2015年吉林省高考模拟试题_吉林省长春市十一中学高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
2014-2015年吉林省长春十一中高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年吉林省长春十一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（此大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．（5分）若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C．D．{x|0＜x＜2}2．（5分）已知函数f（x﹣1）=x2﹣3，则f（2）的值为（）A．﹣2 B．0 C．1 D．63．（5分）三棱锥又称四面体，则在四面体A﹣BCD中，可以当作棱锥底面的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（5分）已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系（）A．b∥αB．b与α相交C．b⊂α D．b∥α或b与α相交5．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b26．（5分）以（2，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣1）2=4 B．（x+2）2+（y+1）2=4 C．（x﹣2）2+（y+1）2=16 D．（x+2）2+（y﹣1）2=167．（5分）赋值语句N=N+1的意义是（）A．N等于N+1B．N+1等于NC．将N的值赋给N+1D．将N的原值加1再赋给N，即N的值增加18．（5分）用秦九韶算法计算f（x）=6x5﹣4x4+x3﹣2x2﹣9x﹣9，需要加法（或减法）与乘法运算的次数分别为（）A．5，4 B．5，5 C．4，4 D．4，59．（5分）k进制数32501（k），则k不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）以下四个命题：①∀x∈R，x2﹣3x+2=0；②∃x∈Q，x2=2；③∃x∈R，x2+1=0；④∀x∈R，4x2＞2x﹣1+3x2．其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A．2 B．3 C．4 D．412．（5分）椭圆+=1上有n个不同的点P1、P2、…、P n，椭圆的右焦点为F，数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A．2000 B．2006 C．2007 D．2008二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若角α的终边经过P（﹣3，b），且tanα=﹣，则sinα=．14．（5分）已知向量，，若，则m=．15．（5分）sin20°cos40°+sin70°sin40°=．16．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输入s的值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．18．（12分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AC=∠ACB=，∠AA1C=，侧棱BB1与底面所成的角为，AA1=4，BC=4．求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V．19．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图形如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低总造价．20．（12分）已知△ABC三个内角A，B，C的对边，sinAcosC+sinAsinC﹣sinB ﹣sinC=0（1）求A；（2）若a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a=2，△ABC的面积为，求b，c．21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．22．（10分）已知椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上的不同两点A（x1，y1）、C （x2，y2）．（1）求椭圆的方程；（2）若弦AC中点的横坐标为4，设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m 的取值范围．2014-2015学年吉林省长春十一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（此大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．（5分）若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C．D．{x|0＜x＜2}【解答】解：由，B={x|1≤x＜2}，两解集画在数轴上，如图：所以A∪B={x|0＜x＜2}．故选：D．2．（5分）已知函数f（x﹣1）=x2﹣3，则f（2）的值为（）A．﹣2 B．0 C．1 D．6【解答】解：令x﹣1=2，可得x=3，故f（2）=32﹣3=6，故选：D．3．（5分）三棱锥又称四面体，则在四面体A﹣BCD中，可以当作棱锥底面的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：在四面体A﹣BCD中，任何一个面（三角形）都可以当作棱锥底面．因此在四面体A﹣BCD中，可以当作棱锥底面的三角形有4个．故选：D．4．（5分）已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系（）A．b∥αB．b与α相交C．b⊂α D．b∥α或b与α相交【解答】解：∵两条相交直线a、b，a∥平面α，∴当b∥α时，a与b可以相交，当b与α相交时，a与b可以相交，当b⊂α时，a与b与平行或异面，不能相交．故选：D．5．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，f（x）=在（﹣∞，0）单调递减，所以＞成立；∵a＜b＜0，0＞a﹣b＞a，f（x）=在（﹣∞，0）单调递减，所以＜，故B不成立；∵f（x）=|x|在（﹣∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）=x2在（﹣∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．6．（5分）以（2，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣1）2=4 B．（x+2）2+（y+1）2=4 C．（x﹣2）2+（y+1）2=16 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16【解答】解：以（2，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=16．故选：C．7．（5分）赋值语句N=N+1的意义是（）A．N等于N+1B．N+1等于NC．将N的值赋给N+1D．将N的原值加1再赋给N，即N的值增加1【解答】解：赋值语句的一般格式：变量=表达式赋值语句中的“=”称作赋值号；赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；故选：D．8．（5分）用秦九韶算法计算f（x）=6x5﹣4x4+x3﹣2x2﹣9x﹣9，需要加法（或减法）与乘法运算的次数分别为（）A．5，4 B．5，5 C．4，4 D．4，5【解答】解：f（x）=6x5﹣4x4+x3﹣2x2﹣9x﹣9=（（（（6x﹣4）x+1）x﹣2）x﹣9）x﹣9，∴需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为5，5．故选：B．9．（5分）k进制数32501（k），则k不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：因为5进制数有5个数字，0，1，2，3，4，最大数字为4，从而5进制数中不能出现5．故选：A．10．（5分）以下四个命题：①∀x∈R，x2﹣3x+2=0；②∃x∈Q，x2=2；③∃x∈R，x2+1=0；④∀x∈R，4x2＞2x﹣1+3x2．其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：A．当x=0时，x2﹣3x+2=0不成立，∴A错误．B．由x2=2，解得x=±∉Q，∴B错误．C．∀x∈R，x2+1≥1，∴x2+1=0不成立，∴C错误．D．由4x2＞2x﹣1+3x2得x2﹣2x+1＞0，即（x﹣1）2＞0，则x≠1，∴D错误．故真命题的个数为0个．故选：A．11．（5分）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A．2 B．3 C．4 D．4【解答】解：双曲线的左焦点坐标为：，抛物线y2=2px的准线方程为，所以，解得：p=4，故选：C．12．（5分）椭圆+=1上有n个不同的点P1、P2、…、P n，椭圆的右焦点为F，数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A．2000 B．2006 C．2007 D．2008【解答】解：由椭圆方程+=1得，a=2、b=、c=1，所以右焦点为F（1，0），离心率e=，设P（x n，y n），P到右准线x=4的距离为d n=4﹣x n，根据圆锥曲线的统一定义得，=e=，所以|P n F|=（4﹣x n）=2﹣x n，因为数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，所以|P n F|﹣|P1F|＞，可得x1﹣x n＞，化简得x1﹣x n＞，结合椭圆上点的横坐标的范围，得x1﹣x n＜2a=4所以＜4，解得n＜2001，得n的最大值为2000，故选：A．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若角α的终边经过P（﹣3，b），且tanα=﹣，则sinα=．【解答】解：由题意可得tanα==﹣，∴b=5，∴r=|OP|==，∴sinα==，故答案为：．14．（5分）已知向量，，若，则m=．【解答】解：∵，∴﹣1×3+2m=0，解得．故答案为．15．（5分）sin20°cos40°+sin70°sin40°=．【解答】解：sin20°cos40°+sin70°sin40°=sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin（20°+40°）=sin60°=，故答案为：．16．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输入s的值为8．【解答】解：执行程序框图，有n=8，i=2，k=1，s=1，满足条件i＜n，有s=2，i=4，k=2，满足条件i＜n，有s=4，i=6，k=3，满足条件i＜n，有s=8，i=8，k=4，不满足条件i＜n，输出s的值为8．故答案为：8．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．因为a3=﹣6，a6=0所以解得a1=﹣10，d=2所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，所以﹣8q=﹣24，即q=3，所以{b n}的前n项和公式为18．（12分）如图所示，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AC=∠ACB=，∠AA1C=，侧棱BB1与底面所成的角为，AA1=4，BC=4．求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V．【解答】解：在Rt△AA1C中，AC=AA1•tan∠AA1C=4×=4．作B1H⊥平面ABC，垂足为H，则∠B1BH=，在Rt△B1BH中，B1H=BB1•sin∠B1BH=AA1•sin=4×=6．•B1H=×4×4×6=48．∴V=S△ABC19．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图形如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【解答】解：设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f（x）=400×（2x+）+248×2x+80×162=1296x++12960 =1296（x+）+12960≥1296×2×+12960=38880（元），当且仅当x=（x＞0），即x=10时，取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．20．（12分）已知△ABC三个内角A，B，C的对边，sinAcosC+sinAsinC﹣sinB ﹣sinC=0（1）求A；（2）若a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a=2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）因为A+B+C=π，所以B=π﹣（A+C），代入sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0的，sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC=0，sinAcosC+sinAsinC﹣sinAcosC﹣cosAsinC﹣sinC=0sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC=0，因为sinC≠0，所以sinA﹣cosA=1，即，因为0＜A＜π，所以，则，所以A=；（2）因为，△ABC的面积为，所以，即bc=4，①由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，则4═b2+c2﹣bc，即b2+c2=8，②由①②解得，b=c=2，所以b，c的值都是2．21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0，化为．∴．（t 1t2=4＞0）．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．22．（10分）已知椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上的不同两点A（x1，y1）、C （x2，y2）．（1）求椭圆的方程；（2）若弦AC中点的横坐标为4，设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆定义知，2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5，又c=4，所以b==3，则椭圆的方程为：；（2）设弦AC中点P的坐标是（4，y0），所以x1+x2=8，y1+y2，=2y0，因为A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，所以9x12+25y12=9×25，①9x22+25y22=9×25，②由①﹣②得，9（x12﹣x22）+25（y12﹣y22）=0，9（x1﹣x2）（x1+x2）+25（y1﹣y2）（y1+y2）=0，所以9×8×（x1﹣x2）+25×2y0×（y1﹣y2）=0，③因为弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，中点P的坐标是（4，y0），所以k≠0，即x1≠x2，则=，则③化为：36+25×y0×（）=0，解得k=，由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上得，y0=4k+m，所以m=y0﹣4k=y0﹣=﹣，由点B（4，y B）在椭圆上，解得y B=，所以﹣＜y0＜，则﹣＜﹣＜，所以m的取值范围是：﹣＜m＜．。
吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第三次摸底考试英语试卷
2023-2024学年上学期东北师大附中（英语）科试卷高三年级第三次摸底考试考试时长：120分钟试卷分值：150分注意事项：1. 答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 回答非选择题时，请使用0. 5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。
4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一部分听力（1-20小题）在笔试结束后进行。
第二部分阅读（共两节，满分50分）第一节（共15小题；每小题2. 5分，满分37. 5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳选项。
ADear Tommy,I am Ole Orvér, Finnair’s chief commercial officer. It’s my pleasure to warmly welcome you back to the skies with Finnair. I’d like to reflect on some of the developments that we hope you find exciting and helpful:·This summer season you can fly with Finnair to over 70 European and five US destinations. In Asia, we serve eight cities, including Guangzhou and newly added Mumbai starting 6 August. We operate over 300 daily flights and I’m excited about the addition of Seattle and Dallas to our US network.·Travel is recovering everywhere, and airports around the world are working hard to manage increased traffic volumes. It is a good idea to reserve some extra time at the airport before your flight. We are doing our very best together with our partners both at Helsinki and in our outstations to offer you a smooth travel experience during this popular travel season.·You are again able to offset flight carbon emissions (碳补偿), this time with a service that combines sustainable aviation (航空) fuel and certified climate projects. We at Finnair have ambitious emissions targets and our customers wish for a simple and transparent way to contribute.·Finnair Plus turned 30 in May. We are committed to developing the programme further to serve you in the best possible way. To make your flight bookings smoother, we recently upgraded the experience of booking award flights in the Finnair app.Finally, I’d like to thank you for your patience when we haven’t got things quite right. Wherever you’re travelling in the next few months, I hope it’s memorable. Thank you for flying Finnair.Kind Regards,Ole Orvér21. Which city is a new addition to the Finnair’s Asian network?A. Guangzhou.B. Mumbai.C. Seattle.D. Dallas.22. What is Finnair doing to help the environment?A. Launching a climate project.B. Developing sustainable fuels.C. Donating to a green programme.D. Offering a carbon offset service.23. Why does Finnair write this letter to Tommy?A. To express sincere gratitude.B. To introduce new routes.C. To apologize for bad service.D. To keep a regular customer.BI’m a talker. I’m into debating, gossiping and teasing. I solve problems by talking them through. This works perfectly well when I have people to talk to. Under lockdown, however, I’ve only had my partner, Peter. We not only lived, worked and traveled together, but mostly socialized together, too. Under the first UK lockdown, our constant closeness began to feel uncomfortable.For the first time in our 10 years together, we needed to be alone. I tried to manufacture this by going on walks on my own, but a short walk in the local park wasn’t doing the job. I considered my options and hit upon an idea: the semi-solo hike. Could we do a circular hike but walk in different directions? This would give us the space and peace of a solo hike. It felt like a promising compromise, so I told him about it. He thought it was thoroughly silly but agreed to give it a try.We started with a four-mile loop(环形) from Reeth. At the start, we parted ways. At first, I was aware of how close we were, which lessened the appeal Walking alone offers freedom and alone time, but here I was with my boyfriend nearby. As I gained ground, however, I found myself very much alone. I set my own pace, and I decided to take my time.I sat on a rock and breathed out. That moment —with the weak sun through the clouds and the breeze blowing across makeshift pools —felt extraordinary to me. I was born and raised in London and had never imagined leaving until I met an outdoorsman. Now, my former life as a city girl felt crazy. Realizing what I had gained, I felt the tension leave me. There, in the chilly air, I no longer needed to talk. The semi-solo hike gave us a shared experience with added room to breathe. I didn’t see Peter on route but reunited back where we started, both of us sheepish (难为情的) but pleased. The semi-solo hike is admittedly silly in theory, but for me it has been a lifeline. It has given me the gift of time alone and, in a year of constant closeness, the joy of reuniting.24. Why did the author decide to do a semi-solo hike?A. To get rid of the lockdown.B. To find some individual space.C. To meet more people to socialize.D. To seek the pleasure of reuniting.25. How did the author feel at the beginning of the hike?A. Curious.B. Thrilled.C. Unsatisfied.D. Relaxed.26. What can be inferred from the last paragraph?A. Interest is the best teacher.B. Exercise helps increase confidence.C. Living in the city limits our imagination.D. An appropriate distance creates happiness.27. What is the best title for the text?A. Hiking TogetherB. Spending Time ApartC. Taking Exercise AloneD. Reuniting with My PartnerCWith an abundance of sun and wind, Spain is positioning itself as Europe’s future leader in green hydrogen production to clean up heavy industries. But some energy experts express caution because this process relies on massive availability of zero-carbon electivity.Green hydrogen is created when renewable energy sources power an electrical current that runs through water, separating its hydrogen and oxygen molecules (分子). The process doesn’t produce planet-warming carbon dioxide, but less than 0. 1% of global hydrogen production is currently created in this way.The separated hydrogen can be used in the production of steel, ammonia (氨) and chemical products, all of which require industrial processes that are harder to stop fossil fuels. Hydrogen also can be used as a transportation fuel, which could one day transform the highly polluting shipping and aviation sectors.Spain’s large, windswept and thinly populated territory receives more than 2, 500 hours of sunshine on average per year, providing ideal conditions for wind and solar energy, and therefore green hydrogen production.“If you look at where hydrogen is going to be produced in Europe in the next million years, it’s in two countries, Spain and Portugal,” said Thierry Lepercq, the founder and president of HyDeal Ambition, an industry platform bringing together 30 companies. “Hydrogen is the new oil.”Lepercq is working with companies like Spanish gas pipeline corporation Enagas and global steel giant ArcelorMittal to design an end-to-end model for hydrogen production, distribution and supply at a competitive price. Criticism has centered on green hydrogen’s higher cost compared with highly-polluting “gray hydrogen” drawn from natural gas. Lepercq argues that solar energy produced in Spain is priced low enough to compete.Globally, Lepercq said, “Electricity is 20% of energy consumption. What about the 80% that is not electrified? ... You need to replace those fossil fuels. Not in 50 years’ time. You need to replace them now.”28. Why are some experts cautious about green hydrogen production in Spain?A. It needs large amounts of sun and wind.B. It has an effect on heavy industries.C. It causes conflicts among countries.D. It uses lots of zero-carbon electricity.29. What is the advantage of green hydrogen production in Spain?A. Ideal geographical conditions.B. The support from government.C. Hydrogen production technology.D. Well-developed public transports.30. What can be inferred about green hydrogen in Spain according to Lepercq?A. It is highly priced.B. It is easy to store.C. It is competitive.D. It is highly-polluting.31. What is the passage mainly about?A. Spain manages to use zero-carbon electricity.B. Spain struggles to lead EU in heavy industry.C. Spain takes the lead in preventing air pollution.D. Spain replaces fossil fuel with green hydrogen.DSearch “toxic parents”, and you’ll find more than 38, 000 posts, largely urging young adults to cut ties with their families. The idea is to safeguard one’s mental health from abusive parents. However, as a psychoanalyst (精神分析学家), I’ve seen that trend in recent years becomes a way to manage conflicts in the family, and I have seen the severe impacts estrangement(疏远) has on both sides of the divide. This is a self-help trend that creates much harm.“Canceling” your parent can be seen as an extension of a cultural trend aimed at correcting imbalances in power and systemic inequality. Today’s social justice values respond to this reality, calling on us to criticize oppressive and harmful figures and to gain power for those who have been powerless. But when adult children use the most effective tool they have —themselves —to gain a sense of security and ban their parents from their lives, the roles are simply switched, and the pain only deepens.Often, what I see in my practice are cases of family conflict mismanaged, power dynamics turned upside down rather than negotiated. I see the terrible effect of that trend: situations with no winners, only isolated humans who long to be known and feel safe in the presence of the other.The catch is that after estrangement, adult children are not suddenly less dependent. In fact, they feel abandoned and betrayed, because in the unconscious, it doesn’t matter who is doing the leaving; the feeling that remains is “being left”. They carry the ghosts of their childhood, tackling the emotional reality that those who raised us can never truly be left behind, no matter how hard we try.What I have found is that most of these families need repair, not permanent break-up How can one learn how to negotiate needs, to create boundaries and to trust? How can we love others, and ourselves, if not through accepting the limitations that come with being human? Good relationships are the result not of a perfect level of harmony but rather of successful adjustments.To pursue dialogue instead of estrangement will be hard and painful work. It can’t be a single project of “self-help”, because at the end of the day, real intimacy (亲密关系) is achieved by working through the injuries of the past together. In most cases of family conflict, repair is possible and preferable to estrangement —and it’s worth the work.32. Why do young people cut ties with the family?A. To gain an independent life.B. To restore harmony in the family.C. To protect their psychological well-being.D. To follow a tendency towards social justice.33. What does the underlined word “catch” in Paragraph 4 mean?A. Response.B. Problem.C. Operation.D. Emphasis.34. To manage family conflict, the author agrees that young adults should ________.A. break down boundariesB. gain power within the familyC. live up to their parents’ expectationsD. accept imperfection of family members35. What’s the author’s purpose of writing the passage?A. To advocate a self-help trend.B. To justify a common social value.C. To argue against a current practice.D. To discuss a means of communication.第二节（共5小题；每小题2. 5分，满分12. 5分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
