固体物理第一章晶体结构分解
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1.1 晶体结构
22
固体物理
固体物理学
—— 全同小圆球平铺在平面上，任一个球都与6个球相切。 每三个相切的球的中心构成一等边三角形 每个球的周围有6个空隙 这样构成一层—— A层 第二层是同样的铺排 —— B层 第三层是同样的铺排 —— C层
23
固体物理
固体物理学
A层原子球排列
B层原子球排列
24
固体物理
固体物理学
7
固体物理
固体物理学
雪花结晶ຫໍສະໝຸດ Baidu样
—— 六角形白色结晶体
—— 空气中所含水汽多 少及温度高低等不同，所 形成的雪花的形状也不同
8
固体物理
固体物理学
3 非晶体 —— 不具备长程有序特点
—— 在凝结过程中不经过结晶的阶段，非晶体中分子与 分子的结合是无规则的,没有固定的熔点。玻璃 橡胶
Be2O3晶体与Be2O3玻璃的内部结构
B层原子球排列
C层原子球排列
27
固体物理
固体物理学
原子球排列 —— ABC ABC ABC …… —— 层的垂直方向是对称性为3的轴，是立方体的空间对角线 面心立方晶格结构晶体 Cu、Ag、Au、Al
fcc的配位数为12；
28
固体物理
固体物理学
29
固体物理
固体物理学
补充：配位数、密堆积、致密度
固体物理学：第一章晶体结构1-2
1. 2.6 氯化铯结构 典型离子晶体，基元由Cl-，Cs+组成， 简单立方格子 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成
每个离子位于由异类原子构成的立方体的中心
1. 2.7 密堆积结构（video171）
原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的紧密方式 —— 结合能最低的位置 配位数 —— 一个原子的周围最近邻的原子数
k)
a3
a 2
(i
j
k)
—— 原胞中只包含一个格点
——晶胞中只包含两个格点
——晶胞体积是原胞的2倍
1. 1.4.4 面心立方格子的晶胞和原胞
面心立方格子的晶胞基矢： a ai , b aj, c ak
面心立方格子的原胞基矢：
原胞体积
V a1 (a2 a3) 1 a3
—— 描写晶体中粒子排列的紧密程度
密堆积 —— 晶体由全同一种粒子组成，将粒子看作小圆球 这些全同的小圆球最紧密的堆积
密堆积所对应的配位数 —— 晶体结构中最大的配位数
两种堆积方式 —— 六角密积，立方密积
六角密积
—— 全同小圆球平铺在平面上，任一个球都与6个球相切。 每三个相切的球的中心构成一等边三角形
（动画122B）这种晶体是由2个菱形格子套构而成
（动画122C）若在六边形中心加入一个同元素的原 子，则所有原子等价，这种晶体为简单格子
1固体物理-晶体结构1
面心立方WS原胞
NaCl晶体的布拉维格子？
金刚石的布拉维格子？
石墨烯的布拉维格子？
石墨烯的布拉维格子
石墨烯的布拉维格子
晶向(crystal direction)
布拉维格子的格点可以看成分布在一系列相互平 行等距的直线族上，每一直线族定义一个方向， 称为晶向. 这些相互平行的直 线可以将所有的格 点包括无遗，称为 晶列(crystal array)； 在一个平面内，相 邻晶列之间的距离 相等。
立方晶系布拉维格子
立方晶系演示 http://demonstrations.wolfram.com/CubicCrystalLattices/
简单立方(sc)
ˆ, a2 ay ˆ , a3 az ˆ a1 ax
简单立方WS原胞
格点配位数z=6 简单立方WS原胞仍为立方体
晶格+基元=晶体结构
晶格+基元=晶体结构
布拉维(Bravais)格子
晶格可以用布拉维格子来表示； 定义：布拉维格子是矢量
Rn n1a1 n2 a2 n3a3
全部端点的集合，
其中n1, n2, n3为整数，a1, a2, a3是三个不共面的矢 量，称为布拉维格子的基矢(primitive vector)，Rn 称为布拉维格子的格矢，其端点称为格点(lattice site).
固体物理第一章总结
第一章晶体结构1.晶格实例
面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度
原胞基矢：
()
()
()
1
2
3
2
2
2
a
a j k
a
a k i
a
a i j
=+
=+
=+
原胞体积3
123
()/4
Ωa a a a
=⋅⨯=
NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-
具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）
简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度
CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-
钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3??
氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等
体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度
原胞基矢：
1
2
3
()
2
()
2
()
2
a
a i j k
a
a i j k
a
a i j k
=-++
=-+
=+-
原胞体积：3
123
()/2
Ωa a a a
=⋅⨯=
体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等
六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度
典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等
金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度
晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)
固体物理课件 第一章 晶体结构
Baidu Nhomakorabea
a
a
晶体结构
基元
布拉菲晶格
= n1 O n1，n2，n3 ， ，
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
面心立方
a1 a2
a3
面心立方
= n1
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
a1 a2
n1，n2，n3 ， ，
a3
面心立方
= n1
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
a1
a2 a3
n1，n2，n3 ， ，
面心立方
证明 G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
ABC为在基矢 a1 , a 2 , a 3 上的截距为
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面
a1 a2 a3 , , h1 h2 h3
a3
C
Gh
a2
B
CA = OA − OC =
a1 a 3 − h1 h 3
O
+
正格子和倒格子互为倒易。倒格子是由基矢b1,b2,b3所确定的倒易空间 中的布拉非晶格。在正、倒两种格子空间中，长度的量纲互为倒数。
倒格子原胞的体积Ω*与正格子的原胞体积Ω的关系为
a
a
晶体结构
基元
布拉菲晶格
= n1 O n1，n2，n3 ， ，
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
面心立方
a1 a2
a3
面心立方
= n1
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
a1 a2
n1，n2，n3 ， ，
a3
面心立方
= n1
+ n2 为整数 为基矢
+
n3
a1
a2 a3
n1，n2，n3 ， ，
面心立方
证明 G h = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
ABC为在基矢 a1 , a 2 , a 3 上的截距为
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面
a1 a2 a3 , , h1 h2 h3
a3
C
Gh
a2
B
CA = OA − OC =
a1 a 3 − h1 h 3
O
+
正格子和倒格子互为倒易。倒格子是由基矢b1,b2,b3所确定的倒易空间 中的布拉非晶格。在正、倒两种格子空间中，长度的量纲互为倒数。
倒格子原胞的体积Ω*与正格子的原胞体积Ω的关系为
固体物理 第一章 晶体结构-
l
a
l
a
l
a
任意一个格点均可用一个矢量 R
l
1
1
2
2
3
3
（l1、l2和l3均为整数），称为格矢。
可用
{
l
a
l
a
l
a
}
表示一个布拉
空间点
1
1
2
2
3
3
23
固体物理
4.晶胞
固体物理学
除了周期性外，每种晶
体还有自己特殊的对称性。
为了同时反映晶格的对称性，
晶体学中往往选用较大的周
hcp晶格都是复式晶格。
19
固体物理学
固体物理
fcc + 双原子基元
A类碳原子
共价键方向
B类碳原子
共价键方向
20
固体物理学
固体物理
复式晶格包含多个等价原子，每类等价原子各构
成一个简单晶格，这些简单晶格彼此相同。复式晶
格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。
SC + 双原子基元
21
固体物理学
固体物理
二、基矢和原胞--Baidu Nhomakorabea-描述周期性
42
固体物理
固体物理学
立方晶系的晶面 选用晶胞基矢构造坐标系
固体物理晶体结构
• 法线上一点P，OP=ρ • 令 d为ABC面 • 面间距，把P平移得到一个 • 新的点阵．
C
d 2
N B
p
O A
电子衍射图
• 倒格子：这些新的格子成为原来晶格的倒格 子． • 正格子：原来的晶格（真实三维空间）． • 正．倒格子基矢的关系： • 正格子的基矢：a1，a2 ,a3 • 正格子坐标面： a1a2, a1a3, a2a3 a3 • 面间距： d3,d2,d1 P b3 a2 • OP⊥面a1a2， • OP上截取一点OP’= b3
硫和锌分别组成面心立方的子晶格。而沿空间对角 线位移1/4的长度套构而成。 化合物半导体：锑化铟，砷化镓，磷化钼
• 钙钛矿结构
钛酸钙 CaTiO3 介电晶体：钛酸钡 BaTiO3 锆酸铅 LiNbO3
200 C铁电晶体 高于120 °C ，铁点性消失
铌酸锂 PbZrO3 钽酸锂 LiTaO3
钛酸钡的晶体学原胞 钡在顶角 钛在体心 周围情况不同，三组氧 (OI, OII, OIII) 共有5个简立方格子套构 而成，称为钙钛矿结构
• • • • • • • • • •
正格子基矢: ai(i=1,2,3) 正格子基矢和倒格子基矢之间关系: ai•bj=2 δij=2 (i=j) =0(i≠j) K空间:由倒格子组成的空间,也叫状态空间. 坐标(位置)空间:由正格子组成的空间. 倒格子是(晶体结构)晶格在状态空间的化身. 3.倒格子与正格子间的关系: (1)除 (2 )3 因子外,体积互为倒数. 为倒格子体积.
