微分几何习题及答案解析

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第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数具有固定方向的充要条件是 × = 。分析：一个向量函数一般可以写成 = 的形式，其中为单位向量函数，为数量函数，那么具有固定方向的充要条件是具有固定方向，即为常向量，（因为的长度固定）。证对于向量函数，设为其单位向量，则 = ，若具有固定方向，则为常向量，那么 = ，所以 × = （ × ）= 。反之，若 × = ，对 = 求微商得 = + ，于是 × = （ × ）= ，则有 = 0 或 × = 。当 = 0时， = 可与任意方向平行；当 0时，有 × = ，而（ × = ?-( ? ＝，（因为具有固定长， ? = 0），所以 = ，即为常向量。所以，具有固定方向。6．向量函数平行于固定平面的充要条件是（）=0 。分析：向量函数平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量，使 ? = 0 ，所以我们要寻求这个向量及与，的关系。证若平行于一固定平面π，设是平面π的一个单位法向量，则为常向量，且 ? = 0 。两次求微商得 ? = 0 ， ? = 0 ，即向量，，垂直于同一非零向量，因而共面，即（）=0 。反之, 若（）=0，则有 × = 或 × 。若 × = ，由上题知具有固定方向，自然平行于一固定平面，若 × ，则存在数量函数、，使 = + ①令 = × ，则，且 ⊥ 。对 = × 求微商并将①式代入得 = × = （ × ）= ，于是 × = ，由上题知有固定方向，而 ⊥ ，即平行于固定平面。§3 曲线的概念3. 证明圆柱螺线 ={ a ,a , } ( )的切线和z轴作固定角。证明 = {-a ,a , },设切线与z轴夹角为 ,则 = 为常数，故为定角（其中为z轴的单位向量）。10. 将圆柱螺线 ={a ，a ，b }化为自然参数表示。解 = { -a ,a ,b}，s = ，所以，代入原方程得 ={a , a , }§4 空间曲线1．求圆柱螺线 =a ， =a ， = b 在任意点的密切平面的方程。解 ={ -a ,a ,b}, ={-a ,- a ,0 }所以曲线在任意点的密切平面的方程为= 0 ，即(b )x-(b )y+az-abt=0 .2. 求曲线 = { t ,t ,t } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。解原点对应t=0 , (0)={ +t , - t , +t ={0,1,1}，{2 + t , - t ,2 +t ={2,0,2} ，所以切线方程是，法面方程是 y + z = 0 ；密切平面方程是 =0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是即；从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式。3．证明圆柱螺线 =a ， =a ， = b 的主法线和z轴垂直相交。证 ={ -a ,a ,b}, ={-a ,- a ,0 } ，由 ⊥ 知为主法线的方向向量，而所以主法线与z轴垂直；主法线方程是与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。4.在曲线x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单

微分几何习题及答案解析

、

第一章曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r

= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e

为单位向

量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e

具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r

具有固

定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r

=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e

求微商得'r ='λe +

λ'e ，于是r ×'r =2

λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ

≠

0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2

'e ，（因

为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r

具有固

定方向。

6．向量函数)(t r

平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n

，使

)(t r

·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。

微分几何课后习题答案

微分几何是数学中的一个重要分支，研究的是曲线、曲面以及高维空间中的几

何性质。在学习微分几何的过程中，课后习题是巩固知识、提高理解能力的重

要途径。本文将针对微分几何课后习题给出一些答案，并解析其中的一些关键

思路和方法。

一、曲线的参数化

1. 给定曲线的参数方程为：

x = t^2

y = t^3

求曲线的切向量和法向量。

解析：

曲线的切向量是曲线在某一点上的切线的方向，可以通过对参数方程求导得到。对x和y分别求导，得到：

dx/dt = 2t

dy/dt = 3t^2

所以切向量为：

T = (dx/dt, dy/dt) = (2t, 3t^2)

曲线的法向量与切向量垂直，可以通过将切向量逆时针旋转90度得到。

所以法向量为：

N = (-dy/dt, dx/dt) = (-3t^2, 2t)

二、曲线的长度

2. 计算曲线的长度：

x = e^t

y = e^(-t)

解析：

曲线的长度可以通过积分求解。首先计算曲线的切向量：

dx/dt = e^t

dy/dt = -e^(-t)

