2012年全国高考理科数学试题及答案北京卷word

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2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

与曲线 c 交于不同的两点 M、N，直线 y=1 与直线 BM 交于点 G．求证：A， G，N 三点共线．
第 5页（共 27页）
20．（13 分）设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于 A∈S（m，n），记 ri（A）为 A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为 A 的第 j 列各数之和（1≤j≤n）；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…， |Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表 A，求 K（A）的值；
1
1
﹣0.8
0.1
﹣0.3
﹣1
（2）设数表 A∈S（2，3）形如
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE；（2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；（3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的
结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（）
A．5
B．7
C．9
第 2页（共 27页）
D．11
二.填空题共 6 小题．每小题 5 分．共 30 分.
点 E．则（）
A．CE•CB=AD•DB

2012年高考全国卷理科数学试题(含答案)(word)

2012年高考全国卷理科数学（含答案）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝}，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0或3 C 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2 B（5）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β，则cos2α=(A) -3 （B ）-993（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。

2012年高考理科数学北京卷(含详细答案)

A B=1,0}1,0,1}xy e=关于y轴对称，则()f x=()B.1x e-D.1xe--( )B.y=D.y=l与C所围成的图形的面积等于( )C.83D.表示的平面区域内存在点00(,)P x y，满足( )B.1(,)3-∞D.5(,)3-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin2ρθ=的距离等于___________.10.若等比数列{}na满足2420a a+=，3540a a+=，则公比q=____；前n项和nS=____.11.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若3PA=，:PD9:16DB=，则PD=___________；AB=___________.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λμ=________.14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为BC的中点，点P在线段1D E上.点P到直线1CC的距离的最小值为___________.4的正方形，平面ABC ⊥平面，并求1BDBC 的值.. 19.（本小题满分14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.20.（本小题满分13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-.（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意*n N ∈，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3,n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{|3B x x =>或}1x <-，易得{}|3AB x x =>．【提示】求出集合B ，然后直接求解A B ．【考点】集合间的基本运算． 2.【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D ．【提示】本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【考点】不等式组，平面区域与几何概率． 3.【答案】B【解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B ．【提示】利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件．【考点】复数的概念，充分、必要条件． 4.【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==，循环结束，输出的s 为8，故选C ．【提示】列出循环过程中s 与k 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【考点】循环结构的程序框图． 5.【答案】A【解析】由切割线定理可知2CE CB CD =，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB =，所以CE CB AD DB =．数学试卷第10页（共36页）【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．【考点】几何证明选讲． 6.【答案】B【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B ．【提示】选择数字进行排列，判断奇偶性即可．【考点】排列组合． 7.【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65S S S S ====后右底左，因此该几何体表面积3065S =+，故选B ．【提示】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【考点】由三视图求几何体的表面积． 8.【答案】C【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C ．【提示】由已知中图像表示某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系，结合图像可得答案．【考点】函数图像的应用．第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2【解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，圆心(0,0)到直线1x y +=的距离132d =<，所以有两个交点．【提示】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．【考点】直线和圆的位置关系． 10.【答案】1 【解析】23S a =，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=．【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得12d =，由此能求出2a ．【考点】等差数列的通项． 11.【答案】4【解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4．【提示】根据27a b c =+=，，1cos 4B =-，利用余弦定理可得，即可求得b 的值【考点】余弦定理的运用． 12.【答案】3【解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan603k ==，利用点斜式，直线的方程为33y x =-，将直线和曲线方程联立233123(3,23),,334y x A B y x⎧⎛⎫=-⎪⇒- ⎪⎨ ⎪=⎪⎝⎭⎩，因此11123322OAF A S OF y =⨯⨯=⨯⨯=△．【提示】确定直线l 的方程，代入抛物线方程，确定A 的坐标，从而可求OAF △的面积．．【考点】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系． 13.【答案】1【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为1．【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可．【考点】平面向量在平面几何中的运用． 14.【答案】(4,2)--【解析】对于①∵()22xg x =-，当1x <时，()0g x <，又∵①()0x R f x ∀∈<，或()0g x <∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左边，则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，∴40m -<<，即①成立的范围为40m -<<，数学试卷第16页（共36页）又∵②(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <， ∴此时()220x g x =-<恒成立∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比12x x ，中的较小的根大即可，（i ）当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立，（ii ）当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，（iii ）当41m -<<-时，较小的根为224m m <，-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-．【提示】①由于()220x g x =->时，1x ≥，根据题意有()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x >时成立，根据二次函数的性质可求．②由于(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <，而()220xg x =-<，则()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈∞--时成立，结合二次函数的性质可求【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．三、解答题15.