分类分步计数原理ppt课件
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分类分步计数原理
示例Baidu Nhomakorabea:使用排列组合进行计 数
在某些情况下,我们可以使用排列组合来进行计数。
通过确定问题中的不同元素的排列顺序或组合方式,我们可以得到问题的计 数结果。
分类分步计数的应用领域
分类分步计数在许多领域都有广泛的应用。 下面是一些应用领域的示例:
示例1:组合数学问题
在组合数学中,分类分步计数经常用于解决排列组合问题。 通过将问题分解为不同情况,并对每种情况进行计数,我们可以得到问题的 总计数。
总结和要点
分类分步计数是一种解决复杂问题的方法,通过将问题分解为多个子问题, 并使用排列组合等方法进行计数,可以得出最后的结果。
它在组合数学、概率统计和离散数学等领域有着广泛的应用。
通过使用分类分步计数,我们可以更好地理解问题,并找到解决问题的有效 方法。
分类分步计数是一种通过将问题分解为多个子问题来解决复杂问题的方法。 通过对每个子问题进行计数,然后将计数结果组合起来,我们可以得出最终 的计数结果。
示例1:将问题转化为多个子 问题
一个常见的分类分步计数方法是将问题转化为多个相对简单的子问题。
通过解决这些子问题,并将它们的计数结果相乘或相加,我们可以得到整个 问题的计数结果。
示例2:概率统计问题
在概率统计中,分类分步计数常用于计算事件发生的可能性。 通过将问题分解为几个独立的步骤,并计算每个步骤的可能性,我们可以得 到整个事件发生的可能性。
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件ppt
根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10 000个四位数
的号码.
延伸探究若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四 位数的号码? 解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成: 第1步,有10种拨号方式,即m1=10; 第2步,去掉第1步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9; 第3步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8; 第4步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7.
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会 生活部部长,共有三类不同的方案. 第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班 女生中选1名学生担任学生会生活部部长,不同选法的种数为
每种方法都能完成这件事
名师点析 应用分类加法计数原理的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,怎么才算是完成这件事. (2)完成这件事的n类方案,无论用哪类方案中的哪种方法都可以单独完成 这件事,而不需要再用到其他的方法. (3)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,不同类方案的任意两 种方法不同,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.从集合的角度看,若完 成一件事分A,B两类方案,则A∩B=⌀,A∪B=U(U表示全集).
的号码.
延伸探究若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四 位数的号码? 解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成: 第1步,有10种拨号方式,即m1=10; 第2步,去掉第1步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9; 第3步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8; 第4步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7.
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会 生活部部长,共有三类不同的方案. 第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法; 第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法. 根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班 女生中选1名学生担任学生会生活部部长,不同选法的种数为
每种方法都能完成这件事
名师点析 应用分类加法计数原理的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,怎么才算是完成这件事. (2)完成这件事的n类方案,无论用哪类方案中的哪种方法都可以单独完成 这件事,而不需要再用到其他的方法. (3)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,不同类方案的任意两 种方法不同,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.从集合的角度看,若完 成一件事分A,B两类方案,则A∩B=⌀,A∪B=U(U表示全集).
分步计数原理分类计数原理一ppt课件
2、分步乘法计数原理:完成一件事,需要分成n个步 骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……,做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有N m1 m2 种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点:回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点:分类加法计数原理与分类有关,
A
B
C
D
3、4张卡片的正、反面分别有0与1,2与3,4与5,6与7, 将其中3张卡片排放在一起,可组成多少个不同的 位数?
解:分三个步骤:
第一步:首位可放8-1=7个数;
第二步:十位可放6个数;
第三步:个位可百度文库4个数.
根据分步计数原理,可以组成
N=7×6×4=168个数.
1、分类加法计数原理:完成一件事,有n类办法,在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种 不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那 么 完成这件事共有 N m1 m种2 不同的m方n 法.
最后结果,只须一种方法 这件事,只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了,才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
即:类类独立,步步关联。
练习
1、 由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许 重复三位数?
解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:
件事共有N m1 m2 种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点:回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点:分类加法计数原理与分类有关,
A
B
C
D
3、4张卡片的正、反面分别有0与1,2与3,4与5,6与7, 将其中3张卡片排放在一起,可组成多少个不同的 位数?