吉林省长春市市第十一中学2018-2019学年高一数学文上学期期末试题含解析
吉林省长春市市第十一中学2018-2019学年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 倾斜角为135?，在轴上的截距为的直线方程是（）A. B. C. D.参考答案：D2. 已知数列的前项和为,则数列的前10项和为（）A.56B.58C.62D.60参考答案：D略3. 设为定义于R上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（）参考答案：A略4. 已知函数是定义域为的奇函数，且，那么的值是A. B. C. D.无法确定参考答案：A5. 给出下列命题，其中正确命题的个数为（）①在区间（0，+∞）上，函数y=x﹣1，y=，y=（x﹣1）2，y=x3中有三个增函数；②若log m3＜log n3＜0，则0＜n＜m＜1；③若函数f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称；④若函数f（x）=3x﹣2x﹣3，则方程f（x）=0有两个实数根．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①在区间（0，+∞）上，y=，y=x3是增函数；②若log m3＜log n3＜0，则?则?0＜n＜m＜1；③奇函数关于原点对称，函数f（x）向右平移1个单位后，f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称；④方程f（x）=0有两个实数根，就是函数f（x）=3x与f（x）=2x+3的交点．【解答】解：对于①在区间（0，+∞）上，y=，y=x3是增函数，故①错；对于②若log m3＜log n3＜0，则?则?0＜n＜m＜1，故②正确；对于③奇函数关于原点对称，函数f（x）向右平移1个单位后，f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，故③正确；对于④方程f（x）=0有两个实数根，就是函数f（x）=3x与f（x）=2x+3的交点，画出图象即可看出交点是两个，故④正确．故选：C6. 焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D7. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，，，则△ABC的形状可能是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 钝角或锐角三角形D. 锐角、钝角或直角三角形参考答案：C【分析】由正弦定理得, 求出角B的范围，再求出角C的范围得解.【详解】由正弦定理得,因为，，所以,且,所以.所以三角形是锐角三角形或钝角三角形.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8. 若直线与直线垂直，则实数a的值是（）A. B. 1 C. D. 2参考答案：A【分析】根据直线的垂直关系求解.【详解】由与垂直得：，解得，故选A.【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系,属于基础题.9. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°参考答案：D【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，由此能求出AM与BN所成角的大小．【解答】解：如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°．故选：D．10. 已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）参考答案：A【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量=即可得出．【解答】解：向量==（﹣3，﹣1）+（﹣4，﹣3）=（﹣7，﹣4）．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 方程的解的个数为_______________个.参考答案：略12. 若扇形的周长为10，半径为2，则扇形的面积为__________ .参考答案：6设扇形弧长为，因为扇形的周长为，半径为，则，扇形面积为，故答案为.13. 设集合，集合。
荣昌初级中学2025级九年级上期期中考试数学试题(答案)
荣昌初级中学2025级九年级上期期中考试数学试卷(全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟)注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成.参考公式：抛物线(a≠0)的顶点坐标为（，），对称轴为.一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分).1. 下列四个图形分别是重庆航空、山东航空、海南航空和春秋航空公司标志的部分图案，其中属于中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A2. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（）A. B. C. D.【答案】B3. 抛物线y=2(x+1)2−1的对称轴是（）A. x=−1B. y=−1C. x=1D. y=1【答案】A4. 已知点M(m,−1)与点N(3,n)关于原点对称，则m+n的值为（）A. 3B. 2C. −2D. −3【答案】C5. 若m是方程x2+x−1=0的一个根，则2024－2m2－2m的值为（ ）A. 2 025B. 2 024C. 2 023D. 2 022【答案】D6. 的值应在（）A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间【答案】B7. 用边长为1的小等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形有6个边长为1的小三角形，第②cbxaxy++=2ab2-abac442-abx2-=132∠=︒2∠68︒58︒45︒32︒2⎛⎝个图形有10个边长为1的小三角形，第③个图形有14个边长为1的小三角形，第④个图形有18个边长为1的小三角形，…，按照这个规律排列下去，第⑩个图形中边长为1的小三角形的个数为（ ）A. 34B. 38C. 42D. 46 8题图【答案】C 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD 、BD ，若AC ＝6，BD ＝5，则BC 的长为（ ）A ．12B ．C ．10D ．8【答案】D【解析】【详解】解：如图，连接,∵AB 是的直径，，是的弦，∴∠ADB ＝，∵CD 是∠ACB 的平分线∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴，∴；故选：．9. 在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE ，并延长至点，使，连接DF ，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】解：四边形是正方形，AB =BC =CD =AD ，，102==BD AB 822=-=AC AB BC BC O e AC BC O e 90ACB ∠=︒D ABCD AB A AE αF CF CB =DFC ∠452α︒+45α︒+90BCF BCD α=∠-∠=︒-245α-︒ ABCD ∴90ABC BCD ∠=∠=︒由旋转的性质可知，，，，，，，，，，10. 已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（ ）①若，则； ②；③前2024个式子中，a 的系数为偶数的代数式有674个A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】B【解析】【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，，若，则，故①正确；，故②正确；推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a 的系数为偶数的代数式有675个，故③错误．故选B ．二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 .11. 方程x (x−3)=0的解是．【答案】x 1=0,x 2=312. 若抛物线y =x 2+8x +m 的顶点在x 轴上，则m =______________．【答案】m =16.13. 已知一元二次方程kx 2－4x ＋2＝0有实数解，则k 的取值范围是 ______________．【答案】k ≤2且k ≠0.BAE α∠=AB AE =1809022ABE AEB αα︒-∴∠=∠==︒-2CBF ABC ABE α∴∠=∠-∠=CF CB =∴2CBF CFB α∠=∠=CF CD =18021802BCF αα∴∠=︒-⨯=︒-90DCF BCF BCD α∴∠=∠-∠=︒-1m a =22m a =3123m m m a =+=4325m m m a =+=34n m a =8n =12310231m m m m a +++⋅⋅⋅=1m a =22m a =3123m m m a =+=4325m m m a =+=5348m m m a =+=613m a =721m a =834m a =955m a =1089m a =34n m a =8n =12310235...89231m m m m a a a a a a +++⋅⋅⋅=+++++=202436742÷=【详解】解：一元二次方程kx 2－4x ＋2＝0有实数解，∴k ≠0且，即△＝16－8k ≥0解得k ≤2，的取值范围为k ≤2且k ≠0.．14. 某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．【答案】1500250015. 如图，四边形ABCD 是⊙O 内接四边形，若∠AOC =130°，则∠ABC =______°．【答案】115.【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角的性质．【详解】四边形是⊙O 内接四边形，∠ADC =65°，∴∠ABC =180°−65°=115°，16. 若关于x 的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且使关于y 的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是______．【答案】12【解析】【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组有解且最多有3个整数解，∴，∴；解得：，∵分式方程有整数解，∴是整数，且y ≠1，即a ≠－2且a 为偶数. 0∆≥k ∴x ()2150111815x += ABCD 31231x x x a -⎧->⎪⎨⎪-≤⎩53711a y y y-=+--1x >-13a x ≤+1133a +-<<48a -<<53711a y y y -=+--22a y =+53711a y y y-=+--22a y =+∴，a ＝2，4，6∴所有满足条件的整数的值之和是2+4+6=12.故答案为：12．17.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 边上的点，AF 与DE交于点M ，N 为AE 的中点，连接MN ，若，CE=DF ，CF=3DF ，则MN 的长度为________．18. 一个各数位上的数字不完全相同且均不为0的四位正整数，若满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，称这样的四位数为“对称数”，则最小的“对称数”是___________；将“对称数”M的千位数字与百位数字对调，个位数字与十位数字对调得到一个新数记为，记，若“对称数”A ，满足能被7整除，则A 的最大值为______________．【答案】①. 1221 ②. 9229【解析】【详解】解：“对称数”，则，∴a 4AB =M '()99M M P M '-=()P A 100010010A abba a b b a ==+++100010010A baab b a a b '==+++()()10001001010001001099a b b a b a a b P A +++-+++=17题图∵能被7整除，A 最小，各数位上的数字不完全相同且均不为0，∴是7的倍数且，，∵的最大值为7，∴当时，A 的最大值为9229.三、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19. （1）解方程： 2x 2−4x−6=0；（2）计算：．(1)解：(x −3)(2x +2)=0x-3=0, 2x+2=0解得x 1=3, x 2=−1.【小问2详解】解：=．20. 在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：（1）用直尺和圆规，过点E 作AD 的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）．（2）已知：在四边形ABCD 中，，∠B =90°，AE 平分，DE 平分．求证：AB+CD=AD ．证明：∵AE 平分，∴① ，∵，89189199a b-=()9a b =-()P A a b -09a <<09b <<a b -9,2a b ==22362369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭22362369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭2226693336m m m m m m m --+⎛⎫-⨯ ⎪---⎝⎭()()()236366m m m m m --=´--+36m m -=+F AB CD ∥BAD ∠ADC ∠BAD ∠EF AD ⊥∴，∴∠B =90°，∴，在△ABE 和中，②____________∴，∴③ ，同理可得：，∴．小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么④．90AFE ∠=︒B AFE ∠=∠AFE △B AFE∠=∠BAE FAE∠=∠()AAS ABE AFE V V ≌CD DF =AB CD AF DF AD +=+=21. 重庆被誉为“最食烟火的人间8D 魔幻城市”．为更全面的了解“十一”期间游客对重庆热门景点的游玩满意度，工作人员从多维度设计了满分为100分的问卷，在洪崖洞和磁器口随机采访游客并记录结果．假期结束，工作人员从洪崖洞和磁器口的采访结果中各随机抽取10个数据，并进行整理描述和分析（结果用x 表示，共分为四个等级：不满意，比较满意，满意，很满意），下面给出了部分信息：10名洪崖洞游客的评分结果：76，84，85，87，88，88，88，89，96，9910名磁器口游客中“满意”等级包含的所有数据为：86，88，88，89，89抽取的洪崖洞和磁器口游客的游玩满意度统计表 景点满意度平均数中位数众数洪崖洞8888b 磁器口88a 89根据以上信息，解答下列问题：（1）填空： ， ， ；（2）根据以上数据，你认为“十一”当天游客对洪崖洞和磁器口这两个景点的游玩满意度哪一个更高？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若“十一”当天洪崖洞和磁器口的游客分别为3万人和5万人，请你估计“五一”当天有多少万人对这两个景点的满意度为“很满意”．【答案】（1）88.5，88，30；（2）磁器口，理由：磁器口的评分中位数较大（不唯一） （3）2.1 万人.【解析】【小问1详解】解：10名洪崖洞游客的评分结果：76，84，85，87，88，88，88，89，96，99，出现次数最多的是88，出现了三次，∴众数，10名磁器口游客中“不满意”和“比较满意”等级均占，∴（人）即10名磁器口游客中“不满意”和“比较满意”等级的人数均为1人，则磁器口游客中“很满意”等级的人数为（人），将10名磁器口游客的评分按照从小到大的顺序排列，则中位数为第5和第6位的平均数，第5和第6位评分分别是88，89，070x ≤＜7080x ≤<8090x ≤<90100x≤≤a =b =m =88b =10%1010%1⨯=105113---=∴a =88.5，，即，故答案为：88.5，88，30；【小问2详解】磁器口，理由：磁器口的评分中位数89大于洪崖洞的评分中位数88（不唯一）；【小问3详解】解：洪崖洞游客中“很满意”等级的人数所占的百分比为：，磁器口游客中“很满意”等级的人数所占的百分比为：，（万人），（万人）（万人）答：“五一”当天有2.1万人对这两个景点的满意度为“很满意”．22. 如图，四边形中，，，，，CD ＝2．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿的路径运动，到点C 停止．设点的运动时间为秒，的面积为．（1）请直接写出y 关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出面积小于8时x 的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2）【解析】【分析】本题是四边形综合题，考查了一次函数在动点面积问题中的应用，一次函数的性质，能画出图象，根据图象写出性质，解题的关键是分类讨论．（1）分类讨论：①当在边上时，②当在边上时，由三角形的面积分别求解即可；3%30%10m ==30m =220%10=330%10=320%0.6⨯=530% 1.5⨯=0.6 1.5 2.1+=ABCD AB BC ⊥DC BC ⊥4AB =6BC =P A A B C D→→→P x APD △y APD △P AB P BC（2）画出图象，根据图象写出性质即可求解；（3）根据图象即可求解；【小问1详解】解：过点作于点，，四边形为矩形，，①当点在上时，即，则，，②当点在上时，即，则，，，综上， ；【小问2详解】图象如图：该函数的一条性质：当0＜x ＜4时，随的增大而增大；当4＜x ＜10时，随的增大而减小；【小问3详解】解：面积小于8，即y ＜8，根据图象，可得0≤x ＜2.7或8＜x ≤10．23. 大华水果店各花费5400元购进一批樱桃和枇杷，已知每千克樱桃的进价是每千克枇杷进价的倍，且购进的枇杷比樱桃多100千克．（1）求每千克樱桃的进价是多少元？（2）枇杷的售价为30元/千克，在销售过程中，因水果不易储存，水果店及时调整了销售策略：枇杷在售出后进行打折促销．问剩下的枇杷最低打几折销售，才能使得这批枇杷全部售出后获利不低于3000元？D DE AB ⊥E 90B C DEB ∠=∠=∠=︒ ∴BCDE 6DE BC ∴==P AB 04t ≤≤AP x =116322APD y S AP DE x x ∴==⋅=⨯=△P BC 410t <≤4BP x =-4610PC x x =+-=-APD ABP PCDABCD y S S S S ∴==--四边形△△△()111222CD AB BC AB BP CD PC =+⋅-⋅-⋅()()()11124644210222x x =⨯+⨯-⨯--⨯-16x =-y x y x APD △ 1.523⎩⎨⎧≤-≤≤=)10＜4(16)40(3x x x x y【小问1详解】解：设每千克枇杷的进价为x 元，则每千克樱桃的进价是元，由题意得，，解得，检验，当时，，∴是原方程的解且符合题意，∴，答：每千克樱桃的进价是元；【小问2详解】解：由（1）知，这批枇杷的数量为千克，设剩下的枇杷打m 折销售，由题意得，3000，解得，答：剩下的枇杷最多打八折销售，才能使得这批枇杷全部售出获利不低于3000元．24. 五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A 前往D 处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B 在点A 的正南方向，米，点C 在点B 的正东方向，米，点D 在点C 的北偏东，点E 在点A 的东北方向，点E 在点C 的正北方向，点D 在点E 的正东方向．）（1）求的长度（结果精确到1米）；（2）小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是100米/分钟，小依和爸爸同时从A 处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D 处？【答案】（1）424米（2）爸爸先到达D 处【解析】【小问1详解】解：如图，过点A 作于点H ；1.5x 540054001001.5x x-=18x =18x = 1.50x x ⋅≠18x =1.527x =27540030018=()5222001301830030183001585083103m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯⨯-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8m ≥ABCDE CE A E D --A B C D ---150AB =300BC =60︒ 1.732≈≈AE AH CE ⊥则；由题意知，，即，故四边形是矩形，米，；，即是等腰直角三角形，米，由勾股定理得：（米）； 【小问2详解】解：由（1）知，四边形是矩形，米，米；点E 在点C 的正北方向，点D 在点E 的正东方向，；在中，，∠D =30°∴DC =2CE =900米，米；∵①（米），②（米），∴小依到达终点的时间为：（分），小依爸爸到达终点的时间为：1350÷100=13.5（分）；综上，小依爸爸先到达D 处．25. 如图， 抛物线经过A ， B 两点，与x 轴的另外一个交点为C ，点P 是直线上方抛物线上的一动点，过点P 作y 轴的平行线交直线于点 D ，点E 是y 轴上点B 下方一点，若DE=DB ，点A （4，0），点B （0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）求的最大值及此时点P 的坐标；（3）在点P 运动过程中，连接，当的中点恰好落在y 轴上时，连接，在抛物线34503==CE DE BE PD 21+90AHC AHE ∠=∠=︒90B BCH ∠=∠=︒90B BCH AHC ∠=∠=∠=︒ABCH 300AH BC ∴==90BAH =︒∠45EAH AEH ∴∠=∠=︒AHE V 300EH AH ∴==424AE ==≈ABCH 150CH AB ∴==450CE CH HE ∴=+= 90DEC ∴∠=︒Rt ECD △60ECD ∠=︒424450 1.7321203AE DE ∴+=+⨯≈1503009001350AB BC DC ++=++=12038015.0÷≈234y x bx c =-++AB AB PC PCAP上是否存在点Q ，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1） （2）的最大值为， （3）存在，所有符合条件的点Q 的坐标为或【解析】小问1详解】解：将，代入得，，解得，，∴抛物线的表达式为； ..............2′【小问2详解】解：设直线AB 的解析式为y=kx+n ，将，代入，得 解得 ∴直线AB 的解析式为 ..............3′如图1，作轴于，∵DE=DB∴ ..............4′设，则，，∴ ∴，..............6′【234y x bx c =-++PAB QPA ∠=∠239344y x x =-++7516563216P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()33，291287464⎛⎫- ⎪⎝⎭，334y x =-+()40A ，()03B ，234y x bx c =-++12403b c c -++=⎧⎨=⎩943b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩239344y x x =-++()40A ，()03B ，DH y ⊥H 239344P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，334D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，3034H m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，⎩⎨⎧==+304n n k 343+-=x y BE PD 21+⎪⎩⎪⎨⎧=-=343n k m m m m m PD 343)343()34943(22+-=+--++-=m m BH 43)343(3=+--=BE BH 21=∵，∴当时，的值最大，最大值为，； ..............8′【小问3详解】解：令，解得，或，∴，∵的中点恰好落在y 轴上，∴，解得，，∴；如图2，作，交抛物线于，∴，设的解析式为，将代入得，，解得，，∴的解析式为，联立，解得，或， ∴；如图2，在上取点，连接，交抛物线于，使，∴，∴，设，则，，∴，解得，，∴，同理，直线的解析式为，联立，解得，或，304-<52m =7516563216P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2393044x x -++=1x =-4x =()10C -，PC 102m -+=1m =912P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PM AB ∥1Q 1PAB Q PA ∠=∠PM 34y x d =-+912P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34y x d =-+3942d -+=214d =PM 32144y x =-+23214439344y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩192x y =⎧⎪⎨=⎪⎩33x y =⎧⎨=⎩()133Q ，AB N PN 2Q NPA PAB ∠=∠2PAB Q PA ∠=∠PN AN =334N n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()222391342PN n n ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭()2223434AN n n ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭()()22223931343424n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+-=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2917n =291171768N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PN 631351616y x =-+263135161639344y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩192x y =⎧⎪⎨=⎪⎩294128764x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩BE PD 21+∴；综上所述，存在，所有符合条件的点Q 的坐标为或．..............10′26. △ABC 为等腰直角三角形，，， 线段CA 绕点旋转至线段CF ，点对应点为，连接．（1）如图1，若CF 在△ABC 外部，且，交 于点，若．求 AB 的长度；（2）如图2，若CF 在△ABC 内部，延长 交 于点，延长CF 交 AB 于点，，将线段 绕点 逆时针旋转60°得到线段，为CE 中点，连接并延长交 于点，求证：；（3）如图3，若CF 在△ABC 内部，将线段绕点逆时针旋转60°到线段，连接 、．为直 线 AB 上一点，将△BCK 沿 翻 折，点对应点为，，直接写出的最小值．【答案】（1）的长度为；（2）见解析；（3）的最小值为【解析】【小问1详解】解：如图，过点作于点∵为等腰直角三角形，，，∴∴是等腰直角三角形，∵∴又∵线段CA 绕点旋转至线段CF ，，则是等边三角形，∴∴∴∴..............3′的22=BN 322+22=BN 323==MN AM 322+=+=AM BM AB 2291287464Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭()33，291287464⎛⎫- ⎪⎝⎭90BAC ∠=︒AB AC =C A F AF 60ACF ∠=︒AF BC N AF BC D E 60ADC ∠=︒AF A AG H HG AC M 2FH HG HM +=AF A AG FG CG K BC K K '4AB =GK 'nAB GK 'n6-N NM AB ⊥MABC V 90BAC ∠=︒AB AC =45B ∠=︒BNM V MN BM ==C 60ACF ∠=︒AFC V 60FAC ∠=︒9030MAN FAC ∠=︒-∠=︒【小问2详解】证明：如图，连接∵，，∴∠ACB ＝∵，∴∠FAC ＝180°－∠ADC －∠ACB ＝75°，∵线段CA 绕点旋转至线段CF ，∴∴∴，∠AEC ＝60°在中，，为CE 中点，∴=EH ∴是等边三角形，∴， AE=AH∵∴又∵，AF=AG∴∴，∵∴∠AMH ＝90°∴∵AH=EH=FH+EF=FH+HG∴； ..............8′【小问3详解】解：∵为等腰直角三角形，，，∴∴是等腰直角三角形，∵为直 线 AB 上一点，将沿 翻 折 ，点对应点为，∴在上，，∴BK /∥AC∵∴是等边三角形，∵∴∴以为斜边作等边三角形，如图所示，∵∴在上运动，∴当三点共线，且时，最小，设交于点，此时在中，，，∴∴..............10′AH90BAC ∠=︒AB AC=45B ∠=︒60ADC ∠=︒C CA CF=75AFC CAF ∠=∠=︒30ACE ∠=︒Rt AEC △90BAC ∠=︒H 12AH EC =AEH △60EAH ∠=︒60FAG ∠=︒EAF HAG∠=∠AE AH =AEF AHGV V ≌EF HG =60AHG AEF ∠=∠=︒30HAM HCA ∠=∠=︒2AH HM EH EF FH===+2FH HG HM +=ABC V 90BAC ∠=︒AB AC =45B ∠=︒ABC V K BCK V BC K K 'K 'BK ¢45CBK ABC '∠=∠=︒60,FAG AF AG∠=︒=AFG V ,,AC CF AG FG CG CG===AGC FGCV V ≌()13601502AGC FGC AGF ∠=∠=︒-∠=︒AC ACO 1180601502AGC ∠=︒-⨯︒=︒G O e ,,O G K 'OK BK ''⊥GK 'OK 'AC Q OQ AC⊥Rt AGO △60OAQ ∠=︒2AQ =OQ =4GQ OG OQ =-=-4K G GQ '=-=【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
