27.2.1相似三角形的判定(第一课时)
人教版九年级数学下27.2.1相似三角形的判定(第一课时)教学设计
27．2．1相似三角形的判定（第一课时）教学设计
南滨中学--冼耀
辉
〔教学目标〕
1．了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。
此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
《相似三角形的判定》完整版PPT1
1.对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如上 图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3是对应 线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段. 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等 于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对 应线段写在对应的位置上.
3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与 这组平行线上的线段无关.
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形相似. 几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.
定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
三角形相似的两种常见类型：
A
D
E
B
C
B
“A ”型
D
E
A
C
“X ” 型
巩固新知
如图，AB//EF//DC，AD//BC，EF 与 AC 交于点 G，则图
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗？
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的
平行线 DE，交 AC 于点 E.
A
D
E
B
C
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长 是否对应成比例？
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
F
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，
C
AB AC BC k，
DE DF EF
A
BD
E
即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与
△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为 1 .
27.2.1___相似三角形的判定____(第1课时)
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
E A D
E C
B （图2） C
如图,DE//BC,写出图中所有的比例式.
“A”型
A
（图1）D
AD AE DE AB AC BC
AD AB DE BC AD AE BD EC BD CE AB AC AD BD AB AE EC AC
等等
A
E
C
当D不是边AB的中点时，如图,DE//BC, △ADE与△ABC还相似吗? 说明理由.
解：相似，理由如下： 在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC AD AE ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C AB AC 过E作EF//AB交BC于F 则 AE BF AC BC ∵四边形DBFE是平行四边形 ∴DE=BF B
,等
平行线分线段成比例定理：三条 平行线截两条直线，所得的对应 线段的比相等。
推论：平行于三角形一边的直线截 其他两边（或两边的延长线），所 得的对应线段的比相等。
如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交 AC于E, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 解：△ADE∽△ABC，理由如下：
相似多边形的性质是什么？相似多边形的判定是什么？ 在相似多边形中最简单的是相似三角形,如图,△ABC 与△A’B’C’相似,它们的对应边和对应角有什么关系?
如何判断两个三角形相似呢?
相似三角形及其表示
在△ABC和△A’B’C’中,如果
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’, 我们就说△ABC与△A’B’C’相似, 记作:△ABC∽△A’B’C’ k就是它们的相似比.
A
D
D F
E
27.2.1 相似三角形的判定(第一课时)
27．2 相似三角形27．2.1 相似三角形的判定第一课时一、教学目标1．经历探究平行线分线段成比例及其推论的过程，获得探究数学结论的体验，进一步发展学生的探究、分析、归纳与交流的能力．2．掌握平行线分线段成比例定理及其推论，会运用定理及其推论解决简单的问题．二、教学重难点重点：平行线分线段成比例定理及其推论．难点：平行线分线段成比例定理的应用．教学过程（教学案）一、问题引入师提问：相似多边形的主要特征是什么？学生思考、回顾后，回答：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.如果△ABC 与△A ′B ′C ′相似，相似比为k.相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC 与过△A ′B ′C ′相似记作“△ABC ∽△A ′B ′C ′”．教材图27.2－1判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法(SSS ，SAS ，ASA ，AAS)．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？学生交流、讨论．二、互动新授【探究】 见教材P29探究学生动手实践后，交流，讨论．教师讲评：可以发现，当l 3∥l 4∥l 5时，有AB BC ＝DE EF ，BC AB ＝EF DE ，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF等． 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况．(教材图27.2－3)（1） （2）教材图27.2－3在教材图27.2－3(1)中，把l 4看成平行于△ABC 的边BC 的直线；在教材图27.2－3(2)中，把l 3看成平行于△ABC 的边BC 的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．三、精讲例题【例】 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，另两条直线分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C 及点D 、E 、F ，且AB ＝3，DE ＝4，EF ＝2，则( )．A ．BC ∶DE ＝1∶2B ．BC ∶DE ＝2∶3C ．BC ·DE ＝8D ．BC ·DE ＝6【解析】 由选项知求的是BC 和DE 之间的关系，由平行线分线段成比例定理得AB BC ＝DE EF，所以BC ·DE ＝6.【解】 D四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？五、板书设计六、教学反思相似三角形是初中数学的重点内容之一，对学生分析能力、化归能力的培养与训练起重要的作用．注重学生的动手操作能力，探究平行线分线段成比例的定理，有利于培养学生的动手能力和学习兴趣．27．2 相似三角形27．2.1 相似三角形的判定第一课时1．平行线分线段成比例定理．2．平行线分线段成比例定理的推论．导学方案一、学法点津成比例线段在测量中经常用到，如比例尺．应用成比例线段时应注意对应线段的单位必须一致．本节课主要是通过动手操作实验，学习平行线的性质、平行线分线段成比例定理．平行线分线段成比例定理要抓住对应线段成比例，必须分清哪些线段是对应线段．二、学点归纳总结1.知识要点总结（1）平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．2.规律方法总结（1）用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应顶点应该写在对应的位置上，以便指明对应角、对应边．（2）寻找平行线分线段成比例定理中的对应线段，可根据图形中线段的对应位置来确定，大致有：上∶下＝上∶下，上∶上＝下∶下，上∶全＝上∶全，下∶全＝下∶全．第一课时作业设计一、选择题1．如图所示，AF ∥DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝6，EF ＝3，则FC 的长为( )．A ．3B ．4.5C ．7.5D ．82．如果△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，△A ′B ′C ′与△A ″B ″C ″的相似比是54，那么△ABC 与△A ″B ″C ″的相似比是( )．A.56B.65C.158D.8153．如图所示，DE ∥BC ，DE 分别交BA ，CA 的延长线于点D ，E ，AD ＝5，BD ＝15，EC ＝12，则AE 的值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6第1题图 第3题图二、填空题4．已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶3，则△ABC 与△DEF 的相似比k 1＝__________；△DEF 与△ABC 的相似比k 2＝__________．5．如图，l 1∥l 2∥l 3，另两条直线分别交l 1，l 2，l 3于A ，B ，C 及A ，D ，E ，其中AB ＝5，AC ＝7，AE ＝8，则DE ＝________．6．有一块三角形的草地，它的一条边长为25m.在图纸上，这条边的长为5cm ，其他两边长均为4cm ，则其他两边的实际长度均为__________．三、解答题7．如右图所示，在△ABC 中，AB ＝20cm ，AG ＝16cm ，AD ＝12cm ，AE ＝9cm ，AH ＝12cm ，DE ∥BC ∥GH ，求EC ，HC 的长．【参考答案】1．C 2.A 3.B 4.13 3 5.1676.20m 7．解：∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC .即1220－12＝9EC. ∴EC ＝6cm .∵GH ∥BC ，∴AG GB ＝AH HC . 即1620－16＝12HC .∴HC ＝3cm .。
27.2.1相似三角形的判定
∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定
27.2.1相似三角形判定(20141219 SSS、SAS)
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB BC AC = = , 例2.如图已知, AD DE AE
试说明∠BAD=∠CAE. A D B E C
1.图中的两个三角形是否相似?
2如图在正方形网格上有 、如图在正方形网格上有△Ａ Ｃ A1 B1C1和A C 1Ｂ 1和 2 B21 2， △Ａ 它们相似吗？如果相似 ，求出相似比；如果 2Ｂ2Ｃ2,它们相似吗？如果相似，求 出相似比；如果不相似，请说明理由。 不相似，请说明理由。
探究3
边S 角A 边S
A
AB AC 已知： A B AC k ,
∠A =∠A′ . 求证：△ABC∽△A′B′ C′. A′
B
C
你能证明吗？ C′
B′
AB AC , A A '. 已知：在ABC和A' B' C '中， A' B ' A'C ' 求证: △ ABC ∽△ A ' B ' C '.
1.定义判定法 2.平行判定法 比较复杂，烦琐 只能在特定的图形里面使用
3.边边边判定法（SSS） 4.边角边判定法（SAS）
不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功!
证明：在线段A ' B（或它的延长线 ' 上）截取A ' D AB，过点D再作 DE ∥ B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得 B A' DE ∽A ' B ' C '.