解:分三个步骤:
第一步:首位可放8-1=7个数;
第二步:十位可放6个数;
第三步:个位可百度文库4个数.
根据分步计数原理,可以组成
N=7×6×4=168个数.
1、分类加法计数原理:完成一件事,有n类办法,在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种 不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那 么 完成这件事共有 N m1 m种2 不同的m方n 法.
最后结果,只须一种方法 这件事,只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了,才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
即:类类独立,步步关联。
练习
1、 由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许 重复三位数?
解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:
分类计数原理与分步计数原理PPT教学课件
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法.
讲授新课
对于分类计数原理,注意以下几点:
讲授新课
对于分类计数原理,注意以下几点:
⑴从分类计数原理中可以看出,各类之间相 互独立,都能完成这件事,且各类方法数相 加,所以分类计数原理又称加法原理;
讲授新课
对于分类计数原理,注意以下几点:
⑴从分类计数原理中可以看出,各类之间相 互独立,都能完成这件事,且各类方法数相 加,所以分类计数原理又称加法原理;
(4)碳在无机环境与生物群落间的循环形式: CO2
碳的循环过程:
大气中的CO2
燃烧
微
光合 呼吸作用
生
作用
工厂、汽车
物
的
植物体 摄食 动物体
分 解
动植物体的遗体、 残落物
泥炭、 煤、 石油
大气中CO2含量的平衡及其调节
➢ 在自然生态系统中,植物通过光合作用从大气 中摄取碳的速度与各种生物的呼吸作用释放到大气 中的速度大体相同。由于植物的光合作用受到很多 地球因素的影响,所以大气中的CO2含量有着明显 的日变化和季节变化。
N=m1×m2×…×mn 种不同的方法.
讲授新课
对于分步计数原理,注意以下几点:
讲授新课
对于分步计数原理,注意以下几点:
⑴分步计数原理与“分步”有关,各个步骤 相互依存,只有各个步骤完成了,这件事 才算完成;分步计数原理又叫乘法原理.
讲授新课
对于分类计数原理,注意以下几点:
讲授新课
对于分类计数原理,注意以下几点:
⑴从分类计数原理中可以看出,各类之间相 互独立,都能完成这件事,且各类方法数相 加,所以分类计数原理又称加法原理;
讲授新课
对于分类计数原理,注意以下几点:
⑴从分类计数原理中可以看出,各类之间相 互独立,都能完成这件事,且各类方法数相 加,所以分类计数原理又称加法原理;
(4)碳在无机环境与生物群落间的循环形式: CO2
碳的循环过程:
大气中的CO2
燃烧
微
光合 呼吸作用
生
作用
工厂、汽车
物
的
植物体 摄食 动物体
分 解
动植物体的遗体、 残落物
泥炭、 煤、 石油
大气中CO2含量的平衡及其调节
➢ 在自然生态系统中,植物通过光合作用从大气 中摄取碳的速度与各种生物的呼吸作用释放到大气 中的速度大体相同。由于植物的光合作用受到很多 地球因素的影响,所以大气中的CO2含量有着明显 的日变化和季节变化。
N=m1×m2×…×mn 种不同的方法.
讲授新课
对于分步计数原理,注意以下几点:
讲授新课
对于分步计数原理,注意以下几点:
⑴分步计数原理与“分步”有关,各个步骤 相互依存,只有各个步骤完成了,这件事 才算完成;分步计数原理又叫乘法原理.
高二数学分类计数原理和分步计数原理课件
N m1 m2
种不同的方法.
mn
n
mn
m2
分步计数原理(乘法原理)
完成一件事,需分成 n个步骤,做第1步有 m1种 不同的方法,做第2步有 m2 种不同的方法, , 第n 步有种mn 不同的方法.那么完成这件事共有
N m1 m2
mn
种不同的方法.
练
习
1.现有高中一年级的学生3名,高中二年级的学生5名, 高中三年级的学生4名。从3个年级的学生中各选1人 参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?
N 3 5 4 60.
2.3封不同的信投入5个不同的邮筒中,有多少种投信 方式?
N 5 5 5 125.
