第十三章13.4直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
直线与圆锥曲线的位置关系小结(正式)
消去a得轨迹C的方程为:y =4(x-1)
2
4.(2)过点D(2, 0)的直线L交上述轨迹C于P,Q两点,
解 : (2)若L的斜率不存在, 则L与C仅有一个交点,不合题意. 故可设L的方程为:y=k(x-2)(其中k=tan)
E(1,0),若EPQ的面积为4,求直线L的倾角的值.
y=k(x-2) 4 4 2 y y 4 0 y1 y 2 , y 1y 2 4 2 k k y =4(x-1)
2 2
x2 y 2 例2.过双曲线 1的右焦点F作倾角为 的弦AB, 9 16 4 求弦长 | AB | 及弦AB的中点C到F的距离.
解：双曲线焦点为F（5，0），故AB方程为y=x-5,代 入双曲线方程消去y得： 7 x2 90 x 369 0,
90 369 又设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x0 , y0 ), 则x1 x2 , x1 x2 , 7 7
说明理由.
y1 - y 2 ∴ = 2 ⇒ k = 2 \ L方程为 : y - 1 = 2(x - 1) x1 - x 2
方程组无解，故满足条件的L不存在。
一、对于椭圆、抛物线而言:
若点P在其内部，则以P为中点的弦一定存在；
若P在其外部或曲线上，则以P为中点的弦一定不 存在 二、对于双曲线而言 :
x 2 3y 2 3x 2 y 2 故所求的方程为 + = 1或 + = 1. 2 2 2 2
处理圆锥曲线的有关问题要注意设法 减少运算量，本题所求椭圆焦点未定，可 能在x轴上，也可能在y轴上，本题解法运 用待定系数法，避免了两种情况的讨论；
另外，本题解法中对交点采取“设而不求” 的方法，灵活运用韦达定理，从而简化了 运算过程，以上是处理此类问题的常用技 巧，应很好地体会。
高三直线与圆锥曲线的位置关系
x2－y2＝1，
当 1－k2＝0 即 k＝±1 时，方程组有唯一解，满足题意；
当 1－k2≠0，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，
即 k＝± 2时，方程组有唯一解，也满足题意. 例 2：设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l
的斜率的取值范围是( )
率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( )
A．k2－e2＞1 B．k2－e2＜1 C．e2－k2＞1
D．e2－k2＜1
分析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率
k
bb 只需满足－ ＜k＜ ，即
k2＜b2
aa
a2
＝c2－a2＝e2－1. a2
题型 2：圆锥曲线中的弦长、弦中点问题
线 m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
分析：(1)设弦的两端点为
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
2x21－y21＝2， 2x22－y22＝2，
两式相减得到 2(x1－x2)(x1
＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
所以直线斜率 k＝y1－y2＝4.故求得直线方程为 4x－y－7＝0. x1－x2
5
4 m2－1
x1x2＝
，y1－y2＝x1－x2，
5
∴PQ＝ (x12 x22 ) ( y12 y22 ) ＝
8
－m 5
2－16
m2－1
2
5
＝2，
解得 m2＝15，满足(*)，∴m＝±
30 .
8
4
例 3：直线 4kx－4y－k＝0 与抛物线 y2＝x 交于 A，B 两点，若|AB|＝4，则弦 AB 的中点到
直线与圆锥曲线的位置关系精品课件
4 5k 2 x 2 10k (3k 2) x 5(3k 2) 80 0 设M x1 , y1 , N x2 , y 2
则x1 x2 6 k 5
10k 3k 2 6 2 4 5k
直线MN的方程为：x 5 y 28 0 6
2
y2
2
2 px2
OA OB
2 2 2 2
y1 y2 4 p
y1 y2 4 p x1 x2 4 p y1 y2
2
x1 x2 y1 y2 0
x1 x2 y1 y2 4 p
2
(法二)：设OA的方程为：y kx y kx 2p 2p A( 2 , ) 2 k k y 2 px
AB
4 2 4 2
2
2
8
(法二) :由上得弦AB的方程为：x y 1 0
运用公式： 1 k 2 x1 x2 1 k 2 AB 而x1 x2 6 x1 x2 1
x1 x2 2 4 x1 x2
AB 8
(法三)(利用抛物线的定义解题)
通常利用方程根与系数的关系求得 应用公式： AB 1 k 2 x1 x2 有关弦中点的问题可利用中点公式及根与系数的 关系解决。 例3、抛物线 y 4 x 的一条弦的中点为 求此弦所在的直线方程。
2
3,2 ，
(法一)：设弦交抛物线于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
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直线与圆锥曲线的位置关系
一、要点
1、直线与圆锥曲线有无公共点的问题。 2、直线与圆锥曲线相交所得的弦长的计算， 有关中点弦的问题。 3、圆锥曲线内其它涉及到弦的问题。
(完整版)直线与圆锥曲线的位置关系
k 2 x1 x2
焦点弦公
1
式
1
，k 2
y1 y2
但是
在
， 双曲
线中要判断 A, B 两点是在双曲线的同支还是异支
上。
（2）直线与圆锥曲线的有关问题通常可通过联 立方程组处理
（3）与中点、斜率有关的问题，可用“点差法” 处理
知识点三：弦中点问题
• 求中点弦所在直线方程和弦的中点 轨迹方程
• “点差法”、“韦达定理”
A、0个 B、一个 C、二个 D、不确定
y
【解题回顾】 过封闭曲线内的点的 直线必与此曲线相交
.
