[数学]华中科技大学复变函数
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华中科技大学《复变函数与积分变换》课程PPT——11 复数解读
变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、共形
映射以及解析函数在平面场的应用。 积分变换的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。
其中，带 “*” 号的内容本课堂不需要掌握。
4
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
第一章 复数与复变函数
复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八
世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人 的长期努力，复数的地位才被确立下来。 复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面
6
§1.1 复数 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
§1.1 复数
一、复数及其运算 二、共轭复数
7
§1.1 复数 第 一、复数及其运算 一 1. 复数的基本概念 P1 章 定义 (1) 设 x 和 y 是任意两个实数， 将形如 复 数 z x i y (或者 z x y i ) 与 的数称为复数。其中 i 称为虚数单位，即 i 1 . 复 变 函 (2) x 和 y 分别称为复数 z 的实部与虚部，并分别表示为： 数 x Re z , y Im z . (3) 当 x 0 时，z 0 i y i y 称为纯虚数； 当 y 0 时，z x i 0 x 就是实数。 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 8
12
§1.1 复数 第 二、共轭复数 一 2. 共轭复数的性质 P3 章 性质 (1) z z ; 复 数 (2) z1 z2 z1 z2 , 与 复 , , , ; 其中，“ ”可以是 变 函 (3) z z [Re z ]2 [Im z ]2 x 2 y 2 ; 数
11
§1.1 复数 第 二、共轭复数 一 1. 共轭复数的定义 P2 章 定义 设 z x i y 是一个复数， 复 数 称 z x i y 为 z 的共轭复数， 记作 z 。 与 复 注 共轭复数有许多用途。 变 函 ( x1 i y1 ) ( x2 i y2 ) z1 z2 z1 比如 z 数 ( x 2 i y2 ) ( x 2 i y2 ) z2 z2 z2
《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章
2
3、x yi 与 x yi 称为共轭复数， 记为 z 和 z
4、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 可以进行 加、减、乘、除等运算
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i z1z2 x1 y1i x2 y2i
z1z2 r1ei1r2ei2 r1r2ei12
z1 z2
r1e i1 r2e i2
r1 ei12 r2
于是有：
z1z2 z1
z2
,
z1 z2
z1 z2
Arg z1z2 Arg z1 Arg z2
Arg z1 / z2 Arg z1 Arg z2
一、复数的基本概念
1、z x yi 称为复数，记为 z C 其中 i 称为虚单位满足：i2 1 实数 x 和 y 称为实部和虚部，记为 x Re z, y Im z
2、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 相等 当且仅当 x1 x2 , y1 y2
例如：
y x 的复数方程为 z t ti 1 i t y x2 的复数方程为 z t t2i t R
x2 y2 a2 a 0 的复数方程为
z acost iasint aeit t 0,2
或 z a
而圆心在 z0 x0 y0i 的圆复数方程为 z z0 a 或 z aeit z0
例如 w f z z2 x yi 2
x2 y2 2xyi
u x, y x2 y2,v x, y 2xy
w f z ez e x yi e xe yi e x cos y i sin y
华中科技大学复变函数与积分变换练习册问题详解
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i ii i 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
华中科技大学复变函数与积分变换洛朗级数
点z在K1的外部,
z
z0 z0
1.
因此
1
z
z
1 z0
1
1
z0
n1
( z0 )n1
(z z0 )n
n1 (
1 z0
) n1
(z
z0
)
n
,
z z0
1 2πi
f ( ) d K1 z
N 1 1
n1 2 π i
K1 (
f
( )
z0 )n1
d
(z z0 )n
z(z i)
① 展开点为i：f(z)在复平面内有两个奇点: z=0与z=i,
分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上. 因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开
式有三个: 1)在|z-i|<1中的泰勒展开式;
2)在1<|z-i|<2中的洛朗展开式;
i
3)在2<|z-i|<+中的洛朗展开式;
朗展开式是唯一的)
§ 4.4 洛朗级数
例3
将函数
sin z
z
及
sin z2
z
在z0=0的去心邻域内展成洛朗级数.
解：sin
z
z
1 z
z
1 3!
z3
1 5!
z5
(1)n z2n1 (2n 1)!
1 1 z2 1 z4 (1)n z2n
3! 5!
(2n 1)!
0 z
sin z z2
所以
f
( z)
(1
z
z2
)
121
z 2
z2 4
华中科技大学 复变函数与积分变换练习册答案
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i +解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i+12解：i i +12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i 2332++-解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0 则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
华中科技大学《复变函数与积分变换》-复习提纲
其中， zk 是 R(z) 在上半平面内的孤立奇点。 21
主要内容
复 变
四、计算定积分
函 数 与
3. I P( x) eiaxd x (a 0)
Q( x)
积
分 要求 (1) P(x) , Q(x) 为多项式，
变 换
(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次 ,
复 习
幂函数 w z e Lnz .
求导公式
f
( z )
u x
i
v x
.
