高中数学竞赛训练题选择题
高中数学竞赛训练题—选择题
1．当01x <<时，()lg x
f x x
=
，则下列大小关系正确的是（ ） A ．22()()()f x f x f x << B. 22()()()f x f x f x << C. 22()()()f x f x f x << D. 22()()()f x f x f x <<
2．设()f x 在[0,1]上有定义，要使函数()()f x a f x a -++有定义，则a 的取值范围为（ ）
A ．1(,)2-∞-； B. 11[,]22-； C. 1(,)2+∞； D. 11(,][,)22
-∞-?+∞
3．已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足
()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为 ( )
A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形
4．已知()()
22222
12f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵
坐标的最大值是（ ）
A B. 2 C. D. 4
5．已知函数34)(2
+-=x x x f ，集合}0)()(|),{(≤+=y f x f y x M ，集合
}0)()(|),{(≥-=y f x f y x N ，则在平面直角坐标系内集合M N 所表示的区域的面积是（ ） A.
4π B. 2
π
C.π
D.π2
6. 函数()f x = ）
[]3
. 1, . 1, C. 1, D. 1, 22A B ??????????
7. 设)(x f 有反函数)(1x f -，将)32(-=x f y 的图象向左平移2个单位，再关于x 轴对称后所得函数的反函数是（ ） A ．2
1)(1
--=
-x f
y
B ．2
)(11x f y --=- C ．2)(11x f y --= D ．2
1)(1-=
-x f y 8.化简三角有理式x
x x x x
x x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ ）
A. 1
B. sin cos x x +
C. sin cos x x
D. 1+sin cos x x
9.设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .若△PQR 为等
边三角形，则k ，r 的取值为（ ）
A ．k r ==
B ．k r ==
C ．k r ==
D ．k r == 10.设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是（ ）
A. 22a b >
B. 33a b <
C. 55a b >
D. 66a b >
11.若15,(12)x R x +∈+则的二项式展开式中系数最大的项为（ ） A ．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项 12.设()cos
5x f x =，12111
(log ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ
===，则下述关系式正确的是（ ）。
A ．a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. b a c >> 13．已知－１＜βα+＜3，且２＜βα-＜４，则βα32+的范围是（ ） A. )2
17,213(-
B. )211,27(-
C. )213,27(-
D. )213,29(-
14．若函数()
2
log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是（ ）．
A 01a <<
B 02,1a a <<≠
C 12a <<
D 2a ≥
15．已知,1,=>ab b a 则b
a b a -+22的最小值是（ ）．
A 22 B
2 C 2 D 1
16．已知cos cos 1x y +=，则sin sin x y -的取值范围是（ ）．
A []11-，
B []2-，2
C 0??
D ??
17．函数()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，当*
n N ∈时，*
()f n N ∈，且[()]3f f n n =，
则(1)f 的值等于（ ）．A 1 B 2 C 3 D 4
18.设集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ，映射N M f →:使得对任意的M x ∈，都有
)
()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射
f
的个数是
（ ）
（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 19.设函数x
b
ax x g x x f +
==)(,ln )(，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当1>x 时，)(x f 与)(x g 的大小关系是 （ ）
（A ）)()(x g x f >（B ）)()(x g x f <（C ）)()(x g x f =（D ）)(x f 与)(x g 的大小不定 20.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，过顶点A 1在空间作直线l ，使直线l 与直线AC 和BC 1所成的角都等于600，这样的直线l 可以作（ ） （A ）4条（B ）3条（C ）2条（D ）1条
21. 从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（ ） A. 89种 B. 90种 C. 91种 D. 92种
22.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个
多面体的内切球的半径之比是一个最简分数n
m
，那么积n m ?等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．12
23.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为（ ） A ．
821 B ．421
C ．1126
D ．27
24．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．
A 4
B 6
C 8
D 16
25.12)526(++n 的小数表示中，小数点后至少连续有 （ ） （A ）12+n 个零（B ）22+n 个零（C ）32+n 个零（D ）42+n 个零
26.设AB 是椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB
的垂线，交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则
21111P F P F A F +++…B F P F 1991++的值是（ ）
（A ）a 98 （B ）a 99 （C ）a 100 （D ）a 101
高中数学竞赛训练题—选择题 答案
1.解：当01x <<时，()0lg x f x x =<，22
2()0lg x f x x =<，2
2()0lg x f x x ??=> ???