o
X
变题：
变1:不论k为何值,如果直线 y=kx+b 与椭 圆y2/9+x2/4=1总有公共点,求b的取值范 围？
变2:若直线kx-y+1=0与椭圆x2/5+y2/m=1 对于任何实数k恒有公共点，则实数m的 取值范围？
b2
1
x22
a2
y22 b2
1
1 (a b 0) 设M (x1 , y1)、N（x2 , y2 )
（(12)（）1）yx－11 （xy222）• yx得11 xxy1222a2 x22
b2 a2
y12 b2
y22
(3)
0
kMN
y1 x1
y2 x2
,
y1 y2 x1 x2
2y中 ＝ y中－0 2x中 x中－0
代数法
联立直线与椭圆的方程,消去x(或y),得到
一个关于x(或y)的一元二次方程.
△< 0
相离
△= 0
相切
△> 0
相交
问题1.要使直线 y kx 1(k R)与焦点在x轴
直线与圆锥曲线的位置关系 (2)
直线与圆锥曲线的位置关系基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2·|y 1－y 2|.(抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 双基自测1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的 条件3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为4．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为 5．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是考向二弦长及中点弦问题【例2】►若直线l与椭圆C：x23＋y2＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．【训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．考向四 定值(定点)问题【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．直线与圆锥曲线的位置关系巩固练习一、填空题1.（泰州市2011届第一次模拟1）若双曲线2213y x -=的离心率是 .2.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p= . 3.(徐州市2011第三次调研改编)与双曲线2219x y -=共渐近线且经过点M(3，-2)的双曲线方程为 .4.（2010年高考江苏卷试题6）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是__________ .5.(2011海淀区模考3)已知抛物线24y x =，过点P （1，0）的直线与抛物线相交于,A B 两点，AB=36，则AB 中点到y 轴的距离是 .6.（2011北京东城区第一次模拟4）点P 是椭圆221x y a +=上的动点，点P 到左焦点的距离与到左准线的距离之比是21，则a= .7.（2011山东潍坊第一次模拟）已知抛物线的顶点在原点，圆4)4(22=+-y x 与抛物线的准线相切，则抛物线的方程是： .8.已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于 .9.（2011上海静安区模考）点P 是椭圆2212736x y +=上的动点，椭圆的上、下焦点分别时21,F F ，O 为原点，线段1PF 的中点为M,若1PF =4，则MO=10.已知定点(A -，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上有一点M ，则使AM+2MF取得最小值时点M 的坐标为 .11.已知P 为双曲线221169x y -=右支上一点，若P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为 .12.若双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为320x y -=，则a = . 13. 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若212121=，则△21PF F 的面积为14.(原创)已知直线l 与221169x y +=相交与A,B 两点，且0=•OB OA ,若OH 垂直于直线l 与H ，则OH = 二、解答题15.（原创）已知焦点在x 轴上的双曲线的左右焦点分别为21,F F ,点P 为双曲线上一点，其中021=•F F ,若21PF F ∆的面积为16，若双曲线的实轴长为4，求双曲线的标准方程16、设椭圆中心在坐标原点,A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆相交于E 、F 两点. (1)若DFED6=,求k 的值;(2)求四边形AEBF 面积的最大值. .17、设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ， 且PQ AP 58= （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ： 053=-+y x 相切，求椭圆C 的方程.18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的左焦点为F，右顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为23，点M的横坐标为92．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线PA的斜率为1k，直线MA的斜率为2k，求12k k⋅的取值范围．。
