CP090-计算物理热传导方程的差分解法

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第九章_热传导方程的差分解法_郑大昉

类似地,其偏微分用差分近似为: 类似地其偏微分用差分近似为近似为
∂ui, j,k ui, j,k+1 − ui, j,k = ∂t τ 2 ∂ ui, j,k ui+1, j,k − 2ui, j,k + ui−1, j,k = 2 ∂x h2 ∂2ui, j,k ui, j+1,k − 2ui, j,k + ui, j−1,k = 2 ∂y h2
∂ui,k ∂x ∂ui,k − ∂x + h
(9-18)
二阶中心差商可近似为二阶中心差商可近似为: 可近似为
∂2ui,k ∂x
即:
2
=
−
(9-19)
ui+1,k − 2ui,k + ui−1,k ∂2u = 2 2 ∂x i,k h
(9-20)
时间的一阶差商近似为近似为: 另, 对时间的一阶差商近似为
(9-27)
u(x, y,0) = ϕ(x, y)
(9-28)
其边界条件留待后面给出边界条件留待后面给出. 留待后面给出
差分方法仍设空间步长 h 仍设空间步长: 空间步长时间步长: 时间步长空间为: 网格. 空间为 N× M 网格
τ
则:
Nh = l,
M =s h
t = kτ , k = 0,1 2,... , x = ih, i = 0,1 N ,..., y = jh, j = 0,1,..., M
∆t
∂u ∆Q = −K(x, y, z, t)∆t∆S ∂n
(9-1)
t1
t2 t1
和
Q =∫ 1
∂u dt ∫∫ K(x, y, z, t) dS ∂n (S)

热传导方程的差分格式汇总

热传导方程的差分格式汇总1.显式差分格式：显式差分格式是最简单的一种方法，通过将导热方程时间和空间上的导数进行近似，引入差分算子，将方程转化为差分格式。

其中最常见的差分格式有：a. 前向差分法（Forward Difference Method）：利用当前节点和其相邻节点的温度值进行计算。

例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+α(u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j))b. 后向差分法（Backward Difference Method）：利用当前节点和其相邻节点的温度值进行计算。

例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+α(u(i+1,j+1)-2u(i,j+1)+u(i-1,j+1))c. 中心差分法（Central Difference Method）：利用当前和其相邻节点的温度值进行计算。

例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+α(u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j))+β(u(i+1,j)-u(i-1,j))其中α和β是时间和空间步长的比例因子。

2.隐式差分格式：显式差分格式具有较大的稳定性限制。

为了克服这个问题，可以使用隐式差分格式，其中使用下一个时间步长的温度值来求解当前时间步长。

常见的隐式差分格式有：a. C-N差分法（Crank-Nicolson Method）：利用前后两个时间步长的温度值进行计算。

例如，在一维离散情况下，可以使用公式：u(i,j+1)=u(i,j)+0.5α(u(i+1,j+1)-2u(i,j+1)+u(i-1,j+1))+0.5α(u(i+1,j)-2u(i,j)+u(i-1,j))b. 力学模拟法（Finite Element Method）：将空间离散化后，通过引入有限元方法，将热传导问题转化为线性方程组，再通过求解线性方程组得到温度分布。

差分方法

一、差分方法1．1 导数的差分公式在x 附近对()f x 展开，由泰勒展开公式()()()f x h f x f x h '+≈+得到前差公式为()()()f x h f x f x h +-'=同理也可以得到后差公式()()()f x f x h f x h--'=由后差分公式可以得到二阶导数的差分公式为2()()()2()()()f x h f x f x h f x f x h f x h h ''+-+-+-''==叫中心差分公式。

利用这些公式可以将微分方程写成差分方程。

1．2 热传导方程的差分公式热传导方程是2t xx u a u =可以写成差分形式 22(,)(,)(,)2(,)(,)()u x t t u x t u x x t u x t u x x t a t x +∆-+∆-+-∆≈∆∆即 []22(,)(,)(,)2(,)(,)()t u x t t u x t a u x x t u x t u x x t x ∆+∆≈++∆-+-∆∆ 令,,0,1,2,...,1x i x t i t i n =∆=∆=-上式可以写为（显示格式）[]22(,1)(,)(1,)2(,)(1,)()tu i j u i j a u i j u i j u i j x ∆+=++-+-∆ 可以证明，上式的稳定条件为22()2x t a ∆∆≤，即221()2t a x ∆≤∆ 稳定且非振荡的条件为221()4t a x ∆≤∆ 截断误差为2((),)O x t ∆∆另一种格式为 22(,)(,)(,)2(,)(,)()u x t t u x t u x x t t u x t t u x x t t a t x +∆-+∆+∆-+∆+-∆+∆≈∆∆即2222()()(,1,1)2(,1)(1,1)(,)x x u i j u i j u i j u i j a t a t ⎡⎤∆∆-++--++++=-⎢⎥∆∆⎣⎦该式称为隐式格式。

一维热传导方程的差分法

一维热传导方程的差分法一维热传导方程描述了一个物体内部热的传递规律。

这个方程可用于解决各种问题，如材料的温度分布、传热速率等。

对于一维热传导方程，可以通过差分法来求解。

差分法是一种数值求解法，通过将原方程离散化成差分形式，将导数转化为有限差分，从而得到差分方程组。

通过求解差分方程组就可以得到离散点上的数值解。

关于一维热传导方程的差分法，以下是具体步骤。

1. 确定精度和空间网格数在差分法中，需要首先确定精度和空间离散化的步长。

通常情况下，精度越高，计算量越大，但是结果也越接近真实情况。

空间网格数越多，计算量也会越大，但是离散化的结果也越接近真实情况。

因此，需要在计算效率和结果准确性之间做出权衡。

2. 离散化热传导方程将一维热传导方程离散化，得到差分方程组。

通过 Taylor 展开，将导数转化为有限差分的形式，得到如下式子：$$ \frac{T_{i+1}-2T_{i}+T_{i-1}}{\Deltax^{2}}=\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}|_{x=i\Delta x,t}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}|_{x=i\Delta x,t} $$其中，$T_i$ 表示在 $x=i\Delta x$ 处的温度值，$\Delta x$ 表示空间分割步长，$\frac{1}{\alpha}$ 表示材料的热扩散系数。

