2011届高考数学复习好题精选基本不等式

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2011年高考数学试题分类考点52 不等式选讲

考点52 不等式选讲一、选择题1.（2011·山东高考理科·Ｔ4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（）（A ）[-5,7] （B ）[-4,6]（C ）(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞)【思路点拨】去绝对值，根据x 的取值分类讨论，也可以根据绝对值的意义来求解.【精讲精析】选D.①5≥x 时，不等式化为x 5x 310-++≥，解得x 6.≥②53<<-x 时，不等式化为1035≥++-x x ，不等式不成立.③3-≤x 时，不等式化为()1035≥+--x x ，解得4-≤x .由①②③得 4-≤x 或6≥x . 另解：利用绝对值的几何意义，53x x -++表示实数轴上的点x 到点3-与5的距离之和，要使点x 到点3-与5的距离之和等于10，只需4x -=或6x =，于是当6x ≥或4x -≤时可使5310x x -++≥成立，答案应选D.二、填空题2.（2011· 江西高考理科·Ｔ15）（2）（不等式选做题）对于实数x ，y ，若1x -≤1, 2y -≤1,则21x y -+的最大值为 .【思路点拨】根据21x y -+=(x 1)2(y 2)2----，结合a b a b +≤+，易得.【精讲精析】x 2y 1=(x 1)2(y 2)2x 1+2y 2) 2.x 11,y 21,x 2y 11212 5.-+----≤--+-≤-≤∴-+≤+⨯+=根据条件有：（【答案】5 3．（2011·江西高考文科·Ｔ15）对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为________.【思路点拨】根据绝对值不等式的解法，采用零点分段讨论即得.【精讲精析】[)x 10-x 10x 28,-128x 2;x 2x 10x 28,128x 20+≤--+-≥≥≥≥≤<≥+-+≥≥∴≥∞当时，原不等式变为：即，不符合要求；当-10<x<2时，原不等式变为：x+10+x-28,即2x 0，解得0当时，原不等式变为：即，恒成立，.综上所述，原不等式的解集为，.【答案】[)0+∞，4．（2011·陕西高考理科·T15A ）(不等式选做题)若关于x 的不等式|||1||2|a x x ++-存在实数解，则实数a 的取值范围是．【思路点拨】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，再使得a 能取到此范围内的值即可．【精讲精析】当1x -时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+；当12x -<时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=；当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->；综上可得|1||2|3x x ++-，所以只要||3a 即可，解得3a -或3a ，即实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞．【答案】(,3][3,)-∞-+∞5．（2011·陕西高考文科·T15A ）(不等式选做题)若不等式|1||2|x x a ++-对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是．【思路点拨】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，则只要a 不大于|1||2|x x ++-的最小值即可．【精讲精析】当1x -时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+；当12x-<时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=；当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->；综上可得|1||2|3x x ++-，所以只要3a，即实数a 的取值范围是(,3]-∞．【答案】(,3]-∞三、解答题6.（2011·福建卷理科·T21）（3）设不等式11-x 2＜的解集为M.（I ）求集合M ；（II ）若a ，b ∈M，试比较a b +1与a +b 的大小.【思路点拨】(I) |21|11211x x -<⇔-<-<,解之即得x 的取值范围；（II ）用作差法比较1ab +与a b +的大小.【精讲精析】（I ）由|21|1x -<得1211x -<-<，解得01x <<，所以{|01}.M x x <<＝（II ）由（I ）和,a b M ∈可知01,0 1.a b <<<<所以(1)()(1)(1)0ab a b a b +-+=-->，故1ab a b +>+.7.（2011·江苏高考·Ｔ21D ）（选修4-5：不等式选讲）解不等式：|21|3x x +-<.【思路点拨】本题考查的是绝对值不等式的求解，容易题，解决本题的关键是掌握含有绝对值不等式的处理方法，把含有绝对值的放在一侧，进行去绝对值.【精讲精析】原不等式等价于：43213,23x x x x -<-<-∴-<<，解集为4(2,)3-. 8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ24）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值.【思路点拨】第（Ⅰ）问，将1a =代入函数()f x 的解析式，利用解绝对值不等式的公式求解，第（Ⅱ）问()0||30f x x a x ≤⇒-+≤，然后分x a ≥和x a ≤再种情况去掉绝对值号，转化为解不等式组的问题，将两段解集取并集得()0f x ≤的解集，最后利用待定系数法求得a 的值.【精讲精析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥.由此可得 3x ≥或1x ≤-.故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-.(Ⅱ) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤，此不等式化为不等式组因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-. 由题设可得2a -= 1-，故2a =.。

2011届高考数学复习精编单元测试题—不等式

辽宁名校2011届高三数学单元测试—不等式注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束，试题和答题卡一并收回。

3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．已知点)0,1(1-p ，231(11)03P P ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，)0,0(4p 则在132+-y x ≤0表示的平面区域内的点是（）A ．2p ,4pB ．2P ，3PC ．1P ，3PD ．1P ，2P2．如果关于x 的不等式250x a -≤的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是（） A ．80≤a <125 B ．80<a <125 C ．80a < D ．a >1253．关于x 的不等式|x-3|+|x-4|＜a 的解集不是空集，a 的取值范围是（） A ．0<a <1 B ．a ＞1 C ．0<a ≤1 D ．a ≥14．若A ＝{x ∈Z|2≤22-x ＜8＝,B={x ∈R||log 2x|＞1}，则A ∩（C R B ）的元素个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）A ．a ，b 均为负数，则222≥+abb a B ．21222≥++x xC ．4sin 4sin ≥+xx D ．0)31)(3(,≤--∈+aa R a 6．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=（sin x +cos x ）2，则P 、Q 之间的大小关系是（）A ．P ≥QB ．P ≤QC ．P>QD ． P<Q7．当x ＞1时，不等式11-+≤x x a 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．（－∞，2）B ．[2，＋∞]C ．[3，＋∞]D ．（－∞，3）8．使不等式a 2＞b 2，1>ba，lg （a －b ）＞0， 2a ＞2b-1＞1同时成立的a 、b 、1的大小关系是（） A ．a ＞1＞b B ．b ＞a ＞1 C ．a ＞b ＞1 D ．1＞a ＞b9．对于实数x ，规定[x]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x]2-36[x]+45＜0成立的x 的范围是（）A ．（215,23）B ．[2,8]C ．[2,8]D ．[2,7]10．（09山东理12）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的是最大值为12，则23a b +的最小值为（）A ．625B ．38C ． 311D ． 411．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b,不得分的概率为c （a ,b,c∈（0,1）），已知他投篮一次得分的均值为2，213a b +的最小值为（）A ．323 B ． 283C ． 143D ．16312．已知函数)(x f 的定义域为[—2，)∞+，部分对应值如下表，)('x f 为)(x f 的导函数，函数)('x f y =的图象如右图所示：若两正数,a b 满足(2)1f a b +<，则33b a ++的取值范围是（）A ．)34,76(B ．)37,53(C ．)56,32(D ．)3,31(-第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

2011届高考数学复习资料汇编：第5单元不等式(真题解析+最新模拟)

2011年最新高考+最新模拟——不等式1.【2010·上海文数】满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是（）A.1B.32C.2D.3【答案】C【解析】当直线z x y =+过点B(1,1)时，z 最大值为22.【2010·浙江理数】若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =( )A.2-B.1-C.1D.2【答案】C【解析】将最大值转化为y 轴上的截距，将m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C ，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。

3.【2010·全国卷2理数】不等式2601x x x ---＞的解集为（） A.{}2,3x x x -＜或＞ B.{}213x x x -＜，或＜＜ C.{}213x x x -＜＜，或＞ D.{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【解析】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法. 利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C.4.【2010·全国卷2文数】若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（）A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】本题考查了线性规划的知识.∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =.5.【2010·全国卷2文数】不等式32x x -+＜0的解集为（） A.{}23x x -<< B.{}2x x <- C.{}23x x x <->或 D.{}3x x > 【答案】A【解析】本题考查了不等式的解法.∵ 302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A.6.【2010·江西理数】不等式 22x x xx -->的解集是（） A.(02)， B.(0)-∞， C.(2)+∞， D.(0)∞⋃+∞（-，0），【答案】A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.20x x-<，解得A. 或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除.7.【2010·安徽文数】设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z=x+y 的最大值是（）A.3B.4C.6D.8 【答案】C【解析】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z x y =+在(6,0)取最大值6.8.【2010·重庆文数】设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为（） A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线32z x y =-过点B 时，在y 轴上截距最小，z 最大.由B （2,2）知，z 的最大值为4. 9.【答案】A【解析】将最大值转化为y 轴上的截距，可知答案选A.本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题.10.【2010·重庆理数】已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是（） A.3 B.4 C.29 D.112【答案】B【解析】考察均值不等式.2228)2(82⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理得()()0322422≥-+++y x y x即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x 11.【2010·重庆理数】设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z=2x+y 的最大值为（） A.—2 B.4 C.6 D.8 【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线过点B （3,0）的时候，z 取得最大值6.12.【2010·北京理数】设不等式组110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=xa 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（）A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[ 3, +∞] 【答案】A13.【2010·四川理数】设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（）A.2B.4C.【答案】B 【解析】221121025()a ac c ab a a b ++-+- ＝2211(5)()a c a ab ab ab a a b -+-+++- ＝211(5)()()a c ab a a b ab a a b -+++-+-≥0＋2＋2＝4当且仅当a －5c ＝0,ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立，如取a,b＝2,c＝5满足条件. 14.【2010·四川理数】某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（） A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【答案】B【解析】设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，则70106480,x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩目标函数z ＝280x ＋300y ，结合图象可得：当x ＝15,y ＝55时，z 最大. 本题也可以将答案逐项代入检验.15.【2010·天津文数】设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（） A.12 B.10 C.8 D.2 【答案】B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时,z 取得最大值10.16.【2010·全国卷1文数】设，，，21352ln 2log -===c b a 则（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a << 【答案】C【解析】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 解法一： a=3log 2=21log 3, b=ln2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.20y -=解法二：a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e , 3221log log 2e <<< ，32211112log loge<<<；c =12152-=<=，∴c<a<b. 17.【2010·全国卷1文数】若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为（）A.4B.3C.2D.1 【答案】B【解析】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.画出可行域（如下图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.18.【2010·四川文数】设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】()211a ab a a b ++-＝211()a ab ab ab a a b -+++- ＝11()()ab a a b ab a a b ++-+-≥2＋2＝4 当且仅当ab ＝1,a (a－b )＝1时等号成立.如取a,b ＝2满足条件.19.【2010·山东理数】20.【2010·福建理数】设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A.285B.4C.125D.2【答案】B【解析】由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为|31419|245⨯-⨯-⨯=，所以选B.21.【2010·曲靖一中冲刺卷数学（二）】若31log 0,()13ba <>，则（）A.1,0a b >>B.01,0a b <<>C.1,0a b ><D.01,0a b <<<【答案】D【解析】依题意，根据指数函数与对数函数的图像和单调性知0<a<1，b<0,选择D. 22.【2010·北京市西城区二模】“ln 1x >”是“1x >”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】ln 1x >x e ⇔>，所以“ln 1x >”是“1x >”的充分不必要条件，选择A.23.【2010·北京石景山区一模】已知函数x x f x2log 31)(-⎪⎭⎫⎝⎛=，正实数,,a b c 是公差为正数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c <．若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c <；④d c >中有可能成立的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C【解析】()f x 在(0,)+∞上单调减，值域为R ．又a b c <<，()()()0f a f b f c <，所以⑴若(),()0f a f b >,()0f c <．由()0f d =知，a b d c <<<，③成立；⑵若(),(),()0f a f b f c <．此时d a b c <<<，①②③成立．综上，可能成立的个数为3．24.【2010·黄冈中学5月第一模拟考试】,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】B【解析】若a b >，则22222a c b c b c +>+≥，不符合条件，排除,A D ；又由()222a c c b c -=-，故a c -与b c -同号，排除B ；且当b a c >>时，222a c bc +=有可能成立，例如取()(),,3,5,1a b c =，故选C ．25.【2010·河北隆尧一中二月考】函数(3)log 1ax y +=-(0,1)a a >≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（） A.6 B. 8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】(2,1)A --，点A 在直线10mx ny ++=上，210m n ∴--+=，即21m n +=，0mn >， 0,0m n ∴>>，12242m n m n m n m n +++=+422n mm n=+++428≥+=，当且仅当11,42m n ==时取等号. 26.【2010·兰州五月模拟】直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，a 、0b R ab ∈≠且，则|ab |的最小值是（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】由题意22221111a a b a b a ++⨯=-⇒=，则2211||2a ab a a a a+=⋅=+≥． 27.【2010·河北隆尧一中四月模拟】函数13x y a +=-(0,1)a a >≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则21m n+的最小值为（） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B【解析】定点A 坐标为 (1,2)--，由点A 在直线10mx ny ++=上，210m n ∴--+=，即21m n +=，0mn >，0,0m n ∴>>，21242m n m n m n m n +++=+422n m m n=+++428≥+=，当且仅当11,42n m ==时取等号. 28.【2010·临沂市一模】若直线),0(,(022+∞∈=-+b a by ax 平分圆224260x y x y +---=，则12a b+的最小值是（）A.B.3+C.2D.5【答案】B【解析】依题意，直线ax+2by-2=0(a,b ∈(0,+ ∞)) 平分圆224260x y x y +---=，所以a+b=1，12a b +=1+2+b a + 2a b ≥3+2 2 ,当且仅当112a b a b +=⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立,选择B.29.【2010郑州市三模】不等式0412>--x x 的解集是（） A.2，＋∞） B ．（－2，1）∪（2，＋∞） C.(－2，1） D ．（－∞，－2）∪（1，＋∞）【答案】Ｂ【解析】依题意，原不等式化为（x+2）(x-1)(x-2)>0，解得-2<x<1或x>2，选择B. 30.【2010·河北隆尧一中五月模拟】不等式2)3(log 21-≥-x 的解集为（）A.}1|{-≥x xB.}1|{-≤x xC.{|13}x x -≤<D.}10|{≤<x x【答案】C【解析】2)3(log 21-≥-x 21032x -⎛⎫⇔<-≤ ⎪⎝⎭3113x x ⇔-<-≤⇔-≤<，选C.31.【2010·襄樊五中5月调研】函数)1(log 22-=x y 的定义域是（）A.)1(∞+， B. )1(--∞， C. )11(，- D. )1()1(∞+⋃--∞，，【答案】D【解析】依题意，x 2-1>0，解得x<-1或x>1，选择D.32.【2010·绵阳南山中学热身考试】已知集合{}{}21|230,|21x A x x x B x -=+-<=<，则A B =（）A ．（-3,1）B ．(,3)-∞-C ．1(,1)2D ．(1,)+∞【答案】A【解析】依题意，A={x|-3<x<1},B={x|x<1}，所以AB =（-3,1），选择A33.【2010·淄博市二模】已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为)(x g ，且有8)()(=b g a g ，若0>a ,0>b ，则ba 41+的最小值为（）A.9B.6C.3D.2 【答案】C【解析】依题意，a+b=3，b a 41+=114141()()(14)(144)3333b a a b a b a b ++=+++≥++=，选择C.34.【2010·河北隆尧一中二月考】已知01()10x f x x <≤=-≤<⎪⎩，且1||0<<m ，01||0<<<mn n ，，则使不等式()()0f m f n +>成立的m 和n 还应满足的条件为（）A.m>nB.m<nC.m+n>0D.m+n<0【答案】D【解析】不妨设m>0, n<0,则()()f m f n +==，由0,n m -<()()0f m f n +>，故m+n<0.35.【2010·淄博市二模】不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(,1][4,)-∞-+∞B.[]4,1-C.[1,2]D.(,1][2,)-∞+∞【答案】B【解析】依题意，|x+3|+|x-1|的最小值为4，所以a 2-3a ≤4，解得-1≤a ≤4，选择B. 36.【2010·浙江省五校二联】若关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好是[],a b ，则a b +的值为（） A.5 B.4 C.83 D.163【答案】A【解析】令()23344f x x x =-+。

2011年高考数学基本不等式配套试卷及答案

基本不等式：ab ≤a ＋b21.设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为 ( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 解析：由32＋x ＋32＋y ＝1可得xy ＝8＋x ＋y .∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案：D2．(2009·天津高考)设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1 D.14解析：∵3是3a 与3b 的等比中项，∴(3)2＝3a ·3b . 即3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1.此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋a b )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12取等号)．答案：B3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．2 解析：(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ·x y ＋yx ＋a≥a ＋1＋2a ·x y ·yx＝a ＋2 a ＋1，当且仅当a ·x y ＝yx 等号成立，所以(a )2＋2a ＋1≥9，即(a )2＋2a －8≥0，得a ≥2或a ≤－4(舍)，所以a ≥4，即a 的最小值为4. 答案：C4．(2010·太原模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b 取最小值时，函数f (x )的解析式是________．解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋ 2.当且仅当b ＝22a 时取等号，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 答案：f (x )＝(22－2)x ＋1＋15.已知a ≥0， ( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：法一：由a ＋b 2≥ab 得ab ≤(a ＋b 2)2＝1，又a 2＋b 2≥2ab ⇒2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2⇒a 2＋b 2≥2.法二：(特值法)取a ＝0，b ＝2满足a ＋b ＝2，代入选项可排除B 、D.又取a ＝b ＝1满足a ＋b ＝2.但ab ＝1，可排除A. 答案：C6．设a 、b 是正实数，以下不等式①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的序号为 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 解析：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ⇒1≥2ab a ＋b ⇒ab ≥2aba ＋b.当且仅当a ＝b 时取等号，∴①不恒成立；②a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b 恒成立；③a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝(a －2b )2≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立；④ab ＋2ab≥2ab ·2ab＝2 2>2恒成立．答案：D7．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(1－a )(1－b )(1－c )abc ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．8.(2010·惠州模拟)t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．16解析：平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18.当且仅当t ＝16t ，即t ＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：A9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库建在离车站d 千米处，由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20d ，y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45，∴y 2＝45d ，∴y 1＋y 2＝20d ＋4d5≥220d ·4d5＝8，当且仅当20d ＝4d5，即d ＝5时，费用之和最小．答案：510．(文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 x平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米．则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12960＝1 296(x ＋100x )＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x (x >0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元． (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴1018≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x (1018≤x ≤16)，由函数性质易知g (x )在上是增函数， ∴当x ＝1018时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值1 296×(1018＋80081)＋12 960＝38 882(元)．∴当长为16米，宽为1018米时，总造价最低，为38 882元．(理)为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－2m＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2010年的利润y＝x·－(8＋16x)－m＝－[16m＋1＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．(2)∵m≥0，∴16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，∴y≤29－8＝21，当16m＋1＝m＋1，即m＝3，y max＝21.∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．11.若a是2－b与2＋b的等比中项，则2ab|a|＋|b|的最大值为()A. 2 B．1 C.24 D.22解析：∵a是2－b与2＋b的等比中项，∴a2＝2－b2⇒a2＋b2＝2.根据基本不等式知2ab |a |＋|b |≤2|a |·|b ||a |＋|b |≤a 2＋b 22＝1. 即2ab |a |＋|b |的最大值为1. 答案：B12．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a x ＝by 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))取得最小值时x 的值为( )A ．1 B.15 C ．2 D.13解析：由a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y得，f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝31－2x 时取等号，即当x ＝15时f (x )取得最小值25.答案：B13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2(x －a )·2x －a＋2a ＝2a＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.答案：32。