2015届高考数学总复习 第二章 第十节函数与方程课时精练试题 文(含解析)
1．(2013·安徽安庆四校联考)如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f (x )零点的区间是( )A ．[－2.1，－1]B ．[1.9,2.3]C ．[4.1,5]D ．[5,6.1]解析：根据二分法的概念，由图象易知，函数f (x )在区间[1.9，2.3]上不能用二分法求出函数的零点．故选B.答案：B2．(2013·惠州一模)已知函数f (x )＝3x ＋x －9的零点为x 0，则x 0所在区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52解析：∵函数f (x )＝3x ＋x －9在R 上连续，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ＝27＋32 －9＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 ＝243 ＋52－9＞0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 ＜0，故函数的零点x 0所在区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52，故选D. 答案：DA ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)答案：C4．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4]解析：对于B ，∵f (0)＝4sin 1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4sin(－π＋1)＋π2＝π2－4sin 1＜π2－4sin π6＝π2－2＜0，∴在该区间上存在零点． 对于C ，∵f (2)＝4sin 5－2＝4sin(5－2π)－2＜0，∴在该区间上存在零点．对于D ，∵f (3.5)＝4sin 8－3.5＝4sin(8－2π)－3.5＞0，∴在该区间上也存在零点．故选A.答案：A5．方程||x ＝cos x 在()－∞，＋∞内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：构造两个函数y ＝|x |和y ＝cos x ，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．故选C.答案：C6．(2013·重庆十一中学月考) “m ∉(－3，－1)”是“f (x )＝3x ＋m 在区间[0,1]上不存在零点”的________条件( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要解析：f (x )＝3x ＋m 在区间[0,1]上不存在零点，等价于f (0)f (1)＞0，即m (3＋m )＞0，解得m ＞0或m ＜－3，即m ∈(－∞，－3)∪(0，＋∞)．因为m ∈(－∞，－3)∪(0，＋∞)⇒m ∉(－3，－1)，反之则推不出，故选B.答案：B7．(2012·华南师大附中综合测试)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x 的零点分别为x 1，x 2，则x 1，x 2的大小关系是________________．解析：由f (x )＝x ＋2x ＝0知其零点小于0，∴x 1＜0.由g (x )＝x ＋ln x ＝0知其零点大于0，∴x 2＞0.∴x 1＜x 2.答案：x 1＜x 28．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析：∵Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)＜0，即(6－3k )·(12－4k )＜0，解得2＜k ＜3，∴实数k 的取值范围是(2,3)．答案：(2,3)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是______________．解析：在坐标系内作出函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，发现当0＜m ＜1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有3个交点，即函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．答案：(0,1)10．右图是用二分法求方程x 5－16x ＋1＝0在[－2,2]的近似解的程序框图，要求解的精确度为0.000 1，①处填的内容是______，②处填的内容是______．答案：f (a )·f (m )<0 ||a －b <0.000 111．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．11．解析： ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.①若Δ＝0，即m 2－4＝0，当m ＝－2时，t ＝1；当m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去．∴2x ＝1，x ＝0符合题意．②若Δ>0，即m >2或m <－2，t 2＋mt ＋1＝0有一正一负两根，即t 1t 2<0，这与t 1t 2>0矛盾．∴这种情况不可能．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.12．(2014·浙江绍兴一中上学期测试)定义域为R 的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －12x ＋1. (1)求f (x )在[－1,1]上的解析式；(2)当m 取何值时，方程f (x )＝m 在(0,1)上有解？解析：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)，由f (x )为R 上的奇函数，得f (x )＝－f (－x )＝－2－x －12－x ＋1＝2x －12x ＋1，x ∈(－1,0)，且f (0)＝0，因为f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，所以f (1)＝－f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝f (－1)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －12x ＋1，x －1，，0，x ∈{－1，1}.(2)当x ∈(0,1)，m ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，2x ∈(1,2)，2x ＋1∈(2,3)，所以22x ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，所以1－22x ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题11(算法、框图、复数、推理与证明)
阶段性测试题十一(算法、框图、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1[答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D.2．(文)(2014·山东省博兴二中质检)如果等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于( )A ．21B ．30C ．35D ．40[答案] C[解析] ∵3a 6＝a 5＋a 6＋a 7＝15，∴a 6＝5， ∴a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 1＋35d ＝7a 6＝35.(理)(2014·银川九中一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D.12n －1 [答案] B[解析] ∵S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )，∴S n ＋1S n ＝32，又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝(32)n －1，故选B.3．(文)(2014·银川九中一模)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴sin－x ＋φ3＝sin x ＋φ3，∴cos φ3sin x3＝0， ∵此式对任意x 都成立，∴cos φ3＝0，∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.(理)(2014·杭州七校联考)“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若sin x ＝1，则x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴cos x ＝0；若cos x ＝0，则x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin x＝±1.4．(文)(2014·北京朝阳区期中)执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( )A ．91B ．55C ．54D ．30 [答案] B[解析] 所给的程序的作用是计算：T ＝12＋22＋32＋42＋52＝55. (理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)下列程序框图的输出结果为( )A.20122013B.12013C.20132014D.12014 [答案] C[解析] 由程序框图知，每循环一次，i 的值增加1，S 的值加上1i (i ＋1)，当i ＝2013时，不满足i >2013，再循环一次，i 的值变为2014，满足i >2013，此时输出S ，故S 最后加上的数为12013×2014，∴S ＝11×2＋12×3＋…＋12013×2014＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12013－12014)＝1－12014＝20132014，故选C.5．(2014·武汉市调研)复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] 复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在y 轴上，当m ＝1时，P 在x 轴上，故选B.6．(2014·佛山市质检)将n 2个正整数1、2、3、…、n 2(n ≥2)任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a 、b (a >b )的比值ab ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n ＝2时，数表的所有可能的“特征值”最大值为( )A.32B.43 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 当n ＝2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1,2同行或同列时，这个数表的“特征值”为43；当1,3同行或同列时，这个数表的特征值分别为43或32；当1,4同行或同列时，这个数表的“特征值”为43或32；故这些可能的“特征值”的最大值为32.7．(2014·山西省太原五中月考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )C ．f (x )＝e x ＋e －xe x －e－xD ．f (x )＝sin 2x1＋cos 2x[答案] B[解析] 由框图知，f (x )为有零点的奇函数，A 、C 中函数f (x )无零点；D 中函数f (x )为偶函数；B 中函数f (x )＝ln(x 2＋1－x )满足f (0)＝0且f (－x )＝ln(x 2＋1＋x )＝ln 1x 2＋1－x＝－ln(x 2＋1－x )＝－f (x )，故选B.8．(2014·哈六中期中)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y 4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.9．(文)(2014·吉林市摸底)如图，程序输出的结果s ＝132，则判断框中应填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C．i≤11? D．i≥12?[答案] B[解析]第一次循环：s＝1×12＝12，i＝12－1＝11，不满足条件，继续循环；第二次循环：s＝12×11＝132，i＝11－1＝10，此时应输出，结束循环，因此判断框中应填i≥11？.(理)(2014·成都七中模拟)阅读下边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写()A．i<6? B．i<8?C．i<5? D．i<7?[答案] B[解析]这是一个循环结构，每次循环的结果为：S＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；S＝1－3＝－2，i ＝3＋2＝5；S＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7；S＝－7－7＝－14，i＝7＋2＝9.因为最后输出－14，所以判断框内可填写i<8？选B.10．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m，n，f(m，n)∈N*，且对任意m，n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个．()A．3B．2C．1D．0[答案] A[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.11．(文)(2014·九江市修水一中第四次月考)如图，在△ABC 中，∠CAB ＝∠CBA ＝30°，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，垂足分别是D 、E ，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则1e 1＋1e 2的值为( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 3[答案] B[解析] 设AE ＝1，则AB ＝2，BD ＝1，AD ＝BE ＝3，∴椭圆的焦距2c ＝2，∴c ＝1，长轴长2a ＝AD ＋BD ＝3＋1，∴离心率e 1＝13＋12＝3－1，双曲线的焦距2c 1＝2， ∴c 1＝1，双曲线的实轴长2a 1＝AD －BD ＝3－1， ∴离心率e 2＝13－12＝3＋1. ∴1e 1＋1e 2＝13－1＋13＋1＝3，故选B. (理)(2014·北京市海淀区期末)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，BD ∩AC ＝O ，M 是线段D 1O 上的动点，过点M 作平面ACD 1的垂线交平面A 1B 1C 1D 1于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为( )A. 2B.62C.233 D ．1[答案] B[解析] 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为BB 1⊂平面BDD 1B 1，所以平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，因为M ∈平面BDD 1B 1，MN ⊥平面ACD 1，平面BDD 1B 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以N ∈B 1D 1.因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，所以△AB 1D 1为正三角形，边长为2，所以当N 为B 1D 1中点时，AN 最小为2sin60°＝62.故B 正确． 12．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·高州四中质量监测)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和a n 与其组的编号数n 的关系为________．[答案] a n ＝n 3[解析] 第n 组含n 个数，前n －1组共有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个数，∴第n 组的最小数为n 2－n ＋1，第n 组的n 个数组成首项为n 2－n ＋1，公差为2的等差数列，∴其各项之和为a n ＝n (n 2－n ＋1)＋n (n －1)2×2＝n 3.(理)(2014·陕西工大附中四模)由13＝12,13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，……，可猜想出的第n 个等式是________．[答案] 13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2[解析] 观察各等式可见第n 个等式左边有n 项，每个等式都是从13到n 3的和，等式右端是从1到n 的和的平方，故第n 个等式为13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2.14．(文)(2014·吉林市摸底)下列说法：①“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”；②函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π；③“在△ABC 中，使sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题；④“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充要条件；其中正确的说法是______(只填序号)．[答案] ①②③[解析] ①∵特称命题的否定是全称命题，∴“∃x ∈R ，使2x >3”的否定是“∀x ∈R ，使2x ≤3”，正确；②因为T ＝2π2＝π，所以函数y ＝sin(2x ＋π3)的最小正周期是π，正确；③“在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”，在△ABC 中，若A >B ⇒a >b ⇒2r sin A >2r sin B ⇒sin A >sin B ，故③正确；④由3m ＋(2m －1)m ＝0得m ＝0或－1，所以“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋2＝0垂直”的充分不必要条件，∴④错误．(理)(2014·泸州市一诊)已知集合A ＝{f (x )|f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，x 、y ∈R }，有下列命题：①若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1， x <0，则f (x )∈A ；②若f (x )＝kx ，则f (x )∈A ；③若f (x )∈A ，则y ＝f (x )可为奇函数；④若f (x )∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立．其中所有正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号) [答案] ②③[解析] 对于①，取x ＝1，y ＝－1知，f 2(x )－f 2(y )＝f 2(1)－f 2(－1)＝1－1＝0，但f (x ＋y )f (x －y )＝f (0)·f (2)＝1，∴①错；对于②，当f (x )＝kx 时，f 2(x )－f 2(y )＝k 2x 2－k 2y 2＝k (x ＋y )·k (x －y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，∴②正确； 对于③，在f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )f (x －y )中令x ＝0，y ＝0得，f (0)＝0，又令x ＝0得，f 2(0)－f 2(y )＝f (y )·f (－y )，当f (y )≠0时，有f (－y )＝－f (y )，∴f (x )可以为奇函数．对于④，取f (x )＝x ，则f 2(x )－f 2(y )＝x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝f (x ＋y )f (x －y )，但x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝x 1－x 2x 1－x 2＝1>0，∴④错．15．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间关系为________．[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 16．(文)(2014·西安市长安中学期中)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…依此类推，第n 个等式为________________．[答案] 2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n[解析] 由所给4个等式可看出，第n 个等式左边是2n 与从1开始的连续的n 个奇数之积，第n 个等式右边是从n ＋1开始的连续的n 个正整数之积．所以第n 个等式为：2n ×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×(2n －1)×2n .(理)(2014·江西临川十中期中)给出下列不等式：1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，则按此规律可猜想第n 个不等式为________________． [答案] 1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12[解析] 观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为2n ＋1－1，不等式右边为首项为1，公差为12的等差数列，故猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1－1＞n ＋12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，△ABC 的面积S 满足S ＝32bc cos A . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3，设角B 的大小为x 用x 表示c ，并求c 的取值范围． [解析] (1)在△ABC 中，由S ＝32bc cos A ＝12bc sin A ，得tan A ＝3， ∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由a ＝3，A ＝π3及正弦定理得：c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴c ＝2sin C ＝2sin(π－A －B )＝2sin(2π3－x )．∵A ＝π3，∴0<x <2π3，∴0<2π3－x <2π3.∴0<sin(2π3－x )≤1,0<2sin(2π3－x )≤2，即c ∈(0,2]．18．(本小题满分12分)(文)(2014·吉林省实验中学一模)如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，ED ＝1，EF ∥BD 且EF ＝12BD .(1)求证：BF ∥平面ACE ； (2)求证：平面EAC ⊥平面BDEF ； (3)求几何体ABCDEF 的体积．[解析] (1)设AC 与BD 的交点为O ，则DO ＝BO ＝12BD ，连接EO ，∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF ∥DO 且EF ＝BO ， 则四边形EFBO 是平行四边形， 则BF ∥EO ，又EO ⊂平面ACE ， BF ⊄平面ACE ，故BF ∥平面ACE .(2)∵ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AC . ∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ， 又ED ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDEF ， 又AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面BDEF . (3)因为ED ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥BD ，又∵EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴四边形BDEF 是直角梯形，又∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，BD ＝22，EF ＝2， ∴梯形BDEF 的面积为(2＋22)×12＝322，由(1)知AC ⊥平面BDEF ，所以几何体的体积V ABCDEF ＝2V A －BDEF ＝2×13S BDEF ·AO ＝2×13×322×2＝2.(理)(2014·佛山市质检)如图1，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝6，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且DE ＝3，BF ＝4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 位置(如图2所示)，连结AP 、PF ，其中PF ＝2 5.(1)求证：PF ⊥平面ABED ；(2)在线段P A 上是否存在点Q 使得FQ ∥平面PBE ？若存在，求出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(3)求点A 到平面PBE 的距离．[解析] (1)连结EF ，由翻折不变性可知，PB ＝BC ＝6，PE ＝CE ＝9，在△PBF 中，PF 2＋BF 2＝20＋16＝36＝PB 2，所以PF ⊥BF ，在图1中，易得EF ＝62＋(12－3－4)2＝61，在△PEF 中，EF 2＋PF 2＝61＋20＝81＝PE 2， 所以PF ⊥EF ，又BF ∩EF ＝F ，BF ⊂平面ABED ，EF ⊂平面ABCD ， 所以PF ⊥平面ABED .(2)当Q 为P A 的三等分点(靠近P )时，FQ ∥平面PBE .证明如下： 因为AQ ＝23AP ，AF ＝23AB ，所以FQ ∥BP ，又FQ ⊄平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以FQ ∥平面PBE . (3)由(1)知PF ⊥平面ABCD ，所以PF 为三棱锥P －ABE 的高．设点A 到平面PBE 的距离为h ，由等体积法得V A －PBE ＝V P －ABE ，即13×S △PBE h ＝13×S △ABE ·PF ，又S △PBE ＝12×6×9＝27，S △ABE ＝12×12×6＝36，所以h ＝S △ABE ·PF S △PBE ＝36×2527＝853，即点A 到平面PBE的距离为853.19．(本小题满分12分)(文)(2014·佛山市质检)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高(单位：cm)分别是162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高(单位：cm)分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(1)请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(2)现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学，则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少？[解析] (1)茎叶图如图所示，篮球队的身高数据方差较小.(2)两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人，其中3人来自排球队，记为a ，b ，c,2人来自篮球队，记为A ，B ，则从5人中抽取3名同学的基本事件为：abc ，abA ，abB ，acA ，acB ，aAB ，bcA ，bcB ，bAB ，cAB 共10个；其中恰有两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有：abA ，abB ，acA ，acB ，bcB ，bcA 共6个，所以，恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是610＝35. (理)(2014·山西省太原五中月考)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )≥－x 2＋ax －6在(0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)过点A (－e－2,0)作函数y ＝f (x )图象的切线，求切线方程．[解析] (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴由f ′(x )<0得ln x <－1， ∴0<x <1e ，∴函数f (x )的单调递减区间是(0，1e )．(2)∵f (x )≥－x 2＋ax －6，∴a ≤ln x ＋x ＋6x ，设g (x )＝ln x ＋x ＋6x，则g ′(x )＝x 2＋x －6x 2＝(x ＋3)(x －2)x 2，当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增． ∴g (x )最小值为g (2)＝5＋ln2，∴实数a 的取值范围是(－∞，5＋ln2]． (3)设切点T (x 0，y 0)，则k AT ＝f ′(x 0)，∴x 0ln x 0x 0＋1e 2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0，设h (x )＝e 2x ＋ln x ＋1，则h ′(x )＝e 2＋1x ，当x >0时h ′(x )>0，∴h (x )是单调递增函数， ∴h (x )＝0最多只有一个根，又h (1e 2)＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴x 0＝1e 2，由f ′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e2＝0.20．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省烟台市期末)近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝3－2x ＋1(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)；已知生产该产品还需投入成本(10＋2P )万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20p)万元/万件．(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[解析] (1)由题意知，y ＝(4＋20P )×P －(10＋2P )－x ，将P ＝3－2x ＋1代入化简得：y ＝16－4x ＋1－x ，(0≤x ≤a )．(2)y ＝16－4x ＋1－x ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)≤17－24x ＋1×(x ＋1)＝13， 当且仅当4x ＋1＝x ＋1，即x ＝1时，上式取等号．当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，y ＝17－(4x ＋1＋x ＋1)在[0，a ]上单调递增，所以在x ＝a 时，函数有最大值．促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a ≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a <1时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．(理)(2014·北京市海淀区期末)如果函数f (x )满足在集合N *上的值域仍是集合N *，则把函数f (x )称为N 函数．例如：f (x )＝x 就是N 函数．(1)判断下列函数：①y ＝x 2，②y ＝2x －1，③y ＝[x ]中，哪些是N 函数？(只需写出判断结果)；(2)判断函数g(x)＝[ln x]＋1是否为N函数，并证明你的结论；(3)证明：对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．(注：“[x]”表示不超过x的最大整数)[解析](1)只有y＝[x]是N函数．①∵当x∈N*时，{y|y＝x2}N*，如3不是函数y＝x2(x∈N*)的函数值，∴y＝x2不是N函数；②同理，∵当x∈N*时，y＝2x－1为奇数，∴y＝2x－1不是N函数；③对于任意x∈N*，当n2≤x<(n＋1)2时，y＝[x]＝n，∴y＝[x]是N函数．(2)函数g(x)＝[ln x]＋1是N函数．证明如下：显然，∀x∈N*，g(x)＝[ln x]＋1∈N*.不妨设[ln x]＋1＝k，k∈N*.由[ln x]＋1＝k可得k－1≤ln x<k，即1≤e k－1≤x<e k.因为∀k∈N*，恒有e k－e k－1＝e k－1(e－1)>1成立，所以一定存在x∈N*，满足e k－1≤x<e k，所以∀k∈N*，总存在x∈N*满足[ln x]＋1＝k，所以函数g(x)＝[ln x]＋1是N函数．(3)①当b≤0时，有f(2)＝[b·a2]≤0，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．②当b>0时，1°若a≤0，有f(1)＝[b·a]≤0，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．2°若0<a≤1，由指数函数性质易得b·a x≤b·a，所以∀x∈N*，都有f(x)＝[b·a x]≤[b·a]，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．3°若a>1，令b·a m＋1－b·a m>2，则m>log a2 b·(a－1)，所以一定存在正整数k使得b·a k＋1－b·a k>2，所以∃n1，n2∈N*，使得b·a k<n1<n2<b·a k＋1，所以f(k)<n1<n2≤f(k＋1)．