。
又因为22
22(2)0lg lg 2lg 2lg x x x x x x x x x x
---==<。所以 22
()()()f x f x f x <<。 选 C 。 2解：函数()()f x a f x a -++的定义域为 [,1][,1]a a a a +?--。当0a ≥时，应有
1a a ≤-，即12a ≤
；当0a ≤时，应有1a a -≤+，即1
2
a ≥-。 因此，选 B 。 3解：因为,2PB PA AB PB PA PC CB CA -=+-=+，所以已知条件可改写为
()0AB CB CA ?+=。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D 。
4解：由已知条件可知，2
2
10a b +-=，函数图象与y 轴交点的纵坐标为2
2
2a ab b +-。令,s cos in b a θθ==，则
22222sin cos sin cos2sin 2c s 2o a ab b θθθθθθ+=+=--+≤ 选 A 。
5．C 提示：由已知可得M ={（x ,y )|f (x )+f (y )≤0}= {(x ,y )|(x -2)2+(y -2)2
≤2},N ={(x ,y )|f (x )-f (y )≥0} ={(x ,y )|(x -y )(x +y -4)≥0}. 则22(2)(2)2
()(4)0
x y M
N x y x y ?-+-≤=?
-+-≥?, 作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，
即为2
12
ππ=，故应选C.
6.D .解：()f x 的定义域为34,x ≤≤则031x ≤-≤，令2
3sin , 02
x π
θθ-=≤≤
，则
()
f x =sin sin 2sin()3
π
θθθθ==+=+
因5336πππθ≤+≤，则 1sin()1, 12sin()2233
ππθθ≤+≤≤+≤ 7. A 解：设)32(-=x f y 上有点),(00y x 左移2 ),2(00y x -关于x 轴对称),2(00y x --取反函数
)2,(00--x y ，
∴
???=-=-y x x y 200???
?-=+=x
y y x 002
代入)32(-=x f y 得)12(+=-y f x ?
)(121
x f y -=+-?2
1
)(1
--=
-x f
y ，
8.解答为 A 。22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(
4422s i n c o s s i n
c o s
x x x x =++
。也可以用特殊值法
9.解答．C. PQ QR PR ==，
12
==r=k=
。 10.解答：A 。
11444,1a b a b ====设等差数列的公差为d ，等比数列公比为q,由，得
223355663,2,0,1,a b a b a b a b =======-=
得。 11.解答：D. 11512129322,33
r r
r r r r r T C T T T T r ++++=≤≤?≤≤由，，r=10，第11项最大。 12.解答： D 。函数()cos
5x f x =为偶函数，在（0，2
π
）上，()cos f x x =为减函数，而121
111log log ,log ,log 2log log e
e e e e e π
πππ
ππ
=-=-=， log 2log 1
05log 554
e e e ππππ<
<<<，所以b a c >>。
13解：由待定系数法或线性规划可得。
14答案：C ．解：当01a <<时，log a y x =是递减函数，由于2
1t x ax =-+没有最大值，
所以()
2log 1a y x ax =-+没有最小值；当1a >时，()
2
log 1a y x ax =-+有最小值等价于
21t x ax =-+有大于0的最小值．这等价于240a ?=-<，因此12a <<．
15答案：A.解：记t b a =-，则0>t ，b a b a -+222222
2≥+=+=t t t t ，
（当且仅当
22
t a b ==
=即时取等号）．故选A ． 16答案：D ．解：设sin sin x y t -=，易得21
cos cos sin sin 2
t x y x y --=，即
()21
cos 2t x y -+=．由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21
112
t --≤≤，解得 t ≤≤．
17答案：B 解：（用排除法）令1n =，则得[(1)]3f f =． 若(1)1f =，则[(1)](1)3f f f ==，与(1)1f =矛盾；
若(1)3f =，则[(1)](3)3f f f ==，与“()f x 在(0,)+∞上单调递增”矛盾；
若(1)4f =，则[(1)](4)3f f f ==，也与“()f x 在(0,)+∞上单调递增”矛盾．故选B ． 18.A 提示：当2-=x 时，)2(2)()(---=++f x xf x f x 为奇数，则)2(-f 可取1、3、5，有3种取法；当0=x 时，)0()()(f x xf x f x =++为奇数，则)0(f 可取1、3、5，有3种取法；当1=x 时，)1(21)()(f x xf x f x +=++为奇数，则)1(f 可取1、2、3、4、5，有5种取法。由乘法原理知共有45533=??个映射