C D E A
A'
AB AC , A ' D AB. 又 A ' B ' A 'C '
初中人教版数学九年级下册27.2.1核心素养【教学设计】《相似三角形的判定》
《27.2.1相似三角形的判定（1）》教学模式介绍：数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体。
核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展。
教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。
课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展。
设计思路说明：“相似三角形的判定”是在学习了相似图形之后，有了相似图形、相似多边形的基础，学生不难理解相似三角形的基本性质及相似比的有关规定。
教学中结合相似多边形也不难知道相似三角形的对应角相等，对应边的比例相等。
在用符号“∽”表示两个三角形相似时，应注意把表示对应顶点的字母写在对应位置，以便相对容易找出对应角和对应边。
全等是相似的特殊情形（相似比为1），这一点有必要让学生明白。
判断两个三角形相似的三个定理之间有内在的关联。
于是我们用测量的方法来直接归纳出结论，为了达到比较好的效果，我们设计了几道题目进行巩固。
随后利用平行线分线段成比例定理引出其推论，进而得到三角形相似的预备定理。
我们把重点放在证明预备定理上，因为其方法是非常重要的。
最后，再总结结论，拓展练习，以巩固知识的掌握程度。
教材分析本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准2011版》中的“图形与几何”，相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索并证明相似三角形的判定定理。
人教版_《相似三角形的判定》PPT经典课件1
∵DE是⊙O的切线，∴DE＝EC，∵EB＝ED，∴EC＝EB， 要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ，我们需要证明什么？ 12．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，
△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
通过度量，我发现△ADE∽△ABC，且
只要DE∥BC，这个结论恒成立.
要用相似的定义去证明△ADE∽△ABC ，
理解相似三角形的概念。
我们需要证明什么？ 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？
些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段
是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
B2
A3
B3
B1 A1
A2(B2)
A3
B3
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长线)，所得的对应线段成比例.
巩固新知
C AB//CD AB//CD//EF
AB//CD//EF
合作探究
新知三 利用平行线判定两个三角形相似的定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 人教版 · 数学· 九年级（下）
分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
7．(2019·贺州)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，
几何语言： 由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定(一)三边成比例的两个三角形相似课件
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
解：∵ AB BC AC ,
AD DE AE
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
B
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°. D
A
C E
相似三角形的判定（一）
三边成比例的两个三角形相似
学习目标
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理； 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.（重点、难点）
导入新课
回顾与思考
A
问题 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC？
D
E
B
C
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边
来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究 问题：在下面两个三角形中，若 A' B' B' C' A' C' ，
AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′？. A
A′
B′
C′
B
C
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
所以△ABC∽△A′B′C′.
试利用前面的定理证明该结论.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
又∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB.
∴∠BAC=∠DAE.
(2)AB=4， ∴ △PAC ∽ △PDB
所以△ABC∽△A′B′C′. 证明：设____________= k . DE＝20， EF＝16， DF＝8.
人教版九年级数学下27.2.1相似三角形的判定(第一课时)教学设计
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，教师要善于运用启发式教学，引导学生主动发现、总结相似三角形的判定方法，提高他们的数学素养。通过本章节的学习，使学生掌握相似三角形的判定方法，为后续几何学习打下坚实基础。
（2）结合数学学科特点，探讨相似三角形在艺术、建筑等领域的应用，撰写一篇小论文。
作业要求：
1.学生独立完成作业，确保解题过程的正确性和答案的准确性。
2.注重作业书写的规范性和整洁性，体现良好的学习态度。
3.鼓励学生积极参与小组合作作业，提高团队协作能力。
4.教师在批改作业时，关注学生的解题思路和方法，及时给予评价和指导。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：相似三角形的判定方法及其应用。
2.难点：相似三角形的判定过程中，学生对于比例关系的理解和运用；以及在解决实际问题时，相似变换的灵活运用。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
利用生活中常见的相似图形，如照片放大、缩小等，引导学生观察、思考相似三角形的性质。通过实际案例，激发学生探究相似三角形判定的兴趣。
1.帮助学生巩固几何基础知识，特别是全等三角形的判定方法，为学习相似三角形打下坚实基础。
2.注重培养学生的观察能力和空间想象力，提高他们发现相似三角形判定方法的能力。
3.针对学生个体差异，设计不同难度的问题，使每位学生都能在课堂上得到锻炼和提升。
4.加强对学生合作学习的引导，培养他们沟通交流、共同解决问题的能力。
（2）鼓励学生积极参与拓展性学习，提高他们的数学素养。
（3）充分挖掘学生的潜能，激发他们的创新意识。
27.2.1_相似三角形的判定(AA)
似． (两个角分别对应相等的两个三角形相似
A
.)