【答案】（Ⅰ）{|π,}x x k k ≠∈Z π（Ⅱ）ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z 和3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z 【解析】（Ⅰ）(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x =-sin 21cos 2x x =--π2sin 214x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，{|π}x x k k ≠∈Z ,原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（Ⅱ）由πππ2π22π+,242k x k k -≤-≤∈Z ．解得π3πππ,,88k x k k -≤≤+∈Z 又{|π,}x x k k ≠∈Z ，原函数的单调递增区间为ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z ，3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z ．【提示】（Ⅰ）直接求出函数的定义域和最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【考点】三角函数的定义域，周期，单调性． 16.【答案】（Ⅰ）证明CD DE ⊥，1A D DE ⊥，又1CDA D D =，∴DE ⊥平面1A CD ，又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥DE ，又1AC CD ⊥，CD DE D =∴1AC ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则(2,0,0)D -，1(00,23)A ,，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，(0,0,0)C ， ∴1(0,3,23)A B =-，1(2,2,23)A E =--，设平面1A BE 法向量为(,,)n x y z =，则1100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴323022230y z x y z ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵(1,0,3)M -∴(1,0,3)CM =-∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ+====+++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45数学试卷第22页（共36页）（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈则1(0,,23)A P a =-，(2,,0)DP a =设平面1A DP 法向量为1111(,,)n x y z =，则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴1111(,,)(3,6,3)n x y z a a ==-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =， ∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a ≤≤，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直．【提示】（Ⅰ）证明1A C ⊥平面BCDE ，因为1A C CD ⊥，只需证明1AC DE ⊥，即证明DE ⊥平面1A CD ．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 法向量(1,2,3)n =-，(1,0,3)CM =-，利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈，求出平面1A DP 法向量为1(3,6,3)n a a =-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =，可求得03a ≤≤，从而可得结论．．【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．17.【答案】（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨，故生活垃圾投放错误的概率为：40026003= （Ⅱ）由题意可知，生活垃圾投放错误有200602020300+++=, 故生活垃圾投放错误的概率：20060403100010++=（Ⅲ）由题意可知：600a b c ++=，,,a b c 的平均数为200，222222211[(200)(200)(200)](120000)33S a b c a b c =-+-+-=++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．【提示】（Ⅰ）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率．（Ⅱ）生活垃圾投放错误有2006040300++=，故可求生活垃圾投放错误的概率．（Ⅲ）计算方差可得22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000S =．【考点】概率，方差18.【答案】（Ⅰ）33a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）由(1,)c 为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（Ⅱ）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a -≤-，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126aa -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a -≥-时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(02]a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当(2,)a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【提示】（Ⅰ）根据曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a b ，的值．（Ⅱ）根据24a b =，构建函数3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++，求导函数，利用导数的正负，可确数学试卷第28页（共36页）定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间(,1)-∞-上的最大值．【考点】利用导数求函数单调区间及最值．19.【答案】（Ⅰ）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--，由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（Ⅱ）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >．由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x 则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证．【提示】（Ⅰ）原曲线方程，化为标准方程，利用C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围．（Ⅱ）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得232k >设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x ，则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，从而可得316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．11 / 1220.【答案】（Ⅰ）0.7（Ⅱ）1（Ⅲ）212t t ++ 【解析】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-∴()0.7k A =（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤：若()1k A >，则1|()||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-，∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1．（Ⅲ）()k A 的最大值为212t t ++．首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1,...2t t t t t a a a a a a t +++-========-+，22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+．经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2t r A r A t +==+，2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++．下面证明212t t ++是最大值．若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+．由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中．由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -．设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则1g t h t ≤≥+，．另外，由对称数学试卷第34页（共36页）数学试卷第35页（共36页）数学试卷第36页（共36页）性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）．因此11|()|()1(1)(1)21(1)[21(2)]r A r A t t x t t x x t t x x =≤++-=+-+=++-+<，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此()k A 的最大值为212t t ++ 【提示】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，其中的最小值，即可求出所求．（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤，然后证明()1k A =存在即可．（Ⅲ）首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+，然后证明212t t ++是最大值即可．【考点】合情推理．。

2012年全国高考理科数学试题和答案-全国卷word版

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=cos2α=（A ）（B ）- （C （D （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。

