差分方程模型习题+答案

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微分差分方程习题答案(上大)

第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．一阶)1( 二阶)2( 一阶)3( 2. (1) 不是 (2) 是 (3) 是 (4) 是3．25)1(22=-x y x xe y 2)2(= x y c o s)3(-= 4．2)1(x y = 02)2(=+'x y y习题7－1（B ）1．1)1()1(22=+'y y 02)2(=-'+''xy y y x 2．)()1(2为比例系数k TPk dT dP = )()2(21为比例系数k v k t k dtdvm-= 习题7－2（A ）1．xC e y =)1( C x x y ++=325121)2( )1(ln 1)3(x a a C y --+=C x y =+-1010)4( C x y +=a r c s i n a r c s in )5( C x y +--=2212)6( 34121)21()7(x y C -=-C y x =t a n t a n)8( 3)1(t a n )9(-=x e C y C e e y x =-+)1()1()10(2．)1(21)1(2+=xy e e 0c o s 2c o s )2(=-y x 2tan )3(x ey = )1(ln 21)1(ln 2)4(2e e y x +-++=6.3=xy231.4x y =习题7－2（B ）)(10,64.90305.0.123s h t 水流完所需时间约为+-=)/(3.26972500.2s cm v ≈=t e R R 000433.00.3-=t et v 52ln 6)(.4-=t k mt k me v e g kmv --+-=0)1(.51)1(.6--=m axb y31.7xe C y x-=习题7－3（A ）1．1)1(+=x C e x y 222)2(Cx x y y =-+)(ln )3(222Cx x y =2)ln()4(x C x y = )0()5(>=x e x y x C xy sh C x 32)6(= 2．x xyln sin)1(= 2)2(22=++y x y3． C xy =4．C y x y =++22习题7－3（B ）1．331)1(yCy x =- C ye x x y=+2)2( 223)3(x y y -= 1)4(22=++yx y x2*． Cy x y x C x y x y Cx yx y C x y x y =--++=-++-=-+-+=-+--)2(ln 23)4()1()1()3(12arctan])1(4ln[)2()32()34()1(52222 习题7－4（A ）1．)()1(C x e y x +=- )()2(s i n C x e y x+=-)(1)3(2x x e Ce xy +=x x C y 2c o s 2c o s)4(-= 1sin )5(2-+=x Cx y )2()2()6(3-+-=x C x y 2．xxy cos 1)1(--=π xxy cos )2(=15sin )3(cos =+x e x y )4(32)4(3θρ--=e )1(2)5(1132--=xe x y3．)1(2--=x e y x 4．,)1()()2(,)()1(kt e a a t y a y k dtdy--+=--= 量的相对忘记速率。

数学建模之差分方程

差分方程模型①建立差分方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。

一阶常系数线性差分方程的一般形式为1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）②求解一阶常系数齐次线性差分方程10,(0)t t y ay a +-=≠（2）常用的两种解法1）迭代法假设0y 已知，则有2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======一般有0(0,1,2,).t t y a y t ==10t t y ay +-=（3）2）特征方程法假设(0)t Y λλ=≠为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程10(0),t t a λλλ+-= ≠解得特征根：.a λ=则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)例题：设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？解：设每月应付x 元，月利率为12r ，则第一个月应付利息为 1.12224r a ra y =⨯=第二月应付利息为2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭此方程为一阶常系数非线性差分方程。

其相应的特征方程为(1)012r λ-+= 特征根为112r + 则得到通解为1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为任意常数). 解得特解为t y x *=所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当112224r a ra y =⨯=时，解得24112ra x c r -=+。

所以解得满足初始条件的特解为112411211211.2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为11212121212121221112nnn I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，平均每月需要付12121212121112nna r rr⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭元。

数学模型(差分方程)

定义为
X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k
k 0 k

其中z是复变量，因此级数 x(k ) z 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X ( z)
的Z反变换记作 x(k ) Z 1[ X ( z)]
(k )

1.几个常用离散函数的变换
一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k ) 0 (n k , k 1,) (1)
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 ( n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3x 2 5 x 2 0
x 其根为：1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
令l k N
特别地 Z[ x(k 1)] z[ X ( z) X (0)] 证： Z[ x(k N )] x(k N ) z
k 0 N
l l 0
k

x(l ) z
l N
l N
z
N
=z [ x(l ) z x(l ) z l ] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
差分方程的通解为：
t
mi
重根，则该
h(n) h1 (n) h2 (n) ht (n) hi (n)

11 第十一章差分方程习题详解

λ − 2 = 0，
特征根为 λ = 2 ．故所求通解为
2
y x = C 2 x ( C 为任意常数).
(2) 方程对应的齐次方程 y x +1 − y x = 0 的特征方程为
λ −1 = 0 ，
其特征根为 λ = 1 .所以齐次方程的通解为 Yx = C ( C 为任意常数). 由于 1 是特征方程的根，所以方程的特解具有形式 y x = bx ，代入方程，并比较两端同
=1
所以，函数 y t = C1 + C 2 2 − t 是差分方程的通解．
t
(2) 由初始条件 y0 = 0 ， y1 = 3 ，得
⎧C1 + C2 = 0 ， ⎨ ⎩C1 + 2C2 − 1 = 3
解之得， C1 = −4 ， C2 = 4 ．故所求特解为 y t = −4 + 2
t+2
−t ．
解
(1) 方程 Δy x − 3 y x = 0 改写为 y x +1 − 4 y x = 0 ，它的特征方程为
λ − 4 = 0，
特征根为 λ = 4 ．故所求通解为
yx = C 4 x ( C 为任意常数).
由 y 0 = 1 ，得 C = 1 ，故原方程满足初始条件的特解为
yx = 4 x .
x
4．已知 y x = e 是方程 y x +1 + ay x −1 = 2e 的一个解，求 a ．解因为 y x = e 是方程 y x +1 + ay x −1 = 2e 的一个解，所以 e
x x
x +1
+ ae x −1 = 2e x ，
即 e + a = 2e ，故 a = e( 2 − e) ．

差分方程练习题

t
1 5 (4) y t 1 y t . 2 2 7. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：
(1) yt +1- yt =10，且 y0 =3； (2) yt +1-2 yt =2t ，且 y0 =2. 8. 求下列二阶常系数线性齐次差分方程的通解或在给定初始条件下的特解：
(3) yt ln(t 1) ln t ,
2 yt (yt ) ln(t 1) ln t ln(t 2) 2ln(t 1) ln t
(4) yt t 1 3t 1 t 2 3t 3t 2t 2 6t 3 ,
yt 3 1 0 t .

t
(2) 原方程的通解为 yt C 2t t 2t 1 又有初始条件 y0 =2 ，可知 C 2 , 故特解为
yt 2t 1 t 2t 1 .
8. （1） yt C1 3t C2 2 .
t
（1） yt 2 yt 1 6 yt 0 （2） yt 2 6 yt 1 9 yt 0 （3） yt 2 13 yt 1 12 yt 0 ； y0 1, y1 6 9. 求下列二阶常系数线性非齐次差分方程的通解：（1）yx +2 3yx +1 + 2yx = 2x （2） yt 2 yt 1 6 yt 6 （3） yt 2 6 yt 1 9 yt 8 答案 1. 解：(1) yt ［3 t 1 t 1 ］ 3t 2 t 3 3t 2 +3t 2 ,
yt 9 6t 3t 2 C 2t .
* *
3 5 ( )t ，解得 A . (4) 由 a 1 ，k 1，b 5 ，令原方程有一个特解为 y*t A· 5 2 2 2

差分方程模型

设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ，于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x

第三章差分方程模型

例每月存入3000元，存期５年（年利率3.5%）累计存入金额180,000元
零存整取
计算器
到期本息总额196,012.50元
勤俭节约、科学理财
单利和复利
按单利计算的业务——零存整取
a~每月存入金额, r ~月利率, n ~ 存期(月) xk ~存入k个月后的本息 x1=a+ar xk= xk-1+a+akr, k＝2,3,…, n xn= na+ar(1+2+…+n)
xk 2 a1xk 1 a2 xk b, x0 , x1已知，k 0,1,2,
• 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
•
k k 求解公式 xk c11 c22
b , k 0,1,2, 1 a1 a2
1, 2～特征根
2 a1 a2 0 ~ 特征方程
=1/8000(kg/kcal)
~代谢系数(因人而异).
w(k 1) w(k ) c(k ) w(k ), k 1,2,
由和吸收热量 c(k)决定体重w(k)的变化规律.
减肥计划的提出
某人身高1.70m, 体重100kg, BMI高达34.6. 目前每周吸收20000kcal热量,体重长期未变.
建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型 x0 ~贷款总额 r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额 xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n
k=n递推至k=１
n ( 1 r ) 1 n n n1 x ( 1 r ) a xn= x0(1+r) a[1+(1+r)+…+(1+r) ] 0 r

数学建模第五版姜启源课后题答案第6章代码

数学建模第五版姜启源课后题答案第6章代码
第六章代数方程与差分方程模型代码
概述差分方程的类型
6.1贷款购房
6.2管住嘴迈开腿
6.3动物的繁殖与收获
6.4中国人口增长预测
一、差分方程的基本概念
1.差分的定义
定义规定t只取非负整数，设函数y，表示变量y在t点的取值y=f（t），t=0，?，?，，土n，.
称
Ay，=y1-y，=f（t+1）-f（t）为函数y，的一阶差分；称A2y，=△（Ay，）=Ay1-Ay.
=（y42-y21）-（y21-y）
=y42-2y1+y
依此类推，函数的n阶差分定义为：A"y，=△（A-1y）
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。

例1求△（t2），△2（t2），A3（t2）.
解设y，=t2，则Ay，=A（t2）=（t+1）2-t2=2t+1，
△2（y，）=A2（t2）=△（Ay，）=△（2t+1）
=（2（t+1）+1）-（2t+1）
=2，A2（y，）=△（A2y，）
=△（2）=2-2=0.
2.差分方程
例设某种商品t时期的供给量S，与需求量D都是这一时期价格P，的线性函数：S，=-a+b（a，b>0），D=c-d（c，d>0）.
则t时期的价格P，由t-1时期的价格P.1与供给量及需求量之差S.a-D.按以下关系确定P=P1-2（S1-D-1）（a为常数），即P-[1-2（b+d）JP，=a（a+c）.。

微分差分方程习题

微分方程和差分方程作业题参考答案一、微分方程初值问题（1）用四阶Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,3]．（2）用ode45 方法常微分方程初值问题的数值解(近似解)，然后利用画图来比较两者间的差异．解（1）代码clearf=sym('y-exp(x)*cos(x)');a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1;szj=[x,y];for i=1:n-1 % i=1:nl1=subs(f,{'x','y'},{x,y});l2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2});l3=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2});l4=subs(f,{'x','y'},{x+h,y+l3*h});y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h;szj=[szj;x,y];endplot(szj(:,1),szj(:,2), 'dg-');（2）代码fun=inline('y-exp(x)*cos(x)','x','y');[x,y]=ode45(fun,[0,3],1)两个图放在一起比较如下：结论：通过对这个微分方程的两种不同方法的求解，从图形中可以看出，两种方法所得到的数值解大致重合，因此可以得出对于这个微分方程，用这两种方法的效果大致一样。

二、设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？解：分析和建模设t时刻（单位为分钟）容器中每升盐水中所含净盐的百分比为x(t),考虑时间区间],[tt t∆+内容器中净盐量的变化等于注入清+，并利用质量守恒定律；]t t∆,[t水所含的净盐量减去放出盐水中的净盐量。

微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节)

微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节)题10.1(A)1.指出下列微分方程的阶数：1) x(y')-2yy'+x=；2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x；3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S；4) 2d^2S/dt^2+S=0.解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。

2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）；2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe；3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）；4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。

解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。

3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。

解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x-C2xe^-x。

将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以C1=2C2.所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。

将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为y=(4+2x)e^-x。

4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。

解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。

数学建模习题及答案课后习题

数学建模习题及答案课后习题第⼀部分课后习题1.学校共1000名学⽣，235⼈住在A宿舍，333⼈住在B宿舍，432⼈住在C宿舍。

学⽣们要组织⼀个10⼈的委员会，试⽤下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按⽐例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给⼩数部分较⼤者。

（2）节中的Q值⽅法。

（3）d’Hondt⽅法：将A，B，C各宿舍的⼈数⽤正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从⼤到⼩取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C⾏有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

你能解释这种⽅法的道理吗。

如果委员会从10⼈增⾄15⼈，⽤以上3种⽅法再分配名额。

将3种⽅法两次分配的结果列表⽐较。

（4）你能提出其他的⽅法吗。

⽤你的⽅法分配上⾯的名额。

2.在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。

⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的元，⼆者单位重量的价格⽐是：1。

试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减少的程度变⼩。

解释实际意义是什么。

3.⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将调上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的⽅法。

假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的最⼤周长）：⾝长（cm）重量76548211627374821389652454（g）胸围（cm）先⽤机理分析建⽴模型，再⽤数据确定参数4.⽤宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹⾓应多⼤（如图）。

若知道管道长度，需⽤多长布条（可考虑两端的影响）。

如果管道是其他形状呢。

差分方程模型习题+答案

1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%，他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程：1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1)每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。

(2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得：01kkk a A A a br-=-若0n A =，01nnA rab a =-(3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，24002401A ra b a=-利用 MA TLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close allclcx0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)';y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1'])function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)-b; end(2)用MA TLAB 计算：A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240思考与深入：(2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完(3) A0 = 1.5409e+005结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。

2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。

建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。

则第k+1个月末欠银行的钱为x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2…在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。

第10章微分方程与差分方程习题详解(4-7节)

