2011惠州二模数学

惠州市2011届高三第二次调研考试数学试题(文科）本试卷共5页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中s 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 圆锥的侧面积公式S rl π=，其中r 为底面半径，l 为母线．球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4 2、若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1 . 3、已知条件p ：1x ≤，条件q ：1x<1，则p 是⌝q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件4、函数2(0)23()(0)2ln x x x f x x x≤⎧+-=⎨>-+⎩ 的零点个数为 ( )A.3B.2C.1D.05、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+， 则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( ) A.3 B.5 C.2 D.46、已知函数sin 2y x =，要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位7、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )8、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 9、若椭圆221x y m n +=与双曲线221(,,,x y m n p q p q-=均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于（ ）A ．22p m -B ．p m -C ．m p -D ．22m p -10、在平面向量中有如下定理：设点,,,O P Q R 为同一平面内的点，则,,P Q R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使(1)OP t OQ tOR =-+ .如图，在ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且2CF FA =，BF 交CE 于点M ，设AM xAE yAF =+，则（ ）A ．43,55x y ==B ．34,55x y ==C ．23,55x y ==D ．32,55x y ==stOA ．stOst OstOB ．C ．D ．BCAE FM（第10题图）NMCABO二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．） （一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答。

11、一简单组合体的三视图及尺寸如右图示（单位：cm ），则该组合体的表面积为 2cm 。

12、若点(,3)p m 到直线4310x y -+=的距离为4，且点p 在不等式2x y +＜3表示的平面区域内，则m = 。

13、一个算法的程序框图如上图所示，若该程序输出的结果为70，则判断框中应填入的条件是 。

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2cos ρϑ=与方程4πθ=所表示的图形的交点坐标为 。

15、（几何证明选讲选做题）如图，点B 在⊙O 上，N 为直径AC上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，45BNA ∠=，若⊙O的半径为23， 3OA OM =，则MN 的长为 。

50 10主视图40侧视图20 20 20 俯视图开始 sum=sum+i*(i+1)i=1,sum=0输出sum i = i+1结束否是？惠州市2011届高三第二次调研考试数学试题(文科）姓名______________ 分数______________第Ⅰ卷答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案题号 11 12 13 14 15 答案第Ⅱ卷三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. （★请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分．） 16、（本题满分12分）已知向量，(,1),(sin ,cos )a m b x x ==，()f x a b =⋅ 且满足()12f π=。

（1）求函数()y f x =的解析式；并求函数()y f x =的最小正周期和最值及其对应的x 值; （2）锐角ABC ∆中，若()2sin 12f A π=，且2AB =，3AC =，求BC 的长．惠州某中学高三（16）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的同学A得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学B得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD 垂直于底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形，//,90DC AB BAD ︒∠=，且2224AB AD DC PD ====（单位：cm ），E 为PA 的中点。

（１）如图，若正视方向与AD 平行，请在下面（答题区）方框内作出该几何体的正视图并求出正视图面积；（２）证明：//DE 平面PBC ； （３）证明：DE ⊥平面PAB ；正视图PEDCBA已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数,a b R ∈),()()()g x f x f x '=+是奇函数. （１）求()f x 的表达式;（２）讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[1,2]上的最大值和最小值.设直线:1l y x =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F 。

（1）证明：221a b +>；（2）若F 是椭圆的一个焦点，且2AF FB =，求椭圆的方程。

21、（本题满分14分）对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．如果函数()f x ＝2x a bx c+-有且仅有两个不动点0和2．（1）试求b 、c 满足的关系式；（2）若c ＝2时，各项不为零的数列{a n }满足4S n ·1()nf a ＝1， 求证：111n a n a +⎛⎫- ⎪⎝⎭＜1e ＜11na n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）设b n ＝－1na ，n T 为数列{b n }的前n 项和，求证：200920081ln 2009T T -<>．惠州市2011届高三第二次调研考试数学试题(文科）答案一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DABBDDACCA1.【解析】∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B = ∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.2.【解析】由210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩ 故选A3.【解析】⌝p ：1x >，q ：110x x<⇔<或1x >，故q 是⌝p 成立的必要不充分条件，故选B.4.【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得2x e =，所以已知函数有两个零点，选B 。

5．【解析】由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=。

6.【解析】()sin 2f x x = ， sin(2)sin 2()36y x x ππ=+=+，∴只需将()f x 的图象向左平移6π个单位，答案选D 。

7.【解析】 路程s 是时间t 的函数∴随着时间t 的变大，路程s 也逐渐增大，故排除D ；汽车减速行驶之后停车，汽车速度的变化是逐渐变小故选A8.【解析】C ； 3123133S a a a a d =++=+，21212S a a a d =+=+； ∴()32113222S S d d a d a ⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭，因此2d =． 9．【解析】由题设可知m n >，再由椭圆和双曲线的定义有12||||2PF PF m +=及12||||2PF PF p -=±，两个式子分别平方再相减即可得12||||PF PF m p =-． 10．【解析】因为点B 、M 、F 三点共线，则存在实数t ，使AM (1)t AB t AF =-+.又2AB AE = ，13AF AC =，则AM 2(1)3t t AE AC =-+ .因为点C 、M 、E 三点共线，则2(1)13t t -+=，所以35t =.故43,55x y ==，故选A.二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上） 11.12800；12. m =-3；13. 5(6)i i ≤<或 14. (2,)4π； 写(1,1)也给分； 15. MN =211．【解析】该组合体的表面积为：222212800S S S cm ++侧视图主视图俯视图＝12.【解析】由题意得：2m +3＜3且|491|45m -+=，解得m =-313.【解析】: sum=122334455670⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,i 等于5时再运行一次循环体程序就要跳出，故5(6)i i ≤<或14.【解析】(2,)4π15．【解析】∵45BNA ∠=∴90BOA ∠=,∵OM=2,BO=23∴BM=4,∵BM·MN=CM·MA=(23+2)(23-2)=8，∴MN=2．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．解：（1） (,1),(sin ,cos )a m b x x == 且()f x a b =⋅∴()sin cos f x m x x =+,又()12f π=sincos122m ππ∴+= 1m ∴= ………….2分()sin cos 2sin()4f x x x x π∴=+=+ …………….4分∴函数的最小正周期2T π= …………….5分当2()4x k k Z ππ=+∈时， ()f x 的最大值为2， 当52()4x k k Z ππ=+∈时，()f x 最小值为2- …………….7分 （2）因为()2sin 12f A π= 即()2sin 2sin 123f A ππ== ∴sin sin3A π= ……….8分∵A 是锐角ABC ∆的内角， ∴3A π= ……….9分∵2AB =，AC=3由余弦定理得：2222cos 7BC AC AB AB AC A =+-⋅⋅= ……….10分 ∴7BC = ……….12分17．解：（1）416015n P m ===∴某同学被抽到的概率为115 ……….2分设有x 名男同学，则45604x=，3x ∴=∴男、女同学的人数分别为3,1…….4分 （2）把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有：121312123231323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a b a a a a a b a a a a a b 123(,),(,),(,)b a b a b a 共12种， ……….6分其中有一名女同学的有6种∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P == ……….8分 （只是列出组合，没考虑顺序的同样给分） （3）16870717274715x ++++==，26970707274715x ++++==2221(6871)(7471)45s -+-== ，2222(6971)(7471) 3.25s -+-==∴第二同学B 的实验更稳定 ……….12分（每个结果算对给1分）18．解（1）正视图如下：（没标数据扣1分）…………3分主视图面积214242S cm =⨯⨯=……………….4分 （2）设PB 的中点为F ，连接,EF CF ………………5分//,//,//EF AB DC AB EF AB ∴，且12EF DC AB == ………………6分故四边形CDEF 平行四边形，可得//ED CF ， ………………7分 ED ⊂平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，//ED 平面PBC ………………9分 （3）PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AB PD ∴⊥ ………10分又,,AB AD PD AD D AD ⊥=⊂ 平面PAD ，PD ⊂平面PADAB ⊥平面PAD ………………11分 ED ⊂平面PAD ,所以ED AB ⊥， ………………12分 又,PD AD E =为PA 的中点，所以ED PA ⊥， ………………13分 ,PA AB A PA =⊂ 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以DE ⊥平面PAB ……14分19．解：（1）由题意得2()32f x ax x b '=++， ……….1分3()()()(31)(2).g x f x f x ax a x b x b '∴=+=+++++又因为()g x 是奇函数所以()()g x g x -=-，即对任意的实数x 有3232()(31)()(2)()((31)(2))a x a x b x b ax a x b x b -++-++-+=-+++++….3分从而有310,0a b +==即1,03a b =-=， ……….5分 因此()f x 的解析式为321()3f x x x =-+ ……….6分（2）由（1）得31()23g x x x =-+，所以 2()2g x x '=-+ ……….7分令()0g x '=解得122,2x x =-= ……….8分 则当22x x 〈-〉或时()0,g x '<（资料来源：数学驿站 ） 即()g x 在区间(),2,2,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣上是减函数； ….9分当22x -〈〈时()0,g x '〉即()g x 在区间()2,2-上是增函数 ……….10分 由前面讨论知，()g x 在区间[]1,2上的最大值与最小值只能在1,2,2x =处取得，而5424(1),(2),(2)333g g g === ……….12分 因此()g x 在区间[]1,2上的最大值为42(2)3g = ……….13分 最小值为4(2)3g =……….14分 20．解：（1）证明：将112222=++=by a x x y 代入，消去x ，得0)1(2)(222222=-+-+a b y b y b a ① ……………3分由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得0)1(4)1)((44222222224>-+=-+-=∆b a b a a b a b b所以 122>+b a （资料来源：数学驿站 ）…………5分（2）解：设),(),(2211y x B y x A ，由①，得 22222122221)1(2b a a b y y b a b y y +-=+=+， …………7分因为 2122y y FB AF -==，得 …………8分所以， 222222212222212)1(2y b a a b y y y b a b y y -=+-=-=+=+， 消去2y ，得 22222222)2(2)1(ba b b a a b +-=+- 化简，得22228)1)((b a b a =-+ …② ……11分 因F 是椭圆的一个焦点，则c=1，b 2=a 2－1 代入②式，解得 272922==b a ，………………13分 所以，椭圆的方程为 1729222=+y x …………14分 21．解： (1)设202x ax bx c+=-的不动点为和 ∴0010421222aa c cbc c a b b c ⎧==⎧⎪⎪⎪-=+≠⎨⎨+=+⎪⎪=⎩⎪-⎩即即且 ……………3分(2)∵c ＝2 ∴b ＝2 ∴()()()2121x f x x x =≠-，由已知可得2S n ＝a n －a n 2……①，且a n ≠1． 当n ≥2时，2 S n -1＝a n －1－a n －12 ……②， ①－②得(a n ＋a n －1)( a n －a n －1＋1)＝0，∴a n ＝－a n －1 或 a n ＝－a n －1 ＝－1， ……5分 当n ＝1时，2a 1＝a 1－a 12 ⇒a 1＝－1，若a n ＝－a n －1，则a 2＝1与a n ≠1矛盾．∴a n －a n －1＝－1， ∴a n ＝－n ．……6分∴要证不等式，只要证 ()111111n nn e n -+-⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即证 11111n n e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只要证 ()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证 111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．……7分 考虑证不等式()ln 11xx x x <+<+(x ＞0) ** ． ………………8分 令g (x )＝x －ln(1＋x )， h (x )＝ln(x ＋1)－1xx + (x ＞0) ．∴g '(x )＝1x x +， h '(x )＝()21xx +， ∵x ＞0， ∴g '(x )＞0， h '(x )＞0，∴g (x )、h (x )在(0, ＋∞)上都是增函数，……9分 ∴g (x )＞g (0)＝0， h (x )＞h (0)＝0，∴x ＞0时，()ln 11xx x x <+<+． 令1x n =则**式成立，∴111n a n a +⎛⎫- ⎪⎝⎭＜1e ＜11na n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………10分 (3)由(2)知b n ＝1n ，则T n ＝111123n+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+． 在111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭中，令n ＝1，2，3，……，2008，并将各式相加， 得111232009111ln ln ln 1232009122008232008++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+， 即T 2009－1＜ln2009＜T 2008． …………………14分。