2012年北京高考数学试题与答案(理科)已校对

数学（理）（北京卷）第 1 页（共 5 页）2012年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理) (北京卷)本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =I（2）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（3）设a ，b ∈R ．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）(,1)-∞-（B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16S=S ∙2kk=k+1k=0, S=1k <3是否输出S结束开始数学（理）（北京卷）第 2 页（共 5 页）（5）如图，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与交BC 于点E ．则（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为第二部分（非选择题共110分）（A ）CE CB AD DB ⋅=⋅ （B ）CE CB AD AB ⋅=⋅ （C ）2AD AB CD ⋅= （D ）2CE EB CD ⋅=（A ）24 （B ）18（C ）12（D ）6（A ）2865+（B ）3065+（C ）56125+（D ）60125+（A ）5（B ）7 （C ）9 （D ）11俯视图侧（左）视图正（主）视图4324S nn4321567891011OADBEC数学（理）（北京卷）第 3 页（共 5 页）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数)与曲线3cos (3sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数)的交点个数为．（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ．（11）在ABC ∆中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = ．（12）在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B两点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则OAF ∆的面积为．（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅uuu r uu r的值为．（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <．则m 的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．数学（理）（北京卷）第 4 页（共 5 页）（16）（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE //BC ，2DE =，将A D E ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A C CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾20 20 60（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，a b c ++=600．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值．（注：222121[()()s x x x x n=-+-+…2()]n x x +-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）图1图2ADECB A 1MDECB数学（理）（北京卷）第 5 页（共 5 页）（18）（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-- ∞上的最大值．（19）（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8m x m y -+-=()m ∈R ．（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ．求证：,,A G N 三点共线．（20）（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所数学（理）（北京卷）第 6 页（共 5 页）有数的和为零．记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤)m ，()j c A 为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤)n ．记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值．（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；1 1 0.8- 0.10.3- 1-（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如1 1 C ab 1-求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ，对于所有的(2,21)A S t ∈+，求()k A 的最大值．2012高考北京数学真题答案及简析一、选择题数学（理）（北京卷）第 7 页（共 5 页）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C A B B C二、填空题题号 9 10 11 12 13 14答案21；24n n +431；1()42--，三、解答题 15．解：(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x x f x x x x x x--===-{}πsin 21cos 22sin 21|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z16．解：（1） CD DE ⊥，1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD ，又 1A C ⊂平面1A CD ， ∴1A C ⊥DE又1A C CD ⊥，∴1A C ⊥平面BCDE（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，()0023A ，，，()030B ，，，()220E -，，∴()10323A B =-，，,()1210A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴()123n =- ，，又∵()103M -，， ∴()103CM =- ，，∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则()1023A P a =-，，，()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，zy xA 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M数学（理）（北京卷）第 8 页（共 5 页）则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1363n a a =-，，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直17．（1）由题意可知：4002=6003 （2）由题意可知：200+60+403=100010（3）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =． 18．解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．数学（理）（北京卷）第 9 页（共 5 页）19．（1）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ， MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ ，，()2N N AN x x k =+，，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。

2012年理数高考试题答案及解析-北京

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D3．设a ，b ∈R 。

“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此想必要条件，故选B 。

【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

2012年北京高考数学真题及答案(理科)

绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{A x=∈R|320}x+>，{B x=∈R|(1)(3)0}x x+->，则A B=I（A）(,1)-∞-（B）2(1,)3--（C）2(,3)3-（D）(3,)+∞（2）设不等式组2,2xy⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）π4（B）π22-（C）π6（D）4π4-（3）设,a b∈R．“0a=”是“复数ia b+是纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）2（B）4（C）8（D）16数学（理）（北京卷）第1 页（共11 页）（5）如图，90ACB∠=︒，CD AB⊥于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（A）CE CB AD DB⋅=⋅（B）CE CB AD AB⋅=⋅（C）2AD AB CD⋅=（D）2CE EB CD⋅=（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A）24（B）18（C）12（D）6（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（8）某棵果树前n年的总产量nS与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11BA DCE正（主）视图侧（左）视图俯视图42 3 4数学（理）（北京卷）第2 页（共11 页）数学（理）（北京卷）第 3 页（共 11 页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2012年高考理数真题试卷(北京卷)及解析

