不定积分解法汇总
1、 换元积分法
1.1、第一换元法（凑微分法）
令)(x u u =，若已知?+=C x F dx x f )()(，则有[][]C x F dx x x f +='?)()()(??? 其中)(x ?是可微函数，C 是任意常数。
（1）a b ax d a
b x d dx )((1
)(+=+=、)0≠，a b 为常数 具体应用为
?
?++=+)()(1)(b ax d b ax a
dx b ax m
m
=???????+++++?+C b ax a
C m b ax a m ln 11)(11
)1()1(-=-≠m m
（2）)(111b x d a dx x a a ++=
+)()1(1
1b ax d a
a a ++=+ a (、
b 、a 均为常数，且)1,0-≠≠a a 。
例如：x d dx x
x x d dx x dx xdx 21
),
(32,212=== （3）)ln (1
ln 1b x a d a
x d dx x +==b a ,(为常数，)0≠a
（4）,0(ln )
(,>=
=a a
a d dx a de dx e x x
x
x
且)1≠a ； （5）);(sin cos ),(cos sin x d xdx x d xdx =-=
（6）)cot (csc ),(tan sec 22x d xdx x d xdx -== （7）x sin d dx x 2sin 2=
（8）
)(arctan 112x d dx x =+)(arcsin 11
2x d dx x =-
（9）
2
2
x 1d dx x -1x --=，
22
x 1d dx x 1x +=+
在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求
?+dx x x f 211)(arctan 时，应将dx x dx 21+凑成x d arctan ；求dx x
x arc f ?+211
)cot (时，应将dx x 211+凑成x darc cot -；而求dx x x ?+2
12时，211
x +就不能照搬上述两种凑法，应将xdx 2凑成2dx ，即)1(222x d dx xdx +==。
1、
?
?--=+2
23x )
(25dx 9x -2x 11dx 31-
=c 5
3x
2sin arc +- 2、c 1tanx 21)d(tanx 1
tan x 1
1tan x x sec 2++=++=+?
?
3、x arcsin d x arcsin dx x 1x arcsin 42
4??
=-
C x arcsin 5
15+=
4、??++=+)1e (d )1e sin(dx )1e sin(e x x x x
C )1e cos(x ++-=
5、??
=x d x cos 2ds x
x
cos C x sin 2+=
6、x d x 1x
arctan 2dx x
)x 1(x arctan ??
+=+
?=x arctan d x arctan 2
C x arctan
2
+=
7、dx e 1e e 1dx e 11x x
x x ??+-+=+ ?+-=dx e 1e 1x x
()?++-=x
x e
1e 1d x
()C e 1ln x x ++-=
8、
???+-+=+-)4e (e de 4e de dx 4e 1e x 2x x
x 2x x 2x
x x 2x
x x de 4e e e 1412e arctan 21???
? ??+--= C )4e ln(8
1
4x 2e arctan 21x 2x +++-=
9、??++=++dx 3sinx
x 3cosx 3x 31dx 3sinx x cosx x 32
32 ()?++=++=C 3sinx x ln 3
13sinx x x sin 3x d 31333 解：
()()??=+xlnx d e dx lnx 1x xlnx x
C x C e x xlnx +=+=
10、解：?
?=x lnsinxdtan dx x
cos lnsinx
2
?-=dx sinx
cosx tanx tanxlnsinx
C x tanxlnsinx +-=
11、
??--=dtanx tanxe dx e x cos sinx tanx
tanx 3
?--=tanx tanxde
?--+-=dtanx e tanxe tanx tanx
C e tanx e tanx tanx +--=--
1.2、第二换元法：
令)(t x ?=，常用于被积函数含22x a ±或22a x -等形式。
,
1
:
2也奏效，有时倒代换当被积函数含有，则令被积函数中出现
更复杂的例如t
x c bx ax x t d
cx b
ax d cx b ax m n n =++?=++++
1112-==++t e t
e e x x x ，则令被积函数中出现。
注：上述代换的本质是去掉被积函数中的根号
1、被积函数中含一般根式
（1）?
++32
x 1dx
解：令
dt t 3dx 2t x t 2x 233
=-==+
原式??++-=+=dt )t
111t (3dt t 1t 32 ()
C 2x 1ln 32x 3
2x 2
33
3
3
2
+++++-+=
（2）、
?
+dx x x 132
令
dt t 6dx t x 56==
原式???++-=+=+=dt )t
111t (6dt t 1t 6dt t t t 62
435
C t 1ln t 2t 62+??
