第20讲导数解答题之导数解决含三角函数式的证明(解析版)

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三角函数的导数解析与归纳

三角函数的导数解析与归纳在微积分中，研究导数是一个重要的课题。

导数给出了函数在每个点上的变化率，而对于三角函数，其导数的求解是十分常见且重要的。

本文将解析地探讨三角函数的导数，并对其进行归纳总结。

一、正弦函数的导数我们首先来看正弦函数的导数。

设函数y = sin(x)，则按照导数的定义：y' = lim(h->0) [sin(x+h) - sin(x)] / h利用三角函数的和差公式sin(a+b) = sin a*cos b + cos a*sin b，我们可以将上式展开得到：y' = lim(h->0) [sin x*cos h + cos x*sin h - sin x] / h= lim(h->0) [cos h*sin x + sin h*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [2*sin(h/2)*cos(h/2)*sin x + sin h*cos x - sin x] / h根据极限的性质，lim(h->0) sin(h/2)/h = 1 和 lim(h->0) sin h/h = 1，于是上式变为：y' = lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2)*sin x + sin x*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1)] / h由于lim(h->0) 2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1 = 0，所以上式化简为： y' = lim(h->0) sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1) / h= sin x * lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1] / h= sin x * 0= 0因此，我们得出结论：正弦函数的导数为零，即 d(sin(x))/dx = 0。

利用导数巧解一类常见的三角函数问题

教学实践新课程NEW CURRICULUM在三角函数的教学和练习中,师生常常会碰到一类这样的三角函数问题：问题1：（2013浙江镇海中学阶段性测试）已知3sin α+4cos α=5，求tan α。

问题2：（2014北京石景山5月）已知sin α+cos α=2√，α∈（0，π），求tan α。

师生通常是从三角方面的知识与方程方面的知识相结合出发进行求解，但有时对于像问题1、问题2师生可以将三角方面的知识与导数求极值的知识相结合来巧妙解答。

因为三角函数相关的知识学习是在必修内容中，而导数相关知识在选修内容中，在高中数学的教学过程中，很多学校老师往往是先进行必修内容的教学，再进行选修内容的教学。

选修内容的有些知识与前面必修内容知识联系密切。

比如，导数与函数会放在高三复习时连接起来，但是因为高考对三角函数的考查一般很少与导数联系起来，所以很多师生都会忽略导数与三角函数相结合起来解题。

有时对于像问题1、2这种类似的问题，将导数与三角函数结合起来能巧妙快速准确地解答题目。

作者先给出问题1目前常见的四种解法。

图1思路1图2思路2解法1：3sin α+4cos α=5，等式变形得3sin α=5-4cos α，两边平方得9sin 2α=25-40cos α+16cos 2α得到关于cos α的方程：25cos 2α-40cos α+16=0，（5cos α-4）2=0，求出：cos α=45，sin α=35，从而得到tan α=34解法2：等式两边平方得到：9sin 2α+24sin αcos α+16cos 2α=259sin 2α+24sin αcos α+16cos 2α=25（sin 2α+cos 2α）等式两边同时除以cos 2α得16tan 2α-24tan α+9=0，tan α=34图3思路3图4思路4解法3：设4sin α-3cos α=x ，两式平方相加得到x 2+25=（4sin α-3cos α）2+（3sin α+4cos α）2=25，x =0则tan α=34解法4：∵3sin α+4cos α=5sin （α+φ），其中cos φ=35，sin φ=45∴sin （α+φ）=1，则α+φ=2k π+π2（k ∈Z ）sin α=sin （2k π+π2-φ）=cos φ=35，cos α=cos （2k π+π2-φ）=sins φ=45，故tan α=34现在，重点介绍解法5：利用导数的有关知识来求解。

导数带三角函数大题

导数带三角函数大题数学中，导数是用来描述函数变化率的概念。

在具体计算导数的过程中，经常会遇到包含三角函数的大题。

这些大题涉及了三角函数的性质以及导数的计算规则。

导数带三角函数大题是考察学生对于导数计算和三角函数的理解和运用能力的重要题型之一。

对于“ 导数带三角函数大题”这个问题，我们需要根据具体的大题来进行求解。

在这类大题中，通常会给出一个函数表达式，其中包含了三角函数，如正弦函数、余弦函数或者其他的三角函数。

学生需要根据给定的函数，计算它的导数。

计算导数的过程需要运用到相关的导数公式和三角函数的导数规则。

根据不同的三角函数，我们可以有不同的导数计算公式。

例如，对于正弦函数来说，它的导数规则可以表示为"d(sin x) / dx = cos x"。

对于余弦函数来说，其导数公式可以表示为"d(cos x) / dx = -sin x"。

而其他常见的三角函数如正切函数、余切函数等也有相应的导数规则。

在解决导数带三角函数大题的过程中，学生需要熟练地应用这些导数公式和三角函数的导数规则。

对于给定的函数表达式，首先要找出其中包含的三角函数，并将其导数按照相应的规则计算出来。

然后，将计算得到的导数与其他部分的导数进行合并和计算，最终得到函数的导数表达式。

通过解决导数带三角函数大题，学生可以加深对于导数和三角函数的理解，并提高在求解相关问题时的计算能力。

同时，这类题目也可以帮助学生培养分析问题、运用规则和推导解答的能力，对于培养数学思维和解决实际问题具有重要的意义。

总而言之，导数带三角函数大题是数学中重要的题型之一，其解答需要学生熟练掌握导数计算公式和三角函数的导数规则。

通过解决这类大题，可以提高学生的数学能力和解决实际问题的能力。

努力学习和掌握这些知识，将对于进一步学习和应用数学有着积极的促进作用。

高中数学导数带有三角函数的题型

高中数学导数带有三角函数的题型高中数学中，导数是一个非常重要的概念。

在实际应用中，我们常常会遇到一些带有三角函数的导数题目。

下面，我们将为大家介绍一些常见的带有三角函数的导数题型。

1. y = sin x这是最简单的带有三角函数的导数题型。

根据导数的定义，我们可以将其求导得到：y' = cos x2. y = cos x同样地，我们可以根据导数的定义求出 y = cos x 的导数：y' = -sin x3. y = tan xy = tan x 的导数需要用到求商法则。

我们可以将其写成：y = sin x / cos x然后求导：y' = (cos x * cos x + sin x * (-sin x)) / cos^2 xy' = 1 / cos^2 x4. y = cot xy = cot x 的导数同样需要用到求商法则。

我们可以将其写成： y = cos x / sin x然后求导：y' = (-sin x * sin x + cos x * cos x) / sin^2 xy' = -1 / sin^2 x5. y = sec xy = sec x 的导数也需要用到求商法则。

我们可以将其写成： y = 1 / cos x然后求导：y' = sin x / cos^2 x6. y = csc x同样地，y = csc x 的导数也需要用到求商法则。

我们可以将其写成：y = 1 / sin x然后求导：y' = -cos x / sin^2 x以上就是常见的带有三角函数的导数题型。

当然，还有其他一些比较复杂的题型，需要用到三角函数的求导公式。

在学习数学的过程中，我们应该多加练习，掌握各种题型的求导方法，以便更好地应用于实际问题的解决。

导数与函数的三角函数解析

导数与函数的三角函数解析在微积分中，导数是一种用来描述函数局部变化率的概念。

它不仅对于研究函数的行为具有重要作用，还为我们提供了许多解析三角函数的方法。

本文将探讨导数与函数的三角函数解析之间的关系。

一、导数的定义与三角函数导数是函数在某一点上的变化率。

对于函数f(x)，它的导数f'(x)可以通过极限的概念来定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h三角函数是数学中的基本函数之一，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)，及其反函数。

这些函数在分析几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

二、使用导数解析三角函数1. 正弦函数的导数根据导数的定义，我们可以求得正弦函数的导数：f(x) = sin(x)f'(x) = cos(x)这意味着，对于任意x的值，正弦函数的导数都等于它自身的余弦函数。

2. 余弦函数的导数同样，根据导数的定义，我们可以求得余弦函数的导数：f(x) = cos(x)f'(x) = -sin(x)这意味着，对于任意x的值，余弦函数的导数等于它自身的负弦函数。

3. 正切函数的导数正切函数可以表示为两个基本三角函数的比值：f(x) = tan(x) = sin(x) / cos(x)将正切函数表示为其他两个函数的比值，我们可以利用导数的运算规则求解正切函数的导数：f'(x) = (sin'(x) * cos(x) - sin(x) * cos'(x)) / cos^2(x)= (cos(x) * cos(x) - sin(x) * (-sin(x))) / cos^2(x)= (cos^2(x) + sin^2(x)) / cos^2(x)= 1 / cos^2(x)= sec^2(x)通过上述推导，我们可以得到正切函数的导数等于它的余切函数的平方。

三、应用导数解析三角函数通过导数的定义和运算规则，我们可以得到三角函数的导数，进而应用于函数的解析中。

导数在解答三角函数中的重要作用

导数在解答三角函数中的重要作用导数是高中数学新增的一部分重要内容，它在研究函数的性质，求函数的有关最值方面有着极其重要作用，下面就谈谈导数在三角函数当中的重要作用。

㈠利用导数可以证明三角不等式例题1已知x 是锐角，求证sinx ＜x ＜tanx证明：设f(x)=x-sinx ，g(x)=x-tanx ，f '(x)=(x-sinx)'=1-cosx ＞0 ∴f(x) 在x ∈(0，π2 )时是单调递增函数,又∵f(x) 在x ∈(0，π2)时是连续函数∴f(x)＞f(0)=0∴sinx ＜x 。

g '(x)=(x-sinx cosx )'=1-1cos 2x＜0∴g(x) 在x ∈(0，π2)时是单调递减函数，又g(x) 在x ∈(0，π2)时是连续函数g(x)＜g(0)=0，x ＜tanx ∴sinx ＜x ＜tanx 成立。

例题2已知x ∈(0,π2 )求证:1sinx + 8cosx≥5 5 证明：设f(x)=1sinx + 8cosx则 f '(x)=-cosx sin 2x +8sinx cos 2x =8sin 3x-cos 3x sin 2xcos 2x =(2sinx-cosx)(4sin 2x+2sinxcosx+cos 2x)sin 2xcos 2x ＞0，∵x ∈(0,π2)，4sin 2x+2sinxcosx+cos 2x ＞0∴当2sinx ＞cosx 即x ＞arctan 12 ， x ∈[arctan 12 ，π2 ]时，函数是单调递增函数，当x ∈(0，arctan 12)时，函数是单调递减函数当tanx= 12 时，f(x)最小，此时sinx= 55 ，cosx= 255 ，1sinx + 8cosx ≥55成立例题3求证：如果x 是锐角，那幺（1+1sinx ）(1+ 1cosx)＞5（匈牙利数学竞赛试题）证明：（1+1sinx ）(1+ 1cosx )=1+ 1sinx + 1cosx + 1sinxcosx， (1+1sinx + 1cosx + 1sinxcosx)'= -cosx sin 2x + sinx cos 2x +-cos2x (sinxcosx)2 =-cos 3x+sin 3x-cos 2x+sin 2x (sinxcosx)2 =(sinx-cosx)(1+sinx+cosx+cosxsinx)(sinxcosx)2 ∵x 是锐角，∴1+sinx+cosx+sinxcosx ＞0当sinx-cosx ＞0即x ∈(π4 ，π2)时f '(x)＞0，此时f(x)是单调递增函数，当x ∈(0，π4 )时f '(x)＜0，f(x) 是单调递减函数∴sinx=cosx=22时f(x)取最小值，最小值为3+2 2 ＞5，∴（1+1sinx ）(1+ 1cosx)＞5成立例题4：（交通大学2000年保送生数学试题）证明不等式：1≤x x cos sin +≤432,x ∈[0,2π].证明：设：f(X)=x x cos sin +,]sin )(sin )(cos ][cos )(sin )[(cos cos sin 21])(sin )[(cos )(cos )(sin 21)sin ()(cos 21cos )(sin 21)('21212121232321212121x x x x x x xx x x x x x x x x x f ++-=-=-+=---- 因为x ∈[0,2π]，所以sinx>0,cosx>0,0sin )(sin )(cos cos 2121>++x x x x ,令f '(x)=0,则有0)(sin )(cos 2121=-x x ,即sinx=cosx,所以x=4π,当x ∈(0,4π)时，f '(x)>0,函数f(x)在(0,4π)上单调递增，当x ∈(4π,2π)时，函数f(x)在(4π,2π)上单调递减。