例题讲解
例1:书架的第一层放有4本不同的计算机书,第2层 放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? 解:要完成从书架上任取一本书这件事情,可按书 ( 2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不 架的层数分类,共有三类办法,第一类有 4种方法,第二 同的取法? 类有3种方法,第三类有2种方法,根据分类计数原理,不 解:从书架的第1、2、3层各取一本书,可以分成3个步骤 同取法种数是
分类计数原理(加法原理)
完成一件事,有 n 类方法,在第1类 办法中有 m1 种不同的方法,在第2类办法 中有 m2 种不同的方法,…,在第n类办法中 有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有
高考数学一轮复习 分类计数原理和分步计数原理01课件
用分类计数原理. 解 (1)50+60+55=165(种),即所求选法有 165 种. (2)30+30+20=80(种),即所求选法有 80 种.
探究提高
分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标 准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意满足一个 基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一 类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,只有满 足这些条件,才可以用分类计数原理.
分类计数原理
例 1 高三一班有学生 50 人,男生 30 人,女生 20 人;高三 二班有学生 60 人,男生 30 人,女生 30 人;高三三班有 学生 55 人,男生 35 人,女生 20 人. (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主 席,有多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一 名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?
探究提高同学衣服上左右各有一个口袋左边口袋装有30张英语wenku.baidu.com词卡片右边口袋装有20张英语单词卡片这些英语单词卡片都互不相同则从两个口袋里任取一张英语单词卡片共有种不同的取法
分类计数原理与分步计数原理
要点梳理
忆一忆知识要点
1.分类计数原理 完成一件事,有 n 类方式,在第 1 类方式中有 m1 种不同 的方法,在第 2 类方式中有 m2 种不同的方法,……,在 第 n 类方式中有 mn 种不同的方法,则完成这件事情,共 有 N= m1+m2+…+mn 种不同的方法.
探究提高
分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标 准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意满足一个 基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一 类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,只有满 足这些条件,才可以用分类计数原理.
分类计数原理
例 1 高三一班有学生 50 人,男生 30 人,女生 20 人;高三 二班有学生 60 人,男生 30 人,女生 30 人;高三三班有 学生 55 人,男生 35 人,女生 20 人. (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主 席,有多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一 名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?
探究提高同学衣服上左右各有一个口袋左边口袋装有30张英语wenku.baidu.com词卡片右边口袋装有20张英语单词卡片这些英语单词卡片都互不相同则从两个口袋里任取一张英语单词卡片共有种不同的取法
分类计数原理与分步计数原理
要点梳理
忆一忆知识要点
1.分类计数原理 完成一件事,有 n 类方式,在第 1 类方式中有 m1 种不同 的方法,在第 2 类方式中有 m2 种不同的方法,……,在 第 n 类方式中有 mn 种不同的方法,则完成这件事情,共 有 N= m1+m2+…+mn 种不同的方法.
分类计数原理和分步计数原理
分类计数原理和分步 计数原理
汇报人:XX
目录
CONTENTS
• 计数原理基本概念 • 分类计数原理应用 • 分步计数原理应用 • 计数原理在算法中的应用 • 计数原理在密码学中的应用 • 总结与展望
01 计数原理基本概念
分类计数原理定义