C
d 2
N B
p
O A
电子衍射图
• 倒格子：这些新的格子成为原来晶格的倒格 子． • 正格子：原来的晶格（真实三维空间）． • 正．倒格子基矢的关系： • 正格子的基矢：a1，a2 ,a3 • 正格子坐标面： a1a2, a1a3, a2a3 a3 • 面间距： d3,d2,d1 P b3 a2 • OP⊥面a1a2， • OP上截取一点OP’= b3
硫和锌分别组成面心立方的子晶格。而沿空间对角 线位移1/4的长度套构而成。 化合物半导体：锑化铟，砷化镓，磷化钼
• 钙钛矿结构
钛酸钙 CaTiO3 介电晶体：钛酸钡 BaTiO3 锆酸铅 LiNbO3
200 C铁电晶体 高于120 °C ，铁点性消失
铌酸锂 PbZrO3 钽酸锂 LiTaO3
钛酸钡的晶体学原胞 钡在顶角 钛在体心 周围情况不同，三组氧 (OI, OII, OIII) 共有5个简立方格子套构 而成，称为钙钛矿结构
• • • • • • • • • •
正格子基矢: ai(i=1,2,3) 正格子基矢和倒格子基矢之间关系: ai•bj=2 δij=2 (i=j) =0(i≠j) K空间:由倒格子组成的空间,也叫状态空间. 坐标(位置)空间:由正格子组成的空间. 倒格子是(晶体结构)晶格在状态空间的化身. 3.倒格子与正格子间的关系: (1)除 (2 )3 因子外,体积互为倒数. 为倒格子体积.
固体物理第一章总结
固体物理(黄昆)第一章总结
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第一章晶体结构
1.晶格实例
1.1面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度0.74
原胞基矢：
()
()
()
1
2
3
2
2
2
a
a j k
a
a k i
a
a i j
=+
=+
=+
原胞体积3
123
()/4
Ωa a a a
=⋅⨯=
NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-
具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）
1.2简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度0.52
CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-
钙钛矿结构：CaTiO
3
五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、
PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3
氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等
1.3体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度0.68
原胞基矢：
1
2
3
()
2
()
2
()
2
a
a i j k
a
a i j k
a
a i j k
=-++
=-+
=+-
原胞体积：3
123
()/2
Ωa a a a
=⋅⨯=
体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等
1.4六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度0.74
典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等
固体物理-第一章
1、原胞和基矢量
原胞：最小的周期性单元。(只含有一个原子）
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行 六面体作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就 可以充满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的 矢量称为原胞的基本平移矢量，简称基矢。
金刚石是由两个面心晶格相互穿套而成。NaCl晶体，Cl－1和Na＋1构成的 晶格都为面心立方晶格，经过平移穿套而成。
Be，Mg，Zn等晶体，六角密排晶格， ABAB……方式堆积而成，A层原 子与B层原子不等价。
金刚石晶格
c
c
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4的长度
套构而成,其晶格为面心立方。
－与金刚石晶格结构类似，对角线位置上放一种原子，在面心立方 位置上放另一种原子。
C 8 12 ( ) 1.633。 例1 证明六角密排堆积结构中， a 3
证明：六角层内最近邻原子间距为a。
C 8 12 ( ) 1.633。 例1 证明六角密排堆积结构中， a 3
证明：六角层内最近邻原子间距为a。相邻A层间的间距为C
(b)氯化钠结构
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿
体对角线位移1/2的长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格，其晶格为面心立方。 NaCl结构属于面心立方，原胞选取方法与面心立方简单格 子的选取方法相同。每个晶格中包含4个原子，每个原胞包 含1个原子 。基元由一个Cl-和一个Na+组成。
固体物理基础第1章-晶体结构
1-3 晶格的周期性
1.3.2 一些简单的晶格