利用导数解三角函数问题

利用导数解三角函数问题胡贵平（甘肃省白银市第九中学，甘肃白银 730913）导数是研究函数性质的一种强有力工具，利用导数可解决函数单调性、极值、最值等问题，三角函数是函数的一个特例，是函数概念的下位概念，解三角函数问题时，一般思路是通过恒等变形，利用三角函数的性质求解.但是若能注意题目的特点，利用导数处理相关问题，不仅可以突破难点，开拓思路，提高解题效率，而且简单易懂，便于掌握. 一、求三角函数的单调区间例1.函数)43sin(π+-=x y ，R x ∈在什么区间上是增函数.解：)43cos(3)43)(43cos(πππ+--='+-+-='x x x y ，有0≥'y ，得0)43cos(≤+-πx ，即0)4-3cos(≤πx ，所以2324322πππππ+≤-≤+k x k ，12732432ππππ+≤≤+k x k ，Z k ∈.因此函数)43sin(π+-=x y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++12732,432ππππk k ，Z k ∈上是增函数. 点评：这是人教A 版71页的一道习题，特别容易出错，原因在于忽视了函数)43sin(π+-=x y 是复合函数.利用导数解决，题目显得很常规，过程也很简洁.二、求三角函数的最值例2.若函数m x x x f ++=2cos 22sin 3)(在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值，并求相应的x 取值集合.解：x x x x f sin cos 42cos 32)(-='.即x x x f 2sin 22cos 32)(-='.令0)(='x f ，得32tan =x .即6π=x ，由于m f +=2)0(，m f =)2(π，m f +=3)6(π.所以63=+m ，3=m .当R x ∈时，令0)(='x f ，得32tan =x .即ππk x +=6，Z k ∈或ππk x +=32，Z k ∈.所以函数的最小值为2)32(=+ππk f ，此时x 取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,32ππ. 点评：这是人教A 版147页的一道习题，常见的解法是化成正弦型函数，利用单调性、有界性求最值.利用导数，不但可以求化简成一个角的一个三角函数的最值，还可以求其它类型三角函数的最值.三、求三角函数的奇偶性例3.（2013年山东数学（理））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（） (A)43π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 解：函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ϕπ)8(2sin x y ，即)42sin(ϕπ++=x y 是偶函数.所以)42(cos 2ϕπ++='x y 为奇函数，00='=x y ，所以0)4(cos =+ϕπ，24ππϕπ+=+k ，Z k ∈.所以4ππϕ+=k ，Z k ∈.当0=k 时，4πϕ=.点评：正（余）型函数R x ∈在对称轴a x =处若取得最值，则也取得极值，于是有0='=ax y .特别地，偶函数有00='=x y .可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数.四、求三角函数的周期性例4.函数x x x f 24cos sin )(+=的最小正周期为（） (A)4π (B) 2π(C) π (D) π2 解：x x x x x f sin cos 2cos sin 4)(3-='.令0)(='x f 得0sin =x 或0cos =x 或21sin 2=x .当0sin =x 或0cos =x 时，1)(=x f ，当21sin 2=x 时，43)(=x f .因此函数)(x f 的最大值为1，由0sin =x ，解得πk x =，Z k ∈.由0cos =x ，解得2ππ+=k x ，Z k ∈.根据两个相邻最高点之间的长度恰好是一个最小正周期，故函数)(x f 的最小正周期为2π. 点评：可导的周期函数，其导函数仍是周期函数，且原函数的周期是导函数的一个周期. 正（余）型函数两个相邻最高点之间的长度恰好是一个最小正周期. 五、求三角函数的对称性例5.若函数x a x x f cos sin )(+=的图象关于直线6π=x 对称，则=a .解：x a x x f sin cos )(-='.因为函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称，所以0)6(='πf ，即06sin6cos=-ππa ，从而3=a .点评：正（余）弦型函数既是中心对称图形也是轴对称图形，所有过最高点或最低点垂直于x 轴的直线都是对称轴，利用导数研究，对称轴处取得极值，其导数值为0. 六、证明三角不等式例6.已知x 是锐角，求证x x x tan sin <<.证明：设x x x f sin )(-=，x x x g tan )(-=.x 是锐角，0cos 1)sin ()(>-='-='x x x x f . 所以)(x f 在）2,0(π∈x 时是单调递增函数,又因为)(x f 在）2,0(π∈x 时是连续函数，所以0)0()(=>f x f ，所以x x <sin ；0cos 11)cos sin ()(2<-='-='x x x x x g ，所以)(x g 在）2,0(π∈x 时是单调递减函数，又)(x g 在）2,0(π∈x 时是连续函数，所以0)0()(=<g x g ，所以x x tan <.于是x x x tan sin <<成立.点评：本题是一个三角函数中的一个性质，常见的证明方法是利用单位圆中的三角函数线，根据面积来得出大小关系，利用导数证明不等式是常见方法. 七、证明三角恒等式例7.证明2sin 22cos 12=++θθ.证明：构造函数1sin 22cos )(2-+=θθθf ，则θθθθcos sin 42sin 2)(+-='f0cos sin 4cos sin 4=+-=θθθθ.因此)(θf 必为常数函数，又0)0(=f .故有0)0()(==f f θ，所以2sin 22cos 12=++θθ.点评：这是人教A 版143页的一道习题，通过构造函数求导数的方法，根据函数的导数值为0，则此函数一定是常数函数的性质证明三角恒等式，充分体现了导数的工具性. 八、比较三角函数的大小例8.（2005年湖北数学（理））若20π<<x ，则x 2与x sin 3的大小关系是（）(A) x x sin 32> (B) x x sin 32< (C)x x sin 32= (D)与x 的取值有关解：构造函数x x x f sin 32)(-=，则x x f cos 32)(-='，令0)(='x f 得32arccos =x ，当)32arccos,0(∈x 时，0)(<'x f ；当)2,32(arccos π∈x 时，0)(>'x f ；于是)(x f 的最小值为)32(arccos f ，但0)0(=f ，03)2(>-=ππf ，则0)32(arccos <f .所以x 2与xsin 3的大小与x 的取值有关.点评：本题可以取特殊值检验，结合极限的思想得出答案. 比较大小最常见的方法就是构造函数，利用函数的单调性比较.解决函数单调性最好的工具之一就是导数.。

导数与三角函数的综合的解题技巧

导数与三角函数的综合的解题技巧
1.使用导数公式：对于三角函数，有 sin'x=cosx, cos'x=-sinx, tan'x=sec^2x, cot'x=-csc^2x。

根据公式，可以快速求导数。

2.化简式子：如果要求导数的式子比较复杂，可以先把式子化简，再使用导数公式。

3.注意多项式函数：如果式子包含多项式函数，可以先对多项式函数求导，再根据导数公式求出整个式子的导数。

二、解题技巧
1.化简式子：对于一些比较复杂的题目，可以先把式子化简，减少计算难度。

2.注意特殊点：三角函数的周期性很强，要注意特殊点，如0度、90度、180度、270度、360度等，这些点的函数值会有特殊的表现。

3.使用变形公式：有些题目可以使用三角函数的变形公式，如和角公式、差角公式、倍角公式等，将原式化简成已知的函数形式，再进行计算。

4.备选法：如果在计算中出现不确定的式子，可以先把各种可能的取值列出来，再逐一验证。

综上所述，求导数和解题技巧是解决导数与三角函数综合题目的关键。

在解题过程中，要善于化简式子，注意特殊点，灵活运用三角函数的变形公式和备选法，从而提高解题的效率和准确性。

巧用导数法解答三类三角函数问题

有些三角函数问题较为复杂，直接运用三角函数的图象、性质很难使问题获解.此时可直接对三角函数求导，分析导函数的性质，巧妙运用导数法来轻松获得问题的答案.尤其是三角函数的单调性问题、最值问题、零点问题，运用导数法，可使解题的过程变得简单，这样有利于提升解题的效率.一、求解三角函数单调性问题对于简单的三角函数单调性问题，可直接利用三角函数的单调性求解.而对于较为复杂的三角函数单调性问题，则需借助导数法，通过对函数求导，分析导函数与0之间的关系，从而判断出函数的单调性.一般地，若导函数大于0，则函数单调递增，其对应的区间为单调递增区间；若导函数小于0，则函数单调递减，其对应的区间为单调递减区间.例1.已知函数f ()x =cos 2x -2cos 2x 2，则f ()x 的单调递增区间为().A.æèöøπ3,2π3 B.æèöøπ6,π2C.æèöø0,π3 D.æèöø-π6,π6解：对函数求导可得：f ′()x =sin x ()1-2cos x =2sin x æèöø12-cos x ，由f ′()x >0，可得ìíîcos x -12>0，sin x <0，或ìíîcos x -12<0，sin x >0，由图1可得，当x ∈æèöø2kπ-π3,2kπ或x ∈(2kπ+π3,)2kπ+π,k ∈Z 时，f ′()x >0，此时函数单调递增.所以选项A 正确.该三角函数式较为复杂，无法直接利用三角函数的单调性判断出其单调递增的区间.于是运用导数法，对函数求导，根据导函数与函数单调性之间的关系，确定f ′()x >0,据此建立不等式，解该不等式，即可求得x 的取值范围，确定函数的单调递增区间.例2.已知函数f ()x =2sin æèöø2x +π6，求函数g ()x=的单调区间.解：由题意可知g ()x=+=，令t =sin æèöø2x +π6，t ∈[]-1,1，则g ()t =1+t+1-t ，g ′()t，当x ∈[)-1,0时，g ′()t >0，则函数g ()t 单调递增；当x ∈(]0,1时，g ′()t <0，则函数g ()t 单调递减.因为在()-1,0上，函数g ()t 单调递增，则-1≤sin æèöø2x +π6≤0，则2k π-π2≤2x +π6≤2k π，解得k π-π3≤x ≤k π-π12，k ∈Z ，2k π+π≤2x +π6≤2k π+3π2，解得k π+5π12≤x ≤k π+2π3，k ∈Z ，故函数g ()x 在éëùûk π+5π12,k π+2π3（k ∈Z ）上单调递减；在éëùûk π-π3,k π-π12（k ∈Z ）上单调递增.同理可得，函数g ()x 在éëùûk π-π12,k π+π6（k ∈Z ）上单调递减；在éëùûk π+π6,k π+5π12（k ∈Z ）上单调递增.综上可知，函数g ()x 的单调递增区间为éëùûk π-π3,k π-π12，éëùûk π+π6,k π+5π12，k ∈Z ；单调递减区间为éëùûk π-π12,k π+π6，éëùûk π+5π12,k π+2π3，k ∈Z .利用导数法解答三角函数单调性问题的基本思路为：①求出三角函数的导函数；②令导函数f ′()x >0或f ′()x <0，求出其解集；③根据导函数与函数单调性之间的关系判断三角函数的单调性，确定其单调区间.二、求解三角函数最值问题对于一些较为复杂的三角函数最值问题，利用导数法求解比较奏效.通常需先对三角函数式求导，并令f ′()x =0，求得其零点；然后用零点将函数的定义域划分为几个子区间，在每个子区间上判断出函数的单调图1刘伟解题宝典43解题宝典性，并求得函数的极值.一般地，若在x 0左侧的函数单调递增、右侧的单调递减，则f ()x 0是函数f ()x 的极大值；若在x 0左侧的函数单调递减、右侧的单调递增，则f ()x 0是函数f ()x 的极小值.最后将函数的极值与定义域的端点值相比较，即可求得三角函数的最值.例3.已知f ()x =2sin x +sin 2x ，则函数f ()x 的最小值是____.解：由题意可得f ′()x =2cos x +2()2cos 2x -1=2()2cos 2x +cos x -1，令t =cos x ,t ∈[]-1,1，∴f ′()t =2()t 2+t -1=2()2t -1()t +1，令f ′()t =0，可得t =-1或t =12，即cos x =-1或cos x =12，解得x =π3，x =5π3或x =π，∵函数f ()x =2sin x +sin 2x 是周期函数，且周期为2π，∴当x ∈æèöø0,π3⋃æèöø5π3,2π时，f ′()x >0；当x ∈æèöøπ3，π⋃æèöøπ，5π3时，f ′()x <0，∴函数f ()x 在æèöø0,π3⋃æèöø5π3,2π上单调递增，在æèöøπ3，π⋃æèöøπ，5π3上单调递减，∴f ()x ≥f æèöø5π3=2sin 5π3+sin 10π3=，∴函数f ()x 的最小值为.对三角函数式求导得到f ′()x ，并令f ′()x =0，即可确定函数的极值点.最后比较临界值和极值的大小，即可确定函数的最小值.用导数法求解三角函数的最值问题，关键是求函数的极值点和极值.三、求解三角函数零点问题对于函数式较为复杂的三角函数零点问题，需利用导数法，才能顺利获解.通常要先根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的极值；然后画出函数的大致图象，通过研究图象，确定函数图象与x 轴的交点的位置或取值范围，进而求得问题的答案.例4.已知函数f ()x =5||sin 2x -sin ||x -1，则该函数在区间éëùû-5π2,5π2上的零点个数是_____.解：令f ()x =5||sin 2x -sin ||x -1=0，可得||sin 2x -sin ||x =15，设g ()x =||sin 2x -sin ||x ，h ()x =sin 2x -sin x ，∴h ′()x =cos x ()2sin x -1，∴当x ∈éëùû0,π6时，h ′()x ≤0，∴函数h ()x 在éëùû0,π6上单调递减，且h ()x ≥0，∴g ()x 在éëùû0,π6上单调递增，且g ()x ≥0，由上表可画出函数g ()x 在éëùû0,5π2的图象，如图2所示.图2由图2可知函数g ()x 在éëùû0,5π2上有8个零点，且函数g ()x 为偶函数，∴函数g ()x 在区间éëùû-5π2,5π2上有16个零点.我们先根据函数零点的定义，令f ()x =0，并将其变形得||sin 2x -sin ||x =15，将问题转化为求函数y =||sin 2x -sin ||x 与y =15交点的个数；然后构造函数g ()x =||sin 2x -sin ||x ，h ()x =sin 2x -sin x ，通过分析两个函数的导数的性质，画出函数的图象，根据图象判断出函数零点的个数.通过上述分析，不难发现导数法是求解三角函数单调性问题、最值问题、零点问题的重要手段.值得注意的是，运用导数法解答三角函数问题，需熟练掌握并灵活运用求导公式、求导法则、导数与函数单调性之间的关系、极值.这是运用导数法解题的关键.（作者单位：安徽省灵璧中学）44。

含三角的导数题

含三角的导数题在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念。

它可以用来描述函数的变化率以及切线的斜率。

在解决数学问题时，我们经常会遇到含有三角函数的导数题。

本文将通过几个例子来介绍含有三角函数的导数的求解方法。

例一：求函数f(x) = sin(x)的导数解：根据导数的定义，我们有：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h将函数f(x) = sin(x)代入，得到：f'(x) = lim(h→0) [sin(x+h) - sin(x)] / h利用三角函数的和差公式，我们有：f'(x) = lim(h→0) [sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)] / h再次利用极限性质，我们得到：f'(x) = cos(x)因此，函数f(x) = sin(x)的导数是cos(x)。

例二：求函数f(x) = cos(x)的导数解：同样地，根据导数的定义，我们有：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h将函数f(x) = cos(x)代入，得到：f'(x) = lim(h→0) [cos(x+h) - cos(x)] / h利用三角函数的和差公式，我们有：f'(x) = lim(h→0) [cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x)] / h再次利用极限性质，我们得到：f'(x) = -sin(x)因此，函数f(x) = cos(x)的导数是-sin(x)。

通过以上两个例子，我们可以发现含有三角函数的导数与原函数之间存在着特殊的关系。

具体来说，导数是通过对原函数进行变换得到的。

对于sin(x)这样的函数，其导数是cos(x)；而对于cos(x)这样的函数，其导数是-sin(x)。

值得注意的是，含有三角函数的导数的求解过程需要运用到三角函数的性质。

函数的导数知识点及例题解析

函数的导数知识点及例题解析函数的导数是微积分中的重要概念之一。

本文将介绍基本的导数定义和求导法则，并通过例题解析加深理解。

导数的定义函数的导数描述的是函数在某一点的变化率。

对于函数y=f(x)，其导数可以通过以下定义进行求解：导数 = lim（h→0）[f(x+h) - f(x)] / h求导法则求导法则是一些计算导数的常用规则，以下为几个基本的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则导数为0，即 dy/dx = 02. 幂法则：对于函数y = x^n，其中n为常数，则导数为 dy/dx = nx^(n-1)3. 和差法则：对于两个函数u(x)和v(x)，则导数的和差为(d(u+v)/dx = du/dx + dv/dx4. 乘积法则：对于两个函数u(x)和v(x)，导数的乘积为d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx例题解析例题1：求函数y = 2x^3的导数。

