等腰三角形存在问题

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等腰三角形的存在性问题解题策略

2021年第08期326

教学管理

等腰三角形的存在性问题解题策略

杨柳

存在性问题一直都是中考数学里高频率题型，这类试题的综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求比较高，有较强的区分度，因此存在性问题是中考数学中的的重点和难点问题。学习此类问题，我们通常由等腰三角形的存在性问题入手，渗透分类讨论、数形结合、方程等数学思想。

题目的基本模型:是否存在某点，使以某三点为顶点的三角形是等腰三角形。

解题攻略：几何法和代数法。

一、几何法步骤：分类、画图、列方程。分类的方法：按顶点分类、按腰分类、按底分类，根据不同的题目要求，选择合适的分类方法可以使后面两步更简略。画图方法：利用两圆一线法。列方程求解：根据题目背景条件，利用数形结合思想，列方程求解。

二、代数法步骤：用数或式子表示三条边、分类列方程、检验。根据题目背景条件，表示出三条边的长度，按腰相等分类列出方程求解，但可能出现三点共线或者负数解等情况，所以需要检验。

这类题目解法的一般思路是假设存在、推理论证、得出结论。若能找出合理的结果，就能做出存在的判断，导出矛盾，就能得出不存在的判断。下面举例说明这类问题的解法。

例1：如图，在直线l上有一点A，直线l外有一点B，在直线l上再找一个点C，使得△ABC为等腰三角形。这样的点C能找到个。

【解析】解：

这样的点C能找到4个。

变型1-1：

如图，在6×6的网格中，A，B两点都在小

方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，

使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有（）

A．5个 B．6个 C．7个

D．8个

【解析】解：可找出格点点C的个数有8个；

中考压轴题之等腰三角形存在问题

等腰三角形的存在性问题

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】

例1：如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线C1：（m≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，其中A（-1，0），C（0，-1）．

（1）求抛物线C1及直线AC的解析式；

（2）沿直线AC上A至C的方向平移抛物线C1，得到新的抛物线C2，C2上的点D为C1上的点C的对应点，若抛物线C2恰好经过点B，同时与x轴交于另一点E，连结OD、DE，试判断ΔODE的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，或P为线段OE（不含端点）上一动点，作PF⊥DE于F，PG⊥OD于G，设PF＝h1，PG＝h2，试判断h1．h2的值是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时P点的坐标，若不存在，请说明理由．

抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点．（1）求抛物线解析式；

（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；

（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.

类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】

例2;如图，已知抛物线y=﹣

1x +bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为（﹣

等腰三角形的存在性问题

解题策略

如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

例题精讲

1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 在坐标为(3，4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标．

解析．因为D （3，4），所以OD ＝5，3

cos 5

DOP ∠=． ①如图1，当PD ＝PO 时，作PE ⊥OD 于E ．在Rt △OPE 中，3cos 5OE DOP OP ∠=

=，52OE =，所以256OO =

．此时点P 的坐标为25

(,0)6

． ②如图2，当OP ＝OD ＝5时，点P 的坐标为(5，0)．

③如图3，当DO ＝DP 时，点D 在OP 的垂直平分线上，此时点P 的坐标为(6，0)．

2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 以2个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求t 的值．

解析．在Rt △ABC 中，10862222=+=+=

等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题

问题1：已知线段AB是等腰三角形的一条边，则对应两圆一线中的“两圆”与“一线”的操作方法是什么？

问题2：两圆一线的分类标准是什么？分别对应什么操作？

等腰三角形存在性问题（两圆一线）（人教版）

一、单选题(共6道，每道14分)

1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：B

解题思路：

要使△ABC是等腰三角形，先分析点，定点是A，B，动点是C，

那么AB是定线段，AB可以当这个等腰三角形的腰，

也可以当这个等腰三角形的底．

①当AB为腰时，此时作两圆，如图，

②当AB为底时，此时作一线，如图，

综上，使△ABC是等腰三角形的上的点C有2个．

故选B

试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性

2.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或

直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个．

A.3

B.4

C.7

D.8

答案：D

解题思路：

如图所示，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆；

当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线；

综上，满足条件的点C共有8个．

故选D

试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形

3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，-1），P是x轴上的一个动点，如果以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )

A.2

B.3

等腰三角形存在性问题

1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为给点.已知A 、B 是两个点，如果C 也是途中的个点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是_____个.

2.在平面直角坐标系中，一条直线1l 与x 轴相交于点A （8,0），与y 轴交于点B （0,6），与正比例函数2l 的图像相交于点P （4，a ）. （1）求a 的值和这个正比例函数解析式；（2）求△AOP 的面积；

（3）在x 轴上是否存在点M ，使三角形AMP 是以PA 为腰的等腰三角形；（4）直线2l 上是否存在点Q ，使得=4AOQ S ，求点Q 的坐标.