面心立方晶格(Face-centered Cubic)
原胞基矢
a a1 ( j k ) 2 a a2 ( k i ) 2 a a3 ( i j ) 2
1 3 V a1 ( a2 a3 ) a 4
单胞内原子数：4 原胞内原子数：1
1-5 晶体的宏观对称性 1-6 群的概念 1-7 晶格的对称性 1-8 倒格子 1-9 布里渊区
1-1 晶体的概念及其特性
概 念：
晶 体：规则结构，分子或原子按一定的周期性排列。长程有序性、
有固体的熔点。例如：水晶、岩盐 非晶体：非规则结构，分子或原子的排列没有明确的周期性。短程有
中对应布里渊区
1-3 晶格的周期性
1.3.2 一些简单的晶格
简单立方晶格(Simple Cubic) 基矢
a1 ai , a2 aj , a3 ak
原胞体积
3 V a1 ( a 2 a3 ) a
如何判断所选取的原胞是正确的，即最小周期单元？ 计算原胞体积所对应的原子数。原胞中只包含一个原子
1.4.2 晶面
与晶列类似，布拉伐格子中的所有格点也可看成分列 在一族平行等距的平面系上，它们可以将所有的格点 包括无遗。这些相互平行的平面称为晶体的晶面。
第一章-晶体结构-《固体物理学》黄昆-韩汝琦
固体是一个复杂的客体 —— 每一立方米中包含有约1029 个原子、电子，而且它们之间的相互作用相当强
固体的宏观性质 —— 就是大量粒子之间的相互作用和集 体运动的总表现
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
15 /16
1. 根据晶体中原子规则排列的特点，建立晶格动力学理论， 引入声子的概念，阐明了固体的低温比热和中子衍射谱
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
CsCl晶体
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
25 / 28
3) ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构 立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构
化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
4) 钙钛矿结构
—— 1912年，劳厄指出晶体可以作为X射线的衍射光栅
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
—— 量子理论发展正确描述了晶体内部微观粒子运动过程 —— 爱因斯坦引进量子化的概念来研究晶格振动 —— 索末菲在金属自由电子论基础上，发展了固体量子论
—— 费米发展了统计理论，为以后研究晶体中电子运动的 过程指出了方向
16 /16
第一章 晶体结构
晶体：在微米量级的范围是有序排列的 —— 长程有序
—— 在熔化过程中，晶态固体的长程有序解体时对应一定 的熔点
晶体的规则外形
固体的宏观性质 —— 就是大量粒子之间的相互作用和集 体运动的总表现
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
15 /16
1. 根据晶体中原子规则排列的特点，建立晶格动力学理论， 引入声子的概念，阐明了固体的低温比热和中子衍射谱
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
CsCl晶体
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
25 / 28
3) ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构 立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构
化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
4) 钙钛矿结构
—— 1912年，劳厄指出晶体可以作为X射线的衍射光栅
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
—— 量子理论发展正确描述了晶体内部微观粒子运动过程 —— 爱因斯坦引进量子化的概念来研究晶格振动 —— 索末菲在金属自由电子论基础上，发展了固体量子论
—— 费米发展了统计理论，为以后研究晶体中电子运动的 过程指出了方向
16 /16
第一章 晶体结构
晶体：在微米量级的范围是有序排列的 —— 长程有序
—— 在熔化过程中，晶态固体的长程有序解体时对应一定 的熔点
晶体的规则外形
固体物理学第一章 晶体的结构(1)
a
=a3
原胞体积： a1 a2 a3 a 3 / 4
问题：基本的面心结构里有几个元胞呢？
• bcc(体心立方) 顶点向三个近邻体心引基矢 a a1 ( i j k ) 2 a a2 (i j k ) 2 a a3 (i j k ) 2 a1 a2 a3 a 3 / 2 原胞体积： 思考：在上述三种晶格中，每一个原胞中含有几个原子呢？ （2）简单晶格和复式晶格 • 简单晶格：只有一种等价原子的晶格。 • 复式晶格：两种或两种以上不等价原子组成的晶格。 等价含义:(a)化学性质相同，即同一元素、原子是处于同一价态 （b)几何环境相同，即与周围原子相对几何位置关系一致 前例中只有简单立方、面心立方和体心立方晶格属于简单晶格， 而金刚石结构为复式晶格
