中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C

测试题C （陶终生供题）

学校

姓名

营员证号

一、四面体ABCD ，它的内切球O 与面ABD 切于E ，与面BCD 切于F ，

证明：∠AEB=∠CFD.

二、如图，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3分别外切⊙O 于A 1、B 1、C 1，同时前三个圆还分别与△ABC 的两条边相切.

求证：三条直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点.

三、设实数a ≥b ≥c ≥d ＞0，求函数

)1)(1)(1)(1(),,,(a

d b

d c a c b d b a c d c b a f ++++++++

=的最小值.

四、n 个白子○A 与n 个黑子○B （n ≥3），依次不留间隙地排成一行：○

A ○A ……○A ○

B ○B ……○B ，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.

证明：通过n 次如此的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙. （附：当n=3时，操作如图所示） 初始状态 ○A ○A ○A ○B ○B ○B 第一次操作后

○

A ○

B ○B ○B ○A ○A 第二次操作后 ○A ○B ○B ○A ○B ○A 第三次操作后

○B ○A ○B ○A ○B ○A

测试题C 解答 （陶终生供题）

学校

姓名

营员证号

一、四面体ABCD ，它的内切球O 与面ABD 切于E ，与面

BCD 切于F ，

证明：∠AEB=∠CFD.

证明：为叙述方便，将内切球

O 在面

,,,BCD ACD ABD ABC 上的切点分别改记为0000,,,A B C D ，因此，00,E C F A ==，设球O 的半径为r ,

棱BD ⊥面00OA C ，设垂足为P ，则

000C P A P C P ===， 因为 00,A P BD C P BD ⊥⊥， 则 00,BA BC =

00DA DC =，故0BA D 0BC D ?，因此 00BA D BC D ∠=∠，即是说，棱BD 关于两相

邻面上切点的张角相等.其它棱的情形与此类似。

在ABD 中，设000,,AC B BC D AC D αβγ∠=∠=∠=，则 0

360αβγ++=○

1 因此，000,,AD B BA C AB D αβγ∠=∠=∠=

在BCD 中，设0101,CA D BA C αγ∠=∠=，因为 0BA D β∠=，因此

11360αβγ++=，因此 11αγαγ

+=+○

2 在ABC 中，00,AD B AC B α∠=∠=001BD C BA C γ∠=∠=，设 02AD C β∠=，

则 0

21360

αβγ++=○

3 在ACD 中，02AB C β∠=，010,,CB D AB D αγ∠=∠=

则 0

12360

αβγ++=○

4 ○

3+○4得，()()0

1122720αγαγβ++++=，据此及○2得， ()0222720αγβ++=，因此 0

2360αγβ++=○

5 由 ○1、○5得，2ββ= 故○4式化为 01360αβγ++=……○6

由 ○1、○6得，1αα=，即 00AC B CA D ∠=∠，也即

.AEB CFD ∠=∠

二、如图，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3分别外切⊙O 于A 1、

B 1、

C 1，同时前三个圆还分别与△ABC 的两条边相切.

求证：三条直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点.

证明：设123,,,O O O 及O 分别是四个圆的圆心，其半径分别为123,,R R R 与

R ，ABC 的内切圆半径

为r ，明显，123,,AO BO CO 为ABC 的三条内角平分线，故相交于其内心I .设OI d =（定值）.

记123,

,AI BI CI ρρρ===，112233,,AO t BO t CO t ===，关于1OIO ，因为⊙O 与

1O 的切点1A 在连心线1OO 上，点A 在1IO 的延长线上，则直线1AA 必与线段

OI 相交，其交点设为1M .

同理可设，直线 1213,BB OI M CC OI M ==.只须证123,,M M M 重合. 直线1AA 截1OIO 于11,,A A M ，由梅尼劳斯

定理，111111

1O A OM IA

A O M I AO ?

?=， 即

11111

R M I R t OM ρ?=

○

1 同理有

22222

R M I R t OM ρ?=

○

2 ,以及 33333

R M I R t OM ρ?=

○

3 易知

,1,2,3i i

i R r

i t ρ=

=，因此 ,1,2,3i i i R r

i R t R

ρ?==?，从而 312123M I M I M I r OM OM OM R ===，故 123OI OI OI R r OM OM OM R

+===，因此， B

123Rd

OM OM OM R r

===

+，因此123,,M M M 共点，即111,,AA BB CC 交于一点.

三、设实数a ≥b ≥c ≥d ＞0，求函数

)1)(1)(1)(1(),,,(a

d b d c a c b d b a c d c b a f ++++++++

=的最小值. 解：明显f 没有上界，这是由于，当1,0a b c d ==+→时，f →+∞，

又注意f 是一个零次齐次函数，且当a b c d ===时，f 的值为4

32??

???

以下证明，关于满足条件的任何正数,,,,a b c d 均有()4

3,,,2f a b c d ??

≥ ???，即要证

3333a b c b c d c d a d a b ++++++++???≥2222

a b b c c d d a

++++???

……○1 据条件，1,a b c d d d ≥≥≥设 16,16,16,a b c

x y z d d d

=+=+=+

则 0,x y z ≥≥≥○

1式化为：

()()()()12121212x y z y z z x x y +++++++++????????????????≥

()()[][]13131313x y y z z x ++++++????????……○2 活化一个常量，改记1为t ，且设

()()()()()2222t t x y z t y z t z x t x y ?=+++++++++???????????????? ()()()[][]3333t t x y t y z t z t x ψ=++++++????????