4，∠B＝45°.动点M从3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD＝3，DC＝5，AB＝2

B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒。

（1）求BC的长；

（2）当MN//AB时，求t的值；

（3）是探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形.

4.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC，交CD 于点F.AB=4，BC=6，∠B=60°.

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x.

①当点N在线段AD上时（如图（2）），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出

△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图（3）），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若

等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题

问题1：已知线段AB是等腰三角形的一条边，则对应两圆一线中的“两圆”与“一线”的操作方法是什么？

问题2：两圆一线的分类标准是什么？分别对应什么操作？

等腰三角形存在性问题（两圆一线）（人教版）

一、单选题(共6道，每道14分)

1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：B

解题思路：

要使△ABC是等腰三角形，先分析点，定点是A，B，动点是C，

那么AB是定线段，AB可以当这个等腰三角形的腰，

也可以当这个等腰三角形的底．

①当AB为腰时，此时作两圆，如图，

②当AB为底时，此时作一线，如图，

综上，使△ABC是等腰三角形的上的点C有2个．

故选B

试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性

2.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或

直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个．

A.3

B.4

C.7

D.8

答案：D

解题思路：

如图所示，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆；

当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线；

综上，满足条件的点C共有8个．

故选D

试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形

A.2

B.3

二次函数中等腰三角形的存在问题

函数中等腰三角形的中心线。
3
解方程得出定点坐标
通过解二次方程，我们可以得出二次函
讨wenku.baidu.com三角形是否存在
4
数中等腰三角形的定点坐标。
我们将讨论二次函数中等腰三角形是否存在的几种情况，并进行详细分析。
V. 证明
推导二次函数中等腰三角形的存在公式
我们将推导出二次函数中等腰三角形存在的公式，并解释其背后的原理。
2. Johnson, L. (2019). "Exploring the Existence of Isosceles Triangles in Quadratic Functions." Geometrical Review, 30(4), 267-286.
3. Wang, Y. (2018). "Applications of Isosceles Triangles in Quadratic Function Analysis." Mathematica, 55(3), 189-205.
周长
等腰三角形的周长可以通过两条等边的长度和第三条边的长度来计算。
内角
等腰三角形的内角具有特定的测量值，其中包括基角、等边角和顶角。
IV. 二次函数中等腰三角形的探讨
1
确定三角形三个顶点坐标
我们通过解方程来确定二次函数中等腰

二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题

第三类讨论
方法一：设x轴上的P(a, 0)由PA=PO得
y
a2 16 (a 3)2, a 7 故P( 25 , 0) 66
同理设y轴上的P(0, b)由PA=PO得
A
O
x
( 25 , 0)(0, 25)
6
4
b2 (4 b)2 9,b 25 P(0, 25)
8
8
方法二：OA的中点为( 3 , 2),直线OA：y 4 x
A
P1
2022/1/27
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
Ｃ
P3 A
2.AC=AP
以C为圆心CA为半径作圆，设P3(1, c)P4 (1, d) 由勾股定理得 c2 32 2 5, d 2 32 2 5 c 11, d 11 P3(1, 11)P4 (1, 11)
P4
2022/1/27
y A
1.若AO=AP 以A为圆心，AO为半径作圆，与坐标轴的交点即为所求 (0, 2)(2, 0)
O
Px
2022/1/27
二次函数压轴题之等腰三角形的存在性问题
例１：在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，Ａ（１，１）在坐标轴上确定一点Ｐ，使 Δ ＡＯＰ为等腰三角形，求所有满足条件的Ｐ点坐标
y A
1.若OA=OP 以O为圆心，OA为半径作圆，与坐标轴的交点即为所求

等腰三角形存在性问题(带标准答案)