又因为当x<k时，b·a x<b·a k，所以f(x)≤f(k)；当x>k＋1时，b·a x>b·a k＋1，所以f(x)≥f(k＋1)，所以∀x∈N*，都有n1∉{f(x)|x∈N*}，所以函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数f(x)＝[b·a x]都不是N函数．21．(本小题满分12分)(文)(2014·北京市海淀区期末)已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中a为常数．(1)若函数f(x)在区间[－3，＋∞)上的增函数，求实数a的取值范围；(2)若f (x )≥e 2在x ∈[0,2]时恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，x ∈R ， 因为函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立． 因为y ＝x ＋a ＋1是增函数， 所以只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1， f (x )，f ′(x )的变化情况如下：①当－a －1≤0，即a ≥－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (0)， 若满足题意只需f (0)≥e 2，解得a ≥e 2， 所以，此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)， 若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，此不等式无解， 所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)， 若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1， 所以此时，a 不存在．综上讨论，所求实数a 的取值范围为[e 2，＋∞)．(理)(2014·武汉市调研)甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望． [解析] 解法1：(1)用A 1表示事件“第2局结果为甲胜”， A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”． 则A ＝A 1·A 2，P (A 1)＝12，P (A 2)＝12，∴P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B 1表示事件“第1局丙和乙比赛时，结果为乙胜丙”， B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则P (X ＝0)＝P (B 1·B 2·A 3)＝P (B 1)P (B 2)P (A 3)＝18，P (X ＝2)＝P (B －1·B 3)＝P (B －1)P (B 3)＝14，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－18－14＝58.∴X 的分布列为∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.解法2：四局比赛所有可能情况如下树状图： 第一局 第二局 第三局 第四局由树状图知，(1)第4局甲当裁判的概率为P ＝14.(2)P (X ＝0)＝18，P (X ＝1)＝58，P (X ＝2)＝14，∴E (X )＝0×18＋1×58＋2×14＝98.22．(本小题满分14分)(文)(2014·佛山质检)如图所示，已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1、F 2，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意，2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)设Q (x ，y )(其中x 25＋y 24＝1)，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＝1，因为PM ⊥QM ，所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2， 若－4t ≤－2即t ≥12，则当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322，解得t ＝38<12(舍去)．若－4t >－2即0<t <12，则当y ＝－4t 时，|QM |取最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322. (理)(2014·山东省烟台市期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝22，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．(1)求椭圆方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．[解析] (1)由已知，可得c ＝2，a ＝3b ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3，b ＝1， ∴x 23＋y 2＝1.(2)当k ＝0时，直线和椭圆有两交点只需－1<m <1；当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，消去y 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1，① x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求的m 取值范围是(12，2)．综上知，k ≠0时，m 的取值范围是(12，2)；k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1)．。
东北师大附中长春市十一高中吉林一中四平一中松原实验中学2023-2024学年高三上联考数学(含答案)
2023-2024学年高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y -==-==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞-2.已知复数iz 1i=-，则z 的虚部为（ ） A.12- B.1i 2- C.12 D.1i 23.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A. B. D.48+5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A. B.14- C.147.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A. B.4C.3+D.68.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a <<C.b c a <<D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a -的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ） A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点MC.若M 为侧面11DCC D上的动点，且3MB =，则点Mπ D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M满足MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤-'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln e x g a x g x x -+≤-恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+-=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥PABCD -中，底面是边长为2的正方形，且PB =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q --的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F -，且椭圆C 过P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k -=，设A M N ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S -的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =-（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.1414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+-=+-=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+-=+-=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +-==∴+-=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+--==∴--=.2330,0c c c c c ∴--=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P ----所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =-=-=-， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=-+=⎪∴=⎨⋅=-=⎪⎩设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=-++=⎪∴=-⎨⋅=-=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q --范围为()0,π， 所以二面角P AD Q --的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c ab c ab ⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++-=，所以()22Δ48340t m=+->，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，则12324BM k k k =-=，即238BM k k -⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=--()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+-+-+-++-()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t --++====------+-++ 所以23m =-，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫-⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=-=⎪++⎪⎨-⎪==-++⎪⎩，所以12S S -=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫-------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1223y y =-====令122110,,344x S S t ⎛⎤=∈-= ⎥+⎝⎦当211344t =+即0t =时，12S S -12S S ⎛∴-=⎝⎦ 19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x xf x xe f x x e =-=+'-.()14.f e =-∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =---=-+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =-，定义域为(),∞∞-+()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=-+=--令()e 22xF x x =--，则()2xF x e '=-，当()(),ln2,0x F x ∞∈-'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<()()2110,260F F e e-=>=-> 存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=-+=--，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=-->--，则()()1110g a a a ∴->---=又()110g ae --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==-，由()000001e 10,e xx x g x a x a +=--==，由max 1()0f x a +≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+即()()00011101x x x -++≤+， 由010x +<得20011,1x x -≤≤<-，01,e x x a +=∴设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0x xh x e-=>'， 可知()h x 在)⎡⎣上递增，()((()()110h x h h x h ≥==<-=实数a的取值范围是()1⎡⎣.。
数学考试教师总结5篇范文
数学考试教师总结5篇范文数学考试教师总结1 高中物理的系统性强、较为抽象，学生普遍感觉难学。
作为物理教师，教学方法尤为重要。
我在教育教学过程中，从各方面做了探究和尝试，取得了较好的效果。
本学期即将结束，现将本期工作总结如下：一、基本情况根据学校的安排，本期我负责高二的物理教学工作。
二、成绩和缺点1、以课堂教学为中心，向四十分钟要效益(1)重三基。
在课堂教学中突出基本知识、基本概念、基本规律。
针对重点的概念和规律，我让学生通过对物理现象、演示实验的观察分析，力求推导引出新的概念、定理和结论，使学生清楚地理解物理知识的形成过程，培养学生的思维能力和想象能力。
如：在学习《超重、失重》一节时，为了更好的让学生体会物理情景，我布置学生课外站在磅秤上亲自实验，从而加深了对这一物理过程的理解。
遵从循序渐进的原则，知识要逐步积累、扩展和延伸。
不要过高估计学生的能力，设法将难懂的知识通俗化，简明易懂，培养学生学习物理的兴趣和学好物理的自信心。
如：在学习《波的传播》中我把问题口诀化：“上下坡反向”、“向右看齐”等。
(2)重能力。
物理教学的重要任务是培养学生的能力。
培养能力需要一个潜移默化的过程，不能只靠机械地灌输，也不能急于求成，需要有正确的学习态度和良好的学习习惯以及严谨的学习作风。
准确理解并掌握物理概念和物理规律，是培养能力的基础。
课堂练习和作业中，力求做题规范化。
如：在主观性习题的求解中，要求学生必须指明研究对象，必须画图分析受力情况，必须写明所用的定理定律名称，必须突出关系式等。
重视物理概念和规律的应用，逐步学会运用物理知识解释生活中的物理现象，提高独立分析和解决实际问题的能力。
比如在讲运动学时，对一道习题，我用“图象法”“公式法”“实际演练法”等多种方法进行讲解。
另外，课堂上分小组讨论，小组推荐让学生上台分析一些力所能及的习题，也是提高能力的关键。
2、激发学生的学习兴趣高二学生普遍感觉物理比较难，甚至对物理失去信心。
【考试必备】吉林长春市十一高中中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析
中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.2的算术平方根是（）A. B. C. D. 22.下列运算正确的是（）A. B. C. D.3.近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A. B. C. D.5.在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：关于这组数据，下列说法正确的是（）A. 中位数是2B. 众数是17C. 平均数是2D. 方差是26.某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A. B. C. D.7.如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（）A.B.C.D.8.如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.-5的相反数是______．10.分解因式：4a2-4a+1=______．11.若在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．12.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=______度．13.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．14.同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y=x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为______℃．15.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．16.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．三、计算题（本大题共3小题，共20分）17.计算|-6|+（-2）3+（）018.化简：19.小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为______；（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．四、解答题（本大题共8小题，共82分）20.解不等式组21.某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°（2）请你补全条形统计图；（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？22.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．23.某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为______元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？24.如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时BC=10cm，箱底端点E与墙角G的距离为65cm，∠DCG=60°．（1）箱盖绕点A转过的角度为______，点B到墙面的距离为______cm；（2）求箱子的宽EF（结果保留整数，可用科学计算器）．（参考数据：=1.41，=1.73）25.如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，-），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．27.正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON______（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON上取点E（E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么OE与OA是否相等？请说明理由；（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=2．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=S△OBG，连接GP，则当BO 为何值时，四边形PKBG的面积最大？最大面积为多少？答案和解析1.【答案】B【解析】解：2的算术平方根是，故选：B．根据算术平方根的定义直接解答即可．本题考查的是算术平方根的定义，即一个数正的平方根叫这个数的算术平方根．2.【答案】C【解析】解：A、a3•a3=a6，故此选项错误；B、a3+a3=2a3，故此选项错误；C、（a3）2=a6，正确；D、a6•a2=a8，故此选项错误．故选：C．分别利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算、合并同类项法则判断得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握运算法则是解题关键．3.【答案】D【解析】解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】A【解析】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．故选：A．左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．5.【答案】A【解析】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，∴这组数据的中位数为2，故选：A．先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．6.【答案】C【解析】解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，由题意可得：2（1+x）2=4.5，解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意舍去），答：该店销售额平均每月的增长率为50%；故选：C．设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．本题需注意根据题意分别列出二、三月份销售额的代数式．7.【答案】D【解析】解：过点P作PE⊥y轴于点E∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴ABDO为矩形∴AB=DO=6∴S矩形ABDO=S▱ABCD∵P为对角线交点，PE⊥y轴∴四边形PDOE为矩形面积为3即DO•EO=3∴设P点坐标为（x，y）k=xy=-3故选：D．由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：连接AC、BD、OE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AM=CM，BM=DM，∵⊙O与边AB、AD都相切，∴点O在AC上，设AM=x，BM=y，∵∠BAD＜90°，∴x＞y，由勾股定理得，x2+y2=25，∵菱形ABCD的面积为20，∴xy=5，，解得，x=2，y=，∵⊙O与边AB相切，∴∠OEA=90°，∵∠OEA=∠BMA，∠OAE=∠BAM，∴△AOE∽△ABM，∴=，即=，解得，OE=，故选：D．连接AC、BD、OE，根据菱形的性质、勾股定理分别求出AM、BM，根据切线的性质得到∠OEA=90°，证明△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是切线的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9.【答案】5【解析】解：-5的相反数是5．故答案为：5．根据相反数的定义直接求得结果．本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．10.【答案】（2a-1）2【解析】解：4a2-4a+1=（2a-1）2．故答案为：（2a-1）2．根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．11.【答案】x≥2【解析】解：由题意得：x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0，再解即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12.【答案】30【解析】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，∴∠BOD=45°，∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°-15°=30°．故答案为：30．根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD-∠AOB计算即可得解．本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，需熟记．13.【答案】【解析】解：∵∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA=3，∴的长度==π，∴圆锥底面圆的半径=，故答案为：．根据平角的定义得到∠AOC=60°，推出△AOC是等边三角形，得到OA=3，根据弧长的规定得到的长度==π，于是得到结论．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.【答案】-40【解析】解：根据题意得x+32=x，解得x=-40．故答案是：-40．根据题意得x+32=x，解方程即可求得x的值．本题考查了函数的关系式，根据摄氏度数值与华氏度数值恰好相等转化为解方程问题是关键．15.【答案】（2+2）【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，∵DP⊥BC，∴∠BPD=90°，∵PB=4cm，∴BD=8cm，PD=4cm，∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，∴AD=PD=4cm，∠DPE=∠A=60°，∴AB=（8+4）cm，∴BC=（8+4）cm，∴PC=BC-BP=（4+4）cm，∵∠EPC=180°-90°-60°=30°，∴∠PEC=90°，∴CE=PC=（2+2）cm，故答案为：2+2．根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，根据直角三角形的性质得到BD=8cm，PD=4cm，根据折叠的性质得到AD=PD=4cm，∠DPE=∠A=60°，解直角三角形即可得到结论．本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．16.【答案】【解析】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC•sin∠ACN=，∴AM=，∴DE=，故答案为：．延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．17.【答案】解：原式=6-8+1=-1．【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：==a．【解析】根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．19.【答案】【解析】解：（1）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数为1，所以小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率=；故答案为（2）画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中他们三人在同一个半天去游玩的结果数为2，所以他们三人在同一个半天去游玩的概率=．（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20.【答案】解：解不等式2x＞1-x，得：x＞，解不等式4x+2＜x+4，得：x＜，则不等式组的解集为＜x＜．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】200 12 36 108【解析】解：（1）∵44÷22%=200（名）∴该调查的样本容量为200；a=24÷200=12%，b=72÷200=36%，“常常”对应扇形的圆心角为：360°×30%=108°．（2）200×30%=60（名）．（3）∵3200×36%=1152（名）∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名．故答案为：200、12、36、108．（1）首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%，求出该调查的样本容量为多少；然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量，求出a、b的值各是多少；最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%，求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可．（2）求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数，补全条形统计图即可．（3）用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可．此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．22.【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．由翻折的性质可知：∠EAB=∠BAC，∠DCF=∠DCA．∴∠EAB=∠DCF．∠∠在△ABE和△CDF中，∠∠∴△ABE≌△CDF（ASA），∴DF=BE．∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∠BAE=∠CAE=30°，∵∠B=90°，∴∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，∴EA=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．【解析】（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；（2）由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．23.【答案】240【解析】解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元．故答案为240．（2）∵3600÷240=15，3600÷150=24，∴收费标准在BC段，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴y=-6x+300，由题意（-6x+300）x=3600，解得x=20或30（舍弃）答：参加这次旅游的人数是20人．（1）观察图象即可解决问题；（2）首先判断收费标准在BC段，求出直线BC的解析式，列出方程即可解决问题．本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．24.【答案】150° 5【解析】解：（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．∵∠DCG=60°，∴∠CDN=30°．又∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，∴∠MAD=∠CDN=30°（同角的余角相等），∴箱盖绕点A转过的角度为：360°-90°-30°-90°=150°．在直角△BCH中，∠BCH=30°，BC=10cm，则BH=BC=5cm．故答案是：150°；5；（2）在直角△AMD中，AD=BC=10cm，∠MAD=30°，则MD=AD•sin30°=×10=5（cm）．∵∠DCN=30°，∴cos∠DCN=cos30°==，即=，解得EF=32.4．即箱子的宽EF是32.4cm．（1）如图，过点B作BH⊥CG于H，过点D作CG的垂线MN交AF于M，交HG于N．利用矩形的性质、直角三角形的性质以及等角的余角相等得到∠MAD=30°，根据周角的定义易求箱盖绕点A转过的角度；通过解直角△BHC来求BH的长度；（2）通过解直角△AMD得到线段MD的长度，则DN=65-EF-DM，利用解直角△DCN来求CD的长度，即EF的长度即可．本题考查了解直角三角形的应用．主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．25.【答案】解：（1）∵点A（，0）与点B（0，-），∴OA=，OB=，∴AB==2，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠ABO=90°-∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB•tan30°=×=，∴AC=OA-OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA-AF=，∴点E的坐标为：（，）．【解析】（1）由点A（，0）与点B（0，-），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．26.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），∴，得，∴y=x2-x-=，∴二次函数的表达式是y=x2-x-，顶点坐标是（，）；（2）①点M的坐标为（，），（，-）或（，-），理由：当AM1⊥AB时，如右图1所示，∵点A（-1，0），点B（0，-），∴OA=1，OB=，∴tan∠BAO==，∴∠BAO=60°，∴∠OAM1=30°，∴tan∠OAM1=，解得，DM1=，∴M1的坐标为（，）；当BM3⊥AB时，同理可得，，解得，DM3=，∴M3的坐标为（，-）；当点M2到线段AB的中点的距离等于线段AB的一半时，∵点A（-1，0），点B（0，-），∴线段AB中点的坐标为（-，），线段AB的长度是2，设点M2的坐标为（，m），则=1，解得，m=，即点M2的坐标为（，-）；由上可得，点M的坐标为（，），（，-）或（，-）；②如图2所示，作AB的垂直平分线，于y轴交于点F，由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°，∴以F为圆心，AF长为半径作圆交对称轴于点M和M′点，则∠AMB=∠AM′B=∠AFB=60°，∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1，∴∠FAO=30°，AF==FM=FM′，OF=，过点F作FG⊥MM′于点G，∵FG=，∴MG=M′G=，又∵G（，-），∴M（，），M′（，），∴≤t≤．