第四讲 一元一次方程奥数
2022年初一奥数数学竞赛第四讲一元一次方程
初一奥数数学竞赛第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要旳内容．最简朴旳方程是一元一次方程，它是深入学习代数方程旳基础，诸多方程都可以通过变形化为一元一次方程来处理．本讲重要简介某些解一元一次方程旳基本措施和技巧．用等号连结两个代数式旳式子叫等式．假如给等式中旳文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一种等式与否是恒等式是要通过证明来确定旳．假如给等式中旳文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他旳值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立旳未知数旳值叫作方程旳解．方程旳解旳集合，叫作方程旳解集．解方程就是求出方程旳解集．只具有一种未知数(又称为一元)，且另一方面数是1旳方程叫作一元一次方程．任何一种一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)旳形式，这是一元一次方程旳原则形式(最简形式)．解一元一次方程旳一般环节：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数旳系数，得出方程旳解．一元一次方程ax=b旳解由a，b旳取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多种解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐层去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分派律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相似旳解，试求a旳值．分析本题解题思绪是从方程①中求出x旳值，代入方程②，求出a旳值．解由方程①可求得3x-5x=-6，因此x=3．由已知，x=3也是方程②旳解，根据方程解旳定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)旳解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a旳解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，因此a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解有关x旳方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不一样实数值旳常数，因此需要讨论m，n取不一样值时，方程解旳状况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整顿得m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程旳解为一切实数．阐明具有字母系数旳方程，一定要注意字母旳取值范围．解此类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多种解三种状况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中旳括号去掉后产生x2项，但整顿化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一种一元一次方程．解将原方程整顿化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即(a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多种解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是有关x旳一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m旳值．解由于(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是有关x旳一元一次方程，因此m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式旳值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．因此所求代数式旳值为1991．例7 已知有关x旳方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a旳值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即(2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，因此例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k旳解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程旳解是零；反之，若方程ax=b旳解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程旳解是正数；反之，若方程ax=b旳解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程旳解是负数；反之，若方程ax=b旳解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整顿方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程旳解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式旳左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．由于k2≥0，因此只要k＞5或k＜2时上式不小于零，因此当k ＜2或k＞5时，原方程旳解是正数，因此k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解由于abc=1，因此原方程可变形为化简整顿为化简整顿为阐明像这种带有附加条件旳方程，求解时恰当地运用附加条件可使方程旳求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．由于a＞0，b＞0，c＞0，因此ab+bc+ac≠0，因此x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程旳解．解法2将原方程右边旳3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其他两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为因此即x-(a+b+c)=0．因此x=a+b+c为原方程旳解．阐明注意观测，巧妙变形，是产生简朴优美解法所不可缺乏旳基本功之一．例11设n为自然数，[x]表达不超过x旳最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，因此n与(n+1)…，n[x]都是整数，因此x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，因此原方程化为合并同类项得故有因此x=n(n+1)为原方程旳解．例12已知有关x旳方程且a为某些自然数时，方程旳解为自然数，试求自然数a 旳最小值．解由原方程可解得a最小，因此x应取x=160．因此因此满足题设旳自然数a旳最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列有关x旳方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，有关x旳方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不不小于1旳解．。
一元一次方程知识点总结和例题讲解
