2017-2018学年河北省衡水中学高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷

2017-2018学年河北省衡水中学高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.与极坐标不表示同一点的极坐标是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：与极坐标不表示同一点的极坐标是．故选：B．利用极坐标的表示方法即可得出．本题考查了极坐标的表示方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.下列表述：综合法是由因到果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法．其中正确的语句与A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故正确．根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，是逆推法，故正确，不正确．故选：C．根据综合法的定义可得正确；根据分析法的定义可得正确，不正确．本题主要考查综合法、分析法、反证法的定义，属于基础题．3.若复数z满足为复数单位，则z的共轭复数为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，则z的共轭复数为故选：D．利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.用反证法证明命题“若，则且”时，下列假设的结论正确的是A. 或B. 或C. 且D. 且【答案】B【解析】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：或，故选：B．根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立根据要证命题的否定，从而得出结论．本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．5.方程为参数表示的曲线是A. 双曲线B. 双曲线的上支C. 双曲线的下支D. 圆【答案】B【解析】解：为参数，可得，，，即，方程为参数表示的曲线是双曲线的上支，故选：B．方程为参数，消去参数，即可得出表示的曲线．本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．6.若，，，则a，b，c大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，因为，所以．故选：D．根据的原函数为，的原函数为，的原函数为，分别在0到2上求出定积分的值，根据定积分的值即可得到a，b和c的大小关系．此题考查学生掌握积分与微分的关系，会进行定积分的运算，是一道基础题．7.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上如图，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n，则A. 15B. 11C. 8D. 7【答案】A【解析】解：根据题意：盘子数量时，游戏结束需要移动的最少次数；盘子数量时，小盘乙柱，大盘丙柱，小盘再从乙柱丙柱，完成，游戏结束需要移动的最少次数；盘子数量时，小盘丙柱，中盘乙柱，小盘从丙柱乙柱，用的方法把中盘和小盘移到乙柱，大盘移到丙柱，再用的方法把中盘和小盘从乙柱移到丙柱，完成，游戏结束需要移动的最少次数；以此类推，，时，．故选：A．根据移动方法与规律发现，随着盘子数量的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到乙柱，然后把最大的盘子移动到丙柱，再用同样的次数从乙柱移动到丙柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律即可．本题考查了图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数，利用盘子少一个时的移动次数移动到乙盘，再把最大的盘子移动到丙盘，然后再用同样的次数从乙柱移动到丙柱，从而完成移动过程是解题的关键，本题对阅读并理解题目住处的能力要求比较高．8.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是A. B. C.D.【答案】B【解析】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：故选：B．从平面图形到空间图形，同时模型不变．本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力解题的关键是掌握好类比推理的定义．9.设函数，则函数的所有极大值之和为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数，，时，，时，，时原函数递增，时，函数递减，故当时，取极大值，其极大值为，又，函数的各极大值之和．故选：D．先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值，即可求函数的各极大值之和．本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和利用导数求得当时，取极大值是解题的关键，利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．10.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，M是曲线C上的动点以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线T的极坐标方程为，则点M到T的距离的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：曲线C的参数方程为为参数，M是曲线C上的动点．设，曲线T的极坐标方程为，曲线T的直角坐标方程为，点M到T的距离，当时，点M到T的距离的最大值为．故选：B．设，曲线T的直角坐标方程为，点M到T的距离，由此能求出点M到T的距离的最大值．本题考查曲线上的点到直线的距离的最大值求法，考查极坐标、直角坐标的互化公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11.已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为A. B.C. D. ，【答案】D【解析】解：结合图象：和时，，而，故在，递减，故选：D．结合函数图象求出成立的x的范围即可．本题考查了数形结合思想，考查函数的单调性问题，是一道基础题．12.已知函数关于x的方程，有5不同的实数解，则m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，则，由，解得，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．当时，函数取得极大值也是最大值为．方程化为．解得或．如图画出函数图象：可得m的取值范围是故选：C．利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或画出函数图象，数形结合得答案．本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数为虚数单位的虚部为______．