3. 构建差分方程组通过对差分方程组进行简单的变形，得到一个带有时间变化的差分方程组：其中，$n$ 表示时间步长，$\Delta t$ 表示时间离散化步长。

4. 初始条件和边界条件为了有效地求解差分方程组，我们需要知道初始条件和给定的边界条件。

在一维热传导方程中，初始条件是物体最初的温度分布，而边界条件通常包括物体边界的温度和热流量。

5. 使用迭代算法求解差分方程组通过使用迭代算法（如欧拉法、隐式迭代法、迭代加速法等），可以求解差分方程组的数值解。

差分方法

方程设置是parobolic型，系数取为。
解题的时间范围为，初始条件是。
为了有足够的精度，将初始化的网格作了两次细分。而作图的选项为Contour和Animation。
作为对比，可以更改初始条件为 ,即。
资料来源：数学物理方程与Matlab可视化.
end
mesh(X,Y,un);
axis([-1 1 -1 1 -0.4 0]);
pause(0.1)
end
figure(2)
wn=0;
fork=1:N
wnn=2*(U0-u0)*(-1)^k.*sin(k.*pi.*RR).*exp(-k^2*pi^2*a2*TT)./(pi*k.*RR);
wn=wn+wnn;
，即
稳定且非振荡的条件为
截断误差为
另一种格式为
即
该式称为隐式格式。对任何步长都是恒稳定的。在上取值的唯一限制是，要将截断误差保持在合理的程度上从而节约计算时间。
截断误差为
。
二、一维热传导方问题
2．1 无限长细杆的热传导
无限长细杆的热传导的定解问题是
利用Fourier变换求得问题的解是
其中取初始温度分布如下：
end
2．3输运问题（非齐次方程）
定解问题是
解析解为
其中
我们分别用解析解与差分方程的数值解画图。
计算中取，这个时间很短，因为这个过程的时间很短。解析解的图形如图3所示，其中图（a）是以为变量所画的表面图，从图中可以看出变化的全貌，图(b)是初始状态,图(c)是最后的状态。解析解在初始状态所画出的图形与差分方程的解有一定的偏差。
为了作图，取，在级数求和中只取了前面10项。
【程序】

求解热传导方程的高精度隐式差分格式毕业论文

新疆大学毕业论文(设计)题目:求解热传导方程的高精度隐式差分格式所属院系：数学与系统科学学院专业：信息与计算科学声明本人郑重声明该毕业论文（设计）是本人在开依沙尔老师指导下独立完成的，本人拥有自主知识产权，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成的知识产权纠纷由本人负责。

声明人（签名）：年月日亚库甫江.买买提同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该毕业论文（设计），指导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。

指导教师（签名）：年月日新疆大学毕业论文（设计）任务书班级：信计07-2 姓名：亚库甫江.买买提论文（设计）题目：求解热传导方程的高精度隐式差分格式专题：毕业设计论文（设计）来源：教师自拟要求完成的内容：学习和掌握一维热传导方程已有的各种差分格式的基础上，扩散方程对空间变量应用紧致格式离散，对时间变量应用梯形方法，构造热传导方程的精度为()24τ+数值格式，O h讨论格式的稳定性，最后数值例子来验证。

发题日期：2012 年12月25日完成日期：2012 年5月28 日实习实训单位：数学学院地点：数学学院论文页数：19页；图纸张数：4指导教师：开依沙尔老师教研室主任院长（系主任）摘要本文首先对热传导方程经典差分格式进行复习和讨论，然后热传导方程对空间变量四阶紧致格式进行离散,时间变量保持不变，把一维热传导方程转化为常微分方程组的初值问题, 再利用梯形方法构造热传导方程方程的时间二阶空间四阶精度的一种差分格式，并稳定性进行分析，数值结果与Crank-Nicholson 格式进行比较，数值结果表明, 该方法是有效求解热传导方程的数值计算.关键词: 热传导方程,高精度紧致格式; 梯形方法；两层隐格式; Crank-Nicolson格式ABSTRACTThis paper first study on some classical finite difference for the heat conduction equation, secondely secondely we apply compact finite difference approximation of fourth order for discretizing spatial derivatives but leave the time variable Continuous. This approach results in a system of ODEs, which can then be used trapezodial formula derived fourth order in space and second order in time unconditionally stable implicit scheme .the stability and local truncation error of the obtained method are analysied. Numerical experiments shows that this method Useful, efficient method for solving diffusion equationKeywords: Heat conduction eqution;Higher- oder compact scheme; Trapezodial formula ;Two- level implict scheme; Crank- Nicolson scheme目录引言 (1)预备知识 (2)1.扩散方程的经典差分格式 (3)1.1 显式差分格 (3)1.1.1 显式的截断误差................ . (4)1.1.2 显式差分格式的稳定性 (4)1.2 隐式差分格式 (5)1.2.1 隐式差分格式的截断误差 (5)1.2.2 隐式差分格式的稳定性 (6)1.3 Crank-Nicolson格式 (6)1.3.1 Crank-Nicolson差分格式的截断误差 (7)1.3.2 Crank-Nicolson差分格式的稳定性 (8)2.高精度格式的构造 (9)2.1梯形方法 (9)2.2本文格式的构造 (10)2.3 稳定性分析 (11)3.数值实验 (13)结论 (17)致谢 (18)参考文献 (19)引言热传导方程是一类描述物理量随时间的扩散和衰减规律的抛物型微分方程．自然环境、工程设备及生物机体中的许多物理现象，诸如气体的扩散、液体的渗透、热的传导、以及半导体材料中杂质的扩散等都可用热传导方程来描述．由于物理问题本身的复杂性，其精确解往往不容易求得，因此研究其数值求解方法无疑具有非常重要的理论意义和工程应用价值【1】．求解该问题的数值方法主要有差分法、有限元法、边界元法等，其中有限差分方法数值求解扩散方程的应用广泛的有效地方法之一。

热传导方程有限差分解算算法优化方法

热传导方程有限差分解算算法优化方法热传导方程是用于描述物质内部热量传递的一种偏微分方程。

它被广泛应用于热传导问题的数值模拟和仿真中。

为了求解这个方程，常常采用有限差分法进行离散化处理，然后利用迭代算法求解离散化后的方程组。

在实际应用中，如何选择合适的有限差分解算算法并对其进行优化，是提高计算效率和准确性的关键。

在研究热传导方程的有限差分解算算法时，我们可以从以下几个方面进行优化：1. 空间离散化：热传导方程的空间离散化是将求解区域划分为离散的网格，通常采用网格点的位置和距离等进行离散化处理。