将一个复杂事件分解成若干个互斥事件 ,每个事件的发生都会导致该复杂事件
应用场景
适用于多个步骤相互独立,且每个步骤的方法数已知的情况。
示例
从$A$地到$B$地有$3$条路可走,从$B$地到$C$地有$2$条路可走,则从$A$地经$B$ 地到$C$地共有$3 times 2 = 6$条不同的路线。
加法原理
01
02
定义
应用场景
如果完成一件事有$n$类不同的方法 ,且第$1$类方法有$a_1$种不同的 方式,第$2$类方法有$a_2$种不同 的方式,...,第$n$类方法有$a_n$种 不同的方式,则完成这件事共有$a_1 + a_2 + ... + a_n$种不同的方法。
加密算法安全性分析
加密算法的安全性取决于密钥 长度、算法设计和实现等多个 因素。
对于对称密码体制,密钥长度 越长,安全性越高,但同时也 增加了加密和解密的计算成本 。
对于非对称密码体制,其安全 性基于数学问题的难解性,如 大整数分解、离散对数等。
汇报人:XX
目录
CONTENTS
• 计数原理基本概念 • 分类计数原理应用 • 分步计数原理应用 • 计数原理在算法中的应用 • 计数原理在密码学中的应用 • 总结与展望
01 计数原理基本概念
分类计数原理定义
将一个复杂事件分解成若干个互斥事件 ,每个事件的发生都会导致该复杂事件
应用场景
适用于多个步骤相互独立,且每个步骤的方法数已知的情况。
示例
从$A$地到$B$地有$3$条路可走,从$B$地到$C$地有$2$条路可走,则从$A$地经$B$ 地到$C$地共有$3 times 2 = 6$条不同的路线。
加法原理
01
02
定义
应用场景
如果完成一件事有$n$类不同的方法 ,且第$1$类方法有$a_1$种不同的 方式,第$2$类方法有$a_2$种不同 的方式,...,第$n$类方法有$a_n$种 不同的方式,则完成这件事共有$a_1 + a_2 + ... + a_n$种不同的方法。
加密算法安全性分析
加密算法的安全性取决于密钥 长度、算法设计和实现等多个 因素。
对于对称密码体制,密钥长度 越长,安全性越高,但同时也 增加了加密和解密的计算成本 。
对于非对称密码体制,其安全 性基于数学问题的难解性,如 大整数分解、离散对数等。
高二数学:10.1《分类技数原理与分步计数原理》课件
从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中,火车有4 班, 汽车有2班,轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法? 4
第 一 类
火车1 火车2 火车3 火车4
种 不 同 走 法
4 + 4 2+2+3=9 + 种不同的 走法。 3
‖ 共有:
2
第 二 类
分类计数原理和分步计数原理
两个基本原理
河北围场一中 陈占国 河北省承德市围场满族蒙古族自治县围场一中 068450
chenzhanguo329@163.com
新人教A版 河北省
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引例一 引例二
分类计数原理 两原理的异同
分步计数原理
选择题练习
例题1 例题2
小结一
两原理应用原则 填空题练习
小结二
思考题 本 课 总 结
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思考题
从 2、3、5、7 四个数字中任取两个用来作分子、分 母 ,请问:
解 答
(1)能得到多少个不同的真分数, (2)能得到多少个不同的假分数?6个。解答略
再计算每类中 真分数的个数 再把各类中的 真分数的个数 最后,答:能得到 6个 不同的真分数
(1)先分类, 按分子分类如下:
①分子为2的真分数 ——2/3,2/5,2/7 3个 相加:
②分子为3的真分数 ——3/5,3/7
高中数学 1.1.1分类与分步计数原理课件 新人教A版选修2-3
所以,给教室里的座位编号,总共能够编出
26+10=36种不同的号码.
一、分类加法计数原理 完成一件事,有两类方案,在第1类方案中有 m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方 法,那么完成这件事共有
N= m+ n种不同的方法.
说明
1)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在分 类标准下进行分类,然后对每类方法计数. 2)各类办法之间相互独立,用其中各类中任何一种 方法都能独立的完成这件事。 3)要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此 分类计数原理又称加法原理
例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下: A大学 生物学 化学 医学 物理学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学
工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?
解:这名同学在A大学中有5种专业选择,在B大学中有4种专业选择。
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
N=4+3+2=9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
N=4 ×3×2=24
分类加法计数与分步乘法计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理
N2=4×2=8 N= N1+N2 =14
分类计数原理与分步计数原理 人教课标版精品课件
种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有
种取法。
4+3+2=9
分类时要做到不重不漏
答:从书架上任意取一本书,有9种不同的取法。
(2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1 步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种 取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知, 共有
时光在飞逝,父母容颜渐渐沧桑,望着父母佝偻的背影,心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏,老了就自己受苦,这是现在年轻人经常激励自己的话,为了所谓的以后,我们牺牲了自己最美好的年华,却没有谁知道以后的样子又会是如何,也许这就是所谓的选择。
我们每个人都有很多在选择,学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择,可以说生活中我们时刻面临着选择,选择不一样,结局也会不一样,只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈,已经无人理会。人生路需要走很久,我们总会遇到各种各样的人,各种各样的事,正如我们工作平台选择不一样,起点也会不一样,领导选择不一样,或许你的结局也会不一样,我们不能选择自己的出生,所以不要怨天尤人,更不要去指责,生活对谁都一样,选择永远在你手中,跟着心走,或许你就能找到一个真正的自己。
种取法。
4×3×2=24
分步时做到不缺步
答:从书架上的第1、2、3层各取一本书,有24种不同的 取法。
种取法。
4+3+2=9
分类时要做到不重不漏
答:从书架上任意取一本书,有9种不同的取法。
(2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1 步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种 取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知, 共有
时光在飞逝,父母容颜渐渐沧桑,望着父母佝偻的背影,心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏,老了就自己受苦,这是现在年轻人经常激励自己的话,为了所谓的以后,我们牺牲了自己最美好的年华,却没有谁知道以后的样子又会是如何,也许这就是所谓的选择。
我们每个人都有很多在选择,学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择,可以说生活中我们时刻面临着选择,选择不一样,结局也会不一样,只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈,已经无人理会。人生路需要走很久,我们总会遇到各种各样的人,各种各样的事,正如我们工作平台选择不一样,起点也会不一样,领导选择不一样,或许你的结局也会不一样,我们不能选择自己的出生,所以不要怨天尤人,更不要去指责,生活对谁都一样,选择永远在你手中,跟着心走,或许你就能找到一个真正的自己。
种取法。
4×3×2=24
分步时做到不缺步
答:从书架上的第1、2、3层各取一本书,有24种不同的 取法。
分类计数原理与分步计数原理PPT课件
分类计数原理与分步计数原理
兆麟中学高二数学组
问题 1. 如图,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一 天中,火车有3 班, 汽车有2班,那么一天中乘坐这些交通 工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
火车1
甲·
火车2
火车3 汽车1
· 乙
汽车2 思考: 1.要完成从甲地到乙地这件事,从交通工具上只需选择 1 类,就可以 到达目的地. 2.要完成从甲地到乙地这件事,若选择乘火车有 3 种不同的走法, 若选择乘汽车有 2 种不同的走法. 3.完成从甲地到乙地这件事,共有 5 种不同的走法.
(4)、课堂练习:
1 . 书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书 (1) 从中任取一本,有多少种不同的取法? (2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少种不同的取法?
解:(1)从书架上任取一本书,有两种方法:第一类可从6本数 学书中任取一本,有6种方法;第二类可从5本语文书中任取一 本,有5种方法;根据加法原理可得共有 5+6=11 种不同的取法 从书架源自文库任取数学、语文书各一本,可以分成两步完 成:第一步任取一本数学书,有6种方法;第二步任取一本语 文书,有5种方法根据乘法原理可得共有5×6=30种不同取法
北 A村 中 北
南 思考:1>.从A村经 B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 种方法 第二步, 由B村去C村有 2 种方法. 2>完成从A村到C村这件事共有 6 种不同的走法.
分类加法与分步乘法计数原理 PPT
解:第1步,从30名男生中选出1人,有30种 不同选择;第2步,从24名女生中选出1人, 有24种不同选择;根据分步乘法计数原理, 共有30×24=720种不同的选法。
例3、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2 层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体 育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同 取法? 解(1)从书架上任取1本书,有三类取法 ,每层 个取一本,根据分类加法计数原理,不同取法的 种数是 N=4+3+2=9 (2)从书架的第1,2 ,3层各取1本书,可以分成
4+2=6 问题4.从甲地到乙地,可以乘火车,也可以 乘汽车,还可以乘轮船。一天中火车有4班, 汽车有2班,轮船有3班。那么从甲地到乙地 共有多少种不同的走法? 4+2+3=9 探究3:你能找到这个问题的一般性结论 并推广吗?
问题推广
1.完成一件事,有3类办法. 在第1类办法中有m1 种不同的方法,在第2类方法中有m2种不同的方法, 在第3类方法中有m3种不同的方法,则完成这件事 共有多少种不同的方法?
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
例3、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2 层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体 育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同 取法? 解(1)从书架上任取1本书,有三类取法 ,每层 个取一本,根据分类加法计数原理,不同取法的 种数是 N=4+3+2=9 (2)从书架的第1,2 ,3层各取1本书,可以分成
4+2=6 问题4.从甲地到乙地,可以乘火车,也可以 乘汽车,还可以乘轮船。一天中火车有4班, 汽车有2班,轮船有3班。那么从甲地到乙地 共有多少种不同的走法? 4+2+3=9 探究3:你能找到这个问题的一般性结论 并推广吗?
问题推广
1.完成一件事,有3类办法. 在第1类办法中有m1 种不同的方法,在第2类方法中有m2种不同的方法, 在第3类方法中有m3种不同的方法,则完成这件事 共有多少种不同的方法?
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
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根据分步乘法计数原理,有 3×4×5×4=240 种取法.
第 2 类,当首位数字为偶数数字即 2,4,6 中任一个,例如 4,则末位数字可以是 0,2,6 中的任一个,百位数字不能取与这 两个数字重复的数字,十位数字则不能取与这三个数字重复的 数字.
根据分步乘法计数原理,有 3×3×5×4=180 种取法. 根据分类加法计数原理,共可以组成 240+180=420 个无 重复数字的四位偶数.
分步要做到“ 步骤完整 ”——完成了所有步骤,恰好完 成任务,当然步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步的 方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法 数 相乘 ,得到总数.
情境引例入2 随 着 人 们 生 活 水 平 的 提 高 , 某 城 市 家 庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要 扩 容 .交 通 管 理 部 门 出 台 了 一 种 汽 车 牌 照 组 成办法,每一个汽车牌照都必须有 3 个不重 复的英文字母和 3个不重复的阿拉伯数 字, 并 且 3个 字 母 必 须 合 成 一 组 出 现 ,3个 数 字 也 必 须 合 成 一 组 出 现 .那 么 这 种 办 法 共 能 给 多 少辆汽车上牌照?
第 2步 ,从剩 2个 下 5 字 的1 母 个 ,放 中 在 2位 选 ,有 第 2种 5 选 ; 法 第 3步 ,从剩 2个 下 4 字 的1 母 个 ,放 中在 3位 选 ,有 第 2种 4 选 ; 法 第 4 步 ,从 1个 0 数 1 个 ,放 字4 在 中 位 ,有 1第 选 种 0 ;选
1.1分类加法计数原理
与 分步乘法计数原理
(第二课时)
用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决计数问题 的方法.
用两个计数原理解决计数的问题时,最重要的是开始计算 之前要进行仔细分析——需要 分类 还是 分步 .
分类要做到“ 不重不漏 ”,分类后再分别对每一类进行 计数,最后用分类加法计数原理 求和 ,得到总数.
Biblioteka Baidu
例1 由 0,1,2,3,4,5,6 这 7 个数字可以组成多少个无 重复数字的四位偶数?
【思路启迪】 要完成的“一件事”为“组成无重复数字 的四位偶数”,所以首位数字不能为 0 并且末位数字必须是偶 数数字,且组成的四位数中的四个数字不重复,因此应先分类, 再分步.
【解】 第 1 类,当首位数字为奇数数字即取 1,3,5 中的 任一个,末位数字可取 0,2,4,6 中的任一个,百位数字不能取 与这两个数字重复的数字,十位数字则不能取与这三个数字重 复的数字.
∴不能被 5 整除的四位数共有 300-48-60=192(个).
要点二 用计数原理解决“ 选(抽)取”问题 例2
变式训练2
要点三 用计数原理解决“涂色(种植)” 问题
涂色(种植)问题是计数原理应用中的典型问题,涂色(种植) 本身就是策略的一个运用过程,解决区域涂色(种植)问题时, 为便于分析问题,应先给区域(种植的品种)标上相应序号,然 后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分 类,最后利用两个计数原理求解.
变式训练1 由数字 0、1、2、3、4、5 可组成多少个 没有重复数字且不能被 5 整除的四位数字?
解:组成四位数可分四步,第一步排千位有 5 种,第二步 排百位有 5 种,第三步排十位有 4 种,第四步排个位有 3 种.由 分步乘法计数原理得共有四位数 5×5×4×3=300(个)
同理,个位数为 0 的四位数有 5×4×3=60(个),个位数 为 5 的四位数有 4×4×3=48(个).