第1页，总14页…………装…………○…校:___________姓名：___________班级：…………装…………○…2012年高考理数真题试卷（北京卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题0}，B={x∈R|（x+1）（x ﹣3）＞0}，则A∩B=（） A.（﹣∞，﹣1） B.（﹣1， −23 ）C.﹙ −23，3﹚D.（3，+∞）2.设a ，b∈R．“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ．则（）A.CE•CB=AD•DBB.CE•CB=AD•ABC.AD•AB=CD 2D.CE•EB=CD 24.从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（） A.24 B.18 C.12 D.6答案第2页，总14页订…………○…………线…………○内※※答※※题※※订…………○…………线…………○5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A.28+6 √5B.30+6 √5C.56+12 √5D.60+12 √5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）6.直线 {x =2+t y =−1−t （t 为参数）与曲线 {x =3cosαy =3sinα（α为参数）的交点个数为 7.已知﹛a n ﹜是等差数列，s n 为其前n 项和．若a 1= 12 ，s 2=a3 ，则a 2= ． 8.在△ABC 中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣ 14 ，则b= ．9.在直角坐标系xOy 中．直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ．且与该抛物线相交于A 、B 两点．其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°．则△OAF 的面积为．10.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则 DE →⋅CB →的值为．三、解答题（题型注释）11.已知函数f （x ）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f （x ）的定义域及最小正周期；（2）求f （x ）的单调递增区间． 12.如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．第3页，总14页…○…………线…………○…____…○…………线…………○…（1）求证：A 1C⊥平面BCDE ；（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．13.近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a+b+c=600．当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明），并求此时s 2的值．（求：S2= 1n[ (x 1−x ¯)2 + (x 2−x ¯)2 +…+ (x n −x ¯)2]，其中 x ¯为数据x 1 ， x 2 ， …，x n 的平均数）14.已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；（2）当a 2=4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．15.已知曲线C ：（5﹣m ）x 2+（m ﹣2）y 2=8（m∈R）（1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N ，直线y=1与直线BM 交于点G ．求证：A ，G ，N 三点共线．16.设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s （m ，n ）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m ，n ），记r i （A ）为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j （A ）为A 的第j 列各数之和（1≤j≤n）；记K （A ）为|r 1（A ）|，|R 2（A ）|，…，|Rm （A ）|，|C 1（A ）|，|C 2（A ）|，…，|Cn （A ）|中的最小值．答案第4页，总14页（3）给定正整数t ，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K （A ）的最大值．第5页，总14页装…………○………订…………○…………线……_姓名：___________班级：_______考号：___________装…………○………订…………○…………线……参数答案1.D【解析】1.解：因为B={x∈R|（x+1）（x ﹣3）＞0﹜={x|x ＜﹣1或x ＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x >−23 }，所以A∩B={x|x >−23}∩{x|x＜﹣1或x ＞3}={x|x ＞3}，故选：D ．【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的交集运算的相关知识，掌握交集的性质：（1）A∩B A ，A∩BB ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB ，反之也成立，以及对解一元二次不等式的理解，了解求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边． 2.B【解析】2.解：因为a ，b∈R．“a=O”时“复数a+bi 不一定是纯虚数”． “复数a+bi 是纯虚数”则“a=0”一定成立．所以a ，b∈R．“a=O”是“复数a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件．故选B ．【考点精析】关于本题考查的复数的定义，需要了解形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部才能得出正确答案． 3.A【解析】3.解：连接DE ，∵以BD 为直径的圆与BC 交于点E ， ∴DE⊥BE，∵∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ， ∴△ACD∽△CBD， ∴ CDBD =ADCD ， ∴CD 2=AD•BD． ∵CD 2=CE•CB， ∴CE•CB=AD•BD，答案第6页，总14页…○…………外…………○…………装…………○…线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※…○…………内…………○…………装…………○…线…………○故选A ．4.B【解析】4.解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有 A 32=6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有A 32 =6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有 A 32=6种；故共有3 A 32=18种故选B ． 5.B【解析】5.解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S 底= 12×4×5 =10， S 后= 12×5×4=10 ， S 右= 12×4×5 =10，S 左= 12×2√5×√(√41)2−(√5)2=6 √5 ．几何体的表面积为：S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6 √5 ．故选：B ．第7页，总14页…………○…………装…………○………订…………○…………线……学校:___________姓名：___________班级：________考号：___________…………○…………装…………○………订…………○…………线……【考点精析】认真审题，首先需要了解由三视图求面积、体积(求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积)． 