19 B 提示：)(x f 与)(x g 的图象在x 轴上有公共点)0,1(，∴0,0)1(=+=b a g 即.
∵x x f 1)('=
,2')(x
b a x g -=,由题意1,1)1()1('
'=-==b a g f 即,∴.21,21==b a 令)2121(ln )()()(x x x x g x f x F -
-=-=,则0)11
(2121211)(22'≤--=--=x
x x x F ∴)(x F 在其定义域内单调递减.由∵0)1(=F ,∴当1>x 时,0)( 所成的角为600，则过空间一点P 且与a 、b 所成的角都是600的直线有且仅有多少条？这不难可判断有3条。 21解：若取出的３个数构成递增等比数列 2 ,,a aq aq ，则有2 1169a aq aq ≤<<≤。由此有213q ≤≤。当q 固定时，使三个数2,,a aq aq 为整数的a 的个数记作()N q 。由 2169aq ≤，知()N q 应是 2169q 的整数部分。2169(2)422N ?? ==????，2169(3)183N ??==????，(4)10 N =(5)6 N =(6)4 N =(7)3 N = (8)2N = (9)2 N = (10)(11)(12)(13)1N N N N ====. 因此，取法共有(1)(2)(13)91N N N ++ +=。 22．C 提示：利用等体积法，可以求出 3 2 =n m ，所以n m ?等于6. 23．D 提示：任选4点，共有4 10210C =个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平 行于直径的5条平行弦中选取，也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为 27 ． 24答案：C.解： 设222008x y -=，即()()2008x y x y +-=．2008有8个正因数，分别为1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且()x y +与()x y -只能同为偶数，因此对应的方程组为 24502100424502100410045024 2100450242x y x y += ----?? -=----? 故()x y ，共有8组不同的值：(503,501),(503,501),(503,501),(503,501)----； (253,249),(253,249),(253,249),(253,249)----． 25.A 提示：由二项式定理知易证Z n n ∈--+++])526()526[(1212，因此12)526(++n 与12)526(+-n 的小数部分完全相同。 10 15 2615260< +< -< ，121 2)101() 526(0++<-<∴n n ，即12)526(+-n 的小数表示中小数点后面至少接连有12+n 个零，因此，12)526(++n 的小数表示中，小数点后至少连续有12+n 个零。 26.D 提示：（方法一）由椭圆的定义知a P F P F i i 221=+(99,,2,1 =i )， .198992)(99 121a a P F P F i i i =?=+∴∑=由题意知9921,,,P P P 关于y 轴成对称分布， .99)(21)(99 12199 1 1a P F P F P F i i i i i =+=∴∑∑==又a B F A F 211=+ ，故所求的值为a 101. （方法二）21111P F P F A F +++…B F P F 1991++ ++++=)()(1ex a ex a A )()(99B ex a ex a ++++ .101)(1019921a x x x x x e a B A =+++++= （A,9921,,,P P P ,B 关于y 轴成对称分布） No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题） 乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min 2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题：每题6分，满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y x y + ++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n= 2 2 m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2 2 m > （D ）3,2m n >= 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为 1 +n n 的点为n A ，横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 （1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________． 12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 1．高中数学竞赛试题 ◇1986年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海高中数学竞赛试题 ◇1987年上海市黄埔区高中数学选拔赛试题 ◇1988年上海市高一数学竞赛试题.doc ◇1988年上海高中数学竞赛试题 ◇1989年上海高中数学竞赛试题 ◇1990年上海高中数学竞赛试题 ◇1991年上海高中数学竞赛试题 ◇1992年上海高中数学竞赛试题 ◇1993年上海高中数学竞赛试题 ◇1994年上海高中数学竞赛试题 ◇1995年上海高中数学竞赛试题 ◇1996年上海高中数学竞赛试题 ◇1997年上海高中数学竞赛试题 ◇1998年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海高中数学竞赛试题 ◇1999年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2000年上海高中数学竞赛试题 ◇2000年上海市高中数学竞赛试题.doc ◇2001年上海高中数学竞赛试题 ◇2002年上海市高中数学竞赛.doc ◇2003年上海高中数学竞赛试题 ◇杭州市第7届"求是杯"高二数学竞赛 ◇杭州市第8届"求是杯"高二数学竞赛 ◇北京市海淀区第9届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第10届高二数学竞赛团体赛 ◇北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛 ◇1986年杭州市高中数学竞赛第二试试题 ◇1990年四川省高中数学竞赛一试试卷 ◇1991年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1992年四川省高中数学联合竞赛决赛试题 ◇1996河北省高中数学联合竞赛 ◇1999年河北省高中数学竞赛试题 ◇2000年锦州市“语数外”三科联赛高一数学试题.doc ◇2000年创新杯数学竞赛高一初赛试卷.doc ◇2000年上海市中学生业余数学学校高一招生试题.doc ◇2000年河北省高中数学竞赛试卷.doc ◇2000年温州市高二数学竞赛 ◇2001年锦州市“语数外”三科联赛高二数学竞赛试题◇2001年温州市高一数学竞赛试卷.wps 2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3） 姓名_______ 一、填空题，每题8分 1.