在进行空间离散化时，我们可以选择合适的网格划分策略，如均匀网格划分、自适应网格划分等，以提高模拟结果的准确性和计算效率。

2. 时间离散化：热传导方程的时间离散化是将时间区间划分为离散的时间步长，常用的方法有显式和隐式方法。

显式方法适用于稳定性要求不高的问题，但计算效率较高；隐式方法则适用于稳定性要求较高的问题，但计算效率较低。

因此，在选择时间离散化方法时，应综合考虑计算效率和稳定性两方面的因素。

3. 边界条件处理：边界条件是热传导方程求解中必不可少的一部分，能够有效地约束解的行为。

在处理边界条件时，我们应确保边界条件与实际问题相符，并且能够满足求解精度和稳定性要求。

同时，我们可以采用合适的插值方法对边界条件进行处理，以提高模拟结果的准确性。

4. 迭代收敛准则：迭代算法在求解离散化后的方程组时常常涉及到迭代收敛问题。

为了加快迭代速度和保证求解结果的准确性，我们应选择合适的收敛准则，并根据实际情况进行优化。

例如，可以采用自适应的迭代步长策略，根据当前误差大小动态调整迭代步长，以加快迭代速度。

5. 算法并行化：热传导方程的有限差分解算算法在大规模问题求解时常常需要耗费大量的计算资源。

因此，我们可以考虑利用并行计算的方法，如多线程和多进程，并结合并行计算库，如OpenMP、MPI等，提高计算效率和求解速度。

综上所述，热传导方程的有限差分解算算法的优化方法主要包括空间离散化、时间离散化、边界条件处理、迭代收敛准则和算法并行化等方面。

matlab 热传导方程的差分

matlab 热传导方程的差分热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。

在工程和科学领域中，热传导方程的数值解是非常重要的，因为它可以帮助工程师和科学家们预测材料的温度变化，设计有效的散热系统等。

在本文中，我们将讨论如何使用Matlab对热传导方程进行差分求解。

差分法是一种常用的数值解法，它将连续的方程离散化为离散的点，通过迭代计算得到方程的近似解。

首先，让我们回顾一下热传导方程。

热传导方程通常写作：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$$。

其中，$u$是温度分布，$t$是时间，$\alpha$是热传导系数，$\nabla^2$是拉普拉斯算子。

在一维情况下，热传导方程可以简化为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$。

接下来，我们将使用有限差分法对这个一维热传导方程进行离散化。

假设我们有一个长度为$L$的杆，我们将其分成$n$个小段，每个小段的长度为$\Delta x = \frac{L}{n}$。

我们将温度在每个小段的离散点上进行逼近，即$u_i(t)$表示第$i$个小段上的温度，$t_j$表示第$j$个时间步。

我们可以使用中心差分法来逼近二阶导数：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx\frac{u_{i+1} 2u_i + u_{i-1}}{(\Delta x)^2}$$。

将这个逼近代入热传导方程，我们可以得到离散化的方程：$$\frac{u_i^{j+1} u_i^j}{\Delta t} = \alpha\frac{u_{i+1}^j 2u_i^j + u_{i-1}^j}{(\Delta x)^2}$$。

其中，$\Delta t$是时间步长。

通过这个离散化方程，我们可以使用Matlab编写一个迭代算法来求解热传导方程的数值解。

第九章热传导方程的差分解法

u t ( u
2
x
2

u
2
y
2

u
2
z
2
)
其中: Kc.

9.2 一维热传导方程的差分解法
u t u
2
一维热传导方程:
x
2
,
0 ,0 t T
初值问题 u ( x , 0 ) ( x ), | x | 初值条件: 初边值混合问题初值条件: u ( x , 0 ) ( x ), 0 xl 边值条件:(关于边界点x=0和x=l) 第一类. u ( 0, t ) g ( t )
其中g1(t), g2(t), 1(t), 2(t) 为给定函数, 要求 1(t), 2(t) , 且不同时为零.
设空间的步长为 h, 时间的步长为 . 把空间和时间离散化:
x i x 0 ih , i 0,1, 2, ...; t k t 0 k , k 0,1, 2, ...

9.3 二维热传导方程的差分解法
u t u
2
内部无热源均匀介质中二维热传导方程:
( u
2
x
2
y
2
)
0 x l, 0 y s, 0 t T
初值条件: u ( x , y , 0) ( x , y ) 边值条件视具体情况而定. 设空间的步长为 h, 时间的步长为 . 设Nh=l, Mh=s, 把时间和空间离散化:

