最新人教版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》课后训练1

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人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(一)-A基础练(学生版)

3.1.2椭圆的简单几何性质（1） -A 基础练一、选择题1．（2020·南京市天印高级中学月考）椭圆2219y x +=的短轴长为（） A ．6 B ．3 C ．1 D ．22.（2020福建泰宁一中月考）点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，则a 的取值范围是（）A ．(),-∞⋃+∞B ．(C ．⎡⎣D ．()2,2-3．（2020河北正定县弘文中学高二月考）椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）A ．2B ．C ．4D ．4. （2020·全国高二单元测试）若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为( )A ．2B ．12C ．2+D ．15．（多选题）（2020·湖南怀化高二月考）若椭圆222:11x y C m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则下列结论中正确的是（）A ．2m =B ．CC ．C 的短轴长为D ．C 6. （多选题）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与椭圆x 225+y 216=1有相同的长轴,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的短轴长与椭圆y 221+x 29=1的短轴长相等,则下列结论不正确的有( )A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9二、填空题7.（2020·四川阆中中学开学考试）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点是圆22680x y x+-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为.8.（2020全国高二课时练）若椭圆x2k+8+y29=1的离心率e=12,则k的值为.9.（2020山东泰安高二期中）阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为45,面积为20π,则椭圆C的标准方程为.10.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()三、解答题11.（2020全国高二课时练）焦点在x轴上的椭圆的方程为2214x ym+=，点2,1)P在椭圆上.（1）求m的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.12.（2020山东菏泽三中高二期中）如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求椭圆的方程.。

高中数学选修1-1课时作业7：2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)

2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.椭圆C 1：x 225＋y 29＝1与椭圆C 2：x 2＋y 24＝1在扁圆程度上( ) A.C 1较扁B.C 2较扁C.C 1与C 2的扁圆程度一样D.不能确定2.椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A.相同短轴B.相同长轴C.相同离心率D.以上都不对3.曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对4.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.22B.33C.12D.135.设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A.98aB.99aC.100aD.101a6.在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e 等于( ) A.34B.37C.38D.318二、填空题7.若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为23，则k 的值为__________.8.若椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________.9.一个顶点为(0,2)，离心率e ＝12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________________. 10.已知B 1、B 2为椭圆短轴的两个端点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，若四边形B 1F 1B 2F 2为正方形，则椭圆的离心率为________.三、解答题11.(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程.12.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率.13.如图所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率.[[答案]]精析1.B2.D3.B4.B5.D [由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 98|＝…＝|F 1F 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，|F 1P 50|＝a ，故结果应为50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .]6.C [设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB |·|BC |·cos B ＝x 2＋x 2－2x 2·(－718) ＝259x 2， ∴|AC |＝53x ，由条件知，|AC |＋|BC |＝2a ，|AB |＝2c ，∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ， ∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38.] 7.415或－3 8.3 9.3x 216＋y 24＝1或y 24＋x 23＝1 [[解析]] 当椭圆焦点在x 轴上时，由已知得b ＝2，e ＝c a ＝12， ∴a 2＝163，b 2＝4， ∴方程为3x 216＋y 24＝1. 当椭圆焦点在y 轴上时，由已知得a ＝2，e ＝c a ＝12， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.10.22 11.解 (1)∵c ＝9－4＝5， ∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0).设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0). ∵e ＝c a ＝55，c ＝5， ∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1. (2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0). ∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1. 12.解如图，不妨设椭圆的焦点在x 轴上，∵AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形，∴在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°.令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x .∴|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝3x ＝2c .由椭圆定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a .∴e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33. 13.解 (1)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，由题设可得|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋⎝⎛⎭⎫222＝2 2.由椭圆定义知动点P 的轨迹为椭圆.不妨设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由(1)的求解过程知曲线E 的方程是椭圆方程，其长轴长为22，焦距为2，离心率为22.。

人教新课标版数学高二B版选修1-1课后训练椭圆的几何性质

课后训练1．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为( )A ．4B ．2C ．2D ．12210=，化简的结果是( )A ．2212516x y +=B ．2212521x y += C ．221254x y += D ．2212521y x += 3．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点是(0，－4)，则k 的值为( )A ．132B ．8C ．18D ．32 4．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( )A ．221916x y +=B ．2212516x y += C ．2212516x y +=或2211625x y += D ．2211625x y += 5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A ．45B ．35C ．25D ．15 6．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______．7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为的两段，则其离心率为__________．8．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F (-0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是____________________．9．如果椭圆22189x y k +=+的离心率为12，求k 的值．参考答案1. 答案：B2. 答案：B 由题意可知，方程表示点(x ，y )与两个定点(2,0)和(－2,0)之间的距离，又两定点之间的距离为4,4＜10，符合椭圆的定义，即2a ＝10,2c ＝4，从而可求得b 2＝21.3. 答案：A 先化成标准方程为221112x y k k+=，又焦点是(0，－4)，可知焦点在y 轴上，所以1102k k >>，又c ＝4，所以11162k k -=，解得132k =. 4. 答案：C5. 答案：B 依题意有2×2b ＝2a ＋2c ，即2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2.∵b 2＝a 2－c 2，∴4a 2－4c 2＝a 2＋2ac ＋c 2，∴3a 2－2ac －5c 2＝0，两边同除以a 2，即有5e 2＋2e －3＝0，解得35e =或e ＝－1(舍去)．故选B.6. 答案：22 椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b ＝2c ，则有a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，解得a =，所以2c e a ==. 7.答案：5- 由题意得(a ＋c )∶(a －c )11e e +=-，解得e ＝5－. 8. 答案：221164x y += 由题意可设该椭圆的标准方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，由已知得2222,c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得a 2＝16，b 2＝4，所以椭圆的标准方程为221164x y +=.9. 答案：分析：所给椭圆的焦点不确定应分两种情况讨论，利用离心率的定义解题．解：当焦点在x 轴上，即k ＞1时，b ＝3，a =∴c =12c e a ===，解得k ＝4，符合k ＞1的条件．当焦点在y 轴上，即－8＜k ＜1时，a ＝3，b =c ===∴132c e a ===，解得54k =-，符合－8＜k ＜1的条件．综上所述，k ＝4或54k =-.。

人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.3椭圆的几何性质(一)同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.3 椭圆的几何性质（一）同步练习题【基础演练】题型一：由椭圆的方程研究椭圆的性质椭圆的几何性质请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 椭圆6y x 622=+的长轴的端点坐标是A. （-1，0）、（1，0）B. （-6，0）、（6，0）C. （6-，0）、（6，0）D. （0，6-）、（0，6）2. 已知椭圆1b y a x 2222=+与椭圆116y 25x 22=+有相同的长轴，椭圆1by a x 2222=+的短轴长与椭圆19x 21y 22=+的短轴长相等，则A. 25a 2=，=2b 16B. 9a 2=，25b 2=C. 25a 2=，9b 2=或9a 2=，25b 2=D. 25a 2=，9b 2=3. 点A （a ，1）在椭圆12y 4x 22=+的内部，则a 的取值范围是A. 2a 2<<-B. 2a -<或2a >C. 2a 2<<-D. 1a 1<<-4. 求椭圆25y x 2522=+的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标。

题型二：由椭圆的几何性质求椭圆的方程（1）充分利用椭圆的几何性质，以及a 、b 、c 间的数量关系，并结合平面几何知识，求出基本参数a 、b 、c 的值，进而求出椭圆的标准方程。

（2）利用椭圆的几何性质求标准方程的一般步骤是：①求基本参数a 、b ；②确定焦点所在的坐标轴；③写出方程，请根据以上知识解决以下5~7题。

5. 已知椭圆1by a x :C 2222=+与椭圆18y 4x 22=+有相同的离心率，则椭圆C 的方程可能是A. ()0m m 4y 8x 222≠=+B. 16x 2164y 2=+C. 12y 8x 22=+D. 以上都不可能6. 椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是A. 19y 16x 22=+或116y 9x 22=+B. 19y 25x 22=+或19x 25y 22=+C. 116y 25x 22=+或116x 25y 22=+D. 椭圆的方程无法确定7. 已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，从焦点看短轴两个端点的视角为直角，且焦点到长轴上较近的端点的距离是510-，求椭圆的方程。