A'
B
C
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
6.(HL)判定定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
H
√
L
(两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例)
小练习
找出图中所有的相似三角形。 “双垂直”三角形 C 有三对相似三角形： △ACD∽ △CBD △CBD∽ △ABC A D △ BACD∽ △ABC
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
C
A
D 常用的相等的角：
B
∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD 常用的成比例的线段：
AC BC AB CD AC 2 AD AB 2 BC BD AB CD 2 AD DB
如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
【例1】弦AB和CD相交于⊙o内一点P， 求证：PA·PB=PC·PD. 证明:连接AC、BD
∵∠A、∠D都是 CB 所对的圆周角，
O P
C B A D
∴∠A=∠D. 同理: ∠C=∠B. ∴△PAC∽△PDB. PA PC PD PB 即PA·PB=PC·PD.
（HL）
27.2.1
相似三角形的判定 （AA）
一、如何判断两三角形是否相似?
1.定义法:两三角形对应角相等，对应边的比相等的 两个三角形相似 2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角 形相似。
相似三角形的判定第一课时教案,
1.相似多边形的主要特征是什么？
2.在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且 ．我们就说△ABC与△A′B′C′，记作，它们的相似比为,△ 与△ABC的相似比为．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有,且．
3.如图,（1）在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，
课题27．2．1相似三角形的判定
（第一课时）
鹤城中学 初三年级组（潘立新）
【教学目标】
1．知识技能:(1)会用符号“∽”表示相似三角形，如△ABC ∽△ ;
(2)知道当△ABC与△ 的相似比为k时，△ 与△ABC的相似比为1/k．
(3)理解掌握平行线分线段成比例定理和三角形相似的预备定理
2．解决问题:运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
4.用几何语言描述上述三个定理
〖设计说明〗1.通过预习作业检查和师生共同探讨，培养学生自学能力，以防差生出现
2.使学生加深对平行线分线段成比例定理和三角形相似的预备定理的理解
2、 展示探究
例1如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
〖设计说明〗通过对相似三角形定义的回顾和特殊情况三角形的中位线出发观察讨论两三角形对应线段的比的关系，两三角形形状关系，从而引伸出平行线分线段成比例定理和三角形相似的预备定理
【教学设计】
1．预习交流
1.检查学生的预习作业，师生共同探讨预习作业的第2,3题
2.如图27.2-1),任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.
人教版数学九年级下册 27.2.1相似三角形的判定 第一课时 课件
或 AB DE AC DF
或 BC EF AC DF
L4 L5
A
D
L1
B
E
L2
C
F L3
探究新知
注意“对应”两字．
（1）AB DE
BC EF
简称“上比下”等于“上比下”
（2）AACB
DE DF
简称“上比全”等于“上比全”
（3）BC EF
AC DF
简称“下比全”等于“下比全”
L4 L5
定义：在△ABC 和△DEF中，如果 ∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=∠F， AB AC BC k .
DE DF EF
A
D △ABC 和△DEF的相
似比为 k .
B
E
C
记作△ABC∽△DEF
F △DEF 与△ABC 的
相似比为
1 k
.
探究新知
如图小方格的边长都是1，直线a∥b∥ c ,分别交直线m,n于 A1， A2，A3，B1，B2，B3 .
解：∵ a∥ b∥ c,
∴ AB DE
BC EF
即
3 BC
2 4
∴ BC=6,
∴ AC=AB+BC=3+6=9.
m A B
C
n D a E b
Fc
课堂小结
相似三角形的判定
①平行线分线段成比例定理. ②平行线分线段成比例定理的推论. ③以推论为基础判定三角形相似的定理.