一元一次方程知识点及题型一、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程. 3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论. 二、等式的性质三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． 四、去括号法则 五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x=ba ).六．列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，写出答案 【基础与提高】 一．选择题1．下列各式中，是方程的个数为（ ）（1）﹣4﹣3=﹣7；（2）3x ﹣5=2x+1；（3）2x+6；（4）x ﹣y=v ；（4）a+b ＞3；（5）a 2+a ﹣6=0． A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个2．下列说法正确的是（ ） A ． 如果ac=bc ，那么a=b B ． 如果，那么a=bC ．如果a=b ，那么D ． 如果，那么x=﹣2y3．若关于x 的方程mx m ﹣2﹣m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ） A ．x =0 B ．x =3 C ． x =﹣3D ．x =24．方程（m+1）x|m|+1=0是关于x的一元一次方程，则m（）A．m=±1 B．m=1 C．m=﹣1 D．m≠﹣15．若关于x的方程nx n﹣1+n﹣4=0是一元一次方程，则这个方程的解是（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=46．已知x=3是关于x的方程x+m=2x﹣1的解，则（m+1）2的值是（）A．1B．9C．0D．47．已知x=﹣6是方程2x﹣6=ax的解，则代数式的值是（）A．4B．3C．2D．18．设P=2x﹣1，Q=4﹣3x，则5P﹣6Q=7时，x的值应为（）A．B．C．D．﹣9．服装店同时销售两种商品，销售价都是100元，结果一种赔了20%，另一种赚了20%，那么在这次销售中，该服装店（）A．总体上是赚了B．总体上是赔了C．总体上不赔不赚D．没法判断是赚了还是赔了10．如图是一个长方形试管架，在a cm长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm，则x等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm11．关于x的方程（k﹣3）x﹣1=0的解是x=﹣1，那么k的值是（）A．k≠3 B．k=﹣2 C．k=﹣4 D．k=212．江苏卫视《一站到底》栏目中，有一期的题目如图，两个天平都保持平衡，则三个球体的重量等于（）个正方体的重量．A．2B．3C．4D．513．已知方程2x+k=5的解为正整数，则k所能取的正整数值为（）A．1B．1或3 C．3D．2或314．小芳同学解关于x的一元一次方程﹣时，发现有个数模糊看不清楚，聪明的小芳翻看了书后的答案，知道这个方程的解是3．于是她很快补上了这个数．她补的这个数是（）A．B．3C．8D．915．若代数式3x﹣7和6x+13互为相反数，则x的值为（）A．B．C．D．16．按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题17.一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元．若设这件衣服的成本是x元，根据题意，可得到的方程是_________．18．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是_________cm3．19.已知与的值相等时，x=_________．20.若x=﹣1是关于x方程ax+b=1的根，则代数式（a﹣b）2011的值是_________．21.某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15%，乙股票下跌10%时卖出，共获利1350元，则此人买甲股票的钱比买乙股票的钱多_________元．22如果要由等式m﹙a+1﹚=x﹙a+1﹚得到m=x，需要满足的条件是_________．23．关于x的方程（a﹣1）x2+x+a2﹣4=0是一元一次方程，则方程的解为_________．24．关于x的方程（m+2）x=6解为自然数，当m为整数时，则m的值为_________．25．已知m+n=2008（m﹣n），则=_________．三计算题解方程：（1）3（x﹣1）﹣2（2x+1）=12；（2）（3）．（4）﹣=．（5）．（6）（7）．（8）﹣=3．（9）（10）四．解答题1．若x=2是方程ax-1=3的解，求a的值2．方程x+2=5与方程ax-3=9的解相等 求a 的值3．为何值时，关于的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍？4．已知，2x =是方程12()23m x x --=的解，求代数式2(62)m m -+的值．5．一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？6．一批货物，甲把原价降低10元卖出，用售价的10%做积累，乙把原价降低20元，用售价的20%做积累，若两种积累一样多，则这批货物的原售价是多少？7．某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？8．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？9.今年“六•一”儿童节，张红用8.8元钱购买了甲、乙两种礼物，甲礼物每件1.2元，乙礼物每件0.8元，其中甲礼物比乙礼物少1件，问甲、乙两种礼物各买了多少件？10.小明和小东两人练习跑步，都从甲地出发跑到乙地，小明每分钟跑250米，小东每分钟跑200米，小明让小东先出发3分钟之后再出发，结果两人同时到达乙地，求甲、乙两地之间的路程是多少米？11．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。
四年级奥数应用题一元一次方程解法综合(ABC级)
一、方程的起源方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。
《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。
在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。
例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。
古代解方程的方法是利用算筹。
我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。
二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。
一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。
《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。
同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！二、方程的重要性方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。
渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。
三、相关名词解释（1） 算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式（2） 等式：表示相等关系的式子（3） 方程：含有未知数的等式（4） 方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x +=，71539q +=，222468m ⨯+=（），一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，知识框架一元一次方程解法综合（5） 解方程：求方程的解的过程叫解方程。
所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。
（6） 方程的能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解四、解方程的步骤（1） 解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1。
小学奥数：一元一次方程解法综合.专项练习
1、认识了解方程及方程命名2、移项、系数、解方程、方程的解等名词的意思一定要让学生了解3、运用等式性质解方程4、会解简单的方程一、方程的起源 方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。
《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。
在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。
例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。
古代解方程的方法是利用算筹。
我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。
二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。
一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。
《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。