【创新设计】高中数学(人教版选修1-1)配套练习：2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案解析)

2.1.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 236＝1C ．x 26＋y 24＝1D ．y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A ． 3B ．32C ．83D ．234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．06．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。

人教版高中数学选修一练习：2.12.1.2第1课时椭圆的简单几何性质

[ 课时作业 ][A组基础稳固 ]1．椭圆 6x2＋ y2＝ 6 的长轴端点坐标为 ()A ． (－ 1,0)，(1,0)B ． (－ 6,0)， (6,0)C． (－ 6， 0)， (6， 0) D ． (0，－6)，(0， 6)22y分析：方程化为x ＋＝1，∴a2＝ 6， a＝6，长轴的端点坐标为(0，± 6)．答案： D2．正数 m 是 2 和 8 的等比中项，则椭圆x2＋y2＝1 的离心率为 ()m3B. 53或 53或5A. 2 C.22 D. 2分析：由题意得m2＝ 2×8＝ 16，∴m＝ 4，∴c2＝4－ 1＝ 3，∴ c＝3，3∴e＝2 .应选 A.答案： Ax 2y2→→＝ 0，tan∠PF3．若 P 是以F1， F 为焦点的椭圆2＋2＝ 1(a>b>0) 上的一点，且1F2 2a b PF1·PF2＝1，则此椭圆的离心率为() 25211A. 3B. 3C.3D. 2分析：在 Rt△ PF 1F 2中，设 PF 2＝ 1，则 PF 1＝ 2，F1F 2＝ 5，故此椭圆的离心率e＝2c＝5 2a3.答案： A4．椭圆 C1：x2222＋y＝ 1 和椭圆 C2：x＋y＝ 1(0＜ k＜ 9)有() 2599－ k25－ kA ．等长的长轴B ．相等的焦距C．相等的离心率 D ．等长的短轴分析：对椭圆 C1， c1＝a12－ b12＝ 4，对椭圆 C2，∵ 0＜ k＜ 9，∴ 25－k＞ 9－ k＞0.其焦点在 y 轴上，∴ c2＝25－ k－－ k＝ 4，应选 B答案： B5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为 2 3，离心率为3，则该椭圆的方程为3()2 2A. x ＋ y ＝ 1 12 8x 2y 2y 2 x 2 B.12＋ 8＝1或 12＋8 ＝ 122C. x ＋ y＝ 13 2 2 2 2 2 D. x ＋ y ＝ 1 或y ＋ x＝ 132 3 2 分析：由题意知 a ＝ 3，又∵ e ＝ 33，∴ c ＝ 1，∴ b 2＝ a 2－ c 2＝ 3－ 1＝2，222 2所求椭圆方程为 x＋ y＝ 1 或y＋ x＝ 1.应选 D.32 3 2答案： D6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为1，焦距为 8，则该椭圆的方程是2________．分析：由题意知， 2c ＝ 8， c ＝ 4，∴ e ＝ c ＝ 4＝ 1，a a 2∴ a ＝ 8，进而 b 2＝ a 2－ c 2＝ 48，∴方程是 y2＋ x 2＝ 1.64 48答案： y 2 ＋ x 2 ＝ 164 487．已知椭圆 x 2 y 22＋ 2＝ 1 有两个极点在直线x ＋ 2y ＝ 2 上，则此椭圆的焦点坐标是 ________．a b分析：直线与 x 轴， y 轴的交点分别为 A(2,0)，B(0,1)，由题意 a ＝ 2， b ＝1，椭圆方程为x 2＋4y 2＝ 1，c 2＝ a 2－b 2＝ 3，故椭圆的焦点坐标为 ( ± 3， 0)．答案： ( ± 3，0)2 2x y8．过椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ，F 2 为右焦点，若∠ F 1PF 2 ＝ 60°，则该椭圆的离心率为________．分析：如下图，在 Rt △ PF1F 2 中，|F 1F 2|＝ 2c ，∴ |PF 1|＝2c， |PF 2|＝4c.33由椭圆定义知2c ＋4c＝2a，33c 3∴e＝a＝3 .答案：332219．设椭圆方程为mx ＋4y ＝ 4m(m>0) 的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及极点坐标．22分析：椭圆方程可化为x ＋y＝1.4m(1)当 0<m<4 时， a＝ 2，b＝ m，c＝ 4－ m，∴e＝c＝4－m＝1，a22∴m＝ 3，∴ b＝3， c＝ 1，∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,2 3，焦点坐标为F1(－ 1,0)，F 2(1,0)，极点坐标为A1(－2,0)，A2(2， 0)， B1(0，－3)， B2 (0，3)．(2)当 m>4 时， a＝ m， b＝ 2，∴c＝ m－ 4，∴e＝c＝m－4＝1，解得 m＝16，a m23∴a＝433， c＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为83， 4，焦点坐标为F1 0，－ 2 3，F2 0，23，顶333点坐标为 A10，－433，A20，433， B1(－ 2,0)， B2(2,0)．x2＋ y 2＝ 1 的离心率e＝3，求 k 的值．10．已知椭圆k＋892分析： (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，a2＝ k＋8， b2＝ 9，得 c2＝ k－ 1.由 e＝3，可得k－1＝3，即k＝28.2k＋ 8 4(2)当椭圆的焦点在 y 轴上时，222a＝ 9， b ＝ k＋ 8，得 c ＝ 1－ k.31－ k323由 e＝ 2，得9 ＝4，即 k＝－ 4 .故知足条件的k 值为 k＝ 28 或－234.[B 组能力提高 ]1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运转轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地址 A 距地面为 n 千米，远地址 B 距地面为 m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运转轨道的短轴长为 ()A ． 2m＋ R n＋ R 千米 B.m＋ R n＋ R 千米C． mn 千米 D ．2mn 千米分析：设运转轨道的长半轴长为a，焦距为 2c，由题意，可得a－c＝ n＋ R，a＋ c＝ m＋ R，解得 a＝m＋n＋ R， c＝m－n，22故 b＝ a2－c2＝m＋ n＋R2－ m－ n 222＝ R2＋ m＋ n R＋ mn＝m＋ R n＋ R .即 2b＝ 2m＋ R n＋ R .答案： Ax2y2F1，F2，过 F2 2.已知椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点为的直线与圆 x2＋ y2＝ b2相切于点 A，并与椭圆 C 交于不一样的两点P，Q，如图，若 A，F2为线段 PQ 的三平分点，则椭圆的离心率为 () 2357A. 3B. 3C. 3D. 3分析：连结 PF 1，由题意知OA＝b，因此 |PF 1|＝2b，∴|PF 2|＝ 2a－2b，∴|AF 2|＝ a－ b.在 Rt△ OAF 2中有222b ＋ (a－b) ＝c ，将 b2＝ a2－ c2代入整理得3a2－3c2－ 2a a2－c2＝0，即 3－ 3e2＝ 2 1－ e2，即 9e4－ 14e2＋ 5＝ 0，解得 e2＝59或 e2＝ 1(舍去 ) ，5∴e ＝3 .应选 C.答案： C33．已知椭圆的长轴长为20，离心率为 5，则该椭圆的标准方程为________．分析：由条件知， 2a ＝ 20，ca ＝35，∴ a ＝ 10， c ＝ 6， b ＝ 8，2 222故标准方程为 x＋ y＝ 1 或 y＋x＝ 1.100 64 100 64答案： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 或 y 2 ＋ x 2＝ 1100 64 100 64x 2 y 2 b4．(2015 ·考浙江卷高 )椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)的右焦点 F(c,0)对于直线 y ＝ c x 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ________．b分析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－ c,0)，如图，连结 QF 1，QF ，设 QF 与直线 y ＝ c x 交于点M.由题意知 M 为线段 QF 的中点，且 OM ⊥ FQ.又 O 为线段 F 1 F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ， |F 1Q|＝ 2|OM |.在 Rt △ MOF 中， tan ∠ MOF ＝ |MF |＝ b， |OF |＝ c ，|OM | c2可解得 |OM |＝ c，|MF |＝bc，aa2故|QF|＝ 2|MF |＝2bc ， |QF 1|＝ 2|OM|＝2c.a a2由椭圆的定义得 |QF|＋ |QF 1|＝2bc＋2c＝ 2a ，a a整理得 b ＝c ，∴ a ＝ b 2＋ c 2＝ 2c ，c 2故 e ＝ a ＝ 2 .答案：225．已知 F 1， F 2 是椭圆 x 2 y 2＝1(a>b>0) 的左、右焦点，点π a 2＋ 2 P 在椭圆上，且∠ F 1PF 2＝.记线b 2段 PF 1 与 y 轴的交点为 Q ，O 为坐标原点，若△ F 1OQ 与四边形 OF 2PQ 的面积之比为 1∶ 2，求该椭圆的离心率．分析：依题知， F 1P ⊥ F 2P ，因此△ F 1QO ∽△ F 1F 2 P ，由于△ F 1OQ 与四边形 OF 2PQ 的面积之比为 1∶2，因此SF1OQ＝1，因此OF1＝1，设椭圆的焦距为2c，SF1F 2P 3F1P3则 F1P＝3c，F2P＝ F 1F 22－ F1P2＝c，由椭圆的定义可得：3c＋ c＝ 2a，因此， e＝c＝2 a3＋ 1＝3－1.22x2y2的上极点为A，左极点为 B， F 为右焦点，过 F 作平行于 AB 6.如图，椭圆a＋b＝ 1(a>b>0)的直线交椭圆于C、 D 两点．作平行四边形OCED ， E 恰在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)若平行四边形 OCED 的面积为 6，求椭圆的方程．分析： (1)∵焦点为F(c,0)， AB 斜率为b ，a故 CD 方程为 y＝b(x－ c)．a与椭圆联立后消去y 得 2x2－ 2cx－ b2＝ 0.∵CD 的中点为 G c，－bc，点 E 的坐标为c，－bc 22a a将 E c，－bc代入椭圆方程并整理得2c2＝a2，a∴e＝c＝2a 2.2(2) 由 (1)知 CD 的方程为y＝2(x－ c)， b＝ c， a＝ 2c.与椭圆联立消去y 得 2x2－2cx－ c2＝ 0.∵平行四边形 OCED 的面积为S＝ c|y C－ y D |＝2x C＋ x D2－4x C x D 2c＝2c c2＋ 2c22＝6c2＝6，2∴c＝2， a＝ 2，b＝ 2.22x y故椭圆方程为＋＝1.。