?
??++-= C x 1ln 6x 6
x 3
6
6
3
+++-=
c
x dt t dt
t
t dt t t t dt t t t t
x x x dx
+-=--=--=--=??
?
??-?-?=
--?????
66
12125126212
12arcsin 6
1
116111111
111
1
)1(2、利用倒代换：
（2）
?
-dx x
x 4
21
解. 令t
x 1=
???
--=??
? ??--=-dt t t dt t t t t dx x x 224
224
211111
u t sin =令?-udu u 2
cos sin =c x x c u +-=+3
323
3)1(cos 31
（3）
?
+)
1(8x x dx
解. 方法一: 令t
x 1
=,
c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=??
?
??+-
=+???
)1ln(8111111
)1(8
8782
8 = c x +??
? ??+-
811ln 81 方法二:
???
+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()
1()1(8878878
=c x x x x d x dx ++-=++-??)1ln(81||ln 1)1(818
88=c x +??
? ??+-811ln 81 3（1）?
-dx x dx 2
3
2)
1( （2）?
-9
2
2
x x
dx
（3）?+dx x x 2
123
)1( （4）?-2
x
x dx
解
（1）因被积表达式含有21x -，故设)2
2
(sin π
π
<
<-
=t t x ，则tdt dx cos =，
t t x 32
32
2
32cos )sin 1()1(=-=-
于是 dt t dt t
t x dx ?
??
==-232
2cos 1
cos cos )
1( 由,sin t x =可知21cos x t -=，21cos sin tan x x
t t t -=
=
，所以 C x
x x dx +-=
-?
2
2
3
21)
1(
（2）为了去掉根式92-x 设)2
0(sec 3π
<
<=t t x ，则
tdt t dx tan sec 3=
t x tan 31sec 3922=-=-
于是 dt t
t t
t x x dx ?
?
??=-tan 3sec 9tan sec 39
222
??+===
C t tdt dt t sin 9
1
cos 91sec 191
由,sec 3t x =得x
t 3
cos =，x
x t t 9
cos 1sin 22-=
-=，所以 C x
x x x
dx
+-=
-?99
9
22
2
（3）为了去掉2
12)1(x +，设)2
2
(tan π
π
<
<-
=t t x ，则tdt dx 2sec =
t t x sec )tan 1()1(2
12
2
12=+=+
于是 ????=??=+tdt t tdt t t dx x x 33232
123
sec tan sec sec tan )1(
??--=?=t
t d t dt t t 62333cos )
cos ()cos 1(cos 1cos sin t d t t cos )cos 1
cos 1(46?+-
= C t t +-=--35cos 3
1
cos 51 由,tan t x =可知,1cos 1
,
11cos 22
x t
x t +=+=
于是 ?++-+=+C x x dx x x 2
3
225
22
1
23
)1(3
1)1(51)1( 小结 从上面例子看出,进行三角换元后，得到的积分结果一般都是关于t 的三角函数式，用x 还原t 时，可以引进三角函数式或反三角函数的运算，也可以用“三角形法”进行还原计算，如图的常用的三种三角代换类型简图，根据简图，则很容易计算出其它的三角函数式。
例如图（2），设,tan t a x =则可设直角三角形角t 的对边长为x ，邻边长为a ，故斜长为22x a +，从图中看出2
2
2
2
cos ,sin x
a a t x
a x t +=
+=。
（4）方法一：用第二换元积分法 由于
2222)2
1
()21()41(41--=+--=
-x x x x x ， 设,2
1
-=x t 则,dt dx =于是
C t t dt x
x dx +=-=-?
?
2arcsin )2
1
(222
将2
1
-
=x t 代回，因此 C x x x dx
+-=-?
)21
(2arcsin 2
方法二：用凑微分法
?
?
?
-=-=-x
x d x x dx x x dx 1)
2(12
C x x x d +=-=?
arcsin 2)
(122
那么方法一和方法二的结果是否一致呢？检验如下：
[]2
2
442)
12(1)12()12arcsin(x
x x x C x -=
--'-=
'+-
2
1x
x -=
[]
x
x
x x C x -?
?=-'?='+11
2121)(2arcsin 2 2
111
x
x x
x -=
-=
3、?
++5
8162
x x dx
分析：对于被积函数含有
c bx ax ++2的积分,一般不能做代换
C bx ax t ++=2，而应将C bx ax ++2配平方，然后作变量代换，归结为含
22x a ±、22a x -的积分后再用第二换元法求解。
解 由于4)14(581622++=++x x x
设14+=x t ，则,4
1
,414141dt dx t t x =--=于是
??
?
+=+=++4
41441
5
816222
t dt t dt
x x dx
根据材料上的补充公式（8），再将14+=x t 代回，所以
原积分C t t +++=4ln 4
1
2
C x x x +++++=
581614ln 4
1
2 4、（1）?+dx 1e x
（2）、?
+x
e
dx 1
分析：1112-==++t e t e e x x x ，则令被积函数中出现。
（1）解：令 1t e t
1e 2x x
-==+
dt 1
t t
2dx )
1t ln(x 2
2-=
-= 原式 ????
? ?
?
-+
=-?=dt 1t 112dt 1
t t 2t 2
2
C 1
t 1
t ln
t 2++-+= C )11e ln()11e ln(1e 2x x x +++--+++=
（2）解：设x e t +=1，则,12-=t e x ,1
2),1ln(2
2dt t t
dx t x -=
-=于是 dt t dt t t t e dx
x
???
-=-?=+12121122 C e e C t t x x +++-+=++-?=1
11
1ln 11ln
212 C e n x x +++-=1121
5、?
+dx x
x x
ln 1ln （多重换元）
解：设,ln x t =则dt x d dx x
==ln 1
，于是
??+=+dt t t
dx x x x 1ln 1ln
再设t u +=1，则udu ，dt u t 2,12=-=
原积分C u u udu u u +-=?-=?)3
1
(22132
将,1t u +=x t ln =即x u ln 1+=代回，于是
?++-+=+C x x dx x x x ln 12)ln 1(3
2
ln 1ln 23
2、分部积分法
设)(),(x x u u υυ==是可微函数，且)()(x x u υ?'或)()(x x u υ'?有原函数，则有分部积分公式：
??'?-?='?dx x u x x x u dx x x u )()()()()()(υυυ
或 ??-=du u ud υυυ
当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成?'dx u υ或
?υud 的形式，这一步类似于凑微分，然后应用分部积分公式?'-du u υυ，或
?'-dx u u υυ，再计算?'dx u υ，即得到积分结果。显然，用分部积分法计算不定积
分时，关键是如何恰当地选择谁做u 和υ'的原则是：①根据υ'容易求出υ；②?'dx u υ要比原积分?'dx u υ容易计算，实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其u 和υ'的选择规律，
（1），)(x p x 表示n 次多项式。
（2）表中的x e x x x arcsin ,,cos ,sin 等函数，不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数类型，例x sin ，表示对所有正弦函数)sin(b ax +均适用，而x e 表示对所有b ax e +均适用，其它几个函数也如此。
（3）III 类积分中，也可选择x e u x sin ,='=υ（或x cos ），无论怎么样选择，都得到递推循环形式，再通过移项、整理才能得到积分结果。
（4）u 和υ'的选择规律可以简记为,相对容易求原函数的作为υ'，不好求原函数的作为u ，求原函数的由易到难为①x e x x ,cos ,sin ②)(x p x ③
,arcsin x x arccos ,x arctan ,x ln 等等。
1、计算下列不定积分
（1）?+xdx x 2sin )2(2 （2）xdx x ln 1
3
?
（3）?xdx x 2sin （4）?xdx x arcsin 2
（5）?
dx x 2
)(arcsin （6）?+dx x
x x 221arctan 解 （1） ???+?=+xdx xdx x xdx x 2sin 22sin 2sin )2(22 ?-=x xdx x 2cos 2sin 2 对第一项用分部积分法求解
???+-=-=2
2222cos 2
12cos 21)2cos 21(2sin xdx x x x d x xdx x
??+-=+-=x xd x x xdx x x x 2sin 2
1
2cos 212cos 2cos 2122
?-+-=)2sin 2sin (21
2cos 212xdx x x x x
C x x x x x +++-=2cos 4
1
2sin 212cos 212
故 原积分 C x x x x x +-+-=2cos 4
1
2sin 212cos 212
（2）被积函数是x x ln 1
3，从形式上看υ'应选择31x
（否则选择x ln 将求不出υ）
即3
1
x =
'υ，所以 )21(123x
d dx x dx d -==
'=υυ 于是 ??
-=)
21(ln ln 23x xd dx x x dx x x x x d x x x 12121ln 21ln 212222?+--+-
=?? C x
x x +-=2241
ln 21 （3）被积函数含有x 2sin ，应先将x 2sin 降次，然后再计算。
????-=-?
=xdx x xdx dx x x xdx x 2cos 21
2122cos 1sin 2
??--=-=)2sin 2sin (41
412sin 414122xdx x x x x xd x C x x x x +--=2cos 8
1
2sin 41412 （4）设2,arcsin x x u ='=υ，则
)3
1(2x d dx x dx d =='=υυ
于是
dx x
x x x x xd xdx x ???+?-==23332
11
3arctan )3()3(arctan arctan ?+-+-=2331)(31arctan 31x x
x x x x ?+--=
dx x x x x x )1(31arctan 3123 C x x x x +++-=)1ln(6
1
61arctan 31223 （5）?dx x 2)(arcsin
()???-=dx x -11
sin x 2arc x sinx arc x 2
2
()?+=22x -1sinxd arc 2sinx arc x
()?
????
?-?-+=?dx x 11x -1-sinx arc x 12sinx arc x 2222
()C 2x -sinx arc x 12sinx arc x 22
+-+=
（6）??+-+=+xdx x
x dx x x x arctan 1111arctan 2
222
?+-=dx )x
1x arctan x (arctan 2
??-=x arctan xd arctan xdx arctan
22
)x (arctan 21
dx x 1x x arctan x -+-=?
c )x (arctan 2
1)x 1ln(21x arctan x 22+-+-=
下面举例如何综合运用换元方法及其他方法计算不定积分。 2、 计算下列不定积分
（1）?dx e x （2）?dx x )sin(ln
（3）?dx x x 2cos cos ln （4）dx x
x
x ?-?231arccos 解 （1）设x t =，则,2,2tdt dx t x ==于是
????-==?=)(222t d e te tde tdt e dx e
t t t t x
C e
x C e te x
t t +-=+-=)1(222
（2）设dx d x u ==υ),sin(ln ，则
??-=)sin(ln )sin(ln )sin(ln x xd x x dx x
??-=dx x
x x x x 1)cos(ln )sin(ln
?-=dx x x x )cos(ln )sin(ln
?+-=)cos(ln )cos(ln )sin(ln x xd x x x x []?--=dx x x x x )sin(ln )cos(ln )sin(ln
移项整理得
[]C x x x dx x +-=
?)cos(ln )sin(ln 2
1
)sin(ln （3）??
=)(tan )ln(cos cos )
ln(cos 2x d x dx x
x []?-?=)ln(cos tan )ln(cos tan x xd x x
dx x
x x x x ?-?
-=cos )
sin (tan )ln(cos tan dx x x x ?+=2tan )ln(cos tan ?-+=dx x x x )1(sec )ln(cos tan 2 C x x x x +-+=tan )ln(cos tan （4）dx x
x x ?
-?2
31arccos
解：观察被积函数，选取变换x t arccos =,则
=-=-=-???
tdt t dt t t t
t dx x x x 332
3cos )sin (sin cos 1arccos
C x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=
-+-=---=-=-????arccos 1)2(3
1
3291cos 91
cos 32sin sin 31cos )1sin 31
(sin sin 31)sin sin 31
(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332
3、不定积分中三角函数的处理
不定积分的计算中三角函数出现的次数较多，然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法，我们可以对被积函数进行适当的变形和转换。因此，我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。
3.1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。 被积函数?+dx x
x 2
2cos sin 1
上下同乘x sin 变形为 ()()
()
?
?+--=+x x x xd dx x x cos 1cos 1cos cos cos sin 12 令x u cos =，则为
()
()()()()()c
x x c x x
x du
u u u u u udu +-=+-+-+-=--+-+=+--
??2
sec 412tan ln 21cos 1cos 1ln 41cos 121)141
141121(112222
3.2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意1cos sin 22=+x x ，
1sec tan 22-=x x 及其他公式的使用。
()()c x x x x dx
x x dx x
x x x dx x x x x +??
? ??+--=
??
????+--=+-+=+???82tan ln 221cos sin 21)4/sin(2cos sin 21cos sin 1cos sin 21cos sin cos sin 12
ππ、 2、??-=dx x x xdx )1(sec tan tan 224
dx )1x (sec x tan xd tan 22??--=
C x x tan x tan 3
13
++-=
三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3.3. 函数的降次
①形如的cos sin ?xdx x n m 积分（m ，n 为非负整数） 当m 为奇数时，可令x u cos =，于是 (
)
???----=-=du u u
x xd x dx x x n m n
m n
m
2
1
2
1
1cos cos sin
cos sin ，
转化为多项式的积分
当n 为奇数时，可令x u sin =，于是 ()
???---=
=
du u u x xd x xdx x u m
n m
n
m
2
1
2
1
1sin cos
sin
cos sin ，
同样转化为多项式的积分。
当m ，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：
,
2
2cos 1cos ,22cos 1sin ,2sin 21
cos sin 22x
x x
x x x x +=-=
=
不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。
② 形如?xdx n tan 和?xdx n cot 的积分（n 为正整数） 令xdx u tan =，则u x arctan =，2
1u
du
dx +=
，从而 ??
+=
,1tan 2
du u
u xdx n
n
已转化成有理函数的积分。
类似地，?xdx n cot 可通过代换x u cot =转为成有理函数的积分。
③形如?xdx n sec 和?xdx m csc 的积分（n 为正整数） 当n 为偶数时，若令x u tan =，则2
1,arctan u
du
dx u x +=
=，于是 ()()
()
????-+=++=
+=
du u du u
u dx
x xdx n
n
n
n
1
222
2
22
2
111
1tan 1sec
已转化成多项式的积分。
类似地，?xdx n csc 可通过代换x u cot =转化成有理函数的积分。 当n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。
1、?dx x
2
sin 2
解：由于2cos 12sin 2x
x -=，所以
C x x dx x dx x +-=-=??sin 2121)cos 2121(2sin 2 2、???=xdx x x xdx x sin cos sin cos sin 2223
?--=)cos (cos )cos 1(22x d x x ??+-=x xd x xd cos cos cos cos 42
C x x ++-=53cos 5
1
cos 31
3、dx x xdx 3
6
)2
2cos 1(cos ??+=
?+++=
dx x x x )2cos 2cos 32cos 31(81
32 ??+++=xdx xdx x x 2cos 81
2cos 832sin 1638132
??++++=x xd dx x x x 2sin cos 161
)4cos 1(1632sin 163812
?-++++=x d x x x x x 2sin )2sin 1(161
4sin 6431632sin 163812 C x x x x x +-+++=2sin 481
2sin 1614sin 6432sin 1631653 C x x x x +-++=2sin 48
1
4sin 6432sin 411653 4、????-=-=xdx xdx dx x x xdx x 8cos 21
2cos 21)8cos 2(cos 215sin 3sin
C x x C x x +-=+?-?=8sin 16
1
2sin 418sin 81212sin 2121
3.4.当有x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。
()c
x x x x xdx x x x x xd x xdx x x dx x x xdx x +--=+-=-=
-=-?
=
?????2cos 8
1
2sin 41412sin 4
1
2sin 41412sin 41412cos 21
4122cos 1sin 22222
3.5、当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。使用万能代换2
tan
x
t =，
1、?
++x
x dx
cos sin 1；
解 设,2
tan u x
=则,arctan 2u x =于是
,122u du dx +=,11cos 2
2
u
u x +-=212sin u u x += 所以 du u
u u u u x
x dx
2
2
2
2
11
111212
cos sin 1+?
+-+++=++?
?
C u du u ++=+?1ln 11
C x
++=2
tan
1ln
()()
()
c x dt t dt t t dt
t t t dx x ++=++=++=+++=+??
??3
1
2tan 2arctan 322/14/31
1112
1221sin 212222
2、
4、有理函数积分法的总结
有理函数积分法主要分为两步：1.化有理假分式（分子次数不低于分母次数）为有理真分式； 2.化有理真分式为部分分式之和。有理假分式化为有理真分式的方法由我们已经掌握的代数学的方法可得，再将有理真分式化为部分分式之和求解。
①简单的有理真分式的拆分
()
c x x dx
x x x dx x
x ++-
=????
??+-=+??4434
1ln 4
1
ln 1111
②注意分子和分母在形式上的联系
(
)()
()()()()
c
x x c t t dt t t t t dt x t x x dx x x x dx ++-=++-=???
? ??+-=
+=+=+????3
3ln ln 33ln 3ln 3113
1
3337
77
7767 此类题目一般还有另外一种题型：
q
px x B
Ax +++2
()
c
x x dx x x x dx x x x +++=+++=+++??52ln 2
1
5
22
221521222
1、 (1) ?
+-+dx x x x 6
53
2
(2) dx x x x ?++-3
22
2
(3) ?-dx x x )
1(1
（4)?
--+dx 12
x x 1
x 2
解：
()()
3x 4x 1x 12x x 1x 2
+-+=--+ 3x B 4x A ++
-=
()()()()
3x 4x 4x B 3x A +--++=
()()1x 4x B 3x A +=-++
令 ,75A 4
x ==
令 7
2B 3
x =-=
∴
????
? ??++-=+++dx 3x 24x 571dx 53x x 1x 2
C 3x ln 7
2
4x ln 75+++-=
2、（1）?+dx x x 2
3
、（2）?++dx x x x 222
、 解 （1）由于28)8(233+-+=+x x x x 2
8)42)(2(2+-+-+=x x x x 2
8
422+-
+-=x x x 所以 ??+-+-=+dx x x x dx x x )2
8
42(223 C x x x x ++-+-=2ln 843
23
（2）由于分子含有x 的一次式，分母是x 的二次式，故可将分子凑成分母的导数，即
???++-++++=++22)2
2)22((21222222x x dx
x x x x d dx x x x
?++-++=1)1()22ln(212
2x dx
x x C x x x ++-++=)1arctan()22ln(2
1
2
5、善于利用x e ，因为其求导后不变。
()()()(
)
()()c xe
xe c
t
t
dt t t xe t xe d xe xe dx xe x e x e dx xe x x x
x
x x
x
x x x x x ++=++=+=+=++=++????1ln 1ln 111111111、 2、d e e x x x -+?=221()arctan 11()
x x x
x x e dx d e e C e e ==+++?? 3、?+-+dx e e e e x
x
x
x 1
243 解. ???+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e x
x x x x x x x x x x x x x )arctan(1
)()(11222243
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结 不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F' (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤M ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c ( a 定积分的应用 求平面图形的面积（曲线围成的面积） 直角坐标系下（含参数与不含参数） 极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式 S=R2θ/2)
不定积分解法总结
不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。 1 换元积分法 换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。 1.当出现 22x a ±，22a x -形式时，一般使用t a x sin ?=，t a x sec ?=， t a x tan ?=三种代换形式。 C x a x x a dx C t t t t a x x a dx +++=+++==+? ??222 22 2 ln tan sec ln sec tan 2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 C x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==???sin 2cos 2sin 2cos 2) cos cos (2sin 2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， c x dt t dt t t dt t t t dt t t t t x x x dx +- =--=--=--=??? ? ??-?-? = --? ????66 12 12 5 12 6 212 12arcsin 6 1 11 6 1 111 11 1 11 1 3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。 使用万能代换2 tan x t =，
一道非常难的不定积分题目的解法
求∫arcsinx * arccosx dx的不定积分 解题思路：反复运用换元，将arcsinx 换成sinx的形式，将arccox 换成cosx的形式，最终简化题目的难度！ 解题过程：第一步换元：将arccosx=t (xε[0,1]，tε[0,π/2])，从而得出cost=x.将∫arcsinxarccosx dx换成∫t arcsin(cost) d(cost)。接下来怎么解呢？ 先看看∫arcsinx dx=arcsinx *x- ∫xd(arcsinx) 从而简化题目的难度！那么你是否会产生一个想法，上面那条题目是否可以转化呢！ 于是∫t* arcsin(cost)* d(cost)= ∫ td(arcsin(cost)cost+sint)= t(arcsin(cost)cost+sint)- ∫(arcsin(cost)cost+sint)dt 从而求∫ arcsin(cost)cost dt 第二步换元：将arcsin(cost)=p ,从而 sinp=cost,t=arccos(sinp).最终∫arcsin(cost)cost dt=∫psinp d(arccos(sinp))= ∫p sinp *(-1/√ 1-(sinp)^2)*cosp dp=∫p sinp*(-1/cosp)*cosp dp=-∫psinp dp=∫p dcosp=pcosp-∫cosp dp=pcosp-sinp+c 第三步：总结出答案，表示成x的形式。 ∫arcsin(cost)cost dt= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-cost+c
∫(arcsin(cost)cost+sint)dt= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-cost-cost+c= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-2cost+c ∫arcsinxarccosx dx=arcsinx(√1-x^2)-2x+c 这条题目很难，但是换元转化的思想很重要！！！ 淮师 3/25/2010
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
2018考研高数重点复习定积分与不定积分定理总结
2018考研高数重点复习定积分与不定积 分定理总结 在暑期完成第一轮基础考点的复习之后，9月份开始需要对考研数学所考的定理定义进行必要的汇总。本文为同学们整理了高数部分的定积分与不定积分定理定义汇总。 ?不定积分 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x ∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 ●分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ?定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 ●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。 ●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx ≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a ?定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
浅谈无理函数不定积分的求解方法
浅谈无理函数不定积分的求解方法 摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。 本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。为无理函数不定积分的求解提供一种思路。 关键字：无理函数不定积分计算方法 Abstract:We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider. This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems. key words:irrational function indefinite integral method
学习不定积分的方法总结
学习不定积分的方法总结 定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系，其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。下面是的关于学习不定积分的方法总结的相关资料，欢迎阅读！ 一、不要过多关心为什么要学积分，尤其是手算求积分 不定积分的繁琐会令很多人望而生畏，累觉不爱后必然引出一个经典问题——我干嘛要爱它啊！离了它我照样活啊！ 其实很多专业为什么要学高等数学是一个足够专门写一本书的争议话题，我个人认为最需要想清楚的还是以下几条： （1）可交换的概念，有些问题的学习顺序是不可交换的，比如一个人脑子里一旦有了钱，他就很难再静下心来学数学了——最多对付着教教数学基础课，嗯。所以不要总想着为什么不能一边学金融一边用到什么数学补什么。 （2）比起二十年前，眼下的社会并不妨碍偏才怪才的发展，如果你喜欢唱歌，大可以去参加各种选秀，其实大部分自以为唱歌很好的同学充其量也就是个企业年终晚会主唱的水平，不然这年代你可能早就脱颖而出了，参考tfboys。如果你只是个普通大学生，那么积分对你将来的发展大概率会有用的。 （3）除去个别生在“教育世家”的同学之外，要明白你现在能密切接触到的人里最懂教育学的是你的大学老师们，你不信我们去信网上的所谓心灵鸡汤，你自己说你4842。
（4）虽然时代发展了，计算机技术可以代替很多人类劳动，但是不定积分是个特例。你可以不去用手算十位数乘法，可以不去用手算求平方根，可以不去用手算sin2是多少，因为这些你都大概知道可以怎么算，只是算起来麻烦所以交给了计算机（sin2虽然上大学以前不会算，但是现在起码有taylor公式）。 但是不定积分不同，你问一百个普通数学老师，会有九十九个不清楚计算机到底是怎么实现的不定积分，注意是不定积分，定积分怎么做还是会的。所以你连它大概怎么算出来的都不清楚，就敢用它的结果吗？（我好像听见了学生说“敢”的声音……） 所以说，还是不要讨论为什么要学积分这个话题，为什么要学积分，因为考试考，少废话。少说多干，行胜于言，“我不相信教育会是完全快乐的。” 二、要清楚积分相关的教学和考试要求 （1）一定要清楚，不可积（这里指不定积分）函数类是比可积的“多”很多的，可积的没有初等函数表示的是比有初等函数表示的“多”很多的，有初等函数表示但是不容易算出来的是比容易算出来的多很多的，容易算出来的是比我们考试会考的多很多的。这里的多是个什么概念，近似的理解成就是无理数比有理数“多”的那种多。所以放心，把教材上所有题目都刷一遍也不存在“运动过量”的问题。 （2）充分重视因式分解在学习方法上的借鉴意义。因式分解和不定积分都是比较自然的思维方向的运算的逆运算，所以没学之前应该都觉得是很神奇的东西。想不明白怎么学积分，不妨回忆下初中是
常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版
常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?
6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
不定积分技巧总结
不定积分技巧总结 作者:蔡浩然 题记题记：：不定积分不定积分，，是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础，，题型极多题型极多，，几乎是每一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律，，结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭感觉乱闯，，运气好运气好，，有时可以闯出来有时可以闯出来，，有很多时候是闯不出来候是闯不出来，，或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了。。为了在求不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有： ? ???????→????????+??? ?????→+→+∫∫∫x c a ac x c a d x c a ac dx x c a c dx c ax arctan 11 111111222即??? ? ????→ +∫x c a ac dx c ax arctan 1 1 2 【相乘开根作分母，前比后，开根作系数】 另外，[] x x x x dx tan sec ln tan sec 21 sec 3 ++=∫最好也可以记下来最好也可以记下来，，因为经常要用到因为经常要用到，，并且也不难记并且也不难记， ，括号里面是x sec 的原函数和导数之和。 一、一、三角函数篇 三角函数篇原则是：尽量凑微分，避免万能代换。
1.11.1、 、正余弦型1.1.11.1.1、分母二次带常数，分子不含一次项型 、分母二次带常数，分子不含一次项型∫ +dx x A 2 sin 1 或 dx x A x ∫ +2 2 sin cos 右式可通过变形，分离常数化为左式。而 ()→++→+→+∫∫∫ A x A x d dx x x A x dx x A 2 2222tan 1tan tan sec sec sin 1()C x A A A A +??? ?????++→ tan 1arctan 11 1.1.21.1.2、分母一次带常数，分子常数型 、分母一次带常数，分子常数型∫∫ ??→+dx x A x A dx x A 2 2sin sin sin 1()∫∫+?+?→dx x A x d dx x A A 2 222cos 1cos sin 特别的，当 1 =A 时，原式就可化为 ∫∫+→dx x x d dx x A 2 2cos cos cos 1.1.31.1.3、分母一次无常数，分子常数型 、分母一次无常数，分子常数型
不定积分解题方法及技巧总结
不定积分解题方法及技巧总 结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：
不定积分的解题方法与技巧
不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一． 直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二． 第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分 公式即可解决。 （3）当0
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
不定积分毕业论文开题报告
毕业论文开题报告 题目不定积分的求解办法与技巧 学生姓名学号 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(师范类)10级1班指导教师 20 14 年 3 月 10 日
下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!谢谢！！！ 你可以哭泣，但不要忘了奔跑 2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。 去北京的决定是突然而果决的，我在宿舍纠结了一天，然后在太阳逃离窗口的时候打电话告诉父母，我要到首都闯一闯。消息发出去之后，并没有预料之中的强烈反对，父亲只给我回了一个字：好。
就这样看似毫无忧虑的我，欣喜地踏上了北上的路。有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。 火车开动之后，我的心情变得更加复杂而紧张，甚至一度心生退意。人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。 旁座的姐姐见我一人，开始和我有一搭没一搭地聊起了天。几分钟后，我们竟如同许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。 我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。 那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。 高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。朋友极尽嘲笑，亲戚们也开始暴露自己毒舌的属性，父母当时并没有过多指责，因为他们正在跟自己的兄弟姐妹们为了祖母的遗产争得死去活来。那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。或是为了远离当时一片狼藉的场面，家境拮据的她，怀着可能被众叛亲离的勇气，报考了一个三本院校。 当她怀揣着自己暑假赚的6000块钱踏进学校的时候，她以为一切喧闹终将与自己隔绝。但是事实上，天真的想法只维系了几天，便不攻自破。专业老师并不看好这个寡言少语的孩子，因为在她看来，法律专业除了要掌握专业知识之外，利索的嘴皮子也是一名律师出人头地不可缺少的法宝，而这个孩子，显然并没有这方面的天赋。 糟糕的情况在不断地蔓延，那段时期，她如同造物者手中的失败品，什么都做不好，注意力像手中的沙子一般怎么握都握不住。课文理解不了，丧失阅读能力，法律条款、单词统统在跟她作对，连最简单的问题都会堵住她的嘴。考试更不用提了，考前总是睡不好觉，刚迈进考场全身就开始发抖，像个从来没有上过战场的士兵一样。 她一直溺在泪水中，从未上岸，深度抑郁，一度心生退学的想法。她深夜给母亲打去电话，想要获取安慰，家人说当初你自己做的决定，于是她只好自己硬撑着。为了防止自己再胡思乱想，她报了八门选修课，把自己的时间填得满满的。为了应付每科超过6000字的论
不定积分总结
不定积分
一、原函数 定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。 例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。 2 211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是 2 11x +的原函数。 原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。 注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。 设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。 注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数） 注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为?dx x f )(。 如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 C x F dx x f +=?)()(，（C 为任意常数）
x y o )(x F y = C x F y +=)( 三、不定积分的几何意义 不定积分的几何意义如图5—1所示： 图 5—1 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为 )(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由) (x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ． 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线． 四、不定积分的性质（线性性质） [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ()() kf x dx k f x dx =??k （ 为非零常数）
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结 不定积分知识点总结 不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F'(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积
3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m (b-a )≤∫abf(x)≤dx≤M (b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）(b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c (a 三一文库（https://www.360docs.net/doc/e817152543.html,）/总结 〔不定积分知识点总结〕 引导语：不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点，那么不定积分要怎么学好呢？接下来是小编为你带来收集整理的不定积分知识点总结，欢迎阅读！ ▲不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数 的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数 的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ▲定积分 1、定积分解决的典型问题 (1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设及分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则 ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤ ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分 值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点 ( ab )外连续，而在点的邻域内无界，如果两个广义积分∫af(x)dx与∫bf(x)dx 都收敛，则定义∫af(x)dx=∫bf(x)dx ,否则 (只要其中一不定积分知识点总结