同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！二、方程的重要性方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。
渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。
三、相关名词解释1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式2、等式：表示相等关系的式子3、方程：含有未知数的等式4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x +=，71539q +=，222468m ⨯+=（），L一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，L5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。
所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。
一元一次方程的例题讲解-课件
一元一次方程中的系数是未知数的系数，可以是正数、负数或零。
常数项
一元一次方程中的常数项是没有未知数的常数，可以是任意实数。
求解过程：移项、化简、得出答案
1
移项
通过移动项的位置，将未知数的系数与常数项分开。
2
化简
对方程进行化简，通过简化系数和常数项，减少计算的复杂度。
3
得出答案
求解一元一次方程，将化简后的方程求解出未知数的值。
一元一次方程解题的思路和方 法
解一元一次方程的思路和方法通常包括确定未知数、运用解题技巧、代入检 验和解释结果等步骤。
示例题解析
通过具体的示例题目，展示解一元一次方程的具体步骤和解题思路。
综合应用实例分析
通过实际应用的例题分析，将一元一次方程的解题方法和实际问题联系起来。
总结：一元一次方程的重要性 及应用意义
实际应用举例：买苹果、运动会比赛计 分
买苹果
通过解一元一次方程可以计算出购买苹果所需的 费用。
运动会比赛计分
解一元一次方程可以计算出运动员在比赛中获得 的成绩。
解方程的基本方法
1 代入法
2 消元法
通过代入已知数值的方式解方程，适用于 一些特定的情况。
通过消去方程中的某一项或某几项，简化 方程的形式，从而更容易求解。
一元一次方程的例题讲解 -PPT课件
一元一次方程的例题讲解-PPT课件
什么是一元一次方程
一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，可以用形如ax + b = c的形式表 示，其中a、b和c分别是已知数。解一元一次方程是求出使方程成立的未知数 的值。
相关概念：未知数、系数、常数项
未知数
一元一次方程中的未知数是我们要求解的值，通常用字母表示，如x。
第四章-一元一次方程 典型奥数题资料
➢一元一次方程1.解方程2.若abc=1，解方程3.若是关于x的一元一次方程，且有唯一解，解方程。
4.若关于x的方程有无数个解，求K5.解方程6.求适合方程的整数a7.a、b、c、为有理数，且求的值为➢一元一次方程的应用1.含盐30％的盐水有60千克，蒸发一段时间后，当盐水变为含盐40％时，盐水的重量是多少千克？2.甲、乙分别从A、B两地相向而行，若同时出发，则，经36分钟后相遇；若甲比乙提前15分钟出发，乙出发30分钟后，甲乙相遇，求甲由A地到B地、乙由B地到A地所用时间。
3.一艘船从重庆到南京要5个昼夜，而从南京到重庆要7个昼夜，问：若有一竹排自重庆顺流而下，则需几个昼夜才能票到南京？➢简单不等式1.数学竞赛中，共25道题，对一道得4分，错一道扣1分，甲同学做了全部的题，考后他估计得分不少于70分，他至少做对了多少道题？2.解不等式：3.解不等式：a(x-a)＞b(x-b)4.已知关于x的不等式的解是，求m5.若不等式mx-2＜3x+4的解为x＞，求m的取值范围6.已知关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解为x＜，解不等式3ax+5b＞0➢一元一次方程1.2.x=1/2 （将abc=1带入求解。
）3.x=-56/154.K=1/25.X=3/2或-5/46.a=-3、-2、-1、0 （分段求解）7.0 (设，原式=,得（a+b+c）x=0.)➢一元一次方程的应用1.45千克2.甲90分钟、乙60分钟3.35➢简单不等式1.19道2.x＞13.当a＞b时，x＞a+b当a=b时，无解当a＜b时，x＜a+b4.M=9/105.m＜36.x＜-1 (求得2a-b＜0，b=3a/5,2a-b=7a/5＜0，故a＜0)。
一元一次方程及解法专题讲义
一元一次方程的概念及解法一、知识梳理：知识点1、一元一次方程的概念：（1）、方程：含有未知数的等式叫方程，能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，求方程的解的过程叫解方程。
（2）、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的一类方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式0ax b +=（其中x 是未知数，a b 、是已知数，并且0a ≠）知识点2、等式及其基本性质（1）定义：用等号“=”表示相等关系的式子叫等式。
（2）等式的基本性质：①等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
②等式两边都乘以或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。
三、解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住：移项要变号）；（4）合并同类项：把方程化为()0ax b a =≠的形式；（5）系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a=。
解一元一次方程时，可以根据方程的形式灵活地安排解题步骤，不必机械地生搬硬套。
二、典例精讲：考点一、概念的考查例1、（2011、鄂州训练题）下列各式是方程的是 ，其中是一元一次方程的是 。
（1）327x -=；（2）4812+=；（3）3x -；（4）230m n -=；（5）23210xx --=；（6）23x +≠；（7）251x =+ 变式训练：1、判断下列各式中哪些是等式？哪些是代数式？哪些是方程？哪些是一元一次方程？（1）253-+=；（2）317x -=；（3）0m =；（4）3x >；（5）8x y +=； （6）22510xx ++=；（7）2a b + 2、方程()110m m x ++=是关于x 的一元一次方程，则m =考点二、方程的解 例2、（2011、宜昌模拟）若关于x 的方程332x a x -=+的解是4x =，求2a a - 的值。
初中数学竞赛辅导第四讲一元一次方程含.doc
初中数学竞赛辅导第四讲一元一次方程1、解方程：1x1x1x23x32343242、方程3x 2 5x和4x 3a x 6x 7a x有相同的解，求a的值。
3、方程2x 1 3x 1的解为a+2，求方程22x 3 2x a3a的解。
4、解关于x的方程mx nm n0。
5、解方程：a x ba b xa2xb2xa2b2。
6、m21x2m 1x 8 0是关于x的一元一次方程，求代数式199m xx 2mm的值。
7、关于x的方程a2x1 3x 2无解，试求a的值。
8、k为何正数时，方程k2x k22kx5k的解是正数？9、假设abc2ax2bx2cx 1，解方程bcb11aba1caa1xab xb c xca310、假设a、b、c是正数，解方程a bc11、设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程x2x3x4xnxn2n12。
212、关于x的方程，且a为某些自然数时，方程5xa8x142的解为自然数，试25求自然数a的最小值。
答案：1、x 22。
92、a41。
23、x 1 10。
24、〔1〕当mn0，且m0时，方程有唯一解xn0时，且m时，；〔2〕当mnm方程无解；〔3〕当mn0时，方程的解为一切实数。
、〔〕当a2b20时，方程有唯一解ab；〔〕当a2b20时，那么方程无解或有1x2a b 无数多个解。
6、1991。
37、a28、k5或k2。
9、x1210、x ac 。
11n1。
、x n 12、2。
训练题：1、解以下方程：111xx 12〔1〕31〔2〕24〔3〕1111x16412452、解以下关于x的方程：〔1〕a223x 1〔〕ax3x2ab1〔〕xbxa2323a2b3、a为何值时，方程x a x1x 12有无数多个解？无解？3264、当k取何值时，关于x的方程3x1 5kx，分别有〔1〕正数解；〔2〕负数解；〔3〕不大于1的解。
第四讲 一元一次方程
一个加数 = 和 - 另一个加数 被减数 = 差 + 减数 减数 = 被减数 - 差
一个因数 = 积÷另一个因数 被除数 = 商×除数 除数 = 被除数÷商
3.解方程的一般步骤 （1）根据四则运算中个部分之间的相互关系，求出 x （2）把 x 的值代入元方程检验
精讲精练
例题 1、在 2x 1、3 5 6 2 、 x 1 5 、3x 15 中，______________是方程， 这个方程的解是___________________.