曲线的长度可以表示为：

L = ∫√(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt

= ∫√(e^t)^2 + (-e^(-t))^2 dt

= ∫√(e^2t + e^(-2t)) dt

这是一个积分问题，可以通过换元法解决。令u = e^t，那么du = e^t dt。将u代入上式，得到：

L = ∫√(u^2 + u^(-2)) du

= ∫√(u^4 + 1) du

这是一个较为复杂的积分，可以通过换元法或者级数展开法求解。

微分几何课后答案

⑶验证伏雷内公式。分析这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。 r 解 ⑴ r ' = {−3 cos 2 t sin t ,3 sin 2 t cos t ,−2 sin 2t} = sin t cos t{−3 cos t ,3 sin t ,−4} ，
r r r r | r '×r ' ' | 2a 2 cosh t 1 = r '×r ' ' = a{− sinh t , cosh t ,−1} ，所以 k = r 3 = 3 | r '| 2a cosh 2 t ( 2a cosh t )
29
微分几何主要习题解答
τ=
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) a2 1 = = r r 2 4 2 (r '×r ' ' ) 2a cosh t 2a cosh 2 t
r
r
r r r '×r ' ' | r '×r ' ' | r 新曲线的方程为 r ={ cos α cost + sin α sint ，cos α sint- sin α cost ，tsin α + cos α }

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限232

lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．

2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0

lim(()())t f t g t →⋅= 0 ．

3．已知{}42

r()d =1,2,3t t -⎰， {}6

r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则

()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰

⎰{}3,9,5-.

4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t =

t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4

微分几何习题及答案解析

第一章曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r

= 0

。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e

为单位向

量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e

具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r

具有固

定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r

=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r

'r =2

λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意

方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e

2)＝2'e ，（因

为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e

为常向量。所以，)(t r 具有固

定方向。

6．向量函数)(t r

平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n

，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r

的关系。

微分几何答案

部分习题答案与提示
April 15, 2011
第二章
1．求曲线r = aϕ的曲率． Proof. 提示：r = (r cos ϕ, r sin ϕ)． 2．求曲线r = a(1 + cos ϕ)的曲率． Proof. 参考第一题． 3．求平面曲线r (t) = (a cos t, a sin t)在任意点的曲率． Proof. 直接计算． 4．求使曲线y = ex 曲率取得极值的点． Proof. 提示：r = (x, ex )． 5．求曲线 x a2 −
设C : r = r (s)，则其渐伸线C ∗ : r ∗ = r + λα，求导得 α∗ ds∗ ˙ α + λα ˙ )α + λτ β . ˙ = (1 + λ =α+λ ds
˙ + 1 = 0，所以λ = c − s，r ∗ = r + (c − s)α．两边和α作内积得λ 23．求抛物线的渐屈线．
第二章曲线论 Proof. 设C : r = r (s)的主法线是C ∗ : r ∗ = r ∗ (s)的副法线．则 r ∗ (s) = r (s) + λ(s)β (s), ds∗ ˙ β + λβ ˙ =α+λ ˙ β + λ(−κα + τ γ ). ˙∗ ˙ +λ r =r ds ˙ = 0，所以λ = λ0 （常数）．所以两边与β 作内积得λ α∗ ds∗ = (1 − λ0 κ)α + λ0 τ γ . ds

微分几何练习试题库与参考答案解析(已修改)

微分几何》复习题与参考答案

、填空题

1．极限lim[(3 t 2

1)i t 3

j k] 13i 8j k ．

2．设f(t) (sin t)i t j ，g(t) (t 2

1)i e t

j ，求lim( f(t) g(t)) 0 ．

3．已知 2 r( t)dt = 1,2,3 ， 4 r(t)dt= 2,1,2 ，a 2,1,1 ，b 1, 1,0 ，则 46

a r (t)dt+

b a r(t)dt= 3, 9,5 . 4．已知 r (t) a ( a 为常向量)，则 r(t) ta

c ． 5．已知 r (t) ta ，( a 为常向量)，则 r(t) 1

t 2

a c ．

6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的 ___ 切线___和 _____ 密切平面 .

7. 曲率恒等于零的曲线是直线 _________________ .

8. 挠率恒等于零的曲线是平面曲线 _____________ .

9. 切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 .

10. 曲线r r(t)在 t = 2 处有 3 ，则曲线在 t = 2 处的曲率 k = 3 . 11. 若在点 (u 0,v 0)处r u r v 0，则(u 0 , v 0 )为曲面的 _ 正常点.