习题* 10.4(A)1. 计算下列函数的二阶差分.(1) 232x x y -=； (2) x e y 3=； (3) xx y 2)1(2++=.解 (1)32322[2(1)(1)](2)641x y x x x x x x ∆=+-+--=++， 22()(641)1210x x y y x x x ∆=∆∆=∆++=+.(2) 3(1)3x x x y ee +∆=-， 23(1)33(11)3(1)3(1)3332()()[]()(1)x x x x x x x x x y y e e e e e e e e +++++∆=∆∆=∆-=---=-.(3) x x x x x x x x y 2232]2)1[[(]2)11[(12)1(2+++=++-+++=∆++， 21()(2322)22x x x x x y y x +∆=∆∆=∆+++=+.2. 证明：xx x x x x x x x x y z z y y z z y z y ∆+∆=∆+∆=⋅∆++11)(1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y证明略. 3. 指出下列差分方程的阶数.(1) x y y x x sin 51=-+； (2) x y y x x =+++122；(3) 013=++++x x x y y y ； (4) x x x y y y =-++12.解 (1) 1阶；(2) 1阶； (3) 3阶； (4) 2阶. 4. 设)1(x y ，)2(x y 分别是差分方程)(11x f ay y x x =++，)(21x f ay y x x =++的解. 试验证：)2()1(x x y y +是差分方程)()(211x f x f ay y x x +=++的解.证明略.习题*10.4(B)1.试验证：x x x C C y )2(321-+=（1C ，2C 为任意常数）是差分方0612=--++x x x y y y 的解，并求满足初始条件00=y ，11=y 的特解.解 222123(2)x x x y C C +++=+-，111123(2)x x x y C C +++=+-，代入差分方程得22112112121211122263(2)[3(2)]6[3(2)]=3[936](2)[642]x x x x x x x x x x x y y y C C C C C C C C C C C C ++++++--=+--+--+---+--++=由00=y ，31=y 得 ⎩⎨⎧=-=+12302121C C C C ，解之得 1211,55C C ==-.故所求特解为 3(2)55x xx y -=-. 2. 试验证：x C C y x x -+=221（1C ，2C 为任意常数）是差分方12312=+-++x x x y y y 的解，并求满足初始条件00=y ，31=y 的特解.解 22122(2)x x y C C x ++=+-+，11122(1)x x y C C x ++=+-+代入差分方程得212322(462)(2332)1x x x x y y y C x x x ++-+=-++--++-=由00=y ，31=y ，有⎩⎨⎧=+=+4202121C C C C ，解之得 124,4C C =-=.所以特解为442x x y x =-+⨯-.3. 已知x x e y =是方程x x x e ay y 211=+-+的一个解，求a .解因为x x e y =是方程x x x e ay y 211=+-+的一个解，所以x x x e ae e 211=+-+，即e a e 22=+，故)1(2e e a -=.4. 已知差分方程12312=+-++t t t y y y ，(1) 证明函数t C C y t t -+=221（1C ，2C 为任意常数）是差分方程的通解；(2) 当00=y ，31=y 时，求差分方程的特解.解 (1)因为)]1(2[3)2(22312122112+-+-+-+=+-++++t C C t C C y y y t t t t t 1)2(221=-++t C C t所以，函数t C C y t t -+=221是差分方程的通解.(2) 由初始条件00=y ，31=y ，得⎩⎨⎧=-+=+312 02121C C C C ，解之得，41-=C ，42=C . 故所求特解为 t y t t -+-=+224.习题*10.5(A)1. 求下列差分方程的通解.(1) 031=-+x x y y ； (2) 125-=x x y y ；(3) 51=-+x x y y ； (4) 2231=++x x y y .解（1）原方程的特征方程为30λ-=，特征根为3λ=.故所求通解为3x x y C =（C 为任意常数）.(2) 原方程的特征方程为520λ-=，特征根为25λ=.故所求通解为 25xx y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. (3) 原方程对应的齐次方程的通解为 x Y C =（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y bx =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 5b =.所以原方程的一个特解为*5x y x =，故原方程的通解为5x y C x =+.(4) 原方程对应的齐次方程的通解为23xx Y C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *x y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 25A =. 所以原方程的一个特解为 *25x y =. 故原方程的通解为 *2235x x x x y Y y C ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭. 2．求下列差分方程满足给定初始条件的特解.(1) 0321=-+x x y y ，10=y ； (2) 101=-+x x y y ，20=y ；(3) x y y x x =++51，30=y ； (4) x y y x x +=-+221，40=y .解（1）原方程的特征方程为230λ-=，特征根为32λ=.故所求通解为 32xx y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由10=y ，得1=C ，故原方程满足初始条件的特解为 32xx y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (2) 原方程对应的齐次方程的通解为 x Y C =（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得 10A =.所以原方程的一个特解为*10x y x =.故原方程的通解为*10x x x y Y y C x =+=+.由02y =，得2C =，故原方程满足初始条件的特解为102x y x =+.(3) 原方程对应的齐次方程的通解为(5)x x Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax B =+代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得11,636A B ==- 所以原方程的一个特解为*11636x y x =-. 故原方程的通解为 *11636(5)x x x x y Y y C x =+=--+. 由03y =，得10936C =，故原方程满足初始条件的特解为 *10911(5)36636x x x x y Y y x =+=-+-. (4) 原方程对应的齐次方程的通解为12xx Y C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式： *x y Ax B =+代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得1,0A B ==.所以原方程的一个特解为*x y x =.故原方程的通解为*12xx x x Y y x y C ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由04y =，得4C =.故原方程满足初始条件的特解为*142x x x x x y Y y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.3．设a ，b 为非零常数且01≠+a ，验证：通过变换ab y z x x +-=1可将非齐次方程 b ay y x x =++1化为齐次方程，并求解x y .解由a by z x x +-=1得1x x by z a =++，所以原式化为b a ba az ab z x x =++++++111，即10x x z az ++=.所以()xx z C a =-.故解为a ba C y x x ++-=1)(.习题*10.5(B)1. 求下列差分方程的解.(1) 0631=-++x y y x x ； (2) xx x y y 3421=++；(3) xx x y y 21=++，20=y ； (4) x y y x x πsin 341=++，10=y .解 (1) 原方程对应的齐次方程的通解为(3)x x Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax B =+，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得46040A AB -=⎧⎨+=⎩，解之得32A =，38B =-.所以原方程的一个特解为*3328x y x =-.故原方程的通解为*33(3)28x x x x y Y y C x =+=-+-. (2) 原方程对应齐次方程的特征方程为240λ+=特征根为2λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(2)x x Y C =-令 3x x x y z =，则有1641x x z z ++=该方程的一个特解为 *110x z =.故原方程的一个特解为 **13310x x x x y z ==⨯ 所以原方程的通解为 *1(2)310x x x x x y Y y C =+=-+. (3) 原方程对应齐次方程的特征方程为10λ+=.特征根为1λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(1)x x Y C =-.令2x x x y z =，则有121x x z z ++=.该方程的一个特解为 *13x z =.故原方程的一个特解为 **1223x x x x y z ==⨯. 所以原方程的通解为*1(1)23x x x x x y Y y C =+=-+⨯. 由02y =，得53C =，故原方程满足初始条件的特解为 *51(1)233x x x x x y Y y =+=-+⨯. (4) 原方程对应齐次方程的特征方程为40λ+=.特征根为4λ=-.所以原方程对应齐次方程的通解为(4)x x Y C =-.令cos sin x y A x B x ππ=+，则有0A =，1B =.故原方程的一个特解为*sin x y x π=.所以原方程的通解为*(4)sin x x x x y Y y C x π=+=-+.由01y =，得1C =，故原方程满足初始条件的特解为(4)sin x x y x π=-+.2．设某产品在时期t 的价格为t P ，总供给量为t S ，总需求量为t D .并且有t t P S 21+=，145--=t t P D ，t t D S =（1,2,t =）.(1) 求证：由上述关系可得到差分方程 221=++t t P P ，(2) 已知0P 时，求出t P .证明（1）由t t D S =，可知11t t S D ++=，即 11254t t P P ++=-，故 221=++t t P P .解（2）原方程对应的齐次方程的通解为(2)t t Y C =-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *t y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数，可得：23A =. 所以原方程的一个特解为 *23t y =. 故原方程的通解为*2(2)3t t t t y Y y C =+=-+. 由0P ，得023C P =-.故原方程满足初始条件的特解为 *022()(2)33t t t t y Y y P =+=--+. 习题*10.6(A)1.求下列二阶常系数齐次线性方程的通解或在给定的初始条件下的特解.(1) 06512=+-++x x x y y y ； (2) 0251012=++++x x x y y y ； (3) 0912=++x x y y ； (4) 12340x x x y y y ----=. 解（1）原方程的特征方程为2560λλ-+=.特征根为122,3λλ==.故所求通解为1223x x x y C C =+.(2) 原方程的特征方程为210250λλ++=.特征根为125λλ==-.故所求通解为12()(5)x x y C C x =+-.(3) 原方程的特征方程为2109λ+=. 特征根为1,213i λ=±.故所求通解为 121cos sin 322x x y C x C x ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4) 原方程的特征方程为 2340λλ--=.特征根为14λ=, 21λ=-.故所求通解为()1241xx x y C C =+-.2.求下列二阶常系数齐次线性方程的通解或在给定的初始条件下的特解.(1)54312=-+++x x x y y y ； (2)84412=+-++x x x y y y ；(3)204623212++=++++x x y y y x x x ；(4)x x x x y y y 532312⨯=+-++；(5)x y y y x x x =-+++4312； (6)42=∆x y ，30=y ，81=y ； (7)12212=-+++x x x y y y ，00=y ，01=y .解 (1) 原方程对应的齐次方程的通解为()124xx y C C =+-（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式 *x y Ax =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：1A =.所以原方程的一个特解为*x y x =.故原方程的通解为()124x x y C C x =+-+.(2) 原方程对应的齐次方程的通解为121122x x x y C C x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C 为任意常数）. 由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式： *x y A =，代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：8A =.所以原方程的一个特解为：*8x y =.故原方程的通解为1211822x xx y C C x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3) 原方程对应的齐次方程的通解为 ()()1212x xx y C C =-+-（C 为任意常数）.由于1不是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax Bx C =++. 代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：1A =，1B =-，3C =.所以原方程的一个特解为*23x y x x =-+.故原方程的通解为()()212123x xx y C C x x =-+-+-+.(4) 原方程对应的齐次方程的通解为 122x x y C C =+（C 为任意常数）.令 5x x x y z =，则有21251523x x z z z ++-+=.该方程的一个特解为 *14x z =.故原方程的一个特解为 **1554x x x xy z ==⨯. 所以原方程的通解为121254x x x y C C =++⨯.习题* 10.6(B)1.求下列差分方程的解.(1) 01212=-+++x x x y y y ，10=y ，101=y . (2) x y y y x x x =-+++4312；(3) 42=∆x y ，30=y ，81=y ；(4) 12212=-+++x x x y y y ，00=y ，01=y .解 (1) 原方程的特征方程为2120λλ+-=.特征根为13λ=, 24λ=-.故所求通解为()1234xx x y C C =+-.由10=y ，101=y 得122,1C C ==-.故原方程满足初始条件的特解为()234xx x y =⨯--.(2) 原方程对应的齐次方程的通解为()124xx y C C =+-（C 为任意常数）.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax Bx =+.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得110A =，750B =-. 所以原方程的一个特解为*2171050x y x x =-.故原方程的通解为()2121741050xx y C C x x =+-+-. (3) 由 42=∆x y ，即2124x x x y y y ++-+=.对应的齐次方程的通解为12x y C C x =+.由于1是特征方程的重根，所以原方程的特解具有形式*2x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：2A =.所以原方程的一个特解为*22x y x =.故原方程的通解为2122x y C C x x =++.由30=y ，81=y ，得123C C ==，原方程初值问题的解为：2332x y x x =++.(4) 对应的齐次方程的通解为12(2)x x y C C =+-.由于1是特征方程的根，所以原方程的特解具有形式*x y Ax =.代入原方程，并比较两端同次幂的系数可得：4A =.所以原方程的一个特解为*4x y x =.故原方程的通解为12(2)4x x y C C x =+-+.由00=y ，01=y ，得1244,33C C =-=. 原方程初值问题的解为44(2)433x x y x =-+-+2. 已知a x =1，b x =2，212nn n x x x +=++ )3, 2, ,1(⋅⋅⋅=n ，求通项n x 以及n n x ∞→lim .解将212nn n x x x +=++改写成 0212112=--++n n n x x x .该方程为二阶常系数齐次线性差分方程. 它的特征方程为021212=--λλ.特征根为：11=λ，212-=λ. 故齐次线性差分方程的通解为 nn C C x ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2121(1C ，2C 为待定常数).由初始条件a x =1，b x =2，代入上述通解，得到⎪⎩⎪⎨⎧=+=-bC C aC C 21214121，解之得 321b a C +=，)(342a b C -=. 故所给数列的通项 221332-⎪⎭⎫⎝⎛--++=n n a b b a x ，且32lim ba x n n +=∞→. 习题*10.7(A)1. 已知某商品的需求价格弹性为(ln 1)p dQP P dP=-+，且当1=P 时，需求量1=Q . (1) 求商品对价格的需求函数；(2) 当+∞→P 时，需求是否趋于稳定？解 (1) (ln 1)pdQ P P dP =-+，ln (ln 1)P P dQ e P dP =-+， ln (ln )P P dQ e d P P =-.所以 ln P PP Q eC C P =-+=-.由于当1=P 时，需求量1=Q .故2C =，即2P Q P =-.(2) 当+∞→P ，0lim =+∞→Q P ，故没有需求.2. 假设某产品的销售量为)(t x 是时间t 的函数.如果该商品销售量对时间t 增长速度dtdx 与销售量)(t x 及销售量接近预饱和水平的程度()(t x N -)之积成正比（N 为饱和水平，0>k 为比例常数），且当0=t 时，N x 41=. (1) 求销售量)(t x ； (2) 求)(t x 增长最快的时刻T . 解 (1)据题意得初值问题)(x N kx dt dx -=，1(0)4x N =. 分离变量得kdt x N x dx=-)(，两边积分得Nkt xCe N x=-.解之得： 1NktNktCNe x Ce =+.由1(0)4x N =，得13C =. 所以销售量为331Nkt Nkt NktNe Nx e e -==++. (2) ()22331NktNkt dx N ke dt e ---=+， ()()3223231331Nkt NktNkt N k e e d x dt e -----=+. 令220d x dt =，得ln 3T Nk=.所以这个时候)(t x 增长最快. 3. 已知某商品的需求量Q 与供给量S 都是价格P 的函数：2)(P aP Q Q ==，bP P S S ==)(.其中0>a ，0>b 为常数，价格P 是时间t 的函数，且满足)]()([P S P Q k dtdP-= （k 为正常数）. 假定当0=t 时，价格1=P .试求： (1) 需求量等与供给量的均衡价格e P ；(2) 价格函数)(t P ；(3) )(lim t P t +∞→.解（1）需求与供给量相等时有)()(2P S bP P aP D ===故均衡价格为 13e a p b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）由条件有)]()([P S P Q k dtdP-=32()kb a p p b =-.分离变量得233e p dp kbdt p p =--，积分得 333kbt e p p Ce -=+.由 p (0)=1，得31e p C -=.故价格函数为13333()(1)kbte e p t p p e-⎡⎤=+-⎣⎦.（3）对函数p(t)求极限得13333lim ()lim (1)kbte e e t t p t p p ep -→+∞→+∞⎡⎤=+-=⎣⎦.其经济意义为：在所给方程约束下，价格函数最终趋于均衡价格.4. 某林区实行封山育林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻t 木材的变化率与当时的木材数成正比.假设10年时这个林区的木材为20万立方米.若规定，该林区的木材量达到40万立方米时才可砍伐，问至少多年后才能砍伐？解所求函数为 ()p p t =.所满足的微分方程为()dpkp t dt=. 该方程的通解为：()kt p t Ce =由(0)10p =，得C ＝10.由，(10)20p =得1ln 210k =. 故 ln 21010t p e=.当40p =的时候，可解得20p =.也就是说20年后才能砍伐.5. 在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入Y ，国民储蓄S 和投资I 均为时间t 的函数，且在任一时刻t ，储蓄额)(t S 为国民收入)(t Y 的101倍，投资额)(t I 是国民收入增长率dt dY 的31.0=t 时，国民收入为5（亿元）.设在任一时刻t 的储蓄额全部用于投资，试求国民收入)(t Y .解由题意知1()()101()3()()S t Y t dY I t dt S t I t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩. 所以310dY Y dt =，解之得310t Y Ce =.再由0=t 时，国民收入为5（亿元），可得5C =，所以国民收入310()5t Y t e=.6. 设总人数N 是不变的，t 时刻得某种传染病的人数为)(t x ，设t 时刻)(t x 对时间的变化率与当时未得病的人数成正比，0)0(x x =（比例常数0>r ，表示传染给正常人的传染率）且00)(x t x =.求)(lim t x t +∞→，并对所求结果予以解释.解由题意可得下面的微分方程()dxr N x dt=-，0)0(x x =. 用分离变量法，可得()rt x t N Ce -=-.再由0)0(x x =，得0C N x =-.故方程的解为0()()rt x t N N x e -=--.当t →+∞的时候，()x t N =.这就意味着当不采取预防措施的话，所有人都会得病. 7.（存款模型）设t S 为t 年末存款总额，r 为年利率，t t t rS S S +=+1，且初始存款为0S ，求t 年末的本利和.解由t t t rS S S +=+1，得1(1)0t t S r S +-+=.对应的特征方程是(1)0r λ-+=，特征根1r λ=+.于是原来方程的解为(1)t t S C r =+.将初始条件代入，得0S C =，所以方程的特解为0(1)tt S S r =+.t 年末的本利和就是0(1)t t S S r =+.习题*10.7(B)1. 假设某渔场鱼量的自然增长服从Logistic 规律：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx t x 1d d ，其中，r 为固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量. 已知渔场的初始鱼量为0)0(x x =. 试求)(t x 及)(lim t x t +∞→.解微分方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx t x 1d d 它是一个可分离变量的一阶微分方程. 分离变量，得t r x N x xN d )(d =-，上式两端积分，得C rt x N x ln )ln(ln +-=-+-，即rt Ce x xN -=-. 由初始条件0)0(x x =，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10x NC .代入上式，得rt e x N N t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(0.N t x t =+∞→)(lim .2. 设)(t S 为t 时刻的储蓄，)(t I 为t 时刻的投资，)(t Y 为t 时刻的国民收入. 收入的一部分作为储蓄，收入的增长率与投资成正比，且储蓄全部用于投资. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====)0( )()(d d )()()(0Y Y t I t S t Y t I t Y t S βα，其中α，β为正常数，0Y 为初期国民收入，00>Y . 该模型称为多马(E.D.Domer)经济增长模型.试求)(t Y 、)(t S 和)(t I 的函数关系式.解由前三个方程消去)(t S 和)(t I ，可得关于)(t Y 的微分方程Y tYλ=d d ，0>=βαλ，其通解为t Ce t Y λ=)(.由初始条件0)0(Y Y =，得0Y C =. 于是有 te Y t Y λ0)(=，从而有t e Y t Y t I t S λαα0)()()(===.3.（消费模型）设t Y 为t 期国民收入，t C 为t 期消费，t I 为t 期的投资，它们之间有如下关系⎪⎩⎪⎨⎧--=-+=+=----)(1111t t t t tt t t t I C Y Y Y bY I a Y C θβα，其中α，β，a ，b 和θ均为常数，且10<<α，10<<β，10<<θ，10<+<βα，0≥a ，0≥b .若已知初期的国民收入0Y 为已知，试求t Y 与t 的函数关系.解将11t t C Y a α--=+和11t t I Y b β--=+代入1111()t t t t t Y Y Y C I θ-----=--并整理得1[1(1)]()t t Y Y a b θαβθ--+--=-+.其对应的特征方程是[1(1)]0λθαβ-+--=，特征根为[1(1)]λθαβ=+--.所以对应的齐次方程的通解为[1(1)]t y C θαβ=+--.假设原来方程的特解为y A *=，代入原方程得1a bA αβ+=--.所以原来方程的通解为[1(1)]1t t a bY C θαβαβ+=+--+--.由0Y 为已知，得01a bC Y αβ+=---.所以原来方程的特解为0[1(1)]11tt a b a b Y Y θαβαβαβ⎛⎫++=-+--+ ⎪----⎝⎭. 4. 设t Y 为t 期国民收入，t C 为t 期消费，I 为投资（各期相同），它们之间有如下关系：I C Y t t +=，βα+=-1t t Y C ，且已知0=t 时，0Y Y t =，其中10<<α，0>β，试求t Y 和t C .解由I C Y t t +=，βα+=-1t t Y C ，得差分方程1t t Y Y I αβ--=+.特征方程为0λα-=，得λα=.该方程所对应的齐次差分方程的通解为t t Y C α=.由于1不是特征方程的根，可设t Y A *=为非齐次方程的一个特解，代入原来的方程得1IA βα+=-，从而通解为 1t t I Y C βαα+=+-，故011t t I I Y y ββααα++⎛⎫=-+⎪--⎝⎭，而011t t t I IC Y I y ββαααα++⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭. 5. 设某商品的供需方程分别为⎪⎭⎫⎝⎛∆-+=--1131312t t t P P S ， t t P D 440-=，且以箱为计量单位.设1-t P 和2-t P 分别表示第1-t 期和第2-t 期的价格（单位：百元/箱），供方在t 期的售价为1131--∆-t t P P ，需方以价格t P 就可以使该商品在第t 期售完.已知40=P ，1P =413，试求t P 的表达式. 解因为111121*********()12233t t t t t t t t S P P P P P P P -------⎛⎫⎛⎫=+-∆=+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，t t P D 440-=.依题意，t t S D =，即 124228t t t P P P --++=.特征方程为 24210λλ++=，得1,214λ=-±，1,4αβ=-=12v ==，tan βθα==23πθ=. 故方程对应的齐次方程的通解为12122(cos sin )233tt t t P C C ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1不是特征方程的根，故可设特解为t P a *=，代入得4a =.故原来方程的通解为121224cos sin 233tt t t P C C ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由已知40=P ，1P =413，得120,C C ==所以 124sin 23tt t P π⎫=⎪⎭.总习题 10(A)1. 填空题.(1)(考研题)设)sin cos (21x C x C e y x+=(1C ，2C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的解，则该微分方程为022=+'-''y y y .解由通解可知，特征方程的特征根为i ±=12,1λ，故特征方程为0222=+-λλ.故二阶常系数线性齐次微分方程为022=+'-''y y y .(2) (考研题)二阶常系数非齐次线性微分方程xey y y 2234=+'-''的通解为x x x e e C e C y 23212-+=.解齐次线性微分方程034=+'-''y y y 的特征方程为0342=+-λλ的特征根为11=λ，31=λ，故微分方程034=+'-''y y y 的通解为x x e C e C y 321+=.设微分方程xey y y 2234=+'-''的特解形式为xAe y 2*=，代入方程x e y y y 2234=+'-''，得2-=A ,故特解为x e y 2*2-=.所以，微分方程xey y y 2234=+'-''的通解为xx x e e C e C y 23212-+=.(3) 已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解是1)1()1(221+-+-=x C x C y .解因为 11-=x y ，122-=x y 是对应齐次方程的两个线性无关的解.(4) 已知()xe x x C C y -++=221是某个二阶非齐次线性微分方程的通解，则该方程是x e x y y --=-''2.(5) 03='+''y y x 的通解为231C xC y +=. 解原方程变形为xxy y d 3d -=''，积分得1ln ln 3ln C x y +-=' 即 31x C y ='，再积分，得23123112C xC C x C y +=+-=. (6) 微分方程1+=-''x e y y 的一个特解应具有的形式为b axe y x+=*.解因为0=-''y y 的特征方程012=-λ的特征根为12,1±=λ，而1)(+=x e x f ，1=λ为单根，所以设特解b axe y x +=*形式.(7) 微分方程0d 2d )(3=-+y x x x y 满足561==x y的特解x x y +=3*51. 解将方程改写成2212x y x y =-'，解得 x C x C x e x e y x x x x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-3d 212d 2151d 2.由初始条件561==x y ，得1=C .故特解x x y +=3*51. (8) 过点⎪⎭⎫⎝⎛0,21且满足关系式11arcsin 2=-+'xy x y 的曲线方程为)(arcsin 1C x xy +=.解所给方程改写成xx x y y arcsin 11arcsin 2=-+'，)(arcsin 1d arcsin 1d 1arcsin 1d 1arcsin 122C x x C x e x e y x x x xx x+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰---.(9) (考研题)微分方程02='+''y y y 满足10==x y ，210='=x y 的解1+=x y .解令p y ='，则y p py d d =''，则原方程变为0d d 2=+p ypyp，即0=p 或0d d =+p ypy由于0=p 不满足210='=x y ，故0d d =+p y py . 方程分离变量，得到解 yC p y 1=='. 代入初始条件10==x y，210='=x y ，得到211=C ，即 yy 21='，即22C x y +=. 由10==x y ，12=C .故所求特解为1+=x y .(10) 设线性无关的函数1y ，2y ，3y 都是二阶非齐次线性方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，则该非齐次方程的通解是3212211)1(y C C y C y C y --++=.解因31y y -与32y y -是对应齐次方程的解，且由1y ，2y ，3y 线性无关，得到31y y -与32y y -也是线性无关的，故非齐次方程的通解是32122113322311)1()((y C C y C y C y y y C y y C y --++=+-++-=.2. 选择题.(1) 下列函数（ A ）中是方程xyy 2='的解. (A) 24x y =； (B) xy 2= ； (C) x y 1=； (D) xy 52=.(2) 方程x e y -=''的通解为=y （ C ）.(A) x e -； (B)x e - ； (C)21C x C e x ++-； (D) 21C x C e x ++--. (3) 下列方程中为线性方程的是（ C ）.(A) 02)(2=+'-'x y y y x ； (B)0)(5)(7542=+-'+''x y y y ； (C)0)()(2222=++-dy y x dx y x ； (D) 0=+'+''y y y x . (4) 下列方程中，属可分离变量的方程是（ C ）.(A) 0)sin(=+ydy dx xy x ； (B))ln(y x y +=' ；(C) y x dx dy sin =； (D) 221y e y x y x =+'. (5) 微分方程0=+xdyy dx 满足43==x y 的特解是（ A ）.(A) 2522=+y x ； (B)043=+y x ； (C) C y x =+22； (D) 222=-x y .(6) 微分方程xe y dxdy dx y d =++222是（ (B)、(C)、(D) ）. (A) 齐次； (B) 线性的； (C) 常系数的； (D) 二阶的.(7) 微分方程022=+y dx yd 的通解为（ D ）.(A) x A y sin =； (B) x y cos =； (C) x B x y cos sin +=； (D) x x A y cos sin +=.3. 求下列微分方程的通解.(1) 023=+'+ye y xy ； (2) n x x e x ny dx dy =-；(3) x y y y -='； (4) x yx y dx dy 22+-=； (5) 2x y y ='+''； (6) 22093++=+'-''x ey y y x.解 (1) 方程可化为3313x ydy e e -=dx ，上式两端积分得C e ex y +=-33（C 为任意常数）.(2) 对应的齐次方程0dy ny dx x-=，可以得到一个特解 n y x *=.此时利用系数变异法可设原方程的解为()n y A x x =.将上式代入原来的方程可解得11()()()n n n x n A x x nA x x nA x x e x --'+-=.即()xA x e '=，即()xA x e C =+.从而原方程的通解为()x n y e C x =+（C 为任意常数）.(3) 原方程可化为1dx x dy y=-，利用一阶线性方程的通解公式得11()dydyy y x eC edy -⎰⎰=+⎰（C 为任意常数）⎪⎭⎫⎝⎛+=2211y C y . 即 C y xy =-22. (4) 令y ux =，则dy duu x dx dx=+，从而可化为分离变量方程du x dx=，得到 ln(ln ||u x C =-+.将y ux =代入上式化简得y C =.(5) 对应的齐次方程的特征方程20λλ+=的根为120,1λλ==-，所以对应的齐次方程的通解为12x Y C C e -=+.假设原来方程的特解是 2()y x Ax Bx C *=++，代入原来的方程，解得1,1,23A B C ==-=. 故原来方程的通解为3212123x Y C C e x x x -=++-+.(6) 对应的齐次方程的特征方程 29200λλ-+=的根为124,5λλ==，所以对应的齐次方程的通解为4512x x Y C e C e =+.假设原方程的特解设为 3xy Ae Bx C *=++，代入原方程，解得1149,,220400A B C ===. 故原方程的通解为453121149220400x x x Y C e C e e x =++++. 4. 求下列微分方程满足初始条件的特解. (1) 2211xy y x y +--='，11==x y；(2) x x y y xx y sin )1(133232+=++'，10==x y ；(3) dx y x xydy )(22+=，e y ex 2==；(4) 022=-'-''x ey y ，10==x y，10='=x y ；(5) x y y y cos 2=+'+''，00==x y ，230='=x y . 解（1）分离变量得=，两边积分得=-，即C =.将初始条件11x y ==代入上式，得C =故所求特解为（2）方程两端除以2y 得211333()(1)sin 1x y y x x x--'-+=++. 令1z y -=，可得到关于变量z 的一阶线性方程2333(1)sin 1dz x z x x dx x-=-++. 利用常数变易法求出通解，再代回变量和初始条件，得特解为3sec 1xy x =+. （3）22dy x y dx xy +=，即 21()y dy x y dxx+=，令y u x =，则dy du u x dx dx=+，代入上式得21du u u x dx u++=.分离变量得 1udu dx x =，两边积分得 1udu dx x=⎰⎰.即 211ln 2u x C =+.将 yu x=，e y e x 2==代入，解得11C =.故所求特解为222(ln 1)y x x =+.（4）特征方程为220r r -=，特征根为120,2r r ==. 设特解为 *20xy b xe =，代入题设方程解得 012b =. 故所求通解为221212x x y C C e xe =++.将01,1x x yy =='==代入上式，解得 1231,44C C ==.则所求特解为231(12)44x y x e =++.(5) 特征方程为2210r r ++=，特征根为121r r ==-. 对应的齐次方程的通解为 12()xY C C x e -=+.设方程的特解为 *cos sin y A x B x =+，代入得 10,2A B ==.则方程的一个特解为 *1sin 2y x =.原方程的通解为121()sin 2x y C C x e x -=++.将00==x y，230='=x y 代入上式，得120,1C C ==. 则所求特解为1sin 2x y xe x -=+.5. 求下列差分方程的通解.(1) tt t y y 3231+=++；(2)t y y t t 3sin 21π=-+；(3) tt t t y y y 3426512⋅+=+-++.解 (1) 对应的特征方程为30λ+=，特征根为3-，所以齐次方程的通解为(3)t y C =-，假设一个特解为3ty A B =+，代入原来的方程得12A =，16B =.所以原来方程的通解为11(3)326t t y C =-++.(2) 对应的特征方程为20λ-=，特征根为2.所以对应的齐次方程的通解为2t t Y C =.设原方程的特解为*cossin33t y A t B t ππ=+代入原方程，得3034A B ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解之得3A =，1B =. 故原方程的通解为*2cos sin 333t t t t y Y y C t t ππ=+=++. (3)原方程对应齐次方程的特征方程是2560λλ-+=.特征根是122,3λλ==，此时对应齐次方程的通解为1223t t t Y C C =+.设一个特解为*3tt y A Bt =+，代入原来的方程得1A =，43B =. 所以原来方程的通解为*12423133t t t t t t y Y y C C t =+=+++⋅.6. 求差分方程 xx x x x y y y 329612+=+-++，满足初始条件10=y ，31=y 的特解.解对应的齐次方程的特征方程为2690λλ-+=，特征根为123λλ==.对应的齐次方程的通解为12()3x y C C x =+.对方程21692x x x y y y x ++-+=，可设它的一个特解为y Ax B *=+，代入可得到12A B ==. 对21693xx x x y y y ++-+=，由于3是特征方程的重根，故可设它的一个特解为23x y x C *=，代入可得到118C =，所以原来方程的通解为 122111()383221x x x y C C x x ++=++.由初始条件10=y ，31=y ，得1211,29C C ==，故原来方程的特解为211111()33292218x x x x x y ++=++.总习题 10(B)1. 设可导函数)(x f 满足⎰⎰-+=xxdt t x tf x dt t f 0)()(，求)(x f .解令 t x u -=，则⎰⎰⎰-=--=-0)()()()()(xxxdt t f t x du u f u x dt t x tf .于是，原来的方程等价于()()()xxf t dt x x t f t dt =+-⎰⎰，再两边求导得()1()xf x f t dt =+⎰.此时有(0)1f =，再求导得()()f x f x '=，所以()xf x Ce =.由(0)1f =得1C =. 所以 ()xf x e =.2.已知x e y =是微分方程x y x P y x =+')(的一个解，求此微分方程满足条件02ln ==x y的特解.解将xe y =代入方程x y x P y x =+')(得()(1)xP x x e -=-，所以可得原来的方程是(1)x xy x e y x -'+-=，即 (1)1x y e y -'+-=.对应的齐次方程的通解为 xx e y Ce -+=. 所以原来方程的通解为xx e x y Ce e -+=+.由02ln ==x y得12C e -=-.所以要求的特解是12x x e xy e e-+-=-.3. 已知曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. 解设所求曲线方程为 )(x f y =，),(y x P 为其上任一点，则过P 点的曲线的切线方程为)(x X y y Y -'=-.由假设，当0=X 时 x Y =，从而上式成为11d d -=-y xx y . 因此求曲线)(x y y =的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-'=1111x y y xy ，的特解. 由公式 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C x x Q y x x P x x P d e )(e d )(d )(，得 )d e)1((ed 1d 1C x y xx xx +⎰-⎰=-⎰=Cx x x +-ln ，代入11==x y得 1=C ，故所求曲线方程为)ln 1(x x y -=.4. 某银行账户，以连续复利方式记息，年利率为5%，希望连续20年以每年12000元人民币的速度使用这一账户支付职工工资，若t 以年为单位，写出余额)(t f B =所满足的微分方程，且问当初始存入的数额)0(0f B =为多少时，才能使20年后账户中的余额减之为0元.解由题意可得如下的方程0.0512000dBB dt=-. 利用分离变量法解此方程得0.05e 240000t B C =+，由00|t B B ==，得0240000C B =-.故 ()0.050240000e 240000t B B =-+. 由题意，令20t =时，0,B =即()00240000e 240000B =-+.由此得10240000240000e B -=-⨯时，20年后银行的余额为零.5.（新产品的推销问题）设某种耐用的新产品在某地区进行推销，最初商家会采取各种宣传活动以打开销路.假设该产品确实受欢迎，则消费者会相互宣传，使购买人数逐渐增加，销售率逐渐增大.但由于该地区潜在消费总量有限，所以当购买者占到潜在消费总量的一定比例时，销售速率又会逐渐下降，且该比例越接近于1，销售速率越低，这时商家就应更新商品了.(1) 假设潜在消费总量为N ，在任一时刻t 已经出售的新商品总量为)(t x ，试建立)(t x 所满足的微分方程；(2) 假设0=t 时，0)0(x x =，求出)(t x ； (3) 分析)(t x 的性态，给出商品的宣传和生产策略. 解 (1)()dxkx N x dt=-，k 为比例系数. (2) 利用分离比例法得通解为解之得 11Nkt Nkt NktCNe Nx Ce Ce -==++，由0)0(x x =，得01NC x =-. 0111NktNktNktCNe N x CeN e x -==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭31 (3) 分析)(t x 的性态()221NktNkt dx CN ke dt Ce --=+， ()()3223211Nkt Nkt Nkt CN k e Ce d x dt Ce ----=+. 显然0dx dt >，所以x 单增.令220d x dt =可以推出2N x =，也就是说当销售量小于最大需求量一半的时候，销售速率不断增大，当销售量大于最大需求量一半的时候，销售速率不断减少，当销售量等于最大需求量一半的时候，商品最为畅销.6. 设t S 为t 期的储蓄，t I 为t 期的投资，t Y 为t 期的国民收入，它们之间有如下的关系式⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=≥<<+=-0,0,)(0,10,1δδβαβαt tt t t t t I S r Y Y r I Y S ，试求t Y ，t S ，t I .解将t S ，t I 代入t t S I δ=得1()t t t Y r Y Y αβδ-+=-，即1()t t r Y rY αδδβ---=-.对应的齐次方程的通解为t r y C r δδα⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 原来方程的特解为y βα*=-，所以原来方程的通解为 tr Y C r δβδαα⎛⎫=- ⎪-⎝⎭. 假设0Y 已经知道，那么0C Y βα=+，那么原来方程的特解为0()tr Y Y r βδβαδαα⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，此时有 0()t t r S Y r δαβδα⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，01()t t r I Y r δαβδδα⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.。

第九章微分方程与差分方程习题解答

练习9.11.指出下列微分方程的阶数：解：(1)一阶 (2)一阶 (3)一阶 (4)二阶2.验证下列各函数是否为所给微分方程的解，并指出哪些是特解哪些是通解。

（21,,C C C 为任意常数）解：(1)通解 (2)特解 (3) 不是解 (4)不是解3.写出以下列函数为通解的微分方程，其中21,,C C C 为任意常数解：(1)直接求式子求导,可得0)(22=+'−y y yx x(2)直接求式子求导,可得02=−'+''y y y练习9.21.求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：(1)解：xdx ydy sin =两边同时积分-cosx 1cos lny e c y c x =⇒+−=（2）解：22ln 2x e c y c x y xdx ydy⋅=⇒+=⇒=积分（3）解法一：cy x c y x cxy y x xy d dy dx =+−=+−⇒=+−⇒=+−)1)(1()1)(1(0)(或解法二：cy x cc d d x y x dxy dy =+−⇒=⇒+=⇒−=−=+=−=+)1)(1(1ln ln 1,111ξηξηξξηηξη令（4）解：0011tan cos 0,4)0(22=⇒=+=⇒+=⇒===c c c e x dt e xdx t x t令π故t t e x e x arctan ,tan ==（5）解：dy e e dx e e x y y x )1()1(++−ce e ce e e dy dx e dy e dx e x y y x x y y x y x =+−⇒=+−⇒=+++−⇒++)1)(1(0)(（6）解：1232323230)1()1(c y y x x dy y y dx x x =−−+⇒=+−+c y y x x =−−+⇒23233232e y e xx 2O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MO O C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M OOC令)1ln(21)1ln(211)1(,1e c c e y x +−=⇒++=⇒==由故)1ln(21)1ln(22e e y x +−++=（8）解：c x y x dx y dy =+⇒=++arctan ln 012令4401)1(,1ππ=⇒=+⇒==c c y x 由故4arctan ln π=+x y2．求下列各微分方程的通解或特解：（1）解：u dxdux dx dy x y u x y x y dx dy +=⇒=−=令112ln )2ln(211c x u u u u u dx du x +=−⇒−=+⇒c y xy x c u u =−⇒⋅=−⇒22222（2）解：令xyu =)ln(0)ln(0)ln(ln ln =+=+⇒=+⇒+=⇒=⇒+=+=−−−−xyxy u u u u ecx ecx e cx c x e x dx edu u e u dx du x dx dy 故原方程的通解为：（3）解：令012=+−−+⇒=u u u dxdux x y u 122ln )1ln(1c x u u xdxu du+=++⇒=+⇒22221cx y x y cx u u =++⇒=++⇒（4）解：令c x u u dx du x x y u +=⇒=⇒=ln 2tan ln sin 01ln 1ln 2,1=⇒+=⇒==c c u x π令x x y x u arctan 2arctan 2=⇒=⇒（5）解：令 u dydu y dy dx y x u +⋅==则化简得 uu dy du y u u u dy du y 25123122−=⋅⇒−=+⋅ c y u dy udu +=−−⇒=⇒ln 51ln 122 O 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MO O C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M OOC令00)0(,1)0(0====c u y x 得则故151)51(32552=−⇒=−y x y yu （6）解： xyu xy x y dx dy =+−=令,11则11112+−−=⇒+−=+u u dx du x u u dx du x u 令 c x u u x dx u du u +=−+−⇒=++−⇒ln arctan 1ln 21)1()1(22令0,0)1(,0)1(,1====c u y x 得则故 0arctan 2)ln(ln 2arctan 2ln ln arctan 1ln 21222222=++⇒−=++⇒=−+−xyy x x x yxy x x u u 3．求下列微分方程的通解：(1)解：令y x z −= zz z z dx dy dx dz 22211+=++=−= ()()()c x y x n y cx z n z dx z zdz+=+−−−+=+−⇒=+⇒12112 故原方程的通解为： )(1y x ce y x +−=+− （2）解：373737++−−−=y x y x dx dy 0407337≠=−−=∆⎩⎨⎧=+=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=++−=−−ηξy x y x y x y x 1010********0故令得ξξξξηξηξξηξηd du u u d du u d d u =−−=+⇒+−−==277377337令 cy x y x cc u u c u u u cuu u =−+−−⇒=−+⇒=−+⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−⇒+=−+−−−⇒5225727527322)1()1()()()1()1(11)1(ln 11ln 1431ln 21ηξξηξξξ （3）解：0111=−−=∆−−−=y x dyO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOO C中国大学M OOC令 1221211−−=−−−+=+=z z z z dx dz yx z cy x y x c x z z dx dz z z =−++++=−+⇒=−−2ln 32 2ln 32212即（4）解：051=∆++−++−=y x y x dx dy令 54511+−=+++−=−=z z z dx dz xy z c x y x y c x z z dx dz z =−+−⇒+−=+⇒−=+52)(4524)5(22（5）解：分离变量得01122=++−yydyx xdx 两边积分得1221ln 211ln 21C y x =++−−得通解为C xy =−+2211 （6）解：变形得 0223=+x y dydxy 分离变量得并积分得21yCx = 变易常数C ，即令21)(y y C x =，代入原方程有y y C 1)(='，积分得C y y C +=ln )( 得通解为)(ln 12C y yx +=4．求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：（1）解：()()cdx e x e c dx e x e y x x x dx+⋅=+⋅⎰=⎰⎰−−222244分部积分()[]x x x e c x c x e e 2221212−−⋅+−=+−=（2）解：利用函数变量法：令 x e x Q x p −==)(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰−c dx e x Q e y dx x p dx x p )()()( []()c x e c dx e e e x x x x +=+⋅=−−−⎰ （3）解：cos sin cos c dx e e e y xdx x xdx⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=−−⎰O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC（4）解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰−⎰=⎰−−−c dx e x x e y dx x xdx x x 12212221cos []1sin 1cos 11222−+−=+−=⎰x xx c c xdx x（5）解：01212=+−+yy dy dx 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−⎰=⎰⎰−+−−−c y dy e e c y dy e ex y y y y dy yy21)ln 21(2121)1( y yye cy y c e e y 122112+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−⋅=（6）解：c t x t dt x dx ++=+⇒+=+)2ln()13ln(31213 令0)0(,0==x t ，得2ln −=c故()()2211331+=+t x （7）解：[]x c e c dx e x c dx e x e e y xx x dx x x dx +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰⎰−1 令1)2(,2==y x ，即22221e c ce −=⇒+= 故xe e y x 22−+=（8）解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−−⎰=⎰⎰−−−−c dx x x x x x x x c dx e x x x e y x x dxx x dx 11)12(11)12()1()1( [][]c x x x x c dx x x x +−−=+−−=⎰21)12(1 令4)2(,2==y x ，即0)24(24=⇒+−=c c故2x y =5．求下列方程的通解：（1）解：23x y yx dydx+= 令1−=x z ，则dydx x dy dz 21−= O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC 中国大学MO OC中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC331y yz y ydy dz −−=−−= 22222232322222)2()2( y y y y y ydyydy ce y c y e ec dy e y ec dy e y e z −−−−−+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰⎰即：1)2(222=+−−y cex y（2）解：令3−=y z ，则24333x z xdy dx y dx dz −=−=− []c x x c dx x x c dx e x e z dx x dx x +−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=⎰⎰−ln 3 3333333 即：1)ln 3(33=−x c y x（3）解：xy x dy dx 2−= 令2x z =，则dydx x dy dz 2=y z y x dydz42422−=−= 故[][]yce c y e e c dy ye e x c dy e y e z y y y y y dy dy21)21(4 422222222++=++=+−=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=−−−⎰⎰（4）解：令x z 1=，则y yz dydxx dy dz −−=−=312 311)(23232323332222−=⇒+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=−−−−⎰⎰y y y y ydy ydy cexc e c dy e y e c dy e y e z（5）解：令xyu =，则u u u u x tan +=+' cx x y cx u cx u dx xudu u dx xdu arcsin sin ln ln sin ln 1cot tan =⇒=⇒+=⇒=⇒=⇒（6）解：其对应的齐次方程分离变量得xdx y dy −= O 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC 中国大学MO OC中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC中国大学M OOC积分得c x y ln ln ln +−=将c 常数变易为)(x c ，代入得xx c 1)(='，积分得c x x c +=ln )( 于是原方程的通解为)(ln 1c x xy +=6．不作要求。

差分方程口算练习题及答案2023

差分方程口算练习题及答案2023一、选择题1. 下列哪个是差分方程的定义？A. 一种数列的定义方式B. 一种微分方程的定义方式C. 一种函数的定义方式D. 一种积分方程的定义方式2. 已知差分方程 y[n] - 3y[n-1] + 2y[n-2] = 0，其中 y[0] = 1 和 y[1] = 2，求 y[3] 的值。

A. -1B. 0C. 1D. 23. 已知差分方程 y[n+1] = 2y[n]，其中 y[0] = 1，求 y[3] 的值。

A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题1. 根据差分方程 y[n+1] - 2y[n] = 3，求 y[2] 的值。

答案：72. 根据差分方程 y[n] + 3y[n-1] = 6，其中 y[0] = 1，求 y[2] 的值。

答案：-1三、解答题1. 求解差分方程 y[n+1] - y[n] = 2，其中 y[0] = 1 的递推式。

解：首先写出给定的差分方程 y[n+1] - y[n] = 2，然后将递推式用y[n] 表示为 y[n+1] = 2 + y[n]。

代入 y[0] = 1，可以得到 y[1] = 2 + 1 = 3，再代入 y[1] = 3，可以得到 y[2] = 2 + 3 = 5。

因此，递推式为 y[n+1] = 2 + y[n]。

2. 求解差分方程 y[n+2] - 2y[n+1] + y[n] = 0，其中 y[0] = 1，y[1] = 3 的递推式。

解：首先写出给定的差分方程 y[n+2] - 2y[n+1] + y[n] = 0，然后将递推式用 y[n] 表示为 y[n+2] = 2y[n+1] - y[n]。

代入 y[0] = 1 和 y[1] = 3，可以得到 y[2] = 2(3) - 1 = 5，再代入 y[1] = 3 和 y[2] = 5，可以得到 y[3] = 2(5) - 3 = 7。

因此，递推式为 y[n+2] = 2y[n+1] - y[n]。

差分方程求通解例题

差分方程求通解例题
【原创版】
目录
1.差分方程的基本概念
2.求解差分方程的步骤
3.差分方程求通解的例题
4.例题的解答过程
正文
一、差分方程的基本概念
差分方程是一种特殊的微分方程，它的解包含了微分方程的解和差分运算。

在数学和物理学等领域，差分方程有着广泛的应用。

二、求解差分方程的步骤
1.确定差分方程的类型
2.建立相应的数学模型
3.进行差分运算
4.求解得到通解
三、差分方程求通解的例题
例题：求解如下差分方程的通解：y"(t) - 3y(t) = 2t - 1
四、例题的解答过程
1.首先，我们需要确定这是一个一阶线性常系数差分方程。

2.建立数学模型：设 y(t) = e^(-kt) * (A + B * t)
3.进行差分运算：y"(t) = -ke^(-kt) * (A + B * t) + e^(-kt) * (B - k * A)
4.将 y"(t) 和 y(t) 带入原方程，得到：-ke^(-kt) * (A + B * t) + e^(-kt) * (B - k * A) - 3e^(-kt) * (A + B * t) = 2t - 1
5.解得：A = 1, B = 2, k = 3
6.所以，原方程的通解为：y(t) = e^(-3t) * (1 + 2t)
通过以上步骤，我们可以求解差分方程的通解。

差分方程与自回归模型练习解答

差分方程与自回归模型练习解答1差分方程为x t+i =1.5x t -500 (单位：百万；此时，免疫系统仍起作用，但其杀死的病毒相对于打针吃药被忽略了)。

利用方程平衡点，讨论多久去治病毒可以控制住(此时病毒数做新的初始值)，多久去到医院也没用来解答。

2(1)设F i (t)(i=1,2,3)分别表示第t 月0-1月大,1-2月大以及2月以上兔子对数，初始条件「F 1（t+1）= F 2（t ）+F 3（t ）（0I入/ F 2（t+1） = R （t ），令 A= 1 【F 3（t+1） = F 2（t ） + F 3（t ）卫(F 1 (t), F 2(t), F 3(t))T ，则上面差分方程组化为 F(t+1)=AF(t)，利用该式和初始条件不断迭代就可得到各个月份各个月龄的兔子对数。

容易得到，A 的特征值有3个,分别是-0.6180，0.0000和1.6180，因而从长期看1.6180就是兔子的月增长率。

此外，令S(t)表示第t 月的兔子总对数,则 S(t) =F 1(t)+F 2(t)+F 3(t), S(t+2)=S(t+1)+S(t)(初始条件为 S(1)=1，S(2)=1 )，容易得到该差分方程的特征方程有两个根，分别是1.6180和-0.6180,1.6180仍代表了兔子的月增长率。

]F 1（t +1） = 0.9F 2（t ）+F 3（t ）广0 0.9 1 '（2）此时有｛ F 2（t+1） = 0.8R （t ），A = 0.8 0 0 ，计算得A 的3个特f3（t+1）=0.9F 2（t ）+F 3（t ） <0 0.9 1丿征值分别为-0.4849，0.0000和1.4849,因1.4849大于1，兔子对数仍会增加。

FMt 1) = 0.9F 2(t)^(t)(3)对成年兔子(能繁殖)捕杀，设比例为r,则有F 2(t • 1)=0.8F 1(t)【F 3(t +1) = 0・9F 2(t) + rF 3(t)3 原始数据图象如上，容易看出，序列是非平稳的。

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