28
主要内容
复 变
七、其它
函 数
柯西积分定理 函数 f (z) 在 D 内解析，在边界 C 上连续，
与
积 分
则 C f (z)dz 0.
变
换 柯西积分公式 函数 f (z) 在 D 内解析，在边界 C 上连续， 复
习
则
f (z)
积
分
的展开区域 )分为若干个解析环。
变
换 复
比如 设函数的奇点为 z1, z2 , z3 ,
习
展开点为 z0 , 则复平面
被分为四个解析环：
z1 r2 r1 z2 z0 r3
z3
16
主要内容
复 变
三、利用留数计算闭路积分
函 数
1. 计算留数
与 积
法则 若 z0为 f (z) 的 m 级极点，则
分
变
(3) 分母 Q(x) 无实零点。
方法 设 R(z) P(z) , Q(z)
则 I
P( x) eiaxd x
Q( x)
2πi
k
Res[ R(z) eia z , zk ].
复变函数与积分变换李红华中科技大学
1 例题2 求 2 dz , C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。 C z z
解：
1 1 1 2 z z z 1 z
1 d z d z ( 1 ) 2 d z C C Cz z z z 1
（由闭路变形原理） d z d z C 2 z 1 z 1 C 2 i 2 i 0 ( 2 ) ( 由 复 合 闭 路 定 理 )
C
f (z)d z 0.
推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，
则 f zdz 与路径无关仅与起点和终点有关。
c
F z f zd z f d f d F z 于是 z f C C
z
F dr MdxNdy
c c
Fxt, yt rtd t
一个复积分的实质是
两个实二型线积分
f zdz uivdxidy u d xv d yi v d xu d y f xt, ytztd t
n
C
或 zd )z zd )z . f( f(
C i 1 C i
i
1 例题1 求 2 dz , C 如图所示： C z 解： 存在 f (z)的解析单连通域D包含曲
i
i
线 C ，故积分与路径无关，仅与起点 和终点有关。
0 , i 0 , i
3i
1 1 4 1 1 1 从而 i d z d 2 Cz z0 , 3 i i 3i 3 0 , 3 i z
C C C
C
C
3 f z d z f z d z f z d z ,C C C 1 2
华中科技大学课件复变函数与积分变换洛朗级数
洛朗级数的应用：计算积分
洛朗级数在计算积分时有着广泛的应用，可以将复杂的积分计算简化为级数 求和的问题。
华中科技大学课件复变函 数与积分变换洛朗级数
欢迎来到华中科技大学课件复变函数与积分变换洛朗级数的讲座！在本次讲 座中，我们将深入研究复变函数、积分变换以及洛朗级数，为大家带来精彩 的知识盛宴。
什么是复变函数和积分变换？
复变函数是变量包含实部和虚部的函数，而积分变换是一种将函数从一个域转换到另一个域的数学操作。
洛朗级数的定义和性质
洛朗级数是复变函数在复平面上的展开形式，可以用于描述函数在奇点附近 的行为。
洛朗级数的收敛性和发散性
洛朗级数可以收敛到函数在奇点附近的解析扩张，但也可能发散或收敛到复平面上的其它点。
洛朗级数的求和方法
求解洛朗级数的问题通常可以通过手工计算或应用数值方法来实现，具体取决于问题数是定义在复数域上的函数，具有实部和虚部。它们具有许多性质，如解析性、全纯性和调和性。
复变函数的导数和积分
在复变函数中，我们可以定义导数和积分的概念，并研究它们的性质和计算 方法。
积分变换的定义和应用
积分变换是一种将函数从时域转换到频域的操作，广泛应用于信号处理、控 制系统和电路分析等领域。
复变函数论第三章复变函数的积分
1. 存在的条件如果 f (z) 是连续函数而C 是光滑曲线时,
积分 f (z)dz 一定存在.
证设光滑曲线
C
C
:z
z(t)
x(t)
i
y(t ), 于起点 A 及终点 B,
并且 z(t) 0, t ,
如果 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在 D内处处连续,
B
那么B到A就是曲线C的负向,
记为 C .
A
o
x
1
2020/9/21
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作
为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向
总是指从起点到终点的方向.
简单闭曲线正向的定义:
y P
简单闭曲线C的正向是 指当曲线上的点P顺此方向 前进时, 邻近P点的曲线的
C
f
( z )dz
{u[
x(t
),
y(t
)]x(
t
)
v[
x(t
),
y(t )] y(t )}dt
i{fu[[z{x(vt([)tx])z(,ty()(t,t)yd)(]tt.)]i即xv[(xt()Ct)f,u(yz[()xtd)(z]t}){, xy((tt))f]
y(t )}dt iy(t)}dt [ z(t )]z(t )dt
例解1直计线算方程C z为dz,x
C
: 从原点到点 3t, y 4t,0 t
3 4i 1,
的直线段.
在C zdz
上, z (3 4i)t, dz
1
(3
4i )2
tdt
(3
(3 4i )2
4i )dt
积分 f (z)dz 一定存在.