设1 sin cos 2 +=x x ，则33sin cos +=x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 6. 在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设 O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112 ,23 ==A M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于 7. 已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于 二、简答题 8.已知数列{}n a 满足211012 2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。用数学归纳法证明： 223+=-n n a 9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并 求等号成立的充分必要条件。 10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n 2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案 一、 填空题，每题8分 1.设1 sin cos 2 += x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+= x x ，可得112s i n c o s 4+=x x ，故3 sin cos 8 =-x x ，从而33sin cos +=x x 221311 (sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816 +-+= +=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得2016 1(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故 201620161009(1)(1)2++-=i i 3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得 10.505=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 解答：设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ，当01≤ 河北省高中数学竞赛试题2011年 一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分) 1. 已知数列{}n a 满足：,2011,1,2403121==+≤ ++a a a a a n n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数，且55y x -的值恰好是由一个2，一个0，两个1组成的四位数，则 满足条件的所有四位数是 . 3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 . 4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称该盒是“超级盒“。则出现超级盒的概率为 （列出算式即可）. 5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时，m a 的值都能被9整除，则n 的最小值为 . 6. 函数2011 201032211)(+++++++++++=x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是 . 8. 已知O 为坐标原点，),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线，M 是这垂线上的动点，以O 为圆心，OB 为半径作圆，21,MT MT 是圆的切线， 则21T MT ?垂心的轨迹方程是 . 二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分，13、14小题各15分，共78分) 9. 解不等式.11122x x x x x <--+ 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2 1999年河北省高中数学竞赛试题 班级 姓名 一、选择题 1、已知log a b+3log b a=213，当a>b>1时，2 24b a b a ++的值是 （ ） A 、13 B 、4 C 、2 D 、1 2、设M={a|a=z y x 532??,x,y,z 均为非负整数}的子集为N={b|b 101,≤≤∈b M },则N 的子集中包含元素1和10的集合有 （ ） A 、10个 B 、64个 C 、128个 D 、256个 3、将边BC=15cm 的ABC 绕边AC 旋转一周，所得旋转体是有公共底面的两个圆锥，边AB 形成的圆锥的侧面展开图是半径为20cm ，圆心角为2160的扇形，则此旋转体内切球的半径是 （ ） A 、cm 760 B 、cm 548 C 、cm 5 36 D 、60cm 4、设x 2+3y 2 -4x+6y+3≤0,则x-3y 的范围是 （ ） A 、[3，7] B 、[1，9] C 、[3-32，7+32] D 、（5-32，7） 5、x+y+z=1999的正整数解的个数是 （ ） A 、998·1997 B 、999·1997 C 、999·1999 D 、1000·1999 6、一个正方体内接于一个圆锥（其中一个底面在圆锥底面上，相对的面的四个顶点 均在圆锥的侧面上），经过圆锥的两条母线作截面，则下列图形中不可能出现的图形 个数是 （ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 二、填空题（每小题9分） 7、βα, 是x 2 +2px+1=0的两个虚根，若复平面上βα,，1对应的点构成正三角形，那么实数P= ； 8、设三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=AB=3，AC=2，∠C 为锐角，K 为棱 AB 上的动点，则?PCK 面积的最小值为 ； 9、已知函数2 2)(+=x x x f ，当x 1=1,x n =f(x n-1)(n ∈≥n ,2N)时，x 1999= ； 10、若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为M ，m ， 则m M = ； 11、设a>1,m>p>0,若方程x+log a x=m 的解为p ，则方程x+a x =m 的解是 ； 12、从6名男运动员中选4人，5名女运动员中选3人，分成3个小组去参加三个不同城市的体育比赛，要求每组中男运动员和女运动员至少各有1人，则不同的选派方案种数为 。