6.2【解析】6.解：直线 {x =2+ty =−1−t（t 为参数）化为普通方程为x+y ﹣1=0曲线 {x =3cosαy =3sinα（α为参数）化为普通方程为x 2+y 2=9∵圆心（0，0）到直线x+y ﹣1=0的距离为d= √2＜3 ∴直线与圆有两个交点所以答案是：2【考点精析】解答此题的关键在于理解直线的参数方程的相关知识，掌握经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数），以及对圆的参数方程的理解，了解圆的参数方程可表示为．7.1【解析】7.解：∵﹛a n ﹜是等差数列，a 1= 12 ，S 2=a3 ， ∴ 12 + 12 +d= 12 +2d ，解得d= 12 ， a 2= 12 + 12 =1．所以答案是：1．【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差数列的通项公式（及其变式）和等差数列的前n 项和公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：或；前n 项和公式：．8.4【解析】8.解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣ 14 ， ∴ b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14) ∴b=4所以答案是：4答案第8页，总14页○…………装…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订○…………装…………○…9.√3【解析】9.解：抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为（1，0） ∵直线l 过F ，倾斜角为60°∴直线l 的方程为： y =√3(x −1) ，即 y =√33y +1代入抛物线方程，化简可得 y 2−4√33y −4=0∴y=2 √3 ，或y=﹣ 23√3 ∵A 在x 轴上方∴△OAF 的面积为 12×1×2√3 = √3 所以答案是： √3【考点精析】利用直线的倾斜角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α=0°． 10.1【解析】10.解：因为 DE →⋅CB →= DE →⋅DA →= |DE →|⋅|DA →|cos <DE →⋅DA →> =DA →2=1．所以答案是：111.（1）解： f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx=(sinx−cosx)sinxcosxsinx=2(sinx −cosx)cosx=sin2x ﹣1﹣cos2x= √2 sin （2x ﹣ π4 ）﹣1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z} 原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π（2）解：由 2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得 kπ−π8≤x ≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，第9页，总14页…外…………○…学校:…内…………○…原函数的单调递增区间为 [kπ−π8,kπ) ，k∈Z， (kπ,kπ+3π8] ，k∈Z【解析】11.通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可． 12.（1）证明：∵CD⊥DE，A 1D⊥DE，CD∩A 1D=D ， ∴DE⊥平面A 1CD ，又∵A 1C ⊂平面A 1CD ，∴A 1C⊥DE 又A 1C⊥CD，CD∩DE=D ∴A 1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C （0，0，0），D （﹣2，0，0），A 1（0，0，2 √3 ），B （0，3，0），E （﹣2，2，0）∴ A 1B →=(0,3,−2√3) ， A 1E →=(−2,2,−2√3) 设平面A 1BE 法向量为 n →=(x,y,z)则 {A 1B →⋅n →=0A 1E →⋅n →=0∴ {3y −2√3z =0−2x +2y −2√3z =0 ∴ {z =√32y x =−y2∴ n →=(−1,2,√3)又∵M（﹣1，0， √3 ），∴ CM →=（﹣1，0， √3 ） ∴ cosθ=CM →⋅n→|CM →|⋅|n →|=√1+4+3⋅√1+3=2⋅2√2=√22∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小45°（3）解：设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a∈[0，3] ∴ A 1P →=(0,a,−2√3) ， DP →=(2,a,0)答案第10页，总14页○…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答○…………装…………○…………订…设平面A 1DP法向量为 n 1→=(x 1,y 1,z 1) 则 {ay 1−2√3z =02x 1+ay 1=0 ∴ {z 1=√36ay 1x 1=−12ay 1∴ n 1→=(−6,3a,√3a)假设平面A 1DP 与平面A 1BE垂直，则 n 1→⋅n →=0 ，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2 ∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直【解析】12.（1）证明A 1C⊥平面BCDE ，因为A 1C⊥CD，只需证明A 1C⊥DE，即证明DE⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A 1BE 法向量 n →=(−1,2,√3) ， CM →=（﹣1，0， √3 ），利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面A 1BE所成角的大小；（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a∈[0，3]，求出平面A 1DP法向量为 n 1→=(−6,3a,√3a)假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则 n 1→⋅n →=0 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论．【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)，还要掌握向量语言表述面面的垂直、平行关系(若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证;要证，只需证，即证)的相关知识才是答题的关键． 13.（1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为 400600=23（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为 3001000=310（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b ，c 的平均数为200∴ s 2=13[(a −200)2+(b −200)2+(c −200)2] = 13(a 2+b 2+c 2−120000) ， ∵（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2a c≥a 2+b 2+c 2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000【解析】13.