华师大版八年级数学上学期《直角三角形三边的关系》课件
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华师大版-数学-八年级上册-《直角三角形三边的关系》教学课件
答案: 27 13 3
5.（丹东·中考）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，
以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再
以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…
依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是
．
【答案】( 2 ) n
E
F
D
CA
G
B
【规律方法】构造直角三角形，熟练掌握勾股定 理的应用模型是求线段长度最基本的方法之一.
B
（3）你能发形A，B，C的面积之间有什
B
么关系吗？图1-2呢？
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形
的面积
做一做
你是怎样得到表 中的结果的？与 同伴交流.
C A
B
图1-3
C A
B
图1-4
（1）观察图1-3、图1-4，并填写下表：
勾是6， 股是8， 62=36, 82=64, 勾是5， 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169
52+122=132 等.
是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许 多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
1.勾股定理. 2.用拼图法验证勾股定理. 3.勾股定理的应用.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什 么，而是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
B
C
图1-3 A
B
结论：
图1-4
5.（丹东·中考）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，
以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再
以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…
依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是
．
【答案】( 2 ) n
E
F
D
CA
G
B
【规律方法】构造直角三角形，熟练掌握勾股定 理的应用模型是求线段长度最基本的方法之一.
B
（3）你能发形A，B，C的面积之间有什
B
么关系吗？图1-2呢？
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形
的面积
做一做
你是怎样得到表 中的结果的？与 同伴交流.
C A
B
图1-3
C A
B
图1-4
（1）观察图1-3、图1-4，并填写下表：
勾是6， 股是8， 62=36, 82=64, 勾是5， 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169
52+122=132 等.
是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许 多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
1.勾股定理. 2.用拼图法验证勾股定理. 3.勾股定理的应用.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什 么，而是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
B
C
图1-3 A
B
结论：
图1-4
华师大版八年级上册1.1直角三角形三边的关系课件
x 求第三边 的长度
（1）如图
（2）如图
4x
x4
3
解：由勾股定理得：
3
解：由勾股定理得：
x2 32 42
x2 42 32
∴ x 32 42
∴ x 42 32
5
x 7
∴ x5 或 x 7
学习小结
请你谈一谈你这节 课的收获与感悟.
再见
(2) 已知: b=8, c=10 , 求a
(3) 已知: a=7, c=25, 求b
解：由勾股定理得： (2) a c2 b2
(1) c a2 b2 52 122
13
102 82
6
A
bc CaB
(3) b c2 a2
252 72
24
小试牛刀
2、若一个直角三角形的三边长分别为3，4， x
为斜边，则有a2+b2=c2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图” ，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》 作法时给出的. 它标志着中国古代的数学成绩。
弦 勾
股
图1-1
思考
如图,弦图是由4 个全等的直角三角 形与小正方形组成 的大正方形，你能 借助这个图形来证 明勾股定理吗？
b
b
b
b
a
c
a
c
a
c
a
c
例题
在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6， BC=8.求AC的长.
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的 长度，可以求出第三边的长度,关键是明确各边 角关系，灵活运用公式及其变式。
小试牛刀
1. 如图，在直角三角形ABC中, ∠C=900,
（1）如图
（2）如图
4x
x4
3
解：由勾股定理得：
3
解：由勾股定理得：
x2 32 42
x2 42 32
∴ x 32 42
∴ x 42 32
5
x 7
∴ x5 或 x 7
学习小结
请你谈一谈你这节 课的收获与感悟.
再见
(2) 已知: b=8, c=10 , 求a
(3) 已知: a=7, c=25, 求b
解：由勾股定理得： (2) a c2 b2
(1) c a2 b2 52 122
13
102 82
6
A
bc CaB
(3) b c2 a2
252 72
24
小试牛刀
2、若一个直角三角形的三边长分别为3，4， x
为斜边，则有a2+b2=c2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图” ，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》 作法时给出的. 它标志着中国古代的数学成绩。
弦 勾
股
图1-1
思考
如图,弦图是由4 个全等的直角三角 形与小正方形组成 的大正方形，你能 借助这个图形来证 明勾股定理吗？
b
b
b
b
a
c
a
c
a
c
a
c
例题
在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6， BC=8.求AC的长.