2011年高考数学试题分类考点28 基本不等式

考点28 基本不等式一、选择题1. （2011·福建卷文科·Ｔ10）若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x 3-ax 2-2bx+2在x=1处有极值，则ab 的最大值等于（）(A)2 (B)3 (C)6 (D)9【思路点拨】先由(1)0f '=得到关于,a b 的关系式，然后再分析求ab 的最大值. 【精讲精析】选D.由题意得2()1222,f x x ax b '=--()1f x x =Q 函数在处有极值，(1)0,12220,f a b '∴=∴--=即6a b +=.又0,0,a b >>Q 由均值不等式得：226()()9,22a b ab +≤==故ab 的最大值是9. 2.（2011·北京高考文科·T7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）（A ）60件（B ）80件（C ）100件（D ）120件【思路点拨】写出平均每件产品费用的函数，再利用均值不等式求出最值.【精讲精析】选B.平均每件产品的费用为28008008208x x y x x +==+≥=，当且仅当8008xx =，即80x =时取等号.所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.3.（2011·陕西高考文科·T3）设0a b <<，则下列不等式中正确的是（）（A）2a b a b +<<（B）2a ba b +<<< （C）2a b a b +<<<2a ba b +<<<【思路点拨】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较．【精讲精析】选B （方法一）已知a b <2a b+<，比较a ，因为22()0a a a b -=-<，所以a <同理由22()0b b b a -=->b <；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a ba b +<<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =，4=，52a b +=，所以2a ba b +<<<．二、填空题4.（2011·江苏高考·Ｔ8）在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________【思路点拨】本题考查的是直线的两点间的距离公式和基本不等式的应用，解题的关键是表示出线段的长度，然后利用基本不等式求得其最小值.【精讲精析】由题设直线与函数图象的交点为2(,)x x ，2(,)x x--，则线段4PQ ==≥，所以线段PQ 长的最小值是4【答案】45.（2011·湖南高考理科·T10）设x,y )41)(1(,02222y xy x xy R ，++≠∈则且的最小值为_______ 【思路点拨】本题以求二元函数的最值为载体考查柯西不等式的运用. 【精讲精析】9)211()41)(1(22222=•+•≥++y y x x y xy x . 【答案】96.（2011.天津高考理科.T13）已知集合{}1|349,|46,(0,)⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭A x R x xB x R x t t t ，则集合⋂A B =________【思路点拨】分别解出集合A 、B 中的x 的范围，再求交集.【精讲精析】对集合A ：当3≤-x 时，解得[-4-3]∈x ，；当x (34)∈-，时，恒成立；当4≥x 时，[4,5]∈x . 综上可得[-4,5]∈x .对B ：1466462=+-≥=-=-x t t （当且仅当1t 2=时等号成立）{}25∴⋂=-≤≤A B x x【答案】{}25-≤≤x x7.（2011·天津高考文科·Ｔ12）已知22log log 1+≥a b ，则39ab+的最小值为__________ 【思路点拨】利用对数的性质、平均值不等式求最值..【精讲精析】22log log 1,0,0,2,+≥∴>>≥Q a b a b ab ,又2392318,+≥≥⨯=a b ，当且仅当a=2b 时取得等号. 【答案】188.（2011·浙江高考理科·Ｔ16）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 . 【思路点拨】把求解2x y +的最大值问题转化为求xy 的最大值问题,而xy 取最大值时必为正数,不妨设,x y 均为正数来研究.【精讲精析】∵2241++=x y xy ，∴13)2(2=-+xy y x ，即1223)2(2=•-+xy y x ，不妨设x ，y 均为正数，则2232(2)()122x y x y ++-≤，解之得：58)2(2≤+y x ，即25+≤x y .9.（2011·浙江高考文科·Ｔ16）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是___________________________.【思路点拨】把求解x y +的最大值问题转化为求xy 的最大值问题,而xy 取最大值时必为正数,不妨设,x y 均为正数来研究.【精讲精析】∵221++=x y xy ，∴1)(2=-+xy y x ，不妨设x ，y 均为正数，则1)2()(22≤+-+y x y x ，∴24()3+≤x y ，+≤x y .关闭Word 文档返回原板块。