求函数y = 2x^3的导数。

根据幂法则，导数为 dy/dx = 3 * 2x^(3-1) = 6x^2例题2：求函数y = 3x^2 + 2x的导数。

求函数y = 3x^2 + 2x 的导数。

根据和差法则，导数为 dy/dx = d(3x^2)/dx + d(2x)/dx = 6x + 2例题3：求函数y = (x^2 + 3x)(2x + 1)的导数。

求函数y =(x^2 + 3x)(2x + 1)的导数。

根据乘积法则，导数为 dy/dx = (x^2 + 3x) * d(2x + 1)/dx + (2x + 1) * d(x^2 + 3x)/dx= (x^2 + 3x) * 2 + (2x + 1) * (2x + 3)= 2x^2 + 6x + 4x^2 + 6x + 2化简后，导数为 dy/dx = 6x^2 + 12x + 2通过以上例题解析，可以看到导数的计算方法和不同函数的求导规则。

掌握了这些知识点，可以更好地理解函数的变化率和斜率，从而应用到实际问题中。

第20讲导数解答题之导数解决含三角函数式的证明(解析版)

第20讲导数解答题之导数解决含三角函数式的证明1．已知函数()2sin tan 2f x x x x =+-．（1）证明：函数()f x 在(,)22ππ-上单调递增；（2）若(0,)2x π∈，2()f x mx <，求m 的取值范围．【解析】解：（1）证明：21()cos 2cos f x x x'=+-，因为(,)22x ππ∈-，所以cos (0x ∈，1]，于是22211()2cos 2cos 20cos cos f x x x x x'=+-+-（等号当且仅当0x =时成立）．故函数()f x 在(,)22ππ-上单调递增．（2）由（1）得()f x 在(0,)2π上单调递增，又(0)0f =，所以()0f x >，（ⅰ）当0m 时，2()0f x mx >成立．（ⅱ）当0m >时，令()sin p x x x =-，则()cos 1p x x '=-，当(0,)2x π∈时，()0p x '<，()p x 单调递减，又(0)0p =，所以()0p x <，故(0,)2x π∈时，sin x x <．(*)由(*)式可得222()sin tan 2tan f x mx x x x mx x x mx -=+--<--，令2()tan g x x x mx =--，则2()tan 2g x x mx '=-由(*)式可得2222()2(2cos )cos cos x xg x mx x m x x x'<-=- 令2()2cos h x x m x =-，得()h x 在(0,)2π上单调递增，又(0)0h <，()02h π>，所以存在(0,)2t π∈使得()0h t =，即(0,)x t ∈时，()0h x <，所以(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，又(0)0g =，所以()0g x <，即(0,)x t ∈时，2()0f x mx -<，与2()f x mx >矛盾．综上，满足条件的m 的取值范围是(-∞，0]．2．已知函数()()(x f x ln e a a =+为常数，e 是自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[1-，1]上的减函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若2()1g x t t λ++在[1x ∈-，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）试讨论函数2()2()lnxh x x ex m f x =-+-的零点的个数．【解析】解：（Ⅰ）()()x f x ln e a =+是R 上的奇函数(0)0f ∴=，0(0)()0f ln e a ∴=+= (1)0ln a ∴+=，0a ∴=⋯（4分）（Ⅱ）由()I 知()f x x =，()sin g x x x λ∴=+，()cos g x x λ∴'=+ 又()g x 在[1-，1]上单调递减，()0g x '∴在[1-，1]上恒成立．cos x λ∴-对[1x ∈-，1]恒成立，[cos ]1min x -=-，1λ∴-⋯（6分）2()1g x t t λ++在[1x ∈-，1]上恒成立，即2()1max g x t t λ++⋯（7分） ()(1)sin1max g x g λ=-=--，2sin11t t λλ∴--++，即2(1)sin110t t λ++++对1λ-恒成立令2()(1)sin11(1)F t t λλλ=++++-，则2101sin110t t t +⎧⋯⎨--+++⎩（8分） ∴21sin10t t t -⎧⎨-+⎩，1t ∴-．⋯（9分）（Ⅲ）由()I 知()f x x =，2()2lnxh x x ex m x∴=-+- ∴讨论函数2()2lnx h x x ex m x =-+-的零点的个数，即讨论方程22lnxx ex m x=-+根的个数．令1()lnxf x x=，22()2f x x ex m =-+，121()lnxf x x -'=， ∴当(0,)x e ∈时，1()0f x '>，1()f x ∴在(0,)e 上为增函数；当(,)x e ∈+∞时，1()0f x '<，1()f x ∴在(,)e +∞上为减函数，∴当x e =时，11()max f x f =（e ）1e=而222()()f x x e m e =-+-，∴函数1()f x 、2()f x 在同一坐标系的大致图象如图所示， ∴①当21m e e ->，即21m e e>+时，方程无解．函数()h x 没有零点；---（10分） ②当21m e e -=，即21m e e =+时，方程有一个根．函数()h x 有1个零点⋯（11分）③当21m e e -<，即21m e e<+时，方程有两个根．函数()h x 有2个零点．⋯（12分）3．已知函数2()2cos f x x ax b x =++在点(,())22f ππ处的切线方程为34y π=．（Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论()f x 在[0,]2π上的增减性；（Ⅱ）若12()()f x f x =，且120x x π<<<，求证：12()02x x f +'<．（参考公式：cos cos 2sinsin)22θϕθϕθϕ+--=-【解析】（Ⅰ）解：由题意知()22sin f x ax b x '=+-，∴()023()24f f πππ⎧'=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11a b π⎧=-⎪⎨⎪=⎩故21()2cos f x x x x π=-+，2()2sin f x x x π'=--．当02xπ时，()f x '为减函数，且()02f π'=，()0f x '∴>，()f x 为增函数．（Ⅱ）证明：由12()()f x f x =，得221211222cos 2cos x x x x x x ππ-+=-+，所以1212121212()()()cos cos 0x x x x x x x x π--+-+-=，两边同除以12x x -，得121212cos cos 12()0x x x x x x π--++=-，所以121212122sinsin 1222()0x x x x x x x x π+---++=-，令1202x x x +=，得1200122sin sin2220x x x x x x π---=-，得1200122sin sin222x x x x x x π--=-．因为2()2sin xf x x π'=--，所以121200000012122sin sinsin 222()2sin sin sin (1)2x x x xx f x x x x x x x x x π--'=--=-=---，因为12211221sin sin 2222x x x xx x x x --=--，又21(0,)22x x π-∈，易知21210sin 22x x x x --<<，所以1212sin2102x x x x --<-，又0(0,)x π∈，所以0sin 0x >，故0()0f x '<，得12()02x x f +'<． 4．设2()cos 12x f x x =+-．（Ⅰ）求证：当0x 时，()0f x ；（Ⅱ）若不等式sin cos 2ax e x x -+对任意的0x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）证明：2()cos 1(0)2x f x x x =+-，则()sin f x x x '=-，设()sin x x x ϕ=-，则()1cos x x ϕ'=-，⋯（2分）当0x 时，()1cos 0x x ϕ'=-，即()sin f x x x '=-为增函数，所以()(0)0f x f ''=，即()f x 在0x 时为增函数，所以()(0)0f x f =．⋯（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知0x 时，sin x x ，2cos 12x x -+，所以21sin cos 22x x x x ++-+，⋯（6分）设2()12xx G x e x =---，则()1x G x e x '=--，设()1x g x e x =--，则()1x g x e '=-，当0x 时()10x g x e '=-，所以()1x g x e x =--为增函数，所以()(0)0g x g =，所以()G x 为增函数，所以()(0)0G x G =，所以sin cos 2x e x x -+对任意的0x 恒成立．⋯（8分）又0x ，1a 时，ax x e e ，所以1a 时sin cos 2ax e x x -+对任意的0x 恒成立．⋯（9分）当1a <时，设()sin cos 2ax h x e x x =-+-，则()cos sin ax h x ae x x '=--，(0)10h a '=-<，所以存在实数00x >，使得任意0(0,)x x ∈，均有()0h x '<，所以()h x 在0(0,)x 为减函数，所以在0(0,)x x ∈时()(0)0h x h <=，所以1a <时不符合题意．综上，实数a 的取值范围为[1，)+∞．⋯（12分）（Ⅱ）解法二：因为sin cos 2ax e x x -+等价于(sin cos 2)ax ln x x -+⋯（6分）设()(sin cos 2)g x ax ln x x =--+，则sin cos ()sin cos 2x xg x a x x +'=--+可求sin cos [1,1]sin cos 2x xx x +∈--+，⋯（8分）所以当1a 时，()0g x '恒成立，()g x 在[0，)+∞是增函数，所以()(0)0g x g =，即(sin cos 2)ax ln x x -+，即sin cos 2ax e x x -+ 所以1a 时，sin cos 2ax e x x -+对任意0x 恒成立．⋯（9分）当1a <时，一定存在00x >，满足在0(0,)x 时，()0g x '<，所以()g x 在0(0,)x 是减函数，此时一定有()(0)0g x g <=，即(sin cos 2)ax ln x x <-+，即sin cos 2ax e x x <-+，不符合题意，故1a <不能满足题意，综上所述，1a 时，sin cos 2ax e x x -+对任意0x 恒成立．⋯（12分） 5．已知函数()sin x f x e x =．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果对于任意的[0,]2x π∈，()f x kx 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设函数()()cos x F x f x e x =+，20152017[,]22x ππ∈-．过点1(,0)2M π-作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值．【解析】解：（1）()(sin cos )sin()4x x f x e x x x π'=+=+，()f x ∴的增区间为3[2,2]()44k k k Z ππππ-+∈；减区间为37[2,2]()44k k k Z ππππ++∈．⋯（4分）（2）令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-要使()f x kx 恒成立，只需当[0,]2x π∈时，()0min g x ，()(sin cos )x g x e x x k '=+-令()(sin cos )x h x e x x =+，则()2cos 0x h x e x '=对[0,]2x π∈恒成立，()h x ∴在[0,]2π上是增函数，则2()[1,]h x e π∈，①当1k 时，()0g x '恒成立，()g x 在[0,]2π上为增函数，()(0)0min g x g ∴==，1k ∴满足题意；②当21k e π<<时，()0g x '=在[0,]2π上有实根0x ，()h x 在[0,]2π上是增函数，则当[0x ∈，0)x 时，()0g x '<，0()(0)0g x g ∴<=不符合题意；③当2k e π时，()0g x '恒成立，()g x 在[0,]2π上为减函数，()(0)0g x g ∴<=不符合题意，1k ∴，即(k ∈-∞，1]．⋯（8分）（3）()()cos (sin cos )()2cos x x x F x f x e x e x x F x e x '=+=+∴=，设切点坐标为0000(,(sin cos ))x x e x x +，则切线斜率为000()2cos x F x e x '=，从而切线方程为000000(sin cos )2cos ()x x y e x x e x x x -+=-，∴000000001(sin cos )2cos ()tan 2()22x x e x x e x x x x ππ--+=-⇔=-，令1tan y x =，22()2y x π=-，这两个函数的图象均关于点(,0)2π对称，则它们交点的横坐标也关于2x π=对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于2x π=成对出现，又在20152017[,]22ππ-共有1008对，每对和为π． 1008S π∴=．⋯（12分）6．已知函数sin ()x xf x e=．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果对于任意的[2x π∈-，0]，()f x kx 恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】解：（1）由于sin ()xxf x e =，所以cos sin ()xx xf x e -'=，当cos sin 0x x ->)04x π+>，即3(24x k ππ∈-，2)4k ππ+，k Z ∈时，()0f x '>；当cos sin 0x x -<)04x π+<，即(24x k ππ∈+，52)4k ππ+，k Z ∈时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为3(24k ππ-，2)4k ππ+，()k Z ∈，单调递减区间为(24k ππ+，52)4k ππ+，()k Z ∈；（2）令sin ()()xxg x f x kx kx e =-=-，要使()f x kx 总成立，只需[2x π∈-，0]时()0max g x ，对()g x 求导，可得cos sin ()xx xg x k e -'=-，令cos sin ()xx xh x e -=，则2cos ()0([2xx h x x e π-'=<∈-，0]) 所以()h x 在[2π-，0]上为减函数，所以()[1h x ∈，2]e π；对k 分类讨论：①当1k 时，()0g x '恒成立，所以()g x 在[2π-，0]上为增函数，所以()(0)0max g x g ==，即()0g x ，故成立；②当21k e π<<时，()0g x '=在上有实根0x ，因为()h x 在(2π-，0)上为减函数，所以当0(x x ∈，0)时，()0g x '<，所以0()(0)0g x g >=，不符合题意；③当2k e π时，()0g x '恒成立，所以()g x 在[2π-，0]上为减函数，则2()()22k g x g e πππ-=-，由202k e ππ-，可得22e kππ，即有k ∈∅．综上，可得实数k 的取值范围是(-∞，1]．7．已知函数()sin x f x e x =．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果对于任意的[0,]2x π∈，()f x kx 总成立，求实数k 的取值范围．【解析】解：（1）由于()sin x f x e x =，所以()sin cos (sin cos )sin()4x x x x f x e x e x e x x x π'=+=+=+，当(2,2)4x k k ππππ+∈+，即3(2,2)44x k k ππππ∈-+时，()0f x '>；当(2,22)4x k k πππππ+∈++，即37(2,2)44x k k ππππ∈++时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为3(2,2)()44k k k Z ππππ-+∈，单调递减区间为37(2,2)()44k k k Z ππππ++∈；（2）令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx 总成立，只需[0,]2x π∈时()0min g x ，对()g x 求导，可得()(sin cos )x g x e x x k '=+-，令()(sin cos )x h x e x x =+，则()2cos 0x h x e x '=>，((0,))2x π∈所以()h x 在[0,]2π上为增函数，所以2()[1,]h x e π∈；对k 分类讨论：①当1k 时，()0g x '恒成立，所以()g x 在[0,]2π上为增函数，所以()(0)0min g x g ==，即()0g x 恒成立；②当21k e π<<时，()0g x '=在上有实根0x ，因为()h x 在(0,)2π上为增函数，所以当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，所以0()(0)0g x g <=，不符合题意；③当2k e π时，()0g x '恒成立，所以()g x 在(0,)2π上为减函数，则()(0)0g x g <=，不符合题意．综上，可得实数k 的取值范围是(-∞，1]． 8．已知()sin cos f x x x ax =--，其中a R ∈．（1）若()f x 在0x =处取得极值，求实数a 的值．（2）若()f x 在[2π-，]2π上单调递增，求实数a 的取值范围．【解析】解：（1）()cos sin f x x x a '=+-，（2分）由(0)0f '=可得10a -=，1a =；（4分）经检验，1a =满足题意．（5分）（2）函数()f x 在[,]22ππ-单调递增．()cos sin 0f x x x a '∴=+-在[,]22ππ-上恒成立．（7分）即cos sin a x x +在[,]22ππ-上恒成立．即(cos sin )min a x x +cos sin ),[,]422y x x x x πππ=+=+∈-，1min y =-（10分）1a ∴-．（11分）检验，1a =-时，()cos sin 10f x x x '=++=，[,]22x ππ∈-，仅在2x π=-处取得．所以满足题意．1a ∴-．（12分）9．已知()sin cos f x x x ax =--．（1）若()f x 在[,]22ππ-上单调，求实数a 的取值范围；（2）证明：当2a π=时，()1f x -在[0x ∈，]π上恒成立．【解析】解：（1）()cos sin )4f x x x a x a π'=+-=+-⋯（1分）若()f x 在[,]22ππ-上单调递增，则当[,]22x ππ∈-，()0f x '恒成立，当[,]22x ππ∈-时，3[,],sin()[)[44444x x x πππππ+∈-+∈+∈-，此时1a -；⋯（4分）若()f x 在[,]22ππ-上单调递减，同理可得2a⋯（5分）所以a 的取值范围是(,1][2,)-∞-+∞⋯（6分）（2）2a π=时，22()sin cos ,())4f x x x x f x x πππ'=--=+-⋯（7分）当[0x ∈，]π时，()f x '在[0,]4π上单调递增，在[,]4ππ上单调递减， 22(0)10,()10f f x ππ''=->=--<⋯（9分）∴存在0(,)4x ππ∈，使得在[0，0)x 上()0f x '>，在0(x ，]π上()0f x '<，所以函数()f x 在[0，0)x 上单调递增，在0(x ，]π上单调递减⋯（11分）故在[0，]π上，(){(0)min f x min f =，()}1f π=-，所以()1f x -在[0x ∈，]π上恒成立⋯（12分）10．已知2()12a f x xlnx x =++．（1）若()f x 在其定义域上为单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()()cos sin 1g x f x x x x xlnx =+---在(0,]2π上有1个零点．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：若1x >，则不等式2(1)[()]2a x f x x axlnx -->成立．【解析】解：（1）()10f x lnx ax '=++在(0,)+∞上恒成立，⋯⋯⋯⋯（1分）所以1lnx a x --，令1()lnx h x x --=，则2()lnx h x x '=，由20lnx x >，得1x >，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，由20lnx x <，得01x <<，所以()h x 在(0,1)单调递减，所以当1x =时，()h x 取得最小值h （1）1=-，⋯⋯⋯⋯（2分）所以1a -．⋯⋯⋯⋯（3分）（2）2()()cos sin 2a i g x x x x x =+-，(0x ∈，]2π，所以()(sin )g x x a x '=-，当1a 时，sin 0a x -，所以()g x 在(0，]2π单调递增，又因为(0)0g =，所以()g x 在(0，]2π上无零点．⋯⋯⋯⋯（4分）当01a <<时，0(0,)2x π∃∈，使得0sin x a =，所以()g x 在0(x ，]2π单调递减，在0(0,)x 单调递增，又因为(0)0g =，2()128a g ππ=-，所以若2108a π->，即28a π>时，()g x 在(0，]2π上无零点，⋯⋯（5分）若2108a π-，即280a π<时，()g x 在(0，]2π上有一个零点，⋯⋯⋯⋯（6分）当0a 时，()sin 0g x a x x '=-<，()g x 在(0，]2π上单调递减，()g x 在(0，]2π上无零点，综上当280a π<时，()g x 在(0，]2π上有一个零点⋯⋯⋯⋯（7分） ()ii 证明：要证当1x >时，2(1)[()]2a x f x x axlnx -->成立，只需证(1)[1]x xlnx axlnx -+>，只需证11lnx lnx a x x +>-，⋯⋯⋯⋯（8分）设1()F x lnx x =+，1x ，则21()x F x x-'=，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，()F x F >（1）1=，由（1）知，1a =-时，()10f x lnx x '=+-，即1lnx x -，当且仅当1x =时取等号，所以当1x >时，1lnx x <-即11lnx x <-，所以11lnx lnx x x +>-，⋯⋯⋯⋯（9分）又因为280aπ<，所以1a <，所以11lnx lnx a x x >--，所以11lnx lnx a x x +>-，即1x >，不等式2(1)[()]2a x f x x axlnx -->成立．⋯⋯⋯⋯（10分）。

解决导数类解答题常用的结论和技巧

解决导数类解答题常用的结论和技巧本文讨论了函数$f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x-x$的单调性和零点个数。

首先求出$f'(x)$，化简后得到$f'(x)=\frac{2e^{2x}+a-2}{ae^x-1}$。

当$a\leqslant 0$时，$f'(x)0$时，令$f'(x)=0$，解得$x=\ln\frac{1}{a-2}$。

根据$f'(x)$的符号变化，可以得到$f(x)$在$(-\infty,\ln\frac{1}{a-2})$上单调递减，在$(\ln\frac{1}{a-2},+\infty)$上单调递增。

接下来考虑$f(x)$的零点个数。

设$f(x)$在$x_1$和$x_2$处为零，且$x_1\frac{1}{e^{\ln\frac{1}{a-2}}+e^{2\ln\frac{1}{a-2}}-2}$。

化简后得到$a\in(0,1)$。

最后，需要证明当$a\in(0,1)$时，$f(x)$有且仅有两个零点。

先证明当$x>0$时，$x>\ln x$。

构造函数$h(x)=x-\ln x$，求导得$h'(x)=1-\frac{1}{x}$，因此$h(x)$在$x>1$时单调递增，且$h(1)=0$。

因此，$h(x)>0$当且仅当$x>1$。

由于$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$在$(0,\ln\frac{1}{a-2})$和$(\ln\frac{1}{a-2},+\infty)$上各有一个零点。

综上，$f(x)$在$a\in(0,1)$时有且仅有两个零点。

常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩可以将lnx放缩成一次函数：lnx≤x-1，lnx<x，ln(1+x)≤x也可以将lnx放缩成双撇函数：lnx1 (x>1)，lnx>x-1 (1<x)lnx还可以放缩成二次函数：lnx≤x-x^2/2 (x>0)，ln(1+x)≤x-x^2 (x>-1)最后，lnx还可以放缩成类反比例函数：lnx≥1-1/(2(x-1)^2) (x>1)，lnx>x-1 (0<x<1)，lnx<0 (x≤0)第二组：指数放缩可以将e^x放缩成一次函数：e^x≥x+1 (x≤0)，e^x>x (x>0)，e^x≥e^x (任意x)也可以将e^x放缩成二次函数：e^x≥1+x+x^2/2 (任意x)，e^x≥1+x+x^2+x^3/3.(任意x)最后，e^x还可以放缩成类反比例函数：e^x≤x/(1-x) (01)第三组：指对放缩ex-lnx≥2 (任意x)第四组：三角函数放缩XXX0)，sinx≥x-x^2 (任意x)，1-x^2≤cosx≤1-sin^2x (任意x)第五组：以直线y=x-1为切线的函数y=lnx，y=ex-1-1，y=x^2-x，y=1-1/x，y=xlnx几个经典函数模型经典模型一：y=lnx/x或y=xlnx例1】讨论函数f(x)=lnx-ax的零点个数。

以导数知识为工具，解答三角函数问题

探索探索与与研研究究例2.=90°，∠则x -y 解：而所以图形，例3.C ：x 2a 2+y 2b2点A 是x 的2倍，PQ A.12233图3解：当点A 与B 重合时，B (a ,0)，将x a 2代入椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1，可得y 则P 33所以则k 所以与B 于B 速求出A k PQ 、k PB 的关系式，使动点与动表面积的最值问题.需先根据题意确定动点曲线，哪个将动点移至特殊位无限远处、几何体的顶点处或某体积公式、表面积公式来解1，高为2，上底绕着底_______．图5图6下底面的圆心分别为O ，O ′，CM ⊥AB 于点M （如图4），则AB 为定值，所以S △ABC 随着线重合时（如图5），|CM |=|OC |=ABC 取最大值12×2×5=5；或点A ）重合（如图6）时，|CM |取12×2×2=2；[2，5]．S △ABC 随着线段CM 的CM 的长度的最值即可.于是将即可运用极限思想，求得三角关键是要从“一般，化“动”为“静”，通过“特从而优化解题的过程.江苏省靖江市教育局）54备考指南一、模型；小关系，例1.(1)若(2)当解：（令h(∴h(∴h(令k(∴k′∴k(∴k(∴当（2）sin xx令F因为由（1a sin2x-x2cos x>0，x2cos x<ax2-x2cos xöøπ2上单调递增，>0，)=0，x2()a-cos x<0，不x≥sin2x-x2cos x，æèöø0,π2，x+x2sin x>2sin x cos xsin x=4éëêùûúæèöøx22-sin2x2⋅F()x>0.)⋃[)1,+∞．分别构x-x cos x；然后分别上的单调性，进而根sin x>x cos x.对于第变形；再构造函数)xmin>0即可；然后对求得函数的最值，即最值问求函数的最零点的存在性问由零点求参数的取若无法得到其具体值，则需55。

巧用导数法，妙解三角函数题

丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹三角函数是一种简单基本初等函数.有时我们会遇到一些较为复杂的三角函数问题，如含有指数式、对数式、高次幂、多种类型函数的积式等，这时采用常规方法求解，很难快速获得问题的答案.此时不妨运用导数法来解题，可达到化难为易的效果.下面，结合实例探讨一下如何巧妙运用导数法解答三类三角函数问题.一、三角函数单调性问题三角函数的单调性问题十分常见，常见的命题形式是根据已知三角函数式，求函数的单调区间，或判断函数在某区间上的单调性.在采用常规方法解题受阻时，可考虑运用导数法.首先对三角函数式求导，并令f′()x0=0，求得其零点；然后用零点将函数的定义域划分为几个子区间，并在每个子区间上讨论导函数f′()x与0的大小关系；再根据导函数与函数单调性之间的关系进行判断：若在某个子区间上f′()x<0，则函数在该区间上单调递减；若在某个子区间上f′()x>0，则函数在该区间上单调递增.例1.已知函数f()x=cos2x+a()sin x-cos x在区间éëùû0，π2上单调递增，则实数a的取值范围是______.解:对f()x=cos2x+a()sin x-cos x求导，可得f′()x=-2sin2x+a()cos x+sin x，因为函数f()x在区间éëùû0，π2上单调递增，所以-2sin2x+a()cos x+sin x>0，整理可得a>4sin x cos xcos x+sin x，令g()x=4sin x cos xcos x+sin x，而g()x=4sin x cos xsin x+cos x≤4sin x cos x2sin x cos x=2sin x cos x=2sin2x≤2，故a>2.该三角函数式较为复杂，无法直接判断出函数的单调性，于是运用导数法来解题，先对函数求导；然后根据函数的单调性与导数之间的关系，建立关系式f′()x>0，解该不等式，即可求得a的取值范围.可见，运用导数法解答三角函数单调性问题，关键是根据函数的单调性与导数之间的关系建立关系式.二、三角函数图象问题三角函数图象问题通常以选择题的形式出现，往往需根据函数的解析式画出函数的图象，但有时三角函数式较为复杂，我们无法直接画出函数的图象，此时可运用导数法来解题.首先对函数求导，并根据导函数与函数单调性之间的关系确定函数在定义域的每个子区间上的单调性，据此确定函数图象的走势、拐点、最高点、最低点；然后确定周期、对称轴、对称点等，即可画出函数的图象.例2.已知函数f()x在[]-π,π上的图象如图1所示，则函数f()x的解析式可能为（）.图1A.f()x=e x sin xB.f()x=e-x sin xC.f()x=-e x sin xD.f()x=-e-x sin x解:观察图象可知，当x→0且x>0时，f()x<0，故AB选项不满足题意，对于C，若f()x=-e x sin x，则f′()x=-2e x sinæèöøx+π4，令f′()x=0可得x=-π4+kπ()k∈Z，当x∈æèöøπ4，3π4或x∈æèöø3π4,π时，函数单调递增，当x∈æèöø-π4，π4或x∈æèöø-π,-3π4或x∈æèöø-3π4,-π4时，函数单调递减，则f()x在[]-π,π上的极值点，即拐点分别为-π4,3π4，故选项C不符合题意，对于D，若f()x=-e-x sin x，则f′()x=-2e-x cosæèöøx+π4，，陆慧洁探索探索与与研研究究52图2由图可知曲线y=h()x和y=g()x在æèöø0，3π2上只个交点，x≥3π2时，h()x=x sin x+cos x<x+1，可知g 探索探索与与研研究究。

三角函数与导数结合破解方法

三角函数与导数结合破解方法导数和三角函数的关系很密切，它是研究函数性质及其应用中常用的一个重要思想，对探索三角函数的基本性质，发展数学方法具有重要意义。

因此，三角函数与导数结合解答题具有广阔的应用前景。

下面我们就具体介绍一下如何进行结合解答。

在学习中应该掌握下列两个基本方法。

一、求出被研究的函数或方程(1)设函数y=(x+1)π/2,且 r (x)与 a (1)关系式为 a (x+1)=(3+1)3,求出函数 y= u (u*1)的值，求解出的结果与原函数的值一致，可得方程。

(2)求出方程 a (x)的值：求解方程所用的函数 a (x+1)= a (u*1)。

(3)求解方程 x的值：求出方程的解与原函数的解具有相同的意义；若解得的结果与原函数的值一致，可说明方程具有相同的解与原函数的解相同；若解得此值，则说明方程具有相同的解与原函数的解相同；若解得此值，说明方程具有相同于原函数的解不同之处；若能进一步证明原函数就不具有同解相同之处；若能进一步证明原函数为非零，则证明方程存在未解性。

" x+1"等于 y," x+1"等于x-2," x+1"等于 y+2 x。

" x+1"等于 l (1)~ l (1)式中任意两个顶点分别为0、1.2 (1).2等值时有什么特点?"(1)=0"" y+1"" x+2"" x+2"都与函数原题关系密切。

注意：求出原函数的值时还必须对定义域进行详细研究，从而得出相应的解题结论。

" x+1"等于-1, y=2,' x+2'> y+2。

" x"=0或为0时，求出该函数和方程的数值都容易得多。

”解题技巧解析与结论总结：见下面解答题例（解析 A).二、根据所求命题的意义确定解的取值范围根据求出的三角函数导数值的意义，就可以把三角函数的解理解为求函数的解与不等式之数关系的数。

导数与三角函数结合问题的研究(解析版)

导数与三角函数结合问题的研究有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.1.分段讨论①以-π2,0,π2,π,⋯为端点分区间讨论;②以三角函数的最值点为端点分段讨论.2.巧用放缩,消去三角函数①正弦函数:当x>0时,x>sin x>x−12x2. ②余弦函数:cos x≥1−12x2.③正切函数:当x∈0,π2时,sin x<x<tan x. ④数值域:sin x∈-1,1,cos x∈-1,1.3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.4.分离参数:转化为函数值域问题.5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.【精选例题】1已知函数f x =e x-ax，a∈R，f x 是f x 的导数.(1)讨论f x 的单调性，并证明：e x>2x；(2)若函数g x =f x -x cos x在区间0,+∞内有唯一的零点，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)a≥1【详解】(1)因为f x =e x-ax，所以f x =e x-a，当a≤0时，f x =e x-a>0，则f x =e x-ax在R上单调递增，当a>0时，令f x =e x-a>0得x>ln a，令f x =e x-a<0得x<ln a，所以函数f x 的增区间为(ln a,+∞)，减区间为(-∞,ln a)，令F x =e x-2x，则F x =e x-2，令F x =e x-2>0得x>ln2，令F x =e x-2<0得x<ln2，所以函数F x 的增区间为(ln2,+∞)，减区间为(-∞,ln2)，所以当x=ln2时，F x 取得最小值为F ln2=e ln2-2ln2=2-2ln2>0，所以e x>2x，得证；(2)由(1)知，g x =e x-a-x cos x，因为函数g x 在区间0,+∞内有唯一的零点，所以方程a=e x-x cos x在区间0,+∞内有唯一解，令h(x)=e x-x cos x,x≥0，则函数h(x)=e x -x cos x与y=a在0,+∞上只有一个交点，记m x =e x-x-1,(x≥0)，则m x =e x-1≥0，所以m x 在0,+∞上单调递增，所以m x =e x-x-1≥e0-1=0，即e x≥x+1，故h (x)=e x-cos x+x sin x≥1-cos x+x(1+sin x)≥0，所以h(x)=e x-x cos x在0,+∞上单调递增，又h(0)=1，如图：要使方程a=e x-x cos x在区间0,+∞内有唯一解，则a≥1.所以a的取值范围是a≥1.2已知函数f x =sin x -x -ae x ,其中a 为实数,e 是自然对数的底数.(1)若a =-1,证明:f x ≥0;(2)若f x 在0,π 上有唯一的极值点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)证明:a =-1时,f x =sin x -x +e x ,令g x =e x -x ,则g x =e x -1,当x <0时,g x <0,g x 在-∞,0 上为减函数,当x >0时,g x >0,g x 在0,+∞ 上为增函数,函数g x 的极小值也是最小值为g 0 =1,所以g x ≥g 0 =1,而-sin x ≤1,所以e x -x ≥-sin x ,即f x ≥0.(2)f x 在0,π 上有唯一的极值点等价于f x =cos x -1-ae x =0在0,π 上有唯一的变号零点,f x =0等价于a =cos x -1e x ,设h x =cos x -1e x,x ∈0,π ,h x =-sin x -cos x +1e x =1-2sin x +π4 e x,因为x ∈0,π,所以x +π4∈π4,5π4 ,当0<x <π2时,x +π4∈π4,3π4 ,sin x +π4 >22,h x <0,h x 在0,π2 上为减函数,当π2<x <π时,x +π4∈3π4,5π4 ,sin x +π4 22,h x 0,h x 在π2,π 上为增函数,所以函数h x 的极小值也是最小值为h π2=-1e π2,又h 0 =0,h π =-2e π,所以当-2e π≤a <0时,方程a =cos x -1ex 在0,π 上有唯一的变号零点,所以a 的取值范围是-2e π,0.3已知函数f x =e x ，g x =sin x +cos x .(1)求证：f x ≥x +1；(2)若x ≥0，问f x +g x -2-ax ≥0a ∈R 是否恒成立?若恒成立，求a 的取值范围；若不恒成立，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)a ≤2【详解】(1)令F x =e x -x -1，F x =e x -1，当x ∈-∞,0 ，F x <0，所以此时F x 单调递减；当x ∈0,+∞ ，F x >0，所以此时F x 单调递增；即当x =0时，F x 取得极小值也是最小值F 0 =0，所以F x ≥0，得证；(2)设h x =f x +g x -2-ax ，即证h x =e x +sin x +cos x -2-ax ≥0在0,+∞ 上恒成立，易得hx =ex+cos x -sin x -a ，当x =0时，若h 0 =2-a ≥0⇒a ≤2，下面证明：当a ≤2时，h x =e x +sin x+cos x -2-ax ≥0，在0,+∞ 上恒成立，因为h x =e x +cos x -sin x -a ，设u x =h x ，令v x =x -sin x ,v x =1-cos x ≥0，所以v x 在0,+∞ 上是单调递增函，所以v x ≥v 0 =0，又因为1-cos x ≥0，则u x =e x -sin x -cos x ≥x +1-sin x -cos x =x -sin x +1-cos x ≥0所以h x 在0,+∞ 上是单调递增函数，所以h x ≥h 0 =2-a ≥0，所以h x 在0,+∞ 上是严格增函数，若a >2时，h 0 <0，即h x 在x =0右侧附近单调递减，此时必存在h x 0 <h 0 =0，不满足f x +g x -2-ax ≥0a ∈R 恒成立，故当a ≤2时，不等式恒成立.4已知函数f (x )=e x +cos x -a (a ∈R )．(1)讨论f (x )在[-π,+∞)上的单调性；(2)当x ∈[0,+∞)时，e x +sin x ≥ax +1恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)f (x )在[-π,+∞)上的单调递增；(2)(-∞,2]【详解】(1)f (x )=e x -sin x ，当-π≤x ≤0时，e x >0，sin x <0，∴f (x )=e x -sin x >0，当x >0时，e x >1，sin x ≤1，∴f (x )=e x -sin x >0，即：f (x )>0在[-π,+∞)上恒成立，所以f (x )在[-π,+∞)上的单调递增.(2)方法一：由e x +sin x ≥ax +1得：e x +sin x -ax -1≥0当x =0时，e x +sin x -ax -1≥0恒成立，符合题意令g (x )=e x +sin x -ax -1，x >0g (x )=e x +cos x -a =f (x )，由(1)得：g (x )在(0,+∞)上的单调递增，∴g (x )>2-a ，①当a ≤2时，g (x )>2-a ≥0，所以g (x )在(0,+∞)上的单调递增，所以g (x )>g (0)=0，符合题意②当a >2时，g (0)=2-a <0，g (ln (2+a ))=2+cos (ln (2+a ))>0，∴存在x 0∈(0,ln (2+a ))，使得g (x 0)=0,当0<x <x 0时，g (x )<g (x 0)=0；所以g (x )在(0,x 0)上的单调递减，当0<x <x 0时，g (x )<g (0)=0，这不符合题意综上，a 的取值范围是(-∞,2].方法二：令h (x )=e x +sin x ，s (x )=ax +1，x ≥0则h (0)=s (0)=1，符合题意h (x )=e x +cos x =f (x )+a ，f (x )=e x -sin x 由(1)得：f (x )>0在(0,+∞)上恒成立，h (x )在(0,+∞)上单调递增所以，h (x )>h (0)>0，所以h (x )在(0,+∞)上单调递增，其图象是下凸的，如图： ∵h (0)=2，所以，曲线h (x )在点(0,1)处的切线方程为：y =2x +1，要使得h (x )≥s (x )在[0,+∞)上恒成立，只需a ≤2所以，a 的取值范围是(-∞,2].5已知函数f x =a sin x ，其中a >0.(1)若f x ≤x 在0,+∞ 上恒成立，求a 的取值范围；(2)证明：∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1xln x +1 +sin x .【答案】(1)0,1 ；(2)证明见解析【详解】(1)令h x =x -a sin x ，x ∈0,+∞ ，则h x =1-a cos x ，当a ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，所以h x ≥h 0 =0，当a ∈1,+∞ 时，令m x =h x =1-a cos x ，则m x =a sin x ，所以对∀x ∈0,π2 ，mx >0，则hx 在0,π2 上单调递增，又因为h0 =1-a <0，hπ2=1>0，所以由零点存在定理可知，∃x 0∈0,π2使得h x 0 =0，所以当x ∈0,x 0 时，h x <0，h x 单调递减，h x <h 0 =0，与题意矛盾，综上所述，a ∈0,1 .(2)由(1)知，当a =1时，sin x ≤x ，∀x ∈0,+∞ . 先证ln x +1 ≤x ，x ∈0,+∞ ，令φx =x -ln x +1 ，则φ x =1-1x +1≥0，所以φx 单调递增，φx >φ0 =0，即ln x +1 ≤x . 所以当x ∈0,+∞ 时，ln x +1 +sin x ≤2x ，x +1xln x +1 +sin x ≤2x 2+1 .要证∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1x ln x +1 +sin x ，只需证e x>x 2+1. 令g x =x 2+1 e -x-1，x ∈0,+∞ ，则g x =2x -x 2-1 e -x=-x -1 2e -x≤0.所以g x 在0,+∞ 上单调递减，所以g x <g 0 =0，即e x>x 2+1.综上可得∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1xln x +1 +sin x .6已知函数f x =ae x +4sin x -5x .(1)若a =4，判断f x 在0,+∞ 上的单调性；(2)设函数p x =3sin x -2x +2，若关于x 的方程f x =p x 有唯一的实根，求a 的取值范围.【答案】(1)函数f x 在0,+∞ 上单调递增.(2)a ≤0或a =2【详解】(1)当a =4时，f x =4e x +4sin x -5x ,f x =4e x +4cos x -5，令g x =f x =4e x +4cos x -5,则g x =4e x -4sin x .当x ∈0,+∞ 时，4e x ≥4(x =0时等号成立)；-4sin x ≥-4(x =π2+2k π,k ∈Z 时等号成立)，所以g x =4e x -4sin x >0，即函数f x =4e x +4cos x -5在0,+∞ 上递增，所以f x ≥f 0 =3>0，即函数f x 在0,+∞ 上单调递增.(2)方程f x =p x 即ae x +4sin x -5x =3sin x -2x +2有唯一的实根，则a =3x +2-sin xe x只有一个解，等价于直线y =a 与函数y =3x +2-sin x e x 的图象只有一个交点.令h x =3x +2-sin xex，则h x =sin x -cos x +1-3x e x ，因为e x >0，所以hx=sin x -cos x +1-3x e x 的符号由分子决定，令m x =sin x -cos x +1-3x ，则m x =cos x +sin x -3=22sin x +π4-3<0.所以m x =sin x -cos x +1-3x 在R 上递减，因为m 0 =0，所以当x ∈-∞,0 时，m x >m 0 =0；当x ∈0,+∞ 时，m x <m 0 =0.即当x ∈-∞,0 时，h x >0；当x ∈0,+∞ 时，h x <0.所以函数h x =3x +2-sin xe x在-∞,0上递增，在0,+∞ 上递减，当x 趋于-∞时，e x 趋于0且大于0，分子3x +2-sin x 趋于-∞，则3x +2-sin xe x趋于-∞；当x =0时，h max x =h 0 =2；当x 趋于+∞时，e x 趋于+∞，分子3x +2-sin x 也趋于+∞，令φx =e x -3x +2-sin x ，则φ x =e x -3+cos x ，当x >2时，φ x =e x -3+cos x >0，则x 趋于+∞时，e x 增长速率大于3x+2-sin x 的增长速率，故x 趋于+∞时，3x +2-sin x e x趋于0.画出函数h x =3x +2-sin x e x的草图，并画出直线y =a ，要使直线y =a 与函数y =3x +2-sin xe x 的图象只有一个交点.则a ≤0或a =2.所以当a ≤0或a =2时，方程f x =p x 有唯一的实根.7已知函数f x =e x ，g x =2-sin x -cos x ．(1)求证：当x ∈0,+∞ ，x >sin x ；(2)若x ∈0,+∞ ，f x >g x +ax 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)-∞,2【详解】(1)证明：设F x =x -sin x ，x >0，则F x =1-cos x >0，所以F x 在区间0,+∞ 上单调递增，所以F x >F 0 =0，即x >sin x .(2)由f x >g x +ax 在区间0,+∞ 上恒成立，即e x +sin x +cos x -ax -2>0在区间0,+∞ 上恒成立，设φx =e x +sin x +cos x -ax -2，则φx >0在区间0,+∞ 上恒成立，而φ x =e x +cos x -sin x -a ，令m x =φ x ，则m x =e x -sin x -cos x ，设h x =e x -x -1，则h x =e x -1，当x >0时，h x >0，所以函数h x 在区间0,+∞ 上单调递增，故在区间0,+∞ 上，h x >h 0 =0，即在区间0,+∞ 上，e x >x +1，由(1)知：在区间0,+∞ 上，e x >x +1>sin x +cos x ，即m x =e x -sin x -cos x >0，所以在区间0,+∞ 上函数φ x 单调递增，当a ≤2时，φ 0 =2-a ≥0，故在区间0,+∞ 上函数φ x >0，所以函数φx 在区间0,+∞ 上单调递增，又φ0 =0，故φx >0，即函数f x >g x +ax 在区间0,+∞ 上恒成立.当a >2时，φ 0 =2-a ，φ ln a +2 =a +2+cos ln a +2 -sin ln a +2 -a =2-2sin ln a +2 -π4>0，故在区间0,ln a +2 上函数φ x 存在零点x 0，即φ x 0 =0，又在区间0,+∞ 上函数φx 单调递增，故在区间0,x 0 上函数φx <φx 0 =0，所以在区间0,x 0 上函数φx 单调递减，由φ0 =0，所以在区间0,x 0 上φx <φ0 =0，与题设矛盾.综上，a 的取值范围为-∞,2 .8已知函数f (x )=a sin x -ln (1+x )(a ∈R )．(1)若a =-1，求证：∀x >0,f (x )+2x >0；(2)当a ≥1时，对任意x ∈0,k 2，都有f (x )≥0，求整数k 的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)3【详解】(1)a =-1时，设g (x )=f (x )+2x =-sin x -ln (1+x )+2x ，则g (x )=-cos x -11+x+2，∵x >0∴x +1>1∴-1x +1∈(-1,0)∵cos x ∈[-1,1]∴-cos x -1x +1+2>0，即g (x )>0在(0,+∞)上恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调增，又g (0)=0∴g (x )>g (0)=0，即∀x >0,f (x )+2x >0；(2)a =1时，当k =4时，f (2)=sin2-ln3<0，所以k <4．下证k =3符合．k =3时，当x ∈0,32时，sin x >0，所以当a ≥1时，f (x )=a sin x -ln (1+x )≥sin x -ln (1+x )．记h (x )=sin x -ln (1+x )，则只需证h (x )=sin x -ln (1+x )≥0对x ∈0,32恒成立．h (x )=cos x -1x +1，令ϕ(x )=cos x -1x +1，则ϕ (x )=-sin x +1(x +1)2在0,π2 递减，又ϕ (0)=1>0,ϕ π2=-1+1π2+12<0，所以存在x 1∈0,π2，使得ϕ x 1 =0，则x ∈0,x 1 ,ϕ x 1 >0,ϕ(x )在0,x 1 递增，x ∈x 1,π2 ,ϕx 1 <0,ϕ(x )在x 1,π2 递减；又ϕ(0)=0,ϕπ2 =-1π2+1<0，所以存在x 2∈x 1,π2 使得ϕx 2 =0，且x ∈0,x 2 ,ϕ(x )>0,x ∈x 2,π2,ϕ(x )<0，所以h (x )在0,x 2 递增，在x 2,π2递减，又h (0)=0,h π2 =1-ln 1+π2 >0，所以h (x )≥0对x ∈0,π2 恒成立，因为0,32 ⊆0,π2 ，所以k =3符合．综上，整数k 的最大值为3．9已知函数f (x )=(x -1)e x +ax +1．(1)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围；(2)若x≥0，f(x)≥2sin x，求a的取值范围．【答案】(1)0,1 e；(2)2,+∞．【详解】(1)由f(x)=(x-1)e x+ax+1，得f (x)=xe x+a，因为f(x)有两个极值点，则f (x)=0，即方程-a= xe x有两个不等实数根，令g(x)=xe x，则g (x)=(x+1)e x，知x<-1时，g (x)<0，g(x)单调递减，x>-1时，g (x)>0，g(x)单调递增，则x=-1时，g(x)取得极小值g(-1)=-1e，也即为最小值，且x<0时，g(x)<0，x→-∞时，g(x)→0，x>0时，g(x)>0，x→∞时，g(x)→+∞，故-1e<-a<0，即0<a<1e时，方程-a=xe x有两个实数根，不妨设为x1，x2x1<x2．