证设光滑曲线
C
C
:z
z(t)
x(t)
i
y(t ), 于起点 A 及终点 B,
并且 z(t) 0, t ,
如果 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在 D内处处连续,
B
那么B到A就是曲线C的负向,
记为 C .
A
o
x
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2020/9/21
复变函数
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在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作
为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向
总是指从起点到终点的方向.
简单闭曲线正向的定义:
y P
简单闭曲线C的正向是 指当曲线上的点P顺此方向 前进时, 邻近P点的曲线的
C
f
( z )dz
{u[
x(t
),
y(t
)]x(
t
)
v[
x(t
),
y(t )] y(t )}dt
i{fu[[z{x(vt([)tx])z(,ty()(t,t)yd)(]tt.)]i即xv[(xt()Ct)f,u(yz[()xtd)(z]t}){, xy((tt))f]
y(t )}dt iy(t)}dt [ z(t )]z(t )dt
例解1直计线算方程C z为dz,x
C
: 从原点到点 3t, y 4t,0 t
3 4i 1,
的直线段.
在C zdz
上, z (3 4i)t, dz
1
(3
4i )2
tdt
(3
(3 4i )2
4i )dt
复变函数论第三版钟玉泉第一章
arctan
y,
x 0,
7
z
0
辐角的主值
arg z
π 2
,
(其中
2
arctan
y x
2 )aπr,ctan
x y π, x
x 0, y 0,
x 0, y 0, x 0, y 0.
2020/4/7
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
3. 利用平行四边形法求复数的和差
两个复数的加减法运算与相应的y 向量的加减法运算一致.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
推导过程如下:
(k 0,1,2, ,n 1)
设 z r(cos i sin ), w (cos i sin ),
根据棣莫佛公式,
wn n(cosn i sin n ) r(cos i sin ), 于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
10
2020/4/7
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
例1 求下列方程所表示的曲线:
(1) z i 2;(2) z 2i z 2;(3) Im(i z) 4.
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点i 距离为2的 点的轨迹.即表示中心为 i, 半径为 2 的圆.
设 z x iy, x ( y 1)i 2, x2 ( y 1)2 2,
11
2020/4/7
复变函数
华中科技大学数学与统计学院
四、复数的乘幂与方根 1.乘积与商 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;
两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
从先几把何z1上按看逆,
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r z 1,
z e
i 2p 3
.
§1.2复数的运算
1 . 四则运算 设 z1 x1 iy1 ,
z2 x2 iy2
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则
Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z与x和y的关系:
p p 说明：当 z 在第二象限时， arg z p p 0 2 2 y y p arctan tan( p ) tan(p ) tan x x y p arctan . x
§1.1复数及其表示法
一对有序实数（ ）构成一个复数，记为
z x iy .
x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), i 1 . z x iy 称为 Z 的共轭复数。
两个复数相等
特别地， z
Hale Waihona Puke x iy 0 x y 0
y arctan x , z在第一、四象限 y p y p arg z p arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y p arctan x , z在第三象限
2.指数形式与三角形式 利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin, 可以将z表示成三角表示式:z
r (cos i sin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z re
i
(r z , Arg z)
p p
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin
[解] 1)
i cos . 5 5 r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i Euler公式 e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
他们的实部和虚部都相等
与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小. 复数的表示法 1.代数形式 : z x iy 1)点表示 复数z x iy 复平面 XOY上点 z(x,y) 虚轴
y y
z(x,y)
复平面
0
x
实轴
x
2) 向量表示
y
y
复数z=x+iy 矢径z
z z=x+iy
通
一．
知
以班为单位买练习册（每册五元）
时间地点：本周周一～周六（上午，下午，晚上）； 科技大楼南楼609； 二． 每周一次答疑
时间地点：周二晚上7:00～9:30； 科技大楼南楼813； 三． 结业成绩分配
平时成绩（作业）20%；期末考试（闭卷）成绩 80%
引 言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
3 5 2 arctan p arctan 3 p 6 p . 因此 12
5 5 z 4 cos( p ) i sin( p ) 4e 6 6
5 pi 6
2) 显然, r = | z | = 1, 又 p p 3 p sin cos cos p, 5 5 10 2 p p 3 p cos sin sin p . 5 5 10 2 3 i p 3 3 因此 z cos p i sin p e 10 10 10 1 i 3 练习： 写出 z 的辐角和它的指数形式。 2 3 2 p 2p 解： arg z arctan p arctan 3 p p , 1 2 3 3 2p Argz arg z 2kp 2kp , k Z , 3
方程 x 10 x 40 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15 。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪
z r
| x || z |, | y || z |, | z || x | | y |, zz | z | | z |
2 2
r z 与x轴正向的夹角
z z r x 2 y 2 ----复数z的模
0
x
x
----复数z的辐角(argument)
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和 发展。
复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着 广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平 面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的 推广和发展 。
第一章 复数与复变函数
自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象. 由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有 的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复 变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法 奠定必要的基础.