【解析】（1）根据二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；（2）①根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法即可求得点M的坐标；②根据题意，构造一个圆，然后根据圆周角与圆心角的关系和∠AMB不小于60°，即可求得t的取值范围．本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用分类讨论和数形结合的思想解答．27.【答案】不可能【解析】解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，∴ON不可能过D点，故答案为：不可能；②如图2中，∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，∴四边形EFCH为矩形，∵∠MON=90°，∴∠EOF=90°-∠AOB，在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，∴∠EOF=∠BAO，在△OFE和△ABO中，，∴△OFE≌△ABO（AAS），∴EF=OB，OF=AB，又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，∴CF=EF，∴四边形EFCH为正方形；③结论：OA=OE．理由：如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．∵AB=BC，BQ=BO，∴AQ=QC，∵∠QAO=∠EOC，∠AQO=∠ECO=135°，∴△AQO≌△OCE（ASA），∴AO=OE．（2）∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，∴△PKO∽△OBG，∵S△PKO=S△OBG，∴=（）2=，∴OP=1，∴S△POG=OG•OP=×1×2=1，设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=4，∴b=，∴S△OBG=ab=a==，∴当a2=2时，△OBG有最大值1，此时S△PKO=S△OBG=，∴四边形PKBG的最大面积为1+1+=．∴当BO为时，四边形PKBG的面积最大，最大面积为．（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点；②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；③结论：OA=OE．如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．证明△AQO ≌△OCE（ASA）即可．（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△OBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．本题为四边形的综合应用，涉及矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）①中注意反中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24分）28.2的算术平方根是（）A. B. C. D. 229.下列运算正确的是（）A. B. C. D.30.近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.31.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A. B. C. D.32.在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：关于这组数据，下列说法正确的是（）A. 中位数是2B. 众数是17C. 平均数是2D. 方差是233.某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A. B. C. D.34.如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（）A.B.C.D.35.如图，菱形ABCD的边AB=5，面积为20，∠BAD＜90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO=2，则⊙O的半径长等于（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24分）36.-5的相反数是______．37.分解因式：4a2-4a+1=______．38.若在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．39.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=______度．40.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC．若用扇形OAC（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．41.同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y=x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为______℃．42.如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．43.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．三、计算题（本大题共3小题，共20分）44.计算|-6|+（-2）3+（）045.化简：46.小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去兴化李中水上森林游玩．（1）小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为______；（2）求他们三人在同一个半天去游玩的概率．四、解答题（本大题共8小题，共82分）47.解不等式组48.某校随机抽取部分学生，就“学习习惯”进行调查，将“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”（选项为：很少、有时、常常、总是）的调查数据进行了整理，绘制成部分统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题（1）该调查的样本容量为______，a=______%，b=______%，“常常”对应扇形的圆心角为______°（2）请你补全条形统计图；（3）若该校共有3200名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名？49.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．50.某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函数关系．（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为______元；（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？51.如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时BC=10cm，箱底端点E与墙角G的距离为65cm，∠DCG=60°．（1）箱盖绕点A转过的角度为______，点B到墙面的距离为______cm；（2）求箱子的宽EF（结果保留整数，可用科学计算器）．（参考数据：=1.41，=1.73）52.如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，-），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．53.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx-的图象经过点A（-1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．54.正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON______（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON上取点E（E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么OE与OA是否相等？请说明理由；（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=2．在ON上存在。
吉林省长春市十一中2015-2016学年高二上学期期初考试数学(文)试卷
长春市十一高中2015-2016学年度高二上学期期初考试数 学 试 题（文 科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．若直线1=x 的倾斜角为α，则α为（ ） A.0 B.4π C.2πD.不存在2.已知0,0<>bc ab ，则直线0ax by c ++=通过（ ）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限3．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)4.从点)3,(x P 向圆1)2()2(22=+++y x 引切线,切线长的最小值为( ) A.4 B.62 C.5 D.5.55．已知直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于 A． B． C．16．若062:,0)2()1(:21=++=-+++y mx l m y m x l 的图象是两条平行直线，则m 的值是（ ）A ．m ＝1或m ＝－2B ．m ＝1C ．m ＝－2D ．m 的值不存在7.一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为A ．53-或35-B ．32-或32-C ．54-或45-D ．43-或34-8.直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．230x y +-=D ．230x y +-=9.在坐标平面上,不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示平面区域的面积为( ) 体验 探究 合作 展示A.2B.23 C.223 D.2 10．已知圆的方程为,08622=--+y x y x 设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD 的面积为( )A.610B.620C.630D.640 11.已知点)2,1(-和)0,33(在直线()001:≠=--a y ax l 的两侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,4ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛65,32ππ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,433,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,3ππ12．已知直线l ：50x ky --=与圆O :2210x y +=交于A 、B 两点且0=⋅→→OB OA ，则k =( )A B ．．2± D ．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．圆122=+y x 上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是____________． 14．过点(1,2)A ，且与直线230x y -+=垂直的直线方程为________________．15．若直线220(0)ax by a b +-=≥>，始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则b a 21+的最小值为_______.16．已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=a _____．三．解答题：（本大题共6小题，共70分）17．( 本小题满分10分)已知ABC △的顶点()()()4,1,0,1,23-C B A ，，求： （1）AB 边上的高所在直线的方程；（2）AC 边上的中线所在直线的方程；（3）ABC △外接圆的标准方程.18．( 本小题满分12分)求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。
2024届吉林省长春市第十一高中物理高一上期中学业质量监测模拟试题含解析
2024届吉林省长春市第十一高中物理高一上期中学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（1-6题为单选题7-12为多选，每题4分，漏选得2分，错选和不选得零分）1、某一质点运动的位移x随时间t变化的图象如图所示，则（）A．第10s末，质点的速度最大B．5s末与15s末，质点的速度方向相反~内，质点通过的位移等于5mC．010s~内，质点的速率先增加后减小D．1020s2、下列物理量中，属于矢量的是A．时间B．瞬时速度C．平均速率D．质量3、茶杯在水平桌面上处于静止，下列选项中说法正确的是（）A．茶杯对桌面的压力就是茶杯的重力B．茶杯对桌面的压力是作用在茶杯上的C．茶杯对桌面的压力是由于桌面发生形变而产生的D．茶杯对桌面的压力是由于茶杯发生形变而产生的4、运动小车拖动的纸带经过打点计时器后，在纸带上留下的点中有6个连续清晰的点，测出这6个点的第1点到第6点的距离为18cm，则小车运动的平均速度为（）A．0.03 m/sB．1.5 m/sC．1.8 m/sD．180 m/s5、从打点计时器打出的一条纸带上不能求出的物理量是（）A．时间B．合外力C．加速度D．位移6、如图所示为某物体做直线运动的x t 图象。
下列说法正确的是（）A．0~1s内物体做匀加速运动B．4s内通过的路程是4mC．4s内物体的平均速度大小为2m/sD．4s内物体的运动方向不变7、小明同学站在电梯底板上，利用速度传感器研究电梯的运动情况，如图所示的v-t图象是计算机显示的电梯在某一段时间内速度变化的情况（选向上为正方向）。
吉林省长春市十一中2015_2016学年高二数学上学期期中试题理
长春市十一高中2015-2016学年度高二上学期期中考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.若直线l 经过点)3,1(A 和)0,1(B ,则直线l 的倾斜角为（ ） A. 0 B. 60 C. 90 D.不存在2.抛物线)0(2≠=a ax y 的准线方程是( ) A.4a x =B.a x 41-=C.4a y =D.ay 41-= 3.若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m =（ ） A.3 B.32 C.83 D.234.过点)2,1(A 且与原点距离最大的直线方程是（ ）A.053=-+y xB.042=--y xC.073=-+y xD.052=-+y x 5.点)0,1(-A 和点)1,1(B 在直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是（ ） A.12<<-a B.2-<a 或1>a C.21<<-a D.1-<a 或2>a6.已知双曲线1422=-y x ，过点)0,0(O 作直线l 与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l 共有（ ）A.0条B.2条C.4条D.无数条7.经过直线022:=-+y x l 上的点P ，向圆1:22=+y x O 引切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为（ ）A.2B.22C.3D.328.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的一条渐近线与直线03:=+y x l 垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则C 的标准方程为( )A.13922=-x yB.13922=-y xC.16422=-x yD.16422=-y x 9.如图，已知)0,4(A ,)4,0(B ，从点)0,2(P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．6B ．102C ．33D ．5210.已知圆22:1O x y +=，点00(,)M x y 是直线20x y -+=上一点，若圆O 上存在一点N ，，则0x 的取值范围是( )A.[]0,2-B.)3,0(C.[]4,2D.)3,1(-11.已知点)3,4(A ，P 是双曲线222=-y x 右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则PF PA +的最小值是( )A.352-B.223+ D.252+12.已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则双曲线2C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．25 D ．26二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线x y 52=上的两点A ,B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是 .14.设y x z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 .15.若曲线02:221=-+x y x C 与曲线0)(:2=--m mx y y C 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 .16.已知点P 是椭圆400251622=+y x 上一点，且在x 轴上方，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，直线2PF 的斜率为22-，则21F PF ∆的面积为 .三、解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分. 17.已知ABC ∆的三个顶点的坐标为(1,1),(3,2),(5,4)A B C ．（Ⅰ）求AB 边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．18.已知圆C 的半径为1，圆心C 在直线03=-y x 上.（Ⅰ）若圆C 被直线03=+-y x 截得的弦长为2，求圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点)3,0(A ，若圆C 上总存在两个点到点A 的距离为2,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.19.如图，已知抛物线C :)40(22<<=p py x ，其上一点),4(0y M 到其焦点F 的距离为5，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于B A ,左、右两点. （Ⅰ）求抛物线C 的标准方程； （Ⅱ）若FB AF 21=，求直线l 的方程.20.直线l 过点)1,2(M ，且与椭圆22184x y +=交于,A B 两点，O 是坐标原点． （Ⅰ）若点M 是弦AB 的中点，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 过椭圆的左焦点，求数量积OB OA •的值.21.如图，直线b kx y +=与椭圆1422=+y x 交于B A ,两点，记AOB ∆的面积为S ，O 是坐标原点．（Ⅰ）当10,0<<=b k 时，求S 的最大值； （Ⅱ）当1,2==S AB 时，求直线AB 的方程．22．已知动圆Q 过定点(2,0)A 且与y 轴截得的弦MN 的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点(2,1)P -，动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于B A ,两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ,PG ，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．理科数学答案二、填空题 13.415 14. 6- 15. )33,0()0,33( - 16. 28 三、解答题 17.解:（Ⅰ）12ABk =，∴边AB 上的高所在直线的斜率为2-又∵直线过点(5,4)C ∴直线的方程为：42(5)y x -=--，即2140x y +-= 4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：11x y a a +=+，即1a y x a a =-++ 34AC k = 3,14a a ∴-=+解得：37a =- ∴直线l 的方程为：14377x y +=- ∴直线l 过点43(,0),(0,),77-57= ∴直线l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为543127777++=． 6分 18.解：（Ⅰ）因为圆心C 在直线03=-y x 上，所以设圆心C 的坐标为)3,(a a ，因为圆C 的半径为1，圆C 被直线03=+-y x 截得的弦长为2，所以圆心C 到直线03=+-y x 的距离2222122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d ，又232233-=+-=a a a d ，所以22232=-a ， 解得1=a 或2=a ，所以圆心C 的坐标为)3,1(或)6,2(. 圆C 的标准方程为：1)3()1(22=-+-y x 或1)6()2(22=-+-y x . 6分 （Ⅱ）设圆A ：4)3(22=-+y x ，由（Ⅰ）设圆心C 的坐标为)3,(a a .由题意，问题等价于圆A 和圆C 相交时，求圆心C 横坐标a 的取值范围，即：3)33(122<-+<a a ，由1)33(22>-+a a 整理得04952>+-a a ，解得54<a 或1>a ；由3)33(22<-+a a 整理得0952<-a a ，解得590<<a . 所以540<<a 或591<<a . 6分19.解（Ⅰ）由题意，⎪⎩⎪⎨⎧=+=5221600y ppy ，解得2=p 或8=p ，由题意40<<p ，所以2=p ，40=y .所以抛物线标准方程为yx 42=.5分 （Ⅱ）解方程组⎩⎨⎧=+=yx kx y 412，消去y ，得0442=--kx x ，显然016162>+=∆k ，设),(),,(2211y x B y x A ，则k x x 421=+ ① 421-=x x ②又FB AF 21=，所以)1,(21)1,(2211-=--y x y x 即122x x -= ③由①② ③消去21,x x ，得812=k ，由题意，42=k故直线l 的方程为142+=x y . 7分 20.解：（Ⅰ）设),(),,(2211y x B y x A ，代入椭圆方程得822121=+y x ，822222=+y x ， 两式作差得0)(2)(22212221=-+-y y x x ，因式分解得0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x ，所以)(221212121y y xx x x y y k ++-=--=，即1122200-=⨯-=-=y x k ，所以l 方程为：03=-+y x . 5分 （Ⅱ）因为)0,2(-F ,)1,2(M ,所以l 斜率41=k ，所以l 方程为：024=+-y x ，联立解方程组⎩⎨⎧=+=+-8202422y x y x ，得02892=--y y ，设),(),,(2211y x B y x A 所以9821=+y y ，9221-=y y ， )24)(24(2121--=y y x x 4)(8162121++-=y y y y所以OB OA •2121y y x x +=4)(8172121++-=y y y y 9624988)92(17-=+⨯--⨯= 7分21.解：（Ⅰ）设点A 的坐标为),(1b x ，点B 的坐标为),(2b x ，由1422=+y x ，解得22,112b x -±=， 所以2211221b b x x b S -=-=1122=-+≤b b 当且仅当22=b 时,S 取到最大值1． 5分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x b kx y 得，0448)14(222=-+++b kbx x k )14(1622+-=∆b k ① ， 设),(),,(2211y x B y x A ，148221+-=+k kbx x ，14442221+-=k b x x2121x x k AB -+=214)14(1612222=++-+=k b k k② 又因为O 到AB 的距离1212==+=ABSk b d ，所以122+=k b ③ ③代入②并整理，得014424=+-k k 解得，212=k ，232=b 代入①式检验，0>∆， 故直线AB 的方程是 2622±=x y ，或2622±-=x y . 7分 22．解：（Ⅰ）设(,)Q x y=整理得24y x =，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是24y x =． 4分 （Ⅱ）设存在符合题意的定点G ．设直线的方程为(0x ny m n =+≠且)n R ∈，则(,0)G m ．将x m ny =+代入24y x =，整理得2440y ny m --=．由题意得216160n m ∆=+>，即20n m +>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y n +=，124y y m ⋅=-，11112211114(1)2824PA y y y k y x y ---===+++，2224(1)8PBy k y -=+，1122PG k m m ==---+，由题意得2PA PB PG k k k +=，即20PA PB PG k k k +-=,所以1222122(1)2(1)10882y y y y m --++=+++，即： 221212*********(2)()16(2)()2[()2](2)()320m y y y y m y y y y y y m y y m +++++++--+-=把124y y n +=，124y y m ⋅=-代入上式，整理得(2)(2)(2)m n m m -=+-，又因为n R ∈，所以(2)(2)020m m m +-=⎧⎨-=⎩，解得2m =所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为(2,0)． 8分。
2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题2(含解析)
2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．一条直线过原点和点()1,1P -，则这条直线的倾斜角是（）A ．4πB ．4π-C ．34πD ．74π【正确答案】C求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.【详解】设这条件直线的倾斜角为θ，则10tan 110θ--==--，0θπ≤<，因此，34πθ=.故选：C.2．抛物线22y x =的准线方程是（）A ．12x =-B ．18x =-C ．18y =-D ．12y =-【正确答案】C【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；【详解】解：因为抛物线方程为22y x =，即212x y =，所以122p =，即14p =，所以抛物线的准线为18y =-故选：C3．已知椭圆C 的焦点1F ，2F 在x 轴上，过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若2ABF △周长为8，则椭圆C 的标准方程可能为（）A ．2211615x y +=B ．22187x y +=C ．22143x y +=D ．22134x y +=【正确答案】C【分析】由椭圆的定义可得2ABF △的周长为48a =，然后可选出答案.【详解】由椭圆的定义可得2ABF △的周长为48a =所以2a =因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆C 的标准方程可能为22143x y+=故选：C4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与9a 方程28200x x --=的两个实根，则11S =（）A ．46B ．44C ．42D ．40【正确答案】B【分析】利用等差数列的性质和前n 项和公式即可求解.【详解】因为3a 与9a 方程28200x x --=的两个实根，所以398a a +=.由等差数列{}n a 的性质可得：119138a a a a +=+=，所以()1111111442a a S +⨯==.故选：B5．经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为（）A ．2320x y ++=B ．3220x y +-=C ．2320x y -+=D ．2320x y +-=【正确答案】D联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【详解】由231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩因为所求直线与直线3240x y -+=垂直所以所求直线方程：2x +3y ＋c ＝0,代入点(2,2)-可得2c =-，所以所求直线方程为2320x y +-=故选：D方法点睛：本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.6．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a = ，()76,b a a = ，且4a b ⋅= ，则2122210log log log (a a a ++⋯+=)A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【正确答案】C【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．【详解】向量a ＝4a 5a ，b ＝7a 6a ，且a •b＝4，∴47a a +56a a ＝4，由等比数列的性质可得：110a a ＝……＝47a a ＝56a a ＝2，则2122210log log log a a a +++=log 2（12a a 10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选C ．本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．7．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（）lg 20.3≈lg3.80.6≈A ．40B ．41C ．42D ．43【正确答案】C设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n ≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=，所以至少对折的次数n 是42，故选：C关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.8．圆22:890C x y x ++-=上有四个点到双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的距离为2，则双曲线E 的离心率的取值范围是（）．A ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．7⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】易得双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=和圆的圆心()4,0-，半径为5，根据圆C 上有四个点到0bx ay -=的距离为2，由圆心()4,0-到0bx ay -=的距离523d <-=求解.【详解】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:890C x y x ++-=，圆心()4,0-，半径为5，因为圆C 上有四个点到0bx ay -=的距离为2，所以圆心()4,0-到0bx ay -=的距离523d <-=3<，而222+=a b c ，所以22167c a <，即17e <<故选：C二、多选题9．下列结论中，正确的是（）A ．sincos33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()21f x x =，则()2327f '=-C ．()x xe e '=D ．()41log ln 4x x '=【正确答案】BCD【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可.【详解】A ：因为sin32π=，所以'sin 03π⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本选项不正确；B ：由()()231'2f x f x x x =⇒=-，所以()2'327f =-，因此本选项正确；C ：因为()'x xe e =，所以本选项正确；D ：因为()41log 'ln 4x x =，所以本选项正确，故选：BCD10．已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，下列说法正确的是（）A ．若A =B =1，则C 是圆B ．若A =B =0，220D E +>，则C 是直线C ．若A ≠0，B =0，则C 是抛物线D ．若AB <0，D =E =0，0F ≠，则C 是双曲线【正确答案】BD【分析】对于A ：当A =B =1时，则曲线22:0C x y Dx Ey F ++++=，分22+40D E F -=，22+4>0D E F -，22+40D E F -<，分别讨论可判断；对于B ：当A =B =0，则:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，可判断；对于C ：当A ≠0，B =0，则2:0C Ax Dx Ey F +++=，分0E =，0E ≠，讨论可判断；对于D ：当AB <0，D =E =0，0F ≠，则22:0C Ax By F ++=由此可判断.【详解】已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，对于A ：当A =B =1时，则曲线22:0C x y Dx Ey F ++++=，若22+40D E F -=，则C 是点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；若22+4>0D E F -，则C 是圆；若22+40D E F -<，则C 不存在，故A 不正确；对于B ：当A =B =0，则:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，则C 是直线，故B 正确；对于C ：当A ≠0，B =0，则2:0C Ax Dx Ey F +++=，若0E =，则2:0C Ax Dx F ++=表示一元二次方程，若0E ≠，则2:+0C Ax Dx Ex F ++=表示抛物线，故C 不正确，对于D ：当AB <0，D =E =0，0F ≠，则22:0C Ax By F ++=表示双曲线，故D 正确，故选：BD.11．