可知x<x1时，f (x)>0，x1<x<x2时，f (x)< 0，x>x2时，f (x)>0，即x1，x2分别为f(x)的极大值和极小值点．所以f(x)有两个极值点时，a的取值范围是0,1 e．(2)令h(x)=(x-1)e x+ax-2sin x+1，原不等式即为h(x)≥0，可得h(0)=0，h (x)=xe x+a-2cos x，h (0)=a-2，令u(x)=h (x)=xe x+a-2cos x，则u (x)=(x+1)e x+2sin x，又设t(x)=(x+1)e x，则t (x)= (x+2)e x，x≥0时，t (x)>0，可知t(x)在0,+∞单调递增，若x∈0,π，有(x+1)e x>0，sin x>0，则u (x)>0；若x∈π,+∞，有(x+1)e x>(π+1)eπ>2，则u (x)>0，所以，x≥0，u (x)>0，则u(x)即h (x)单调递增，①当a-2≥0即a≥2时，h (x)≥h (0)≥0，则h(x)单调递增，所以，h(x)≥h(0)=0恒成立，则a≥2符合题意．②当a-2<0即a<2时，h (0)<0，h (3-a)=(3-a)e(3-a)+a-2cos(3-a)≥3-a+a-2cos(2-a)> 0，存在x0∈(0,3-a)，使得h (x0)=0，当0<x<x0时，h (x)<0，则h(x)单调递减，所以h(x)<h(0)=0，与题意不符，综上所述，a的取值范围是2,+∞．10已知函数f x =x-sinπ2x-a ln x,x=1为其极小值点．(1)求实数a的值；(2)若存在x1≠x2，使得f x1=f x2，求证：x1+x2>2．【答案】(1)a=1；(2)证明见解析【详解】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f (x)=1-π2cosπ2x-a x，依题意得f (1)=1-a=0，得a=1，此时f (x)=1-π2cosπ2x-1x，当0<x<1时，0<π2x<π2，0<π2cosπ2x<π2，1x>1，故f (x)<0，f(x)在(0,1)内单调递减，当1<x<2时，π2<π2x<π，π2cosπ2x<0，1x<1，故f (x)>0，f(x)在(1,2)内单调递增，故f(x)在x=1处取得极小值，符合题意.综上所述：a=1.(2)由(1)知，f(x)=x-sinπ2x-ln x，不妨设0<x1<x2，当1≤x1<x2时，不等式x1+x2>2显然成立；当0<x1<1，x2≥2时，不等式x1+x2>2显然成立；当0<x1<1，0<x2<2时，由(1)知f(x)在(0,1)内单调递减，因为存在x 1≠x 2，使得f x 1 =f x 2 ，所以1<x 2<2，要证x 1+x 2>2，只要证x 1>2-x 2，因为1<x 2<2，所以0<2-x 2<1，又f (x )在(0,1)内单调递减，所以只要证f (x 1)<f (2-x 2)，又f x 1 =f x 2 ，所以只要证f (x 2)<f (2-x 2)，设F (x )=f (x )-f (2-x )(1<x <2)，则F (x )=f (x )+f (2-x )=1-π2cos π2x -1x +1-π2cos π2(2-x ) -12-x =2-1x +12-x -π2cos π2x +cos π-π2x =2-1x +12-x-π2cos π2x -cos π2x =2-1x +12-x，令g (x )=2-1x +12-x(1<x <2)，则g (x )=1x 2-1(2-x )2=4-4x x 2(2-x )2，因为1<x <2，所以g(x )<0，g (x )在(1,2)上为减函数，所以g (x )<g (1)=0，即F (x )<0，所以F (x )在(1,2)上为减函数，所以F (x )<F (1)=0，即f (x 2)<f (2-x 2).综上所述：x 1+x 2>2.11(2023全国新高考2卷)(1)证明：当0<x <1时，x -x 2<sin x <x ；(2)已知函数f x =cos ax -ln 1-x 2 ，若x =0是f x 的极大值点，求a 的取值范围．【答案】(1)证明见详解(2)-∞,-2 ∪2,+∞【详解】(1)构建F x =x -sin x ,x ∈0,1 ，则F x =1-cos x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则F x 在0,1 上单调递增，可得F x >F 0 =0，所以x >sin x ,x ∈0,1 ；构建G x =sin x -x -x 2 =x 2-x +sin x ,x ∈0,1 ，则G x =2x -1+cos x ,x ∈0,1 ，构建g x =G x ,x ∈0,1 ，则g x =2-sin x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则g x 在0,1 上单调递增，可得g x >g 0 =0，即G x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则G x 在0,1 上单调递增，可得G x >G 0 =0，所以sin x >x -x 2,x ∈0,1 ；综上所述：x -x 2<sin x <x .(2)令1-x 2>0，解得-1<x <1，即函数f x 的定义域为-1,1 ，若a =0，则f x =1-ln 1-x 2 ,x ∈-1,1 ，因为y =-ln u 在定义域内单调递减，y =1-x 2在-1,0 上单调递增，在0,1 上单调递减，则f x =1-ln 1-x 2 在-1,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，故x =0是f x 的极小值点，不合题意，所以a ≠0.当a ≠0时，令b =a >0因为f x =cos ax -ln 1-x 2 =cos a x -ln 1-x 2 =cos bx -ln 1-x 2 ，且f -x =cos -bx -ln 1--x 2 =cos bx -ln 1-x 2 =f x ，所以函数f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：f x =-b sin bx -2x x 2-1,x ∈-1,1 ，(i )当0<b 2≤2时，取m =min 1b ,1 ，x ∈0,m ，则bx ∈0,1 ，由(1)可得fx =-b sin bx -2x x 2-1>-b 2x -2x x 2-1=x b 2x 2+2-b 2 1-x2，且b 2x 2>0,2-b 2≥0,1-x 2>0，所以fx >x b 2x 2+2-b 21-x2>0，即当x ∈0,m ⊆0,1 时，f x >0，则f x 在0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：f x 在-m ,0 上单调递减，所以x =0是f x 的极小值点，不合题意；(ⅱ)当b 2>2时，取x ∈0,1b ⊆0,1 ，则bx ∈0,1 ，由(1)可得f x =-b sin bx -2x x 2-1<-b bx -b 2x 2 -2x x 2-1=x 1-x2-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2 ，构建h x =-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2,x ∈0,1b ，则h x =-3b 3x 2+2b 2x +b 3,x ∈0,1b，且h 0 =b 3>0,h 1b=b 3-b >0，则hx >0对∀x ∈0,1b 恒成立，可知h x 在0,1b 上单调递增，且h 0 =2-b 2<0,h 1b=2>0，所以h x 在0,1b 内存在唯一的零点n ∈0,1b ，当x ∈0,n 时，则h x <0，且x >0,1-x 2>0，则f x <x1-x 2-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2 <0，即当x ∈0,n ⊆0,1 时，fx <0，则f x 在0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：f x 在-n ,0 上单调递增，所以x =0是f x 的极大值点，符合题意；综上所述：b 2>2，即a 2>2，解得a >2或a <-2，故a 的取值范围为-∞,-2 ∪2,+∞ .【跟踪训练】1已知函数f x =xe -x +a sin x ，e 是自然对数的底数，若x =0恰为f (x )的极值点.(1)求实数a 的值；(2)求f (x )在区间-∞,π4上零点的个数.【答案】(1)-1；(2)1【详解】(1)由题意得f x =1-xex+a cos x ，因为x =0为f (x )的极值点，故f (0)=1+a =0,∴a =-1，此时f x =1-x e x-cos x ，则x <0时，1-xe x >1，故f (x )>0，则f (x )在(-∞,0)上单调递增；由f x =1-x e x -cos x =1-x -e x cos x e x，令g x =1-x -e x cos x ,∴g x =-1-e x cos x -sin x ，当0<x <π4时，cos x -sin x >0，则g (x )<0，则g (x )在0,π4上单调递减，故g (x )<g (0)=0，即f(x )<0，故f (x )在0,π4 上单调递减，则x =0为f (x )的极大值点，符合题意，故a =-1.(2)由(1)知f x =xe -x -sin x ，f x =1-xex-cos x ，x <0时，f (x )>0，f (x )在(-∞,0)上单调递增，则f (x )<f (0)=0，故f x 在(-∞,0)上不存在零点；当0<x <π4时，f (x )<0，故f (x )在0,π4上单调递减，则f (x )<f (0)=0，故f x 在0,π4上不存在零点；当x =0时，f (0)=0，即x =0为f x 的零点，综合上述，f (x )在区间-∞,π4上零点的个数为1.2已知函数f x =2cos x +ln 1+x -1．(1)判断函数f x 在区间0,π2上零点和极值点的个数，并给出证明；(2)若x ≥0时，不等式f x <ax +1恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数f x 在区间0,π2上只有一个极值点和一个零点，证明见解析；(2)实数a 的取值范围是1,+∞【详解】(1)函数f x 在区间0,π2 上只有一个极值点和一个零点，证明如下，f x =-2sin x +1x +1，设t x =f x =-2sin x +1x +1，t x =-2cos x -1x +12，当x ∈0,π2 时，t x <0，所以f x 单调递减，又f 0 =1>0，f π2=-2+1π2+1=-2+2π+2<0，所以存在唯一的α∈0,π2 ，使得f α =0，所以当x ∈0,α 时，f x >0，当x ∈α,π2 时，f x <0，所以f x 在0,α 单调递增，在α,π2单调递减，所以α是f x 的一个极大值点，因为f 0 =2-1=1>0，f α >f 0 >0，f π2=ln 1+π2 -1<0，所以f x 在0,α 无零点，在α,π2上有唯一零点，所以函数f x 在区间0,π2 上只有一个极值点和一个零点；(2)由f x ≤ax +1，得2cos x +ln 1+x -ax -2≤0，令g x =2cos x +ln 1+x -ax -2，x >0 ，则g 0 =0，g x =-2sin x +11+x-a ，g 0 =1-a ，①若a ≥1，则-a ≤-1，当x ≥0时，-ax ≤-x ，令h x =ln x +1 -x ，则h x =1x +1-1=-xx +1，当x ≥0时，h x ≤0，所以h x 在0,+∞ 上单调递减，又h 0 =0，所以h x ≤h 0 ，所以ln x +1 -x ≤0，即ln x +1 ≤x ，又cos x ≤1，所以g x ≤2+x -x -2=0，即当x ≥0时，f x ≤ax +1恒成立，②若0≤a <1，因为当x ∈0,π2 时，g x 单调递减，且g 0 =1-a >0，g π2 =-2+11+π2-a <0，所以存在唯一的β∈0,π2，使得g β =0，当x ∈0,β 时，g x >0，g x 在0,β 上单调递增，不满足g x ≤0恒成立，③若a <0，因为g e 4-1 =2cos e 4-1 +ln e 4 -a e 4-1 -2=2-2cos e 4-1 -a e 4-1 >0不满足g x ≤0恒成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,+∞ .3已知函数f x =xe x -1，g x =a x +ln x 且f x -g x ≥0恒成立. (1)求a 的值；(2)证明：x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x .(注：其中e =2.71828⋯为自然对数的底数)【答案】(1)a =1；(2)证明见解析【详解】(1)因为f x -g x ≥0恒成立，所以xe x -a (ln x +x )≥1恒成立，令h (x )=xe x -a (ln x +x )，则h (x )=e x+xe x-a 1x +1 =(x +1)⋅xe x -ax(x >0)，当a <0时，h (x )>0，所以h (x )在(0,+∞)上递增，当x→0时，xe x →0,ln x →-∞，所以h (x )→-∞，不合题意，当a =0时，h 12=e2<1，不合题意，当a >0时，令xe x -a =0，得a =xe x ，令p (x )=xe x ，则p (x )=(x +1)e x >0，所以p (x )=xe x 在(0,+∞)上递增，且p (0)=0，所以a =xe x 有唯一实根，即h (x )=0有唯一实根，设为x 0，即a =x 0e x 0，且x ∈(0,x 0)时，h (x )<0，x ∈x 0,+∞ 时，h(x )>0,所以h (x )在0,x 0 上为减函数，在x 0,+∞ 上为增函数，所以h (x )min =f x 0 =x 0e x 0-a ln x0+x 0 =a -a ln a ，所以只需a -a ln a ≥1，令t =1a ，则上式转化为ln t ≥t -1，设φ(t )=ln t -t +1，则φ (t )=1t -1=1-tt，当0<t <1时，φ (t )>0，当t >1时，φ (t )<0，所以φ(t )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，所以φ(t )≤φ(1)=0，所以ln t ≤t -1，所以ln t =t -1，得t =1，所以t =1a=1，得a =1，(2)证明：由(1)知，当a =1时，f x ≥g x 对任意x >0恒成立，所以∀x ∈0,+∞ ，xe x ≥x +ln x +1(当且仅当x =1时取等号)，则x 3e x ≥x 3+x 2ln x +x 2(x >0)，所以要证明x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x ，只需证明x 3+x 2ln x +x 2>(x 2+3)ln x +2sin x (x >0)，即证x 3+x 2>3ln x +2sin x (x >0)，设t (x )=ln x -x +1,m (x )=sin x -x ，则由(1)可知ln x ≤x -1(x >0)，m (x )=cos x -1≤0在(0,+∞)上恒成立，所以m (x )在(0,+∞)上递减，所以∀x ∈0,+∞ ，m (x )<m (0)=0，所以sin x <x (x >0)，所以要证x 3+x 2>3ln x +2sin x (x >0)，只要证x 3+x 2≥3(x -1)+2x (x >0)，即x 3+x 2-5x +3≥0(x >0)，令H (x )=x 3+x 2-5x +3，则H (x )=3x 2+2x -5=(3x +5)(x -1)，当0<x <1时，H (x )<0，当x >1时，H (x )>0，所以H (x )在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，所以当x ∈0,+∞ 时，H (x )≥H (1)=0，即x 3+x 2-5x +3≥0(x >0)恒成立，所以原命题成立.4已知函数f (x )=x +sin x ，x ∈R .(1)设g (x )=f (x )-12x ，求函数g (x )的极大值点；(2)若对∀x ∈0,π2，不等式f (x )≥mx cos x (m >0)恒成立，求m 的取值范围.【答案】(1)x =2π3+2k π(k ∈Z )；(2)(0,2].【详解】(1)函数g (x )=12x +sin x ，求导得g (x )=12+cos x ，由g (x )=0，得cos x =-12，当-2π3+2k π<x<2π3+2k π(k ∈Z )时，cos x >-12，即g (x )>0，函数g (x )单调递增；当2π3+2k π<x <4π3+2k π(k ∈Z )时，cos x <-12，即g (x )<0，函数g (x )单调递减，因此函数g (x )在x =2π3+2k π(k ∈Z )处有极大值，所以函数g (x )的极大值点为x =2π3+2k π(k ∈Z ).(2)依题意，m >0，∀x ∈0,π2 ，不等式f (x )≥mx cos x ⇔x +sin x -mx cos x ≥0，当x =π2时，π2+1≥0成立，则m >0，当x ∈0,π2时，cos x >0，x +sin x -mx cos x ≥0⇔x +sin x cos x-mx ≥0，令h (x )=x +sin x cos x -mx ，x ∈0,π2 ，求导得h(x )=(1+cos x )cos x +(x +sin x )sin x cos 2x -m =cos x +x sin x +1cos 2x -m ，令φx =cos x +x sin x +1cos 2x -m ，x ∈0,π2 ，求导得φ (x )=x cos 2x +2x sin 2x +sin2x +2sin x cos 3x >0，因此φ(x )在0,π2 上单调递增，即有φx ≥φ0 =2-m ，而cos x +x sin x +1cos 2x ≥cos x +1cos 2x >1cos 2x，又函数y =1cos 2x在x ∈0,π2 上的值域是[1,+∞)，则函数φ(x )，即h x 在0,π2 上的值域是2-m ,+∞ ,当0<m ≤2时，h (x )≥0，当且仅当m =0,x =0时取等号，于是函数h (x )在0,π2上单调递增，对x ∈0,π2 ，h (x )≥h (0)=0，因此0<m ≤2，当m >2时，存在x 0∈0,π2，使得h (x 0)=0，当x ∈(0,x 0)时，h (x )<0，函数h (x )在(0,x 0)上单调递减，当x ∈(0,x 0)时，h (x )<h (0)=0，不符合题意，所以m 的取值范围为(0,2].5已知函数f (x )=ax 2-a (x sin x +cos x )+cos x +a (x >0)．(1)当a =1时，(I )求(π,f (π))处的切线方程；(II )判断f x 的单调性，并给出证明；(2)若f x >1恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)(I )y =3πx -2π2+1；(II )f x 单调递增，证明见解析；(2)a ≥1【详解】(1)当a =1时，f (x )=x 2-x sin x +1，可得f (x )=2x -sin x -x cos x .