第二章_圆锥曲线与方程_章末质量评估(人教A版选修2-1)

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高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.4.2

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．8 【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】 C2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3【解析】据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1，0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝（1＋1）2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1.【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3【解析】焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C.【答案】 C5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】由题意知p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B.【答案】 B二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋（x ）2，由题意有x ＋14＝x 2＋（x ）2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24 7．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________. 【导学号：18490074】【解析】设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2. ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3，∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0，得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.[能力提升]1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0，1)，则|AF ||BF |＝( )A.15B.14C.13D.12【解析】因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B|＝13，故选C. 【答案】 C2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA→·MB →＝0，则k ＝( ) A.12B.22C. 2 D ．2【解析】由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.【答案】 D3．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎨⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6.【答案】 64．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1，0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值. 【导学号：18490075】【解】过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k （x ＋1），消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1，0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或16.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·潍坊高二检测)如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D. 【答案】 D2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1D ．以上都不对【解析】设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y225＝1.【答案】 A3．(2016·合肥高二月考)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1【解析】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.【答案】 B4．椭圆mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)的焦点坐标为( ) 【导学号：18490042】 A ．(0，±m －n )B ．(±m －n ，0)C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)【解析】将mx 2＋ny 2＝－mn (m <n <0)化成标准方程得x 2－n ＋y 2－m ＝1，由m <n <0⇒－m >－n >0，得焦点在y 轴上，即a 2＝－m ，b 2＝－n ，得c 2＝a 2－b 2＝n －m ，故选C.【答案】 C5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【解析】由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，即|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2， ∴△PF 1F 2为直角三角形．【答案】 B 二、填空题6．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．【解析】依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3. 【答案】 37．已知椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2，0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________．【解析】法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2，0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 法二：依题意，可设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y212＝1.【答案】 x 216＋y 212＝18．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．【解析】如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)．又|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|QF 1|＝4，F 1(－1，0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16. 【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝16 三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴（3）24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1， ∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)． 10．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【导学号：18490043】【解】 (1)由焦距是4，可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又因为c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.[能力提升]1．“0<t <1”是“曲线x 2t ＋y 21－t ＝1表示椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】曲线x 2t ＋y21－t＝1表示椭圆等价于⎩⎪⎨⎪⎧t >0，1－t >0，t ≠1－t ，得t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选B.【答案】 B2．已知椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍【解析】由已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由条件，知P ⎝⎛⎭⎪⎫3，±32，即|PF 2|＝32.由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4 3. 所以|PF 1|＝732. 所以|PF 1|＝7|PF 2|. 【答案】 A3．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．【解析】由条件可取F 1(－3，0)，∵PF 1的中点在y 轴上， ∴设P (3，y 0)，由P 在椭圆x 212＋y 23＝1上得y 0＝±32，∴M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±34.【答案】 ±344．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图2-2-3)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程. 【导学号：18490044】图2-2-3【解】由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， ∴|F 2A |＝2|F 2B |，由椭圆的定义得|F 1B |＋|F 2B |＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ，在△F 1F 2B 中，由余弦定理得 (2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒m ＝2（a 2－c 2）2a ＋c.在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c ，所以2（a 2－c 2）2a ＋c ＝a 2－c 22a －c ，解得2a ＝3c ，可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4. 由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 220＝1.。