∠ADE=∠B，
D
B
l2
E l4 C l5 l1
∠AED=∠C；
边：AD AE ．
AB AC
问题：AE DE 成立吗？
AC BC
如何证明呢？
27.2.1相似三角形的判定定理(教案)
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握相似三角形判定定理，提高空间想象和几何直观能力，使学生能够运用几何知识分析并解决实际问题。
2.培养学生逻辑推理和数学论证能力，通过相似三角形的判定过程，学会运用严密的逻辑思维进行推理和证明。
3.增强学生合作交流意识，通过小组讨论和问题探究，提高团队合作能力和解决问题的能力。
我还注意到，在小组讨论环节，学生们对于相似三角形在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法。这让我意识到，将数学知识与学生们的日常生活联系起来，可以极大地提高他们的学习兴趣和积极性。在未来的教学中，我会继续寻找更多实际案例，让数学变得更加生动和有趣。
此外，实践活动中的实验操作部分，学生们表现出很高的热情。他们通过亲手操作，直观地感受到了相似三角形的原理。这也让我认识到，动手操作对于抽象几何概念的理解是非常有帮助的。因此，我计划在后续的教学中，增加更多这样的实践活动。
-对于实际问题的解决，引导学生从问题中发现相似三角形的特征，如角度关系、边长关系等，并运用判定定理进行解答。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如照片的放大缩小、不同尺寸的三角形装饰等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在学生小组讨论的过程中，我发现有些学生不太愿意主动参与讨论，可能是因为他们对自己的观点缺乏信心。为了鼓励这些学生，我会在接下来的课程中，更多地采用肯定和鼓励的语言，让他们感受到自己的观点是有价值的，从而增强他们的自信心。
27.2.1相似三角形的判定课件
✓ 对应角相等。 ✓ 对应边成比例。
随堂练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√ （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
探究3
已知：
AB A1B1
BC B1C1
k,
∠B =∠B1 .
求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
A
B
C B1
C1
你能证明吗？
知识要点
三角形相似判定定理之二
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
且
ABBC ACK AB BC AC
则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
相似的表示方法
如
何
符号：∽ 读作：相似于 证
相似比
明
A
A1
两 个
三
B
C B1
角
C1
形
如果A△B与 C △ A1B1C1的相似比 k，为 相似 则△ A1B1C1与△ AB的 C 相似比 k1 为呢
C
F l5
两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例.
l1 l2
A
l3
D
E
l4
B
27.2.1相似三角形的判定(1)
D
E
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F．
∵DE∥BC，EF∥AB
B
F
C
AD AE AB AC
BF AE BC AC
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE＝BF.
DE AE . BC AC
平行于三角形一边的直 线和其他两边相交，所 构成的三角形与原三角
AD AE DE AB AC BC
思考
如图，在△ABC中，点D
是边AB的中点，DE∥BC，
DE交AC于点E ，△ADE D 与△ABC有什么关系？
B
A E C
直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似． 我们通过相似的定义证明这个结论．
先证明两个三角形的对应角相等．
在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A
∵DE∥BC
A
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C 再证明两个三角形的边成比例．
形相似．
练习
EF的长度,BACB
与DE EF
相等吗?任意平移l5 ,
与 AB
DE
BC
EF
相等吗?
当
l3 ∥l4 ∥l5
时，有
AB BC
=
DE EF
等.
平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例.
平行于三角形一边的直线截其他两 边（或两边延长线），所得的对应 线段成比例.
我们就说△ABC与△A'B'C'相似， 记作△ABC∽△A'B'C'．k就是它们的相似比．
探究
பைடு நூலகம்如图，
任意画两条直线 l1,l2 ,再画三条与 l1,l2相交的平
行线l3 , l4 , l5 .分别量度 l3 , l4 , l5 .在 l1上截得的两条线段
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B
C
A L5 L4 总结： D E
L5 E
L4 D
L1
L2
A B C
L1
L2
B
C
“A”型
数学符号语言 ∵ DE∥BC
∴
L3
“X”型
L3
数学符号语言 ∵ DE∥BC ∴
预备定理：平行于三角形一边的直线与其它两边(或 延长线)相交,所得的三角形与原三角形相似。
1、 如图 请尽可能多地找出下列图中的 相似三角形，并说明理由。
27.2.1相似三角形的判定
（第1课时）
创设情境，引入新课：
1、相似多边形有什么性质？ 2、什么是相似多边形？ 3、在相似多边形中最简单的是相似 形，你能给它下一个定义吗？ 4、如下图，在 △ ABC和 △A’B’C’中， ∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’,
则（1）△ ABC与△A’B’C’ ，记作△ ABC △A’B’C’。 （2）△ ABC与△A’B’C’相似比为 ，△A’B’C’与△ ABC相似比 为 。 （3） 如果 k=1，则△ ABC与△A’B’C’ 的关系为 ， 5、你会判断两个三角形全等吗？有哪些方法？ 6、你会判断两个三角形相似吗？
重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等 于它到对边中点的距离的两倍。
1、“三角形相似的预备定理”。这个定理揭示了有三角形一边 的平行线，必构成相似三角形， 因此在三角形相似的解题中，常 作平行线构造三角形与已知三角形相似。
2、相似比是带有顺序性和对应性的。
作业：
C
解: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=40 .