• 其每一种原子构成一简单晶格； • 不同等价原子构成的简单晶格形状、大小完全一致； • 不同等价原子间的晶格相互有一平移； • 原胞就是对应简单晶格的原胞； • 每个原胞含的原子数是每种等价原子各一个。 复式晶格的例子： CsCl：两种不同化学成分的原子。 蜂房格子：含同一种化学成分的原子，但有两种周围环境 的原子。对晶体的物理性质是有影响的。 金刚石：同蜂房格子。
1.3 晶向、晶面和它们的标志 晶体周期性的描述通常还要用到：晶列、晶向、晶 面和密勒指数、面间距等概念。
（1）晶列
• 通过Bravias格子的任意两点连一条直线，该直线上包括无限多 个格点,这样的直线称晶列.晶体外观上所见的晶棱为个别晶列。
固体物理基础第1章 结晶学理论
15
第1章 结晶学理论
图1.6 密排原子面
16
第1章 结晶学理论
图1.7 六方密堆积结构的重复单元
17
第1章 结晶学理论
第二种密堆积结构的典型的重复单元如图1.8所示，即在
一个立方体的8个顶角和6个面心位置上各有一个相同的原子，
我们把这样的结构称为立方密堆积结构(FaceCentredCubic，
FCC结构)
ABCABCABC…… ”堆积方
式中如何提炼出这一重复单元呢？这个问题的正向思维可能有
一点困难，但反过来则很容易理解：试想将图1.8(a)的结构沿
某一条体对角线立起来，并将其中的原子半径逐渐放大，使得
最近邻的原子相互挨起来(相切)，那么按照立体几何的知识不
难证明，这时的原子将分别位于几个平行的平面内，并且都是
37
第1章 结晶学理论 在1.1节所讨论的几种晶体结构中，SC、BCC和FCC结
构的晶体的基元中只有一个原子，因此它们对应的B格子分 别就是SC、BCC和FCC。金刚石结构、闪锌矿结构和NaCl 结构的基元中均包含两个原子，抽象得到的B格子都是FCC， 即它们都是由FCC格子套构而成的：金刚石结构和闪锌矿结 构都是由两个FCC格子沿体对角线方向1/4套构而成，而 NaCl结构则是由两个FCC沿棱边1/2套构而成。类似地， CsCl结构是由两个SC格子体心套构而成，而钙钛矿结构则 是由5个SC格子套构而成，其套构的方式不太好用语言描述， 不妨通过图示的方法给出它的套构规则(如图1.12所示)。
第1章 结晶学理论
图1.6 密排原子面
16
第1章 结晶学理论
图1.7 六方密堆积结构的重复单元
17
第1章 结晶学理论
第二种密堆积结构的典型的重复单元如图1.8所示，即在
一个立方体的8个顶角和6个面心位置上各有一个相同的原子，
我们把这样的结构称为立方密堆积结构(FaceCentredCubic，
FCC结构)
ABCABCABC…… ”堆积方
式中如何提炼出这一重复单元呢？这个问题的正向思维可能有
一点困难，但反过来则很容易理解：试想将图1.8(a)的结构沿
某一条体对角线立起来，并将其中的原子半径逐渐放大，使得
最近邻的原子相互挨起来(相切)，那么按照立体几何的知识不
难证明，这时的原子将分别位于几个平行的平面内，并且都是
37
第1章 结晶学理论 在1.1节所讨论的几种晶体结构中，SC、BCC和FCC结
构的晶体的基元中只有一个原子，因此它们对应的B格子分 别就是SC、BCC和FCC。金刚石结构、闪锌矿结构和NaCl 结构的基元中均包含两个原子，抽象得到的B格子都是FCC， 即它们都是由FCC格子套构而成的：金刚石结构和闪锌矿结 构都是由两个FCC格子沿体对角线方向1/4套构而成，而 NaCl结构则是由两个FCC沿棱边1/2套构而成。类似地， CsCl结构是由两个SC格子体心套构而成，而钙钛矿结构则 是由5个SC格子套构而成，其套构的方式不太好用语言描述， 不妨通过图示的方法给出它的套构规则(如图1.12所示)。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (1)
《固体物理学》习题解答
黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）
第一章 晶体结构
、
解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc
nV
x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）
a=2r ， V=
3
r 3
4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r
8r
34a r 34x 3
333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3
3
4a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3
∴68.083)r 3
34(r 342a r 342x 3
3
3
3≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3
（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62
60sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2
a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3
8
a 233C S ==⨯=
⨯ n=1232
1
26112+⨯+⨯
=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3
r 8a r 24a 3=
⇒⨯= n=8, Vc=a 3
、试证：六方密排堆积结构中
633.1)3
8(a c 2
/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.
固体物理学：晶体结构
Na+ Cl-
Na+周期性排列和Cl-周期性排列 相间交替形成氯化钠晶体结构
基元：由相距半个晶格常数的 正离子和负离子构成
等同点：正离子或负离子
氯化钠晶体结构
2. 晶格平移矢量
基矢：为了描述点阵而引入
在布拉菲点阵中，人为选取的与晶格维数同 样多的一组矢量，使得晶格中任意两个格点 间的位移矢量（即格矢量）可以表达为该矢
除了周期性外，每种晶体还有自 己特殊的对称性。为了同时反映晶 格的对称性，往往会取最小重复单 元的一倍或几倍的晶格单位作为原 胞。结晶学中常用这种方法选取原 胞，故称为结晶学原胞，简称晶胞
（也称为单胞）。
结晶学原胞（晶胞）的选取方法
选取晶体三个不共面的对称轴（晶轴）矢量
a,
b,
c
作为坐标轴（基矢），其
量的整数线性组合。
注意：基矢不唯一
➢ 基矢的选择是多样的
a2 1
a1
a2
2
a1
a2 3
a1
➢ 原点的选取也可以是任意的
➢ 晶格矢量群平移后没有任何变化， 叫做晶格（或点阵）的平移对称性
在三维布拉菲 晶格中,
格矢量
R l1a1 l2a2 l3a3
其中 a1 、 a2 、 a3
为一组基矢。即平移矢量
基元的定义：
化学组成、空间结构、排列取向、周围环 境相同的原子、分子、离子或离子团的集合， 是组成晶体的最小结构单元。 注意：一般不等于化学组成的基本单元。比如 碳的各种不同晶体其基元不同，但其化学组成 的基本单元都是碳原子。
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配位数为6
原子层
原子层
原子层
2、 体心立方
1）原子球按正方形式铺开形成一原 子层，计为Ａ原子层，类似排列形成 另一原子层，计为Ｂ原子层
2 ）将 B 层原子放在Ａ层四个原子的 间隙里，第二层的每个球和第一层的 四个球紧密相切，如图，按 AB AB AB ….次序沿垂直于层面方向叠加起 来就得到体心立方。体心立方原胞如 图所示
//
H c//2 H c2
§1.2 配位数和密堆积
原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的 紧密方式，相应于结合能最低的位置，见下章 把原子看成一个个小球，看这些小球如何堆积， 不同的堆积方式，可以得到不同的晶体结构。
六角密积结构
CeCl型结构
NaCl型结构
四面体结构
层状结构
非晶体 三大类
准晶体
晶体：至少在微米级范围粒子按一定规则周 期有序排列（长程有序）形成的固体
具有“平移对称＋旋转对称性”的特 点 单晶：整块固体中粒子均是规则、周期排列。 多晶：由大量微小单晶粒组成。每个晶粒内粒子规
组 成 Be2O3 晶 体 的 粒子在空间的排列 具有周期性，是长 程有序的。
则排列，而各个晶粒间粒子排列取向不同。
第一章
晶体结构
晶体的结构特征及其描述
§1.1 晶体特征 §1.2 配位数和密堆积
§1.3 一些晶体的实例 §1.4 空间点阵 §1.5 晶格周期性的描述
§1.6 典型晶体结构的原胞和晶胞 §1.7 晶向 晶面及标记 §1.8 晶体宏观对称性及其对称操作 §1.9 七大晶系 14种原胞
§1.1 晶体特征 一、 内部结构特征 按内部结构特点可分为 晶体
由于外界条件和偶然情况不同，同一类型的晶体，其外形不 尽相同。图是理想石英晶体和一种人造的石英晶体的外形。 可以看到，由于外界条件的差异，晶体中某组晶面可以相 对地变小、甚至消失。所以，晶体中晶面的大小和形状并 不是表征晶体类型的固有特征。
b) 晶面间的夹角是晶体品种的特征因素 属于同一品种的晶体，无论其外形如何，两 个对应的晶面间夹角恒定不变，称为面角守 恒定律
例如：石英晶体的m与m两面夹角为60o0’ m与R面之间的夹 角为38o13’，m与r面的夹角为38o13’ 等。
理 想 的 石 英 晶 体
人造的石英晶体
五、 晶体其它特征
1) 晶体有确定的熔点
熔点是指晶态固体的长称有序解体时所对应的温度
例如：冰 0℃ NaCl 800℃
2) 物理性质的各向异性 例如：La2-xBaxCuO4
体的配位数都很高，其中六角密积占31％，立方密积占26
％，说明晶体一般是按最紧密的方式堆积的。
如果晶体由两种或两种 以上的元素组成，即组
成晶体的原子小球大小
不等，则不可能有密堆 积结构，这时的配位数 小于12。
CeCl型结构
配位数为8
§1.3 一些晶体的实例
1、 简单立方
1）将原子球在一个平面内 按正方排列形成原子层 2 ）将原子层按图所示沿垂 直层面方向叠加起来就得到 简单立方结构，其最小的重 复结构单元（原胞）如图 3）用原点表示原子的位置， 即得到简单立方格子
二、 晶体的外形特征