u i 1, j , k 2 u i , j , k u i 1, j , k h
2
u i , j ,k x
2
2
u i , j ,k y

热传导方程的差分解法

热传导方程的差分解法物理学中对热传导现象和扩散现象等物理过程的描述, 通常采用二阶偏微分方程, 统称为热传导方程.9.1. 热传导方程概述一般而言, 在介质内部传导的热量与传热时间、传热截面及温度梯度成正比. 设t 时刻, 点(),,x y z 处的温度为(),,,u x y z t , 则t ∆时间内通过S ∆横截面积传导的热量为(),,,uQ k x y z t t S n∆∆∆∂=-∂其中(),,,0k x y z t >, 是介质的热传导系数. un ∂∂是温度沿S ∆面的法向微商, 即温度梯度的法向分量. 为讨论热传导的规律, 设在介质中任取一小区域V , 其边界面S 为一封闭曲面. 现讨论自1t 至2t 时间内, 小体积V 内热量变化的情况. 首先, 通过包面S 传入V 的热量为()211,,,t t S u Q dt k x y z t ds n ∂=∂⎰⎰⎰ 由矢量积分定理可得()211,,,t t VQ dt k x y z t u dV =∇⋅∇⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 其中∇是哈密顿算子.设介质的比热容为c , 密度为ρ, 则V 内温度变化所消耗的热量为212t t V u Q dt c dV tρ∂=∂⎰⎰⎰⎰设体积V 内部热源密度为(),,,F x y z t , 其物理意义是, t 时刻, 点(),,x y z 处, 单位体积热源在单位时间内产生的热量. 所有内部热源产生的热量为()213,,,t t VQ dt F x y z t dV =⎰⎰⎰⎰由能量守恒定律, 即213Q Q Q =+可得()2110t t Vu Q dt c k u F dV t ρ∂⎡⎤=-∇⋅∇-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰因为体积和时间都是任取的, 所以有 ()u c k u F t ρ∂=∇⋅∇+∂ (9.1) 式(9.1)称为各向同性介质有热源的热传导方程, 也叫做三维非齐次热传导方程. 为简单起见, 设介质是均匀的, 即c 、ρ和k 都是常量. 再设体积V 内无热源, 即(),,,0F x y z t =, 则有u c k u t ρ∂=∆∂ (9.2) 式(9.2)称为各向同性介质无热源的热传导方程, 也叫做三维齐次热做传导方程. 其中∆是拉普拉斯算子. 式(9.2)也可表示为2222222u u u u a t xy z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ (9.3)其中2k a c ρ=. 9.2. 一维热传导方程的差分解法各向同性介质中无热源的一维热传导方程为22220,0u u a a t T t x ∂∂=><≤∂∂ (9.4) 其中T 表明时间的有限范围. 要求解方程(9.4), 需要一定的初始条件和边界条件, 统称为定解条件.9.2.1 初值问题()(),0u x x x ϕ=<+∞ (9.5)即初始时刻空间各点的温度颁布函数.9.2.2 初、边值混合问题初始条件为()(),00u x x x l ϕ=≤≤ (9.6)0x =和x l =两端的边界条件有三种情况:第一类边界条件()()()()120,0,u t g t t u l t g t =⎧⎪≥⎨=⎪⎩(9.7) 第二类边界条件()()()()120,0,u t g t xt T u l t g t x∂⎧=⎪⎪∂≤≤⎨∂⎪=⎪∂⎩ (9.8) 其中()1g t 、()2g t 为给定函数.第三类边界条件()()()()()()()()11220,0,0,,u t t u t g t xt T u l t t u l t g t xλλ∂⎧-=⎪⎪∂≤≤⎨∂⎪-=⎪∂⎩ (9.9) 其中1λ、2λ、()1g t 、()2g t 为给定函数, 其中10λ≥, 20λ≥, 且不同时为零.用差分方法求解偏微分方程式(9.4), 首先要建立差分格式. 通常取空间步长和时间步长均为常量. 设空间步长为h , 时间步长为τ, 计算时的步序号空间用i 表示, 时间用k 表示.定义一阶向前商近似为1kk k i i i u u u xh ++∂-=∂一阶向后差商近似为1k k k i i i u u u xh--∂-=∂二阶中心差商作为二阶微商近似为21122,2k k k i i i i k u u u ux h +--+∂=∂ (9.10) 对时间的一阶差分近似为1,k k i i i k u u ut τ+-∂=∂ (9.11) 将(9.10)和式(9.11)代入(9.4), 并令22a h τα=(9.12)即可得一维热传导方程的差分格式为()111121,2,,10,1,,k k k k i i i i u u u u i N k Mααα++-=+-+=-= (9.13)其中,l T N M h τ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, “[]”表示取整.定解条件为()()()()()()001211,2,,11,11,,1i kk Nu i h i N u g k u g k k M ϕττ=-=+=-=-=+差分公式(9.13)为显式格式, 可由初始条件和边界条件逐次计算出任一时刻各点的温度. 习惯上把时刻计算的各点称为一层, 而计算则是一层一层进行的. 计算过程中层间各点的关系如图9.1所示. 从图中可直观地看出, 1k +时刻第i 个点的值是由k 时刻1i -, i 和1i +三点的值算出来.由于初始条件和边界条件的误差及其计算中的舍入误差, 用式(9.13)计算出的值并非该式的精确解k i u . 设计算值与其精确之间的误差为k i ε, 若当k 增加时, k i ε有减小的趋势, 或至少不增加, 则称其差分格式为稳定差分格式. 可以证明, 对于一维热传导方程, 差分格式(9.13)为稳定差分格式的充分条件是2212a h τα=≤(9.14) 差分格式(9.13)计算的具体步骤如下: 1. 给定2,,,,a l h T α2. 计算初始值: ,l T N M h τ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 计算22h aατ=3. 计算初始值:()()011,2,,1i u i h i N ϕ=-=+ ;计算边界值:()()()()0121,11,,1k k N u g k u g k k M ττ=-=-=+ 4. 用差分格式(9.13)计算1k i u +. 泛定方程2201,0u ux t t x ∂∂=<<<∂∂初始条件()(),04101u x x x x =-≤≤边界条件()()0,001,0u t t u t =⎧⎪≤⎨=⎪⎩程序设计: clear %设置参数 lambda=1; alpha=1/6; L=1; h=0.01; T=0.6;tao=alpha*h^2/lambda; N=fix(L/h); M=fix(T/tao);%设置u 矩阵及x 的值 I=N+1; K=M+1; for i=1:I x(i)=(i-1)*h; endu(I,K)=zeros; %设置初始条件 u(:,1)=4.*x.*(1-x);%设置左端第一类边界条件 u(1,:)=0;%设置右端第一类边界条件 u(I,:)=0; %计算矩阵u for k=1:K for i=2:I-1u(i,k+1)=1/6*u(i+1,k)+2/3*u(i,k)+1/6*u(i-1,k); end end %u ； for k=1:1000:Kplot(x,u(:,k),'-k','LineWidth',2) hold on endx/cmT C Oaxis([0,1,0,1])xlabel ('\fontsize{14}\bfx/cm') ylabel ('\fontsize{14}\bfTC^O') grid on8.6 一维扩散方程的有限差分格式8.6.1 隐式六点差分格式(C —N 格式)以下介绍一维扩散方程或热传导方程的有限差分解法, 考虑一维扩散方程的定解问题()()()()()()()22max 2002111222,,0,0,0t u x t u x t a x l t t t x u x t u x k a u c a u b c x n ua ubc x l n ρ=⎧∂∂=≤≤<<⎪∂∂⎪=⎪⎛⎫⎪=⎨ ⎪∂⎝⎭+==⎪∂⎪⎪∂+==⎪∂⎩ (8.62) 取,x h t ∆∆τ==进行离散化, 如图8.12所示, 结点坐标为()()()()11,2,11,2,i kx i h i N t k k K τ=-=⎧⎪⎨=-=⎪⎩ (8.63) 结点处的函数为(),ki k i u x t u =. 在(),12i k +点, u t∂∂用中心差商,22ux∂∂用(),i k 和(),1i k +两点的中心差商的平均值代替, 则(8.62)中的偏微分方程变为()()()1111111121222k k k k k k k k i i i i i i i i u u u u u u u u hλτ+++++-+-⎡⎤-=-++-+⎣⎦(8.64) 引入212211,1,1a P P P h P Pτ==+=-, 将上式中的含()1k u +项移至等号左边, 将含()ku 项移至等号右边, 式(8.64)变为11111112122k k k k k k i i i i i i u Pu u u Pu u ++++-+--+-=++ (8.65) 上式表明由k 时的值可求得1k +时的u 值, 但要解联立方程组, 所以这种差分格式是隐式的. 整个方程涉及到六个点处的u 值, 所以称为隐式差分格式, 又称为Crank_Nicolson 格式, 简称C_N 格式, 误差为()()22O O h τ+, 是无条件稳定的.8.6.2 边界条件的差分格式由式(8.62)知, 一维扩散方程的边界条件为()()11122200u a u b c x n u a u b c x a n ∂⎧+==⎪⎪∂⎨∂⎪+==⎪∂⎩(8.66)在x 轴上设置两个虚格点0i =和1i N =+(见图8.13). 