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的 长度，可以求出第三边的长度,关键是明确各边 角关系，灵活运用公式及其变式。
小试牛刀
1. 如图，在直角三角形ABC中, ∠C=900,
华东师大版八年级上册数学课件《直角三角形三边的关系》参考课件
即：在Rt△ABC中，∠C=90°
伽 菲 尔 德 证 法
c2 = a2 + b2
剪四个完全一样的直角三角形，将他们拼成下 图所示的正方形，用不同的方法表示大正方形 的面积,也可以说明勾股定理的正确性
勾股定理（gou-gu theorem)
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
如果直角三角形两直角边分别为a、b， 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
A
P的面 Q的面 R的面 积(单位 积(单位 积(单位 长度) 长度) 长度)
Q
C
R
B
图2 图3
9 9
16 4
25 13
P
图2
A
R P
图3 B
Q
C
P、Q、 R面积 关系 直角三 角形三 边关系
SP+SQ=SR
BC2表示1平方厘米)
Q
R
P
图1-3
R
Q
P
图1-4
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方．
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2 a 2= c 2 － b2
c a 2 b2
a c 2 b2
c
2
b
b 2 = c 2 －a 2
b c a
2
a
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比 伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据《周髀算经》记载， 商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商 高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者陈子 （公元前六七世纪）与荣方的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾， 日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即 邪至日2=勾2+股2 陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。 人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最 先发明的. 勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多，1940 年卢米斯收集了这个定理的370种证明，期中包括大画家达· 芬奇和美国总统 詹姆士· 阿· 加菲尔德的证法。到目前为止,已有四百多种证法.
伽 菲 尔 德 证 法
c2 = a2 + b2
剪四个完全一样的直角三角形，将他们拼成下 图所示的正方形，用不同的方法表示大正方形 的面积,也可以说明勾股定理的正确性
勾股定理（gou-gu theorem)
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
如果直角三角形两直角边分别为a、b， 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
A
P的面 Q的面 R的面 积(单位 积(单位 积(单位 长度) 长度) 长度)
Q
C
R
B
图2 图3
9 9
16 4
25 13
P
图2
A
R P
图3 B
Q
C
P、Q、 R面积 关系 直角三 角形三 边关系
SP+SQ=SR
BC2表示1平方厘米)
Q
R
P
图1-3
R
Q
P
图1-4
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方．
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
c2=a2 + b2 a 2= c 2 － b2
c a 2 b2
a c 2 b2
c
2
b
b 2 = c 2 －a 2
b c a
2
a
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，远在公元前三千年的巴比 伦人就知道和应用它了。我国古代也发现了这个定理，据《周髀算经》记载， 商高（公元前1120年）关于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商 高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五。”同书中还有另一为学者陈子 （公元前六七世纪）与荣方的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾， 日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）至日”即 邪至日2=勾2+股2 陈子已不限于：三、四、五的特殊情形，而是推广到一般情形了。 人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，很难区分是谁最 先发明的. 勾股定理曾引起很多人的兴趣,世界上对这个定理的证明方法很多，1940 年卢米斯收集了这个定理的370种证明，期中包括大画家达· 芬奇和美国总统 詹姆士· 阿· 加菲尔德的证法。到目前为止,已有四百多种证法.
