《大学物理实验》-06杨氏模量测定

实验六 杨氏模量测定

1、拉伸法测量金属丝杨氏弹性模量

一、实验目的

1．掌握用光杠杆测量微小长度的原理和方法，测量金属丝的杨氏模量。 2．训练正确调整测量系统的能力。

3．学习一种处理实验数据的方法——逐差法。

二、实验原理

1. 杨氏模量

固体在外力作用下都会发生形变，同外力与形变相关的两个物理量应力与应变之间的关系一般较为复杂。由胡克定律可知，在弹性限度内，钢丝的应力与应变成正比，比例系数 Y 称为杨氏模量；杨氏模量描述材料抵抗弹性形变能力的大小，与材料的结构、化学成分及制造方法有关。杨氏模量是工程技术中常用的力学参数。设有一根长为L ，横截面积为S 的钢丝，在轴向力F 的作用下，形变是轴向伸缩，且为△L,在弹性限度内，胁强F S 和胁变L L Δ成正比，既

F Y S L

L Δ= （1） 式中比例系数Y 称为该固体的杨氏模量。在国际单位中，它的单位是牛顿/，记为

。是用一般长度量具不易测准的微小量，本实验用光杠杆法对其进行测量。

2

米2?Nm L Δ设实验中所用钢丝直径为d ，则24

1d S π=，将此公式代入上式整理以后得

24FL

Y d L

π=

Δ （2） 上式表明，对于长度L ，直径d 和所加外力F 相同的情况下，杨氏模量Y 大的金属丝的伸长量L Δ小。因而，杨氏模量表达了金属材料抵抗外力产生拉伸(或压缩)形变的能力。

2.光杠杆原理

如图1，光杠杆是一个支架，前两脚与镜面平行，后脚会随金属丝的伸长而上升或下降。

由三角函数理论可知，在θ很小时有tg θ≈θ、tg2θ≈2θ，于是根据图示几何关系可得

图1

将(3)式代入(2)式有： 28FLD

Y d l x

π=

Δ

将F ＝mg 代入上式，得出用伸长法测金属的杨氏模量Y 的公式为

三、实验仪器

杨氏模量仪（带光杠杆、望远镜和标尺），1kg 砝码若干，米尺，游标卡尺，千分尺，试样为1m 左右的钢

丝。图2所示为杨氏模量装置，待测钢丝由上夹具固定在立柱的顶端，下端用圆柱活动夹具头夹紧，圆柱形夹具穿过固定平台的圆孔，能随金属丝的伸缩而上下移动，其下端挂有砝码挂钩。调节三脚底座螺丝，可使整个立柱铅直。

光杠杆的两个前脚尖放在平台前方的沟槽

看到平面镜中直尺的像；先按图

3所示方式进行 来

清楚码托盘挂在下端，再放上一个砝码成为本底砝码，拉直钢丝，然后记下此时内，后脚尖放在活动圆柱体上；望远镜用于观测由光杠杆平面镜反射形成的标尺像。增加或减少砝码时，钢丝伸长或收缩，光杠杆的后脚会随圆柱体下降或上升，进而带动平面镜的镜面偏转，望远镜中观测到的标尺像的位置亦随之改变。

四、实验内容和步骤

1.杨氏模量测定仪的调整

（1）调节杨氏模量测定仪底脚螺丝，使立柱处于垂直状态； （2）将钢丝上端夹住，下端穿过钢丝夹子和砝码相连；

（3）将光杠杆放在平台上，两前脚尖放在平台的沟槽内，后脚尖放在圆柱夹头上，使镜面竖直，调节平台的上下位置，尽量使三足在同一个水平面上。

2．光杠杆及望远镜直横尺的调节

（1）在杨氏模量测定仪前方约1米处放置望远镜直横尺，并使望远镜和光杠杆在同一个高度，并使光杠杆的镜面和标尺都与钢丝平行；

（2）调节望远镜，在望远镜中能目视粗调，即望远镜水平等高地对准平面镜，眼睛通过镜筒上方的准星直接观察平面镜，看镜面中是否有标尺的像。若没有，应移动望远镜基座，直到镜面中心看到标尺的像为止。若在目镜中还看不到标尺像，可调节望远镜的高低。（3）仔细调节望远镜的目镜，旋转目镜，使望远镜内的十字叉丝线看起