（9）等式 3×（□ + 10）+ □ = 38 中，□所代表的数是（
）
A.2
B.4
C.3
D.1
（10）、甲、乙两数，他们的和为 30，甲数是乙数的 2 倍，甲、乙分别是（
）
A.10、20 B.20、10 C.15、30 D.30、15
三、解答题
（11）解下列方程
① 6x 10 11x
②3x 1 9 x
30 - 4×□ = 2
（2）_______________加上 5 再乘以 4 等于 36
（3）有一个数，除以 5，乘以 4，减去 15，再加上 35，等于 100，这个数是______。
（4）如果甲乙两数之和为 24，甲乙两数之差为 14，那么甲是___ ，乙是____。
（5）如果 x 8 13 ，那么 3x 8 = ______________。
练习 1、填空： ①__________ + 5 = 17 ③1000×________ = 0
例题 2、解方程 2x 5 17
小升初数学衔接班第4讲——一元一次方程的解法(二)
小升初数学衔接班第4讲——一元一次方程的解法（二）一、学习目标1、熟练掌握一元一次方程的解法；2、根据一元一次方程的特点，灵活安排各步骤的顺序，达到简化计算的目的，初步掌握利用整体思想解方程。
二、学习重点学会观察方程特点，重点掌握去分母、去括号、移项和合并的时机和顺序，理解整体思想，为初中学习换元法做准备。
三、课程精讲1、知识回顾上一讲大家学习了一元一次方程的解法，下面我们通过例题来复习一下。
例1、解方程21101211364x x x -++-=-思路导航：解含分数系数的一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1。
解答：去分母，得4(21)2(101)3(21)12x x x --+=+- 去括号，得842026312x x x ---=+- 移项，得123426208x x x ---=+- 合并，得318x =，即183x = 系数化为1，得16x =点津：要养成为每一步变形找依据的习惯，不能“跟着感觉走”。
仿练：解方程322126x x x -+-=-解答：去分母，得63(32)6(2)x x x --=-+ 去括号，得69662x x x -+=-- 移项，得66692x x x ++=+- 合并，得1313x = 系数化为1，得1x =2、新知探秘知识点一 分母中含有小数的一元一次方程 例2、解方程4 1.550.8 1.20.50.20.1x x x ----=思路导航：此题分母是小数，直接用上述方法去分母不方便，需要先将其化为整数。
解答：利用分数的基本性质，原方程可化为2(4 1.5)5(50.8)10( 1.2) x x x---=-去括号，得832541012x x x--+=-移项，得412310258x x x+-=+-合并，得1327x=，即2713x=系数化为1，得1327 x=点津：在分母化整时要注意使用的依据。
例3、解方程0.150.1330200.30.110.07300.2x x x++--=+思路导航：此题有的分数的分母需要化为整数，而有的分数却需要约分以减小分母，使得解题过程得以简化。
1.1小学必学奥数一元一次方程解法综合
1、认识了解方程及方程命名2、移项、系数、解方程、方程的解等名词的意思一定要让学生了解3、运用等式性质解方程4、会解简单的方程一、方程的起源方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。
《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。
在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。
例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。
古代解方程的方法是利用算筹。
我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。
二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。
一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。
《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。
同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！二、方程的重要性方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。
渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。
三、相关名词解释1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式2、等式：表示相等关系的式子3、方程：含有未知数的等式4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程； 如：37x +=，71539q +=，222468m ⨯+=（），一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值； 如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。
所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。
一元一次方程讲课
一元一次方程讲课一、一元一次方程的基本概念二、解一元一次方程的基本方法1.移项法：通过移动方程中的项，将未知数所在的项移到方程的一边，常数项移到另一边，得到形如x=c的解。
2.消元法：通过将方程两边同乘或同除一个非零常数，使方程中一些系数为1，从而得到更简单的方程。
3.代入法：通过将方程中的一些已知值代入方程，求解未知数。
4.图像法：通过绘制方程左右两边的函数图像，找到方程的解。
三、解一元一次方程的实例分析例1：解方程2x+3=7解：可以通过移项的方法解这个方程。
我们将方程改写为2x=7-3，即2x=4、然后再除以2，得到x=2、所以方程的解是x=2例2：解方程3x-5=2x+4解：可以通过移项法解这个方程。
我们将方程改写为3x-2x=4+5，即x=9、所以方程的解是x=9例3：解方程2(x+1)-3(x-2)=4-5x。
解：可以通过消元法解这个方程。
我们首先将方程中的括号展开，得到2x+2-3x+6=4-5x。
然后将x的系数合并，得到-x+8=4-5x。