（用数字作答） 三、解答题 13、（本题20分）设点P 是双曲线122 22=-b y a x 上除顶点外的任意一点，F 1，F 2分别为 左、右焦点，c 为半焦距，?PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2切于点M ，求|F 1M|·|F 2M|的 值。 2018年全国高中数学联赛河北省预赛 高三数学试题 一、填空题 1．若 ,且 ,则 的最小值为______________． 【答案】3 【解析】试题分析：设Z=a+bi （a ，b∈R），满足|Z-2-2i|=1的点均在以C 1（2，2）为圆心，1为半径的圆上，所以|Z+2-2i|的最小值是C 1，C 2连线的长为4与1的差，即为3. 【考点】复数模的几何意义及数形结合的思想方法， 2．若，，且满足那么. 【答案】1 【解析】【详解】 把已知条件变形为函数 在上为增函数且是奇函数，另 ，故 即 ，所以 . 3．设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式： _____. 【答案】 【解析】【详解】 将 化为 ， . 设M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则 . 设△ABC 的面积为S ，由几何关系知，，， 所以 . 4．过动点M 作圆： ()()2 2 221x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若MN MO =（O 为坐标原点） ，则MN 的最小值是__________． 【答案】 72 8 【解析】解答：由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径等于1. 由M (a ,b ),则|MN |2=(a 2)2+(b 2)212=a 2+b 24a 4b +7， |MO |2=a 2+b 2. 由|MN |=|MO |,得a 2 +b 2 4a 4b +7=a 2 +b 2 . 整理得：4a +4b 7=0. ∴a ，b 满足的关系为：4a +4b 7=0. 求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值。 在直线4a +4b 7=0上取一点到原点距离最小， 由“垂线段最短”得，直线OM 垂直直线4a +4b 7=0， 由点到直线的距离公式得：MN 的最小值为： 22 77 28 44= + . 5．欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法. 【答案】21 【解析】【详解】 本题采用分步计数原理. 第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法； 第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有种方 法； 第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有种方法； 第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有种方法；共计21种上楼梯的方法. 6．已知棱长 的正方体 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 为轴，则该圆柱体积的最大值为_____. 【答案】 【解析】【详解】 全国高中数学联合竞赛试题（校模拟） 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有，则b 的取值范围是（ ） A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。 2012年河北省高中数学竞赛试题 说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知，则可化简为（ D ） A． B. C. D. 解答：因为，所以= 。正确答案为D。 2．如果复数的模为4，则实数a的值为（ C ） A. 2 B. C. D. 解答：由题意得。正确答案为C。 3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：，命题q：或，则p是q的（ B ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。 4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（ C ） A. B. C. D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得 。正确答案为C。 5. 函数，则该函数为（ A ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ） 2 2 3 1 2 2 1 2 2 正视图侧视图俯视图（圆和正方形） A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+ 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。 7．某程序框图如右图所示，现将输出（值依 次记为：若程序运行中 输出的一个数组是则数组中的（ B ） A．64 B．32 C．16 D．8 答案经计算。正确答案为 B。 8. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ A ） A. 4 B.8 C. 16 D. 32 解答：平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足，即有 由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。 9. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ C ） A. B C. D. 解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。 2011年全国高中数学联赛模拟试题一 一试 一．填空题（每小题8分，共64分） 1．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 ． 2. 函数x x x x y cos sin 1cos sin ++= 的值域是 ． 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于 ． 4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1 (1) n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a = ． 5.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且OM ON ⊥,(O 为 原点),当椭圆的离心率]2 e ∈时,椭圆长轴长的取值范围是 ． 6．函数 y =的最大值是 ． 7．