双曲线定义(带动画)
双曲线定义(带动画)
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2 )x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
双曲线的标准方程
y
M
y M
F
1
OF
2
x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
(a 0，b 0)
思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？
三、例题选讲
例1 已知两定点 F1 5,0, F25,0 ,动点 P 满
足 PF1 PF2 6 ,求动点P 的轨迹方程
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
判断：x2
16
y2 9
1与
y2 9
x2 16
1的焦点位置？
结论：看 x2 , y 2前的系数，哪一个为正，则
焦点在哪一个轴上。
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义 方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差 的绝对值等于6，则
3 5 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______
双曲线及其标准方程(带动画)很好
x
方程
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
焦点 a.b.c 的关 系
c a b
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
M
焦点在y轴上
y
F2
M x
F
1
O
F
2
x
O
F1
2 2 x y y x 2 1 2 1 2 2 a b a b 2 2 2 (a 0，b 0)并且c =a b
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
椭
定义 方程
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
三种圆锥曲线统一定义及动画演示
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做 抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线.
(2)与椭圆、双曲线不同， 抛物线只有一个焦点和一条准线
可以用数学表达式来体现: 设平面内的动点为M ,有 MF=d（d为动点M到
直线L的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ离）
抛物线的定义：
▪ 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l (F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫 做抛物线的准线
说明：(1)点F不能在直线l上， 否则其轨迹是过点F且与l垂直的直线
关于椭圆、双曲线、抛物线你了解多少? 在我们的实际生活中有这些曲线吗? 它们分别给我们什么印象?
椭圆？
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线 的形状像椭圆．
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
椭圆
双曲线
抛物线
椭圆的定义
平面内到两定点 F1 ，F2的距离之和 为常数(大于F1 F2 距离）的点的轨迹 叫椭圆，两个定点 叫椭圆的焦点，两 焦点的距离叫做椭 圆的焦距.
说明： 若动点M到的距离之和为2a ， | F1 F2| = 2c 则当a>c>0时，动点M的轨迹是椭圆; 当a = c>0时，动点M的轨迹是线段F1 F2 ； 当 0 < a < c时，动点M无轨迹
双曲线的定义 ：
双曲线定义与方程(带动画)
F
1
M
o
F
2
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 如何求这优美的曲线的方程？ 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点． 设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式． |MF1|
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a （小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M
(1)距离之差的绝对值
| |MF1| - |MF2| | = 2a
|MF1| - |MF2| = 2a
F
1
o
F2
x2 y2 2.已知方程 1 9k k 3 3 k 9且 k 6； (1)方程表示椭圆，则 k的取值范围是 __________ ______
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
椭圆、双曲线、抛物线的统一定义以及动画演示
双曲线的定义 ：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对 值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双 曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的 焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
说明：若动点M到两定点的距离之差的 绝对值为2a ，| F1 F2| = 2c 当c > a >0时，动点M的轨迹是双曲线; 当a = c>0时，动点M的轨迹是两条射线； 当 0 < c < a时，动点M无轨迹
关于椭圆、双曲线、抛物线你了解多少? 在我们的实际生活中有这些曲线吗? 它们分别给我们什么印象?
椭圆？
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线 的形状像椭圆．
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
椭圆定点 F1 ，F2的距离之和 为常数(大于F1 F2 距离）的点的轨迹 叫椭圆，两个定点 叫椭圆的焦点，两 焦点的距离叫做椭 圆的焦距.
的点的轨迹叫做抛物线.
· N M
定点F叫做抛物线的焦点.
·F
定直线l 叫做抛物线的准线.
即:
若
︳MF ︳MN
︳ ︳ 1,
则 点M的
轨迹
是
抛物线
。
椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做焦距．
说明： 若动点M到的距离之和为2a ， | F1 F2| = 2c 则当a>c>0时，动点M的轨迹是椭圆; 当a = c>0时，动点M的轨迹是线段F1 F2 ； 当 0 < a < c时，动点M无轨迹
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做 抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线.