接着将方程两边的x合并，得到4x+8=4、最后将常数合并，得到4x=4-8，即4x=-4、所以方程的解是x=-1四、一元一次方程的应用1.线性关系问题：一元一次方程可以应用于描述两个变量之间的线性关系，例如公司的销售额与广告投入之间的关系。
2.调和比例问题：一元一次方程可以应用于调和比例问题中，例如两个水管同时放水，求两个水管放水的时间。
3.平均值问题：一元一次方程可以应用于求平均值的问题，例如求一个班级的平均成绩。
4.配对问题：一元一次方程可以应用于配对问题中，例如商店举办打折活动，求购买商品前后的价格变化。
五、总结一元一次方程是数学中一种基本的代数方程，它可以应用于描述线性关系、调和比例、平均值和配对等问题。
解一元一次方程的基本方法包括移项法、消元法、代入法和图像法等。
通过学习一元一次方程的概念和解法，我们能够更好地理解和应用代数中的基本概念。
一元一次方程(奥数)
解：设 (有一年姐姐的岁数是今年妹妹 的岁数,那时姐姐的岁数是妹妹的2倍) 那时妹妹X岁.则现在妹妹年龄为：2X. 现在姐姐为2X+X岁. 2X+2x+x=55 5x=55 x=11
现在妹妹年龄=2x=2x11=22 现在姐姐年龄=2x+x=2x11+11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ33
答:姐妹今年的年龄分别是33岁和22岁.
思考:
鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。大 约在1500年前，《孙子算经》中就记载了 这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今 有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若 干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35 个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几 只鸡和兔？
问题2:今年姐妹两人的岁数加起来是55 岁，曾经有一年姐姐的岁数是今年妹妹 的岁数，那时姐姐的岁数恰好是妹妹岁 数的2倍。问姐妹今年各多少岁？
年龄问题的特点是“年龄差”不变，“曾经有一 年姐姐的岁数是妹妹的岁数,那时姐姐的岁数恰好 是妹妹岁数的2倍”，就是说，当姐妹俩都各自减 少年龄差时，姐姐的年龄正好是妹妹的2倍，姐妹 俩的年龄差正好等于那时妹妹的年龄，所以，当 姐姐以前的年龄和今年妹妹年龄一样大时，运用 和倍问题的思路可以求出那时妹妹的年龄，进而 求得姐姐今年的年龄： 55÷（2+1+2）=11（岁）， 11×（2+1）=33岁。 妹妹的年龄是 55-33=22岁
你知道丢番图去世时的年龄吗?请你列出方程 来算一算.
解 设令丢番图年龄为x岁，依题意，得
1 1 1 1 x+ x+ x+5+ x+4 = x 6 12 7 2
去分母，得
五年级奥数 列一元一次方程解应用题 姓名
五年级奥数列一元一次方程解应用题姓名：探究必备列一元一次方程解应用题必须熟悉和掌握以下有关知识：1、一元一次方程的含义：我们刚刚学习的简易方程都是一元一次方程，但是一元一次方程并不是简易方程。
2、同解方程及其两个原理。
如果两个方程的解相同，那么这两个方程就叫做同解方程。
如x+2=5和x+3=6这两个方程是同解方程。
原理1：方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程。
原理2：方程的两边都乘（或都除以）不等于零的同一个数，所得方程与原方程同解。
3、合并同类项与去括号。
4、一元一次方程的解法。
以上步骤有的可能用不到，应根据方程的特点和形式加以灵活应用，熟练后可以简化。
解答题1、小红的父亲比母亲大4岁,在过7年,父亲和母亲的年龄和是90岁,现在小红的父亲母亲各是多少岁?2、一个三位数，各位数字的和是15，百位数字比个位数字的2倍多1，十位数字比个位数字的2倍少1，求这个三位数？3、玲玲今年9岁，再过多少年，父亲的年龄正好是玲玲的2倍？4、被除数与除数的和是50岁，如果被除数与除数都减去7，那么被除数是除数的3倍，原来的被除数是多少？5、甲、乙、丙三数之和是94，已知甲数除以乙数，乙数除以丙数都是商6余1，丙数是多少？6、若干同学去划船.若每船坐4人,多13人；若每船坐13人,则多3个空位.有几位同学?7、小李邮票是小王的1.5倍,李送王20张后,王又买了25张,这时,李还比王多40张.求原二人各几张.8、金桥小学高年级学生参加广播操表演的同学比不参加的同学多400人,现因需要又增加40人参加广播操表演,这样参加的人数正好是不参加人数的4倍.金桥小学高年级共有学生多少人?9、幼儿园大班每人发17张画片，小班每人发13张画片，已知大班人数比小班人数多18人，且小班比大班多发了126张画片，小班有多少人？10、有一些糖，每人分5块多10块，如果现有的人数增加到原来人数的1.5倍，那么每人4块就少2块．这些糖共有多少块？11、某校学生参加数学竞赛，考了两场试，第一场及格的人数比不及格的人数的4倍多2人，第二场及格的人数增加2人，这时及格的人数正好是不及格人数的6倍。
小四奥数(一元一次方程)
年级：小四辅导科目：奥数课时数：3课题一元一次方程教学目的运用一元一次方程来解决问题，显得十分简便，了解一元一次方程的意义和作用．教学内容我们学过这样填括号的题，如( )+8=15．括号里的数怎样求解呢？这个我们可以利用加减法的关系来求解，我们知道，一个加数+另一个加数=和，那么，求其中的一个加数，就可以用和减去另一个加数因为15 -8=7，所以括号里填7．括号里的未知数还可以x来表示，那么x+8=15,x= 15 -8．x=7这就是运用一元一次方程来解决问题，显得十分简便，本讲内容主要向大家介绍它的意义和作用．1．概念(1)方程：含有未知数的等式，叫做方程；(2)方程的解：使方程左有两边相等的未知数的值，叫做方程的解；(3)解方程：求方程的解的过程叫做解方程．2．解方程的依据解方程主要依据加法与减法、乘法与除法的互逆关系：一个加数=和-另一个加数被减数=差+减数减数=被减数-差一个因数=积÷另一个因数被除数=商×除数除数=被除数÷商3．解方程的步骤(1)根据四则运算中各部分间的相互关系，求出x；(2)把x的值代人原方程检验．在2 x+1、3+5 = 6+2、x-l<5、3x=15中，______是方程，这个方程的解是______．方程必须符合两个条件：一是“等式”，二是“含有未知数”．2x+1虽含有未知数，但不是等式；3+5=6+2虽是等式但不含未知数，也不是方程; x-1<8是不等式；3x=15既是等式又含有未知数，所以它是方程．当x=5时，左右两边的值都是15．所以x=5是方程3x=15的解，解在2x+1、3+5= 6+2、x-1<8、3x=15中．3x= 15是方程，这个方程的解是x=5．方程是等式，等式不一定是方程，两者之间关系如图11- l所示．.