2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程测评含解析新人教A版选修2_1

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.方程x 2+2y 2=4所表示的曲线是()A.焦点在x 轴的椭圆B.焦点在y 轴的椭圆C.抛物线D.圆方程化为x 24+y 22=1,因此其表示焦点在x 轴的椭圆.2.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)分别过点A (2,0)和B (0,-1),则该椭圆的焦距为() A.√3 B.2√3 C.√5 D.2√5a=2,b=1,所以a 2=4,b 2=1,所以c=√a 2-b 2=√4-1=√3,所以2c=2√3.故选B .3.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2√33x ,则此双曲线的离心率为()A.√72B.√133C.53D.√213x 轴上,所以ba=2√33,于是e=ca=√1+(b a)2=√73=√213.4.已知抛物线C :y 2=8x 焦点为F ,点P 是C 上一点,O 为坐标原点,若△POF 的面积为2,则|PF|等于() A.5B.3C.72D.4F (2,0),设P (x 0,y 0),则12·2·|y 0|=2,所以|y 0|=2,于是x 0=12,于是|PF|=x 0+p2=52.5.已知一个动圆P 与圆O :x 2+y 2=1外切,而与圆C :x 2+y 2-6x+8=0内切,则动圆圆心P 的轨迹是() A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线D.圆R ,依题意有|PO|=R+1,|PC|=R-1,因此|PO|-|PC|=2,而|OC|=3,由双曲线定义知点P 的轨迹为双曲线的右支.6.已知点A 是抛物线y 2=2px (p>0)上一点,点F 是抛物线的焦点,O 为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是()A.x=-1B.x=-3C.x=-1或x=-3D.y=-1∠BFA=∠OFA-90°=30°,过点A 作准线的垂线AC ,过点F 作AC 的垂线,垂足分别为C ,B.如图,A 点到准线的距离为d=|AB|+|BC|=p+2=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1. 故选A.7.双曲线C :x 2-y 23=1的一条渐近线与抛物线M :y 2=4x 的一个交点为P (异于坐标原点O ),抛物线M 的焦点为F ,则△OFP 的面积为() A.2√33B.4√33C.23D.43解析双曲线C :x 2-y 23=1的一条渐近线方程为y=√3x ,将y=√3x 代入抛物线方程,可得3x 2=4x ,解得x=0(舍)或x=43,所以P 43,4√33,又抛物线y 2=4x 的焦点F (1,0),则△OFP 的面积为S=12×1×4√33=2√33.故选A .8.已知双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,若双曲线的一个焦点坐标为(0,√5),且圆x 2+(y-√5)2=1与双曲线的渐近线相切,则双曲线的方程是() A.x 24-y 2=1B.y 24-x 2=1C.x 26-y 2=1D.y 26-x 2=1(0,√5),则c=√5.由题意可知焦点在y 轴上, 设双曲线为y 2a2−x 2b 2=1,渐近线为by ±ax=0.焦点到渐近线的距离为1=√a 2+b 2=b ,即b=1,a=√c 2-b 2=2,则双曲线的方程是y 24-x 2=1,故选B.9.已知点P (x 0,y 0)在椭圆x 212+y 23=1上,其左、右焦点分别是F 1,F 2,若∠F 1PF 2为钝角,则x 0的取值X 围是() A.(-3,3)B.(-∞,-2√2)∪(2√2,+∞)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-2√2,2√2)F 1(-3,0),F 2(3,0),所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3-x 0,-y 0),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-x 0,-y 0),则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02-9,而y 02=3-14x 02, 所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34x 02-6.又∠F 1PF 2为钝角,所以34x 02-6<0,解得-2√2<x 0<2√2.10.椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,上顶点为A ,若△AF 1F 2的面积为√3,且∠F 1AF 2=4∠AF 1F 2,则椭圆方程为() A.x 23+y 2=1B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 2=1D.x 24+y 23=1△AF 1F 2中,AF 1=AF 2,∠F 1AF 2=4∠AF 1F 2,则∠AF 1F 2=30°,所以bc =√33. 又△AF 1F 2面积为√3, 即S=12×2c×b=√3,解得b=1,c=√3,则a=√b 2+c 2=2, 所以椭圆方程为x 24+y 2=1.11.直线y=k (x-1)与椭圆C :x 24+y 22=1交于不同的两点M ,N ,椭圆x 24+y 22=1的一个顶点为A (2,0),当△AMN 的面积为√103时,则k 的值为()A.±√2B.±√3C.±1D.±√5y=k (x-1)与椭圆C 联立{y =k (x -1),x 24+y 22=1消元可得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-4=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-41+2k 2,∴|MN|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2.∵A (2,0)到直线y=k (x-1)的距离为d=√1+k 2, ∴△AMN 的面积S=12|MN|d=|k |√4+6k 21+2k 2.∵△AMN 的面积为√103, ∴|k |√4+6k 21+2k 2=√103, ∴k=±1,故选C .12.如图所示,过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l ,交抛物线于点A ,B.交其准线于点C ,若|BC|=√2|BF|,且|AF|=√2+1,则此抛物线的方程为()A.y 2=√2xB.y 2=2xC.y 2=√3xD.y 2=3x,过点A 作AD 垂直于抛物线的准线,垂足为D ,过点B 作BE 垂直于抛物线的准线,垂足为E ,点P 为准线与x 轴的交点,由抛物线的定义,|BF|=|BE|,|AF|=|AD|=√2+1,因为|BC|=√2|BF|,所以|BC|=√2|BE|,所以∠DCA=45°, |AC|=√2|AD|=2+√2,|CF|=2+√2−√2-1=1, 所以|PF|=√2=√22,即p=|PF|=√22,所以抛物线的方程为y 2=√2x ,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知双曲线C :y 2a 2−x 2b 2=1的焦距为4,点P (1,√3)在双曲线C 的渐近线上,则C 的方程为.C :y 2a2−x 2b2=1的渐近线方程为y=±a bx ,∵双曲线C :y 2a 2−x 2b 2=1的焦距为4,点P (1,√3)在C 的渐近线上,可得a=√3b ,∴2c=4, ∵c 2=a 2+b 2,∴a 2=3,b 2=1, ∴双曲线C 的方程为y 23-x 2=1.故答案为y 23-x 2=1.2=114.若直线x-my+m=0经过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,则p=.直线x-my+m=0可化为x-m (y-1)=0,所以直线x-my+m=0过点(0,1), 即抛物线x 2=2py (p>0)的焦点F 为(0,1),∴p2=1,则p=2,故答案为2.15.已知双曲线E :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)与抛物线C :y 2=2px (p>0)有共同的一个焦点,过双曲线E 的左焦点且与抛物线C 相切的直线恰与双曲线E 的一条渐近线平行,则E 的离心率为.,所以c=p2,p=2c ,抛物线方程为y 2=4cx ,设双曲线的左焦点为F 1,F 1(-c ,0),过F 1与一条渐近线y=ba x 平行的直线方程为y=ba (x+c ), 由{y 2=4cx ,y =ba(x +c )得by 2-4acy+4bc 2=0, 所以Δ=16a 2c 2-16b 2c 2=0,所以a=b ,从而c=√a 2+b 2=√2a ,离心率为e=ca =√2. √216.已知椭圆方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),双曲线方程为x 2m2−y 2n 2=1(m>0,n>0),若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为.椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),双曲线方程为x 2m 2−y 2n 2=1(m>0,n>0),若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,可得椭圆的焦点坐标F 2(c ,0),F 1(-c ,0),正六边形的一个顶点Ac 2,√32c .|AF 1|+|AF 2|=(c2(√3c 2)(c2-c) (√3c 2)=2a , 因为√3c+c=2a ,所以椭圆离心率e 1=ca =√3-1,因为双曲线的渐近线的斜率为√3,即nm =√3,可得双曲线的离心率为e 2=√1+n 2m 2=2.所以e 1+e 2=√3-1+2=√3+1. 故答案为√3+1. √3+1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知双曲线C 的一个焦点与抛物线C 1:y 2=-16x 的焦点重合,且其离心率为2. (1)求双曲线C 的方程;(2)求双曲线C 的渐近线与抛物线C 1的准线所围成三角形的面积.抛物线C 1:y 2=-16x 的焦点坐标为(-4,0),因此可设双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0),则依题意有{c =4,c a =2,解得a 2=4,b 2=12, 故双曲线C 的方程为x 24−y 212=1.(2)抛物线C 1的准线方程为x=4,双曲线C 的渐近线方程为y=±√3x , 于是双曲线C 的渐近线与抛物线C 1的准线的两个交点为(4,4√3),(4,-4√3), 所围成三角形的面积S=12×8√3×4=16√3.18.(本小题满分12分)已知抛物线x 2=-2py (p>0)上纵坐标为-p 的点到其焦点F 的距离为3. (1)求抛物线的方程;(2)若直线l 与抛物线以及圆x 2+(y-1)2=1都相切,求直线l 的方程.由已知得抛物线的准线方程为y=p2,则由抛物线的定义知p+p2=3,则p=2,所以抛物线的方程为x 2=-4y.(2)由题意知直线l 的斜率存在,设其方程为y=kx+b ,则有{y =kx +b ,x 2=-4y ,消去y 得x 2+4kx+4b=0,则有Δ=16k 2-16b=0,即k 2=b.又直线l 与圆x 2+(y-1)2=1都相切,所以√k 2+1=1.解方程组{√k 2+1=1,k 2=b ,得{k =0,b =0或{k =√3,b =3或{k =-√3,b =3,故所求直线l 的方程为y=0或y=√3x+3或y=-√3x+3. 19.(本小题满分12分)已知F 1,F 2是椭圆M :y 2a2+x 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,椭圆M 的离心率为√63,P (x 0,y 0)是M 上异于上下顶点的任意一点,且△PF 1F 2面积的最大值为2√2.(1)求椭圆M 的方程;(2)若过点C (0,1)的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线l 的方程.据题意,得{ ca =√63,12×2c ×b =2√2,c 2=a 2-b 2,∴a 2=6,b 2=2.∴椭圆M 的方程为y 26+x 22=1.(2)据题设知,直线AB 的斜率存在,设直线l 的方程为y=kx+1. 据{y =kx +1,y 26+x 22=1,得(3+k 2)x 2+2kx-5=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2k3+k 2,x 1x 2=-53+k 2. ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(-x 1,1-y 1)=2(x 2,y 2-1). ∴x 1=-2x 2.∴x 1+x 2=-x 2=-2k3+k 2,则x 2=2k3+k 2.又x 1x 2=-2x 22=-53+k 2,∴(2k3+k 2)2=53+k 2×12, ∴k=±√5.故直线l 的方程为y=-√5x+1或y=√5x+1.20.(本小题满分12分)已知点F 是抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点,点M 是抛物线上的定点,且MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0). (1)求抛物线C 的方程;(2)直线AB 与抛物线C 交于不同两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且x 2-1=x 1+m 2(m 为常数),直线l 与AB 平行,且与抛物线C 相切,切点为N ,试问△ABN 的面积是否是定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 设M (x 0,y 0),由题知F (0,p2),所以MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0,p 2-y 0)=(4,0).所以{-x 0=4,p 2-y 0=0,即{x 0=-4,y 0=p 2. 代入x 2=2py (p>0)中,得16=p 2,解得p=4. 所以抛物线C 的方程为x 2=8y.(2)由题意知,直线AB 的斜率存在,设其方程为y=kx+b. 由{y =kx +b ,x 2=8y ,消去y ,整理得x 2-8kx-8b=0, 则x 1+x 2=8k ,x 1x 2=-8b.∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2b=8k 2+2b ,设AB 的中点为Q , 则点Q 的坐标为(4k ,4k 2+b ). 由条件,设切线方程为y=kx+t , 由{y =kx +t ,x 2=8y ,消去y 整理得x 2-8kx-8t=0.∵直线与抛物线相切, ∴Δ=64k 2+32t=0. ∴t=-2k 2. ∴x 2-8kx+16k 2=0, ∴x=4k , ∴y=2k 2.∴切点N 的坐标为(4k ,2k 2). ∴NQ ⊥x 轴,∴|NQ|=(4k 2+b )-2k 2=2k 2+b. ∵x 2-x 1=m 2+1,又∵(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=64k 2+32b.∴2k 2+b=(m 2+1)232.∴S △ABN =12|NQ|·|x 2-x 1|=12·(2k 2+b )·|x 2-x 1|=(m 2+1)364.∵m 为常数,∴△ABN 的面积为定值,且定值为(m 2+1)364.21.(本小题满分12分)已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P -1,√22在椭圆E 上,且抛物线y 2=4x 的焦点是椭圆E 的一个焦点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)过点F 2作不与x 轴重合的直线l ,设l 与圆x 2+y 2=a 2+b 2相交于A ,B 两点,且与椭圆E 相交于C ,D 两点,当F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1时,求△F 1CD 的面积.y 2=4x 焦点为F (1,0),则椭圆E 的焦点F 1(-1,0),F 2(1,0). 2a=|PF 1|+|PF 2|=2√2. 解得a=√2,c=1,b=1,所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由已知,可设直线l 方程为x=ty+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立{x =ty +1,x 2+y 2=3,得(t 2+1)y 2+2ty-2=0,易知Δ>0.则{y 1+y 2=-2tt 2+1,y 1y 2=-2t 2+1.F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(ty 1+2)(ty 2+2)+y 1y 2 =(t 2+1)y 1y 2+2t (y 1+y 2)+4=2-2t 2t 2+1.因为F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1, 所以2-2t 2t 2+1=1,解得t 2=13.联立{x =ty +1,x 22+y 2=1,得(t 2+2)y 2+2ty-1=0,Δ=8(t 2+1)>0.设C (x 3,y 3),B (x 4,y 4), 则{y 3+y 4=-2tt 2+2,y 3y 4=-1t 2+2.S △F 1CD =12|F 1F 2|·|y 3-y 4|=√8(1+t 2)t 2+2=√8×4373=4√67. 22.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的长轴长为2√2,离心率为√22.(1)求椭圆C 的方程;(2)过动点M (0,m )(m>0)的直线交x 轴于点N ,交椭圆C 于点A ,P (P 在第一象限),且点M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点Q ,延长QM 交椭圆C 于点B.①设直线PM 、QM 的斜率分别为k ,k',证明kk '为定值;②求直线AB 斜率取最小值时,直线PA 的方程.由题意得2a=2√2,ca =√22, 所以a=√2,c=1,b=√a 2-c 2=√2-1=1. 故椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)①设P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),由M (0,m ),可得P (x 0,2m ),Q (x 0,-2m ), 所以直线PM 的斜率k=2m -m x 0=m x 0,直线QM 的斜率k'=-2m -m x 0=-3mx 0.此时kk '=-13,所以kk '为定值-13.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的方程为y=kx+m ,直线QB 的方程为y=-3kx+m.联立{y =kx +m ,x 22+y 2=1,整理得(2k 2+1)x 2+4kmx+2m 2-2=0, 由{Δ=16k 2m 2-8(m 2-1)(2k 2+1)>0,x 0x 1=2m 2-22k 2+1, 可得x 1=2m 2-2(2k 2+1)x 0, y 1=kx 1+m=k 2m 2-2(2k 2+1)x 0+m ,同理x 2=2m 2-2(18k 2+1)x 0,y 2=-3kx 2+m=-3k2m 2-2(18k 2+1)x 0+m.所以x 1-x 2=32k 2(m 2-1)(2k 2+1)(18k 2+1)x 0, y 1-y 2=3k 2m 2-2(18k 2+1)x 0+k2m 2-2(2k 2+1)x 0,y 1-y 2=2k (m 2-1)24p 2+4(2k 2+1)(18k 2+1)x 0=8k (m 2-1)6k 2+1(2k 2+1)(18k 2+1)x 0,所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=6k 2+14k=146k+1k ,由m>0,x 0>0,可知k>0,所以6k+1k≥2√6,当且仅当k=√66时取等号.由P (x 0,2m ),m>0,x 0>0在椭圆C :x 22+y 2=1上,得x 0=√2-8m 2, k=m x 0=√2-8m 2,此时√2-8m2=√66,即m=√77,word11 / 11 由Δ>0得,m 2<2k 2+1,所以k=√66时,m=√77符合题意.所以直线AB 的斜率最小时,直线PA 的方程为y=√66x+√77.。