0
A
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. △ADE∽△ABC （2） AE DE 50 DE ,即 . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cm). 50 30
探究活动2：
1、把图中L2向左平移时，两 直线相交时有两种特殊的交 点如下图，图（1）是把L4看 成平行于△ABC的边BC的直 线，图（2）是把L3看成平行 于△ABC的边BC的直线，那 我们能得出什么样的结论呢？
L1
L2
L3 L4
L5
平行线分线段成比例定理推论： 平行三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 所得的对应线段的比相等。 l1 l2 l1 l D El 2
合作交流，探究新知：
探究活动1： 如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5。 分别度量l3、l4 、l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的
两条线段DE、EF的长度，
AB 与 DE 相等吗？ （1） BC EF
AB DE （2）任意平移l5，在度量AB、BC、DE、EF的长度， BC 与 EF 相等吗？ BC BC （3）在图中 AB 与 DE 、 与 EF 、 与 EF 是否也相等呢？ AC DF AB DE AC DF
B
2. 如图,已知：DE//BC, 求证： △ADE与△ABC相似
方法一：延长BC，过点E作EF//DB，
E A
D
F
B E D
G
C
方法二：在AB上截取AF=AD，过点F作 FG//DE，证△ADE ≌ △A FG
A
F
三角形相似的（预备）定理：
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交 ,所得的三角形与原三角形相似。
例：如图，BE , CF 是ABC的中线，交于点G, GE GF 1 求证： 。 证明：连接EF , EF为AC , AB的中点， GB GC 2
A
F
G
E
1 EF为ABC的中位线,即EF // BC , 且EF BC , 2 EGF BGC
C
B
EF GF GE 1 . BC GC GB 2
D
B
（3）求△ABC与△ADE的相似比？
例：如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而 且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h。
(设网球是直线运动)
图中有几个相 似三角形？
解：图中的两个竖线都是
垂直于水平线的，即互相平行，
所以，图中的两个直角三角形是相似的， 则对应边的比相等， h 15 所以， , h 2.4米。 0.8 5
A
D E F A
A
E G
B O
D
E C
图3
F D
B
F 图1
C
B
C
图2
DE∥BC ，DF∥AC,
DE∥FG//BC
AB∥EF∥CD,
2、如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. E
A
3
l3
B
A
l4
D B
E l4 l （图1） C 5
Cl5 （图2）
如果把多余的线去掉如下图：
A
E
D
D B
E C
B
A C
“A”型
“X”型
2、除了刚才的结论，你还能得出△ABC与它平行的 线DE所截得△ADE之间还有什么关系？你能用语言 叙述这个结论？
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线) 命题：
证明：在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
A E
C
AE BF 过E作EF//AB交BC于F 则 AC BC
∵四边形DBFE是F ∴△ADE∽△ABC
∴DE=BF
AE DE AC BC
AD AE DE AB AC BC
相交,所得的三角形与原三角形相似。
A
E
D
D B
E C B
A
C
“A”型
“X”型
命题： 平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长 线)相交,所得的三角形与原三角形相似。
思考：(如何证明此命题） 1、证明文字命题的步骤是什么？ 2、证明两个三角形相似的方法目前方法是什么？
1. 如图,已知：DE//BC, 求证： △ADE∽△ABC
l1
l2
（4）由此你能得出什么样的结论？
平行线分线段成比例定理：
A
D E F
l3 l4 l5
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。 B
C
定理的符号语言
L1 L2 A D B
C
L3//L4//L5 DE AB
E
F
L3 L4
L5
BC
=
EF
(平行线分线段成比例定理)
平行线分线段定理：三条平行线截两条直线， 所得的对应线段的比相等。