12．已知 f(t) (2 t)j (lnt)k ，g(t) (sin t)i (cost) j ，t 0，则 (f g)dt 2

6cos4 ． 0 dt 13．曲线r (t ) 2t,t 3,e t 在任意点的切向量为 2,3t 2, e t ．

微分几何彭家贵课后题答案.docx

习题一（ P13）

2.设 a(t ) 是向量值函数，证明：

（1）a常数当且仅当a(t ), a (t )0 ；

（2）a(t )的方向不变当且仅当a(t ) a (t)0 。

（1）证明：a

a(t), a(t )

常数a常数常数

a (t ), a(t)a(t ),a (t)0

2a(t), a (t)0a(t), a (t )0。（2）注意到：a(t ) 0 ，所以

a(t )

a(t ) 的方向不变单位向量e(t)常向量。

a(t )

若单位向量 e(t )a(t)

e (t )0 e(t ) e (t )0。

常向量，则

a(t)

反之，设 e(t) 为单位向量，若 e(t ) e (t)0 ，则 e(t ) / /e (t ) 。

由 e(t) 为单位向量e(t ), e(t )1e(t ), e (t )0e(t) e (t ) 。

e(t ) / /e (t)

e (t )0e(t)从而，由

e (t )常向量。

e(t )

所以， a(t) 的方向不变

a(t )

常向量单位向量 e(t )

a(t )

e(t) e (t )0a(t ) a (t) d (1)a(t )0

a(t )a(t)dt a(t)

2 a(t) a (t )d11

a(t )a(t)0

a(t)

()

a(t ) dt a(t)

a(t ) a (t )0 。即

a(t ) 的方向不变当且仅当a(t) a (t )0 。补充：

定理 r (t)平行于固定平面的充要条件是r (t), r(t), r (t )0 。

证明： "" ：若r (t )平行于固定平面，设 n 是平面的法向量，为一常向量。于是，r (t ), n0r (t ), n0,r (t ), n0

微分几何理解练习知识题目整合及答案解析

微分⼏何理解练习知识题⽬整合及答案解析

《微积分⼏何》复习题本科第⼀部分：练习题库及答案

⼀、填空题（每题后⾯附有关键词；难易度；答题时长）

第⼀章

1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹⾓的余弦θcos =

6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平⾯⽅程为X-Z=0

4．求两平⾯0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式⽅程为2

131--=

-=+z y x 5．计算2

lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ．

6．设()(sin )t t t =+f i j ，2

()(1)t

t t e =++g i j ，求0

lim(()())t t t →?=f g 0 ．

7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2

t u =，t v sin =，则

d d t

(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2

t =θ，则

d (,)

d t

θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4

()d (1,2,3)t t =-?

r ，6

()d (2,1,2)t t =-?

r ，求

()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限232

lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．

2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0

lim(()())t f t g t →⋅= 0 ．

3．已知{}42

r()d =1,2,3t t -⎰， {}6

r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则

()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰

⎰{}3,9,5-.

4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +．

5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212

t a c +．

6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____.

7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .

8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

微分几何理解练习知识题目整合及答案解析

《微积分几何》复习题本科第一部分：练习题库及答案

一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）

第一章

1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos =

6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积⨯=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0

4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2

131--=

-=+z y x 5．计算2

lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ．

6．设()(sin )t t t =+f i j ，2

()(1)t

t t e =++g i j ，求0

lim(()())t t t →⋅=f g 0 ．

7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2

t u =，t v sin =，则

d d t

(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =ϕ，2

t =θ，则

d (,)

d t

ϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9．已知4

()d (1,2,3)t t =-⎰

r ，6

()d (2,1,2)t t =-⎰

r ，求

()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b

微分几何(彭家贵,陈卿)习题答案

习题一（P13）

2.设()a t 是向量值函数，证明：

（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=；（2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。

（1）证明：a =常数⇔2

a =常数⇔(),()a t a t <>=常数

⇔(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>=

⇔2(),()0a t a t '<>=⇔(),()0a t a t '<>=。

（2）注意到：()0a t ≠，所以

()a t 的方向不变⇔单位向量()

()()

a t e t a t =

=常向量。若单位向量()

()()

a t e t a t =

=常向量，则()0()()0e t e t e t ''=⇒∧=。反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。

由()e t 为单位向量⇒(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=⇒<>=⇒()()e t e t '⊥。

从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '⎫

'⇒=⇒=⎬'⊥⎭

常向量。

所以，()a t 的方向不变⇔单位向量()

()()

a t e t a t =

=常向量 ⇔()()1

()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ⎛⎫''∧=⇔∧+= ⎪ ⎪⎝⎭

微分几何课后习题解答

第二章曲面论

§1曲面的概念

1.求正螺面={ u,u , bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为={u,u ,bv}=｛0,0，bv｝＋u

{,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;

v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。

3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。

解=，

任意点的切平面方程为

即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0 ；

法线方程为。

4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .

7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R

＝０，确定两个切方向（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.

证明因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为

P+ 2Q+ R=0 ,设其二根,, 则=，+=……

①又根据二方向垂直的条件知E+ F(+)+ G = 0 ……②

将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .