2007年福建省高一数学竞赛试题

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福建省高一数学竞赛试题参考答案

2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】 C??。

3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。

的子集有∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（）211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。

在直线2ll。

在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。

过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。

与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。

aa bbP??????。

，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。

和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。

内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。

????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。

a b中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4【答案】 D图第4题于如图，作于，作，连结。

【解答】ABFO?OEOFABEF?1为正方体，知由，。

ABABCD?ABCDEF?面ABBA?EF1111111，。

2008年福建省高一数学竞赛试题

2008年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月18日上午8：30—11：00）一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1、已知集合2{|||4},{|650}A x x a B x x x =-<=-+>，若A B R ⋃=，则实数的取值范围是（）（A ）(,1)(5,)-∞⋃+∞ （B ）(,1][5,)-∞⋃+∞ （C ）（1，5）（D ）[1，5]2、下列四个数中最大的一个数是（）（A ）2(ln 2) （B ）ln(ln 2) （C ）（D ）ln 23、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°4、若不等式210x ax ++≥对一切[2,3]x ∈恒成立，则a 的最小值为（）（A ）– 2 （B ）0 （C ）103- （D ）52-5、两条直角边长分别是整数a 和b （其中b < 1000），斜边长是b + 1的直角三角形有（）（A ）20个（B ）21个（C ）22个（D ）43个二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）6、若关于x 的不等式2|23|2x ax a ++≤恰有唯一的解，则实数a 的值是。

7、已知函数()log )a f x bx =（0a >且1a ≠），给出下列四个命题：（1）当且仅当0b =时，()f x 为R 上的偶函数；（2）当1,12a b ==-时，()f x 为R 上的减函数；（3）当1a >时，()f x 为R 上的增函数；（4）若()f x 为R 上的递增的奇函数，则01,1a b <<=-或1,1a b >=。

其中正确命题的序号是。

（把你认为正确命题的序号都填上）8、已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对一切正数x 均有(3)3()f x f x =成立，且当13x ≤<时，()1|2|f x x =--，则(100)f = 。

2005年福建省高一数学竞赛试题

2005年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：5月15日上午8：30—11：00)答题时注意： 1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线.3.草稿纸不上交. 一、填空题(共10小题，每小题9分，满分90分)1.y=13-x +13+x 的最大值为a ，最小值为b ，则ab 等于 .2.已知实数b,c 满足b<2<c ，且函数442+-=x x y 当b ≤x ≤c时有最大值4c ，最小值b ，则b+c= .3.已知集合}{+∈<<=N x x x S ，101，对它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以k)1(-再求和(例如，A={2,3,8}，则可求得和为(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7),对S 的所有非空子集，这些和的总和为 .4.已知两个集合A=}{+∈+-==N m m y m x y x ，，23),(，B=}{+∈+-==N n n n a y n x y x ，，)1(),(2，若A ∩B ≠∅，则整数a 的值为 .5.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，并且对任意正实数x ，都有f(x)+2f(2005x )=3x ，则f(2)= .6.a,b,c 是正整数，且成等比数列，b-a 是一个完全平方数，log 6a+log 6b+log 6c=6，则a+b+c= .7.已知f(x)=x 2+6ax-a ，y=f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点(x 1，0),(x 2,0)且a (1+x 1)(1+x 2) -3(1-6a-x 1)(1-6a-x 2) =8a-3，则a 的值为 .8.若不等式5217112+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛x x ax ππ对-1≤a ≤1恒成立，则x 的取值范围是 .9.已知数列{a k }的通项a k =2k ，k=1，2，…，n ，则所有的a i a j (1≤i ≤j ≤n)的和为 .10.设n 为正整数，记1×2×…×n 为n !(例如1！=1，2！=1×2，5！=1×2×3×4×5)，若存在正整数a 2，a 3，a 4，a 5，a 6满足3136 =a 22！+a 33！ +a 44！ +a 55！ +a 66！，这里0≤a i <I ，i=2，3，4，5，6，则2625242322a a a a a ++++等于 .二、解答题(共4小题，每小题15分，满分60分)11.设a,b,c这三个质数成等差数列，公差为10，求出所有这样的a,b,c.12.设f(x)=ax 2+bx+c(a ，b ，c ∈R)，已知1)1(≤-f ，1)0(≤f 1)1(≤f ，求证：当x ∈[-1,1]时，45)(≤x f .13.在直角三角形ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点p ，连接PC ，PE ，PF ，FD.已知PC ⊥PF. 求证：(1)PF FD =PDDC(2)PE ∥BC.F BAC14.设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：(1)A的元素个数不小于3；(2)若a∈A，则a的所有正因数都属于A(3)若a∈A，b∈A，1<a<b，则1+ab∈A.请解答下面的问题：(1)证明：1，2，3，4，5都是集合A的元素(2)问：2005是否是集合A的元素？并说明理由。

福建省高一数学竞赛-参考答案

2014年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围为（）A ．(]1-∞，B ．(1)-∞，C ．(]01，D ．(]3-∞，【答案】 A【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。

0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。

由A B A ⋂=知，A B ⊆。

1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤。

∴ a 的取值范围为(]1-∞，。

2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（）A ．27 B ．27 C ．43π D ．163π 【答案】 A【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1222l R ππ⨯=，2l R =。

又2122S l ππ==圆锥测。

因此，2l =，1R =。

圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。

所以，其内切球半径123r ==，其体积343V π=⨯=。

3．函数y x = ）A ．⎡-⎣B ．2⎡-⎣C ．1⎡-⎣D ．⎡⎣【答案】 B【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。

∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2⎡-⎣。

4．给出下列命题：（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。

（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。

（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为3。

（4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。

其中正确的命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 C 【解答】（1）显然正确。

福州一中2007年高中招生(面向福州以外)综合素质测试数学试卷(含答案)

福州一中2007年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）注意：请将选择题、填空题的答案填写在答题卷的相应位置上。

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。

） 1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图，若图中“考”在正方体的“前面”，则这个正方体的“后面”是A ．祝B ．你C ．成D ．功 2.给出下列关系式：（1）235()a a -=-；（2）2124--=；（3）2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）20072008(0.5)22⨯=。

其中一定成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，直线l 交圆O 于B A 、两点，且将圆O 分成31∶两段。

若圆O 半径为2cm ，则OAB △的面积为A ．12cmB ．32cmC ．22cmD ．42cm4．已知3x =,0x =是关于x 的不等式342a x ax -<+的两个解，则a 的取值范围为A ．12a -≤≤B ．1a <-C ．12a -<<D ．2a >5．如图，在直角三角形ABC △中，090=∠C ，030BAC ∠=，1BC cm =。

将ABC△祝你考试成功第1题图第3题图沿直线l从左向右翻转3次，则点B 经过的路程等于 A ．136πcm B ．72πcm C ．43+cm D ．33+cm6.今年是福州一中建校190周年，现将正整数1，2，3，4，5，…按右表所示规律填入表格,则190在表格中的位置是A ．第1行，第19列B ．第20行，第1列C ．第19行，第1列D ．第1行，第20列二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

）7．如图，在等腰ABC △中，AB AC =， AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交另一腰AC 于点E ，若15EBC ∠=，则A ∠= ★★★★ 。

福建省高一数学竞赛试题

年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：月日上午：一：)、选择题(每小题分，共分).集合A = {x |x-1|<3 ,x^N }的子集有（）•个【答案】【解答】由x—1 <3，知—2<xc4，结合x^N , 得A = {0,1,2,3}•••A的子集有24=16个。

•若直线12与直线l i : y =2x -1关于直线y二x对称，则J与两坐标轴围成的三角形的面积为( )2 1 13 2 4【答案】【解答】在直线11 : y =2x-1取点A(0,-1)，则A0 ,1关于直线y二x的对称点A(-1,0)在直线12上。

又直线11与直线y = x的交点P(1,1)在直线121 1J过AG ,和P(1,两点，其方程为y”1 1• I2与坐标轴交于(-1,0)和(0 ,-)两点，J与坐标轴围成的三角形的面积为—。

2 4•给出下列四个判断：()若a , b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a , b都相交()对平面,-和直线1，若二」】，I」，则I// 。

()对平面:,和直线I，若I _ ：■ , 1 ，则：1。

()对直线11 , 12和平面［，若11 //〉，12 // 11，且12过平面〉内一点P，则12 ―其中正确的判断有(）•个•个•个•个【答案】【解答】()、()正确；()、()不止确。

对于()，设a // a，过a和b的平面为〉，则当点P在平面〉内，且不在直线b上时,找不到直线同时与a , b都相交•如图，已知正方体 ABCD , E 为CD 中点，则二面角E —AB , —B 的正切值为()• 2.2【答案】【解答】如图，作EF _ AB 于F ，作F0 _ AB ,于0 ,连结0E 由 ABCD -A 1B 1C 1D 1 为正方体，知 EF _ 面 ABB ,A ,， EF _ AB ,。

又 AB , _ OF 。

因此，AB , _ 面 OEF ，0E _ AB ,。

2010年福建省高一数学竞赛试题

2010年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月9日上午8:30—11:30）答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.一、选择题（每小题6分，共36分）1. 已知集合26{21,}x x A x x Z --=<∈，则集合A 的非空子集的个数为（）A. 6B. 7C.14D. 152. 直线:(21)(1)730l m x m y m +++--=被圆22:(2)(3)25C x y -++=截得的最短弦长为（）A. 5B. 5C. 3D. 33.若函数(3)320()10x a x a x f x a x -+-<⎧=⎨-≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（） A.3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.(1,3) C.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.若函数22()log (43)f x mx x m =-+-的值域为R,则实数m 的取值范围是（）A ．(,1)(4,)-∞⋃+∞ B. (4,)+∞ C. (0,4) D.[0,4]5.已知1111ABCD A B C D -为长方体，E 、F 分别为棱1AA 、1CC 的中点，则在空间中与直线11A D 、EF 、CD 都相交的直线（）A ．不存在 B. 有且仅有2条 C. 有且仅有3条 D. 有无数条6.已知定义在R 上的奇函数()f x 在区间[]0,2上是增函数，且函数()y f x =的图像关于直线2x =对称。

若方程() (0)f x a a =<在区间[]12,8-上有6个不同的实根123456 x x x x x x 、、、、、,则123456 =x x x x x x +++++（）A. -12B. 12C. -8D. 8二、填空题（每小题6分，共36分）7.若经过点(1,0)P -的直线与圆22:4230C x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距为_______________________________8.若0x >，且不等式211022nx x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭对一切正整数n 都成立，则x 的取值范围是_______________________________________9.已知点Q 为直线:23170l x y +-=上动点，点R 为y 轴正半轴上动点，点(2,0)P 为x 轴上定点，则PQR 周长的最小值为_____________________10.若圆222 (0)x y r r +=>上恰有三个不同的点到直线:34150l x y +-=的距离为2，则r 的值为_____________________________11.对于集合 M N 、,定义:{,}M N x x Mx N -=∈∉且。

高中数学竞赛数论部分

初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。

1．请看下面的例子：（1）证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。

(1894年首届匈牙利数学竞赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明2131n-是168的倍数。

②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ⋅⋅⋅？（1956年上海首届数学竞赛第一题）（3）证明：3231122nn n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。

（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4）证明：对任何自然数n ，分数214143n n ++不可约简。

（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5）令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：[][][][]()()()()22,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =⋅⋅（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。

2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。

（2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。

这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。

如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。

3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（）A 、 0B 、1C 、3D 、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2102xabx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

2007年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案

2007年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛试卷参考答案(考试时间：2007年9月16日上午8：00-10：30)一、选择题(共6小题,每小题6分,满分36分,以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项,其中有且只有一个是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均得零分)1．一个直角三角形的两条直角边长为b a ,满足不等式31634192622≤+-++-b b a a ,则这个直角三角形的斜边长为( )A ．5B ．30C ．6D ．40 答案：B解：原不等式化为34)32(1)23(22≤+-++-b a , 而3414)32(1)23(22=+≥+-++-b a , 所以32,23==b a ．于是,斜边长为30．2．数812934756是一个包含1至9每个数字恰好一次的九位数,它具有如下性质：数字1至6在其中是从小到大排列的,但是数字1至7不是从小到大排列的．这样的九位数共有( )个．A ．336B ．360C ．432D ．504 答案：C解：在1,2,3,4,5,6中插入7,有6种放法,然后插入8和9,分别有8种和9种放法,所以,共有432986=⨯⨯个满足性质的九位数．3．一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为( )．A ．5102 B ．553 C ．3 D ．2 答案：B解：该三角形不是直角三角形．不妨设C B A ≤≤．则3tan ≤A ,又Z A ∈tan ,所以1tan =A ．非直角三角形中,有恒等式C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++, 即B tan 、C tan 是方程xy y x =++1的一组正整数解．所以B tan =2,C tan =3．易解得最长边为553(另外一条边长为5102)．4．正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为8,则这个正三棱锥的体积的最大值为( )．A ．18B ．36C ．72D ．144 答案：D解：设正三棱锥P －ABC 的底面边长为a ,高为h ,O 为三角形ABC 的中心,G 为侧面PBC 的重心,GH 垂直底面ABC ,垂足为H ．则a a AD AH h PO GH 934239898,3131=⋅====, 由222AG GH AH =+得6491271622=+h a ,故276431622⋅=+h a , 由平均不等式得322222238833882764h a a h a a ⋅⋅≥++=⋅,所以,35762≤h a ,于是144123312≤==∆-h a h S V ABC ABC P ．当46=h a 时等号成立．故体积的最大值为144． 5．对每一个正整数k ,设ka k 1211 ++=,则49493212500)99753(a a a a a -++++等于（）A ．－1025B ．－1225C ．－1500D ．－2525 答案：B解： 49493212500)99753(a a a a a -++++＝4925004919931)9997(21)9975(1)9953(a -⨯++⨯++++⨯++++⨯+++ ＝492222222500491)4950(21)250(1)150(a -⨯-++⨯-+⨯- ＝4922500)4921()491211(50a -++-+++＝1225)4921(-=+++- ．6．集合{}7,6,5,4,3,2,1=S 的五元子集共有21个,每个子集的数从小到大排好后,取出中间的数,则所有这些数之和是（）A ．80B ．84C ．100D ．168ABCDPH OG ah第4题答题图答案：B解：显然中间数只能是3,4,5．以3为中间数的子集有24C 个,以4为中间数的子集有2323C C ⨯个,以5为中间数的子集有24C 个．所以,这些中间数的和为8454324232324=⨯+⨯⨯+⨯C C C C ．另解：对某个子集A ,用8－A 表示A 中每个元素被8减所得的集合,这个集合也是一个满足要求的5元子集．这是一个1－1对应．且这两个集合中中间数之和为8,平均为4．故所有的中间数的和为84421＝⨯．二．填空题（共6小题,每小题6分,满分36分．请直接将答案写在题中的横线上）7．函数32)(2+-=x x x f ,若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ,则实数a 的取值范围是．答案：1＜a ＜4解：依题意知,21≤≤x 时,a x f -)(＜2恒成立．所以21≤≤x 时,－2＜a x f -)(＜2恒成立,即2)(-x f ＜a ＜2)(+x f 恒成立．由于21≤≤x 时,32)(2+-=x x x f ＝2)1(2+-x 的最大值为3,最小值为2,因此,3－2＜a ＜2＋2,即1＜a ＜4．8．在直角坐标平面上,正方形ABCD 的顶点A 、C 的坐标分别为（12,19）、（3,22）,则顶点B 、D 的坐标分别为．（A 、B 、C 、D 依逆时针顺序排列）答案：（9,25）、（6,16）解：设线段AC 的中点为M ,则点M 的坐标为)241,215(,利用复数知识不难得到顶点B 和D 的坐标分别为（9,25）、（6,16）．（或者利用向量知识）9．已知1F 、2F 分别是椭圆19222=+b y x （0＜b ＜3）的左、右焦点．若在椭圆的右准线上存在一点P,使得线段1PF 的垂直平分线过点2F ,则b 的取值范围是．答案：)6,0(解：线段1PF 的垂直平分线过点2F ,等价于212F F P F =．设椭圆的右准线cx 9=交x 轴于点K ,则在椭圆的右准线上存在一点P,使得212F F P F =,等价于212F F K F ≤．所以c c c29≤-,32≥c ．因此692222≤-=-=c c a b 故b 的取值范围是]6,0(．10．方程10033100=+y x 的正整数解),(y x 有组．答案：4解：由题设可知,10≤x ．两边模3,知)3(mod 1≡x ,所以,x ＝1,4,7,10,对应的y 分别为301,201,101,1．故满足方程的正整数解有4组．11．设x xx x f +-++=11lg521)(,则不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)21(x x f ＜51的解集为．答案：)4171,21()0,4171(+⋃- 解：原不等式即为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)21(x x f ＜)0(f ．因为)(x f 的定义域为（－1,1）,且)(x f 为减函数．所以⎪⎩⎪⎨⎧----0)21(1)21(1 x x x x ．解得∈x )4171,21()0,4171(+⋃- 12．设函数1321)(+--=x x x f ,如果方程a x f =)(恰有两个不同的实数根v u ,,满足102≤-≤v u ,则实数a 的取值范围是．答案：345≤≤-a 解：因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≤≤----+=.21,4211,251,4)(时当时，当时，当 x x x x x x x f当a ＞3时,a x f =)(无解；当a ＝3时,a x f =)(只有一个解．当329≤≤-a 时,直线a y =与4+=x y 和25--x y ＝有两个交点,故此时a x f =)(有两个不同的解；当a ＜29-时,直线a y =与4+=x y 和4--=x y 有两个交点,故此时a x f =)(有两个不同的解．对于上述两种情形,分别求出它们的解v u ,,然后解不等式102≤-≤v u ,可得实数a 的取值范围是345≤≤-a ．三、解答题：（共4小题,每小题20分,满分80分．要求写出解题过程） 13．已知x x x f sin 22sin )(+=,xx x g 413)(+=,若对任意),0(,21∞+∈x x 恒有m x g x f +≥)()(21,试求m 的最大值．解：因为111sin 22sin )(x x x f +=, )1(cos sin 211+=x x[]31121)cos 1)(cos 1(4)(x x x f +-=)cos 1)(cos 1)(cos 1)(cos 33(341111x x x x +++-=41111)4cos 1cos 1cos 1cos 33(34x x x x ++++++-⨯≤＝427所以233)(1≤x f ．又3413)(222≥+=x x x g , 所以233233=-≤m ．当63,321==x x π时,上述各式的等号成立,所以m 的最大值为23．14．已知1F 、2F 分别是双曲线1322=-y x 的左、右焦点,过1F 斜率为k 的直线1l 交双曲线的左、右两支分别于A 、C 两点,过2F 且与1l 垂直的直线2l 交双曲线的左、右两支分别于D 、B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）设点P ),00y x （是直线1l 、2l 的交点为,求证：32020y x +＞34；（3）求四边形ABCD 面积的最小值．解：（1）由条件知,1l 、2l 的方程分别为)2(+=x k y 、)2(1--=x ky ．由⎩⎨⎧+==-)2(3322x k y y x ,得0344)3(2222=----k x k x k ．由于1l 交双曲线的左、右两支分别于A 、C 两点,所以22334kk x x C A ---=⋅＜0,解得2k ＜3．由⎪⎩⎪⎨⎧--==-)2(13322x k y y x ,得0344)13(222=--+-k x x k ．由于2l 交双曲线的左、右两支分别于D 、B 两点,所以133422---=⋅k k x x D B ＜0,解得2k ＞31．因此,31＜2k ＜3,k 的取值范围是)3,33()33,3(⋃--．（2）由条件知,21PF PF ⊥,点P 在以21F F 为直径的圆上．所以42020=+y x ．因此32020y x +＞332020y x +＝34．（3）由（1）知,2222222223)1(63344)34(11kk k k k k k x x k AC C A -+=---⨯--⋅+=-⋅+=． 13)1(613344)134()1(1)1(122222222-+=---⨯---⋅-+=-⋅-+=k k k k k k x x k BD D B ． ∴四边形ABCD 的面积)13)(3()1(18212222--+=⋅=k k k BD AC S ．由于)13)(3()1(182222--+=k k k S ＝18)11313(41181131318222222222=+-++-⨯≥+-⨯+-k k k k k k k k ．当且仅当 113132222+-=+-k k k k ,即1,12±==k k 时,等号成立．所以,四边形ABCD 面积的最小值为18．15．如图,在锐角三角形ABC 中,1AA ,1BB 是两条角平分线,I,O,H 分别是ABC ∆的内心,外心,垂心,连接HO ,分别交AC,BC 于点P ,Q ．已知C,1A ,I,1B 四点共圆．（1）求证：︒=∠60C ；（2）求证：BQ AP PQ +=．证明：（1）因为C,1A ,I,1B 四点共圆,所以 AIB C ∠-︒=∠180C B A IBC IAB ∠-︒=∠+∠=∠+∠=21902121．所以,︒=∠60C ．（2）因为︒=∠-︒=∠120180C AHB , ︒=∠=∠1202ACB AOB , 所以,B O H A ,,,四点共圆,于是︒=∠-︒=∠=∠30)180(21AOB OBA PHA ,又︒=∠-︒=∠3090C PAH , 所以PHA PAH ∠=∠, 于是PH AP =,同理可得 QH BQ = 故,BQ AP PQ +=第15题答题图B第15题图16．已知两个整数数列 ,,,210a a a 和 ,,,210b b b 满足（1）对任意非负整数n ,有22≤-+n n a a ；（2）对任意非负整数,,n m 有 22n m n m b a a +=+证明：数列 ,,,210a a a 中最多只有6个不同的数．证明：首先,一个整数若是4的倍数,则它一定能表示成22)2(n n -+,其中n 是非负整数．事实上,由22)1()1(4--+=k k k 便得．若,,n m （m ＞n ）的奇偶性相同,则22n m -是4的倍数,设 22n m -＝22)2(k k -+, 所以 2222)2(n k k m ++=+ 于是由条件（2）知n k n k k m k m a a b b a a +===+++++2)2(2222, 故k k n m a a a a -=-+2 所以,2≤-n m a a于是在 ,,,531a a a 中,任意两项的差的绝对值至多为2,所以,它们最多能取3个不同的值：2,1,++a a a ．同样,在 ,,,420a a a 中,任意两项的差的绝对值也至多为2,所以,它们最多能取3个不同的值：2,1,++b b b ．综上所述,数列 ,,,210a a a 中最多只有6个不同的数．。