(I )f (π)=π2+1,f (π)=3π，所以在(π,f (π))处的切线方程为y -π2+1 =3πx -π ，即y =3πx -2π2+1.(II )f (x )=2x -sin x -x cos x =x -sin x +x (1-cos x )，设m (x )=x -sin x (x >0)，则m (x )=1-cos x ≥0,m (x )单调递增，所以m (x )>m (0)=0，即x >sin x ，所以当x >0时，f (x )>0,f (x )单调递增.(2)设g (x )=f (x )-1=ax 2-a (x sin x +cos x )+cos x +a -1，由题意g (x )>0恒成立.①当a ≤0时，g π2=a π2π2-1 +a -1<0,g (x )>0不恒成立，不合题意；②当0<a <1时，设h (x )=g(x )=2ax -ax cos x -sin x ，h (0)=0，h (x )=2a -a cos x +ax sin x -cos x ，h (0)=a -1<0，h π2=2a +π2a >0，设r (x )=h (x )，x ∈0,π2，r (x )=2a sin x +ax cos x +sin x >0，h (x )单调递增，由零点存在定理得∃t ∈0,π2，使得h (t )=0.h (x )在(0,t )上h (x )<0，h (x )<h (0)=0，即g (x )<0，所以g (x )在(0,t )上单调递减，g (x )<g (0)=0，g (x )>0不恒成立，不合题意；③当a ≥1时，g(x )=2ax -ax cos x -sin x ，则g (x )x =2a -a cos x -sin x x =a (1-cos x )+a -sin x x，当x>0时，1-cos x ≥0,x >sin x ，即sin xx <1，则g (x )x >0，所以当x >0时，g (x )>0,g (x )单调递增.可得：g (x )>g (0)=0，即f (x )>1，所以a ≥1.综上，a 的取值范围为1,+∞ ．6已知f (x )=ax 2-cos x -x sin x +a (a ∈R ).(1)当a =14时，求y =f (x )在[-π,π]内的单调区间；(2)若对任意的x ∈R 时，f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)单调增区间为：-π3,0 ，π3,π ；单调减区间为：0,π3 ，-π,-π3 ；(2)[3,+∞).【详解】(1)当a =14时，f (x )=14x 2-cos x -x sin x +14，求导得f (x )=12x -x cos x =x 12-cos x ，而x ∈[-π,π]，由cos x =12，得x =±π3，当x ∈-π3,π3 时，12-cos x <0，当x ∈π3,π ∪-π,-π3时，12-cos x >0，则当x >0时，若f (x )>0，则x ∈π3,π ；若f (x )<0，则x ∈0,π3，当x <0时，若f (x )>0，则x ∈-π3,0 ；若f (x )<0，则x ∈-π,-π3 ，所以函数y =f (x )在[-π,π]内的单调增区间为：-π3,0 ，π3,π ；单调减区间为：0,π3 ，-π,-π3.(2)因为f (-x )=a (-x )2-cos (-x )-(-x )sin (-x )+a =f (x )，于是函数f (x )=ax 2-cos x -x sin x +a (a ∈R )为偶函数，则f (x )≥2对任意x ∈R 恒成立，等价于对任意的x ∈[0,+∞)，恒有f (x )≥2成立，求导得f (x )=2ax -x cos x =x (2a -cos x )，当x ∈[0,+∞)时，当2a ≥1，a ≥12成立时，2a -cos x ≥0恒成立，即f (x )≥0恒成立，函数f (x )在[0,+∞)内单调递增，则有f x min =f 0 =a -1，因此a -1≥2，解得a ≥3，则a ≥3；当2a <1，a <12时，函数y =cos x 在[0,π]上单调递减，且-1≤cos x ≤1，因此存在x 0>0，使得当x ∈(0,x 0)时，2a -cos x <0，f (x )<0，函数f (x )在(0,x 0)上递减，此时x ∈0,x 0 ，f x <f 0 =a -1<2，不符合题意，所以实数a 的取值范围为[3,+∞).7已知函数f (x )=e x -a -x -cos x ，x ∈(-π,π)其中e =2.71828⋯为自然对数的底数．(1)当a =0时，证明：f x ≥0;(2)当a =1时，求函数y =f x 零点个数．【答案】(1)证明见解析；(2)2.【详解】(1)当a =0时，f (x )=e x -x -cos x ，x ∈(-π,π)，求导得f (x )=e x -1+sin x ，显然f (0)=0，当-π<x <0时，e x -1<0,sin x <0，则f (x )<0，当0<x <π时，e x -1>0,sin x >0，则f (x )>0，因此函数f (x )在(-π,0)上单调递减，在(0,π)上单调递增，则当x ∈(-π,π)时，f (x )≥f (0)=0，所以f x ≥0.(2)当a =1时，f (x )=e x -1-x -cos x ，x ∈(-π,π)，求导得f (x )=e x -1-1+sin x ，当-π<x <0时，e x -1-1<0,sin x <0，则f (x )<0，当1<x <π时，e x -1-1>0,sin x >0，则f (x )>0，当0≤x ≤1时，函数y =e x -1-1,y =sin x 都递增，即函数f (x )在(0,1)上单调递增，而f (0)=e -1-1<0,f (1)=sin1>0，因此存在x 0∈(0,1)，使得f (x 0)=0，当0≤x <x 0时，f (x )<0，当x 0<x ≤1时，f (x )>0，从而当-π<x <x 0时，f (x )<0，当x 0<x <π时，f (x )>0，即有函数f (x )在(-π,x 0)上单调递减，在(x 0,π)上单调递增，f (x 0)<f (0)=e -1-1<0，而f -π2 =e -π2-1+π2>0,f π2 =e π2-1-π2>e -π2>0，于是函数f (x )在(-π,x 0)，(x 0,π)各存在一个零点，所以函数y =f x 零点个数是2.8已知函数f x =x -1 e x +ax +1.(1)若a =-e ，求f x 的极值；(2)若x ≥0，f x ≥2sin x ，求a 的取值范围.【答案】(1)f x 极小值=1-e ，无极大值.(2)2,+∞【详解】(1)当a =-e 时f x =x -1 e x -ex +1，则f x =xe x -e ，令g x =f x =xe x -e ，则g 1 =0，gx =x +1 ex，所以当x <-1时g x <0，g x 单调递减且g x <0，当x >-1时g x >0，g x 单调递增，所以当x <1时g x <0，即f x <0，当x >1时g x >0，即f x >0，所以f x 在-∞,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以f x 在x =1处取得极小值，即f x 极小值=f 1 =1-e ，无极大值.(2)令h x =f x -2sin x =x -1 e x +ax -2sin x +1，x ∈0,+∞ ，则原不等式即为h x ≥0，可得h 0 =0，h x =xe x +a -2cos x ，h 0 =a -2，令u x =h x =xe x +a -2cos x ，则u x =x +1 e x +2sin x ，令t x =x +1 e x ，x ∈0,+∞ ，则t x =x +2 e x >0，所以t x 在0,+∞ 上单调递增，则t x ≥t 0 =1，则x ∈0,π 时x +1 e x >0，sin x ≥0，所以u x >0，当x ∈π,+∞ 时x +1 e x ≥π+1 e π>2，所以u x >0，所以u x >0在0,+∞ 上恒成立，所以u x 即h x 在0,+∞ 上单调递增，当a -2≥0，即a ≥2时h x ≥h 0 ≥0，所以h x 单调递增，所以h x ≥h 0 =0恒成立，所以a ≥2符合题意，当a -2<0，即a <2时h 0 <0，h 3-a =3-a e 3-a+a -2cos 3-a ≥3-a +a -2cos 3-a >0，所以存在x 0∈0,3-a 使得h x 0 =0，当0<x <x 0时h x <0，则h x 单调递减，所以h x <h 0 =0，与题意不符，综上所述，a 的取值范围是2,+∞ .9已知函数f x =2sin x -ln 1+x 0<x <π ．(1)证明：函数f x 有唯一的极值点α，及唯一的零点β；(2)对于(1)问中α，β，比较2α与β的大小，并证明你的结论．【答案】(1)证明见解析；(2)2α>β，证明见解析【详解】(1)当π2<x <π时，由于y =2sin x 单调递减，y =ln 1+x 单调递增，所以f x 单调递减，又f π2=2-ln 1+π2 >0,f π =-ln 1+π <0，所以f x 只有一个零点(设为x 0)，无极值点；当0<x <π2时，由f x =2sin x -ln 1+x 得f x =2cos x -1x +1，设g x =2cos x -1x +1，则g x =-2sin x +1x +1 2，由于y =-2sin x 和y =1x +12在0,π2 上均单调递减，所以g x 单调递减，又g 0 =1>0,g π2=-2+1π2+12<0，所以存在x 1∈0,π2，使得g x 1 =0，当0<x <x 1时，g x >0，g x 单调递增，即f x 单调递增，当x 1<x <π2时，g x <0，g x 单调递减，即f x 单调递减，又f π3=1-11+π3>0,f π2 =-1π2+1<0，所以当0<x <x 1时，f x >0恒成立，且存在x 2∈π3,π2 ，使得fx 2 =0，当0<x <x 2时，fx >0，f x 单调递增，当x 2<x <π2时，fx <0，f x 单调递减，所以x 2是f x 的极值点，又f 0 =0,f π2=2-ln 1+π2 >0，所以当0<x <π2时，f x >0恒成立，即函数f x 无零点；综上，函数f x 有唯一的极值点α(α=x 2)，及唯一的零点β(β=x 0).(2)2α>β，证明如下：由(1)知α∈π3,π2，2α,β∈π2,π ，由于α为f x 的极值点，所以f α =2cos α-1α+1=0，即2cos α=11+α，所以f 2α =2sin2α-ln 1+2α =4sin αcos α-ln 1+2α =2sin α1+α-ln 1+2α ，设y =x -sin x 0<x <π2，则y =1-cos x >0，所以y =x -sin x 单调递增，所以x -sin x >0，即x >sin x ，所以f2α=2sinα1+α-ln1+2α<2α1+α-ln1+2α，令φ(x)=2x1+x-ln(1+2x)0<x<π2，则φ (x)=-2x21+x21+2x<0，所以φ(x)在0,π2上单调递减，所以φ(x)<φ(0)=0，所以f2α <0=fβ ，又f x在π2,π递减，所以2α>β.10已知函数f x =ax2+x-ln2x．(1)若f x 在1,+∞上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数g x =f x -x+ln2xx-sin x在0,π上存在零点，求a的取值范围．【答案】(1)a≥0；(2)0<a<1【详解】(1)由题得f x =2ax+1-1x，因为f x 在1,+∞上单调递增，所以f x =2ax+1-1x≥0在1,+∞上恒成立，即2a≥1x2-1x在1,+∞上恒成立，因为1x2-1x=1x-122-14≤0，所以a≥0.(2)因为g x =ax-sin x，则g x =a-cos x，注意到：g0 =0，g 0 =a-1，若a≥1，则g x =a-cos x≥0，所以g x 在0,π上单调递增，所以g x >g0 =0，g x 在0,π上不存在零点，若a≤-1，则g x =a-cos x≤0，所以g x 在0,π上单调递减，所以g x <g0 =0，g x 在0,π上不存在零点，若-1≤a≤0，显然g x =ax-sin x<0，在0,π上不存在零点，若0<a<1，显然存在t∈0,π，使得g t =0，且g x 在0,π上单调递增，注意到：g 0 =a-1<0，g π =a+1>0，所以g x 在0,t上小于零，在t,π上大于零，所以g x 在0,t上单调递减，在t,π上单调递增，注意到：g0 =0，g t <0，且gπ >0，所以存在唯一β∈t,π使得gβ =0，综上，所以0<a<1.11已知函数f x =ln x+sin x.(1)求函数f x 在区间1,e上的最小值；(2)判断函数f x 的零点个数，并证明.【答案】(1)sin1；(2)f x 有1个零点，证明见解析【详解】(1)f(x)=ln x+sin x的定义域为0,+∞，故f (x)=1x+cos x，令g x =f (x)=1x+cos x，g x =-1 x2-sin x，当x∈1,e时，g x =-1x2-sin x<0，所以g x 在1,e上单调递减，且g1 =1+cos1>0，g e =1e +cos e<1e+cos2π3=1e-12<0，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的a，使g a =f a =0，又当x∈1,a时，g x =f x >0；当x∈a,e时，g x =f x <0；所以f x 在x∈1,a上单调递增，在x∈a,e上单调递减，又因为f1 =ln1+sin1=sin1，f e =ln e+sin e=1+sin e >f1 ，所以函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为f1 =sin1.(2)f x 有1个零点，证明如下：因为f(x)=ln x+sin x，x∈0,+∞，若0<x≤1，f (x)=1x+cos x>0，所以f(x)在区间0,1上单调递增，又f1 =sin1>0，f1e=-1+sin1e<0，结合零点存在定理可知，lnπ>1≥-sin x ，所以f x >0，综上，函数f (x )在0,+∞ 有且仅有一个零点.12已知函数f (x )=12ax 2-(a -2)x -2ln x .(1)当a =2时，证明：f x >sin x .(2)讨论f x 的单调性.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析【详解】(1)当a =2时，f (x )=x 2-2ln x (x >0)，f (x )=2x -2x，令f (x )<0，得0<x <1，令f (x )>0，得x >1，所以f (x )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，所以f (x )≥f (1)=1，当且仅当x =1时，等号成立，而当x =1时，sin x <1，当x >0且x ≠1时，sin x ≤1，所以f x >sin x .(2)f (x )=12ax 2-(a -2)x -2ln x 的定义域为(0,+∞)，f (x )=ax -(a -2)-2x =(x -1)ax +2 x，当a ≥0时，ax +2>0，令f (x )<0，得0<x <1，令f (x )>0，得x >1，所以f (x )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数.当a <0时，令f (x )=0，得x =1或x =-2a ，若1<-2a，即-2<a <0时，令f (x )<0，得0<x <1或x >-2a ；令f (x )>0，得1<x <-2a ，所以f (x )在(0,1)和-2a ,+∞ 上为减函数，在1,-2a 上为增函数；若1=-2a ，即a =-2时，f (x )≤0在(0,+∞)上恒成立，所以f (x )在(0,+∞)上为减函数；若1>-2a ，即a <-2时，令f (x )<0，得0<x <-2a 或x >1，令f (x )>0，得-2a <x <1，所以f (x )在0,-2a和(1,+∞)上为减函数，在-2a ,1 上为增函数.综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；当-2<a <0时，f (x )在(0,1)和-2a ,+∞ 上为减函数，在1,-2a 上为增函数；当a =-2时，f (x )在(0,+∞)上为减函数；当a <-2时，f (x )在0,-2a和(1,+∞)上为减函数，在-2a ,1 上为增函数.13(1)证明：当x <1时，x +1≤e x ≤11-x；(2)是否存在正数a ，使得f x =2e x +a sin x -ax 2-a +2 x 在R 上单调递增，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，a =1【详解】(1)设g x =e x -x -1，其中x <1，则g x =e x -1，由g x <0可得x <0，由g x >0可得0<x <1，所以，函数g x 在-∞,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，所以，当x <1时，g x ≥g 0 =0，即x +1≤e x (*)，由(*)可知e -x ≥1-x ，当x <1时，得e x ≤11-x，原不等式得证；(2)f x =2e x +a sin x -ax 2-a +2 x ，则f x =2e x +a cos x -2ax -a -2，设h x =2e x +a cos x -2ax -a -2，则h x =2e x -a sin x -2a ，f x 在R 上单调递增⇔f x ≥0在R 上恒成立，注意到f 0 =0，只需f x 在x =0处取得最小值，易知其必要条件为h0 =2-2a =0，则a =1，下面证明充分性：令p x =x -sin x ，则p x =1-cos x ≥0且p x 不恒为零，所以，函数p x 在R 上单调递增，当x >0时，p x =x -sin x >p 0 =0，即x >sin x ，当x <0时，p x =x -sin x <p 0 =0，即x <sin x ，当a =1时，f x =2e x +sin x -x 2-3x ，则f x =2e x +cos x -2x -3=h x ，故h x =2e x -sin x -2，①当x >0时，h x >2x +2-sin x -2>2x -sin x >2x -x =x >0，所以h x 在0,+∞ 上单调递增，即f x 在0,+∞ 上单调递增；②当x <0时，若x ∈-1,0 ，则h x =2e x -sin x -2<21-x -sin x -2<21-x -x -2=x 1+x 1-x<0，若x ∈-∞,-1 ，则h x =2e x -sin x -2≤2e+1-2<0，所以h x 在-∞,0 上单调递减，即f x 在-∞,0 上单调递减.由①②可知，fx ≥f0 =0，故当a =1时，f x 在R 上单调递增.当0<a <1时，由(1)知当x <1时，f x =2e x +a cos x -2ax -a -2≤21-x +a cos x -2ax -a -2≤21-x +a -2ax -2-a =2ax x -1-1a 1-x，当x ∈1-1a,0 时，f x <0，f x 单调递减，不合题意；当a >1时，同理可得当x <1时，f x ≤2ax x -1-1a 1-x ，当x ∈0,1-1a时，f x <0，f x 单调递减，不合题意.综上所述：当a =1时，函数f x 在R 上单调递增.。