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为 . ),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其 中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和 为 ． 8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ． 二.解答题（共56分） 9.（16分） 已知定义在R 上的函数()f x 满足：5 (1)2 f =，且对于任意实数x y 、，总有()()()()f x f y f x y f x y =++-成立. （1）若数列{}n a 满足2(1)()(1,2,3, )n a f n f n n =+-=，求数列{}n a 的通项公式； （2）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1() f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论. 2011年河北省高中数学竞赛试题 一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分) 1. 已知数列{}n a 满足：,2011,1,2 403121==+≤ ++a a a a a n n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数，且55y x -的值恰好是由一个2，一个0，两个1组成的四位数，则 满足条件的所有四位数是 . 3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 . 4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称该盒是“超级盒“。则出现超级盒的概率为 （列出算式即可）. 5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时，m a 的值都能被9整除，则 n 的最小值为 . 6. 函数2011 20103 22 11 )(+++ ++++ +++ += x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是 . 8. 已知O 为坐标原点，),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线，M 是这垂线上的动点，以O 为 圆心，OB 为半径作圆，21,MT MT 是圆的切线，则21T MT ?垂心的轨迹方程是 . 二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分，13、14小题各15分，共78分) 9. 解不等式.1112 2 x x x x x < - -+ 模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题 一 试 一、填空题（每小题８分，共６４分） 1．方程错误！未找到引用源。 2．如图，在错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，则m+2n 的值为 错误！未找到引用源。 ３．错误！未找到引用源。 4．单位正方体错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 . ５．设数列错误！未找到引用源。 6．已知实数x ，y ，z 满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误！未找到引用源。 7．若错误！未找到引用源。 8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多 可连错误！未找到引用源。条线段． 二、解答题（共５６分） 9．（16分）设错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33． （1）求数列错误！未找到引用源。的通项公式； （2）设集合错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。， 求证：错误！未找到引用源。． 10．（20分）过抛物线错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。的距离均不为整数． 11．（20分）已知二次函数错误！未找到引用源。有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a ， b 满足的条件，使得一定存在整数k ，有错误！未找到引用源。成立． 二 试 一．（40分）如图，已知错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。求证：错误！未找到引用源。 N D C A M B P E F A 二．（40分）设错误！未找到引用源。． 三. （50分）已知n 个四元集合错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。，试求n 的最大值．这里错误！未找到引用源。 四．（50分）设错误！未找到引用源。为正整数错误！未找到引用源。 的二进制表示数的各位数字之和，错误！未找到引用源。为数列错误！未找到引用源。的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ，满足错误！未找到引用源。，且m 错误！未找到引用源。，则称错误！未找到引用源。是“好数”.试问： （1）2，3，5是否都是好数？ （2）错误！未找到引用源。是否都是好数？ 模拟试题二 全国高中数学联赛模拟试题 江苏省盐城中学 陈健 第一试 一、填空题：（每小题7分，共计56分） 1. 若函数)(x f y =图象经过点（2，4），则)22(x f y -=的反函数必过点__________ 2. a 、b 、c 是从集合{ }54321，，，，中任意选取的3个不重复的数，则c ab +为奇数的概率为___________ 3. 已知数列{}n a 的通项公式是1 )1(1)1(2 244++++++=n n n n a n ，则数列{}n a 的前n 项和n S =_____ 4. 抛物线2 8 1x y - =的准线与y 轴交于点A ，过A 作直线交抛物线于点M 、N ，点B 在抛物线对称轴上，且MN MN BM ⊥+ )2 (，则OB 的取值范围是____________ 5. 已知,R αβ∈，直线 1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ +=++ 的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 6. 如图，四面体ABCD 中，ADB ?为等腰直角三角形， 090=∠ADB ，1=AD ，且0 60=∠=∠ADC BDC ， 则异面直线AB 与CD 的距离为______________ 7. 