人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-1-2-2椭圆的简单几何性质

技能演练1.点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a < 2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1解析点A (a,1)在椭圆内部，则a 24＋122<1，即a 2<2，∴－2<a < 2. 答案 A2．(2010·福建厦门月考)直线y ＝x ＋2经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C. 2D.14解析当x ＝0时，y ＝2，当y ＝0时，x ＝－2，∴b ＝2， c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2＝22，∴e ＝ca ＝222＝22.答案 B3．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32C. 1D. 3解析椭圆的右焦点(1,0)到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3－0|3＋1＝32. 答案 B4．若椭圆a 2x 2－a2y 2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a 为( )A.1－54B.1＋52C.12D.22解析由a 2x 2－a 2y 2＝1，得x 21a 2＋y 2－2a ＝1，∴a ＜0，∵焦点(－2,0)， ∴1a2＋2a ＝4，即4a 2－2a －1＝0，解得a ＝1－54，或a ＝1＋54(舍去)．答案 A5．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值和最大值分别为( )A ．4,8B ．6,8C ．8,12D ．2,6解析设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，两圆的半径为R ，由题意可知|PM |＋|PN |的最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2R ，最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2R ，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，R ＝1，所以|PM |＋|PN |的最大值为8，最小值为4.答案 A6．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析由题意可知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝12－3＝9.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 29＝1.答案 x 212＋y 29＝1，或y 212＋x 29＝17．设P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，O 为坐标原点，F 为椭圆的左焦点，点M 满足OM→＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＋|MF →|＝________. 解析如图所示，F 0为椭圆的右焦点，连接PF 0，由OM→＝12(OP →＋OF →)，可知M 为PF 的中点，则|OM →|＝12|F 0P →|， ∴|OM →|＋|MF →|＝12|F 0P →|＋12|PF →|＝12(|F 0P →|＋|PF →|)＝a ＝2. 答案 28．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，以坐标原点O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆的长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，若四边形PAOB 为正方形，则该椭圆的离心率为________．解析如图，∵四边形OAPB 是正方形，且PA ，PB 为圆O 的切线，∴△OAP 是等腰直角三角形，故b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝22. 答案229．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1,2)为中点的弦所在直线的方程．解 (1)由椭圆经过点N (2，－3)，得22a 2＋(－3)2b2＝1，又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点，则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)16＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)12＝0.整理得k AB ＝－12·(x 1＋x 2)16·(y 1＋y 2)＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝0.10．已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M ，N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN→＝0，求|MN |的最小值．解 (1)设P (x ，y )，依题意，有(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，整理，得x 24＋y 22＝1， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M ，N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， 6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立．故|MN |的最小值为2 6.感悟高考1.(2010·福建)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8解析由题意，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3(1－x 204)，∵FP→＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)， ∴OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 2＝x 0(x 0＋1)＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3.此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2， ∵－2≤x 0≤2，∴当x 0＝2时， OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6，选C. 答案 C2．(2010·安徽)如图椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.(a >b >0)由e ＝12，得c a ＝12，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入，有1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为x ＝2.由椭圆E 的图形知，∠F 1AF 2的角平分线所在直线的斜率为正数．设P (x ，y )为∠F 1AF 2的角平分线所在直线上任一点，则有|3x －4y ＋6|5＝|x －2|，若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去．于是3x －4y ＋6＝－5x ＋10，即2x －y －1＝0. ∴∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程为 2x －y －1＝0.。