图3

为止，调节平面镜、标尺的位置及望远镜的焦距，使人们能清楚地看到标尺刻度的像。调节过程中注意消除视差。

3．测量

（1）将砝望远镜中所对应的读数i x ；

（2）依次增加砝码1kg 直至，将砝码全部加完为止，然后再依次减少1kg 直至将砝码全间的距离D ；

次（注意不能用悬挂砝码的钢丝），求平光杠杆在纸上压出三个足印，光杠杆的后脚到两个前脚连线的距离为，用

部取完为止，分别记录下读数。注意加减砝码要轻放。由对应同一砝码值的两个读数求平均，然后再分组对数据应用逐差法进行处理；

（3）用米尺测量钢丝长度L ；

（4）用米尺测量标尺到平面镜之（5）用螺旋测微器测量钢丝直径d ,变换位置测五均值；

（6）将l

卡尺五、数据记录与处理

1.到标尺距离D、光杠杆臂长、钢丝原长L 的测量结果；光杠杆的后脚到两个钢丝直径d 的平均值，写出测量结果；钢丝直径测量五次求平均，并写出d 的标法计算钢丝伸长量测量出l 。 写出镜面l 前脚连线的距离为l ，钢丝长度Ｌ，标尺到平面镜的距离Ｄ都取单次测量分别写出标准式。

2.计算准式。

3.用逐差x Δ的平均值，写出测量结果；

按表格记录有关测量数据。

尽可能地进行多次，然后用多次测量数据的算术平均值来由误差理论知，计量性测量应评定待测量，以减小测量存在的偶然误差。可对于某些实验，简单地取各次测量的平均值并不能达到好的效果。如本次实验在处理每增加一个砝码望远镜中标尺的位置读数x 1、x 2、x 3、…、x 8时，就不能简单地通过求相邻两项差值的算术平均值来计算增加一个砝码引起的变化量Δx ，因为此时：

)(717)()()()(71187823127

1

1x x x x x x x x x x x i i i ?=?+???+?+?=?=Δ∑=+

和x 等价。

中间测量值全部被抵消，只有始末两个测量值起作用，与仅仅测量x 18为了发挥多次测量的优越性，需要先将实验数据对半分为（x 1、x 2、x 3、x ）和（x 45、

x 6、x 7、x ）两组，再计算两组对应项差值的算术平均值：

8484

51627384151()()()()11()444i i i i i i x x x x x x x x x x x ===?+?+?+?x ??

Δ=Δ==???

??

∑∑∑

需要注意的是此时的变化量 ΔX 是由同时增加4个砝码引起的。 4. 用公式(4) 计算钢丝的杨氏模量Y ; 写出测量结果。

六、注意事项

1.光杠杆、望远镜和标尺构成的光学系统一经调好后，在实验过程中就不可再变动，否则所测数据无效。

2.加减砝码时，动作要轻，尽量使其静止不摆动。

3.注意保护光杠杆，勿使其掉下摔坏。

x Δ4.用逐差法计算时，要清楚是加几个砝码所得的位移，以便计算对应的拉力F 的大小。

5．用千分尺测量金属丝的直径时，不要压得过紧，听到“叭叭”声后既可读数。

七、思考题

1.本实验应注意哪些问题？

2.怎样调节光杠杆及望远镜等组成的系统，使在望远镜中能看到清晰的像？

3.本实验用了哪些原理和方法测量微小长度及处理数据？

4.两根材料相同，但粗细、长度不同的钢丝，在相同的加载条件下，他们的伸长量是否一样？杨氏弹性模量是否相同？

2、霍尔位置传感器法测量杨氏模量

一、实验目的

1.熟悉霍尔位置传感器的特性；

2.学习弯曲法测量黄铜的杨氏模量；

3.测黄铜杨氏模量的同时，对霍尔位置传感器定标；

4.用霍尔位置传感器测量可锻铸铁的杨氏模量。

二、实验原理

1.霍尔位置传感器

B I 的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流霍尔元件置于磁感应强度为，则与这二者相垂直的方向上将产生霍尔电势差

H U B I K U H ??= （5）

K I （5）式中为元件的霍尔灵敏度。如果保持霍尔元件的电流不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中移动时，则输出的霍尔电势差变化量为

H dB

U K I dZ

Δ=??