解方程2x+5=17．解把2x看成一个加数，根据“一个加数=和一另一个加数”得2x=17-5．化简得2x=12，把x看成一个数，根据“一个因数一积÷另一个因数”得x=12÷2．化简得x=6．检验：把x=6代人原方程得左边=2×6+5=17，则左边=右边，所以，x=6是原方程的解，(1)以后解方程，除要求写出检验过程的以外，都用口算进行检验．(2)因为方程是含有末知数的等式，所以每一个方程都有一个等号和两个相等的式子．在解方程的过程中不能连等，一般每一行中只写一个方程，而且方程中的等号要写得上下对齐．(1)填空题：①______+5=17；②30 -______=12;③1000×______=0；④______÷4=8．(2)解下列方程：①x+2.5=3；②x-0.1=1；③999-x=9；④x÷5=20÷4．你做对了吗？答案：（1）①12 ②18 ③0 ④32 （2）①x=0.5 ②x=1.1 ③x=990 ④x=25.解方程2×4- (2x+l) =7．这个方程稍复杂点，我们可以采取“抓主干”、“带枝叶”的办法，即先抓住方程中大范围内的数量关系，再抓住小范围内的数量关系，主次分明了，问题就能顺利解决，先把2x+1看作减数，根据“减数=被减数一差”，将方程变为2x+1=2×4-7，简化即得2x+1=1；再把2x看作一个加数，根据“一个加数=和一另一个加数”，将方程变成2x= 1-1．简化即得2x=0；至此，再根据“一个因数=积÷另一个因数”，即可求出方程的解；最后，可以口算进行检验．解2×4 -（2x+1）=7，→把“2x+1”看作减数，2x+l=2×4-7．2x+1=1，→把“2x"看作一个加数．2x=1-1．2x=0，→把“x”看作一个因数，x=0．.38与一个数的4倍的和是70．求这个数．解设这个数为x．38+4x=70．4x=70-38．x=32÷4．x=8．检验：左边=38+4×8=70，右边=70．所以，x=8是方程的解．.某数加上7再乘以4．减去8，得56．这个数先减去8．再乘以4．然后加上7，得多少？这个问题由两部分组成，根据前半部条件求出这个数，再计算后半部的结果，前半部是一个逆向思考的文字叙述题，用算术方法解容易出现差错，用方程来解，可化难为易，即把逆向思考的问题转化为顺向思考的问题，解设这个数为x，则4(x+7)-8=56．→把“4(x+7)”看成被减数．4(x+7) =56+8．4(x+7) =64，→把“x+7”看成一个因数．x+7=16，→把“x”看成一个加数．x=16 -7,x=9．将x=9代人(x-8)×4+7得(9 -8)×4+7=11．答得数是11.(1) x的6倍与31的和是49，求x．(2)比一个数的2倍少3的数是11，求这个数．（用方程解）你做对了吗？答案：（1）x=3 （2）设这个数为x，则2x-3=11，x=7.□、○、△分别代表一个数，它们满足下列三个等式．试求出它们各代表的是什么数？□+□+△=46，①□+△+△=47，②口+○+△= 48．③解等式①和等式②的等号左、右两边分别相加得3×□+3×△=93，等式两边都除以3得□+△=31．④等式③与等式④的等号左右两边分别相减得○=17．等式②与等式④的等号左右两边分别相减得△=16．等式①与等式④的等号左右两边分别相减得□= 15.所以．□代表15，△代表16，○代表17．(1)下面的等式中，□代表一个未知数，求出它等于多少？□×5+2 -18÷2=3．一、填空题1.(1)2×□+4=24; (2) 30-4×□=2.2.______加上5再乘以4等于36．3.有一个数，除以5，乘以4．减去15，再加上35，等于100，这个数是______．4.如果甲、乙两数之和为24，甲、乙两数之差为14，那么甲是______，乙是____．5.如果x+8=13，那么3x+8=______．6.方程12-3(x-1) =9的解是x=______．二、选择题7.方程3-2x=7x-6的解是( )．(A) x=0 (B) x=1(C) x=2 (D) x=38.在等式4×○-6+7=17中，○代表一个数，它是( )．(A)4 (B)3(C)5 (D)79.等式3×（□+10）+□=38中，□所代表的数是( )．(A)2 (B)4(C)3 (D)110.甲、乙两数，它们的和为30，甲数是乙数的2倍，甲、乙分别是( )．(A) 10、20 (B) 20、10(C) 15、30 (D) 30、15三、简答题11.解下列方程：(1) 6x+10 =11x; (2) 3x+1=9-x.12.列出方程，并求出方程的解．(1)从56里减去x的差的4倍等于12；(2)某数与7的差的7倍等于35．13.看图计算，一把香蕉是多少克？14.●、□、△各代表一个数，它们满足下列三个等式，求它们各代表什么数？△+□+●=53，①△+□+□=51，②△+△十□=48．③15.巳知x和y都是整数，并且x+y=100。
七年级奥数一元一次方程知识点整理
七年级奥数一元一次方程知识点整理
七年级奥数一元一次方程知识点整理
第一、一元一次方程概念。
只含有一个未知数(即“元”)，并且未知数的最高次数为1(即“次”)的整式方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是ax+b=0(a，b为常数，x为未知数，且a≠0)。
求根公式：x=-b/a。
第二、一元一次方程特点。
(1)该方程为整式方程。
(2)该方程有且只含有一个未知数。
(3)该方程中未知数的`最高次数是1。
满足以上三点的方程，就是一元一次方程。
第三、一元一次方程判断方法。
要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。
若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax+b=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元一次方程。
里面要有等号，且分母里不含未知数。
变形公式
ax=b(a，b为常数，x为未知数，且a≠0)
第四、一元一次方程解法种类。
(1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(不含分母的项也要乘);
依据：等式的性质2
(2)去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律(记住如括号外有减号或除号的话一定要变号) 依据：乘法分配律
(3)移项：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边(一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边)
依据：等式的性质1
(4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
依据：乘法分配律(逆用乘法分配律)
(5)系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。
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第四讲 一元一次方程一 重要知识点回顾方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些一元一次方程的解的情况．1）只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a ≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．2）解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．3） 一元一次方程ax=b 的解由a ，b 的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b ≠0，方程变为0·x=b ，则方程无解．解方程预习练习题(1) k(x －2)=3x －1 (2)ax －b=cx ＋d3.关于ｘ的方程19x －a=0的解为19－a,则a=__________.4.若关于x 的方程5x+1=a(2x+3)无解,则a=__________5.若关于x 的方程 ︳2x －1 ︳+m=0无解,则m=____________.已知y=1是方程2－ (m －y)=2y 的解,解关于x 的方程:m(x+4)=2mx －4.已知方程2ax=(a ＋1)x+6,求a 为何整数时,方程的解是正整数.若(3a+2b)x 2+ax+b=0是关于x 的一元一次方程,且x 有唯一解,求这个解.当k 取何值时，关于x 的方程3(x+1)=5-kx ，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．解关于x 的方程(mx-n)(m+n)=0．已知(m 2-1)x 2-(m+1)x+8=0是关于x 的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m 的值．已知关于x 的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a 的值．已知关于x 的方程 且a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．经典例题讲解【例1】 (1)已知关于I 的方程x a x x 4)3(23=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--和1851123=--+x a x 有相同的解，那么这个解是 ．（2）如果20042003)1(11216121=+++++n n ，那么n ＝ ．【例2】 当b=1时，关于x 的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解，则a 等于( )．A ．2B ．一2C ．32- D ．不存在 【例3】 是否存在整数k ，使关于k 的方程(k 一5)x+6=1—5x ；在整数范围内有解?并求出各个解．【例4】 解下列关于x 的方程．(1)4x+b=ax-8； (a ≠4)(2)mx-1＝nx ；(3))2(41)(31m x n x m +=-． 【例5】已知q p 、都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式40p 十101q+4的值．练习1．已知x=一1是关于x 的方程7x 3一3x 2+kx+5=0的解，则k 3+2k 2-11k-85= ．(“信利杯”竞赛题)2．方程0)104(21)25(32)5020(61=+-+++x x x 的解为 ；解方程0333)321(212121=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x ，得x= ．3．已知关于x 的方程2a(x 一1)＝(5一a)x+3b 有无数多个解，那么a ＝ ．(“希望杯”邀请赛试题)4．和方程x 一3＝3x+4不同解的方程是( )．A ．79—4＝59—11B ．0231=++x C ．(a 2+1)(x 一3)＝(3x+4)(a 2+1)D ．(7x 一4)(x —1)＝(5x 一11)(x 一1)5．已知a 是任意有理数，在下面各题中(1)方程ax=0的解是x=1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1(3)方程ax=1的解是x ＝a1 (4)方程a x a =的解是x ＝±1 结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ． 2D ．36．方程231)153(123661-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--x x x 的解是（ ） A ．1415 B ．1415- C ．1445 D ．1445- 7．已知关于x 的一次方程（3a+8b ）x+7=0无解，则ab=( ) ．A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数8．解关于x 的方程：（1）ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1)9．A 为何值时，方程)12(6123--=+x x a x 有无数个解？无解？ 10．已知方程2(x+1)=3(x-1)的解 为a+2，那么方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解为 ．11．已知关于x 的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k = ．12．已知431)119991(441=++x ，那么代数式)19991999(481872xx +⋅+的值为 ． 13．若(3a+2b)x 2+ax+b=0是关于x 的一元一次方程，且有唯一解，则x = ．14．有4个关于x 方程(1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1)(3)x=0 (4)111112-+-=-+-x x x 其中同解的两个方程是（ ）A ．（1）与（2）B ．（1）与（3）C ．（1）与（4）D ．（2）与（4）15．方程1995199619953221=⨯++⨯+⨯x x x 的解是（ ） A ．1995 B ．（1996 C ．1997 D ． 199816．已知2001222==-=+c b a ，且k c b a 2001=++，那么k 的值为（ ）． A ．41 B ．4 C ．41- D ．－4 17．若k 为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有A ．4个B ．8个C ．12个D ．16个关于绝对值方程【例1】方程5665-=+x x 的解是 ．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2 ．【例3】解方程：413=+-x x ；【例4】解下列方程：(1)113+=--+x x x(2)451=-+-x x ．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．练习21．方程15)1(3+=-xx 的解是 ；方程1213+=-x x 的解是 ．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝ ．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为 ．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值 ；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是 ．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是( )．A ．一2B ．0C ．32 D ．不存在 6．方程055=-+-x x 的解的个数为( )．A ．不确定B ．无数个C ． 2个D ．3个7．已知关于 x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是( ) A ．5210或 B ．5210-或 C ．5210或- D ．5210--或 8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于( )．A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一219．解下列方程：(1)8453=+-x ； (2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ； (4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是 ．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是 ．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是 ．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有 个，它们的和是 ．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于( )．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．m>n>k B ．n>k>m C ．k>m>n D ． m>k>n17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有( )．A ．1个B ．2个C ． 3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值．20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．22． (1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．列方程解应用题1．（全国初中数学竞赛题）甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁2．（全国初中数学联赛题）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60m3，按每立方米0.8元收费；如果超过60m3，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元。
那么，4月份这位用户应交煤气费（）A．60元B．66元C．75元D．78元3．（第15届江苏省初中数学竞赛题）汽车以每小时72km的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4s 后听到回声，已知声音的速度是每秒340m，听到回声时汽车离山谷的距离是多少米？4．（希望杯竞赛题）某种电器产品，第件若以原定价的95折销售，可获利150元，若以原定价的75折销售，则亏损50元，则该种商品每件的进价为多少元？5．（第19届江苏省初中数学竞赛题）甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，a小时后相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙。
那么甲、乙两人的速度之比为多少？6．（第17届江苏省竞赛题）美国蓝球巨星乔丹在一场比赛中24投14中，拿下28分，其中三分球三投全中，那么乔丹两分球投中多少个？罚球投中多少球？7．（2005年河南省竞赛题）某种商品的进货价是每件a元，零售价是每件1100元，商店按零售价的80%降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则a为多少元？8．（希望杯竞赛题）甲、乙两列客车的长分别为150m和200m，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10s，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是多少秒？9．（第14届五羊杯竞赛题）五羊中学数学竞赛，满分120分，规定不少于100分的获金牌，80至99分的获银牌，统计得金牌数比银牌数少8，奖牌数比不获奖人数少9，后来改为不少于90分的获金牌，70至89分的获银牌，那么金、银牌都增加了5块，而且金牌选手和银牌选手的总分刚好相同，平均分分别是95分和75分，则参赛总人数是多少？10．（2005年河南省竞赛题）把99拆成四个数，使得第一个数加上2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等，那么这四个数是多少？11．（第16届希望杯竞赛题）在公路上，汽车A，B，C分别以80km/h，70km/h，50km/h的速度匀速行驶，A从甲站开往乙站，同时，B，C从乙站往甲站。