晶体最显著的特征是晶面有规则、对称地配置。 一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等。 外形的对称性是晶体内部粒子间有序排列的反映
三、 晶体的解理性
指的是晶体具有沿某些确 定方位的晶面劈裂的性质
相应的晶面称为晶体的解理面，显露在 晶体外面的晶面往往是一些解理面。
晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之 间的结合力弱，意味着平行解理面的原子层的间距大。
非晶体：在微米级范围内粒子无
序排列（长程无序）形成的固体
非晶态固体又叫做过冷液体，它们 在凝结过程中不经过结晶（即有序 化）的阶段，非晶体中粒子与粒子 的结合是无规则的
Be2O3 玻璃中的粒子只有近邻的范围 内粒子间保持着一定的短程有序， 但隔开三、四个粒子后就不再保持 这种关系，由于键角键长的畸变破 坏了长程序，形成无规则网络。
3）用原点表示原子的位置，即得 到体心立方格子
配位数为8
体心立方晶格中，A层中原子球的距离等于A-A 层间的距离，由此可计算出Ａ层原子球的间隙
Ａ层 Ｂ层 Ａ层
2r0 2r0
2
2
2r0
2
4r0
2
0.31 r0
r0为原子球半径
Li、Na、K、Rb、Cs、Fe等金属为 典型的具有体心立方晶格的金属
晶面往往组合成晶带，如图中的a-1-c-2 晶带由若干个晶面组成，相邻晶面的交线称为晶棱， 晶带的特点是所有的晶棱相互平行，其共同的方向称 为晶带的带轴，通常所说的晶轴是重要的带轴。
四、 晶体品种的特征因素
晶体外形中，只受内在结构决 定而不受外界条件影响的因素 称为晶体品种的特征因素。
a) 晶体的大小和形状不是晶体品种的特征因素
Fe体心立方晶格结构
3、 面心立方
面心立方晶体的原胞和简单立方相似， 所不同的是，除立方体顶角上有原子外， 在立方体的六个面的中心还有六个原子。
用原点表示原子的位置，即得到面 心立方格子 贵金属（如Cu、Al、Ni等）具有面 心立方结构。
配位数为12
4、 六角密积结构
1 ）原子球平铺在平面上，任意一个球 都与六个球相切，每三个相切的球的中 心构成一等边三角形，且每个球的周围 有六个空隙，这样构成一原子层，计为 Ａ原子层。 2 ）类似排列形成另一原子层，计为Ｂ 原子层。
准晶体：无周期平移不变性但有某些取向旋转对称性
1984 年 Shechtman 等 用 快 速 冷 却 方 法 制 备 AlMn 合金，经对电子衍射谱分析，发现有五 重对称（旋转2/5 ）的衍射斑点分布的存在， 导致一种新的有序相 准晶 (quasicrystal) 的发现。
以后不作特别说明，所说“晶体”指“完整的单晶体或理想晶体。
Байду номын сангаас
链状结构
一个原子周围最近邻的原子数，称为配位数 可以被用来描述晶体中粒子排列的紧密程度 晶体结构中最大配位数是 12 ，以下依次是8 、6、4、3、2 密堆积——晶体内全同原子小圆球最紧密的堆积。
密堆积配位数为12，堆积方式有两种方式：立方和六角密积
在实际的由同种元素构成的晶体中，如果无特殊要求，晶
原子层
原子层
原子层
2、 体心立方
1）原子球按正方形式铺开形成一原 子层，计为Ａ原子层，类似排列形成 另一原子层，计为Ｂ原子层
2 ）将 B 层原子放在Ａ层四个原子的 间隙里，第二层的每个球和第一层的 四个球紧密相切，如图，按 AB AB AB ….次序沿垂直于层面方向叠加起 来就得到体心立方。体心立方原胞如 图所示
//
H c//2 H c2
§1.2 配位数和密堆积
原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的 紧密方式，相应于结合能最低的位置，见下章 把原子看成一个个小球，看这些小球如何堆积， 不同的堆积方式，可以得到不同的晶体结构。
六角密积结构
CeCl型结构
NaCl型结构
四面体结构
层状结构
非晶体 三大类
准晶体
晶体：至少在微米级范围粒子按一定规则周 期有序排列（长程有序）形成的固体
具有“平移对称＋旋转对称性”的特 点 单晶：整块固体中粒子均是规则、周期排列。 多晶：由大量微小单晶粒组成。每个晶粒内粒子规
组 成 Be2O3 晶 体 的 粒子在空间的排列 具有周期性，是长 程有序的。
则排列，而各个晶粒间粒子排列取向不同。
第一章
晶体结构
晶体的结构特征及其描述
§1.1 晶体特征 §1.2 配位数和密堆积
§1.3 一些晶体的实例 §1.4 空间点阵 §1.5 晶格周期性的描述
§1.6 典型晶体结构的原胞和晶胞 §1.7 晶向 晶面及标记 §1.8 晶体宏观对称性及其对称操作 §1.9 七大晶系 14种原胞