第二章圆锥曲线与方程章末归纳总结课件(人教A版选修2-1)

2．(2014·福州月考)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2＝
20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为 3x±4y＝0，则该双曲线
的标准方程为( )
A．1y62 －x92＝1
B．1x62 －y92＝1
C．y92－1x62 ＝1
D．x92－1y62 ＝1
[答案] C
第二章圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
由A→M＝2M→B得 x1＝－2x2，
∴－－2x2x＝22＝3－＋3＋－84kk482k，2，
消去 x2 得(3＋8k4k2)2＝3＋44k2，
解得 k2＝14，∴k＝±12，所以直线 l 的方程为 y＝±12x＋1，即 x－2y＋2＝0 或 x＋2y －2＝0．
第二章圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
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第二章章末归纳总结
第二章圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a中，应有2a>|F1F2|，双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2a中，应有2a<|F1F2|，抛物线定义中，定点F不在定直线l上．
(2)由题意得直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 y＝kx＋1， y＝kx＋1，则由x42＋y32＝1. 消去 y 得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且 Δ>0．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴xx11·＋x2x＝2＝3＋－3－＋48k842kk，2，
第二章圆锥曲线与方程

高中数学人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程(B)

第二章圆锥曲线与方程(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)6．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.2－12D.347．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( ) A ．2a ＋2m B ．4a ＋2m C ．a ＋m D ．2a ＋4m8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.125B.65C ．2D.559．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( ) A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或210．从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( ) A ．56B ．6 5 C ．102D ．5 211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( ) A ．2或－1B ．－1 C ．2D ．1± 5 12．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r|等于( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．14．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B两点，若AF u u u r ＝3FB u u u r，则k ＝________.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点M (p,0)的直线与抛物线交于A 、B 两点，则OA u u u r ·OB uuu r＝________.16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18．(12分)已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．19.(12分)已知两个定点A (－1,0)、B (2,0)，求使∠MBA ＝2∠MAB 的点M 的轨迹方程．20．(12分)已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA u u u r ·PB u u u r ＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)．21.(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．22．(12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA u u u r ＝m FA u u u r，MB u u u r ＝n FB u u u r，求m ＋n 的值．第二章圆锥曲线与方程(B)1．A [2a ＝18，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c ＝13×2a ＝6，∴a ＝9，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝72，故椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.]2．B [点P 在线段AB 上时|PA |＋|PB |是定值，但点P 轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.] 3．D4．D [P 在以MN 为直径的圆上．] 5．A6．B [2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2，又∵c ＝m 2－(m 2－1)＝1，∴离心率e ＝c a ＝12.]7．B [∵A ，B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a ，|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m ，∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .] 8．A[如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.]9．B [由题意B 为抛物线的焦点．令A 的横坐标为x 0，则|AB |＝x 0＋1＝1，∴x 0＝0.] 10．A11．C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2y 2＝8x 消去y 得，k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝[－4(k ＋2)]2－4k 2×4 ＝64(1＋k )>0，解得k >－1，由x 1＋x 2＝4(k ＋2)k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2.]12．B [因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36，故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.]13.22或2－1解析设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a＝c b 2＋c2＝c2c＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m(1＋2)m＝2－1.14. 3解析设直线l 为抛物线的准线，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 1为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，由AF →＝3FB u u u r ，∴cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12，∴∠BAE ＝60°，∴tan ∠BAE ＝ 3. 即k ＝ 3.15．－p 216．2解析设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故|BF |＝|AF |＝2.17．解由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5c 2＝a 2＋b 2c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 18．解设A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由椭圆的方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，∴F (3，0)．直线l 的方程为y ＝x － 3.① 将①代入x 24＋y 2＝1，化简整理得5x 2－83x ＋8＝0，∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 19．解设动点M 的坐标为(x ，y )．设∠MAB ＝β，∠MBA ＝α，即α＝2β，∴tan α＝tan2β，则tan α＝2tan β1－tan 2β.① (1)如图(1)，当点M 在x 轴上方时，tan β＝y x ＋1，tan α＝y2－x，将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3(x >0，y >0)； (2)如图(2)，当点M 在x 轴的下方时，tan β＝－y x ＋1，tan α＝－y2－x，将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3(x >0，y <0)；(3)当点M 在x 轴上时，若满足α＝2β，M 点只能在线段AB 上运动(端点A 、B 除外)，只能有α＝β＝0.综上所述，可知点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0(－1<x <2)． 20．(1)解 ∵A (0，－2)，B (0,4)， ∴PA →＝(－x ，－2－y )，PB →＝(－x,4－y )．则PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝x 2＋y 2－2y －8. ∴y 2－8＝x 2＋y 2－2y －8， ∴x 2＝2y .(2)证明将y ＝x ＋2代入x 2＝2y ，得x 2＝2(x ＋2)，即x 2－2x －4＝0，且Δ＝4＋16>0，设C 、D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. 而y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2， ∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4， ∴k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1，∴OC ⊥OD .21．解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.22．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)，则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1.由e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝255.得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x25＋y 2＝1.(2)易求出椭圆C 的右焦点F (2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入方程x 25＋y 2＝1，得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0.∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k2.又MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0)，FA u u u r ＝(x 1－2，y 1)，FB u u u r＝(x 2－2，y 2)．∵MA →＝m FA u u u r ，MB →＝n FB u u u r ，∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2， ∴m ＋n ＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2，又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k21＋5k2＝－101＋5k2，4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k 2，∴m ＋n ＝10.。

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第二章圆锥曲线
第3节抛物线
1.抛物线22y x 的焦点坐标是( ) A.1
(0,)4 B.1(0,)8 C.1(,0)8 D.1(,0)4
2.抛物线y 2=8x 的焦点到准线的距离是( )
A .1
B .2
C .4
D .8
3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=－2，则抛物线的方程是( )
A.y2=－8x
B.y2=－4x
C.y2=8x
D.y2=4x
4.若直线y=kx－k交抛物线y2=4x于A，B两点，且线段AB中点到y轴的距离为3 ，则|AB|=( )
A.12
B.10
C.8
D.6
5.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|=________.
6.抛物线过点(1 ，2) ，其准线与x轴垂直，直线l过其焦点F，交抛物线于A，B两点，
若AB的中点到准线距离为5
2
，求直线l的方程.
7.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，焦点为F (1 ，0) ，经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点.
(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；
(Ⅱ)若△AOB 的面积为4 ，求|AB |.
答案：
1.C
2.C
3.C
4.C
5.4
3
6.()21y x =±-
7. (Ⅰ)y 2=4x . (Ⅱ) AB 的长为16。

2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章圆锥曲线与方程单元质量评估(二)

第二章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( C ) A ．4B ．－4C ．－14 D.142．若椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得3m >0,2m ＋1>0且2m ＋1>3m ，得0<m <1，故选B.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x 解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14.又a >0，b >0，∴b a ＝12，∴C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( C )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得|AF 1|＝2a －32 ①.在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22 ②.由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.5．已知双曲线y 2－x 2＝1的离心率为e ，且抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(e 2,0)，则p 的值为( D )A ．－2B ．－4C ．2D ．4解析：由条件知，双曲线的离心率为e ＝2，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以p2＝2，所以p ＝4.故选D.6．如图，过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|AB |＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于准线l ，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， ∴|BF |＝1，|AB |＝4，故选A.7．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( C )A ．－13 B.13 C ．±13 D ．±12解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点间的线段F 1F 2正好被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为( B )A ．y ＝±53xB ．y ＝±255xC ．y ＝±355x D ．y ＝±5x解析：∵双曲线的焦距为2a 2＋b 2，椭圆的焦距为2a 2－b 2，∴2a 2－b 2＝13·2a 2＋b 2，整理得4a 2＝5b 2，则a ＝52b .代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±255x .9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n ，且e 1e 2>1B ．m >n ，且e 1e 2<1C ．m <n ，且e 1e 2>1D ．m <n ，且e 1e 2<1解析：∵椭圆与双曲线的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1.∴m 2－n 2＝2，∴m >n .∵e 1＝1－1m 2，e 2＝1＋1n 2，∴e 1e 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＝1＋1n 2－1m 2－1m 2n 2＝1＋m 2－n 2－1m 2n 2＝1＋1m 2n 2>1.10．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，在椭圆上有一个异于点A ，B 的动点P ，若直线P A 的斜率为k 0，则直线PB 的斜率为( B )A.34k 0 B ．－34k 0C ．－34k 0D ．－32k 0解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，∴k P A ＝y 0x 0＋2，k PB ＝y 0x 0－2.∵点P 在椭圆上，∴x 204＋y 203＝1，∴y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，∴k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x 204x 20－4＝－34.∵k P A ＝k 0，∴k PB ＝－34k 0，故选B.11．抛物线x 2＝－6by 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右支分别交于B ，C 两点，A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若∠AOC ＝∠BOC ，则双曲线的离心率为( C )A.233 B ．3 C.433 D ．2 3解析：抛物线的准线为y ＝32b ，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－132a ，32b ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a ，32b .易得∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴k OC ＝313b13a ＝tan60°＝ 3.∴b 2a 2＝133，∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋133＝433，故选C.12．在焦点在x 轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积范围是[3b 2,4b 2]，则椭圆离心率的范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，33解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．不妨设矩形ABCD 的对角线AC 所在直线方程为y ＝kx (假设k >0)．联立⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得x 2＝a 2b 2b 2＋a 2k 2，y 2＝a 2b 2k 2b 2＋a 2k2.所以矩形ABCD 的面积S ＝4|xy |＝4a 2b 2k b 2＋a 2k 2＝4a 2b 2b 2k ＋a 2k ≤4a 2b 22b 2k ·a 2k ＝2ab ，当且仅当k ＝ba 时取等号．所以3b 2≤2ab ≤4b 2，解得12≤b a ≤23. 所以e ＝ca ＝1－b 2a 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，32.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝2 2.解析：双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，故抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－2，所以p2＝2，解得p ＝2 2.14．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|＝1或5. 解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中点表示．由题意知点F (3,0)为双曲线的右焦点．设双曲线x 24－y 25＝1的左焦点为F 1，由OQ →＝12(OP →＋OF →)，知Q 为PF 的中点．连接PF 1，则|OQ →|＝12|PF 1→|.由||PF 1→|－|PF →||＝4，|PF →|＝6，得|PF 1→|＝2或10，故|OQ →|＝1或5. 15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，A (－a,0)，B (0，b )为椭圆的两个顶点，若F 到直线AB 的距离等于b 7，则椭圆的离心率为12. 解析：直线AB 的方程为y b ＋x－a ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.设F (－c,0)，则|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，即|a －c |a 2＋b2＝17.因而7|a －c |＝a 2＋b 2. 又b 2＝a 2－c 2，代入上式，并整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，于是8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54(舍去)．16．设抛物线M ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 是双曲线N ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，若M 与N 的公共弦AB 恰好过点F ，则双曲线N 的离心率e ＝2＋1.解析：本题主要考查双曲线、抛物线的焦点．∵抛物线M ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，双曲线N ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)，∴p 2＝c .又公共弦AB 恰好过点F ，得AB 为抛物线M 的通径，∴AB ＝2p ＝2b 2a ，∴b 2＝2ac ⇒c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0，∴e ＝2＋1或e ＝1－2(舍去)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)椭圆的两个焦点F 1，F 2在x 轴上，以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P (3,4)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点坐标为F 1(c,0)，F 2(－c,0)． ∵以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P (3,4)，∴c ＝|OP |＝32＋42＝5.∴⎩⎨⎧32a 2＋42b2＝1，a 2＝b 2＋52，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45，b 2＝20，∴所求椭圆的方程为x 245＋y 220＝1. 18．(12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB→＝－3，求这个抛物线的方程．解：(1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2. ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .19．(12分)设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求k 的值．解：(1)过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，由题意可知|PM |－|PN |＝12，而y ≥0，所以|PN |＝y ，所以 x 2＋(y －12)2＝y ＋12，化简得x 2＝2y (y ≥0)为所求的方程．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y得x 2－2kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24k 2＋8＝26，所以k 4＋3k 2－4＝0，而k 2≥0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.20．(12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论．(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围．解：(1)x 1＋x 2＝0，证明：点F 在直线l 上⇒|F A |＝|FB |⇒A ，B 两点到抛物线的准线的距离相等，∵抛物线的准线是x 轴的平行线，∴上述条件等价于y 1＝y 2⇒x 21＝x 22⇒(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0，∵x 1≠x 2，∴当且仅当x 1＋x 2＝0时，直线l 经过抛物线的焦点F . (2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意，得l 的方程为y ＝2x ＋b .则过点A ，B 的直线方程可写为y ＝－12x ＋m ，联立⎩⎨⎧y ＝2x 2，y ＝－12x ＋m ，化简得2x 2＋12x －m ＝0，∴x 1＋x 2＝－14.∵A ，B 为抛物线上不同的两点，∴上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .又点N 在直线l 上，∴116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932，∴l 在y 轴上的截距的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞. 21．(12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，过A ，Q ，F 2三点的圆的半径为2.过定点M (0,2)的直线l 与椭圆C 交于G ，H 两点(点G 在点M ，H 之间)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的斜率k >0，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由．解：(1)因为2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，所以F 1为F 2Q 中点．设Q 的坐标为(－3c,0)，因为AQ ⊥AF 2，所以b 2＝3c ×c ＝3c 2，a 2＝4c ×c＝4c 2，且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1(－c,0)，半径为2c ，所以c ＝1. 所以a ＝2.b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k >0)，与椭圆方程联立，消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.设点G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k3＋4k 2. 所以PG →＋PH →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，k (x 1＋x 2)＋4)．又GH →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(x 2－x 1，k (x 2－x 1))，由于菱形对角线互相垂直，则(PG →＋PH →)·GH →＝0，所以(x 2－x 1)[(x 1＋x 2)－2m ]＋k (x 2－x 1)[k (x 1＋x 2)＋4]＝0.故(x 2－x 1)[(x 1＋x 2)－2m ＋k 2(x 1＋x 2)＋4k ]＝0. 因为k >0，所以x 2－x 1≠0.所以(x 1＋x 2)－2m ＋k 2(x 1＋x 2)＋4k ＝0，即(1＋k 2)(x 1＋x 2)＋4k －2m ＝0，所以(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 3＋4k 2＋4k －2m ＝0，解得m ＝－2k3＋4k 2，即m ＝－23k ＋4k. 由Δ>0，且k >0，可得k >12.因为k >12，可以使3k ＝4k ，所以－36≤m <0.故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－36，0.22．(12分)已知两定点E (－2,0)，F (2,0)，动点P 满足PE →·PF →＝0，由点P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 满足PM →＝MQ →，点M 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与C 交于A ，B 两点，点N 满足ON→＝OA →＋OB →(O 为原点)，求四边形OANB 面积的最大值，并求此时的直线l 的方程．解：(1)因为动点P 满足PE →·PF→＝0，所以点P 的轨迹是以EF 为直径的圆，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.设M (x ，y )是曲线C 上任一点，因为PQ ⊥x 轴，PM→＝MQ →，所以点P 的坐标为(x,2y )，因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)因为ON→＝OA →＋OB →，所以四边形OANB 为平行四边形，当直线l 的斜率不存在时显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －2，l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎨⎧ y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，由Δ＝162k 2－48(1＋4k 2)>0，得k 2>34，所以x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因为S △OAB ＝12|OD ||x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，所以S▱OANB ＝2S △OAB ＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 1＋4k 22－4×121＋4k 2＝2162k 2－48(1＋4k 2)(1＋4k 2)2＝84k 2－3(1＋4k 2)2，令4k 2－3＝t ，则4k 2＝t ＋3(由上可知t >0)， S ▱OANB ＝8t (t ＋4)2＝818＋t ＋16t ≤8116＝2，当且仅当t ＝4，即k 2＝74时取等号；所以当k ＝±72，平行四边形OANB面积的最大值为2，7此时直线l的方程为y＝±2x－2.。

2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章圆锥曲线与方程单元质量评估(一)

第二章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( D )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知焦点在y 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＋9＝1的离心率为12，则m ＝( A )A ．3B ．3或－94C ．－94 D ．63－9 解析：根据题意，12＝mm ＋9，解得m ＝3. 3．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( A )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.x 29＋y 225＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0)D.x 29＋y 216＝1(y ≠0)解析：由题意得|CA |＋|CB |＝10>|AB |，所以顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，且a ＝5的椭圆．又因为A ，B ，C 三点不共线，所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A.73B.54C.43D.53解析：由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53.5．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( A )A.316B.38C.163D.83解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1 ①，又e ＝c m＝m ＋nm ＝2 ②，联立方程①②，解得m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.6．已知F 1，F 2 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，则椭圆的方程是( D )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 23＝1C.x 216＋y 212＝1D.x 216＋y 24＝1解析：由椭圆的定义知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝16，∴a ＝4.又e ＝ca ＝32，∴c ＝23，∴b 2＝42－(23)2＝4， ∴椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.7．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( A )A ．x 2＝2y －1 B ．x 2＝2y －116 C ．x 2＝y －12 D ．x 2＝2y －2解析：焦点为F (0,1)，设P (p ，q )，则p 2＝4q .设Q (x ，y )是线段PF 的中点，则x ＝p2，y ＝q ＋12，即p ＝2x ，q ＝2y －1，代入p 2＝4q 得，(2x )2＝4(2y －1)，即x 2＝2y －1.8．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( D )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图所示，|AB |＝|BM |＝2a ，∠MBA ＝120°，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，则∠MBH ＝60°，|BH |＝a ，|MH |＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.9．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，设某条弦过点P ，且以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为( B )A ．3x ＋2y －12＝0B ．2x ＋3y －12＝0C ．4x ＋9y －144＝0D ．9x ＋4y －144＝0解析：设满足题意的直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144. 两式相减得4(x 21－x 22)＋9(y 21－y 22)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)9(y 1＋y 2)＝－23. 由此可得所求的直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( D )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1解析：因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b .则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x220＋y 25＝1，故选D.11．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA→|＝( B ) A.214p B.212p C.136p D.1336p解析：易知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.设A (x 0，y 0)，则F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，y 0.x 轴方向上的单位向量为i ＝(1,0)，由夹角为60°，得cos60°＝F A →·i|F A →||i |＝x 0－p2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 22＋y 20，将y 20＝2px 0代入上式并化简，得x 0－p2x 0＋p 2＝12，解得x 0＝3p 2，y 20＝3p 2. 故|OA →|2＝x 20＋y 20＝9p 24＋3p 2＝21p 24，|OA →|＝21p 2.12．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( B )A ．2B ．3 C.1728 D.10 解析：设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝x ，消去x ，得y 2－my －t ＝0. 设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)(不妨令y 1>0，y 2<0)，故y 1＋y 2＝m ，y 1y 2＝－t .而OA →·OB →＝y 21y 22＋y 1y 2＝2. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)．所以－t ＝－2，即t ＝2. 所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |×y 1＝12×14y 1＝18y 1，故S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1－y 2.由98y 1－y 2＝98y 1＋(－y 2)≥298y 1×(－y 2)＝298×2＝3，得S △ABO ＋S △AFO 的最小值为3，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．已知以原点O 为中心，F (5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52，则双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1，渐近线方程为x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.解析：设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意知c ＝5，又e ＝c a ＝52，因此a ＝2，b ＝c 2－a 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 24－y 2＝1，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.14．如图，过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.解析：依题意，抛物线x 2＝8y 的焦点(0,2)即为圆心，准线y ＝－2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2－(－2)＝4，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 与m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是12.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝am ，2n 2＝2m 2＋c 2，c 2＝m 2＋n 2，消去m ，n 得4c 2＝a 2，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.16．已知椭圆C 的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合；过点M (1,1)且斜率为－12的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.解析：焦点坐标为(2,0)．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21a 2－4＝1， ①x 22a 2＋y22a 2－4＝1， ②②－①得，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)a 2＝－(y 2＋y 1)(y 2－y 1)a 2－4. ③ ∵y 2＋y 1x 2＋x 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－12，∴代入③式解得a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝4，∴所求椭圆方程为：x 28＋y 24＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，求椭圆的标准方程．解：依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2＝1.设右焦点为(c,0)，则|c ＋22|2＝3，∴c ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝3，∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.18．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．解：设直线方程为y ＝kx －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －1，y ＝－x 22，得x 2＋2kx －2＝0，∴Δ＝(2k )2－4×(－2)＝4k 2＋8>0，∴x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，又1＝y 1x 1＋y 2x 2＝kx 1－1x 1＋kx 2－1x 2＝2k －x 1＋x 2x 1x 2＝2k －k ＝k ，即k ＝1，故所求直线方程为y ＝x －1.19．(12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |，设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意，得a 2－b 2a ＝22，又点(2，2)在C 上，所以4a 2＋2b 2＝1，两方程联立，可解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝kx M ＋b ＝b2k 2＋1.所以直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，所以k OM ·k ＝－12.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．(12分)设抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以点B(a＋4,0)为圆心，|AB|为半径，在x轴上方作半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点M，N，P为线段MN的中点．(1)求|AM|＋|AN|的值；(2)试问：是否存在实数a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)如图所示，设M，N，P在抛物线的准线上的射影分别为M1，N1，P1，则由抛物线的定义，得|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝x M＋x N＋2a.因为抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，所以点A的坐标为(a,0)．又B(a ＋4,0)，所以|AB|＝4.所以圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，化简得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，所以x M＋x N＝2(4－a)，故|AM|＋|AN|＝8.(2)假设存在满足条件的实数a，则2|AP|＝|AM|＋|AN|.因为|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝2|PP1|，所以|AP|＝|PP1|.由抛物线的定义知：点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾．因此，不存在满足条件的实数a.22．(12分)设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．解：(1)因为a 2>1－a 2,2c ＝1，a 2＝1－a 2＋c 2，则a 2＝58，1－a 2＝38，所以椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，Q (0，m )，则F 2P →＝(x －c ，y )，QF 2→＝(c ，－m )，F 1P →＝(x ＋c ，y )，F 1Q →＝(c ，m )．由F 2P →∥QF 2→，F 1P →⊥F 1Q →，得⎩⎪⎨⎪⎧m (c －x )＝yc ，c (x ＋c )＋my ＝0，所以(x －c )(x ＋c )＝y 2，即x 2－y 2＝c 2.由椭圆E 的方程可知，c 2＝a 2－(1－a 2)＝2a 2－1，所以x 2－y 2＝2a 2－1，即y 2＝x 2－2a 2＋1.将上式代入椭圆E 的方程，得x 2a 2＋x 2－2a 2＋11－a 2＝1，解得x 2＝a 4. 因为点P 是第一象限内的点，所以x ＝a 2，y ＝1－a 2. 故点P 在定直线x ＋y ＝1上．。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.3.2

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)，∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x 2－y24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1，0)是双曲线的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：18490063】A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.32【解析】双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y ＝±x ，即ba ＝1，e ＝ca ＝ 2.【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2，即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积．【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；【导学号：18490064】(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B>2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测新人教A版选修2-1

章末检测(二) 圆锥曲线与方程时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是( )A. 3 B ． 6 C ．3D ．6解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ，即b ＝ 6. 答案：B2．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．4 B ．6 C ．7D ．8解析：由渐近线方程y ＝32x ，且b ＝3，得a ＝2，由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝4，又|PF 1|＝3，∴|PF 2|＝7. 答案：C3．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对解析：(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.答案：C4．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A5．已知椭圆x2a 2＋y22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 26＋y 22＝1 解析：由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2， ∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.答案：D6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝k >|OF |， ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．答案：A7．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为( ) A ．5 6 B.2534C ．20D ．10解析：由题意，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则|PF |＝|PM |＝y 204＋1＝5，所以y 0＝±4，所以S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.答案：D8．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.答案：B9．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2(x －1) B ．y 2＝4(x －1) C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)解析：设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22y ＝y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2y 0＝2y，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2，即y 2＝12(x －1)．答案：D10．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( ) A ．0 B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：D11．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.52D.32解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案：A12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，94B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意：B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.解析：由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝4，所以2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝1，所以e ＝c a ＝12.答案：1214．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 315．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________.解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33p ，16p ，B ⎝⎛⎭⎪⎫3p ，32p ，所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13.答案：1316. 已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且只有一个公共点，求直线l 的方程．解析：①当直线l 的斜率不存在时，x ＝1与对称轴平行，有一个交点；②当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x －1)，与y ＝2x 2联立，得2x 2－kx ＋k －2＝0，由Δ＝k 2－8(k －2)＝0得k ＝4，所以直线l 的方程为y ＝4x －2.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝4x －2.18．(12分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F (2, 0)作斜率为 35的直线，交双曲线于M ，N 两点，且|MN |＝4，求双曲线方程．解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由右焦点为F (2,0)知c ＝2，b 2＝4－a 2，则双曲线方程为x 2a 2－y 24－a 2＝1.直线MN 的方程为：y ＝35(x －2)，代入双曲线方程整理，得 (20－8a 2)x 2＋12a 2x ＋5a 4－32a 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12a 220－8a 2，x 1x 2＝5a 4－32a220－8a 2.∴|MN |＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫352×x 1＋x 22－4x 1x 2＝85× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 220－8a 22－4·5a 4－32a 220－8a 2＝4. 解得：a 2＝1，∴b 2＝4－1＝3. 故所求双曲线方程为：x 2－y 23＝1. 19．(12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，且过点P (2,2)，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．(1)求抛物线的方程；(2)设直线l 是抛物线的准线，求证：以AB 为直径的圆与准线l 相切．解析：(1)设抛物线y 2＝2px (p >0)，将点(2,2)代入得p ＝1. ∴y 2＝2x 为所求抛物线的方程．(2)证明：设l AB 的方程为：x ＝ty ＋12，代入y 2＝2x 得：x 2－(1＋2t 2)x ＋14＝0，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝1＋2t 22.∴点M 到准线l 的距离d ＝x 0＋12＝1＋2t 22＋12＝1＋t 2，又AB ＝x 1＋x 2＋p ＝1＋2t 2＋1＝2＋2t 2，∴d ＝12AB ，故以AB为直径的圆与准线l 相切．20．(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．解析：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.因为x 1>0，x 2>0,2p >0，所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B 关于x轴对称．由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .所以|AB |＝2y 1＝43p .21．(13分)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解析：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1， ①∴x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk. 又|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.点P⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 22．(13分)已知椭圆E 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其右焦点为F 2(1,0)，上．(1)求椭圆E 的方程；(2)过椭圆E 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆E 交于(不同于点A 的)两点M ，N .问：直线MN 是否一定经过x 轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解析：(1)∵椭圆E 的右焦点为F 2(1,0)，∴c ＝1，左焦点为F 1(－1,0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上． ∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4. ∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 3. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A 点坐标为(－2,0)，设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋3x 2＋4y 2＝12⇒(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2－83k 2＋4，－12k 3k 2＋4. 若6－8k 23＋4k 2＝6k 2－83k 2＋4，则得k 2＝1，即直线MN 的方程为x ＝－27，此时过x 轴上一点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.当k 2≠1时，假设直线MN 过x 轴上一定点Q ′(m,0)，则Q ′M →∥NQ ′→，又Q ′M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k2－m ，12k 3＋4k 2，NQ ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6k 2－83k 2＋4，12k 3k 2＋4，则由Q ′M →∥NQ ′→，解得m ＝－27.∴直线MN 过x 轴上一定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.3.1

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.【答案】 A2．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3)【解析】由题意知，轨迹应为以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．【答案】 D3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y24＝1【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C5．若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线【解析】原方程化为标准方程为x 2k 2－11－k ＋yk 2－1＝1，∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0， ∴此曲线表示焦点在y 轴上的双曲线．【答案】 C 二、填空题6．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________．【解析】由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或47．已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________. 【导学号：18490058】【解析】由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45 三、解答题9．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2，1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上．依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6. ①又点P (2，1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴4a 2－1b 2＝1.②由①②联立得a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1B.2C ．2D ．3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】不妨设P 是双曲线右支上一点，在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12，∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B. 【答案】 B3．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________．【解析】设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】－14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离；【导学号：18490059】(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x2 16－λ－y24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C的方程为x212－y28＝1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

人教A版数学选修21第2章圆锥曲线与方程质量评估检测

第二章质量评估检测A ．1B ．0C ．－2D ．－8116解析：设点P (x 0，y 0)，那么x 20－y 203＝1，由题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，那么PA 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20－x 0－2＋y 20，由双曲线方程得y 20＝3(x 20－1)，故PA 1→·PF 2→＝4x 20－x 0－5(x 0≥1)，可适当x 0＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2，应选C.答案：C6．已知F 是抛物线y ＝14x 2的核心，P 是该抛物线上的动点，那么线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，那么y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x02y ＝y 0＋12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，应选A.答案：A7．抛物线y 2＝4x 的核心到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )C ．1 解析：由已知解出抛物线的核心坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的核心坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，那么核心到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，那么b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，又OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－2b ＝0，解得b ＝0(舍)或b ＝2. 答案：A9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个核心在抛物线y 2＝24x 的准线上，那么双曲线的方程为( )17．(本小题总分值10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共核心，而且离心率为52的双曲线方程．解析：由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴核心是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的核心也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.18．(本小题总分值12分)已知动圆C 过定点F (0,1)，且与直线l ：y ＝－1相切，圆心C 的轨迹为E .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，那么|PQ |的最大值为多少？解析：(1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，∴点C 的轨迹是以F 为核心，l 1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，那么直线方程为y －2＝t 2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题总分值12分)已知双曲线的核心在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右核心，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如下图，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．易患椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，因此直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题总分值12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆与x 轴交于两点A (a,0)，B (－a,0)，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右核心时，求线段CD 的长；(2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．解析：(1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，c ＝3，因此椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右核心为(3，0)，现在直线l 的方程为y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝837，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17，因此D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17.故|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫837－02＋⎝⎛⎭⎪⎫－17－12＝167.。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第二章圆锥曲线与方程章末总结