2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.1.2 椭圆的简单几何性质(一) Word版含解析

2.1.2　椭圆的简单几何性质(一)课时过关·能力提升一、基础巩固1.椭圆x 22+y 24=1的短轴长为( )A .2B.2C.22D.42.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是( )A .x 23+y 24=1B.x 24+y 23=1C .x 24+y 22=1D.x 24+y 23=13.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(‒3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( )A .x 24+y 2=1B.x 2+y 24=1C .x 23+y 2=1D.x 2+y 23=1一个焦点为(‒3,0),∴焦点在x 轴上,且c =3.又长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b ,∴a=2b.故选A .4.在椭圆中,若以焦点F 1,F 2为直径两端点的圆恰好过椭圆短轴的两个端点,则此椭圆的离心率e 等于( )A .12B.22C.32D.255b=c ,故a e =2c .所以=ca =22.5.椭圆x 225+y 29=1与x 29-k +y 225-k =1(0<k <9)的关系为( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率,a=5,b=3,c=4,且焦点在x轴上.在椭,圆x 225+y 29=1中圆x 29-k +y 225-k =1中∵0<k<9,且25-k>9-k ,∴焦点在y 轴上,且c=4,∴两个椭圆有相等的焦距.6.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一个动点,且点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为‒12,则椭圆的离心率为( )A .32B.22C.12D.33P (x 0,y 0),则y 0x 0-a ·y 0x 0+a =‒12,化简得x 20a 2+2y 20a 2=1.又因为点P 在椭圆上,所a 2=2b 2,故e 以x 20a 2+y 20b 2=1,所以=22.7.若椭圆的中心在原点,其对称轴为坐标轴,长轴长为23,离心率为33,则该椭圆的方程为______________.,a =3.又e =33,∴c =1.∴b 2=2,∴椭圆的方程为x 23+y 22=1或y 23+x 22=1.+y 22=1或y 23+x 22=18.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF =2FD ,则椭圆C 的离心率为 .为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则不妨设B (0,b ),F (c ,0).设D (x 0,y 0),∵BF =2FD ,∴(c ,-b )=2(x 0-c ,y 0).∴x 0=32c ,y 0=‒b2.代入椭圆方程得9c 24a 2+b 24b 2=1,∴c 2a 2=13,∴e =ca =33.9.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1·MF 2=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是_________.F 1F 2为直径的圆在椭圆内,即b>c.MF 1·MF 2=0,可知以故a 2-c 2>c 2,所以0<e <22,即离心率的取值范围为(0,22).0,22)10.已知A 为y 轴上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,△AF 1F 2为等边三角形,且AF 1的中点B 恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率.,连接BF 2.∵△AF 1F 2是等边三角形,且B 为线段AF 1的中点,∴AF 1⊥BF 2.又∠BF 2F 1=30°,|F 1F 2|=2c ,∴|BF 1|=c ,|BF 2|=3c .根据椭圆定义得|BF 1|+|BF 2|=2a ,即c +3c =2a ,∴ca =3‒1.∴椭圆的离心率e =3‒1.二、能力提升1.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有两个顶点在直线x +2y =2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±5,0)D.(0,±5)2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,椭圆C 与x 轴正半轴交于点A ,与y轴正半轴交于点B (0,2),且·=42+4,则椭圆C 的方程为( )A .x 24+y 22=1B.x 26+y 24=1C .x 28+y 24=1D.x 216+y 28=13.已知F 是椭⊥圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点,A 为右顶点,P 是椭圆上一点,且PF x 轴.若|PF|=14|AF |,则该椭圆的离心率是( )A .14B.34C.12D.32x=-c ,代入椭圆方程,解得y 2=b y=2(1-c 2a 2)=b 4a 2,即±b 2a .由PF ⊥x 轴,可设点P (-c ,b 2a ).又由|PF|=14|AF |,可得b 2a =14(a +c ),即4(a 2-c 2)=a 2+ac ,即(3a-4c )(a+c )=0,解得a =43c .故e =ca =34.4.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为55,且过点P (‒5,4),则椭圆的方程为____________.e =c a =55,∴c 2a 2=a 2-b 2a2=15,∴5a 2-5b 2=a 2,即4a 2=5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2+5y 24a2=1(a >0).∵椭圆过点P (-5,4),∴25a 2+5×164a 2=1.解得a 2=45.∴椭圆方程为x 245+y 236=1.y 236=1★5.已知椭△ABF 2的面积圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别是F 1,F 2,弦AB 过点F 1.若是5,A ,B 两点的坐标是(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|y 1-y 2|= .知,S △ABF 2=S △AF 1F 2+S △BF 1F 2=c |y 1‒y2|(A ,B 在x 轴上、下两侧),又S△ABF 2=5,∴|y 1‒y2|=5c =53.6.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,过点F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点.若△ABF 2是等边三角形,求该椭圆的离心率.x 轴上,如图.∵AB ⊥F 1F 2,且△ABF 2为等边三角形,∴在Rt △AF 1F 2中,∠AF 2F 1=30°.令|AF 1|=x ,则|AF 2|=2x.∴|F 1F 2|=|AF 2|2-|AF 1|2=3x =2c .由椭圆定义,可知|AF 1|+|AF 2|=2a.∴e =2c2a =3x 3x=33.★7.设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e =32,已知点P(0,32)到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),M (x ,y )为椭圆上的点.由ca =32,a=2b ,|PM|2=x 2≤y ≤b ).得+(y -32)2=‒3(y +12)2+4b 2+3(‒b 若0<b y=-b 时|PM|2最大,b .<12,则当即(b +32)2=7,解得=7‒32>12,故矛盾若b ≥y=,4b 2+3=7,b 2=1,12,则当‒12时从而a 2=4.所求方程为x 24+y 2=1.。