§1.1 晶体特征 一、 内部结构特征 按内部结构特点可分为 晶体
由于外界条件和偶然情况不同，同一类型的晶体，其外形不 尽相同。图是理想石英晶体和一种人造的石英晶体的外形。 可以看到，由于外界条件的差异，晶体中某组晶面可以相 对地变小、甚至消失。所以，晶体中晶面的大小和形状并 不是表征晶体类型的固有特征。
b) 晶面间的夹角是晶体品种的特征因素 属于同一品种的晶体，无论其外形如何，两 个对应的晶面间夹角恒定不变，称为面角守 恒定律
例如：石英晶体的m与m两面夹角为60o0’ m与R面之间的夹 角为38o13’，m与r面的夹角为38o13’ 等。
理 想 的 石 英 晶 体
人造的石英晶体
五、 晶体其它特征
1) 晶体有确定的熔点
熔点是指晶态固体的长称有序解体时所对应的温度
例如：冰 0℃ NaCl 800℃
2) 物理性质的各向异性 例如：La2-xBaxCuO4
体的配位数都很高，其中六角密积占31％，立方密积占26
％，说明晶体一般是按最紧密的方式堆积的。
如果晶体由两种或两种 以上的元素组成，即组
成晶体的原子小球大小
不等，则不可能有密堆 积结构，这时的配位数 小于12。
CeCl型结构
配位数为8
§1.3 一些晶体的实例
1、 简单立方
1）将原子球在一个平面内 按正方排列形成原子层 2 ）将原子层按图所示沿垂 直层面方向叠加起来就得到 简单立方结构，其最小的重 复结构单元（原胞）如图 3）用原点表示原子的位置， 即得到简单立方格子
二、 晶体的外形特征
晶体最显著的特征是晶面有规则、对称地配置。 一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等。 外形的对称性是晶体内部粒子间有序排列的反映
三、 晶体的解理性
指的是晶体具有沿某些确 定方位的晶面劈裂的性质
相应的晶面称为晶体的解理面，显露在 晶体外面的晶面往往是一些解理面。
晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之 间的结合力弱，意味着平行解理面的原子层的间距大。
非晶体：在微米级范围内粒子无
序排列（长程无序）形成的固体
非晶态固体又叫做过冷液体，它们 在凝结过程中不经过结晶（即有序 化）的阶段，非晶体中粒子与粒子 的结合是无规则的
Be2O3 玻璃中的粒子只有近邻的范围 内粒子间保持着一定的短程有序， 但隔开三、四个粒子后就不再保持 这种关系，由于键角键长的畸变破 坏了长程序，形成无规则网络。
3）用原点表示原子的位置，即得 到体心立方格子
配位数为8
体心立方晶格中，A层中原子球的距离等于A-A 层间的距离，由此可计算出Ａ层原子球的间隙
Ａ层 Ｂ层 Ａ层
2r0 2r0
2
2
2r0
2
4r0
2
0.31 r0
r0为原子球半径
Li、Na、K、Rb、Cs、Fe等金属为 典型的具有体心立方晶格的金属
晶面往往组合成晶带，如图中的a-1-c-2 晶带由若干个晶面组成，相邻晶面的交线称为晶棱， 晶带的特点是所有的晶棱相互平行，其共同的方向称 为晶带的带轴，通常所说的晶轴是重要的带轴。
四、 晶体品种的特征因素
晶体外形中，只受内在结构决 定而不受外界条件影响的因素 称为晶体品种的特征因素。
a) 晶体的大小和形状不是晶体品种的特征因素
Fe体心立方晶格结构
3、 面心立方
面心立方晶体的原胞和简单立方相似， 所不同的是，除立方体顶角上有原子外， 在立方体的六个面的中心还有六个原子。
用原点表示原子的位置，即得到面 心立方格子 贵金属（如Cu、Al、Ni等）具有面 心立方结构。
配位数为12
4、 六角密积结构
1 ）原子球平铺在平面上，任意一个球 都与六个球相切，每三个相切的球的中 心构成一等边三角形，且每个球的周围 有六个空隙，这样构成一原子层，计为 Ａ原子层。 2 ）类似排列形成另一原子层，计为Ｂ 原子层。
准晶体：无周期平移不变性但有某些取向旋转对称性
1984 年 Shechtman 等 用 快 速 冷 却 方 法 制 备 AlMn 合金，经对电子衍射谱分析，发现有五 重对称（旋转2/5 ）的衍射斑点分布的存在， 导致一种新的有序相 准晶 (quasicrystal) 的发现。
以后不作特别说明，所说“晶体”指“完整的单晶体或理想晶体。
Байду номын сангаас
链状结构
一个原子周围最近邻的原子数，称为配位数 可以被用来描述晶体中粒子排列的紧密程度 晶体结构中最大配位数是 12 ，以下依次是8 、6、4、3、2 密堆积——晶体内全同原子小圆球最紧密的堆积。
密堆积配位数为12，堆积方式有两种方式：立方和六角密积
在实际的由同种元素构成的晶体中，如果无特殊要求，晶