高中数学竞赛数论部分

初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。

1．请看下面的例子：（1）证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。

(1894年首届匈牙利数学竞赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明2131n -是168的倍数。

②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ⋅⋅⋅（1956年上海首届数学竞赛第一题）（3）证明：3231122n n n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。

（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4）证明：对任何自然数n ，分数214143n n ++不可约简。

2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。

（2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占% 。

这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。

如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。

3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（）A 、 0B 、1C 、3D 、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2102x abx a b -++=是否有两个整数解如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

年福建省数学竞赛高一

n m + na2006 年福建省数学竞赛(高一)一、填空题(每小题 5 分 ,共 60 分)范围是 .1. 满足 n 为.- < 1 的最小正整数10. 若关于 x 的方程x 3- ax 2- 2 ax + a 2- 1 = 02. 对于实数 s 、t ,代数式 6 t 2+ 3 s 2- 4 st - 8 t + 6 s + 5的最小值是.3. 设 x 、y 是正实数 ,4. 若 △ABC 的边 BC 、CA 上的中线长分恰有一个实数根 , 则实数 a 的取值范围是.11. 正整数 1 ,2 ,,2 006 中 , 能表示为mn + 1( m 、n ∈N + ) 的有个.12. 使得 31 024- 1 能被 2 n整除的最大的正整数 n 为.二、解答题(每小题 15 分 ,共 60 分)13. 设 a 、b 、c 为正数. 求别为 m 、n , 则 △ABC 的面积的最大值为.u =a + bc+b +c a+c + ab5. 若 cos x = 0 , 且 cos ( x + z ) =1( z >2 的最小值( [ x ]表示不超过 x 的最大整数) .14. 设 m ∈N + ,数列 a 0 , a 1 ,, a m 满足0) ,则满足上述条件的 z 的最小值为. log 225 x + log 64 y = 4 ,a 0 = 37 , a 1 = 72 , a m = 0 , 且 a k + 1 = a k - 1 - 3k6. 已知方程组log x 225 - log y 的解64 = 1( k = 1 ,2 , , m - 1) . 求 m 的值.x = x 1 , 为和x = x 2 , 则 log 30 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) =15. 如图 1 , ⊙O 为△ABC 的外接圆 , AM 、 y = y 1.y = y 2 .A T 分别为中线和角平分线 ,过点 B 、C 的 ⊙O 的 7. 已知{ a n } 是一个等差数列 , a 1 = 19 ,a 26 = - 1. 设 A n = a n + a n + 1 + + a n + 6 ( n ∈N + ) . 则| A n | 的最小值是 .8. 已知集合 A = {1 ,2 ,,10} , f 是 A →A的映射 ,当 a 、b ∈A ( a ≠b ) 时 , f ( a ) ≠f ( b ) , 且对于任意一个 i ∈A , 都有 f ( i ) ≠i , f ( f ( i ) ) = i . 则这样的映射 f 有个.9. 设实数 t 满足 0 ≤t ≤π. 若关于 x 的方程 sin ( x + t ) = 1 - sin x 无解 ,则 t 的取值切线相交于点 P , 联结A P ,与 BC 和 ⊙O 分别相交于点 D 、E . 求证 : 点 T 图 1是 △AM E 的内心.16. 将集合 S = {1 ,2 , ,36}分拆为 k 个互不相交的非空子集 A 1 , A 2 , , A k 的并. 若对于每一个 A i ( i = 1 ,2 , , k ) ,其中任意两个不同的元素的和都不是完全平方数 ,求 k 的最小值.A =x + y , H = 2 xy .2 x + y若 A + H = y - x , 则y=.xn + 99n n n 5 55x552 26 2006 年第 10 期33一、1. 2 402.参考答案6. 12.设 a = log 225 x , b = log 64 y . 则原方程组变形为a b = 4 ,原不等式等价于 < + 1 ,则有1 - 1ab= 1. n + 99 < n + 2 + 1.a 1 = 3 + , a 2 = 3 - 5 , 解得 > 49. 所以 , n ≥492+ 1 = 2 402.解得或b 1 = 1 - b 2 = 1 + 5 .2.8 . 7由 6 t 2+ 3 s 2- 4 st - 8 t + 6 s + 522所以 ,由 log 225 x 1 x 2 = a 1 + a 2 = 6 ,得x 1 x 2 = 2256= 1512;由 log 64 y 1 y 2 = b 1 + b 2 = 2 , 得 y 1 y 2 = 642 = 212.= 3 s - 2 t - 3 3 +143t - 3 7 + 8 , 7 故 log 30 x 1 x 2 y 1 y 2 = 12.知当 s = 2 t - 1 , t = 3 , 即 t = 3 , s = - 5时 ,上式7. 7 .3 最小.7 7 75由 a 26 = a 1 + 25 d , 得 d = - 4 . 则3. 