2020士兵考军校数学考试模拟试卷 军考资料

部队高中士兵考军校数学模拟试卷

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解答题（18、19题，每题11分；20-24题，每题12分；共82分）

18.解方程：lg(x ＋1)＋lg(x －2)＝lg4.

19.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos 2cos cos A C B -＝2c a b

-. （1）求sin sin C A

的值； （2）若cos B ＝14

，b ＝2，求△ABC 的面积S .

20.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.

（1）求{a n }的通项公式；

（2）设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .

21.小李到某地在路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯

的概率都是13

，遇到红灯时停留的时间都是2秒. （1）求小李在路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（2）小李在路上因遇到红灯停留的总时间至多是4秒的概率.

22.已知函数32()10f x x ax =-+，

（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；

（2）在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围.

23.如下图所示，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，点C 在AB 上，且∠CAB ＝30，D 为AC 的中点.

（1）证明：AC ⊥平面POD ；

（2）求直线OC 和平面P AC 所成角的正弦值.

24. P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b

2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、

右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15

. （1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为l的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值.