第 5步 ,从剩 9个 下数 的 1 个 字 ,放 中 在 5位 选 ,有 第 9
种选 ; 法 第 6 步 ,从剩 8个 下 数 的 1 个 字 ,放中 在 6 位 ,有 选 8 第
种选 . 法 根据分步乘法计 ,字数母原组理合在左的牌
有262524109811232000个.
同理 ,字母组合在右的有牌 112照3也 200个 0 . 所,共 以能 11给 232 10 10 20 32202040640
分 析按 照 新,规 牌定 照 可 以2类 分,即为字 母 组 合 在 左 和在 字右 母 .确组 定合 一 个 牌 照 的 字 母 和 数 字 6个 可步 以.骤 分
解 : 将 汽 车 牌 照 分 为 2 类 ,一 类 字 母 组 合 在 左 ,另 一
类 的 字 母 组 合 在 右 . 字母组合在,分左 6个时步骤确定一个 照汽 的车 字母和数 : 字 第 1 步 ,从 2个 6 字 1 个 母 ,放中 在 ,有 2 选 首 种 6 位 ;选
例3 如图,要给地图 A,B,C,D 四个区域分别 涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但 相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
【思路启迪】 根据地图的特点确定涂色的顺序,再进行 计算.
【解】 按地图 A,B,C,D 四个区域依次涂色,分四 步完成:
第一步:涂 A 区域,有 3 种选择; 第二步:涂 B 区域,有 2 种选择; 第三步:涂 C 区域,由于它与 A,B 区域颜色不同,有 1 种选择; 第四步,涂 D 区域,由于它与 B,C 区域颜色不同,有 1 种选择. 所以根据分步乘法计数原理,得到不同的涂色方案种数共 有 3×2×1×1=6.
辆汽车 . 上牌照
升华提高:
很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决,此 时可根据需要先分类再分步,或者先分步再分类。
探究成果
1.应用两个基本计数原理解题时,首先必须弄明白怎 样就能“完成这件事”?其次要做到合理分类,准确分步, 按元素的性质分类,按事件发生的过程分步是计数问题的 基本方法。
2.对于有特殊元素或特殊位置的问题,可优先安排。
要点一 用计数原理解决“组数问题”
对于组数问题的计数,明确特殊位置或特殊数字,是我们 采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或 首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的 策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.
第 2 类,当首位数字为偶数数字即 2,4,6 中任一个,例如 4,则末位数字可以是 0,2,6 中的任一个,百位数字不能取与这 两个数字重复的数字,十位数字则不能取与这三个数字重复的 数字.
根据分步乘法计数原理,有 3×3×5×4=180 种取法. 根据分类加法计数原理,共可以组成 240+180=420 个无 重复数字的四位偶数.
分步要做到“ 步骤完整 ”——完成了所有步骤,恰好完 成任务,当然步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步的 方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法 数 相乘 ,得到总数.
情境引例入2 随 着 人 们 生 活 水 平 的 提 高 , 某 城 市 家 庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要 扩 容 .交 通 管 理 部 门 出 台 了 一 种 汽 车 牌 照 组 成办法,每一个汽车牌照都必须有 3 个不重 复的英文字母和 3个不重复的阿拉伯数 字, 并 且 3个 字 母 必 须 合 成 一 组 出 现 ,3个 数 字 也 必 须 合 成 一 组 出 现 .那 么 这 种 办 法 共 能 给 多 少辆汽车上牌照?
第 2步 ,从剩 2个 下 5 字 的1 母 个 ,放 中 在 2位 选 ,有 第 2种 5 选 ; 法 第 3步 ,从剩 2个 下 4 字 的1 母 个 ,放 中在 3位 选 ,有 第 2种 4 选 ; 法 第 4 步 ,从 1个 0 数 1 个 ,放 字4 在 中 位 ,有 1第 选 种 0 ;选
1.1分类加法计数原理
与 分步乘法计数原理
(第二课时)
用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决计数问题 的方法.
用两个计数原理解决计数的问题时,最重要的是开始计算 之前要进行仔细分析——需要 分类 还是 分步 .
分类要做到“ 不重不漏 ”,分类后再分别对每一类进行 计数,最后用分类加法计数原理 求和 ,得到总数.
Biblioteka Baidu
例1 由 0,1,2,3,4,5,6 这 7 个数字可以组成多少个无 重复数字的四位偶数?
【思路启迪】 要完成的“一件事”为“组成无重复数字 的四位偶数”,所以首位数字不能为 0 并且末位数字必须是偶 数数字,且组成的四位数中的四个数字不重复,因此应先分类, 再分步.
【解】 第 1 类,当首位数字为奇数数字即取 1,3,5 中的 任一个,末位数字可取 0,2,4,6 中的任一个,百位数字不能取 与这两个数字重复的数字,十位数字则不能取与这三个数字重 复的数字.
∴不能被 5 整除的四位数共有 300-48-60=192(个).
要点二 用计数原理解决“ 选(抽)取”问题 例2
变式训练2
要点三 用计数原理解决“涂色(种植)” 问题
涂色(种植)问题是计数原理应用中的典型问题,涂色(种植) 本身就是策略的一个运用过程,解决区域涂色(种植)问题时, 为便于分析问题,应先给区域(种植的品种)标上相应序号,然 后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分 类,最后利用两个计数原理求解.
变式训练1 由数字 0、1、2、3、4、5 可组成多少个 没有重复数字且不能被 5 整除的四位数字?
解:组成四位数可分四步,第一步排千位有 5 种,第二步 排百位有 5 种,第三步排十位有 4 种,第四步排个位有 3 种.由 分步乘法计数原理得共有四位数 5×5×4×3=300(个)
同理,个位数为 0 的四位数有 5×4×3=60(个),个位数 为 5 的四位数有 4×4×3=48(个).
第 5步 ,从剩 9个 下数 的 1 个 字 ,放 中 在 5位 选 ,有 第 9
种选 ; 法 第 6 步 ,从剩 8个 下 数 的 1 个 字 ,放中 在 6 位 ,有 选 8 第
种选 . 法 根据分步乘法计 ,字数母原组理合在左的牌
有262524109811232000个.
同理 ,字母组合在右的有牌 112照3也 200个 0 . 所,共 以能 11给 232 10 10 20 32202040640
分 析按 照 新,规 牌定 照 可 以2类 分,即为字 母 组 合 在 左 和在 字右 母 .确组 定合 一 个 牌 照 的 字 母 和 数 字 6个 可步 以.骤 分
解 : 将 汽 车 牌 照 分 为 2 类 ,一 类 字 母 组 合 在 左 ,另 一
类 的 字 母 组 合 在 右 . 字母组合在,分左 6个时步骤确定一个 照汽 的车 字母和数 : 字 第 1 步 ,从 2个 6 字 1 个 母 ,放中 在 ,有 2 选 首 种 6 位 ;选
例3 如图,要给地图 A,B,C,D 四个区域分别 涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但 相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
【思路启迪】 根据地图的特点确定涂色的顺序,再进行 计算.
【解】 按地图 A,B,C,D 四个区域依次涂色,分四 步完成:
第一步:涂 A 区域,有 3 种选择; 第二步:涂 B 区域,有 2 种选择; 第三步:涂 C 区域,由于它与 A,B 区域颜色不同,有 1 种选择; 第四步,涂 D 区域,由于它与 B,C 区域颜色不同,有 1 种选择. 所以根据分步乘法计数原理,得到不同的涂色方案种数共 有 3×2×1×1=6.
辆汽车 . 上牌照
升华提高:
很多实际问题需要综合应用两个基本计数原理方能解决,此 时可根据需要先分类再分步,或者先分步再分类。
探究成果
1.应用两个基本计数原理解题时,首先必须弄明白怎 样就能“完成这件事”?其次要做到合理分类,准确分步, 按元素的性质分类,按事件发生的过程分步是计数问题的 基本方法。
2.对于有特殊元素或特殊位置的问题,可优先安排。
要点一 用计数原理解决“组数问题”
对于组数问题的计数,明确特殊位置或特殊数字,是我们 采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或 首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的 策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.