2011年高考数学试题分类汇编11——不等式

十一、不等式一、选择题141.（重庆理7）已知a＞，b＞，a+b=2，则y=a b的最小值是0079A．2B． 4C．2D． 5【答案】 Cx 2 y＞0 52 x y＞0, 72.（浙江理5）设实数x, y知足不等式组≥，y≥0，4y的最小x0若x, y为整数，则3x值是A． 14B． 16C． 17D． 19【答案】 B3.（全国纲领理3）下边四个条件中，使a＞b 建立的充足而不用要的条件是A．a＞b 1B．a＞b 1C．a2＞b2D．a3＞b3【答案】 A4. （江西理A{ x x}, B{ x x}，则A B 2）若会合xA．{ xx}B．{ xx}C．{ x x}D．{ xx}【答案】 Bf ( x)21x , x 11log 2 x, x 1，则知足 f ( x)2的 x 的取值范围是5.（辽宁理9）设函数（A）[1，2]（ B）[0， 2]（C） [1， + ）（D）[0，+）【答案】 D6.（湖南理7）设m＞1，在拘束条件的取值范围为y xy mxx y 1下，目标函数 z=x+my 的最大值小于 2，则 mA．（ 1，12 ）B．（12，）C．（ 1,3 ）D．（ 3，）【答案】 A7.（湖北理 8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥b．若x,y知足不等式x y 1，则 z 的取值范围为A． [-2 ，2]B． [-2，3]C．[-3 ， 2]D． [-3， 3]【答案】 D0x2y28.（广东理 5）。

已知在平面直角坐标系xOy上的地区 D 由不等式组x2 y给定。

若M ( x, y)为 D 上的动点，点 A 的坐标为(2,1) ，则 zOM OA 的最大值为A ．4 2B ．3 2C ． 4D ． 3【答案】 C9.（四川理 9）某运输企业有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车．某天需运往A 地起码 72 吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2 名工人，运送一次可得收益 450 元；派用的每辆乙型卡车虚配1 名工人，运送一次可得收益 350 元．该企业合理计划当日派用两类卡车的车辆数，可得最大收益 z=A ． 4650 元B ． 4700 元C ．4900 元D ． 5000 元【答案】 C0 x 8 0 y 7 x y 1210 x 6 y 72 【分析】由题意设派甲，乙x, y 辆，则收益 z 450x 350 y ，得拘束条件2 x y19x y 12 x 7画出可行域在2x y19 的点 y5代入目标函数 z4900x y 2x 110.（福建理8）已知 O 是坐标原点，点A （ -1,1）若点 M （ x,y ）为平面地区 y 2，上的一个动点，则OA · OM 的取值范围是A ． [-1 ．0]B ． [0．1]C ．[0． 2]D ． [-1． 2] 【答案】 C11.（安徽理4）设变量 x, y 知足 | x | | y | 1,则 x2y的最大值和最小值分别为（A ） 1，－ 1 （B ）2，－ 2（C ） 1，－ 2（D ） 2，－ 1【答案】 B12.（上海理 15）若a,bR，且 ab 0 ，则以下不等式中，恒建立的是A ． a2b22abB ．ab 2 ab11 2b aababD ．a2C ． Db【答案】二、填空题13.（陕西理 14）植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米。

高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案

高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案高考数学复习的基本不等式及其应用测试题和答案学习目标：1。

了解基本不等式的证明过程。

2.用基本不等式求解X的简单大(小)值问题。

(3)如果x，(0，)和2x 8-x=0，求x的最小值。

变体迁移2被称为x0，0，z0。

转型3 (2011广州月考)为了获得更多的市场份额，一家国际化妆品制造商计划在2012年伦敦奥运会期间开展一系列促销活动。

据市场调研计算，化妆品年销量为1万件，年推广费1万元与3-x、t 1成反比。

如果不进行促销活动，化妆品的年销量只能是1万件。

据了解，2012年化妆品生产设备折旧维护固定成本为3万元，每万件化妆品需要32万元的生产成本。

如果把每件化妆品的售价定为其生产成本的150%和每件平均促销成本的一半之和，当年生产的化妆品正好可以销售一空。

一、选择题(每题5分，共25分)案例36基本不等式及其应用自梳理1.(1)a0，b0 (2)a=b 2。

(1)2ab (2)2 (4)3.两个正数A B2AB的算术平均值不小于它们的几何平均值4。

(1) X=较小的2p (2) X=较大的p24自测1.A 2。

A 34.大-22-1 5。

[15, )教室活动区例1解题引导基本不等式的作用在于“和与积”的相互转化。

用基本不等式计算X的值时，给定的形式可能并不直接适用于基本不等式，但往往需要进行分、加项或匹配因子(一般和或积的形式是固定值)来构造基本不等式的形式，然后求解。

基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，以及“三相等”意味着它必须被验证。

解(1)x0，0，1x 9=1，x+=(x+)1x+9=x+9x+106+10=16。

当只有x=9x时，上述等式成立，1x 9=1，当x=4，=12时，(x ) in=16。

(2)x54,5-4x0.=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3-2 5-4x15-4x+3=1，当只有5-4x=15-4x时，即当x=1时，上述方程成立，所以当x=1时，ax=1。

2011年高考试题分类汇编(不等式)

2011年高考试题分类汇编（不等式）考点1 不等式的基本性质1.（2011·大纲全国卷·文理）下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >2.（2011·浙江卷·文科）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1b a <”的 A.充分二而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.（2011·浙江卷·理科）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a >”的A.充分二而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.（2011·重庆卷·文科）设131log 2a =，132log 3b =，34log 3a =，则,,a bc 的大小关系是A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<5.（2011·天津卷·理科）设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件6．（2011·天津卷·理科）已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.31()5c =，则 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >>7．（2011·天津卷·文科）已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >> 考点2 解不等式或证明不等式1.（2011·广东卷·文科）不等式2210x x -->的解集是 A.1(,1)2- B.(1,)+∞ C.(,1)(2,)-∞+∞ D.1(,)(1,)2-∞-+∞ 2.（2011·重庆卷·文科）设U R =，2{20}M x x x =->，则U C M =A.[0,2]B.(0,2)C.(,0)(2,)-∞+∞D.(,0][2,)-∞+∞3.（2011·天津卷·文科）设集合{}|20A x R x =∈->，{}|0B x R x =∈<， {}|(2)0C x R x x =∈->，则“x A B ∈”是“x C ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件4.（2011·大纲全国卷·理科）“1x <-”是“210x ->”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要5.（2011·北京卷·理科）已知集合}{P x x 2=≤1,}{M a =.若P M P =U ,则a 的取值范围是A.(,1]-∞-B.[1,)+∞C.[1,1]-D.(,1][1,)-∞-+∞ 6.（2011·江西卷·理科）若集合{}1213A x x =-≤+≤，20x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = A.{}10x x -≤< B.{}01x x <≤ C.{}02x x ≤≤ D.{}01x x ≤≤7．（2011·广东卷·理科）不等式130x x +--≥的解集是 .8.（2011·江西卷·文科）不等式1028x x +--≥的解集为___.9.（2011·山东卷·理科）不等式5310x x -++≥的解集是A.[5,7]-B.[4,6]-C.(,5][7)-∞-+∞，D.(,4][6)-∞-+∞，考点3 基本不等式1.（2011·重庆卷·理科）已知0a >，0b >，2a b +=，则14y a b=+的最小值是 A.72 B.4 C.92D.5 2.（2011·天津卷·文科）已知22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为____.3.（2011·陕西卷·文科）设0,a b <<则下列不等式中正确的是A. 2a b a b +<<B. 2a b a b +<<C.2a b a b +<<2a b a b +<< 考点4 线性规划1.（2011·大纲全国卷·文科）若变量,x y 满足约束条件6321x y x y x +<⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为A.17B.14C.5D.32.（2011·课标全国卷·文理）若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 .3.（2011·山东卷·文科）设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为A.11B.10C.9D.8.54．（2011·天津卷·文科）设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为A ．-4B ．0C ．43D ．4 5.（2011·浙江卷·理科）设实数,x y 是不等式组250700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若,x y 为整数，则34x y +的最小值为A.14B.16C.17D.196.（2011·浙江卷·文科）设实数,x y 是不等式组250700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，则34x y +的最小值为A.14B.16C.17D.197.（2011·福建卷·理科）已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA ·OM 的取值范围是A.[1,0]-B.[0,1]C.[0,2]D.[1,2]-8.（2011·安徽卷·文科）设变量,x y 满足x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥0⎩11,则x y +2的最大值和最小值分别为A.1，-1B.2，-2C.1，-2D.2，-19.（2011·湖南卷·理科）设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my=+的最大值小于2，则m 的取值范围为A.(1,1B.(1)+∞C.(1,3)D.(3,)+∞10．（2011·湖南卷·文科）设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y=+的最大值为4，则m 的值为．。

2011年高考数学一轮复习(共87节)8.3基本不等式的证明

8.3 基本不等式的证明【知识网络】1、重要的基本不等式，不等式等号成立的条件；2、证明不等式的方法及应用。

【典型例题】例1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B 。

解析： a b =是22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件。

（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（）A ．2S p ≥B ． 2p S p <<C ．S p >D ．2p S p ≤<答案:D ．解析：2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥，又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+< ∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。

（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系（）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b答案：B 。

解析：11111x y x y x ya x y x y x y x y+==+<+++++++++。

（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m >0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .答案：mb ma b a ++<．解析:由盐的浓度变大得．（5）设.11120,0的最小值，求且yxy x y x +=+>> ．答案： 223+。

2011届高考数学一轮复习百大经典例题之不等式解法(新课标)

典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

基本不等式练习题(含答案)

基本不等式1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．考向三利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？(2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4双基自测1.答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A4．解析当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案－2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·x y ＝18，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋abc ≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋ca ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞【训练3】解析由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10【例3．解由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2a b ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2a b，即⎩⎨⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2 a (a －b )·1a (a －b )＋2 ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D。

2011年高考数学试题汇编----不等式

12011年高考数学（文）试题汇编---不等式1（安徽卷6）设变量x,y 满足,x y 1x y 1x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥0⎩,则x y +2的最大值和最小值分别为（）（A ） 1，-1 (B) 2，-2 (C ) 1，-2 (D)2，-12（北京卷7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。

若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元。

为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）（A ）60件 (B)80件（C ）100件（D ）120件 3（广东卷5）不等式2210x x -->的解集是（）（A ）1(,1)2- B ）(1,)+∞ （C ）(,1)(2,)-∞⋃+∞ （D ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞4（广东卷6）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA=⋅的最大值为（）（A ）3 （B ）4 （C）（D）5（湖北卷8）直线2100x y +-=与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无数个 6（浙江卷6）若,a b 为实数，则“10<<ab ”是“ab 1<”的（） (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件7（浙江卷3）若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-+≥-+0,0072052y x y x y x ,则3x +4y 的最小值是（）(A)13 (B)15 (C)20 (D)288（全国II 卷4）若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为（）（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）39（天津卷2）设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为（）（A ）4- （B ）0 （C ）43（D ）4 10（新课标卷5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（）（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b ＞11（山东卷7）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ，则目标函数231z x y =++的最大值为（）(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.512（陕西卷3）设0a b <<，则下列不等式中正确的是（）（A ）2a b a b +<<<（B）2a ba b +<<< （C）2a b a b +<<<2a ba b +<<< 13(四川卷10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（）（A ）4650元（B ）4700元（C ）4900元（D ）5000元 14（天津卷12）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为． 15（新课标卷14）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤≤+≤96923y x y x ，则y x z 2+=的最小值为______16(陕西卷12）如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________.17（浙江卷16）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是______________。

最新全国各地2011届高考数学试题汇编：不等式1

不等式题组一一、选择题1. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 42+-=的最小值是（ ▲ ）A ．15B ．－18C ．26D ．－20答案 B.2．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设,x y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．6B ．－６Ｃ．12 Ｄ．－７答案 B. 3、（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）若0a b >>，则A ．22()a c b c c R >∈B ．1ba > C ．lg()0ab ->D ．11()()22a b<答案 D.4.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式2601x x x ---＞的解集为( ) A.{}2,3x x x -＜或＞ B.{}213x x x -＜，或＜＜C.{}213x x x -＜＜，或＞ D.{}2113x x x -＜＜，或＜＜答案 C.5.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）设双曲线122=-y x 的两条渐近线与直线22=x 围成的三角形区域（包含边界）为D ， P （y x ,）为D 内的一个动点，则目标函数y x z 2-=的最小值为（A ）2- （B ）22- （C ）0 （D ）223 答案 B.6．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（）答案 C.7.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式2601x x x ---＞的解集为( ) A.{}2,3x x x -＜或＞ B.{}213x x x -＜，或＜＜C.{}213x x x -＜＜，或＞ D.{}2113x x x -＜＜，或＜＜答案 C.8．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知0<a<b<1，则 A ．3b ＜3a B ．log 3a >log 3b C (lga)2<(lgb)2 D ．(1e )a <(1e)b答案 A.9．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考理）设1100,x zx y z t y t≤≤≤≤≤+则的最小值是（）A ．2B ．12C ．15D ．110答案 C. 二、填空题10．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知二次项系数为正的二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量= a （si nx ，2），= b （2si nx ，21），= c （cos2x ，1），= d （1，2），当∈x [0，π]时，不等式f （⋅ a b ）＞f （⋅ c d ）的解集为。