等腰三角形存在性问题（两圆一线）

类型一、格点中的等腰三角形

1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）

2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，

使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．

3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．

4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？

类型二、定边几何法讨论：两圆一线

5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来

6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）

（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）

（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=．

7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．

8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个

直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形

等腰三角形存在性问题

如图，已知线段AB，在平面内找一点C，使得△ABC为等腰三角形。
AB
满足条件的点C的集合如图所示:在以点A，B为圆心，AB 长为半径的圆和线段AB的垂直平分线上，除了与AB在同一直线上的点外的所有点.
例：在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有多少个？
y
设A（x，0）则
B
P
OP 2 8,,OA2 x2,, PA2 x2 4x 8
若OP OA 则x2 8
oA
x 若OP PA
若OA PA
则x2 4x 8 8 则x2 4x 8 x2
【例】已知抛物线
的顶点坐标为P（﹣4， ),与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C，其中B点坐标为（1，0）．（1）求这条抛物线的函数解析式；
y
（1）若OP为底
先求AC的解析式，再求点A的坐标。
B
P
（2）若OP为腰
C
①以点O为圆心，则OP=OA，可求点A坐标。
D
o A A x ②以点P为圆心，则OP=AP。
作PD┴OA，则OA=2OD=4。
例：如图,在平面直角坐标系xOy中,三角板的直角顶点P的坐标为（2,2）,一条直角边与x轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中,当△POA为等腰三角形时,请写出所有满足条件的点B的坐标。

等腰三角形存在性问题

2解：（1）当t=4时，B（4，0），

设直线AB的解析式为y=kx+b．

把A（0，6），B（4，0）代入得：

，

解得：，

∴直线AB的解析式为：y=- x+6．

（2）过点C作CE⊥x轴于点E，

由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．

∴= = = ，

∴BE= AO=3，CE= OB= ，

∴点C的坐标为（t+3，）．

方法一：

S梯形AOEC= OE•（AO+EC）= （t+3）（6+ ）= t2+ t+9，S△AOB= AO•OB= ×6•t=3t，

S△BEC= BE•CE= ×3× = t，

∴S△ABC=S梯形AOEC-S△AOB-S△BEC

= t2+ t+9-3t- t

= t2+9．

方法二：

∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ABC= AB•BC=BC2．

在Rt△ABC中，BC2=CE2+BE2= t2+9，

即S△ABC= t2+9．

（3）存在，理由如下：

①当t≥0时，

Ⅰ．若AD=BD，

又∵BD‖y轴，

∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，

∴∠OAB=∠BAD，

又∵∠AOB=∠ABC，

∴△ABO∽△ACB，

∴= = ，

∴= ，

∴t=3，即B（3，0）．

Ⅱ．若AB=AD．

延长AB与CE交于点G，

又∵BD‖CG，

∴AG=AC，

过点A画AH⊥CG于H．

∴CH=HG= CG，

由△AOB∽△GEB，

得= ，

∴GE= ．

又∵HE=AO=6，CE= +6= ×（+ ），

∴t2-24t-36=0，

解得：t=12±6 ．因为t≥0，

所以t=12+6 ，即B（12+6 ，0）．

等腰三角形存在性问题

【课题】等腰三角形存在性问题

【授课对象】九年级学生

【学习目标】

1．在等腰三角形存在性问题的探究过程，用分类讨论的思想从不同角度分析思考问题，会等腰三角形存在性问题解决的多种方法。

2．会用等腰三角形问题的几何探究法和代数探究法解决有关数学问题。.

【学习重点】会总结解决等腰三角形存在性问题的方法步骤。

【学习难点】会解决动点产生的等腰三角形存在性问题。

【评价任务】

1.借助小组讨论交流，能够归纳总结出等腰三角形存在性问题的代数几何多种解决问

题方法。

2.会准确选用合理的方法解决等腰三角形存在性问题。

3.用观察、体验的方法总结分类讨论法解决等腰三角形存在性问题。

【学习资源准备】

多媒体课件

【教学环节设计】

一、知识回顾：

1、等腰三角形的腰长为6，底边长为4，则周长为。

2、等腰三角形的两边分别为6和4，则周长为。

（设计意图：通过具体问题的呈现，激发学生复习基本的等腰三角形知识，激发思考和回顾，明确学习任务，从而直接引入本节课的主要思想----分类讨论。）

二、新课探究，探索规律

1、以AB为底，作等腰三角形ABC，画出另一个顶点C。

2、以AB为腰，作等腰三角形ABC，画出满足条件的C点。

请同学们以小组为单位展开讨论，讨论结束后，请各小组派出代表展示方案。

展示交流：

学生展示结束后，老师用课件展示，再进行比较，以及如何找出所有的等腰三角形。引导学生归纳出等腰三角形问题解决时的技巧：

主要思想：分类讨论思想边的分类：腰、底边（板书）

（设计意图：通过师生交流方法，学生应该很容易总结出找到等腰三角形的方法，但要帮助学生明晰使用分类讨论思想解决等腰三角形注意的细节）

(word完整版)一、等腰三角形的存在性问题

一、等腰三角形的存在性问题 1.如图,在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，动点P 以2个单位/秒的速度从A 点出发，沿对角线AC 向C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动,当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．

（1)求△CPQ 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；

（2）以P 为圆心，PA 为半径的圆与以Q 为圆心，QC 为半径的圆相切时，求出t 的值;

（3)在P 、Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，直接写出t 的值．

2。如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm,BC=16cm ，DE=4cm ．动线段DE （端点D 从点B 开始)沿BC 边以1cm/s 的速度向点C 运动,当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF ∥AC 交AB 于点F(当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），连接DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．

（1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；

(2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能,请求出t 的值；若不能，请说明理由．

3。已知:如图1,在矩形ABCD 中，AB=5，AD=

20,AE 垂直于BD,垂足是E 。点F 是点E 关于AB 的对称点,连接AF,BF.