已知点)2,2(A 、),(y x P ，且y x ,满足 A B C D 全国高中数学联赛模拟试题(三) 学校_____ 姓名______得分_______ 第一试 一、选择题：（每小题6分，共36分） 1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这 样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集 2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4 辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给 定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1 n i i a 等于 （A ）2 （B ）-1 （C ）1 （D ）0 4、已知、是方程ax 2 +bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，β α2 是实 数，则∑=??? ? ??5985 1k k βα的值是 （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）3i 5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()ab b a ac c a bc c b A 2 2 2 2 2 2 111111--+--+--= ，则A 的 值是 （A ）3 （B ）-3 （C ）4 （D ）-4 6、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()2 11 += ∑=n n x n i i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9 二、填空题：（每小题9分，共54分） 1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距 离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使 n n h a h a h a +++Λ22 11（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ． 绝密★启用前 2018年全国高中数学联赛河北（高二）预赛试题及详解 一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分. 1.已知集合{,,}A x xy x y =+，{0,,}B x y =且A B =，则20182018x y += ． 2.规定：x R ?∈，当且仅当*1()n x n n N ≤<+∈时，[]x n =，则[][]2 428450x x -+≤的解集为 ． 3.在平面直角坐标系中，若与点()2,2A 的距离为1，且与点(),0B m 的距离为3的直线恰有三条，则实数m 的取值集合是 ． 4.在矩形ABCD 中，已知3AB =，1BC =.动点P 在边CD 上，设PAB α∠=，PBA β∠=，则cos() PA PB αβ?+的最大值为 ． 5.已知1x ≥，1y ≥且2222lg lg lg10lg10x y x y +=+，则lg u xy =的最大值为 ． 6.若123A A A ?的三边长分别为8、 10、12，三条边的中点分别是B 、C 、D ，将三个中点两两连接得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A BCD -的表面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是 ． 7.1 >，则tan θ的取值范围是 ． 8.在ABC ?中，3AC =，sin sin C k A =，(2)k ≥，则ABC ?的面积的最大值为 ． 二、解答题 9.已知O 是ABC ?的外心，且3450OA OB OC =+=，求cos BAC ∠的值. 10.设α、0, 2πβ??∈ ???，证明：cos cos sin αβαβ++≤. 11.若a 、b 、c 为正数且3a b c ++=，证明：3ab bc ca ++≤≤. 数学奥林匹克高中训练题 第一试 一、填空题（每小题8份，共64分） 1.函数3 ()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____. 2.在数列{}n a 中,11 3 a = ,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π< 2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3） 姓名_______ 一、 填空题，每题8分 1.设1 sin cos 2 +=x x ，则33sin cos +=x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 6.在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设 O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112 ,23 ==A M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于 7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于 二、 简答题 8.已知数列{}n a 满足211012 2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。用数学归纳法证明： 223+=-n n a 9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并 求等号成立的充分必要条件。 10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n 2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案 三、 填空题，每题8分 1.设1 sin cos 2 += x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+= x x ，可得112s i n c o s 4+=x x ，故3 sin cos 8 =-x x ，从而33sin cos +=x x 221311 (sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816 +-+= +=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得2016 1(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故 201620161009(1)(1)2++-=i i 3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得 10.505=a 4. 集合 [][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的 最大整数。 解答：设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ，当01≤(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc
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