附加压强为=
mg
P s
活塞，则有关系P P P +=下上活塞
。这样我们可以得出结论：活塞上方气体的压强加上活塞自重产生的压强等于活塞下方气体的压强。上述P 上，P 下可以是大气压强，也可以是封闭气体的压强。
同理，在如图7.29所示的情景中，高为h 的水银柱竖直静止放置在玻璃管内，若水银柱上方气体压强为P 上，下方气体压强为P 下，则有g m P P s
+
=水银下上，考虑到m g shg
gh s
s
P ρρ=
=
=水银水银，
其中ρ为水银的密度，则有P gh P
ρ+=下上。 对于复杂一些的情况，要结合连通器原理进行综合分析。“连通器原理”内容如下：同种不间断液体在平衡状态时，同一水平液面上的压强相等。
例2 已知大气压强为0P ，水银密度为ρ，求下列封闭气体的压强：
（1）如图7.30（a ）所示，开口朝下、竖直放置的U 形管中用水银柱封闭着一段气体，水银液面高度差为1h 。
（2）如图7.30（b ）所示，玻璃管竖直插入水银槽中，玻璃管内液面高出水银槽液面2h 。