用中心差商代替.66)中的un∂∂, 则得()()1110212211222N N N b a u u u c hb a u u uc h +-⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩(8.67) 由式(8.67)解出011111222u hc b ha u b u =-+tk +k 图8.12和12222122N N N u hc b ha u b u +-=-+,代入1i =的式(8.65), 有()()11112111111122211111121111121111112121211111222222222242k k k k k k k k k k k k k k k k u Pu hc ha u u u P u hc ha u b u b ub Puha ub ub u b P u hc ha u b u ++++++++-+--+=++-+-++-=++-+整理得到()()1111111212111212k k k kb P ha u b u b P ha u b u hc +++-=-++ (8.68(a)) 同理, 代入i N =的式(8.65), 得到 ()()()()1111111211111222211122221211111222121212212222222222222222k k k k k k N N N N N N k k k k k k k kN N N N N N N N k k k k k k k N N N N N N N u Pu u u P u u hc b ha u b u Pu u hc ha u b u P u u hc ha u b u b Pu b u hc ha u u b P u b ++++-+-++++----++++----+-=++--++-=-+++--++-=-+++21k N u - 整理得()()11212122122222k k k kN N N N b u b P ha u b u b P ha u hc ++---++=+-+ (8.68(b))8.6.3 差分方程组及其求解把式(8.65)和式(8.68(a))和(8.68(b))结合起来, 构成差分方程组, 其形式为AU R = (8.69)其中, ()12,,N U u u u = 是未知量组成的矢量. 系数矩阵A 是三对角的, 而R 是由前一时刻的u 值组成的矢量()12,,N R R R R = . 该方程可利用MA TLAB 求解. 由式(8.65)和式(8.68(a))和(8.68(b))可知()()11211121121212222222k kk k ki i i i k k NN N R b P ha u b u hc R u P u u R b u b P ha u hc-+-⎧=-++⎪=++⎨⎪=+-+⎩ (8.70) 11111112213121121121b P ha b P P A P b b P ha +-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-+⎝⎭ (8.70)8.6.4 计算实例研究细杆导热问题. 杆的初始温度是均匀的0u , 保持杆的一端的温度为不变的0u ,至于另一端则有强度为恒定的0q 的热流进入. (解析解见数理方法P214)杆上温度(),u x t 满足下列泛定方程和定解条件(数理方法P214)()20t xx u a u a k c ρ-== (8.71)00x x x lu u u q k ==⎧=⎪⎨=⎪⎩ (8.72) ()000t u u x l ==<< (8.73)边界条件不是齐次的, 首先要处理这个问题. 取一个既满足边界条件(8.72)又满足泛定方程(8.71)的函数(),v x t ,()00,q v x t u x k=+(8.74)计算程序: clear%设置边界条件参数 u0=0; q0k=10; D=1; a1=1.0; b1=0.0; a2=0.0; b2=1.0; c1=u0; c2=q0k;%设置u 矩阵及计算解方程系数 I=101; K=101; h=0.1; tao=0.1; P=tao*D/h^2; P1=1/P+1; P2=1/P-1;for i=1:I x(i)=(i-1)*h; end for k=1:K t=(k-1)*tao; endu(I,K)=zeros; %设置初始条件 u(:,1)=u0;%设置左端第一类边界条件 u(1,:)=u0; %设置系数矩阵A A(I,K)=zeros; A(1,1)=b1*P1+h*a1;x/cmu /u 0A(1,2)=-b1;A(I,K-1)=-b2;A(I,K)=b2*P1+h*a2;for i=2:K-1A(i,i)=2*P1;A(i,i-1)=-1;A(i,i+1)=-1;end%解方程for k=1:K-1R(1,1)=(b1*P2-h*a1)*u(1,k)+b1*u(2,k)+2*h*c1;R(I,1)=b2*u(I-1,k)+(b2*P2-h*a2)*u(I,k)+2*h*c2;for i=2:I-1R(i,1)=u(i-1,k)+2*P2*u(i,k)+u(i+1,k);endc=rank(A)==rank([A R]);u(:,k+1)=A\R;end%作图程序for k=10:20:100plot(x,u(:,k),'-k','LineWidth',2)hold onendaxis([0,10,0,35])xlabel ('\fontsize{14}\bfx/cm')ylabel ('\fontsize{14}\bfu/u_0')grid on%理论结果作图程序clearu0=0;q0k=10;I=101;h=0.1;D=1;for i=1:Ix(i)=(i-1)*h;endl=10;a=sqrt(D);for k=10:20:100t=0.1*k;u=0;for n=1:1000u=u+2*q0k*l/pi^2*(-1).^(n)./(n-1/2)^2*exp(-(n-1/2).^2*pi^2*a^2.*t/l^2).*sin((n-1/2).*pi.*x/l);endU=u+u0+q0k.*x;plot(x,U,':r','LineWidth',2)hold onendaxis([0,10,0,35])grid on例：clear%设置边界条件参数u0=0;q0k=10;D=1;a1=1.0;b1=0.0;a2=0.0;b2=1.0;c1=u0;c2= 0;%设置u矩阵及计算解方程系数I=101;K=101;h=0.1;tao=0.1;P=tao*D/h^2;P1=1/P+1;P2=1/P-1;for i=1:Ix(i)=(i-1)*h;endfor k=1:Kt=(k-1)*tao;endu(I,K)=zeros;%设置初始条件u(:,1)=-q0k.*x;%设置左端第一类边界条件u(1,:)=u0;%设置系数矩阵AA(I,K)=zeros;A(1,1)=b1*P1+h*a1;A(1,2)=-b1;A(I,K-1)=-b2;A(I,K)=b2*P1+h*a2;for i=2:K-1A(i,i)=2*P1;A(i,i-1)=-1;A(i,i+1)=-1;end%解方程for k=1:K-1R(1,1)=(b1*P2-h*a1)*u(1,k)+b1*u(2,k)+2*h*c1;R(I,1)=b2*u(I-1,k)+(b2*P2-h*a2)*u(I,k)+2*h*c2;for i=2:I-1R(i,1)=u(i-1,k)+2*P2*u(i,k)+u(i+1,k);endc=rank(A)==rank([A R]);u(:,k+1)=A\R;end%作图程序for k=1:10:101plot(x,u(:,k),'-k','LineWidth',2)hold onend%axis([0,10,0,35])xlabel ('\fontsize{14}\bfx/cm')ylabel ('\fontsize{14}\bfu/u_0')grid on%理论结果作图程序clearu0=0;q0k=10;I=101;h=0.1;D=1;for i=1:Ix(i)=(i-1)*h;endl=10;a=sqrt(D);for k=1:10:101t=0.1*(k-1);u=0;for n=1:10000u=u+2*q0k*l/pi^2*(-1).^(n)./(n-1/2)^2*exp(-(n-1/2).^2*pi^2*a^2.*t/l^2).*sin((n-1/2).*pi.*x/l);endU=u;plot(x,U,':r','LineWidth',2)hold onend%axis([0,10,0,35])grid onx/cmu /u 0热传导方程的混合问题泛定方程2201,0u u x t t x ∂∂=<<<∂∂初始条件 ()(),04101u x x x x =-≤≤边界条件()()0,001,0u t t u t =⎧⎪≤⎨=⎪⎩ 问题的数值解.clear%设置边界条件参数u0=0;D=1;a1=1.0;b1=0.0;a2=1.0;b2=0.0;c1=u0;c2=u0;%设置u 矩阵及计算解方程系数I=101;K=101;h=0.01;tao=0.01;P=tao*D/h^2;P1=1/P+1;P2=1/P-1;for i=1:Ix(i)=(i-1)*h;endfor k=1:Kt=(k-1)*tao;endu(I,K)=zeros;%设置初始条件u(:,1)=4.*x.*(1-x);%设置左端第一类边界条件u(1,:)=u0;%设置右端第一类边界条件u(101,:)=u0;x/cmu /u 0%设置系数矩阵AA(I,K)=zeros;A(1,1)=b1*P1+h*a1;A(1,2)=-b1;A(I,K-1)=-b2;A(I,K)=b2*P1+h*a2;for i=2:K-1A(i,i)=2*P1;A(i,i-1)=-1;A(i,i+1)=-1;end%解方程for k=1:K-1R(1,1)=(b1*P2-h*a1)*u(1,k)+b1*u(2,k)+2*h*c1;R(I,1)=b2*u(I-1,k)+(b2*P2-h*a2)*u(I,k)+2*h*c2;for i=2:I-1R(i,1)=u(i-1,k)+2*P2*u(i,k)+u(i+1,k);endc=rank(A)==rank([A R]);u(:,k+1)=A\R;end%作图程序for k=1:5:101plot(x,u(:,k),'-k','LineWidth',2)hold onend%axis([0,10,0,35])xlabel ('\fontsize{14}\bfx/cm')ylabel ('\fontsize{14}\bfu/u_0')grid on泛定方程2201,0u u x t t x ∂∂=<<<∂∂初始条件 ()()(),0sin 4101u x x x x =-≤≤边界条件 ()()0,001,0u t t u t =⎧⎪≤⎨=⎪⎩问题的数值解.clear%设置参数lambda=1;alpha=1/6;L=1;h=0.01;T=0.6;tao=alpha*h^2/lambda;N=fix(L/h);M=fix(T/tao);%设置u 矩阵及x 的值I=N+1;K=M+1;for i=1:Ix(i)=(i-1)*h;endu(I,K)=zeros;%设置初始条件u(:,1)=sin(4*pi.*x.*(1-x));%设置左端第一类边界条件u(1,:)=0;%设置右端第一类边界条件u(I,:)=0;%计算矩阵ufor k=1:Kfor i=2:I-1 u(i,k+1)=1/6*u(i+1,k)+2/3*u(i,k)+1/6*u(i-1,k); endendu;for k=1:100:1000plot(x,u(:,k),'-k','LineWidth',2)hold onend%axis([0,1,0,1])xlabel ('\fontsize{14}\bfx/cm') ylabel ('\fontsize{14}\bfTC^O') grid on。