华东师大版数学八年级上册直角三角形三边的关系课件
3、直角三角形的三边之间有什么关系 ？
探索：
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R, SR与SP、SQ 之间存在怎样的关系？
AR Q
CP B
图14.1.1
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
试一试
观察图14.1.2， 可得：
SP = 9 cm2 SQ = 16 cm2
SR = 25 cm2
SR与SP、SQ
之间存在怎 样的关系？
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法1
方法2
A R
Q
B P
C
（每个小方格的边长为1cm)
图14.1.2
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法一：
分割成若干个 直角边为整数 的三角形
SR
4 1 431 2
14.1.1直角三角形
三边的关系
情境引入：
2002年国际数学家大会在我国北京 召开，下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是我 国三国时期数学家赵爽 用来证明勾股定理的弦 图。
学习目标：
1、经历勾股定理的探索过程，体会数形 结合的思想。
2、会用拼图证明勾股定理。 3、理解直角三角形三边的关系，会应用
当堂测试：
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
３ ４
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
探索：
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R, SR与SP、SQ 之间存在怎样的关系？
AR Q
CP B
图14.1.1
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
试一试
观察图14.1.2， 可得：
SP = 9 cm2 SQ = 16 cm2
SR = 25 cm2
SR与SP、SQ
之间存在怎 样的关系？
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法1
方法2
A R
Q
B P
C
（每个小方格的边长为1cm)
图14.1.2
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法一：
分割成若干个 直角边为整数 的三角形
SR
4 1 431 2
14.1.1直角三角形
三边的关系
情境引入：
2002年国际数学家大会在我国北京 召开，下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是我 国三国时期数学家赵爽 用来证明勾股定理的弦 图。
学习目标：
1、经历勾股定理的探索过程，体会数形 结合的思想。
2、会用拼图证明勾股定理。 3、理解直角三角形三边的关系，会应用
当堂测试：
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
３ ４
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
华师大版八级数学上学期《直角三角形三边的关系》PPT课件(精选)30页PPT
华师大版八级数学上学期《直角三角 形三边的关系》PPT课件（精选）
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
华东师大版八年级上册 直角三角形三边的关系课件
§14.1.1直角三角形三边的关系
（一）、实验探究，发现结论
相传2500年前，古希腊著名数学家毕达 哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现 朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三 角形三边的某种数量关系．
你觉得毕达哥拉斯发 现了什么关系？
（一）、实验探究，发现结论
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
ab
c
SA=a2
c2 4 1 ab b a2
2 c2 2ab b2 2ab a2 c2 b2 a2
（三）、深入探究，论证结论
c2 a b2 4 1 ab
2 c2 a2 2ab b2 2ab
c2 a2 b2
美国第二十任总统伽菲尔德的证明
1 c2 1 a b a b 2 1 ab
所以 BC＝(400－x)米． 在 Rt△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2， 即 x2＝3002＋(400－x)2. 解得 x＝312.5， 因此该超市与车站 D 的距离是 312.5 米．
300m
xm xm
500m
（七）、归纳小结，布置作业
四个一： 一个定理——勾股定理； 一种方法——实验探究，割补法证明； 一种数学思想——数形结合 一段历史——勾股定理发展史。
B
a
c
C
b
A
（六）、实例应用
例2 已知直角三角形的两边长分别为6，8，求第 三边的长．
(1)当两直角边长分别为6和8时，第三边的长 为 62 82 100 10
(2)当斜边长为8，一直角边长为6时，第三边 的长为 82 - 62 28 2 7
（六）、实例应用
例3 在等腰
中，
，
，
求等腰
的面积。
例4 如图，已知某学校A与直线公路AB相距300米，且与该
（一）、实验探究，发现结论
相传2500年前，古希腊著名数学家毕达 哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现 朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三 角形三边的某种数量关系．
你觉得毕达哥拉斯发 现了什么关系？
（一）、实验探究，发现结论
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
ab
c
SA=a2
c2 4 1 ab b a2
2 c2 2ab b2 2ab a2 c2 b2 a2
（三）、深入探究，论证结论
c2 a b2 4 1 ab
2 c2 a2 2ab b2 2ab
c2 a2 b2
美国第二十任总统伽菲尔德的证明
1 c2 1 a b a b 2 1 ab