人教A版高中数学选修1-1：2.1.2-1椭圆的简单几何性质同步课时练习

2．1.2 椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质填一填1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的简单几何性质(1)范围易知y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，故x 2a ≤1，即－a ≤x ≤a ；同理－b ≤y ≤b .故椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形框里． (2)对称性在方程中，以－y 代替y 或以－x 代替x 或以－y 代替y 、以－x 代替x ，方程都不改变，故椭圆关于x 轴、y 轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．(3)顶点椭圆与x 轴、y 轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．其中x 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为2a ，短轴长为2b .说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置． (4)离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的几何性质比较标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 图形范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a对称性对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点左焦点F 1 (－c,0)，右焦点F 2 (c,0)下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)， B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a )， B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，长半轴长为a ，短半轴长为b离心率e e ＝2c 2a ＝ca(0<e <1)判一判1.若点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 2＝1上，则实数m 的取值范围是[－1,1]．(×)解析：椭圆焦点在x 轴上，且a ＝3，所以－3≤m ≤3.故错误．2．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则点(－3，－2)不在椭圆上．(×)解析：根据椭圆的对称性可知点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)均在椭圆上，故错误． 3．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是10,6,0.8.(√)解析：将方程25x 2＋9y 2＝225化为椭圆的标准方程为x 232＋y 252＝1，所以a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝c a ＝45＝0.8，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝23.(×)解析：由题椭圆x 22＋y 2m ＝1焦点在x 轴上，且离心率为12，故e ＝2－m 2＝12⇒m ＝32，故错误．5．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－233，233.(×)解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故错误．6．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1.(×)解析：因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.故错误．想一想1.提示：一般的步骤(通常采用待定系数法)：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于a ，b ，c 的关系式，利用方程(组)求出a ，b ，c .带入②即可．2．如何求解椭圆的离心率？提示：求解方法一般有两种：①易求a ，c ，代入e ＝c a 求解；易求b ，c ，由e ＝cb 2＋c 2求解；易求a ，b ，由e ＝a 2－b 2a 求解．②列出含a ，c 的齐次方程，列式时常用公式b ＝a 2－c 2代替式子中的b ，然后将等式两边同时除以a 的n 次方(一般除以a 或a 2)，从而利用e ＝ca转化为含e 的方程，解方程即可．但应注意0<e <1.思考感悟：练一练1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6) 解析：因为椭圆的焦点在y 轴上，且a 2＝6，所以长轴的两个端点坐标为(0，－6)，(0，6)．故选D. 答案：D2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12解析：因为2x 2＋3y 2＝m (m >0)⇒x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以c 2＝m 2－m 3＝m 6，故e 2＝13，解得e ＝33.故选B.答案：B3．椭圆以两坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)答案：(0，±69)4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．解析：由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34. 答案：34知识点一由椭圆方程研究简单几何性质 1.A ．|x |≤5，|y |≤3B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上，所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.答案：B2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相等 C ．C 1与C 2短轴长相等D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程，可知C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3.已知直线2x ＋y －2＝0经过椭圆x a 2＋y b2＝1(a >0，b >0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为( )A.x 25＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 26＋y 24＝1 解析：直线2x ＋y －2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)，由题意得c ＝1，b ＝2，所以a ＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.答案：A4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D ．x 2＋y 23＝1 解析：∵一个焦点为(－3，0)， ∴焦点在x 轴上且c ＝ 3.∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a ＝2·2b ，即a ＝2b ， ∴(2b )2－b 2＝3.∴b 2＝1，a 2＝4，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：A5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．解析：由2a ＝18，得a ＝9.又因为2c ＝183＝6，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x 281＋y 272＝1.答案：x 281＋y 272＝1知识点三椭圆的离心率问题6.椭圆x 2A.32 B.34 C.22 D.23 解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程得x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，c ＝a 2－b 2＝32，离心率e ＝c a ＝32. 答案：A7．如图所示，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，则椭圆的离心率为________．解析：方法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则k AB ＝－ba.又PF ⊥x 轴，∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵OP ∥AB ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c ，a 2＝2c 2，因此，a ＝2c ，∴e ＝22.方法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，∴∠POF ＝∠BAO ， ∴Rt △OPF ∽Rt △ABO ，∴|PF ||BO |＝|OF ||AO |，即b 2a b ＝c a ，即b a ＝c a ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 答案：228．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝π3，求椭圆离心率的取值范围．解析：在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理，可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.结合基本不等式，可得4a 2－4c 2＝3|PF 1||PF 2|≤3⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝3a 2(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝a 时等号成立)，即a 2≤4c 2，可得e ≥12，又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.基础达标一、选择题1．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为( )A ．2 B. 3C.32D.12解析：由椭圆的方程x 24＋y 23＝1可得a ＝2，b ＝3⇒c ＝1，所以椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ＝c a ＝12，故选D.答案：D2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y25＝1 解析：椭圆方程9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.答案：B3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 解析：由题可知，椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为c a ＝63，c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.故选A.答案：A4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由题可知e ＝c a ＝33，又△AF 1B 的周长为43，所以4a ＝43，所以a ＝3，所以c ＝1.所以b 2＝a 2－c 2＝2.故C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A. 答案：A5．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±152，1B.⎝⎛⎭⎫152，±1C.⎝⎛⎭⎫152，1D.⎝⎛⎭⎫±152，±1 解析：设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D. 答案：D6．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2,0)，B (0,1)，所以b ＝1，c ＝2，所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a ＝25＝255.故选D. 答案：D7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，63 C.⎣⎡⎦⎤3－1，63 D.⎣⎡⎦⎤3－1，32解析：如图，因为AF ⊥BF ，所以点F 在以AB 为直径的圆上，则|OA |＝|OB |＝|OF |＝c .根据图形的对称性知，|AF |＋|BF |＝2a .又因为∠ABF ＝α，所以|AF |＋|BF |＝|AB |·cos α＋|AB |·sin α＝2c (sin α＋cos α)＝2a ，因此e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.又因为α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，所以e ∈⎣⎡⎦⎤3－1，63，故选C. 答案：C 二、填空题8．比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y 25＝1的形状，则________更扁(填序号)．解析：x 2＋9y 2＝36化为标准方程得x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；椭圆x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1>e 2，故①更扁．答案：①9．若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝13，则k 的值为________．解析：由题意得c a ＝13⇒a 2＝9c 2⇒a 2b 2＝98，即k ＋89＝98或k ＋89＝89，解得k ＝0或k ＝178.答案：0或17810．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________．解析：∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4，又∵a 2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长为2<2a ≤4. 答案：(2,4]11．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F (2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长为2；②长半轴长为22；③离心率为22；④一个顶点坐标为(2,0)．其中可求得椭圆方程为x 28＋y24＝1的条件有________(填序号)．解析：只需保证a ＝22，b ＝2，c ＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±22，0)，故①②③可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1.答案：①②③12．与椭圆y 24＋x 23＝1有相同的离心率，且长轴长与x 28＋y 23＝1的长轴长相等的椭圆方程为________．解析：椭圆y 24＋x 23＝1的离心率为e ＝12，椭圆x 28＋y 23＝1的长轴长为4 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，2a ＝42，解得a ＝22，c ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝6.又因为所求椭圆焦点既可在x 轴上，也可在y 轴上，故方程为x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1或y 28＋x26＝1三、解答题13．求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解析：椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18；短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e ＝c a ＝223.14．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解析：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.能力提升15. (1)离心率e ＝34，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是8；(2)椭圆过定点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74. 解析：(1)∵P 到两焦点的距离和为8，∴2a ＝8，a ＝4，又∵e ＝c a ＝34，c ＝3，b 2＝16－9＝7，∴椭圆方程为x 216＋y 27＝1或y 216＋x 27＝1. (2)设椭圆方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ≠n ≠0)， ∵椭圆过点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＋214n ＝19m ＋4916n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝16n ＝7， ∴椭圆的方程为x 216＋y 27＝1. 16．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－3，0)、F 2(3，0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上的点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，求y 0的值．解析：(1)由题意得，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b2＝1，且a 2－b 2＝3，解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，则有MF 1→·MF 2→＝0且y 0≠0，即(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝0 ①，而点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则x 204＋y 20＝1 ②，取立①②消去x 20，得y 20＝13≠0，所以y 0＝±33.。

人教新课标版数学高二- 数学选修1—1练习第二章2.1.2椭圆的简单几何性质(一)

2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)一、基础过关1.已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( )A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3,2)在椭圆上D.无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上2.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A.(±13,0)B.(0，±10)C.(0，±13)D.(0，±69) 3.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( )A.32B.34C.22D.234.过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.135.椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( )A.14B.12C.2D.4 6.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0，a >0，b >0)具有( )A.相同的顶点B.相同的离心率C.相同的焦点D.相同的长轴和短轴7.已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是______________.8.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6.(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 二、能力提升9.若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. 10.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________. 11.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .三、探究与拓展13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，过椭圆的中心O 的直线交椭圆于B 、C 两点，且AC →·BC →＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，求此椭圆的方程.答案1.C2.D3.A4.B5.A6.B [不妨设a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝k 的离心率e 2＝ka 2－kb 2ka 2＝a 2－b 2a 2. 而椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝a 2－b 2a 2，故B 正确.] 7.y 264＋x248＝1 8.(1)x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1(2)x 218＋y29＝1 9.14或4 10.2－111.解椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32，∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0， F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 12.解由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得 d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2，又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a ＋5＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0，∴e ＝12或e ＝54(舍去).综上可知，椭圆的离心率为e ＝12.13.解 ∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，∴|BC →|＝2|AC →|. 又AC →·BC →＝0，∴AC ⊥BC . ∴△AOC 为等腰直角三角形. ∵|OA |＝2，∴C 点的坐标为(1,1)或(1，－1)，∵C 点在椭圆上，a ＝2，∴14＋1b 2＝1，b 2＝43.∴所求椭圆的方程为x 24＋y243＝1.。

人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-1-2-1椭圆的简单几何性质

技能演练1.椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距答案 D2．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为( )A.1289 B.1289或18 C. 18 D.1283或6 答案 B3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 答案 D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12答案 D5．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．(－3,3)C ．(－2,2)D ．(－4,4)答案 C6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．解析由题意得2a ＝12，ca ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3，故椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案 x 236＋y 29＝17．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．解析由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c . ∴e ＝ca ＝22.答案 228．过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析右焦点的坐标为(3,0)，当x ＝3时，代入椭圆方程得925＋y 216＝1，∴y 2＝16×1625，∴|y |＝165.故|AB |＝2|y |＝325.答案 3259．椭圆过(3,0)点，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程．解当椭圆焦点在x 轴上时，则 a ＝3，ca ＝63，∴c ＝ 6当b 2＝a 2－c 2＝3故椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，则b ＝3，又ca ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 故椭圆的方程为x 29＋y 227＝1，∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1，或x 29＋y 227＝1.10．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.感悟高考(2010·广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15解析设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2a ＋2c ＝2×2b ，即a ＋c ＝2b ⇒(a ＋c )2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，整理得5c 2＋2ac －3a 2＝0，即5e 2＋2e －3＝0⇒e ＝35，或e ＝－1(舍)，选B.答案 B。