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（）A ．d ＜0B ．10a <C ．当n ＝5时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【正确答案】BD【分析】利用等差数列基本量计算以及等差数列前n 项和公式进行判断.【详解】A ：因为数列递增，故0d >，故A 错；B ：因为753a a =，根据基本量展开，即130a d +=，因为0d >，所以10a <，故B 正确；C ：由130a d +=可知40a =，所以前3项均为负数，故n S 最小时，n 为3或4.故C 错；D ：()17747702a a S a +===，()()188458402a a S a a +==+>，故当0n S >时，n 最小值为8.故选：BD12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为12,F F ，下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的离心率为53B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x=±C ．2F 到一条渐近线的距离是8D ．过2F 的最短弦长为643【正确答案】AC【分析】依题意可知6a =，10c =，8b =，进而由双曲线的几何性质可依次做出判断.【详解】依题意可知6a =，10c =，所以8b =.离心率53c e a==，故A 正确；渐近线方程为43y x =±，故B 错误；2(10,0)F ，不妨设渐近线为430x y +=，则2F 到渐近线的距离8d =，故C 正确；过2F 的最短弦长为212a =，故D 错误.故选：AC.三、填空题13．已知F 为椭圆22143x y +=的左焦点，P 为椭圆上一点，则PF 的取值范围为_________．【正确答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标，由两点间的距离公式求出||PF ，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.【详解】由题意，()1,0F -，设(),P x y ，则2222313434x y y x +=⇒=-，所以1|||4|2PF x ==+，因为22x -≤≤，所以||PF 的范围是[]1,3.故答案为.[]1,314．函数()2ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________.【正确答案】320x y --=【分析】求出切点和斜率，代入点斜式即可求出结果.【详解】因为()2ln f x x x =+，所以()11=f ，()1'2f x x x=+，()'1213f =+=所以切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=故320x y --=本题考查的是导数的几何意义，考查了运算求解能力，属于一般题目.15．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为________.【正确答案】6【分析】根据等比中项的性质求得m ，由此对m 进行分类讨论，求得圆锥曲线221xy m+=的离心率.【详解】由于实数4,,9m 成等比数列，所以24936m =⨯=，所以6m =±.当6m =时，2216x y +=为椭圆，6c a c a ===.当6m =-时，2216x y +=-为双曲线，1,1a b c =====.所以锥曲线221x y m +=的离心率为6本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.16．已知双曲线2222:1,-=x y C a b且圆22(2):1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点.若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为____________.【正确答案】2213x y -=【分析】由已知可得双曲线右焦点坐标为(2,0)，再由圆心到渐近线的距离为1，得到,a b 关系，结合2c =，即可求解.【详解】∵2224c a b =⇒+=.①取渐近线0bx ay -=，2213a b =⇒=.②由①②可得23a =，21b =，∴双曲线C 的方程为2213x y -=.故答案为:2213x y -=.本题以圆为背景，考查双曲线的性质，考查计算求解能力，属于基础题.四、解答题17．等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.(1)求{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)22n a n =+；23n S n n=+(2)224n n T +=-【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解即可；（2）根据条件算出14,2b q ==，再由等比数列的前n 项和公式求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1210a a +=，432a a -=可得，1110,2a a d d ++==，解得：14,2a d ==，可得：()42122n a n n =+-=+，()()12422322n n n a a n n S n n +++===+.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由足23b a =，37b a =，可得：18b q ⋅=，2116b q ⋅=，解得：14,2b q ==，则数列{}n b 的前n 项和n T 为.()24122412n n n T +-==--18．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=．(1)当直线l 与圆C 相交，求a 的取值范围；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程．【正确答案】(1)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；(2)20x y -+=或7140x y -+=.【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用几何法可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围；（2）根据勾股定理求出圆心到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于实数a 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）解：圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心为()0,4C ，半径为2r =，因为直线l 与圆C 2<，解得34a <-.（2）解：因为AB =，则圆心C 到直线l 的距离为d由点到直线的距离公式可得d =2870a a ++=，解得1a =-或7-.所以，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=.19．已知抛物线C ：24y x =，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：1y kx =+．（1）若l 与C 只有一个公共点，求k 的值；（2）过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点，求OAB 的面积．【正确答案】（1）1或0；（2）【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由0k =或0∆=即可求解；（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与抛物线方程，根据121||||2OABSOF y y =⋅-及韦达定理即可求解；【详解】解：（1）依题意214y kx y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2114y ky =+，即2440ky y -+=，①当0k =时，显然方程只有一个解，满足条件；②当0k ≠时，2(4)440k ∆=--⨯=，解得1k =；综上，当1k =或0k =时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线C ：24y x =，所以焦点(1,0)F ，所以直线方程为1y x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得2440y y --=，所以124y y +=，124y y =-，所以12||y y -==所以1211||||122OABSOF y y =⋅-=⨯⨯=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，239n n S a =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 【正确答案】(1)()13N n n a n +*=∈(2)24n nT n =+【分析】（1）根据数列公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合已知得出19a =与()132n n a n a -=≥，即可根据等比数列定义得出答案；（2）根据对数运算结合小问1通项得出1n b n =+，再得出数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可利用裂项相消法得出答案.【详解】（1）由题意得，当1n =时，1112239S a a ==-，解得19a =，当2n ≥时，由239n n S a =-可得，11239n n S a --=-，两式相减并整理得：13n n a a -=，故数列{}n a 是首项为9，公比为3的等比数列，则数列{}n a 的通项公式为.()11933n n n a n -+*=⨯=∈N （2）由小问1知：133log log 31n n n b a n +===+，则()()111111212n n b b n n n n +==-++++，则12231111n n n T b b b b b b +=+++，111111233412n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1122n =-+，24n n =+.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求C 的方程；（2）记C 的左顶点为M ，上顶点为N ，点A 是C 上在第四象限的点，AM ，AN 分别与y 轴，x 轴交于P ，Q 两点，试探究四边形MNQP 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【正确答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）根据直线二点式方程，结合四边形的面积表达式，通过数学运算进行求解判断即可.【详解】解：（1）依题意，2222191,41451,416a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,3a b ==，故C 的方程为22143x y +=.（2）是定值.理由如下：依题意，(2,0),M N -，设()00,A x y ，则22003412x y +=，所以直线0002:02y x AM y x -+=-+，令0020,2P y x y x ==+，则0000022||22P y y NP y x x +===++；直线000x AN x -=-，令0,Q y x =.则22Q MQ x =+=又易知NP MQ ⊥，所以四边形MNQP 的面积为1||||2S NP MQ =⋅012=00002x y y +-=所以四边形MNQP 的面积为关键点睛：根据四边形的面积表达式，通过熟练的数学运算求解是解题的关键.。
【真题】15年吉林省长春十一中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2014-2015学年吉林省长春十一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x＜1}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）已知b＜a＜0＜＜1，则（）A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b4．（5分）已知sin2α=，则=（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=f（x）在区间（﹣2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（﹣2，2）上仅有一个实根x=0，则f（﹣1）f（1）的值（）A．大于0 B．小于0C．等于0 D．与0的大小关系无法确定6．（5分）设P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y的最小值为（）A．3 B．2 C．﹣ln2 D．3+ln27．（5分）在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∠A为锐角，则公比q等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．1或﹣28．（5分）能够把椭圆C：+=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为椭圆C的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是（）A．f（x）=x3+x2 B．f（x）=ln C．f（x）=sinx+cosx D．f（x）=e x+e﹣x 9．（5分）若函数的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．C．2 D．10．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）是单调递增的，若则下列不等式中一定成立的是（）A．f（S1）＜f（S2）＜f（S3）B．f（S3）＜f（S2）＜f（S1）C．f（S2）＜f （S1）＜f（S3）D．f（S3）＜f（S1）＜f（S2）11．（5分）关于方程|log2x|=lg（x+1）的两个根x1，x2（x1＜x2）以下说法正确的是（）A．x1+x2＞2 B．x1x2＞2 C．0＜x1x2＜1 D．1＜x1+x2＜212．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当+ln|k1|+ln|k2|最小时，双曲线离心率为（）A．B．C．+1 D．2二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知定义在R上的连续函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为，则f（1）+f′（1）=．14．（5分）设t＞0，函数f（x）=的值域为M，若4∉M，则t 的取值范围是．15．（5分）在等比数列{a n}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=．16．（5分）某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：①函数f（x）在[﹣π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．其中正确的结论是．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分）17．（10分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．18．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ax3e x﹣1+bx3+c在x=1处取得极值2b+c+7，a，b，c 为常数，（1）试确定a，b的值；（2）当x∈[﹣4，+∞）时，讨论函数f（x）的单调区间；（3）若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c2﹣2c﹣1成立，求c的取值范围．21．（12分）设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：=1（a＞1）的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且•的最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年吉林省长春十一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x＜1}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：集合M={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，N={x|log2（x﹣1）＜1}={x|0＜x ﹣1＜2}={x|1＜x＜3}，故M∩N={x|2＜x＜3}，故选：A．2．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：===﹣故复数（i为虚数单位）的虚部是故选：B．3．（5分）已知b＜a＜0＜＜1，则（）A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b【解答】解：∵b＜a＜0，∴b＞a＞1，又∵＜1，∴0＜c＜1．∴c＜1＜a＜b．则2c＜2a＜2b．故选：A．4．（5分）已知sin2α=，则=（）A．B．C．D．【解答】解：===∵sin2α=，∴==．故选：B．5．（5分）函数y=f（x）在区间（﹣2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（﹣2，2）上仅有一个实根x=0，则f（﹣1）f（1）的值（）A．大于0 B．小于0C．等于0 D．与0的大小关系无法确定【解答】解：由于函数y=f（x）在区间（﹣2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（﹣2，2）上仅有一个实根x=0，可得图象：因此f（﹣1）f（1）的值与0的大小关系不正确．故选：D．6．（5分）设P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y的最小值为（）A．3 B．2 C．﹣ln2 D．3+ln2【解答】解：∵P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．f′（x）=1﹣+=，令f′（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x ＜1，此时函数f（x）单调递减．且f′（1）=0．∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=3．故选：A．7．（5分）在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∠A为锐角，则公比q等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2【解答】解：∵等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=﹣2，∵△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∴=（1，q﹣1），∵∠A为锐角，∴﹣1×1﹣q+1＞0，∴q=﹣2，故选：C．8．（5分）能够把椭圆C：+=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为椭圆C的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是（）A．f（x）=x3+x2 B．f（x）=ln C．f（x）=sinx+cosx D．f（x）=e x+e﹣x【解答】解：∵f（x）=x3+x2不是奇函数，∴f（x）=x3+x2的图象不关于原点对称，∴f（x）=x3+x2不是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=ln是奇函数，∴f（x）=ln的图象关于原点对称，∴f（x）=ln是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=sinx+cosx不是奇函数，∴f（x）=sinx+cosx的图象不关于原点对称，∴f（x）=sinx+cosx不是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=e x+e﹣x不是奇函数，∴f（x）=e x+e﹣x的图象关于原点不对称，∴f（x）=e x+e﹣x不是椭圆的“亲和函数”．故选：B．9．（5分）若函数的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：求导数，可得令x=0，则又f（0）=，则切线方程为，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴∴a2+b2=1∵a＞0，b＞0∴a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴∴a+b的最大值是故选：D．10．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）是单调递增的，若则下列不等式中一定成立的是（）A．f（S1）＜f（S2）＜f（S3）B．f（S3）＜f（S2）＜f（S1）C．f（S2）＜f （S1）＜f（S3）D．f（S3）＜f（S1）＜f（S2）【解答】解：根据积分公式可知，，，∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）是单调递增，∴在区间（0，+∞）是单调递减，∵e2﹣e＞＞0，∴f（S3）＜f（S1）＜f（S2），故选：D．11．（5分）关于方程|log2x|=lg（x+1）的两个根x1，x2（x1＜x2）以下说法正确的是（）A．x1+x2＞2 B．x1x2＞2 C．0＜x1x2＜1 D．1＜x1+x2＜2【解答】解：在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg（x+1）的图象，如图：由图可知：0.5＜x1＜1，1＜x2＜1.5，﹣log2x1=lg（1+x1），log2x2=lg（1+x2），可得log2（x1x2）=lg∈（0，1），即有1＜x1x2＜2，x1+x2=2+2＞2＞2，所以x1+x2＞2．故选：A．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当+ln|k1|+ln|k2|最小时，双曲线离心率为（）A．B．C．+1 D．2【解答】解：设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线﹣=1的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），，，∴k1k2==，∵点A，C都在双曲线上，∴，，两式相减，得：，∴k1k2==＞0，∴+ln|k1|+ln|k2|=，对于函数y=，由=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2时，＞0，0＜x＜2时，＜0，∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴当+ln|k1|+ln|k2|最小时，，∴e==．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知定义在R上的连续函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为，则f（1）+f′（1）=1．【解答】解：据题意知f′（1）=f（1）=∴故答案为：114．（5分）设t＞0，函数f（x）=的值域为M，若4∉M，则t 的取值范围是（] ．【解答】解：∵函数f（x）=可得0＜y＜2t，或y≤log，∴值域为：{y|0＜y＜2t，或y≤log}∵域为M，若4∉M，∴2t≤4，且log，＜4，可解得：＜y≤2故答案为：15．（5分）在等比数列{a n}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=﹣．【解答】解：+++=（+）+（+）=+==﹣故答案为﹣16．（5分）某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：①函数f（x）在[﹣π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．其中正确的结论是④．【解答】解：f（x）=2x•cosx为奇函数，则函数f（x）在[﹣π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错．由于f（0）=0，f（π）=﹣2π，所以②错．再由f（0）=0，f（2π）=4π，所以③错．|f（x）|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|，令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以④对．故答案为：④．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分）17．（10分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC=（3sinA﹣sinC）cosB，∴3sinA•cosB﹣sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin （B+C）=sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．（2）由•=4，b=4，可得，a•c•cosB=4，即ac=12．…①．再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣，即a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，，或．18．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）∵对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，即．∴当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=﹣=﹣2a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵对任意n∈N*，a n＞0．＞0．∴a n+a n﹣1=2．∴a n﹣a n﹣1∴数列{a n}是等差数列，公差为2．（2）由（1），a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴=4n（n+1），∴==，n∈N*；∴T n=．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设BD∩OC=F，连接EF，∵E、F分别是PC、OC的中点，则EF∥PO，…（1分）∵CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，∵平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，∴AB⊥EF，…（3分）在△ABD中，AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，又EF∩BD=F，∴AB⊥平面BED，又DE⊂平面BED，∴AB⊥DE．…（6分）（Ⅱ）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，连接HE，AE，∵PO⊥平面ABCD，∴POC⊥平面ABCD，平面POC∩平面ABCD=AH，∴AH⊥平面POC，PC⊂平面POC，∴AH⊥PC．在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴AE⊥PC，∴PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．∴∠AEH是二面角A﹣PC﹣O的平面角．…（10分）设PO=AD=2BC=2CD=2，而AE2=AC2﹣EC2，AE=，AH=，则sin∠AEH=，∴二面角A﹣PC﹣O的余弦值为．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=ax3e x﹣1+bx3+c在x=1处取得极值2b+c+7，a，b，c 为常数，（1）试确定a，b的值；（2）当x∈[﹣4，+∞）时，讨论函数f（x）的单调区间；（3）若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c2﹣2c﹣1成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2e x﹣1+ax3e x﹣1+3bx2，∵f（x）=ax3e x﹣1+bx3+c在x=1处取得极值2b+c+7，∴即解得a=3，b=﹣4．（2）由（1）得f（x）=3x3e x﹣1﹣4x3+c，f′（x）=9x2e x﹣1+3x3e x﹣1﹣12x2=3x2[（3+x）e x﹣1﹣4]，∴当﹣4≤x≤1时，f′（x）≤0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在[﹣4，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（3）由（2）可知，当x=1时，f（x）min=﹣1+c，∴若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c2﹣2c﹣1成立，则有，﹣1+c≤c2﹣2c﹣1，解得c≤0或c≥3．21．（12分）设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：=1（a＞1）的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且•的最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（1）设P（x，y），则=（x+c，y），=（x﹣c，y），∴•=x2+y2﹣c2=x2+1﹣c2，x∈[﹣a，a]，由题意得，1﹣c2=0⇒c=1⇒a2=2，∴椭圆C的方程为；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程x2+2y2=2中，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）=0，化简得：m2=2k2+1．设d1=|F1M|=，d2=|F2N|=，当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，∴|MN|=•|d1﹣d2|，∴S=••d1﹣d2|•（d1+d2）===，∵m2=2k2+1，∴当k≠0时，|m|＞1，|m|+＞2，∴S＜2．当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=2．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣ay=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k=k，即a=1，…（2分）∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2 …（3分）（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，…（4分）令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e …（5分）u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上①当u=≤0即t时，y最小=t2﹣t …（6分）②当u=≥e即t时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t …（7分）③当0＜＜e即时，y最小=y=﹣…（8分）（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增…（9分）∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），…（10分）∴由f（x）的单调性知0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．…（11分）②当m≤0时，，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f （x ）的单调性知，F （β）≤F （x 1）＜f （x 2）≤F （α）∴|F （α）﹣F （β）|≥|F （x 1）﹣F （x 2）|，与题设不符 …（12分） ③当m ≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，得|F （α）﹣F （β）|≥|F （x 1）﹣F （x 2）|，与题设不符．…（13分） ∴综合①、②、③得 m ∈（0，1）…（14分） 说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．yxo（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．第21页（共21页）。
吉林省长春市第十一高中2022-2023学年数学高一上期末检测模拟试题含解析
（2） .
18．某汽车配件厂拟引进智能机器人来代替人工进行某个操作，以提高运作效率和降低人工成本，已知购买x台机器人的总成本为 （万元）
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中求得的数量购买机器人，需要安排m人协助机器人，经实验知，每台机器人的日平均工作量 （单位：次），已知传统人工每人每日的平均工作量为400次，问引进机器人后，日平均工作量达最大值时，用人数量比引进机器人前工作量达此最大值时的用人数量减少百分之几？
当 时，由韦达定理得 ， ，此时 .
故选：B
2、A
【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的 ,即该几何体是 个球，设球的半径为 ，则 ，解得 ，所以它的表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和,即 ，故选A
【考点】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）109；（2） .