?ΔZ （6） dB

dZ

Z H U ΔZ ΔΔ为位移量，此式说明若

为常数时，与成正比。 （6）式中为实现均匀梯度的磁场，可以如图4所示，两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面磁感应强度相同）相对放置，即极与

极相对，两磁铁之间留一等间距间隙，

霍尔元件平行于磁铁放在该间隙的中轴上。间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应影响，提高测量精确度。

N N 若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强

度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该为零。当霍尔元件偏离中心沿图4

Z 轴发生位移时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出，其大小可以用数字电压表测量。由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。

mm 2<霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（），这一对应关系具有良好的线性。

2.杨氏模量

任何固体在外力作用下都会发生形变，同外力与形变相关的两个物理量应力与应变之间的关系一般较为复杂。由胡克定律可知，在弹性限度内，应力与应变成正比，比例系数 称为杨氏

Y

模量；杨氏模量描述材料抵抗弹性形变能力的大小，与材料的结构、化学成分及制造方法有关。杨氏模量是工程技术中常用的力学参数，杨氏模量描述材料抵抗弹性形变能力的大小，与材料的结构、化学成分及制造方法有关。本实验是在弯曲法测量固体材料杨氏模量的基础上，加装霍尔位置传感器而成的。设有效长度为

d ，厚度为a ，宽为b 的均匀矩形梁，置在一对平行的刀口上，在矩形梁的中点竖直向下作用一个力F 如图5所示，在弹性限度

内，梁中点下垂量图5

1-铜刀口上的基线 2-读数显微镜 3-刀口 4-横梁 5-铜杠杆（顶端装有95A 型集成霍尔传感器） 6-磁铁盒 7-磁铁（N 极相对放置） 8-调节架 9-砝码

z Δz Δ<

（挠度），在334d Mg

Y a b Z

?=??Δ (7)

杨氏模量测定仪主体装置如图5所示,在横梁弯曲的情况下，杨氏模量Y 可以用(7)式表示,其中：为两刀口之间的距离，M d 为所加砝码的质量，为梁的厚度，b 为梁的宽度，a g Z Δ为重力加速度。

为梁中心由于外力作用而下降的距离，上面公式的具体推导见附录。

三、 实验仪器

1.霍尔位置传感器测杨氏模量装置一台（底座固定箱、读数显微镜、95型集成霍尔位置传感器、磁铁两块等）；样品（铜板和冷扎板）；

2.霍尔位置传感器输出信号测量仪一台（包括直流数字电压表）。 仪器技术指标： （1）读数显微镜

10JC ? 型号 型

放大倍数 20 分度值

0.01mm

06mm ～

测量范围 （2）砝码 砝码8块、砝码2块 g 0.10g 0.20（3）三位半数字面板表 mV 2000～（4）测量仪放大倍数 3---5倍

四、实验内容和步骤

1.将横梁穿在砝码铜刀口内，安放在两立柱刀口的正中央位置。接着装上铜杠杆，将有传感器一端插入两立柱刀口中间，该杠杆中间的铜刀口放在刀座上。圆柱型拖尖应在砝码刀口的小圆洞内，传感器若不在磁铁中间，可以松弛固定螺丝使磁铁上下移动，或者用调节架上的套筒螺母旋动使磁铁上下微动，再固定之。注意杠杆上霍尔传感器的水平位置（圆柱体有固定螺丝）；

2.将铜杠杆上的三眼插座插在立柱的三眼插针上，用仪器电缆一端连接测量仪器，另一端插在立柱另外三眼插针上；接通电源，调节磁铁或仪器上调零电位器使在初始负载的条件下仪器指示处于零值。大约预热十分钟左右，指示值即可稳定；

3.调节读数显微镜目镜，直到眼睛观察镜内的十字线和数字清晰，然后移动读数显微镜使通过其能够清楚看到铜刀口上的基线，再转动读数旋纽使刀口点的基线与读数显微镜内十字刻线吻合，消除视差；

0Z ；

4.从读数显微镜中读出初始位置Z

5.在砝码托盘上加一个砝码记下位置。这样顺次增加20g 砝码，记下相应的位置（注意在改变砝码时，不要让砝码盘歪斜）；

6.用直尺测量横梁的长度，游标卡尺测其宽度，千分尺测其厚度。

d b a 五、实验数据及处理

1. 霍尔位置传感器的定标

进行测量之前，按上述安装要求，检查杠杆的水平、刀口的垂直、挂砝码的刀口处于梁中间，要防止外加风的影响，杠杆安放在磁铁的中间，注意不要与金属外壳接触，一切正常后加砝码，使梁弯曲产生位移Z Δ；精确测量传感器信号输出端的数值与固定砝码架的位置Z 的关系，也就是用读数显微镜对传感器输出量进行定标，测量数据按表1记录；作出U 图。 Z ?