2021年高二人教版数学选修1-1练习：2.1.2椭圆的简单几何性质 Word版含答案

►根底梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比拟.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0 ,所以0<e<1．(2)e越小,椭圆越圆；e越大,椭圆越扁．(3)当e＝0时,即c＝0 ,a＝b时,两焦点重合,椭圆方程变成x2＋y2＝a2 ,成为一个圆．(4)当e＝1时,即a＝c ,b＝0时,椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度,与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m,假设直线与椭圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．(1)Δ＞0 ,直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0 ,直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0 ,直线与椭圆无公共点．,►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为(D )A ．(－1 ,0) ,(1 ,0)B ．(－6 ,0) ,(6 ,0)C ．(0 ,－6) ,(0 ,6)D ．(－6 ,0)(6 ,0)2．离心率为32,焦点在x 轴上 ,且过点(2 ,0)的椭圆标准方程为(A )A.x24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1 3．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为22．解析：∵x 216＋y 28＝1中 ,a 2＝16 ,b 2＝8 ,∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长 ,短轴长 ,离心率依次是(B )A ．5 ,3 ,45B ．10 ,6 ,45C ．5 ,3 ,35D ．10 ,6 ,352．椭圆的焦点在x 轴上 ,离心率为12,且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径 ,那么椭圆的标准方程是(A )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2 ,又因为e ＝c a ＝12,c ＝1 ,所以a 2＝4 ,b 2＝3 ,应选A.3．在一椭圆中以焦点F 1 ,F 2为直径两端点的圆 ,恰好过短轴的两顶点 ,那么此椭圆的离心率e 等于________．解析：由题可知b ＝c ,∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2 ,a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.答案：224．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0 ,4) ,离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3 ,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析：(1)将(0 ,4)代入C 的方程得16b2＝1 ,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35 ,得a 2－b 2a 2＝925 ,即1－16a 2＝925 ,∴a ＝5 ,∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3 ,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程 ,得x 225＋(x －3 )225＝1 ,即x 2－3x －8＝0 ,解得x 1＝3－412 ,x 2＝3＋412 ,∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32 ,y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65 ,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32 －65. 5．如下图F 1 ,F 2分别为椭圆的左、右焦点 ,椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标 ,其纵坐标等于短半轴长的23,求椭圆的离心率．解析：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ,b ,c .那么焦点为F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,M 点的坐标为(c ,23b ) ,那么△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2 ,即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ,整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2 ,所以3b ＝2a ,所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59 ,∴e ＝53.1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为(D )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距 2．(2021·广东四校联考)椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0) ,那么此椭圆的离心率为(B ) A.13 B.33C.22 D.123．假设椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13,那么m 的值为(B )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．椭圆的中|心在坐标原点 ,焦点在x 轴上 ,且长轴长为12 ,离心率为13,那么椭圆的方程是(D )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有(A )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴解析：将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.那么c 2＝(a 2－b 2)k ,∴e 2＝ (a 2－b 2 )k a 2k ＝c 2a 2.6．点P 是以F 1 ,F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点 ,且PF 1→·PF 2→＝0 ,tan ∠PF 1F 2＝12,那么该椭圆的离心率等于(D ) A.13 B.12 C.23 D.537．椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4 ,其中一个焦点的坐标为( 3 ,0) ,那么椭圆的离心率为________．答案：328．椭圆的短轴长等于2 ,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5 ,那么此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点 ,假设∠F 1PF 2＝60° ,那么椭圆的离心率为________．解析：假设点P 在第二象限 ,那么由题意可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c b 2a ,又∠F 1PF 2＝60° ,所以2cb 2a ＝tan60°＝3 ,化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0 ,即3e 2＋2e －3＝0 ,e ∈(0 ,1) ,解得e ＝33,故填33. 答案：3310．椭圆的对称轴为坐标轴 ,离心率e ＝23,短轴长为8 5 ,求椭圆的方程．解析：∵2b ＝85 ,∴b ＝4 5.又c a ＝23,由a 2－c 2＝b 2 , 得a 2＝144 ,b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12,且椭圆经过点N (2 ,－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1 ,2)为中点的弦所在直线的方程．解析：(1)由椭圆经过点N (2 ,－3) , 得22a 2＋ (－3 )2b 2＝1 又e ＝c a ＝12,解得a 2＝16 ,b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)是以M 为中点的弦的两个端点 ,那么x 2116＋y 2112＝1 ,x 2216＋y 2212＝1.相减得 (x 2－x 1 ) (x 2＋x 1 )16＋ (y 2－y 1 ) (y 2＋y 1 )12＝0.整理得k AB ＝－12· (x 1＋x 2 )16· (y 1＋y 2 )＝38,那么所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1) ,即3x －8y ＋19＝0 12．(2021·惠州调研)椭圆的一个顶点为A (0 ,－1) ,焦点在x 轴上 ,假设右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ,当|AM |＝|AN |时 ,求m 的取值范围．解析：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1 ,那么右焦点F 的坐标为(a 2－1 ,0) ,由题意得|a 2－1＋22|2＝3 ,解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ,y p )、M (x M ,y M )、N (x N ,y N ) ,其中P 为弦MN 的中点 , 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0 , 即m 2＜3k 2＋1 ① ,x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1 ,∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1,从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk,又|AM |＝|AN | ,∴AP ⊥MN ,因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k,即2m ＝3k 2＋1 ② ,把②式代入①式得m 2＜2m ,解得0＜m ＜2 ,由②式得k 2＝2m －13＞0 ,解得m ＞12,综上所述 ,求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验（高|考）1．(2021·全国大纲卷)假设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1 ,F 2离心率为33,过F 2的直线l 交C 与A ,B 两点 ,假设△AF 1B 的周长为4 3 ,那么椭圆C 的方程为(A) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：∵△AF 1B 的周长为43 ,∴4a ＝43 ,∴a ＝3 ,∵e ＝c a ＝33 ,∴c ＝1 ,b ＝2 ,∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(2021·江西卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1 ,F 2 ,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点 ,F 1B 与y 轴相交于点D ,假设AD ⊥F 1B ,那么椭圆C 的离心率等于________．解析：由题意 ,F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第|一象限 ,由AB ⊥x 轴 ,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a ,A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c －b 2a .由于AB //y 轴 ,|F 1O |＝|OF 2| ,∴点D 为线段BF 1的中点 ,那么D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 b 22a ,由于AD ⊥F 1B ,知F 1B →·DA →＝0 ,那么⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c －3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0 ,即2ac ＝3b 2 ,∴2ac ＝3(a 2－c 2) ,又e ＝ca ,且e ∈(0 ,1) ,∴3e 2＋2e －3＝0 ,解得e ＝33(e ＝－3舍去)．答案：333．(2021·安徽卷)设F 1 ,F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点 ,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点 ,|AF 1|＝3|BF 1|.(1)假设|AB |＝4 ,△ABF 2的周长为16 ,求|AF 2|；(2)假设cos ∠AF 2B ＝35,求椭圆E 的离心率．解析：(1)由|AF 1|＝3|F 1B | ,|AB |＝4 , 得|AF 1|＝3 ,|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16 ,|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8 , 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ,那么k ＞0且|AF 1|＝3k ,|AB |＝4k , 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ,|BF 2|＝2a －k , 在△ABF 2中 ,由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ,即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k ) ,化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0 ,而a ＋k ＞0 ,故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1| ,|BF 2|＝5k ,因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2 ,可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形 ,∴c ＝22a ,e ＝22.4．(2021·新课标全国卷Ⅱ)设F 1 ,F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左 ,右焦点 ,M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直 ,直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)假设直线MN 的斜率为34,求C 的离心率；(2)假设直线MN 在y 轴上的截距为2 ,且|MN |＝5|F 1N | ,求a ,b .解析：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a由k MN ＝34 ,得b 22ac ＝34,那么2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ,解得c a ＝12 ,ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意 ,原点O 为F 1F 2的中点 ,MF 2//y 轴 ,所以直线MF 1与y 轴的交点D (0 ,2)是线段MF 1的中点 ,故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1 ,y 1) ,由题意知y 1＜0 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧2 (－c －x 1 )＝c －2y 1＝2 即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c y 1＝－1.代入C 的方程 ,得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9 (a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7 ,b 2＝4a ＝28 ,即b ＝27. ∴a ＝7 ,b ＝27.。