所以 BC＝(400－x)米． 在 Rt△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2， 即 x2＝3002＋(400－x)2. 解得 x＝312.5， 因此该超市与车站 D 的距离是 312.5 米．
300m
xm xm
500m
（七）、归纳小结，布置作业
四个一： 一个定理——勾股定理； 一种方法——实验探究，割补法证明； 一种数学思想——数形结合 一段历史——勾股定理发展史。
B
a
c
C
b
A
（六）、实例应用
例2 已知直角三角形的两边长分别为6，8，求第 三边的长．
(1)当两直角边长分别为6和8时，第三边的长 为 62 82 100 10
(2)当斜边长为8，一直角边长为6时，第三边 的长为 82 - 62 28 2 7
（六）、实例应用
例3 在等腰
中，
，
，
求等腰
的面积。
例4 如图，已知某学校A与直线公路AB相距300米，且与该
1.1直角三角形三边的关系PPT课件(华师大版)
解：作直角边长为 1 和 3 的直角三角形，其斜边长为 12＋32＝ 10， 作图略
13．(例题 1 变式)如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝26， BC＝17，AD＝24.求 AC 的长．
解 ： BD ＝ AB2－AD2 ＝ 262－242＝ 10 ， AC ＝ AD2＋CD2 ＝ 242＋（17－10）2＝25
14．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，求 BE 的长．
解：∵△ABC 是直角三角形，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 62＋82＝10，∵△ADE 由△BDE 折叠而成，∴ AE＝BE＝12AB＝12×10＝5 cm
15．如图，正方形由四个边长为a，b，c的直角三角形拼成，请从面 积关系出发，写出一个关于a，b，c的等式；(要化简)
请用四个边长为a，b，c的直角三角形拼出另一个图形验证中所写的 等式，并写出验证过程；
若a＋b＝7，ab＝12，求c的值．
解：(1)12ab×4＋(a－b)2＝c2，化简得 a2＋b2＝c2 (2)如图
是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
C
9．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 M 为 BC 的中点， MN⊥AC 于点 N，则 MN 等于( C )
6 9 12 16 A.5 B.5 C. 5 D. 5
10．已知一个直角三角形的两条直角边分别为 6 cm，8 cm，那么这 个直角三角形斜边上的高为_4_.8__．
点拨：用“面积法”，由勾股定理求得斜边长为 10 cm，设斜边上的 高为 h cm，则 S＝12×10×h＝12×6×8，∴h＝4.8
13．(例题 1 变式)如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝26， BC＝17，AD＝24.求 AC 的长．
解 ： BD ＝ AB2－AD2 ＝ 262－242＝ 10 ， AC ＝ AD2＋CD2 ＝ 242＋（17－10）2＝25
14．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，求 BE 的长．
解：∵△ABC 是直角三角形，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 62＋82＝10，∵△ADE 由△BDE 折叠而成，∴ AE＝BE＝12AB＝12×10＝5 cm
15．如图，正方形由四个边长为a，b，c的直角三角形拼成，请从面 积关系出发，写出一个关于a，b，c的等式；(要化简)
请用四个边长为a，b，c的直角三角形拼出另一个图形验证中所写的 等式，并写出验证过程；
若a＋b＝7，ab＝12，求c的值．
解：(1)12ab×4＋(a－b)2＝c2，化简得 a2＋b2＝c2 (2)如图
是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
C
9．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 M 为 BC 的中点， MN⊥AC 于点 N，则 MN 等于( C )
6 9 12 16 A.5 B.5 C. 5 D. 5
10．已知一个直角三角形的两条直角边分别为 6 cm，8 cm，那么这 个直角三角形斜边上的高为_4_.8__．
点拨：用“面积法”，由勾股定理求得斜边长为 10 cm，设斜边上的 高为 h cm，则 S＝12×10×h＝12×6×8，∴h＝4.8
直角三角形三边的关系导学课件华东师大版八年级数学上册
2 22
2
(a＋b)2 c2＋2ab
整个图形面积等于不
,
2
2
重叠、无空隙的各组
即a2+b2=c2.
成部分的面积的和.
感悟新知
3-1. 如图， 写出字母所代表的正方形的面积：SA= 625 ______1，44SB= ______.
感悟新知
3-2. (1)观察图① ②并填写下表(图中每个小方格的边长为1).
图① 图②
A的 面积
16 4
B的 面积
9 9
C的 面积
25 13
感悟新知
(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ 解：三个正方形A，B，C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.
(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什 么关系？ 三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关 系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
感悟新知
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和” 进行验证. 方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方 法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以 各部分面积之间的关系为依据而达到目的.
感悟新知
证明：由题知C′D′=a，AD′=b.
∵四边形BCC′D′为直角梯形，
∴ S 梯形BCC′D′=
方法
加菲尔 德总 统拼图
毕达哥 拉斯 拼图
图形
证明
设梯形的面积为S，则S= 1
(a+b)(a+b)= 1 a2+ 1 b2+ab.2又
1
12
S= ∴
2 ab+ 2 ab+ a2+b2=c2
1 2
c22=
1 2
华东师大版八年级上册 14.1.1 直角三角形三边的关系 勾股定理 课件
解：由题可得
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
勾股定理
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
勾股定理
华东师大版八年级数学上册1.1直角三角形三边的关系勾股定理课件
（每一小方格表示1cm2)
方法1
方法2 做一做
图14.1.2
方法一：
分“割”成若干 个直角边为整 数的三角形
SR
4 1 431 2
25 (cm2)
A R
Q
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
方法二：
“补”成一个 正方形
SR
72 4 1 43 2
25 (Cm2)
A R
Q
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C
1
b
E
a
B
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又∵
S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
c 2= a 2+ b 2
4、一组勾股数中必有一个数是5倍数 5、2mn,m²-n²,m²+n²为勾股数组， m>n﹥0,m,n一奇一偶
试一试:
已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC
的长为 5 或 77 .
B
B
4
4
C3 A
A3 C
应用知y=识0回归生活
受台风威马逊的影响，一棵树在离地面4米处断裂，树 的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
解：由题可得
八年级数学(华教版)上册课件-【1.直角三角形三边的关系】
解：如图所示，过点B作AD的垂线，垂足为C， 则△ABC为直角三角形，且AC=8-3+1=6，BC=6+2=8， 所以AB= 62 82 =10(千米).
答：登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离 是10千米.
C
课堂小结
勾股定理
定理 验证 应用
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方
用拼图法验证勾股定理
思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的 三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？
AR
P CQ B
那么在一般的直角三 角形中，两直角边的 平方和是否等于斜边 的平方呢？
SP+SQ=SR 直角三角形ABC三边有什么关系？
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC中，两直角边的 平方和等于斜边的平方.
华东师大版·八年级上册
第14章 勾股定理
1.直角三角形 三边的关系
新课导入
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002) 吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋 转的纸风车的图案，它就是大会的会标.
会标采用了1700多 年前中国古代数学 家赵爽用来证明勾
股定理的弦图.
边为c，那么一定有
a2+b2=c2，
a
c
这种关系我们称为勾股定理.
b
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦.“弦图”最早是由三国时期的数 学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古 代的数学成就.
勾 股
勾 a
华师大版八年级数学上册《14.1.1直角三角形三边的关系》课件
▪1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” ▪2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 ▪5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
？
根据勾股定理可得 ＡＢ＝ AC2－ＢＣ2
2.16
＝ 5.412 2.162 ≈４.９６（米）．
答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米．
一个3m长的梯 A 子AB,斜靠在一竖 直的墙AO上,这时 C AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m,那么 O 梯子底端B也外移 0.5m吗?
练习
1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边 形ＡＢＣD的面积与周长．
2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按 照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米， 又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折 向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏， 问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?
AC＝１６０米， ＢＣ＝１２８米， 根据勾股定理可得
ＡＢ＝ AC2 BC2
＝ 1602 1282 ＝96（米）． 答： 从点A穿过湖到点B有96米．
24m
9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
华师大版数学八年级上册14.1.1直角三角形的三边关系 课件(共16张PPT)
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为 (b a)2 4 1 ab
2
c a
b
∵ c2= (b a)2 4 1 ab
2
=b2-2ab+a2+ 2ab
c a
b
=a2+b2
c a
b
c a
我国家国之是一。最早早在了三千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一一。早。在早三千在多三年千前，多年前，周 朝国家数之学一家。早商在高三千就多提年出前，，将一根直 尺国家折之成一一。早个在直三千角多，年如前，果勾等于三， 股国家等之于一四。早，在那三千么多弦年就前，等于五，即 “国家勾之三一、。早股在四三千、多弦年五前，”，它被记 载国家于之我一国。早古在代三千著多名年的前，数学著作 《国家周之髀一算。早经在》三千中多。年前
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么 a2+b2=c2
a
c
b
即 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
弦 勾
股
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
；
②若c= 10，b = 8，则a = .
③若a=2，c=6，则b=
。
2、若一个直角三角形的三边长分别
为3，4， x，则x＝
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勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦
c
勾a ┏
股
b
a2+b2=c2
例 如图，为了求出位于湖两岸的两点A、 B之间的距离， 一个观测者在点C设桩，使三角形ＡＢＣ恰好为直角三角 形．通过测量，得到AC长160米，ＢＣ长128米．问从点A 穿过湖到点B有多远?
解
如图14.1.9，在直角三角形ＡＢＣ中， AC＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，
又可以表示为
2
(b a )
2
。
1 4 ab 2
．
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股 定理的结论．
c
2
(b a ) =
2
1 4 ab 2
a b c
2 2
2
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦 . 图 1-1 称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.
2002年在北 京召开的国际数学 家大会（ＩＣＭ２ ００２）。在那个 大会上，到处可以 看到一个简洁优美 的图案在流动，那 个远看像旋转的纸 风车的图案就是大 会的会标．
那是采用了1700多年前中国古代数学 家赵爽用来证明勾股定理的弦图．
c 1. 直角三角形三边的关系
a
b
测量你的两块直角三角尺 的三边的长度，并将各边的长 度填入下表：
正方形P的面积＝
9
平方厘米；
正方形Q的面积＝ 16 平方厘米；
正方形R的面积＝ 25 1 平方厘米．
R 3 4 4 1 2 正方形P、 Q、 R的面积之间的关系 25 P+ Q= R 是 ．
（每一小方格表示1平方厘米）
直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间 存在关系 AC2+BC2=AB2 ．
分“割”成若干个直角边 为整数的三角形。 在一般的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方也成立！
52+122= 325 252=
25
12
5
在方格图中， 325 成立 用三角尺画出两条 直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形， 然后用刻度尺量出 斜边的长，并验证 关系“两直角边的 平方和等于斜边的 平方”对这个直角 三角形是否成立．
2018年12月12日星期三29
SUCCESS
2019 THANK YOU
2018年12月12日星期三30
SUCCESS
用四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成 如图所示的图形．
(a+b) 大正方形的面积可以表示为 ab 2 c 又可以表示为 4 ． 2 对比两种表示方法，看看能不能
得到勾股定理的结论．
2
。
(a+b)2= 2 c
ab 2 4 C 2
2 a+ 2 b
=
用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成如图 所示的图形． 大正方形的面积可以表示为 c
勾股定理： 对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c， 那么一定有a2＋b2＝c2。
b c
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a
勾股定理揭示了直角三角
形三边之间的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
c a
┏
b
a2+b2=c2
做一做：
A
625 P
225 P的面积 =______________ 25 AB=__________ B 20 BC=__________
?
练习
1. 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边 形ＡＢＣD的面积与周长．
2. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按 照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米， 又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折 向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏， 问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米?
C
总统证法
a
D
c c
b
A
b
E
a
B
∵ S梯 形 AB CD= a+b 2 2 1 = (a2+2ab+b2) 2 又∵S梯 形 AB CD=S AED +S EBC+S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2) 2 2 2 2 比较上面二式得 c2=a2+b2
1
CED
2019 POWERPOINT
三角尺直角边a、直角边b、斜边c关系
三角尺 1 2
直角边a
直角边b
斜边c
关系
请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系
。
P A
C
Q B
R
P 、 Q 、 R 的面积有什么关系？
P+Q=R
直角三角形三边有什么关系？
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
S3
S4
S2 S1 S5
S6
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
S7
3.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12
x
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，
ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离ＡＢ．（精确到0.01米）
弦 勾
股
图1-1
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
解 在Rt△ＡＢＣ中， ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米，
？
2.16
根据勾股定理可得 ＡＢ＝ AC2 －ＢＣ 2 ＝ ５４１ . 2 －２１６ .
2
≈４.９６（米）．
答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米．
一个3m长的梯 子AB,斜靠在一竖 直的墙AO上,这时 AO的距离为2.5m, 如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m,那么 梯子底端B也外移 0.5m吗?
根据勾股定理可得
ＡＢ＝ ＝
AC 2 BC 2
1602 1282 ＝96（米）．
答： 从点A穿过湖到点B有96米．
24m
9m
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
AC=__________ 15
C
400
6 2
4 2 X=______
x 62 22 32 4 2
x
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144
X=81+144 X=15
2 2
z
169
Y=169-144 Y=5
625
576
Z=625-576 Z=7
2
①
②
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求 S5、S6、S7的值
A C
O
B
D
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中， ＡＢ＝c， ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B ＝90°． （1） 已知a＝6， b＝10， 求c； （2） 已知a＝24， c＝25， 求b． 2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米， 那么这个三角形的周长是多少厘米? 3.小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现 屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈 告诉他: “我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角 线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电 视机是多少英寸的?”
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。