表1 霍尔位置传感器静态特性测量

/M g

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00

mm Z / mV U /

2. 杨氏模量的测量

利用已标定的数值，测出黄铜样品在重物作用下的位移，测量数据记入表2： 用逐差法对表2数据算出样品在的作用下产生的位移量g M 00.60=Z Δ。

表2 黄铜样品的位移测量

/M g

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00

mm Z /

3. 计算Y 值

（a）将d 、a 、b、Z ΔY Y Y Δ±=代入公式（3）求出Y ，并表示成的形式。 （b）用作图的方法求出Y 的数值。

Z ΔZ Δ为横坐标，以F=Mg 为纵坐标，作F ～使用坐标纸，以图，应为一直线，其斜率为

3

3

4d Yba k = （4）

从图上求出k ，则

3

3

4ba

kd Y = (5) 六、注意事项

1.梁的厚度必须测准确。在用千分尺测量黄铜厚度a 时，将千分尺旋转时，当将要与金属接触时，必须用微调轮。当听到答答答三声时，停止旋转。有个别学生实验误差较大，其原因是千分尺使用不当，将黄铜梁厚度测得偏小；

2.读数显微镜的准丝对准铜挂件（有刀口）的标志刻度线时，注意要区别是黄铜梁的边沿，还是标志线；

3.霍尔位置传感器定标前，应先将霍尔传感器调整到零输出位置，这时可调节电磁铁盒下的升降杆上的旋钮，达到零输出的目的，另外，应使霍尔位置传感器的探头处于两块磁铁的正中间稍偏下的位置，这样测量数据更可靠一些；

4.加砝码时，应该轻拿轻放，尽量减小砝码架的晃动，这样可以使电压值在较短的时间内达到稳定值，节省了实验时间；

5.实验开始前，必须检查横梁是否有弯曲，如有，应矫正。

七、思考题

1.弯曲法测量杨氏模量，主要测量误差有哪些？请估算各因素的不确定度．

2.用霍尔位置传感器法测位移有哪些优点？

附录：

固体、液体及气体在受外力作用时，形状与体积会发生或大或小的改变，这统称为形变。当外力不太大，因而引起的形变也不太大时，撤掉外力，形变就会消失，这种形变称之为弹性形变。弹性形变分为长变、切变和体变三种。

一段固体棒，在其两端沿轴方向施加大小相等、方向相反的外力，其长度l 发生改变，以表示横截面面积，称F F S l

l

Δl ΔS 为应力，相对长变为应变。在弹性限度内，根据胡克定律有：

F l Y S l

Δ=? Y 称为杨氏模量，其数值与材料性质有关。 33

4d Mg

Y a b Z

?=??Δ； 以下具体推导式子： 在横梁发生微小弯曲时，梁中存在一个中性面，面上部分发生压缩，面下部分发生拉伸，

整体说来，可以理解横梁发生长变，可以用杨氏模量来描写材料的性质。

如图所示，虚线表示弯曲梁的中性面，易知其既不拉伸也不压缩，取弯曲梁长为的一小段：设其曲率半径为，所对应的张角为dx )(x R y θd ，再取中性面上部距为厚为的一层面为研究对象，那么，梁弯曲后其长变为dy θd y x R ??))((，所以，变化量为：

(())R x y d dx θ???

()

dx

d R x θ=

； 又 (())(())()()

dx y

R x y d dx R x y dx dx R x R x θ???=??=?

所以 ； ()

y R x ε=?

()dF y

Y dS R x =?所以应变为： ； 根据胡克定律有： ；

()()

Y b y

dF x dy R x ??=?又 ； 所以 dS b dy =?； 2

()()

Y b d x dF y y dy R x μ?=?=

?对中性面的转矩为： ；

3

222

()()12()a a Y b Y b a x y dy R x R x μ????=?=?∫积分得： ； （a） 3

22

1

()

()

1()y x R x y x ′′=′??+??

；

对梁上各点，有：

()0y x ′=因梁的弯曲微小： ； 1

()()

R x y x =

′′所以有： ； （b） 2

Mg

x x 梁平衡时，梁在处的转矩应与梁右端支撑力对处的力矩平衡， ()()22

Mg d

x x μ=?所以有： ； （c） 根据（a）、（b）、（c）式可以得到：

3

6()()2

Mg d

y x x Y b a ′′=

???； (0)0y ′=(0)0y =；； 据所讨论问题的性质有边界条件； 解上面的微分方程得到：

23

331()();23

Mg d y x x x Y b a =

???

33

4Mg d y Y b a ?=

??2d

x =y 代入上式，得右端点的值：； 将又 ；

y Z =Δ33

4d Mg

Y a b Z

?=??Δ 所以，杨氏模量为：