《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》

《求解热传导正问题及反问题的数值方法研究》篇一一、引言热传导是物理学中一个重要的研究领域，广泛应用于工程、材料科学、生物医学等领域。

热传导正问题主要是根据已知的初始条件和边界条件，求解热传导方程以确定物体内部温度分布。

而热传导反问题则是根据观测到的温度数据，反推初始条件或边界条件等未知参数。

本文将重点研究求解热传导正问题和反问题的数值方法。

二、热传导正问题的数值方法1. 有限差分法有限差分法是一种常用的求解热传导正问题的数值方法。

该方法将连续的物理空间离散化为差分网格，通过差商近似微商，将热传导方程转化为差分方程组，进而求解温度分布。

有限差分法具有计算简单、易于实现等优点，但需要选择合适的网格大小和步长。

2. 有限元法有限元法是一种基于变分原理的数值方法，通过将连续的物理空间划分为有限个单元，求解每个单元内的温度分布。

该方法具有较高的计算精度和适应性，可以处理复杂的几何形状和边界条件。

在求解热传导正问题时，有限元法通常比有限差分法更为精确。

三、热传导反问题的数值方法1. 迭代法迭代法是一种通过反复迭代求解反问题的数值方法。

在求解热传导反问题时，根据已知的温度数据和正问题解的表达式，通过迭代更新初始条件或边界条件等未知参数，直到满足一定的收敛条件为止。

迭代法具有计算简单、易于实现等优点，但需要选择合适的迭代策略和收敛准则。

2. 优化算法优化算法是一种通过优化目标函数来求解反问题的数值方法。

在热传导反问题中，通常将未知参数作为优化变量，根据已知的温度数据和正问题解的表达式构建目标函数，通过优化算法求解最小化目标函数的问题。

常用的优化算法包括梯度下降法、遗传算法等。

优化算法具有较高的计算精度和适应性，可以处理复杂的反问题。

四、应用实例以某工程中混凝土结构的温度场监测为例，介绍求解热传导正问题和反问题的数值方法的应用。

首先通过有限元法求解混凝土结构的温度场分布，得到正问题的解；然后根据观测到的温度数据和正问题解的表达式，采用迭代法或优化算法求解混凝土的初始温度和边界条件等未知参数，得到反问题的解。

热传导方程的差分格式讲解

热传导方程的左分格式—上机卖习报告二零一gg年五月一维抛物方程的初边值问题分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题:du d2u”(兀0) = sin兀X、0 <x <1w(0,O = z/(l，O = 0, r >0在f = 0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u^t) = e-7：l sm(^x)进行比较。

1差分格式形式设空间步长h = l/N，时间步长r>0, T=M T,网比r = r/h2.(1)向前差分格式向前差分格式，即Z = /C\) ‘“；=0 =心),必=吆=0其中，丿= 1,2,…,N —1,R = 1,2,…,M—l. ^r^at/h2表示网比。

(1)式可改写成如下:M*+1 = + (i-2r)Uj + rw*_! + tfj此格式为显格式。

其矩阵表达式如下：Q-2r r)r l-2r(j、r 1一2广rl吐7、厂1一2、用丿加(2)向后差分格式(1)向后差分格式，即=0=久形)上：=WN =a其中j = 12・・\N_l,k = H,M_L (2)式可改写成- rw ：［： + (l+2r )叶' -中；；=0 + 叭此种差分格式被称为隐格式。