人教A版高中数学高二选修1-1课后训练椭圆的简单几何性质

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课后提升训练十椭圆的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是( )A. B.C. D.-【解析】选C.椭圆方程可简化为+=1,由题意知m>0,所以<,所以a=,所以椭圆的长轴长2a=.2.已知椭圆C的左、右焦点的坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为( )A.+y2=1B.x2+=1C.+=1D.+=1【解析】选A.因为=,且c=,所以a=,b==1,所以椭圆C的方程为+y2=1.3.已知点(m,n)在椭圆8x2+3y2=24上,则2m+4的取值范围是( )A.[4-2,4+2]B.[4-,4+]C.[4-2,4+2]D.[4-,4+]【解析】选A.方程可化为+=1,则-≤m≤,所以2m+4∈[4-2,4+2].4.椭圆+=1的离心率为,则k的值为( )A.-21B.21C.-或21D.或21【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k.由==,得k=-;当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由==,得k=21.5.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为( )A.x2+y2=1B.(x-1)2+y2=4C.x2+y2=4D.x2+(y-1)2=4【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.6.(2017·全国丙卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d==a,整理为a2=3b2,即a2=3(a2-c2)⇒2a2=3c2,即=,e==.7.设椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的范围为( )A. B.C. D.【解析】选C.因为PF1⊥PF2,所以∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,又|PF1|+|PF2|=2a,所以4c2=|PF1|2+|PF2|2≥=2a2,即2c2≥a2,所以e2≥.又因为0<e<1,所以e∈.8.椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且·的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选 B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y),·=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(·)max=b2,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,所以≤e≤.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P 在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为________.【解析】设P点到x轴的距离为h,则=|F 1F2|h,当P点在y轴上时,h最大,此时最大.因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.答案:310.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为________.【解析】因为e==,所以==,所以5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.设椭圆的标准方程为+=1(a>0),因为椭圆过点P(-5,4),所以+=1.解得a2=45.所以椭圆的方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3·=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以≥,即e≥.又0<e<1,所以e的取值范围是.(2)由(1)知mn=b2,所以=mnsin60°=b 2,即△PF1F2的面积只与短轴长有关.12.椭圆+=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使∠APO=90°,求椭圆离心率的取值范围.【解析】设P(x,y),由∠APO=90°知,点P在以OA为直径的圆上,圆的方程是:+y2=,所以y2=ax-x2.①又P点在椭圆上,故+=1. ②把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,即(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,因为x≠a,x≠0,所以x=,又0<x<a,所以0<<a,即2b2<a2.由b2=a2-c2,得a2<2c2,所以e>.又因为0<e<1,所以<e<1.即椭圆离心率的取值范围是.【能力挑战题】已知椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,过F,B,C三点作☉P,且圆心在直线x+y=0上,求此椭圆的方程.【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别求出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为圆P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为x=.①因为BC的中点为,k BC=-b,所以BC的垂直平分线方程为y-=②由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,可得(1+b)(b-c)=0,因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.关闭Word文档返回原板块。

2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.1.2 椭圆的简单几何性质 Word版含解

2.1.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆=1(a>)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1=1(a>)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2x2+3y2=m(m>0)⇒=1,所以c2=,故e2=,解得e=.3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(-,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是()A.+y2=1B.x2+=1C.+y2=1D.x2+=1一个焦点为(-,0),∴焦点在x轴上且c=.∵长轴长是短轴长的2倍,∴2a=2·2b,即a=2b,∴(2b)2-b2=3.∴b2=1,a2=4,故所求椭圆的标准方程为+y2=1.4.已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为()A. B.2 C. D.3,解得a2=5,所以椭圆的标准方程为+x2=1.设椭圆上点的坐标为P(x,y),且-1≤x≤1,-≤y≤,则y2=5(1-x2),故|PB|==,当x=时满足条件,所以|PB|max=.5.曲线=1与曲线=1(k<9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等k<9,所以两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆,且c2=25-9=(25-k)-(9-k)=16,所以两个椭圆的焦距相等,但长轴长、短轴长、离心率不一定相等.6.设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A. B. C. D.|PF2|=|F1F2|,所以2=2c,所以3a=4c,所以e=.7.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.,当椭圆上点在短轴端点时,三角形的面积取最大值,即有bc=2,∴a2=b2+c2≥2bc=4(其中b>0,c>0),∴a≥2,当且仅当b=c=时取“=”.∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4.8.椭圆的一个焦点将长轴长分成3∶2两部分,则这个椭圆的离心率为.(a+c)∶(a-c)=3∶2,所以a=5c,故离心率为e=.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心率为;(2)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-4).将方程4x2+9y2=36化为=1,可得椭圆焦距为2c=2,又因为离心率e=,即,所以a=5,从而b2=a2-c2=25-5=20.若椭圆焦点在x轴上,则其方程为=1;若椭圆焦点在y轴上,则其方程为=1.(2)依题意2a=2·2b,即a=2b.若椭圆焦点在x轴上,设其方程为=1(a>b>0),则有解得所以椭圆方程为=1;若椭圆焦点在y轴上,设其方程为=1(a>b>0),则有解得所以椭圆方程为=1.10.已知椭圆=1,试问在椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等?c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等.设M(x,y)(-2≤x≤2),则=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由=1,得y2=3,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,于是x=4.但由于-2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)=1,∵焦点在y轴上,∴>2,解得k<1,又k>0,∴0<k<1.故选A.2.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m千米,远地点B距离地面n千米,地球半径为k千米,则飞船运行轨道的短轴长为() A.2 B.C.mnD.2mna-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)·(a+c)=(m+k)(n+k).即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=,所以椭圆的短轴长为2.3.已知点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()A. B. C. D.P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,可得=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点, 则当|OM|=≥=3,当且仅当a2=2b2,可得a=,b=,c=,可得e=.故选C.4.已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点的坐标为F(2,0),给出下列四个条件:①短半轴长为2;②长半轴长为2;③离心率为;④一个顶点坐标为(2,0).其中可求得椭圆方程为=1的条件有(填序号).a=2,b=2,c=2即可,而椭圆的顶点坐标为(0,±2),(±2,0),故①②③可求得椭圆方程为=1.5.若分别过椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在椭圆上,则此椭圆的离心率的取值范围是.M,令|MF1|=d1,|MF2|=d2.由椭圆的定义,可得d1+d2=2a.∵MF1⊥MF2,∴=4c2.∵(d1+d2)2=+2d1d2≤2(),当且仅当d1=d2=a时等号成立,即4a2≤2(4c2),∴a≤c,∴,即e≥.又e<1,∴≤e<1.6.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.所以=b2,所以-c2+b2=c2,解得.因为x0∈[-a,a],所以∈[0,a2],即0≤≤a2,所以2c2≤a2≤3c2.即,所以,即椭圆离心率的取值范围是.7.(选做题)(2019全国卷Ⅱ高考)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的离心率e=-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当|y|·2c=16,=-1,=1,即c|y|=16, ①x2+y2=c2, ②=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4.由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学选修1-1 2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质探究导学课型 word版含答案