3 + 2 3 .A n = 7 a n 7+ 21 d = 7 a 1 + 7 ( n - 1) d + 21 d即解得y= 3 ±2 3 (负值舍去) .= 5(87 - 4 n ) . 因为 n ∈N + ,所以 ,| 87 - 4 n | ≠0. 故| 87 - 4 n | ≥1. 于是 ,| A n | ≥ 7. 当 n = 22 时 ,| A n | = 7 .4. 2 mn .3如图 2 ,设边 BC 、CA 上的中线分别为 AM 、BN , 它们的交点为 G ,于是 ,AG = 2 m ,3 BG = 2 n .图 23所以 , S △ABG≤1AG ·BG =2 mn .8. 945.对每个映射 f ,可把集合 A 中的元素两两配对{ i , j } ,使得 f ( i ) = j , f ( j ) = i . 这样 ,求映射 f 的个数等价于求把集合 A 分拆成 5 个互不相交的二元子集的分法数.可与 1 配对的有 9 个元素 ,接着有 7 个元素可以与剩余的最小元素配对 , 故共有9 ×7 ×5 ×3 ×1 = 945 (种) . 9. 2π < t ≤π. 293则 S △ABC = 2 S △ABM = 3 S △ABG ≤2 mn .原方程为 sin ( x + t ) + sin x = 1 ,即3当 AM ⊥BN 时 ,上式等号成立.2sin x + t 2 cos t= 1.25. π . 6由题设得当 cos t = 0 时 ,方程无解 ;当 cos t ≠0 时 ,sin x + t = 1,当且仅1= cos x ·cos z - sin x ·sin z = - sin x ·sin z . 2 2 2cost22而由 cos x = 0 ,得 sin x = 1 或 sin x = - 1. 当上式右端取值在[ - 1 ,1 ]中时 ,原方程有解.又 0 ≤t ≤π,所以 ,0 < cos t < 1. 当 sin x = 1 时 ,sin z = -1 , z 的最小值为7π; 222 6故当 0 ≤cos t < 1 ,即π < t ≤π时 ,原方程当 sin x = - 1 时 ,sin z = 1, z 的最小值为π .无解.22322 2x + y3 x 2+ 6 xy - y 2 = 0 ,由题设知x + y +2 xy= y - x . 于是 ,y x 2- 6 yx- 3 = 0. n + 99 ·34∠ a kk所以 , t 的取值范围是2π < t ≤π. 10. a < 3 .4将原方程写成关于 a 的一元二次方程a 2 - ( x 2 + 2 x ) a + ( x 3 - 1) = 0 ,即 a 2 - ( x 2 + 2 x ) a + ( x - 1) ( x 2 + x + 1) = 0 , 则 [ a - ( x - 1) ] [ a - ( x 2 + x + 1) ] = 0. 所以 , x 2 + x + 1 - a = 0 无实数解. 由判别式即知 a < 3 .11. 2 006.事实上 ,对于任意正整数 a ,令 m = a 2 + a - 1 ,n = a + 1. 则 m 、n 是正整数 ,且15. 先证明 AT 是 ∠MA E 的平分线 ,即证∠BAM = ∠CA P . 如图 3 , 作 CF ⊥AB , 垂足为 F ,联结 M F . 则FM =1BC = MC .2又 ∠BAC = ∠BCP ,则FA= cos BAC AC= cos ∠BCP =CM = FM . 图 3PCPC 所以 ,FA = CA .FMCPmn + 1 =m + n 12. 12. ( a 2+ a - 1) ( a + 1) + 1a 2 + a - 1 + a + 1 = a .又 ∠A FM = 180°- ∠B FM= 180°- ∠FBC = ∠ACP ,所以 , △A FM ∽ △ACP . 则 ∠BAM = ∠CA P .31 024- 1 = (3512+ 1) (3256+ 1)(3 + 1) (3 - 1) .①而对于整数 k ≥1 ,有32 + 1 ≡( - 1) 2+ 1 = 2 (mod 4) . 所以 ,式 ①右边的 11 个括号中 , (3 + 1) 是 4 的倍数 ,其他的 10 个都是 2 的倍数 ,但不是 4 的倍数.故 n 的最大值为 12.二、13. 对于实数 x ,有[ x ] > x - 1 ,所以 ,再证明 MD 是 ∠AM E 的平分线. 如图 4 , 由于 M 是 BC 的中点 , 所以 , PO 经过点M , 且 OP ⊥BC . 联结 OA 、 OC 、 O E .由切割线定理及射影定理 ,可得PE ·PA = PC 2u =a +b c+ b + c a +c + ab= PM ·PO .> a + b + cb +c + ac + a - 3b所以 , M 、O 、A 、E 四点图 4共圆. 于是 ,= a +b+ b +c +c+ a - 3∠OMA = ∠OEA = ∠OA E = ∠PM E .bacb ac≥2 + 2 + 2 - 3 = 3.由于 u 是整数 ,所以 , u ≥4. 当 a = 6 , b = 8 , c = 9 时 , u = 4. 故 u 的最小值为 4.故 ∠AMD = ∠EMD ,即点 T 是 △AM E 的内心. 说明 :只证明出一条角平分线的给 10 分.16. 首先 ,考虑数 6 ,19 ,30.因为 6 + 19 = 52 ,6 + 30 = 62 ,19 + 30 = 72,所以 ,14. 因为 a m = a m - 2 -a m - 2 a m - 1 = 3.由递推关系式可知3 = a k - 1 a k - a k + 1 a k .3= 0 ,所以 ,m - 1这三个数必须属于三个不同的子集. 于是 , k ≥3.另一方面 ,集合 S = {1 ,2 , ,36}可以分拆为三个互不相交的非空子集 A 1 、A 2 、A 3 的并 ,使得它们满足题设条件. 令A 1 = {4 k + 3| 0 ≤k ≤8} ∪{4 ,8 ,16 ,24 ,36} , 所以 , a m - 2 a m - 3 = 6 , a m - 4 a m - 3 = 9. 故 a m - n a m - n - 1 = 3 n . 又 a 0 = 37 , a 1 = 72 ,所以 ,a 0 a 1 = 37 ×72 = 3 ×888. A 2 = {4 k + 1| 0 ≤k ≤8} ∪{6 ,14 ,18 ,26 ,34} , A 3 = {2 ,10 ,12 ,20 ,22 ,28 ,30 ,32} .容易验证 A 1 、A 2 、A 3 满足题设条件. 而 a m - 888 a m - 889 = 3 ×888 , 所以 , m - 888 = 1. 故 m = 889.所以 , k 的最小值为 3.(张鹏程提供)。