其矩阵表达式如下：rl + 2r -r( j \ I”-r l + 2r-r l + 2r -rW.V-1-r 1 + 2广丿MJ< UN >(3) 六点对称格式六点差分格式：喟-0 _ a加:-2喟+唸;唏- 2”； +吃,—T2L戸戸 J眄=0产久XJM=H ；=O.将(3)式改写成-g 唸;+ (1 + 时-1 昭=g 略 + (1 - 诃 * * 咯 + /其矩阵表达式如下：(1 + r -r/2<l-r r/2 ) ( j\ -r/2 l + rr/2 1-rui-r/2 l + r -r/2r/2 1-r r/2X-r 1+2匚M丿r/2 l-2r ；E >2利用MATLAB 求解问题的过程对每种差分格式依次取N = 40., r=l/1600, r=l/3200, el/6400,用 MATLAB 求解并图形比较数值解与精确解，用表格列出不同剖分时的Z?误差。

一维热传导方程的差分法

一维热传导方程的差分法1. 引言1.1 介绍一维热传导方程的差分法一维热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。

差分法是一种常用的数值解法，通过将时间和空间进行离散化，将偏微分方程转化为差分方程，从而可以通过计算机进行数值求解。

在一维热传导方程的差分法中，我们通常将时间和空间分别进行离散化，将连续的温度变化转化为离散的温度值。

通过迭代计算，可以得到物体内各个离散点的温度随时间的变化情况。

差分法的优点在于可以较好地模拟物体内部温度分布的变化，同时可以较快地得到数值解，对于复杂的边界条件和非线性问题也有较好的适用性。

通过研究一维热传导方程的差分法，可以更好地理解物体内部温度分布的变化规律，为工程实践提供有效的数值模拟手段。

同时也可以探讨数值解法的稳定性和收敛性，为进一步的数值模拟研究提供参考。

通过不断改进差分法的算法和技术，可以更准确地预测物体内部温度变化，为工程设计和科学研究提供有力支持。

1.2 研究背景一维热传导方程是描述热量在一维空间内传递和分布的数学模型，广泛应用于工程领域和物理学中。

研究热传导方程的差分法是为了解决实际问题中复杂边界条件和非线性情况下的热传导问题，以及对传热过程进行数值模拟和分析。

在工程实践中，热传导问题经常出现在各种材料的传热过程中，例如石油钻井中地下油层的温度分布、金属材料的焊接过程中的温度控制等。

研究热传导方程的差分法可以帮助工程师们更好地理解热传导过程，优化工程设计，提高生产效率。

研究热传导方程的差分法还可以为其他科学领域提供理论支持和数值计算方法。

在地质学中用于模拟地热传导过程、在气象学中用于模拟大气环流等。

深入研究一维热传导方程的差分法对于推动科学研究和解决实际问题具有重要意义。

1.3 研究目的研究目的是通过对一维热传导方程的差分法进行深入分析和研究，探索其在实际工程和科学问题中的应用潜力。

具体来说，我们的研究目的包括以下几个方面：我们希望能够建立一种有效的数学模型，用以描述和解决一维热传导问题，为实际问题的数值模拟提供理论基础。

有限差分法解热传导问题

y

0Hale Waihona Puke y xx y 4tm,n

2tm1,n

2x
qw
tm,n1
tm,n1
Φm,n
x2

1
(2) 外部角点
qw

y 2
tm1,n tm,n x

y 2 qw

x 2
qw

x 2
tm,n1 y
tm,n

Φ m,n
x 2

y 2

x2 m,n
x 2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
y2 m,n
y 2
建立离散方程
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：
2t x 2

2t y 2
v
0
其节点方程为：
ti1, j
2ti, j
x2
＝流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
建立离散方程
内部节点：Φm1,n Φm1,n Φm,n1 Φm,n1 0
(m,n+1)
y
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
y
y o
(m-1,n)
x
x
(m, n) (m,n-1)
x
(m+1,n)
建立离散方程
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
NDSolve[{D[u[x,t],t]=D[u[x,t],{x,2}],u[x,0]=-x*(1x),Derivative[1,0][u][0,t]=0,Derivative[1,0][u][1,t]=3u[1,t],u,{x,0,1},{t,0,0.3}]

热传导方程的初边值问题的差分解法

热传导方程的初边值问题的差分解法毕业论文设计题目: 热传导方程初边值问题的差分解法院系: 数学与计算机科学学院 _专业年级: 2008级数学与应用数学系姓名: XXX__ _ 学号: 200808101134 __ _指导教师: XXX______ _2012年5月摘要文章目的是为了探讨热传导方程初边值问题的差分解法。

本文包括以下两部分主要内容:第一部分即是对比传统热传导方程初边值问题的变量分离法的差分解法;第二部分即是热传导方程初边值问题差分解法的具体例子。

其中主要涉及到的方法有热传导方程初边值问题的分离变量法和有限差分法。

那么先具体介绍有限差分法。

基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

在采用数值计算方法求解偏微分方程时,若将每一处导数由有限差分近似公式替代,从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题,即所谓的有限差分法。

有限差分法求解偏微分方程的步骤如下: 1.区域离散化,即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格;2.近似替代,即采用有限差分公式替代每一个格点的导数;3.逼近求解。