章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y 22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结重点解读例1 解如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)． ∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a. 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.①又S △PF 1F 2＝123，∴12|PF 1||PF 2|sin 60°＝123，即|PF 1||PF 2|＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1. 例2 (1)解过点P(2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k(x －2)．把y ＝k(x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0，由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2， ∵M 、N 两点在抛物线上，∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16，而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.例3 解设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－x k，进而可求A ⎝⎛⎭⎫4p k 2，4p k 、 B(4pk 2，－4pk)．于是直线AB的斜率为k AB＝k 1－k2，从而k OM＝k2－1k，∴直线OM的方程为y＝k2－1k x，①直线AB的方程为y＋4pk＝－kk2－1(x－4pk2)．②将①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③又k2x－ky＝x，代入③式并化简，得(x－2p)2＋y2＝4p2.当k＝±1时，易求得直线AB的方程为x＝4p.故此时点M的坐标为(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)上．∴点M的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆，去掉坐标原点．例4证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋m，x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，则⎩⎨⎧Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1x2＝4(m2－3)3＋4k2.即⎩⎨⎧3＋4k2－m2>0，x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1x2＝4(m2－3)3＋4k2.又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3(m2－4k2)3＋4k2.∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.∴3(m2－4k2)3＋4k2＋4(m2－3)3＋4k2＋16mk3＋4k2＋4＝0.∴7m2＋16km＋4k2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k(x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0， ∴直线l 过定点．例5 解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA ′|＝10.如图所示，则|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA ′|＋|MB|－|MA ′|＝10＋|MB|－|MA ′|≤10＋|A ′B|.当点M 在BA ′的延长线上时取等号．所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|＋|MB|)max ＝10＋|A ′B|＝10＋210.又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA ′|－|MA ′|＋|MB|＝10－(|MA ′|－|MB|)≥10－|A ′B|，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|＋|MB|)min ＝10－|A ′B|＝10－210. 例6 解由题意，|F 1F 2|＝2.设直线AB 方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x A ＋x B ＝－2k k 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2， ∴|x A －x B |＝8(k 2＋1)k 2＋2. S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|x A －x B |＝22×k 2＋1k 2＋2＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2. 当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时， S △ABF 2有最大面积为 2.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

2017年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末小结与测评课件新人教A版选修2_1

x 2 y2 [典例 3] 已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为 F1，F2， a b π 若椭圆上存在一点 P，使得∠F1PF2＝，求椭圆离心率 e 的 3 范围． π 解：△F1PF2 中，∠F1PF2＝，由椭圆定义及余弦定理，得 3
π |F1F2| ＝|PF1| ＋|PF2| －2|PF1||PF2|·cos ＝(|PF1|＋|PF2|)2－ 3
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义”是一种重要的解题策略，如： (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决． (2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用，要注意灵活运用．
p p p ∴2x2＋2＝x1＋＋x3＋ ⇒2x2＝x1＋x3， 2 2
∴选 A.
x 2 y2 2．若点 M(2，1)，点 C 是椭圆＋＝1 的右焦点，点 A 是椭圆上 16 7 的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．
解析：设点 B 为椭圆的左焦点，则 B(－3，0)，点 M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋ |AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋ |AC|≥2a－|BM|，而 a＝4， |BM|＝（2＋3）2＋1＝ 26，所以(|AM|＋ |AC|)min＝8－ 26. 答案：8－ 26
x 2 y2 解析：(1)设椭圆方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a b 因为 AB 过 F1 且 A，B 在椭圆上，如图，
则△ABF2 的周长为|AB|＋ |AF2|＋ |BF2|＝ |AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋ |BF2|＝4a＝16，∴a＝4. 2 c 又离心率 e＝＝，∴c＝2 2，∴b2＝a2－c2＝8， a 2 x 2 y2 ∴椭圆 C 的方程为＋＝1. 16 8 (2)由已知，得 a2＝16，b2＝9，c2＝25，所以 a＝4，c＝5. 由于点 M 在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|，则 M 在右支上，根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|＝2a＝8，

2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程能力检测含解析新人教A版选修2_1

第二章能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分) 1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝－2 C ．y ＝2 D ．y ＝－2【答案】B【解析】抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－42＝－2.故选B ．2.(2020年山东潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( ) A.2 B.1 C.2 3 D. 3 【答案】A【解析】由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3.又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.3．若抛物线y 2＝2px的焦点与双曲线x 22－y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】D【解析】双曲线x 22－y 22＝1的右焦点为(2,0)，即抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，∴p2＝2，p＝4.故选D ．4．(2019年山东济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与点F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B【解析】由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |>|OF |.∴点P 的轨迹是以点O ，F 为焦点的椭圆．5.(2020年辽宁沈阳模拟)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是( )A.x －2y ＋1＝0B.x －2y －1＝0C.2x －y ＋1＝0D.2x －y －1＝0 【答案】D【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2.又点A ，B 在抛物线y 2＝4x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，即直线AB的斜率k ＝2.所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.6.(2020年河南郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 29＋y 25＝1B.x 29＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D.x 23＋y 22＝1 【答案】A【解析】由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，故△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2.所以b 2＝a 2－c 2＝5.所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.故选A.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为θ，则此角的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤π6，π2B ．⎣⎡⎦⎤π3，π2 C ．⎣⎡⎦⎤π2，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤2π3，5π6【答案】C【解析】ba ＝e 2－1∈[]1，3，∴θ2∈⎣⎡⎦⎤π4，π3.∴θ∈⎣⎡⎦⎤π2，2π3. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】C【解析】设双曲线的离心率为e 1，椭圆的离心率为e 2，则e 21＝a 2＋b 2a 2，e 22＝m 2－b 2m 2，由已知得e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2·m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2. 9．(2019年云南昆明模拟)已知F 1，F 2是双曲线M ：y 24－x 2m 2＝1的焦点，y ＝255x 是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M的一个公共点，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．10B ．12C ．14D ．16 【答案】B【解析】由题意易得双曲线的方程为y 24－x 25＝1，椭圆的方程为x 27＋y 216＝1，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝2⇒|PF 1|·|PF 2|＝12.10．(2019年江西南昌模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则△MFN 的面积等于( )A ．83B ．163C ．833D ．1633【答案】C【解析】设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.直线方程是y ＝3(x －1)，与抛物线方程联立，化简得3y 2－4y －43＝0，y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833.故选C ． 11.(多选题)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的是( )A.y ＝2x －3B.y ＝2x ＋1C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x ＋3 【答案】ACD【解析】直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故选项A ，C ，D 的直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.12.(多选题)已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值可以为( )A. 3B.－ 3C.413 D.－413【答案】ABCD【解析】由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2.将y ＝kx ＋1代入x 2－y 24＝1，得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5＞0，解得k 2＜5.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k4－k 2，x 1x 2＝－54－k2，所以|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82，解得k ＝±3或±413. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．(2019年广西贵港期末)若以F 1(－3，0)，F 2(3，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________________．【答案】x 22－y 2＝1【解析】设双曲线方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3.解得a 2＝2，b 2＝1.∴该双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.14．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为________________．【答案】y 2＝8x【解析】由抛物线定义知点P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点的抛物线，p ＝4，∴其方程为y 2＝8x .15.(2020年广东广州模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 .【答案】－22【解析】∵双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x .∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1,22).∴直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.16.如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，则|BC |与|AD |的比值为；(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，则两椭圆离心率e 的取值范围为 . 【答案】(1)34 (2)⎝⎛⎭⎫22，1【解析】(1)∵C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1(a >b >0)，直线l ：x ＝t (|t |<a ).分别和C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎫t ，a ba 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎫t ，baa 2－t 2.当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC ||AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时的l 不符合题意.t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b aa 2－t 2t＝a b a 2－t 2t －a，解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a .∵|t |<a ，又0<e <1，∴1－e 2e 2<1，解得22<e <1.∴当22<e <1时，存在直线l ，使得BO ∥AN ，即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，求动点C 的轨迹方程．解：∵AB ＝32＋42＝5，∴AB 边上高h ＝205＝4.故点C 的轨迹是与直线AB 之间距离等于4的两条平行线．∵k AB ＝43，∴AB 的方程为4x －3y ＋4＝0.∴可设轨迹方程为4x －3y ＋c ＝0.由|c －4|5＝4得c ＝24或c ＝－16. 故动点C 的轨迹方程为4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.18．(12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x －1截得的弦长为15，求抛物线方程．解：设直线与抛物线的两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2y 2)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝ax .消去y ，得4x 2－(4＋a )x ＋1＝0. ∴x 1x 2＝14，x 1＋x 2＝4＋a 4.则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·⎝⎛⎭⎫1＋a42－1＝15. 解得a ＝－12或a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－12x 或y 2＝4x .19．(12分)双曲线C 过点(2，5)且与双曲线x 24－y 2＝1有相同的渐近线．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求直线y ＝x ＋1被双曲线C 截得的弦长．解：(1)由公共渐近线可设C 的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线C 过点(2，5)， ∴λ＝224－(5)2＝－4.∴双曲线C 的方程为x 24－y 2＝－4，即y 24－x 216＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 24－x 216＝1，消去y ，可得3x 2＋8x －12＝0.则Δ>0.设直线与双曲线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－83，x 1x 2＝－4.∴所求弦长为1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4326.20．(12分)若抛物线y ＝－x 2－2x ＋m 和直线y ＝2x 相交于不同的两点A ，B ． (1)求实数m 的取值范围； (2)求|AB |；(3)求线段AB 的中点坐标．解：联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x 2－2x ＋m ，消去y 得x 2＋4x －m ＝0.(1)∵直线与抛物线有两个相异交点， ∴Δ>0，即42－4(－m )>0.∴m >－4.(2)当m >－4时，方程x 2＋4x －m ＝0有两个相异实根，设为x 1，x 2，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝－m . ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25m ＋20.(3)设线段AB 的中点坐标为(x ，y )，则 x ＝x 1＋x 22＝－42＝－2，y ＝y 1＋y 22＝2x 1＋2x 22＝－4.∴线段AB 的中点坐标为(－2，－4)．21．(12分)(2019年山东烟台模拟)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵c ＝1，c a ＝12，∴a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1，化简，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AM →＝2MB →，得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k2，－2x 22＝－83＋4k 2.消去x 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2.解得k ＝±12. ∴直线l 的方程为y ＝±12x ＋1.22.(12分)(2020年河南郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P (2,1)在直线l 的左上方.若∠APB＝90°，且直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求线段MN 的长度.解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2ab ＝8，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设直线l ：y ＝12x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.由Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＞0，得－2＜m ＜2. 所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 因为k P A ＝y 1－1x 1－2，k PB ＝y 2－1x 2－2，所以k P A ＋k PB ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝(y 1－1)(x 2－2)＋(y 2－1)(x 1－2)(x 1－2)(x 2－2)，上式中，分子＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋m －1(x 2－2)＋12x 2＋m －1(x 1－2)＝x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)－4(m －1)＝2m 2－4＋(m －2)(－2m )－4(m －1)＝0，所以k P A ＋k PB ＝0.因为∠APB ＝90°，所以k P A ·k PB ＝－1，则k P A ＝1，k PB ＝－1. 所以△PMN 是等腰直角三角形，所以|MN |＝2x P ＝4.。