2017年福建省高一数学竞赛试题(原卷排版+解析)

6
3
6
∴ 1 c 1 ，且 1 c 1 。
66
2
6
∴ c1。 6
6
此时， f (0) 1 ，可见 f (x) 在区间 1，1 上的最小值为 f (0) 。
6
∴ f (x) 的对称轴为 x 0 ，即 1 a 0 ， a 1 。
3
3
∴ f (x) 1 x2 1 。 36
2xy yz 1 ，当且仅当 x 2y ，且 y z ，即 x 2 ， y z 1 时，等
2
10
10
号成立。
所以， 2xy yz 的最大值为 1 。 2
三、解答题（第 13、14、15、16 题每题 16 分，第 17 题 14 分，满分 78 分）
13．已知 f (x) ax2 (1 a)x c ，且当 1 x 1时， f (x) 1 恒成立。
2017 年福建省高一数学竞赛试题
（考试时间：5 月 14 日上午 8：30－11：00）
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）
1．已知集合A来自 xx2 x3

0，x Z

，则集合

A 中所有元素的和为（
）
A． 1
B．0
C．2
D．3
【答案】 B
【解答】由 x 2 0 ，得 2 x 3。又 x Z 。因此 A 2，1，0，1，2 。
也是 1，0 ，则 a m 的值为
。
【答案】 5 2
【解答】当 a 1时， f (x) 在 1，0 上为增函数，依题意有
3

f (1) loga (1 m) 1，方程组无解。 f (0) loga (0 m) 0

2007年福建省高一数学竞赛试题(含简解)

2007年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：5月20日上午8：30—11：00)答题时注意： 1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.一、选择题(共5小题，每小题5分，满分25分)1.给出下列四个命题：（1）若a 、b 是异面直线，则必存在唯一的一个平面同时平行a 、b ；（2）若a 、b 是异面直线，则必存在唯一的一个平面同时垂直a 、b ；（3）若a 、b 是异面直线，则过a 存在唯一的一个平面平行于b ；（4）若a 、b 是异面直线，则过a 存在唯一的一个平面垂直于b ；上述四个命题中，正确的命题有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2.设集合(){}23lg 42,11M x y x x N xx ⎧⎫==--=≥⎨⎬+⎩⎭，则MN =（）A.{}11x x -<< B. {}32x x -<≤C.{}11x x -<<D.{}1312x x x -<<-<≤3.已知函数()2x f x =与()3g x x =的图像交于()()1122,,A x y B x y 、两点，其中12x x <.若()2,1x a a ∈+，且a 为整数，则a =（）A. 7B. 8C. 9D. 104.已知函数()(){21010),x x f x x f x --≤->=（）( 若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A. (],0-∞B. []0,1C. (),1-∞-D. [)0,+∞5. 点O 在△ABC 的内部，且满足220OA OB OC →→→→++=，则△ABC 的面积和凹四边形ABOC 的面积之比为（）A.52B. 32 C. 54 D. 43二、填空题(共7小题，每小题5分，满分35分)6.若存在实数x 和y ，使得222223sin cos ,21cos sin ,2,x y a x y a +=+=⎧⎨⎩则实数a 的所有可能值为.7. 将一边长为4的正方形纸片按图1中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱柱，设其体积为1V ；若将同样的正方形纸片按图2中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱锥，设其体积为2V ；则1V 与2V 的大小关系是 .图1 图28. 已知()cos n n b a π=，其中()23*123n n a n n N =++++∈，则122007b b b ++的值为 .9.设()(),22f x g x x ππ⎫⎛⎫+=∈- ⎪⎪⎝⎭⎭，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则2244fg ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 10.若对满足1x ≤的一切实数x ，不等式()214t t x +>-恒成立，则实数t 的取值范围是 .11. 已知()f x 为R 上的偶函数，且对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，则()2007f =12.把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：123,,,,n a a a a ，例如：222222123213325437a a a =-==-==-=，，，224318a =-=，.那么2007a = .三、解答题(共5小题，每小题12分，满分60分)13. 已知圆C满足下列三个条件（1）圆C与x轴相切；（2）圆心C在直线30-=上；x y（3）圆C与直线0x y-=交于A、B两点，且△ABC 求符合上述条件的圆C的方程.14. 已知二次函数()()20f x x bx c b =++>在区间[]1,1-上的最小值为34，最大值为3.（1）求()f x 的表达式；（2）若()()1n a f n f n =--，其中2n ≥，且*n N ∈. 求证：2222234111114n a a a a ++++<.CB15. 如图，在四边形OBAC 中BO CO ，AB =AC =4,求四边形OBAC 面积的最大值.16.如图，AB是圆O的直径，C是弧AB的中点，在AB及其延长线上分别取点D、E，使BD=BE，直线CD、CE分别交圆O于点F、G.（1）求证：AF AG；DF EG（2）在直径AB上是否存在点D，使得FG与AB垂直.若能，请写出作法；若不能，请说明理由.第16题图17. 求最小的正整数n，使得集合{}1,2,3,,2007的每一个n元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂.简解选择：AACCC填空：6、1；7、21V V >；8、1-；9、2-；10、21212113+<<-t 11、0；12、2679 解答：13、()()()()9319312222=+++=-+-y x y x 或14、（1）()12++=x x x f（2）利用()nn n ⋅-<1112进行放缩 15、288+16、（1）证明△ECB ∽△EAG 及△BCD ∽△FAD （2）反证法 17、1002．。

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2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。

若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。

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