换而言之,这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。

对比与分离变量法,有限差分法有着其特性,方便且更精确的特性。

经过下面的一番比较,我们有理由相信有限差分法是大有用途的。

关键词: 差分格式步长网络节点截断误差 AbstractThe article aims to explore the heat conduction equation initial boundary value problem of the finite difference method This paper includes the following two parts of the main content:The first part is compared with the traditional heat conduction equation initial boundary value problem of the separation of variables method finite difference method;The second part is the heat conduction equation initial boundary value problem of difference methods for specific examples Which mainly relates to a method for heat conduction equation initial boundary value problem of the separation of variables method and finite difference method. It first introduces the finite difference method. The basic idea is to use a continuous solution region using finite discrete points constitute a grid to replace, the discrete points are called grid node; the continuous solution of continuous variable function is used in the grid defined on a discrete variables function to approximate; the original equations and boundary conditions of the difference quotient to micro commercial approximation, integralintegral and to approximate, and the differential equations and boundary conditions is approximately replaced by algebraic equations, finite difference equation, the solution to this equation can get the original problem in the discrete points on the approximate solution. And then using interpolation methods can be determined from the discrete solution solution of the approximate solution on the entire region. In the use of numerical methods for solving partial differential equations, if every derivative by finite difference approximation formula substitution, the solution of partial differential equations of the problem is transformed into solving algebraic equations, the so-called finite difference method Finite difference method for solving partial differential equations: 1discrete regions, which are for solving partial differential equations by the finite region is subdivided into a lattice grid consisting of;2approximate substitution, i.e. finite difference formula one substitution per lattice points of the derivative;3approximation solution. In other words, this process can be viewed as a polynomial interpolation and its differential instead of partial differential equation solution process.In contrast with the method of separation of variables, the finite difference method has the characteristics of convenient, and more precise characteristics. After following a comparison, we have reason to believethat the finite difference method is of great use Key words: differential format step network node truncation error 目录绪论 (1)1热传导初边值问题分离变量法的介绍21.1热传导初边值问题分离变量法的具体应用32热传导初边值问题有限差分法的介绍52.1 对于显式与隐式有限元的理解.72.1.1 两种算法的比较72.1.1.1 显式算法82.1.1.2 隐式算法8 2.1.2 求解时间..82.1.3 两种方法的应用范围82.1.4 总结.92.2有限差分法求解此热传导方程初边值问题92.3 初边值问题差分法的实例.10致谢 (11)参考文献.12绪论关于有限差分法的目的即是如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分;如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。

热传导方程差分格式

热传导方程的差分格式第2页一维抛物方程的初边值问题分别用向前差分格式、向后差分格式、六点对称格式，求解下列问题：.:u ；：2ua 2，0 ：：： x ：： 1,.:t ；xu(x,0) =sin 二x, 0 ：： x :: 1u(O,t) =u(1,t) =0, t 02在t =0.05,0.1和0.2时刻的数值解，并与解析解u(x,t)=ef t s in (二x)进行比较1差分格式形式2设空间步长h =1/ N ,时间步长• • 0, T =M •，网比r = • / h .(1) 向前差分格式该问题是第二类初边值问题(混合问题)，我们要求出所需次数的偏微商的函数Eu c2uu(x,t)，满足方程—a—^, 0 ：：：x ：：：1,和初始条件u(x,0)= sin x , 0 x ：：： 1抚ex及边值条件u(0,t) =u(1,t) =0, t 0。

已知sin二x在相应区域光滑，并且在x =0,丨与边值相容，使问题有唯一充分光滑的解。

取空间步长h =1/ N，和时间步长-T /M，其中N,M都是正整数。

用两族平行直线x= j X =( j h0Hj 1 ，和tlNt k =X(k=0,1,|||,M) 将矩形域G二｛0 — x — 1,t — 0｝分割成矩形网络，网络格节点为(X j,t k)。

以G h表示网格内点集合，即位于矩形G的网点集合；G h表示闭矩形G的网格集合；丨h=G h-G h是网格界点的集合。

向前差分格式，即k 1 k k k ku, -u, u, 1 -2比■ u, 4- j二a 亠2亠t ( 1)£hk 1 kU j _Uj[ T2k 1 c k 1a U j 1 -2U jh 2k k kU j 1 _2U j U j 和]f j(3)0 U j=(X j ), U 0 = U N = 0.f i = f(x),k kU j j = (X j ), U o = U N = 0其中，j =1,2，…，N _1,k =1,2,…，M 一1.以r =a ./h 2表示网比。

CP090-计算物理热传导方程的差分解法

t T
（9.6）
9.2 一维热传导方程的差分解法
边界条件： 3、第三类边界条件：
u (, t ) x (t )u (, t ) g (t ) u (l , t ) (t )u (l , t ) g (t ) x
其中， (t )
9.1 热传导方程概述
四、三维非齐次热传导方程由能量守恒定律，即
Q Q Q
可得：
或
u t dt V [c t ( Ku) F ]dV u c ( Ku ) F ( x, y, z, t ) t
t
（9.1）
式（9.1）称为各向同性介质有热源的热传导方程，也叫三维非齐次热传导方程。
9.1 热传导方程概述
五、三维齐次热传导方程当介质均匀（ c 、和 K 为常数）内无热源（ F ( x, y, z, t ) ）时：、V
u c Ku, t
上式可表示为：
其中 x y z
u K u u u ( ) t c x y z
9.2 一维热传导方程的差分解法
例 9.1 求热传导方程混合问题：
u u t x u ( x,) x( x) u (, t ) , u (, t )
x , t x t
的数值解，取 N=10，h=0.1,计算到 k=36 为止。
9.2 一维热传导方程的差分解法
2、差分格式的稳定条件
h
3、具体步骤（1）给定 , l , h, , T ；（2）计算 h / , N l / h, M T / ；

热传导方程德有限差分法

热传导方程德有限差分法在热传导领域，热传导方程是一个非常重要的数学模型。

而德有限差分法则是一种广泛使用的数值求解方法，用于解决热传导方程。

本文将介绍德有限差分法在热传导方程中的应用，包括方法的基本原理、求解过程及实际应用。

一、德有限差分法的基本原理德有限差分法是一种常用的数值程序，用于解决偏微分方程问题，尤其是热传导方程问题。

其基本思想是将二阶偏微分方程的差分替换为有限差分，再将有限差分数列的递推公式表示出来。

用这些公式代替偏微分方程中的导数，然后将其转化为一组线性方程组求解，从而得到数值解。

具体来说，偏微分方程可以通过一组一阶方程表示为：∂u/∂t = α ∂²u/∂x² (1)其中，u(x,t)表示物理量在时空域里的分布状态，α 表示热扩散系数，t表示时间。

热传导方程本质上是一个物理问题，而这里的关键在于如何求解其数值解。

德有限差分法的核心思想是将时间和空间分别分成大小相等的网格，将连续曲线上的点离散成一组点，从而转化为一个差分方程解析模型。

具体过程如下：1.选择网格网格的大小和数量；2.确定初始条件和边界条件；3.用有限差分逼近原方程；4.计算节点上的值；5.实现迭代算法。

二、对热传导方程应用德有限差分法当使用德有限差分法时，我们将网格分为水平和垂直方向，用i 和j分别表示各自的索引。

时间变量t用k表示。

由此可得，差分方程数列如下：uij(k + 1) = uij(k) + α(t/k)[ui-1,j(k) - 2ui,j(k) + ui+1,j(k) + ui,j-1(k) - 2ui,j(k) +ui,j+1(k)]这个式子表明，一个节点的表面积将受到其周围节点温度的影响，所以该节点的温度会发生变化。

通过迭代计算，我们可以得到数值解。

数值解可以通过散点图进行可视化展示，以便更好地理解结果，并作为之后评估模拟结果的基础。

三、热传导方程德有限差分法在实际应用中的举例在实际应用中，热传导方程德有限差分法可以用于解决多种问题。

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