【答案】【解析】解：，其虚部为．故答案为：．利用复数的运算法则化简即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为______．【答案】【解析】解：把直线l的方程化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，故点A到直线l的距离为，故答案为：．把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把A的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．15.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是______．【答案】甲【解析】解：假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故乙说的是谎话；假定丙说的是真话，由知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为：甲利用反证法，可推导出丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了逻辑推理，正确使用反证法，是解答的关键．16.已知实数a，b满足，，则______．【答案】【解析】解：分别设，，则表示曲线上的点到直线的距离，则的最小值表示为和直线平行的曲线的切线的之间的距离，，，，解得，，曲线过点的切线方程为，即，直线与直线的距离，的最小值为，故答案为：．分别设，，则的点到直线的距离，则的最小值表示为和直线平行的曲线的切线的之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线间的距离公式即可求出答案．本题考查了导数的几何意义和平行线之间的距离公式，关键是构造曲线和直线，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设复数，其中i为虚数单位，当实数m取何值时，复数z对应的点：位于虚轴上；位于一、三象限；位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．【答案】解：复数z对应的点位于虚轴上，则．时，复数z对应的点位于虚轴上．复数z对应的点位于一、三象限，则或．当时，复数z对应的点位于一、三象限．复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则或．或时，复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．【解析】根据复数的几何意义求出点的坐标，利用点在虚轴上建立方程关系即可根据点在一三象限建立不等式关系即可根据点与圆的方程进行求解即可．本题主要考查复数的几何意义，根据条件求出点的坐标，根据条件建立坐标关系是解决本题的关键．18.已知数列满足．写出，，，并推测的表达式；用数学归纳法证明所得的结论．【答案】解：当，时当时，，同样令，则可求出，，猜测由已得当时，命题成立；假设时，命题成立，即，当时，，且，，即，即当时，命题成立．根据得，都成立．【解析】取，2，3，分别求出，，，然后仔细观察，总结规律，猜测的值．用数学归纳法进行证明，当时，命题成立；假设时，命题成立，即，当时，，，当时，命题成立故都成立．本题考查数列的递推式，解题时注意数学归纳法的证明过程．19.在平面直角坐标系xoy中，曲线过点，其参数方程为为参数，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ已知曲线与曲线交于A、B两点，且，求实数a的值．【答案】解：Ⅰ曲线参数方程为，其普通方程，-------分由曲线的极坐标方程为，，即曲线的直角坐标方程-------分Ⅱ设A、B两点所对应参数分别为，，联解得要有两个不同的交点，则，即，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知，，又由可得，即或-------分当时，有，，，符合题意-------分当时，有，，，符合题意-------分综上所述，实数a的值为或-------分【解析】Ⅰ利用三种方程的转化方法，求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ根据参数方程的几何意义可知，，利用，分类讨论，求实数a的值．本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表假设该区域空气质量指数不会超过：分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．Ⅰ请估算2017年以365天计算全年空气质量优良的天数未满一天按一天计算；Ⅱ该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列及数学期望．【答案】解：Ⅰ由直方图可估算2017年以365天计算全年空气质量优良的天数为：天------------分Ⅱ由题可知，4级污染以下的概率．X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，------------分则：，，，，，，．的分布列为分元------------分【解析】利用直方图的性质即可得出．Ⅱ由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知抛物线的焦点为椭圆：的右焦点F，点B为此抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且．求椭圆C的方程；Ⅱ过点F作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆C交于P，Q两点，直线与直线交于点T，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ由得其交点坐标是，设，，则，解得：，，由点B在椭圆C上，得，即，又，解得：，，椭圆C的方程是；Ⅱ设直线PQ的方程为，，，由，得，则，，，，当时，直线FT的方程为，由，得，，即，，，设，则，则，应用在递增，，则，当时，PQ的中点是F，，，，，综上，，故的取值范围是．【解析】Ⅰ输出B的坐标，带入椭圆的方程，求出，的值，求出椭圆方程即可；Ⅱ设直线PQ的方程为，，，联立方程组，得到，表示出，求出其范围即可．本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和圆的位置关系以及不等式的应用，是一道综合题．22.已知，函数．若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围；当时，求函数的最小值的最大值；设函数，，求证：．【答案】解：函数在区间内单调递减，恒有成立，而，故对，恒有成立，而，则满足条件．所以实数a的取值范围为．当时，．x所以的最小值．随x的变化，，的变化情况如下表：所以的最大值为．证明：因为，所以当时，．因为，所以在区间内是增函数，故．当时，，由，解得舍去或．又，故时，，所以在区间内是增函数，所以．综上所述，对，恒成立．【解析】函数在区间内单调递减，恒有成立，即，恒有成立，然后求解即可．当时，求出的最小值转化求解的最大值．，当时，利用函数的导数，判断单调性，转化证明即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论，以及转化思想的应用，是难题．。