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课时提升作业(十)椭圆的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知F1，F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e=，则椭圆的方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.由题意知4a=16，即a=4，又因为e=，所以c=2，所以b2=a2-c2=16-12=4，所以椭圆的标准方程为+=1.2.(2015·西安高二检测)两个正数1，9的等差中项是a，等比中项是b且b>0，则曲线+=1的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为a==5，b==3，所以e==.3.(2015·怀化高二检测)过椭圆+=1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是( )A.14B.16C.18D.20【解析】选C.如图设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|=|PF2|，|OP|=|OQ|，所以△PQF的周长为|PF|+|FQ|+|PQ|=|PF|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF的周长取得最小值10+2×4=18，故选C.4.设F1， F2是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选C.如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|=|F2F1|=2=2c⇒e==.5.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.将x=-c代入椭圆方程可解得点P，故|PF1|=，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2=60°，所以|PF2|=，根据椭圆定义得=2a，从而可得e==.【一题多解】选B.设|F1F2|=2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|=c，|PF2|= c.所以|PF1|+|PF2|=2c=2a，离心率e==.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知椭圆+=1的离心率e=，则m的值为__________.【解析】当焦点在x轴上时，a2=5，b2=m，所以c2=a2-b2=5-m.又因为e=，所以=，解得m=3.当焦点在y轴上时，a2=m，b2=5，所以c2=a2-b2=m-5.又因为e=，所以=，解得m=.故m=3或m=.答案：3或【误区警示】认真审题，防止丢解在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时，一定要注意椭圆的位置是否确定，若没有确定，则应该有两解.7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤.则长轴长的取值范围为__________.【解析】因为b=1，所以c2=a2-1，又==1-≤，所以≥，所以a2≤4，又因为a2-1>0，所以a2>1，所以1<a≤2，故长轴长2<2a≤4.答案：(2，4]8.(2015·嘉兴高二检测)已知椭圆+=1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当·取最小值时|+|的取值为__________.【解析】由已知得a=2，b=，c=1，所以F2(1，0)，A1(-2，0)，设P(x，y)，则·=(1-x，-y)·(-2-x，-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点P(x，y)在椭圆上，所以y2=3-x2，代入上式，得·=x2+x+1=(x+2)2.又x∈，所以当x=-2时，·取得最小值.所以P(-2，0)，求得|+|=3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆过(3，0)，离心率e=.(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 【解析】(1)若焦点在x轴上，则a=3，因为e==，所以c=，所以b2=a2-c2=9-6=3.所以椭圆的标准方程为+=1.若焦点在y轴上，则b=3，因为e====，解得a2=27.所以椭圆的标准方程为+=1.综上可知，所求椭圆标准方程为+=1或+=1.(2)设椭圆方程为+=1(a>b>0).如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，所以c=b=4，所以a2=b2+c2=32，故所求椭圆的标准方程为+=1.10.设P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点，F1，F2是其左、右焦点.已知∠F1PF2=60°，求椭圆离心率的取值范围.【解题指南】利用椭圆的定义得到a，b，c的不等式，再化为离心率求范围.【解析】根据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=2a，①在△F1PF2中，由余弦定理得cos 60°==，即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1||PF2|.②①式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.③由②③得|PF1||PF2|=.④由①和④运用基本不等式，得|PF1||PF2|≤，即≤a2.由b2=a2-c2，故(a2-c2)≤a2，解得e=≥.又因为e<1，所以该椭圆离心率的取值范围为.【一题多解】设椭圆与y轴交于B1，B2两点，则当点P位于B1或B2时，点P对两个焦点的张角最大，故∠F1B1F2≥∠F1PF2=60°，从而∠OB1F2≥30°.在Rt△OB1F2中，e==sin∠OB1F2≥sin 30°=.又因为e<1，所以该椭圆的离心率的取值范围为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.将椭圆C1：2x2+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有( )A.相等的短轴长B.相等的焦距C.相等的离心率D.相等的长轴长【解析】选C.把C1的方程化为标准方程，即C1：+=1，从而得C2：+=1.因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上.e1==e2，故离心率相等.2.(2015·广安高二检测)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点，若·=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.由·=0，得△PF1F2为直角三角形，由tan∠PF1F2=，设|PF2|=m，则|PF1|=2m，又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c=)，即4c2=5m2，c=m，而|PF2|+|PF1|=2a=3m，所以a=.所以离心率e==.【补偿训练】设e是椭圆+=1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( ) A.(0，3) B.C.(0，3)∪D.(0，2)【解析】选C.当k>4时，c=，由条件知<<1，解得k>；当0<k<4时，c=，由条件知<<1，解得0<k<3，综上知选C.二、填空题(每小题5分，共10分)3.在平面直角坐标系中，椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e=__________.【解析】如图，切线PA，PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故=a，解得e==.答案：4.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为__________.【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S=×2c×b=bc=1≤=.所以a2≥2.所以a≥，所以长轴长2a≥2.答案：2【拓展延伸】基本不等式在椭圆中的应用在椭圆定义和性质中，有|PF1|+|PF2|=2a和a2=b2+c2两个等式，为基本不等式中“和定积最大”准备了条件.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·成都高二检测)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且=2.求椭圆C的离心率.【解题指南】由=2，建立关于参数a，c的等量关系，求其离心率便可.【解析】不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0)，其中F是左焦点，B是上顶点，则F(-c，0)，B(0，b)，设D(x，y)，则(-c，-b)=2(x+c，y)，所以解得x=-c，y=-.又因为点P在椭圆C上.所以+=1.整理得=，所以e==.6.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(-2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设P (x0，y0)，且+=1，所以||2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12.所以||2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0=4时，||2最小，所以4m≥4，所以m≥1.又点M(m，0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4.关闭Word文档返回原板块。

人教新课标版数学高二选修1-1练习2-1-2椭圆的简单几何性质(1)

2.1.2一、选择题1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上[答案] C[解析] ∵点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的离心率[答案] D[解析] 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)中，不妨设a >b ，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝a 2－b 2a，椭圆x 2a 2k ＋y 2b 2k ＝1(k >0)的离心率e 2＝k a 2－b 2ka ＝a 2－b 2a . 4．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系为( ) A ．有相等的长、短轴B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．x ，y 有相同的取值范围[答案] B[解析] ∵0<k <9，∴0<9－k <9,16<25－k <25，∴25－k －9＋k ＝16，故两椭圆有相等的焦距．6．中心在原点、焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1[答案] A[解析] ∵2a ＝18，∴a ＝9，由题意得2c ＝13×2a ＝13×18＝6，∴c ＝3，∴a 2＝81，b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，故椭圆方程为x 281＋y 272＝1.7．焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )A.x 236＋y 216＝1B.x 216＋y 236＝1C.x 26＋y 24＝1D.y 26＋x 24＝1[答案] A[解析] 由题意得c ＝25，a ＋b ＝10，∴b 2＝(10－a )2＝a 2－c 2＝a 2－20，解得a 2＝36，b 2＝16，故椭圆方程为x 236＋y 216＝1.10．若椭圆两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆方程是( )A.x 236＋y 220＝1B.x 228＋y 212＝1C.x 225＋y 29＝1D.x 220＋y 24＝1[答案] C[解析] 由题意得c ＝4，∵P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积为12，∴12×2c ×b ＝12，即bc ＝12，∴b ＝3，a ＝5，故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.二、填空题13．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．[答案] 2b 2a[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x ＝±c ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝±cx 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 4a 2，∴|y |＝b 2a ，故弦长为2b 2a .三、解答题15．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝32，求椭圆的方程．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝16c a ＝32，∴a ＝4，c ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝4，所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1.16．已知椭圆mx 2＋5y 2＝5m 的离心率为e ＝105，求m 的值． [解析] 由已知可得椭圆方程为 x 25＋y 2m ＝1(m >0且m ≠5)．当焦点在x 轴上，即0<m <5时，有a ＝5，b ＝m ，则c ＝5－m ，依题意得5－m 5＝105，解得m ＝3. 当焦点在y 轴上，即m >5时，有a ＝m ，b ＝ 5. 则c ＝m －5，依题意有m －5m＝105. 解得m ＝253.即m 的值为3或253.。

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