【解析】（1）利用指数幂运算和分数指数幂与根式的转化，化简求值即可；
（2）利用对数运算性质化简求值即可.
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式 .
18、（1）8台（2）
【解析】（1）根据题意将问题转化为对 的求解，利用基本不等式即可；
【详解】由题设， ，可得 ，
，可得 ，
∴声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的 倍.
故答案为：1000.
吉林省长春市十一中2015届高三上学期第二次阶段性测试 数学文试题
吉林省长春市十一中2015届高三上学期第二次阶段性测试 数学文试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．若复数i a a z )1(12-+-= i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ） A.1± B. 1- C. 0 D. 1 2.设)2,1(=，),2(k =，若⊥+)2(，则实数k 的值为（ ）A. 2-B. 4-C. 6-D. 8-3.在等差数列{}n a 中， 1a ，2015a 为方程016102=+-x x 的两根，则=++201410082a a a （ ） A ．10B ．15C ．20D ．404．如图，正三棱111C B A ABC -的正视图是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为（ ）A ．16B ．32C ．34D ．385.在锐角ABC ∆中，“B A >”是“B A tan tan >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 在等比数列{}n a 中，若21=a ，052=+a a ，{}n a 的n 项和为n S ，则=+20162015S S （ ）A ．4032B ．2C ．2-D ．4030-7.在边长为1的等边ABC ∆中，E D ,分别在边BC 与AC 上，且DC BD =，EC AE =2，则=⋅BE AD （ ） A. 21-B. 31-C. 41-D. 61- 8.已知曲线1ln 342+-=x x y 的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（ ） A. 3B. 2C. 1D.219.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=46sin πx y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ ）ABC 1A1B 1C主视图A.⎪⎭⎫⎝⎛0,16π B. ⎪⎭⎫⎝⎛0,9π C. ⎪⎭⎫⎝⎛0,4π D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为c 35（c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ） A ．25 B ．23C ． 253D ．5311．函数)R (22∈-=x x y x的图象大致为（ ）12.已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,1)(2x x x x x f ，若方程a x f =)(有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且4321x x x x <<<，则432111)(x x x x +++的取值范围是（ ） A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0 B. ⎥⎦⎤⎝⎛21,0 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 D. [)1,0二、填空题（每小题5分，共20分.）13.已知向量)2,1(-=，)3,2(=，若+=λ与-=共线，则实数λ 的值是 . 14．已知52131)(23++=x kx x f ，且4)1()2(4//≤-≤-f f ，则正整数k 为 .15．下列命题中，正确的是 （1）曲线x y ln =在点)0,1(处的切线方程是1-=x y ； （2）函数216x y -=的值域是[]4,0；（3）已知)cos 1,1(),cos 1,(sin θθθ-=+=b a ，其中)23,(ππθ∈，则b a ⊥； （4）O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：)(AC AB OA OP ++=λ，()+∞∈,0λ，则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的重心；16.数列{}n a 中，已知11=a ，32=a ，且2+n a 是1+n n a a 的个位数字，n S 是{}n a 的前n 项和，则=--2124a a S .三、解答题 （解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分） 在ABC∆中，内角CB A ,,所对的边分别为cb a ,,，若C A C A B t a nt a n )t a n (t a n s i n =+. （1）求证：c b a ,,成等比数列；（2）若2,1==c a ，求ABC ∆的面积S .18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点)cos ,21(2θP 在角α的终边上，点)1,(sin 2-θQ 在角β的终边上，且21-=⋅OQ OP ． （1）求θ2cos 的值；（2）求)sin(βα+的值．19.（本题满分12分）已知函数xa x f =)(的图象过点)21,1(，且点),1(2na n n -)(*N n ∈在函数xa x f =)(的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n n a ab 211-=+，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：5<n S . 20．（本题满分12分） 在长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形，O 是BD 中点，点E 是棱1AA 上任意一点.（1）证明：1EC BD ⊥； （2）若,,2,21EC OE AE AB ⊥==求1AA 的长21. （本题满分12分）A 1A BCD 1D 1C 1B EO(20题图)已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点到两焦点21,F F 距离之和为32，离心率为33，动点P 在直线3=x 上，过2F 作直线2PF 的垂线l ，设l 交椭圆于Q 点． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值； 22. （本题满分12分）设函数x x x f ln )2()(2+=，R a ax x x g ∈+=,2)(2 （1）证明：)(x f 在),1(+∞上是增函数；（2）设)()()(x g x f x F -=，当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x F 恒成立，求a 的取值范围.长春市十一高中2014-2015学年度高三上学期阶段性考试数 学 试 题 （文） 答 案组题人：赵永先 审题人： 李旭一选择题二填空题13、1-=λ 14、1 15、（1）（2）（3）（4） 16、100 三解答题17. 【答案】解：（1）由已知C A C A B tan tan )tan (tan sin =+.得：CA CA C C A AB cos cos sin sin )cos sin cos sin (sin =+，----2分即：C A C A B sin sin )sin(sin =+，即：C A B sin sin sin 2=---------4分 由正弦定理：ac b =2，所以：c b a ,,成等比数列.------------5分 （2）由（1）知：ac b =2，2,1==c a ，所以：2=b ，------------6分由余弦定理：432122412cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，所以：47sin =B -------------8分体验 探究 合作 展示所以：47472121sin 21=⨯⨯⨯==B ac S --------10分18.【答案】解：（1）因为21-=⋅OQ OP ，所以21cos sin 2122-=-θθ，------------2分 即：21cos )cos 1(2122-=--θθ，所以32cos 2=θ，------------4分所以311cos 22cos 2=-=θθ．------------6分（2）因为32cos 2=θ，所以31sin 2=θ，所以)32,21(P ，)1,31(-Q ，又点)32,21(P 在角α的终边上，所以53cos ,54sin ==αα ---------8分同理 1010cos ,10103sin =-=ββ ---------10分 所以：1010)10103(53101054sin cos cos sin )sin(-=-⨯+⨯=+=+βαβαβα--------12分19. 【答案】解： （1）由条件知：21=a ，所以：x x f 21)(=，-----------2分 )(x f 过点),1(2n a n n -，所以：1221-=n n n a --------------4分 所以：122-=n n n a -------------5分（2）nn n n n n n b 21222)1(22+=-+=-----------7分 =n S n n n n 21)12(21)12(217215213132++-++⨯+⨯+⨯-=n S 21+⨯+⨯322152131121)12(21)12(21)32(+-++-+-+n n n n n n -------------10分2nn20（1）证明：连结AC ,11C A ,由底面是正方形知BD ⊥AC …………1分 ∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴1AA ⊥BD 由于1AA ∩AC =A ，所以BD ⊥平面C C AA 11…………4分 再由C C AA EC 111平面⊂知BD ⊥1EC …………6分 （2）设1AA 的长为x ，连结1OC , 在AOE Rt ∆中，2=AE ,2=AO ,∴2=OE11C EA Rt ∆中,21-=x E A ，2211=C A∴()()2221222+-=x EC1OCC Rt ∆中, 2=OC ,x CC =1，()22212+=x OC又∵OE ⊥EC ∴21212OC EC OE =+ ∴4+()22-x +()222=22+x ，∴23=x故1AA 的长为23 21. 【答案】解：（1）由条件得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====22233322cb a ac e a ，解得：2,1,3===b c a ，所以椭圆E ：12322=+y x ---------------5分 （2）设),(),,3(110y x Q y PQ F PF 22⊥ ，所以：022=⋅Q F PF ，即：0)1(2101=+-y y x ------------7分又因为：12101211011133x x y y y x y y x y K K OQPQ --=--⋅=，且)31(22121x y -=，--------10分3OQ PQ22、解：（1）()xx x x x f 2ln 2++=' ∵1>x ，∴0ln >x ，∴02ln 2>++xx x x ∴()x f 在()+∞,1……4分（2）由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，------------8分设x x x x x G 222ln )2()(-+=则22)1)(ln 2()(xx x x G --='， 所以)(x g 在)2,1(递增，),2(e 递减，),(+∞e 递增------------9分 所以)(x G 的最小值为)(),1(e G G 中较小的，022)1()(>+-=-e eG e G ， 所以：)1()(G e G >，即：)(x G 在[)+∞∈,1x 的最小值为2)1(-=G ，--------11分 只需2-≤a -------12分。
2015年吉林省高考模拟试题_吉林省长春市十一中学高二上学期期中考试英语试题Word版含答案(1)
2014-2015学年度长春市十一高中高二上学期中考试英语试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分，测试时间120分钟第I卷第一部分听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段材料。
每段材料后面有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置上。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.Where did the conversation probably take place?A.On a train.B.In a kitchen.C.In a restaurant.2.When did Mary leave home?A.At6:00.B.At5:30.C.At6:10.3.What does the man like about the magazine?A.The food and drink section.B.The film reviews.C.The news.4.What kind of soup did the speakers have for lunch?A.Tomato soup.B.Lemon and butter soup.C.Fish soup.5.Who likes poodles(狮子狗)？A.The woman’s mother.B.The man.C.The woman.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段材料。
每段材料后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置上。
听每段材料前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。
每段材料读两遍。
听第6段材料，回答第6至7题。
6.Why is the man driving fast?A.He woke up early.B.He is in a hurry.C.He likes drivingfast.7.What does the woman consider to be the cause of most accidents?A.People who are drunk.B.People who are in a hurry.C.People who are careless.听第7段材料，回答第8至9题。
2022-2023学年武汉市部分重点中学(十一高)上学期期中联考高二数学试卷含答案
武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期中联考高二数学试卷考试时间：2022年11月9日下午15:00—17:00试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线220x y -+=在x 轴上的截距是A.1B.1- C.2- D.22.双曲线22:14x C y -=的焦点坐标是A.(B.(0,C.(D.(0,3．已知(1,0,1)a = ，(2,1,1)b = ，则向量a 与b的夹角为A.6π B.3π C.23π D.56π4.若曲线221:650C x y x +-+=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A.(,)33-B.(,0)33-⋃ C.33,33⎡-⎢⎥⎣⎦ D.33(,(,)33-∞-⋃+∞5.对于直线,m n 和平面,αβ，αβ⊥的一个充分条件是A.m n ⊥，m ∥α，n ∥βB.m n ⊥，m αβ⋂=，n α⊂C.m ∥n ，m α⊥，n β⊥ D.m ∥n ，n β⊥，m α⊂6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B ，两点，若A 为线段1BF 的中点，且12BF BF ⊥，则C 的离心率为A.B.2C.1+ D.37.已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆2(6)x -+2(5)9y +=上的动点，则PF PE -的最大值为A.6B.7C.8D.98.在正四面体D ABC -中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点，则A.存在某个位置，使得DE BF ⊥B.存在某个位置，使得4FDB π∠=C.存在某个位置，使得直线DE 与平面DBF 所成角的正弦值为714 D.存在某个位置，使得平面DEF 与平面DAC 夹角的余弦值为32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.方程222+210x y ax ay a +-++=表示圆，则实数a 的可能取值为A.4B.2C.0D.2-10.若直线m 被两平行直线1:0l x -+=与2:0l x -+=所截得的线段长，则直线m 的倾斜角可以是A.30B.75C.135D.16511.已知椭圆2212516x y +=，12,F F 分别为它的左、右焦点，,A B 分别为它的左、右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有A.12PF PF +的最小值为8B.12cos F PF ∠的最小值为725C.若123F PF π∠=，则21PF F ∆的面积为1633D.直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值162512.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，则下列选项中正确的是A.存在点P 满足1PM PD +=B.存在点P 满足12D PM π∠=C.满足1AP D M ⊥的点P 的轨迹长度为32 D.满足1MP D M ⊥的点P 的轨迹长度为24三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是.14.过点(4,3)P 做圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,M N ，则MN =.15.两条异面直线,a b 所成角为60，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥.已知2A E '=，3AF =，5EF =，则线段AA '的长为.16.城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进.在平面直角坐标系中，定义1122(,),(,)P x y Q x y 之间的“出租车距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-.已知(6,1),(3,3),(2,1)A B C ---，则到点,A B “距离”相等的点的轨迹方程为，到,,A B C 三点“距离”相等的点的坐标为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为33y x =.(1)求C 的标准方程；(2)若直线1:12l y x =-与双曲线C 交于,A B 两点，求AB .18.（12分）已知ABC 的顶点(5,1)A ，重心(3,3)G .(1)求线段BC 的中点坐标；(2)记ABC 的垂心为H ，若B H 、都在直线y x =-上，求H 的坐标.19.（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=，222PD DC BC PA AB =====，PD CD ⊥.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值.20.（12分）如图，已知圆22:1O x y +=，点P 为直线2350x y +-=上一动点，过点P 作圆O的切线，切点分别为,M N ，且两条切线,PM PN 与x 轴分别交于,A B 两点.(1)当P 在直线y x =上时，求PA PB -的值；(2)当P 运动时，直线MN 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.21.（12分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AA =E 点为棱11A B 中点.(1)求二面角1A EC C --的余弦值；(2)连接EC ，若P 点为直线EC 上一动点，求当P 点到直线1BB 距离最短时，线段EP 的长度.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3()2，过其右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，且3AB =.(1)求椭圆C 的方程；(2)若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由.武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案及评分标准三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(0,1)14.515. 或16.5,627,6321,32xy x xx⎧<−⎪⎪⎪=−−−≤≤−⎨⎪⎪−>−⎪⎩（2分）；31(,)22−−（3分）四、解答题：共70分.解答题：17.（10分）解：（1）因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为22221(0,0)x ya ba b−=>>，由题意得24c=，2c∴=又双曲线C的一条渐近线为3y x=，3ba∴=联立上述式子解得a=1b=，故所求方程为2213xy−=；···········4分（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，联立2211213y xxy⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，整理得213604x x+−=，由2134()(6)1504∆=−⨯⨯−=>，所以1212x x+=−，1224x x=−，即AB===.···········10分18.（12分）解：（1）设(,)B m n，且,m n R∈，由重心定义得3333A B CGA B CGx x xxy y yy++⎧==⎪⎪⎨++⎪==⎪⎩，解得48CCx my n=−⎧⎨=−⎩，记线段BC 的中点为M ，则2242B C M B C M x x x y y y +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(2,4)M ； ···········4分 （2）设(,)B a a −，由（1）得(4,8)C a a −+，BH AC ⊥，1711C A AC BH C A y y a k k x x a−+∴=−===−−−， 解得4a =−，即(4,4)B −，(8,4)C ，:4BC l y =,BC AH ⊥，5H A x x ∴==，即(5,5)H −. ···········12分 19. （12分）解：（1）由于AB CD ，90BAD ∠=，所以CD AD ⊥，由于PD CD ⊥，PD AD D ⋂=，,PD AD PAD ⊂平面，所以CD PAD ⊥平面， 所以AB PAD ⊥平面，由PA PAD ⊂平面，得AB PA ⊥.取CD 的中点为E ，连接BE ，因为底面ABCD 是直角梯形，DE AB ，且222DC DE AB ===，所以四边形ABED 为正方形，所以BE AD ，BE AD =， 在Rt BEC中，BE ==，故AD BE ==所以在PAD 中，222AD PA PD +=，即PA AD ⊥，由于AD AB A ⋂=，,AB AD ABCD ⊂平面，所以PA ABCD ⊥平面；· ·······4分 （2）由（1）可知,,AB AD PA 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(2,3,0),(0,3,0),(0,0,1)A B C D P ，(1,3,0)(1,0,1)(2,3,1)BD PB PC =−=−=−，，，设平面BPC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x z x z −=⎧⎪⎨−=⎪⎩，令x =(3,n =−，设直线BD 与平面BPC 的夹角为θ，23sin cos ,=727BD n BD n BD nθ⋅===⋅⋅，所以直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值为7. ···········12分 20. （12分）解：（1）联立两条直线方程，解得P ，设切线方程为:(l y k x =+，则圆心到切线的距离1d ==解得1212,2k k ==，所以:2(1:(2PN PM l y x l y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令0y =，解得2A B x x =−=，则55522PA PB −==−=； ···········4分（2）分析知,M N 在以P 为圆心，PM为半径的圆上，设2,)P t t −，2222)OP t t =+，21OM =，222222)1PM PO OM t t =−=+−，即在圆2222:(2)()2)1P x t y t t t −+−=−+−上，联立222222(2)()2)11x t y t t t x y ⎧−+−=−+−⎪⎨+=⎪⎩，得(210t x ty −−+=，所以:(210MN l t x ty −−+=过定点(,)1515. ···········12分 21. （12分）解：（1）以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −，则1111(1,,0),(1,1,0)211(0,,3)(1,,0),22A E C CB B AE EC CC =−=−=， 设平面1AEC 的法向量为111(,,)m x y z =，则100m AE m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111102102y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪−+=⎪⎩，令11z =，得(3,2m =，设平面1EC C 的法向量为222(,,)n x y z =，则1100n CC n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2220102x y =⎨−+=⎪⎩， 令21x =，得(1,2,0)n =，设二面角1A EC C −−的平面角为θ，则115cos cos 4m n A EC C m n θ⋅=−−==⋅.···········5分（2）设=(-,)2EP EC λλλ=，则1(1,)2P λλ+−+，1(,)2BP λλ−=−，令11(0,0,1)B B u B B==，设点P 到直线1B B 的距离为d ，则2222222111()()()))2d B P B P u λλ−=−⋅=−++−，整理得222511511()424455d λλλ=−+=−+， 15d EP EC λλ∴===当时，···········12分 22. （12分）解：（1）由题意：椭圆过点3(,)2c ，又过点()2， 有22222941 334 1 c a ba b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩①②，变形22294b b a =①：，得223ba =代入①，得23112a a+=，即2260a a −−=，0a >，解得2a =，则b = 所以椭圆方程22:143x y C +=；···········4分 （2）①当MN 的斜率为0或不存在时， 此时22MNPQ S MN PQ a b =⋅=⋅=②当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：y kx t =+，联立223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++−=， ()()222264163430k t tk ∆=−−+=，化简得2243k t +=，所以两平行线MN 和PQ 的距离1d NP ===以1k −代替k ，两平行线MQ 和NP 的距离2d MN ===所以矩形MNPQ 的对角线MP NQ ====根据基本不等式2221422MNPQMN NPMP SMN NP +=⋅≤==，1483,>所以当=MN NP 1k =±，矩形MNPQ 面积的最大值为14.···········12分。
2015年吉林省长春十一中高二上学期数学期中试卷与解析(理科)
2014-2015学年吉林省长春十一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a5+a9=，则tan（a4+a6）的值为（）A．B．﹣1 C．1 D．不存在2．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．3．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）满足线性约束条件的目标函数z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．25．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．46．（5分）已知曲线左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A．3 B．1 C．2 D．47．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．6 B．8 C．9 D．108．（5分）如图，是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[1000，1500），[1500，2000），[2000，2500），[2500，3000），[3000，3500），[3500，4000]的人数依次为A1、A2、…、A6．右下图是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则右下图中输出的S=（）A．10000 B．6000C．4000 D．以上答案都不对9．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）M是抛物线y2=4x上一点，且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM为终边构成的角为∠xFM=60°，则|FM|=（）A．2 B．3 C．4 D．611．（5分）已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．+=4 B．+=2C．e12+e22=4 D．e12+e22=212．（5分）已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有（）个．A．0 B．1 C．2 D．4二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是．14．（5分）设集合A={（x，y）|+=1}，B={（x，y）|y=2x}，则A∩B的子集的个数是．15．（5分）椭圆上任意一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c，若d1、2c、d2成等差数列，则椭圆的离心率为．16．（5分）在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M、N关于直线y=kx+对称，则k的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=，b=2，（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．18．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=，n∈N*．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．19．（12分）已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x＜1+m（m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．20．（12分）已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．21．（12分）已知双曲线的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D 两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．22．（10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（Ⅰ）求C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求弦长|AB|．2014-2015学年吉林省长春十一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a5+a9=，则tan（a4+a6）的值为（）A．B．﹣1 C．1 D．不存在【解答】解：在等差数列{a n}中，若a1+a5+a9=，则a1+a9=2a5，即有3a5=，则a5=，则有a4+a6=2a5=，则tan（a4+a6）不存在．故选：D．2．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选：B．3．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b是实数，∴“a＞0且b＞0”⇒“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”⇒“a＞0且b＞0”，∴“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件．故选：C．4．（5分）满足线性约束条件的目标函数z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（3，），代入z=2x﹣y=2×3﹣=．即目标函数z=2x﹣y最大值为．故选：B．5．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选：A．6．（5分）已知曲线左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A．3 B．1 C．2 D．4【解答】解：∵曲线左、右焦点分别为F1、F2，左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，连接MF1，ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，ON=MF1，∵由双曲线的定义知，MF2﹣MF1=2×5，∴MF1=8．ON=4，故选：D．7．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．6 B．8 C．9 D．10【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选：B．8．（5分）如图，是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[1000，1500），[1500，2000），[2000，2500），[2500，3000），[3000，3500），[3500，4000]的人数依次为A1、A2、…、A6．右下图是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则右下图中输出的S=（）A．10000 B．6000C．4000 D．以上答案都不对【解答】解：∵月收入在[1000，1500）的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人∴样本的容量，由图乙知输出的S=A2+A3+…+A6=10000﹣4000=6000．故选：B．9．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选：B．10．（5分）M是抛物线y2=4x上一点，且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM为终边构成的角为∠xFM=60°，则|FM|=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由题意得F（1，0）设点M为（a，b）过点M作MA垂直于x轴，垂足为A∵∠xFM=60°，∴|MF|=2|FA|，即|FM|=2（a﹣1）|MF|=，即|MF|=，∴2（a﹣1）=，整理得b2=3（a﹣1）2…①又∵M是抛物线y2=4x上一点∴b2=4a…②由①②可得a=3或a=（舍去）∴|MF|=2（3﹣1）=4故选：C．11．（5分）已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．+=4 B．+=2C．e12+e22=4 D．e12+e22=2【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，则e1=，e2=，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，|PF1|﹣|PF2|=2m ①由椭圆的定义得，|PF1|+|PF2|=2a ②又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①2+②2得，|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2 ④将④代入③得，a2+m2=2c2，即，即，故选：B．12．（5分）已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M有（）个．A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：设△MF1F2的内切圆的半径等于r，则由题意可得2πr=3π，∴r=．由椭圆的定义可得MF1 +MF2=2a=10，又2c=6，∴△MF1F2的面积等于（MF1 +MF2+2c ）r=8r=12．又△MF1F2的面积等于•2c•|y M|=12，∴|y M|=4，故M是椭圆的短轴顶点，故满足条件的点M有2个，故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是20．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，而高三年级的总人数是900﹣240﹣260=400，故在高三年级抽取的人数是400×=20，故答案为20．14．（5分）设集合A={（x，y）|+=1}，B={（x，y）|y=2x}，则A∩B的子集的个数是4．【解答】解：分别画出图象：，y=2x．由图象可知：椭圆与指数函数y=2x有2个交点．∴A∩B有2个元素．∴A∩B的子集的个数是4．故答案为：4．15．（5分）椭圆上任意一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c，若d1、2c、d2成等差数列，则椭圆的离心率为．【解答】解：设长轴为2a，焦距为2c，在椭圆上取一个特殊点，如左顶点A．由题意得：d1=a﹣c，d2=a+c，则d1+d2=4c，2a=4c，整理得，∴e=，故答案为：16．（5分）在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M、N关于直线y=kx+对称，则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【解答】解：设MN的方程为x+ky+c=0 （k≠0）代入y=x2y=（ky+c）2k2y2+（2kc﹣1）y+c2=0判别式△=（2kc﹣1）2﹣4k2c2＞0，﹣4kc+1＞0，2kc＜，MN中点纵坐标，横坐标，∵中点在y=kx+上∴=k+=41﹣2kc=8k22kc=1﹣8k2＜∴8k2＞，k2＞，解得k＞或k＜﹣．∴k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=，b=2，（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以．…（2分）由正弦定理，可得．…（4分）所以．…（6分）（Ⅱ）因为△ABC的面积=3，且，所以，ac=10．…（8分）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，…（9分）得，即a2+c2=20．…（10分）所以（a+c）2 ﹣2ac=（a+c）2 ﹣20=20，故（a+c）2=40，…（12分）所以，．…（13分）18．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=，n∈N*．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）证b1=a2﹣a1=1，当n≥2时，所以{b n}是以1为首项，为公比的等比数列．（2）解由（1）知，当n≥2时，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）++（a n﹣a n﹣1）=1+1+（﹣）+…+==1+[1﹣（﹣）n﹣1]=，当n=1时，．所以．19．（12分）已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x＜1+m（m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）由命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，化为﹣1≤x≤5．命题q：1﹣m≤x＜1+m（m＞0）．∵p是q的充分条件，∴[﹣1，5]⊆[1﹣m，1+m），∴，解得m＞4．则实数m的取值范围为（4，+∞）．（2）∵m=5，∴命题q：﹣4≤x＜6．∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p，q为一真一假．当p真q假时，可得，解得x∈∅．当q真p假时，可得，解得﹣4≤x＜﹣1或5＜x＜6．因此x的取值范围是[﹣4，﹣1）∪（5，6）．20．（12分）已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==﹣，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=﹣3，x2=0，所以y1=﹣1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．21．（12分）已知双曲线的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D 两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：，则①设直线方程为，原点到直线距离为，则，即②，由①②可得a=，b=1，∴双曲线方程为；（2）设C（x1，y1）、D（x2，y2），由消去y整理可得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3=0∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点C、D，∴△=（﹣6km）2﹣4（1﹣3k2）（﹣3m2﹣3）＞0，即m2+1＞3k2，③∵C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，∴|CA|=|DA|∴=∵y1=kx1+m，y2=kx2+m∴（1+k2）（x1+x2）+2k（m+1）=0∵x1+x2=∴（1+k2）×+2k（m+1）=0∴4m+1﹣3k2=0∵m2+1＞3k2＞0∴m2+1＞4m+1＞0∴＜m＜0或m＞422．（10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（Ⅰ）求C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求弦长|AB|．【解答】解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，得ρ2sin2θ=8ρcosθ．∴y2=8x即为C的直角坐标方程；（II）把直线l的参数方程，（t为参数），代入抛物线C的方程，整理为3t2﹣16t﹣64=0，∴，．∴|AB|=|t 1﹣t2|==．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
黑龙江省哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题分数：150分时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1. 的展开式中的系数为（ ）A. 80 B. 40 C. 10 D.2. 在等比数列中，，则（ ）A. B. 3 C. D. 23. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 在 上单调递增B. 在 上单调递减C. 在 处取得最大值D. 在 处取得极大值4. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D.5. 在等差数列中，若，则（ ）A. 45B. 6C. 7D. 86. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）A. 300B. 360C. 390D. 420522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x 40-{}n a 35727a a a =-5a =3-2-()y f x =()f x '()y f x =(),1∞--()1,∞+1x =2x =()33f x x x =-()y f x =()()22f ,9160x y --=9160x y +-=6120x y --=6120x y +-={}n a 25192228a a a a +++=12a =7. 若函数有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列前n 项和为且，若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分）9. 下列四个关系式中，一定成立的是（ ）A. B. C. D. 10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）A. 若数列的前项和，则数列为等比数列B. 若的前项和，则数列为等差数列C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列11. 已知函数在区间上单调递减，则的值可能为（ ）A B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）12. 已知函数，则的最大值为_______．13. 展开式中的系数为，则的值为______．14. 大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A ，B ，的的.21()42ln 2f x x x a x =-+-(,1)-∞(0,1)(0,2)(,2)-∞{}n a n S 2n n n a =(1)n n n S a a +>-*N n ∈(,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-3(1,)2-3(,1)(,)2-∞-+∞ 32853C 2C 148-=()()111!A !m n n m n ---=-(2,,N)n m m n ³³Î11A A m m n n n --=(2,,N)n m m n ³³Î333345610C C C C 328++++= {}n a n 122n n S +=-{}n a {}n b n 22=++n S n n {}n b {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S -- {}n b n S n 232,,,n n n n n S S S S S -- ()e ln x f x a x =-()1,2a 2e 2e -3e -e-()[],0,πf x x x x =∈()f x ()2024(1)a x x +-2024x 2023-aC ，D ，E 五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A 不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有__________种．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18．（1）求频率分布直方图中值；（2）从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率．16. 已知数列满足，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.17. 已知函数，当时，取得极值．（1）求的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）求在区间上的最值．18. 已知数列的前项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的[)76,84,a b [)60,68[]92,100[)60,68{}n a 12(N )n n a a n *+-=∈5a 8a 9a {}n a {}n a n n S n S n 32()1(R)f x ax bx a =++∈2x =()f x 3-()f x ()f x ()f x []23-，{}n a n n S 22n n S a =-{}n a {}n a 3i 1,2,3,i =⋅⋅⋅{}n b的前项和为，请写出的前6项，并求出和．19. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：当时，.哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 简要答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分）【9题答案】{}n b n n T {}n b 6T 2n T ()()ln R m f x x m x=+∈()f x 1m =1x ≥()e e 0xxf x x --+≤【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】CD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】1【14题答案】【答案】84四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1），（2）．【16题答案】【答案】（1）（2），【17题答案】【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）最大值1，最小值为【18题答案】【答案】（1）（2）前6项为2，，，，，；；【19题答案】【答案】（1）答案略 为π0.01a =0.045b =35219n a n =-()min 81n S =-9n =32()31f x x x =-+(,0),(2,)-∞+∞(0,2)19-2n n a =22425272826438T =()26817n n T =-。
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(2题图)2013-2014学年度长春市十一高中高二上学期期中考试数 学 试 题 （文）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。
一、选择题（每题5分，共60分）1．一枚硬币，连掷两次，至少有一次正面朝上的概率为（ ） A.21 B.31 C.41 D.43 2．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域， 在正方形中随机撒一粒芝麻，它落在阴影区域内的概率为31，则阴影区域的面积为（ ）A.43 B.38 C.34D.无法计算 3．已知点()()m B A ,6,4,3到直线0743=-+y x 的距离相等，则实数m 等于（ ）A.47B.429-C.1D.47或429- 4．过点（2,1）的直线中，被圆04222=+-+y x y x 截得弦长最长的直线方程为（ ） A. 053=--y x B. 073=-+y xC. 013=--y xD. 053=-+y x5．已知,02:,04:2>--<+x x q m x p 若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A.[)+∞,8B. [)+∞,4C. (]4,∞-D. (]4,-∞-6．下列命题①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；②“若22,b a b a >>则”的逆否命题；③“若3-≤x ，则062≥-+x x ”的否命题。
其中真命题个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 37．椭圆k y x =+224上两点间最大距离是8，那么=k （ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．48．过抛物线x y 42=的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 不确定9．已知21,F F 是双曲线1242522=-y x 的左、右焦点，直线l 过1F 与左支交与Q P 、两点，直线l 的倾斜角为α，则PQ QF PF -+22的值为（ ） A. 28B. 86C. 20D. 随α大小而改变10．设定点()3,01-F ,()3,02F ,动点P 满足()0921>+=+a aa PF PF ，则点P的轨迹是（ ） A. 椭圆B. 椭圆或线段C. 线段D. 无法判断11．椭圆()012222>>=+b a by a x ，B 为上顶点，F 为左焦点，A 为右顶点，且右顶点A 到直线FB 的距离为b 2，则该椭圆的离心率为（ ）A.22B.22-C.12-D.23-12．已知椭圆:1C ()012222>>=+B A By A x 和双曲线:2C ()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点21,F F ，c 2是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数．P 是它们在第一象限的交点，当︒=∠6021PF F 时，下列结论正确的是（ ）A. 224443c a a c =+ B. 224443c a a c =+ C. 224463c a a c =+D. 224463c a a c =+二、填空题（每小题5分，共20分）13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为9.5467.0ˆ+=x y，表中丢失一个数据，请你推断出该数数值为______________ 零件个数（x ） 10 20 30 40 50 加工时间（(min)y6275818914．根据如图所示的程序框图，若输出y 的值为4，则输入的x 值为15．已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C的离心率为23，左，右焦点分别为21,F F ，点G 在椭圆上，21GF GF ⊥，且21F GF ∆为3，则椭圆的方程为___________________.16．已知点P 是抛物线x y 42=上的动点，点P 在y 轴上射影是M ,点()6,4A ,则PM PA +的最小值是___________________. 三、解答题（解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17．等轴双曲线过()7,4-点 （1）求双曲线的标准方程；（5分）（2）求该双曲线的离心率和焦点坐标.（5分）18．已知圆()51:22=-+y x C ，直线l ：01=-+-m y mx ，R m ∈。
（1）若直线l 过圆C 的圆心，求m 的值；(5分)（2）若直线l 与圆C 交于B A ,两点，且17=AB ,求直线l 的倾斜角. （7分） 19．某社区为了了解家庭月均用水量（单位：吨），从社区中随机抽查100户，获得每户2013年3月的用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图（如图）．（1）求频率分布表中b a ,的值，并估计该社区内家庭月用水量少于3吨的频率；（6分） （2）设321,,A A A 是月用水量为[)2,0的家庭代表，21,B B 是月用水量为[)4,2的家庭代表，若从这五位代表中任选两人参加水价听证会，请列举出所有不同的选法，并求代表21,B B 至少有一人被选中的概率．(6分)45.335.225.115.0020．动点P 与两个定点()0,6-A ,()0,6B 连线的斜率之积为31-，P 点轨迹为C ， （1）求曲线C 的方程;（6分）（2）直线l 过)2,2(-M 与C 交于G E ,两点，且线段EG 中点是M ，求l 方程.(6分)21. 设直线b x y +=2与抛物线x y 42=相交于B A ,两点，且53=AB（1）求b 值；（5分）（2）设()0,0x P 是x 轴上一点，当PAB ∆面积等于9时，求P 点坐标.（7分）分组频数 频率 [)5.0,0 5 0.05 [)1,5.08 0.08 [)5.1,1 22 0.22[)2,5.1 a[)5.2,220 0.20 [)3,5.2 120.12 [)5.3,3 b[]4,5.322.已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切.（1）求椭圆C 的方程；（5分）（2）若过点()0,2M 的直线与椭圆C 交于B A ,两点，设P 为椭圆上一点，且满OP t OB OA =+（O 为原点）352<-时，求t 的取值范围. （7分）2013-2014学年度长春市十一高中高二上学期期中考试数 学 试 题 答 案 （文）一、选择题（每题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCDABBBBCBCA二、填空题（每题5分，共20分）13. 68 14.－2或1 15.131222=+y x 16.153- 三、解答题 17.解：（1）设双曲线方程为()022≠=-λλy x ①………………………………（2分） 将()7,4-代入①得9=λ…………………………………………………（4分）∴双曲线的标准方程为19922=-y x ………………………………………（5分） （2）∵该双曲线是等轴双曲线，∴离心率2=e ………………………（7分）∵a =3，a c 2=，焦点在x 轴上，∴焦点坐标为()0,23，()0,23-（10分）18.解：（1）将()1,0C 代入l 得－1＋1－m =0，∴m =0（5分）…………………（5分） （2）∵17=AB ，圆半径5=r ，∴圆心到直线l 的距离2321752=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d ∴2312=+m m （8分） ∴332±=∴=m m …………………………………………………（10分） ∵m 为直线斜率，∴倾斜角为︒︒12060或 19. 解：（1）由频率分布直方图可得a =0.5×0.5=0.25…………………………………（2分） 所以月用水量在[)2,5.1内的频数为100×0.25=25故由题意可得2b =100-（5+8+22+25+20+12）=100－92=8所以b =4………………………………………………………………………（4分） （2）由1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,这五位代表中任选两人共有如下10种不同宣发，分别为()21,A A ,()31,A A ,()11,B A ,()21,B A ,()32,A A ,()12,B A ,()22,B A ,()13,B A ,()23,B A ,()21,B B ．………………………………（9分）记“1B ,2B 至少有1人被选中”为事件A,A 包含的基本事件()11,B A ,()21,B A ,()12,B A ,()22,B A ,()13,B A ,()23,B A , ()21,B B ，共7个 ∴()107=A P 即家庭代表1B ,2B 至少有1人被选中的概率为107…………………………（12分） 20.证明：(1)设()y x P ,，PA 的斜率为()661-≠+=x x yk ， PB 的斜率为()662≠-=x x yk . …………………………（3分） 由已知3166-=-⋅+x y x y ，化简得()61123622±≠=+x y x ………………（6分） （2）设()11,y x E ，()22,y x G⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+=+=+441123611236212122222121y y x x y x y x ∴312121=--x x y y ，即EG 的斜率等于31∴直线l 方程为()2312+=-x y ，即083=+-y x …………………(12分) 21．解： （1）由⎩⎨⎧=+=xy bx y 422消去y 得()014422=+-+b x b x()[]0441422>⨯⨯--=∆b b 得b ＜21…………………………………（3分）4,122121b x x b x x =⋅-=+()[]()53154)(412221221=--=⋅-++=b b x x x x AB∴4-=b 满足b ＜21，∴4-=b ………………………………………（6分） （2）P 到直线042=--y x 的距离为d ，542-=x d ………………（8分）95425321=-⋅⨯=∆x S PAB ∴x =5或x =－1……………………（11分） ∴P 点坐标为（－1,0）或（5,0）……………………………………（12分） 22．解： （1）由已知2=e ∴222b a =，又1112=+=b ∴1,222==b a故椭圆C 的标准方程为1222=+y x …………………………………（5分） （2）由题知，直线AB 有斜率，设AB ：()2-=x k y ， ()11,y x A ，()22,y x B ，()y x P ,由⎩⎨⎧=+-=22)2(22y x x k y 消去y 得()028*******=-+-+k x k x k …（6分）()()02812464224>-+-=∆k k k 得212<k 222122212128,218kk x x k k x x +-=⋅+=+……………………………（8分） ∵OP t OB OA =+,∴()()y x t y y x x ,,2121=++∴()()()2212122212144,218k t k t k x x k t y y y k t k t x x x +-=-+=+=+=+= ∵P 点在椭圆上，∴()()()()22142218222222222=+-++kt k k tk ∴()2222116k t k +=∵,352<-即352<AB ∴()352212842181222222<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++k k k k k …（11分）∴013385624>-+k k ∴()()013141422>+⋅-k k ∴412>k ∴21412<<k 222221882116k k k t +-=+= ∴4382<<t ∴3622-<<-t 或2362<<t 故实数t 范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,362362,2 ……………………（12分）。