（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 s 2=13[(a −200)2+(b −200)2+(c −200)2] = 13(a 2+b 2+c 2−120000) ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s 2=80000．【考点精析】解答此题的关键在于理解极差、方差与标准差的相关知识，掌握标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差． 14.（1）解：f （x ）=ax 2+1（a ＞0），则f'（x ）=2ax ，k 1=2a ，g （x ）=x 3+bx ，则g′（x ）=3x 2+b ，k 2=3+b ，由（1，c ）为公共切点，可得：2a=3+b ① 又f （1）=a+1，g （1）=1+b ， ∴a+1=1+b，即a=b ，代入①式可得： {a =3b =3（2）解：由题设a 2=4b ，设 ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+14a 2x +1则 ℎ′(x)=3x 2+2ax +14a 2 ，令h'（x ）=0，解得： x 1=a 2 ， x 2=−a6 ； ∵a＞0，∴ −a2＜−a6，∴原函数在（﹣∞，﹣ a2 ）单调递增，在 (−a 2,−a 6) 单调递减，在 (−a 6,+∞) ）上单调递增①若 −1≤−a2，即0＜a≤2时，最大值为 ℎ(−1)=a −a 24；②若 −a 2＜−1 ＜﹣ a6 ，即2＜a ＜6时，最大值为 ℎ(−a2)=1③若﹣1≥﹣ a 6 时，即a≥6时，最大值为h （﹣ a2 ）=1 综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为 ℎ(−1)=a −a 24；当a∈（2，+∞）时，最大值为 ℎ(−a2)=1答案第12页，总14页………○…………线…………○※※题※※………○…………线…………○【解析】14.（1）根据曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a 、b 的值；（2）根据a 2=4b ，构建函数 ℎ(x)=f(x)+g(x)=x 3+ax 2+14a 2x +1 ，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值． 15.（1）解：原曲线方程可化简得：x 285−m+y 28m−2=1由题意，曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得： {85−m＞8m−285−m＞08m−2＞0，解得： 72＜m ＜5（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k 2+1）x 2+16kx+24=0，△=32（2k 2﹣3）＞0，解得： k 2＞32由韦达定理得： x M +x M =−16k 2k 2+1①， x M x M =242k 2+1，②设N （x N ，kx N +4），M （x M ，kx M +4），G （x G ，1），MB 方程为： y =kx M +6x Mx −2 ，则 G(3x M kx M +6,1) ，∴ AG →=(3x Mkx M+6,−1) ， AN →=（x N ，kx N +2），欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG →， AN →共线即 3x MkxM +6(x N k +2)=−x N 成立，化简得：（3k+k ）x M x N =﹣6（x M +x N ）将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【解析】15.（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k 2+1）x 2+16kx+24=0，△=32（2k 2﹣3），解得： k 2>32 ，设N （x N ， kx N +4），M （x M ， kx M +4），G （x G ， 1），MB 方程为： y =kx M +6x Mx −2 ，则 G(3x M kx M +6,1) ，从而可得 AG →=(3x MkxM +6,−1) ，线…………○…线…………○…AN → =（x N ， kx N +2），欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG → ， AN →共线，利用韦达定理，可以证明．【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：即可以解答此题．16.（1）解：由题意可知r 1（A ）=1.2，r 2（A ）=﹣1.2，c 1（A ）=1.1，c 2（A ）=0.7，c 3（A ）=﹣1.8∴K（A ）=0.7（2）解：先用反证法证明k （A ）≤1：若k （A ）＞1则|c 1（A ）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0 同理可知b ＞0，∴a+b＞0 由题目所有数和为0 即a+b+c=﹣1∴c=﹣1﹣a ﹣b ＜﹣1 与题目条件矛盾 ∴k（A ）≤1．易知当a=b=0时，k （A ）=1存在 ∴k（A ）的最大值为1（3）解：k （A ）的最大值为 2t+1t+2 ．首先构造满足 k(A)=2t+1t+2的A={a i ，j }（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）： a 1,1=a 1,2=⋯=1,a 1,t+1=a 1,t+2=a 1,2t+1=t−1t+2， a 2,1=a 2,2=⋯=a 2,t =t 2+t+1t(t+2),a 2,t+1=a 2,t+2=a 2,t+1=−1 ．经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 |r (A)1|=|r (A)2|=2t+1t+2， |c (A)1|=|c (A)2|=⋯=|c (A)t |=1+t 2+t+1t(t+2)＞1+t+1t+2＞2t+1t+2，|c (A)t+1|=|c (A)t+2|=⋯=|c (A)2t+1|=1+t+1t+2=2t+1t+2．下面证明 2t+1t+2 是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S （2，2t+1），使得 k(A)=x ＞2t+1t+2．由k （A ）的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x ，2]中．由于x ＞1，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x ﹣1．设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g ＜h ，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．答案第14页，总14页考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x ﹣1（即每个负数均不超过1﹣x ）．因此|r 1（A ）|=r 1（A ）≤t•1+（t+1）（1﹣x ）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x ）＜x ，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此k （A ）的最大值为 2t+1t+2【解析】16.（1）根据r i （A ），C j （A ），定义求出r 1（A ），r 2（A ），c 1（A ），c 2（A ），c 3（A ），再根据K （A ）为|r 1（A ）|，|R 2（A ）|，|R 3（A ）|，|C 1（A ）|，|C 2（A ）|，|C 3（A ）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k （A ）≤1，然后证明k （A ）=1存在即可；（3）首先构造满足 k(A)=2t+1t+2的A={a i ， j }（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明 2t+1t+2 是最大值即可．。

2012北京高考理科试题和详细解析版(word版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( )A ．(,1)-∞-B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3-D ．(3,)+∞ 2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A ．4π B ．22π- C ．6πD ．44π- 3.设,a b R ∈, “0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 165.如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（） A ．CE ·CB=AD ·DB B ．CE ·CB=AD ·AB C ．AD ·AB= 2CD D ．CE ·EB= 2CD6.从0,2 中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A ． 24B ． 18C ． 12D ． 67. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（） A．28+ B．30+ C．56+．60+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（）A ．5B ． 7C ． 9D ．11（第4题图）B第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y =α⎧⎨=α⎩（α为参数）的交点个数为 .10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = . 11.在△ABC 中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = . 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为 .13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为；DE DC ⋅的最大值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-.若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞- ，()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间.16. （本小题14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D,E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2. （1）求证：A 1C ⊥平面BCDE;（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.17.（本小题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,n x x x 的平均数）18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题14分）已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈ (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A,G,N 三点共线.20.（本小题13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和1j n ≤≤；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值；（2）设数表A=(2,3)S 形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S(2，21t +),求()k A 的最大值。

2012年高考真题——数学理(全国卷新课标版)word版含答案

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解】选D（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解】选A（3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（）1:2p z =22:2p z i=3:p z的共轭复数为1i +4:p z的虚部为1-()A 23,p p ()B12,p p ()C ,p p 24()D ,p p 34【解】选C（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F P F 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【解】选C （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5()D -7【解】选D（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,na a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,na a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解】选B（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线xy162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B ()C 4 ()D 8【解】选C（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理数北京卷pdf版含答案

( )
∴= A1B 0 ，3，− 2 3 , A1E =(−2 ，−1，0)
设平面 A1BE 法向量为 n = ( x ，y ，z)
则
A1B
⋅
n
=0
A1E ⋅ n =0
∴
3
y
−
2
3z
= 0 ∴
z
=
3y 2
−2x − y =0
x
=
−y 2
( )
∴ n = −1，2 ， 3
( ) 又∵ M −1，0 ， 3
( ) ( ) ( ) （求： s2=
1 n
2
x1 − x +
2
x2 − x + +
xn
−
x
2
，其中
x
为数据
x1
，
x2
，…，
xn
的平均数）
18．（本小题共 13 分）
已知函数 f ( x) = ax2 + 1(a > 0) ， g ( x=) x3 + bx ．（1）若曲线 y = f ( x) 与曲线 y = g ( x) 在它们的交点 (1，c) 处具有公共切线，求 a ，b 的值；
4
5
6
7
8
答案
D
D
B
C
A
B
B
C
二、填空题
题号答案
9
10
11
n2 + n
2
1；
4
4
12
13
14
3
1；1
(−4 ，− 2)
三、解答题 15．
解：
= f (x) (sin x − cos x)s= in 2x (sin x − cos x)2sin x= cos x 2(sin x − cos x) cos x

2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了
该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
CE•EB=CD2
6．（5 分）从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇
数的个数为（）
A．24
B．18
C．12
D．6
7．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
第 1页（共 14页）
则 m 的取值范围是
．
三、解答题公 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）已知函数 f（x）=
．
（1）求 f（x）的定义域及最小正周期；（2）求 f（x）的单调递增区间．
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 m 年
的年平均产量最高，则 m 的值为（）
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE；（2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；（3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
第 2页（共 14页）
18．（13 分）已知函数 f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx （1）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 a、b 的值；（2）当 a2=4b 时，求函数 f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．

高考理科数学试题(北京理)及答案(无背景+精校+word+免点数)

每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}023|>+∈=x R x A ，{}0)3)(1(|>-+∈=x x R x B 则=⋂B A ( )A ．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，32-｝ C. ﹙32-，3﹚ D.（3，＋∞ ） 2. 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A.4π B. 22-π C 6π. D. 4-4π3. 设a ，b ∈R.“a=0”是‘复数a+bi 是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A. 2 B .4 C. 8 D. 165. 如图， ∠ACB=90º。

CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( ) A. CE ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. AD ·AB=CD ² D.CE ·EB=CD ²6. 从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67. 某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A. 28+6B. 30+6C. 56+ 12D. 60+128. 某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为（）A .5B. 7C. 9D. 11第二部分(非选择题共110分)二.填空题共6小题。

2012年高考理科数学北京卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共21页）数学试卷第2页（共21页）数学试卷第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{320}A x x =∈+>R |,{|(1)(3)0}B x x x =∈+->R ,则A B =（）A . (,1)-∞-B . 2(1,)3-- C . 2(,3)3-D . (3,)+∞2. 设不等式组02,02x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A .π4B .π22-C . π6D . 4π4-3. 设,a b ∈R .“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（）A . 2B . 4C . 8D . 165. 如图,90ACB ∠=,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则（）A . CE CB AD DB = B . CE CB AD AB =C . 2 AD AB CD =D . 2 CE EB CD =6. 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（）A . 24B . 18C . 12D . 67. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（）A .28+ B .30+C .56+D .60+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 值为（）A . 5B . 7C . 9D . 11第Ⅱ卷（选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置上.9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为________.10. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________； n S =________.11. 在ABC △中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =________.12. 在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60,则OAF △的面积为________.13. 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则 DE CB 的值为________；DE DC 的最大值为________.14. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若同时满足条件：①x ∀∈R ,()0f x ＜或()0g x ＜；②(,4)x ∃∈-∞-,()()0f x g x ＜. 则m 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.E BDAC34正（主）视图侧（左）视图俯视图姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）16.（本小题共14分）如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=,3BC =,6AC =.D ,E 分别是AC ,AB 上的点,且DE BC ∥,2DE =,将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置,使1AC CD ⊥,如图2.（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是1A D 的中点,求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？请说明理由.17.（本小题共13分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ,b ,c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据a ,b ,c 的方差2s 最大时,写出a ,b ,c 的值（结论不要求证明）,并求此时2s 的值.（求：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为数据1x ,2x ,,n x 的平均数）18.（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>,3()g x x bx =+.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求a ,b 的值；（Ⅱ）当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8()m x m y m -+-=∈R .（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A ,B （点A 位于点B 的上方）,直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G .求证：A ,G ,N 三点共线.20.（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈,记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1)i m ≤≤,()j c A 为A 的第j 列各数之和(1)j n ≤≤；记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,…,|()|m r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,…,|()|n c A中的最小值.（Ⅰ）对如下数表A ,求()k A 的值；（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ,对于所有的(2,21)A S t ∈+,求()k A 的最大值.ACDEBA 1MCBE D图1图22012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷{|AB x x =A B ．2CE CB CD =90,CD ⊥AD DB ，所以CE CB AD DB =．【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．【考点】几何证明选讲．第Ⅱ卷【解析】23S a =，所以【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得60，所以直线的斜率为603=1⎛【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可．【考点】平面向量在平面几何中的运用．)()0g x <，恒成立3)0+>在综上可得①②成立时42m -<<-．)()0g x <，而【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．（Ⅰ）证明CD 1CDA D D =，，又A ⊥DE ，又CD DE D =⊥平面BCDE （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则,23)，(0B ∴1(0,3,2A B =-，(2,2,A E =-法向量为(,,)n x y z =100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴3223y ⎧⎪⎨---⎪⎩2⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵M ∴(1,0,CM =-cos 2||||1313222CM n CM n θ====++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45（Ⅲ）设线段上存在点P ，设则(0,A P a =，(2,DP a =设平面A DP 法向量为(,n x y =∴1(,,n x y =垂直，则10n n =， DE ，即证明DE ⊥平面1A CD 法向量(1,2,n =-，(1,0,CM =-A DP 法向量为(3n a =-垂直，则10n n =，可求得【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱（Ⅱ）a a∴3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线3(6Mxx k+成立，化简得：从而可得3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．1(1)(1t t++数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2012年全国高考理科数学试题及答案-北京卷

2012年全国各地高考数学试题汇编汇总数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A ＝{x ∈R|3x+2＞0} B ＝{x ∈R|(x+1)(x －3)＞0} 则A ∩B ＝A (－∞,－1)B (－1,－23) C (－23,3)D (3,+∞) 【解析】和往年一样,依然的集合(交集)运算,本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ,利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得:}3|{>=x x B A .故选D. 【答案】D 2.设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ,表示平面区域为D,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A)4π (B)22π- (C)6π (D)44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示,而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ,故选D 。

【答案】D3.设a,b ∈R 。

“a ＝0”是“复数a+bi 是纯虚数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当0=a 时,如果0=b 同时等于零,此时0=+bi a 是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果bi a +已经为纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到0=a ,因此想必要条件,故选B 。

【答案】B4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0=k ,11=⇒=k s ,21=⇒=k s ,22=⇒=k s ,8=s ,循环结束,输出的s 为8,故选C 。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

【答案】D3．设a ，b ∈R 。