圆锥曲线 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b+=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222bx a kx m a b ++=，整理可得：（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b-=>>为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨-=⎩，消元代入后可得： （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。
所以要分情况进行讨论当2220bba k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。
此时直线与双曲线相交，只有一个公共点当2220b bba k k a a ->⇒-<<时，常数项为()22220a m a b -+<，所以0∆>恒成立，此时直线与双曲线相交 当2220b b a k k a -<⇒>或bk a<-时，直线与双曲线的公共点个数需要用∆判断： ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与双曲线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与双曲线相切 ③0∆<⇒方程没有实根⇒直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。
直线与圆锥曲线的位置关系
二、研究方法与思想
1.直线和圆锥曲线的位置关系及判断、运用设直线l的方程 为：Ax+By+C=0圆锥曲线方程为：f(x，y)=0
由
f(x，y)=0
消元(x或y)
Ax+By+C=0
若消去y后得ax2+bx+c=0，若f(x ， y)=0表示椭圆，则a≠0， 为此有 (1)若a=0，当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近 线平行或重合.当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线对称轴 平行或重合. (2)若a≠0，设Δ=b2-4ac ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线相交于不同两点 ②Δ=0时，直线与圆锥曲线相切于一点 ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有公共点
x1 x2 y1 y2 1 2 0 (1) （ ）－（ ）得 2 2 a b 2
(3)
练习： 一中心在原点，对称轴为坐标轴的椭 圆与直线 x + y = 3相交于A、B两点，C是AB 的中点。若AB = 2 2 ，O是坐标原点， OC的斜率为2,求椭圆的方程。
y
A
y x 1 9 9 2
求以点P(2,1)为中点的弦所在
的直线方程.
点评:本题属于中点弦问题,一般采用韦达定理和点差法求解.
x2 y2 对于椭圆 M N 1 (a b 0) 设 ( x1 , y1 )、 （x2 , y2 ) 2 2 a b 2 2 2 2
x12 y12 则: 2 2 1 a b 2 2 x2 y 2 1 a 2 b2
解：将直线 y kx 1代入双曲线方程 x y 4 2 2 x - y =4 2 2 化简整理 (1 k2 ) x 2kx 5 0 （※） 2
2 2
y kx 1 与双曲线 x 2 y 2 4 的右 例2: 若直线 支有两个相异公共点，求 k 的范围.
直线与圆锥曲线的位置关系.doc
直线与圆锥曲线的位置关系。
直线与圆锥曲线的位置关系一、基本知识:(1)直线和椭圆之间的位置关系1.直线和椭圆之间的位置关系:相交(两个公共点)、相切(一个公共点)、分离(没有公共点)2.直线与椭圆位置关系的判定步骤:根据方程根的数量，直线和椭圆的用法如下:例如(1)联立线性和椭圆方程:(2)通过线性方程确定主变量(or)并消除另一个变量(or ),代入椭圆方程，得到关于主变量的一元二次方程:，可用整理:(3)通过计算判别式的符号来判断方程根的数量，从而判断直线和椭圆之间的位置关系(1)方程具有两条不同的与椭圆相交的实根直线(2)方程具有两条与椭圆相切的相同的实根直线(3)方程没有与椭圆分离的实根直线3.如果直线上的一个点位于椭圆内，则直线必须与椭圆相交(2)直线与双曲线之间的位置关系1.直线与双曲线、相交、相切和分离的位置关系2.确定直线和双曲线之间的位置关系；像椭圆一样，直线和椭圆可以由方程根的数量决定:例如:(1)联立线性和双曲方程:元朝入朝后，可用:(2)与椭圆不同，在椭圆中，因为消去后的方程必须是二次方程，但在双曲线中，消去后方程的二次系数可能为零。
所以我们必须根据情况来讨论。
当和相等时，方程变成一个有一个根的主方程。
此时，直线和双曲线相交，只有一个公共点。
那时，常数项是，所以常数成立。
此时，当直线和双曲线相交时，需要确定直线和双曲线的公共点的数量:(1)方程有两条不同的与双曲线相交的实根直线；(2)方程有两条同双曲线相切的实根直线；(3)方程没有相互分离的实根直线和双曲线；对于直线和双曲线之间的位置关系，位置不能简单地由公共点的数量来确定。
尤其是当直线和双曲线有一个公共点时，如果用一阶方程求解，它们就会相交。
如果用二次方程求解同一个根，它是切线(3)和双曲线交点的位置确定:因为双曲线上的点的横坐标的范围是，横坐标的符号可以用来确定交点位于哪个分支上:当时，该点位于双曲线的右支。
当时，该点位于双曲线的左支。
圆锥曲线与直线的位置关系
(2009福建，13)过抛物线y2＝2p两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
椭圆
平行或重合
平行或重合
相交
两个不同的
相切
唯一
相离
公共点
二、当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)． 若直线过圆锥曲线的焦点，当焦点弦垂直于对称轴(椭圆的长轴、双曲线的实轴)时称为 ，其中|AB|＝ ，(p为焦准距)．若椭圆 (a＞b＞0)的弦AB过焦点F1(－c,0)，则|AB|＝ ；若双曲线 (a＞0，b＞0)的弦AB过焦点F1(－c,0)，且A、B在左支，则|AB|＝ ；若抛物线y2＝2px(p＞0)的弦AB过焦点F( 0)，则|AB|＝ .
活动策划方案
基础知识 设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0， 消元(x或y)，若消去y得a1x2＋b1x＋c1＝0.
1．若a1＝0，此时圆锥曲线不是 ．当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线 ；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴 ． 2．若a1≠0，Δ＝ －4a1c1，则 ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线 ，有 交点； ②Δ＝0时，直线与圆锥曲线 ，有 的公共点； ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线 ，没有 ．
忽视判别式产生的混淆
01
斜率为1的直线与椭圆 交于A、B两点，O是原点，当△OAB面积最大时，直线的方程是____________．
02
应用“差分法”失误 已知双曲线方程为2x2－y2＝2，以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为________．
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点，那么m的取值范围是 ( )
回归教材
A．(0,5) B．(1,5) C．[1,5) D．与k有关
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)
直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳(1)直线与圆锥曲线的位置关系总结归纳直线和圆锥曲线是几何学中常见的两种基本图形，它们的位置关系十分复杂。
在学习和研究数学问题时，了解它们的位置关系具有重要意义。
下面将总结归纳直线和圆锥曲线的位置关系。
一、直线与椭圆的位置关系1. 直线不经过椭圆：直线与椭圆没有交点，此时直线和椭圆之间没有任何位置关系。
2. 直线与椭圆相切于一点：直线与椭圆相切于一点，此时直线与椭圆的位置关系为切线。
3. 直线与椭圆相交于两点：直线与椭圆相交于两个点，此时直线与椭圆的位置关系是两个交点的连线。
4. 直线穿过椭圆：直线与椭圆相交于四个点，此时直线与椭圆的位置关系是四个交点的连线。
二、直线与双曲线的位置关系1. 直线不经过双曲线：直线与双曲线没有交点，此时直线和双曲线之间没有任何位置关系。
2. 直线与双曲线相切于一点：直线与双曲线相切于一点，此时直线与双曲线的位置关系为切线。
3. 直线与双曲线相交于两点：直线与双曲线相交于两个点，此时直线与双曲线的位置关系是两个交点的连线。
4. 直线穿过双曲线：直线与双曲线相交于四个点，此时直线与双曲线的位置关系是四个交点的连线。
三、直线与抛物线的位置关系1. 直线不经过抛物线：直线与抛物线没有交点，此时直线和抛物线之间没有任何位置关系。
2. 直线与抛物线相切于一点：直线与抛物线相切于一点，此时直线与抛物线的位置关系为切线。
3. 直线与抛物线相交于一个点：直线与抛物线相交于一个点，此时直线与抛物线的位置关系为交点。
4. 直线穿过抛物线：直线与抛物线相交于两个点，此时直线与抛物线的位置关系是两个交点的连线。
通过以上总结，我们可以看出，直线和圆锥曲线的位置关系与它们之间的交点有关，交点的个数和位置决定了它们的位置关系。
这对于学习和研究圆锥曲线成立方程、性质等问题非常有帮助。
圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系
圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b+=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222b x a kx m a b ++=，整理可得：（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b-=>>为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222y kx mb x a y a b =+⎧⎨-=⎩，消元代入后可得：（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。
所以要分情况进行讨论当2220bb a k k a -=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。
此时直线与双曲线相交，只有一个公共点 当2220b bb a k k a a->⇒-<<时，常数项为()22220a m a b -+<，所以0∆>恒成立，此时直线与双曲线相交 当2220b b a k k a -<⇒>或bk a<-时，直线与双曲线的公共点个数需要用∆判断： ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与双曲线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与双曲线相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系一、学习目标1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题.二、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即()⎩⎨⎧==++0,0y x F C By Ax 消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C ；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是 ；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是2．圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝.(抛物线的焦点弦长|AB |＝ )．三、基础训练1．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =4.（2010全国卷1）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且2=，则C 的离心率为 .四、例题精选考向一 弦长问题【例1】►（2013新课标I ）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【训练1】（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =uu u r uu r . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.考向二 中点弦问题【例2】►（2013陕西文）已知动点M (x ,y )到直线l :x =4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点,求直线m 的斜率.【训练2】（2013新课标II ）平面直角坐标系xoy 中，过椭圆M ：)0(12222>>=+b a b y a x 右焦点的直线03=-+y x 交M 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21。
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考点1 考点1：直线与圆锥曲线的位置关系 已知双曲线C:2x2-y2=2与点 与点P(1,2),求过 已知双曲线 与点 求过 的斜率的取值范围， 与 点P（1，2）的直线 的斜率的取值范围，使l与 （ ， ）的直线l的斜率的取值范围 C分别有一个交点，两个交点，没有交点 分别有一个交点， 分别有一个交点 两个交点，没有交点.
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3.弦长公式 3.弦长公式 连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥 曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关 曲线的弦 要能熟练地利用方程与根的系数关 系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|= 系来计算弦长，常用的弦长公式
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设P(x1,y1),Q(x2,y2),
16k = 2 × 2, 则x1+x2= 2 1 + 4k 得 k = 1, 2 64 = 32, 从而x 从而 1+x2=4, x1 x2 = 2 1 + 4k 因此 | PQ |= 1 + k 2 | x1 x2 |
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(2)当 a=0时 ， 即得到一个一次方程 ， 则 l 当 时 即得到一个一次方程， 相交， 与 C相交，且只有一个交点，此时，若曲线 相交 且只有一个交点，此时，若曲线C 为双曲线， 于双曲线的渐近线； 为双曲线，则l 平行 于双曲线的渐近线； 为抛物线， 于抛物线的对称轴. 若C为抛物线，则l 平行 于抛物线的对称轴 为抛物线
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得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0. 由于l与 有两个公共点 有两个公共点， 由于 与C有两个公共点， 因此 k2≠0 =16(k2-2)2-16k4>0, 解得-1<k<0或0<k<1， 或 解得 ， 即-1<tanα<0或0<tanα<1, 或 3π < α < π 或0 < α < π . 故
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y 设直线l过双曲线 设直线 过双曲线 x = 1的一个焦 3
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2
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即(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0. 设点A（ 设点 （x1,y1),B(x2,y2),
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4k 4k + 3 , x1 x2 = 2 , 则 x1 + x2 = 2 k 3 k 3
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有两个交点，则直线 的斜率 的斜率k的取值范围是 有两个交点，则直线l的斜率 的取值范围是
3 3 ( , ) 2 2 .
x2 y 2 2.过原点的直线 过原点的直线l:y=kx与双曲线 与双曲线C: = 1 过原点的直线 与双曲线 4 3
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拓展
训练
过点Q（ ， ） 作抛物线y 的弦AB， 过点 （ 4，1）作抛物线 2=8x的弦 ， 的弦 若弦恰被点Q平分 平分， 所在直线的方程. 若弦恰被点 平分，求AB所在直线的方程 所在直线的方程 分析：因为所求弦通过定点 ，所以求弦 分析：因为所求弦通过定点Q， AB所在的直线方程的关键是求出斜率 ，又Q 所在的直线方程的关键是求出斜率k， 所在的直线方程的关键是求出斜率 为弦的中点， 所以可以用作“ 为弦的中点 ， 所以可以用作 “ 差 ” 或 “ 韦达 定理”求得. 定理”求得
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第 四 讲
直线与圆锥曲线的位置 关系
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1.若a≠b且ab≠0，则直线 若 且 ，则直线ax-y+b=0和二次 和二次 曲线bx 的位置关系可能是( 曲线 2+ay2=ab的位置关系可能是 ) 的位置关系可能是
= 1+ k
2
( x1 + x2 ) 4 x1 x2 = 6 5 .
2
6 5
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1.直线与圆的位置关系的判断 由圆心到直线的距离d与圆半径 比较大 由圆心到直线的距离 与圆半径r比较大 与圆半径 小判断位置关系： 小判断位置关系： (1)当d＞r时，直线与圆 相离 当 ＞时 ；(2)当 当 相切 d=r时，直线与圆 时 ；(3)当d＜r时， 当 ＜时 直线与圆 相交 .
| AB |= 1 + k | x1 x2 |= 1 + k
2 2
( x1 + x2 ) 4 x1 x2 = 4.
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求直线被二次曲线截得的弦长， 点 评 求直线被二次曲线截得的弦长， 通常是将直线与二次曲线方程联立， 通常是将直线与二次曲线方程联立 ， 得到关 的一元二次方程， 于x(或y)的一元二次方程，然后利用韦达定理 或 的一元二次方程 及弦长公式求解. 及弦长公式求解
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从而y 从而 1y2=k2(x1-2)(x2-2) =k2(x1x2-2(x1+x2)+4)
4k 2 + 3 8k 2 = k 2 ( 2 2 + 4) k 3 k 3 2 9k = 2 . k 3
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因为OAOB=0，所以OA⊥OB, ，所以 ⊥ 因为
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考点2 考点2：弦长与中点弦的问题 交双曲线于A， 为坐标原点， 点，交双曲线于 ，B两点，O为坐标原点， 为坐标原点 的值. 若OAOB=0，求|AB|的值 ， 的值 不妨设直线AB过右焦点 不妨设直线 过右焦点F(2,0)， 过右焦点 ， 其斜率为k, 其斜率为 则直线AB的方程为 则直线 的方程为y=k(x-2). 的方程为 代入双曲线方程， 代入双曲线方程，得3x2-k2(x-2)2=3,
3.设抛物线 2=8x的准线与 轴交于点 设抛物线C:y 的准线与x轴交于点 设抛物线 的准线与 轴交于点Q, 若过点Q的直线 与抛物线 有两个公共点， 若过点 的直线l与抛物线 有两个公共点，则 的直线 与抛物线C有两个公共点 直线l的倾斜角 的取值范围是 直线 的倾斜角α的取值范围是 的倾斜角 由题意可得Q(-2,0), 由题意可得 的方程可设为y=k(x+2)， 则l的方程可设为 的方程可设为 ， 代入y 代入 2=8x, .
4
3π 4 (0, ) U ( , π ) 4 4
7
π
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4.直线 直线y=kx-2与椭圆 2+4y2=80相交于不同 与椭圆x 直线 与椭圆 相交于不同 的两点P、 若 的中点的横坐标为 的中点的横坐标为2,则弦长 的两点 、Q,若PQ的中点的横坐标为 则弦长 |PQ|等于 . 等于 由于 y=kx-2 x2+4y2=80， ， 消去y整理得 消去 整理得, 整理得 （1+4k2）x2-16kx-64=0.
y1 y2 所以 = 1, x1 x2
即x1x2+y1y2=0,
4k 2 + 3 9k 2 所以 2 2 = 0, k 3 k 3 解得 k 2 = 3 . 5
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此时=16k4+4(3-k2)(4k2+3)＞0, 此时 ＞ 又当AB⊥ 轴时 轴时， 又当 ⊥x轴时， ），B（ ， ）不满足条件. 点A（2，3）， （2，-3）不满足条件 （ ， ）， 故由焦点弦长公式， 故由焦点弦长公式，得
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2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线 的位置关系时 判断直线 与圆锥曲线C的位置关系时 可 与圆锥曲线 的位置关系时,可 将直线 l的方程代入曲线 的方程，消去 或x)得 的方程代入曲线C的方程 消去y(或 得 的方程代入曲线 的方程， 一个关于变量x(或 的一元二次方程 的一元二次方程ax 一个关于变量 或y)的一元二次方程 2+bx +c=0（或ay2+by+c=0）. （ ） (1)当a≠0时，则有 ＞0 ，l与C相交； 当 相交； 时 与 相交 ＞ =0 , l与C相切； 相切； 与 相切 ＜0 ＜ 相离; ，l与C相离 与 相离
数形结合可知l与 有两个交点 则直线l夹在 有两个交点， 数形结合可知 与C有两个交点，则直线 夹在 3 3 两渐近线之间， 两渐近线之间，从而 < = ± x, 2
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只有一个公共点； 与C只有一个公共点； 只有一个公共点 l与C有两个交点； 与 有两个交点 有两个交点；
3 当k＜ 2 或 2＜k＜ 2 或 2＜k＜ 时， 2 3 没有交点. 当 k > 时，l与C没有交点 与 没有交点 2