高中数学人教a版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.2.2第2课时含答案

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题1．已知椭圆x 23＋y 24＝1上的焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝( )A ．23B ．4 3C ．4D ．8【解析】由题可得a ＝2.如图，设F 1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF 1，BF 1，CF ，FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1为平行四边形，∴|AF 1|＝|FD|，同理可得|BF 1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＝8，故选D.【答案】 D2．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(1，3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(－3，0)D ．(1，3)【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋m)x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m<0或m>1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m>0且m ≠3.综上可知，m>1且m ≠3，故选B. 【答案】 B3．若点P(a ，1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233，233B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－233C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－43【解析】因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123＞1，解得a ＞233或a ＜－233，故选B.【答案】 B4．椭圆mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0且m ≠n)与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn的值是( )A.22B.233C.922D.2327【解析】联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1，得(m ＋n)x 2－2nx ＋n －1＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，MN 的中点P(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝nm ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－nm ＋n ＝mm ＋n .∴k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.故选A.【答案】 A5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF交椭圆C 于点B ，若FA→＝3FB →，则|AF →|＝( )A. 2 B ．2 C.3D ．3【解析】设点A(2，n)，B(x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F(1，0)．由FA →＝3FB →，得(1，n)＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13n.将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1， ∴|AF→|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝2.【答案】 A 二、填空题6．若直线x －y －m ＝0与椭圆x 29＋y 2＝1有且仅有一个公共点，则m ＝________. 【18490053】【解析】将直线方程代入椭圆方程，消去x ，得到10y 2＋2my ＋m 2－9＝0，令Δ＝0，解得m ＝±10. 【答案】 ±107．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A|＋|F 1B|的值为________．【解析】设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1＜x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0. ∴A(0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，13.∴|AB|＝423，∴|F 1A|＋|F 1B|＝4a －|AB|＝42－423＝823.。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y【解析】由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.【答案】 B2．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x【解析】因为双曲线x216－y29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.【答案】 A3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A. 2B. 3C ．2D ．2 3【解析】抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C.【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上， ∴准线方程为y ＝－18. 【答案】 y ＝－18 三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上， ∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】法一设点P 的坐标为(x ，y )，则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1. 两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0），即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2D.322＋1【解析】将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A. 【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2【解析】根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cosθ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C.【答案】 C3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2-4-1【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m. 【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】(1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ，得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23，因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89，于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量测评课件新人教A版选修2-1.ppt

消元得 y2－8ky＋24k＋16＝0①，
所以 Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，即 2k2－3k－2＝0，解得 k＝2 或 k＝－12(舍
去)．将 k＝2 代入①，解得 y＝8，所以 x＝8，所以 B(8,8)．又 F(2,0)，所以
kBF＝88－－02＝43.
解析18
10．设过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，若以 AB 为直径的圆过点 P(－1,2)，且与 x 轴交于 M(m，0)，N(n,0)两点，则 mn＝( )
则 c＝
a2＋b2＝
334a，则 e＝ac＝
34 3.
解析27
第Ⅱ卷 (非选择题，共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若抛物线 y2＝4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是________．
答案 9
解析由于抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线为 x＝－1，设点 M 的坐标为(x，y)，则 x＋1＝10，所以 x＝9.故 M 到 y 轴的距离是 9.
答案 B
答案9
解析由题意知在椭圆 C1 中，ac＝175，2a＝30， ∴a＝15，c＝7，曲线 C2 是双曲线，2a1＝10，c＝7， ∴b2＝c2－a21＝72－52＝24， ∴双曲线 C2 的标准方程为2x52 －2y42 ＝1.
解析10
6．设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，曲线 y＝kx(k>0)与 C 交于点 P，PF
第二章单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.1.1、2.1.2 Word版含答案.doc

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4，0)和(－1，0) B ．(4，0)和(－2，0) C ．(4，0)和(1，0)D ．(4，0)和(2，0)【解析】在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1，2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C. 【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分 7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN→|，则点N 的轨迹方程是________. 【导学号：18490037】【解析】由于|PM→|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2-1-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2-1-1【解】以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2，0)，O2(2，0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC 内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】注意到|AB |＝5，则满足到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)【解析】设P(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P(x，y)，依题意|P A|＝2|PB|，∴（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【导学号：18490038】【解】法一设点M的坐标为(x，y)，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x ，0)，B 点的坐标为(0，2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2，4)， ∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1，而k P A ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x·2－y 1＝－1(x ≠1)，整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝（x －2）2＋（y －4）2， |AB |＝（2x ）2＋（2y ）2，∴2（x －2）2＋（y －4）2＝4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。

第二章_圆锥曲线与方程_章末质量评估(人教A版选修2-1)

高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2

高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案

2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程测评含解析新人教A版选修2_1

第二章圆锥曲线与方程 章末归纳总结 课件(人教A版选修2-1)

高中数学人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程(B)

高中数学人教A版选修2-1第二章 圆锥曲线.docx

2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章 圆锥曲线与方程 单元质量评估(二)

2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章 圆锥曲线与方程 单元质量评估(一)

高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2