三角函数的导数解析与应用

三角函数的导数解析与应用三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们的导数在解析和应用中起到了关键的作用。

本文将探讨三角函数的导数解析和应用，并说明它们在实际问题中的重要性。

1. 正弦函数的导数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，用sin表示。

其导数可以通过函数的定义来推导。

根据导数的定义，我们有：lim h->0 [sin(x+h) - sin(x)] / h利用三角函数的和差角公式和极限的性质，我们可以推导得到sin(x)的导数为cos(x)。

这意味着正弦函数的斜率等于对应点处的余弦函数值。

2. 余弦函数的导数余弦函数是另一种重要的三角函数，用cos表示。

其导数也可以通过函数的定义来推导，即：lim h->0 [cos(x+h) - cos(x)] / h类似地，利用三角函数的和差角公式和极限的性质，我们可以推导得到cos(x)的导数为-sin(x)。

这意味着余弦函数的斜率等于对应点处的负正弦函数值。

3. 正切函数的导数正切函数是三角函数中另一个重要的函数，用tan表示。

它的导数可以通过定义来推导：tan(x) = sin(x) / cos(x)将sin(x)和cos(x)的导数结果带入上式，我们可以得到tan(x)的导数为sec^2(x)。

这意味着正切函数的斜率等于对应点处的正切函数的平方加1。

通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的导数分析，我们可以更好地理解它们在数学和科学领域的应用。

以下是三角函数导数应用的一些例子：4. 泰勒级数展开三角函数的导数可以用于泰勒级数展开中。

泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法，通过使用函数的导数来计算不同阶的近似值。

三角函数的导数在这个过程中起到了重要的作用。

5. 物理问题中的应用三角函数的导数在物理学中也有广泛的应用。

例如，对于描述振动的函数，如弹簧振子的运动、电磁波的传播等，三角函数的导数可以表示振动的速度和加速度，从而帮助我们分析物理系统的行为。

含三角函数的导数快速解法

含三角函数的导数快速解法在数学中，三角函数是非常常见的，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。

在导数求解中，含有三角函数的函数是非常普遍的。

为了快速求解这些函数的导数，我们需要掌握一些技巧。

1. 有关正弦函数的导数正弦函数的导数为：$frac{d}{dx}sin(x) = cos(x)$根据这个公式，我们可以快速计算出任何形式的正弦函数的导数。

例如：$frac{d}{dx}sin(2x) = cos(2x)·2 = 2cos(2x)$$frac{d}{dx}sin(x^2) = cos(x^2)·2x = 2x cos(x^2)$$frac{d}{dx}sin(x^3) = cos(x^3)·3x^2 = 3x^2 cos(x^3)$2. 有关余弦函数的导数余弦函数的导数为：$frac{d}{dx}cos(x) = -sin(x)$同样地，我们可以用这个公式来计算出任何形式的余弦函数的导数。

例如：$frac{d}{dx}cos(2x) = -sin(2x)·2 = -2sin(2x)$$frac{d}{dx}cos(x^2) = -sin(x^2)·2x = -2x sin(x^2)$$frac{d}{dx}cos(x^3) = -sin(x^3)·3x^2 = -3x^2 sin(x^3)$ 3. 有关正切函数的导数正切函数的导数为：$frac{d}{dx}tan(x) = sec^2(x)$其中，$sec(x)$表示$1/cos(x)$。

同样地，我们可以使用这个公式来计算出任何形式的正切函数的导数。

例如：$frac{d}{dx}tan(2x) = sec^2(2x)·2 = 2sec^2(2x)$$frac{d}{dx}tan(x^2) = sec^2(x^2)·2x = 2x sec^2(x^2)$ $frac{d}{dx}tan(x^3) = sec^2(x^3)·3x^2 = 3x^2 sec^2(x^3)$ 总结掌握了这些快速计算含三角函数的导数的方法，我们就可以更快速地解决很多数学问题。

三角函数导数练习题及解答

三角函数导数练习题及解答在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

而三角函数是数学中常见的函数之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

本文将提供一些三角函数导数的练习题及其解答，帮助读者加深对三角函数导数的理解。

练习题一：求下列函数的导数。

1. $f(x)=\sin(x)$2. $f(x)=\cos(x)$3. $f(x)=\tan(x)$4. $f(x)=\sin^2(x)$5. $f(x)=\cos^2(x)$6. $f(x)=\sin(2x)$7. $f(x)=\cos(2x)$解答一：1. $f'(x)=\cos(x)$2. $f'(x)=-\sin(x)$3. $f'(x)=\sec^2(x)$4. $f'(x)=2\sin(x)\cos(x)$5. $f'(x)=-2\sin(x)\cos(x)$7. $f'(x)=-2\sin(2x)$练习题二：求下列函数的导数。

1. $f(x)=\sin^3(x)$2. $f(x)=\cos^3(x)$3. $f(x)=\sin(x)\cos(x)$4. $f(x)=\tan^2(x)$5. $f(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$解答二：1. $f'(x)=3\sin^2(x)\cos(x)$2. $f'(x)=-3\cos^2(x)\sin(x)$3. $f'(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$4. $f'(x)=2\tan(x)\sec^2(x)$5. $f'(x)=\sec^2(x)$练习题三：求下列函数的导数。

1. $f(x)=\sin(x^2)$2. $f(x)=\cos(x^2)$3. $f(x)=\tan(x^2)$4. $f(x)=\sin^2(x^2)$6. $f(x)=\sin(2x^2)$7. $f(x)=\cos(2x^2)$解答三：1. $f'(x)=2x\cos(x^2)$2. $f'(x)=-2x\sin(x^2)$3. $f'(x)=\frac{2x}{\cos^2(x^2)}$4. $f'(x)=2x\sin(2x^2)$5. $f'(x)=-2x\sin(2x^2)$6. $f'(x)=4x\cos(2x^2)$7. $f'(x)=-4x\sin(2x^2)$练习题四：求下列函数的导数。

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