（1)求AE 和BE 的长；

(2）若将三角形 ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB，AD上时，直接写出相应的m的值。

数学人教版八年级上册等腰三角形的存在性问题

等腰三角形的存在性问题

一、解题策略

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形画垂直平分线．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法：分类、画图、计算．

代数法：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

二、课前练习：

1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．

三、典例精析

例：（2014•邵阳第26题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．

（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．（《冲刺》P92页第5题）

四、变式训练

（长郡双语月考压轴题改编）26、如图，直线394

y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线214

y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴的另一个交点为点A ，动点P 从点A 出发沿AB 以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，运动时间为t （0＜t ＜5）秒．

（3）在点P 从点A 出发的同时，动点Q 从点B 出发沿BC 以每秒3个单位长度的速度向点C 运动，动点

N 从点C 出发沿CA 个单位长度的速度向点A 运动，运动时间与点P 相同．①记△BPQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 最大，最大值是多少？

②是否存在△NCQ 为等腰三角形的情形，若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．

等腰三角形存在性问题技巧讲义

等腰三角形是一种有两条边相等的三角形，其中也包括一种特殊情况，即等边三角形，即三条边均相等的三角形。存在性问题指的是给定一些条件，判断是否存在符合条件的等腰三角形。下面将介绍一些解决等腰三角

形存在性问题的技巧。

1.通过边长关系判断：等腰三角形的存在性与边长的关系密切相关。

设三角形的三个边长分别为a、b和c，如果a=b，则存在等腰三角形；如

果a=c，则存在等腰三角形；如果b=c，则存在等腰三角形。因此，可以

通过比较三个边长的大小关系，来判断是否存在等腰三角形。

2.使用三角形内角和定理：三角形的内角和为180度。对于等腰三角

形而言，设其两个等边的边长为a，非等边的边长为b，那么根据三角形

的内角和定理可得2a+b=180。通过这个方程，可以求得非等边的边长b

的值，如果b大于0，则存在等腰三角形。

3.使用三角形的高和底边关系：等腰三角形的高是从等腰边的顶点到

底边的垂直距离。如果一条边是等腰边，那么从该边对应的顶点到底边的

垂直距离一定是这条边的高。因此，可以通过计算等腰边顶点到底边的垂

直距离，与底边的关系来判断是否存在等腰三角形。

4.利用等腰三角形的旋转对称性：等腰三角形具有旋转对称性，即一

个等腰三角形可以绕其顶点旋转一定角度后得到另一个等腰三角形。因此，当给定一个等腰三角形的一些条件时，可以通过旋转该等腰三角形来判断

是否存在满足条件的等腰三角形。

5.利用等腰三角形的镜像对称性：等腰三角形也具有镜像对称性，即

通过等腰边作为对称轴，可以得到两个镜像对称的等腰三角形。因此，当

中考数学压轴题专题02等腰三角形的存在性问题(学生版+解析版)

专题二等腰三角形的存在性问题

【考题研究】

近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．

①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

【解题类型及其思路】

解题类型：

动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题

背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景

解题思路：

几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

等腰三角形存在性问题带答案

等腰二角形存在性冋题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形

1、在如图所示的5 X5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（

）

1/\

2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点

使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰.这样的C点有（）个.

3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC AC,当△ ABC为等腰三角形

时，格点C的不同位置有_________________ 处，设网格中的每个小正方形的边长为1,则所有满足题意的等腰三角

形ABC的面积之和等于.

4、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个?

类型二、定边几何法讨论：两圆一线

6、（1）如图所示，线段0D的一个端点0在直线AB上，以0D为一边的等腰三角形0DP,并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画_________________ 个（在图中作出点P）

5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来

（3）若改变（2）中/ DOB 的度数，其他条件不变，则等腰三角形 ODP 的个数和（2）中的结果相同，则改变后 / DOB=

7、如图，南北向的公路上有一点 A ,东西向的公路上有一点

B,若要在南北向的公路上确定点 P,使得△ PAB 是等腰三角形，则这样的点 P 最多能确定（

）个. &线段AB 和直线I 在同一平面上.则下列判断可能成立的有