则

()(),t t ?ψ皆为t 的四次多项式，而 ()()()p t t t ?ψ=-为t 的二次多项式.

记 ()2

,p t At Bt C =++

为证○

2式成立，即要证，()10,p ≥因此只要证，0A ≥，0B ≥，0C ≥.

易知，()()()()()()()2

8444A x y z x y y z y z z x z x x y ??=+++++++++++??

-

-()()()()()()9999x y y z y z z x z x x y xz +++++++++????()222

3x y z =+++

8xy yz xz ++-()2232770x z xz xz ≥+-≥-≥.

()()()()()()()()()()

{}

88B x y z x y y z y z z x z x x y x y y z z x =++++++++++++++????

()()()()27272x y y z z x xz x z y -++++++????()()8x x y x z =+++

()()()()88y y x y z z z x z y ++++++()()()()5272x y y z z x xz x z y ++++-++= ()()3332222813x y z x y xy y z yz =++++++-()2214200x z xz xyz +-≥.

以上用到，()

333272120x y z xyz xyz xz ++≥≥+，32

x x z ≥，以及

()()22221313x y xy x z xz +≥+.

()()()()16810c x y y z x z x y z xz =+++++-≥????.

以上用到，()()()()1616216222x z x y z x z x z xz xz +++≥++≥=.

81xz =≥.

故()10p ≥.因此，函数(),,,f a b c d 的最小值是4

32?? ???

.

四、n 个白子○A 与n 个黑子○B （n ≥3），依次不留间隙地排成一行：○

A ○A ……○A ○

B ○B ……○B ，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空

位上（仍在同一行）.

证明：通过n 次如此的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙. （附：当n=3时，操作如图所示） 初始状态 ○A ○A ○A ○B ○B ○B 第一次操作后

○

A ○

B ○B ○B ○A ○A 第二次操作后 ○A ○B ○B ○A ○B ○A

第三次操作后

○B ○A ○B ○A ○B ○A

证 ：当n 4≥时，对n 归纳：

4n =时， 初始状态为： ○

A ○A ○A ○A ○

B ○B ○B ○B 第一次操作后： ○A ○A ○B ○B ○B ○B ○A ○A 第二次操作后： ○A ○B ○B ○A ○B ○B ○A ○A

第三次操作后： ○A ○B ○B ○A ○B ○A ○B ○A 第四次操作后： ○B ○A ○B ○A ○B ○A ○B ○A

为表达方便，用数字k 表示“将自左向右数的第,1k k +枚棋子取出，跨过某些棋子向右平移至最先显现的空位上”这一操作；而数字k -表示“将自右向左数的第,1k k +枚棋子取出，跨过某些棋子向左平移至最先显现的空位上”这一操作；因此，施于n 对棋子的操作步骤n T 便可用一个n 元有序数组()12,,

,n n T a a a =来表示.

因此，()()()3451,4,1,2,5,2,1,2,5,4,2,1T T T ==--=--，()62,9,4,6,2,1T =---，

()72,7,6,5,5,2,1T =---，…….

我们注意到，在4567,,,T T T T 中，都恰有一次操作“1”，即当全部操作完成后，棋子已黑白相间排列（以黑子○B 开头），且整行向右移动了两子的位置.

以下证明，当4n ≥时，n 个相连的白子和n 个相连的黑子排成一行，可经n 次移动两子的操作，使黑白相间（以黑子○B 开头），且整行向右移动了两子的位置.

对n 归纳：当n 4,5,6,7=时，结论已成立，今设结论关于n 成立，考虑n+4对棋子的情形，如有4n +对棋子黑白分段排列于一行（白子在前）： ○

A ○A ○A ○A □A …□A □

B …□B ○B ○B ○B ○B 为此，采纳“杠中开花”的方法，我们设想，先把中间加方框的n 对（2n 个）棋子收藏于一条“竖杠”中，成为四对棋子的一个排列：

○

A ○A ○A ○A ┃○

B ○B ○B ○B 现对这四对棋子进行4T 中的前两步操作：

第一次操作后： ○A ○A │○B ○B ○B ○B ○A ○A 第二次操作后： ○A ○B ○B ○A ┃ ○B ○B ○A ○A

经这两次操作后，中间（竖杠右侧）已显现两子空位，然后，对竖杠所代表n 对加方框的棋子进行n 次操作，据归纳假设，可使黑白相间（加方框的棋子中，黑子□B 在前，且其前面有两子空位）：

○A ○B ○B ○A □B □A □B □A …□B □A ○B ○B ○A ○A 这n 次操作算作4n T +的第3,4,

,2n +次操作。再把加方框的n 对棋子收藏于一条竖杠中，

又成为四对棋子的排列（竖杠左侧有两子空位）：

○

A ○

B ○B ○A ┃○B ○B ○A ○A ，对图中的四对棋子进行4T 的后两次操作，成为：

○A ○B ○B ○A ○B ○A │○B ○A

○B ○A ○B ○A │○B ○A ○B ○A

即得到黑白间隔排列（黑子在前，竖杠左侧的两子空位已被填充，整行无间隙.） 现复原竖杠所代表n 对加方框的棋子，因此，上述两次操作就成为4n T +的第3,4n n ++次操作。且这4n +对棋子已黑白相间（黑子在前，整行无间隙,且右移了两子空位）. ○

B ○A □B □A □B □A …□B □A ○B ○A ○B ○A ○B ○A 据归纳法，知所证结论成立。