双曲线ppt
谢谢
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率； 定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的 准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与 圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程 F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
双曲线ppt
演讲人
一般的，双曲线（希腊语“Υπερβολία” ，字面意思是“超过”或“超出”）是定 义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固 定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距 离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一 般位于原点处。
名称定义
播报
编辑
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于 |F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做 双曲线。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点 的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。 对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近 线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支 反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下，渐近线是两个坐标轴。
双曲线的定义和性质
双曲线的定义和性质
双曲线（Hyperbolic Curve）是数学中一种特殊的曲线，它具有两条反曲线（Hyperbolic curve），沿着直线封闭，它被认为是一种极限曲线，可以收敛到两个不同
的焦点。
虽然双曲线也称为平行双曲线，但它们可以按照任意方向曲折，但不会超过可以
认为是一个自治空间内的某个最大距离。
双曲线常用来描述流动的几何形状，可以用来解
释力的重力学传播效应。
（1）双曲线的最重要的性质就是它收敛到两个焦点，且这两个焦点之间的距离可以
通过一个称为双曲线的焦距的值来衡量。
（2）另外，双曲线完全由两个反曲线（Hyperbolic curves）组成，沿着直线封闭，
且双曲线具有节点，这些节点与直线联系在一起，称为切点，切点与双曲线的凹角相关联。
（3）此外，双曲线还具有两个定点，它们位于曲线上，且称为双曲线的交点，即双
曲线截止点。
双曲线的曲率（Curvature）取决于双曲线的焦距，曲率越大，双曲线的弯
曲越明显。
（4）双曲线的面积是负的，这意味着它的形状并不完全似圆，而是更加具有弯曲性，因此它在空间中形状更复杂。
（5）双曲线具有相反性，也就是说，当它在一个方向运行时，它会在相反的方向运行。
（6）另外，双曲线的拉伸性也很高，可以曲折的的角度和弯曲程度要比普通圆弧更大，这也使它具有很多实用价值。
（7）双曲线可以用于许多不同的几何计算，如极限几何的计算，倒立曲线的计算以
及复杂的曲面的几何计算。
双曲线的定义及其基本性质
双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义：
（1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜
2
1F F ）的点的轨迹。
两定点叫双曲线的焦点。
a PF PF 221=-＜2
1F F
（2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的方程： 双曲线标准方程的两种形式：
①
12
222=-b y a x ，2
2b a c +=，
F 1(-c,0),F 2(c,0) 三、双曲线的性质：
（1）焦距F 1F 2=2c,实轴长A 1A 2=2a,虚轴长（2）双曲线的离心率为e=a
c
，e>1（3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b （4）有两条准线，c a x l 21:-=x l 2:=四、双曲线的渐近线：
（1）若双曲线为12222=-b y a x ⇒渐近线方程为x a
b
y ±=，
（2）若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则可设此双曲线为λ=-22
22b
y a x ，
（3）特别地当a=b 时⇔2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线
五、共轭双曲线：
双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11
122=+B
A e e 。
2.3.1双曲线及其标准方程(自带动画不需另下,绝对好)
双曲线标准方程的推导
5
一、建立坐标系；设动点为 P(x,y)
P(x,y)
注：设两焦点之间的距离为 2c(c>0), 即焦点F 1(c,0),F 2(-c,0)
-5
F1(-c,0)
F2(c,0)
5
二、根据双曲线的定义找出P点 满足的几何条件。
-5
| PF1 | | PF2 | 2a 0 a c
y
M
M F2
焦点在Y轴上
y
图象
F1 o F2
x
F1
x
方程
焦点
a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2 2
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
2
c a b
椭 定义 方程
圆 y2
b2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
x2
a2
+
=1
y2 x2 =1 2 + 2 a b
椭圆以大小论长短
y2 a2
x2 = 1 2 b
F（±c，0） F（0，±c）
双曲线以正负定实虚
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c的 关系
a>b>0，a2=b2+c2
a>0，b>0，但a不一定 大于b，c2=a2+b2
三、将几何条件化为代数条件:
根据两点的间的距离公式得：
( x c) y
2
2
双曲线的性质课件(PPT 15页)
y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
y C3C2 C1
O
x
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
离心率对双曲线形状的影响
焦点在y轴上的双曲线图
像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
根据以上几何性质能够
根据以上几何性质能否
较准确地画出椭圆的图形？ 较准确地画出双曲线的图形呢？
双曲线标准方程：y 2 x 2 1 双曲线性质： a 2 b2
Y
1、范围：y≥a或y≤-a
F2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
A2
3、顶点 A1（0，-a），A2（0，a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2 B1
5、渐近线方程： y a x
o
b
6、离心率：e=c/a
A1
F2
B2 X
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1
双曲线知识点图表总结
双曲线知识点图表总结双曲线是一种常见的曲线形状，它在数学、物理、工程和其他领域中都有广泛的应用。
双曲线有许多重要的性质和特征，本文将对双曲线的定义、性质、公式、图形以及在不同领域中的应用进行详细的总结和分析。
1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线形状，其数学定义是一个平面上的一组点，它们满足以下方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为双曲线的两个参数，双曲线可以是水平、垂直或者倾斜的。
2. 双曲线的性质双曲线有许多重要的性质，其中一些最重要的包括：- 双曲线有两条渐近线，分别是x=a和x=-a。
- 双曲线关于x轴和y轴对称。
- 在双曲线的右支部分，x>0，y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，y>0。
- 在双曲线的左支部分，x<0，y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，y>0。
3. 双曲线的公式双曲线的标准方程是x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为双曲线的两个参数。
可以通过调整a和b的值来改变双曲线的形状和大小。
另外，还有其他形式的双曲线方程，如y=a*sinh(x)和x=a*cosh(y)，它们也可以表示双曲线。
4. 双曲线的图形在坐标系中，双曲线通常呈现出一种开口向左或向右的形状，双曲线的形状会随着参数a和b的变化而变化。
双曲线的图形可以通过绘制其标准方程或其他形式的方程来显示。
5. 双曲线在数学中的应用双曲线在数学中有许多重要的应用，其中一些包括：- 双曲线是解析几何中的重要对象，它在描述曲线的形状和性质时有着重要的作用。
- 双曲函数sinh(x)和cosh(x)分别是双曲线的正弦和余弦函数，在微积分和其他数学领域中有广泛的应用。
6. 双曲线在物理中的应用双曲线在物理中也有许多重要的应用，其中一些包括：- 双曲线是描述电磁场和引力场中的曲线轨迹的重要工具，在物理学中有重要的应用。
- 双曲线的性质和特征常常用于描述波动、震荡和振动等现象。
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画双曲线
演示实验：用拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
一、 双曲线定义（类比椭圆）
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1
o
F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关
系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
c a b
2
作业：
1、课本第61页A组1、2；
2、一线精炼第11课时的选择题和填 空题（其中选择题涂卡）。
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
方 程
焦 点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 说明：
0<2a<2c
；
思考： （1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线 （2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
新乐一中
刘焕
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 2. 引入问题 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
返回 拉链实验
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
反比例函数的图像
冷却塔
罗兰导航系统原理
即
(x+c)2 + y2 -
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
y
M F1
o
cx a2 a (x c)2 y2
(c a ) x a y a (c a )
随堂练习
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程 ①a=4,b=3，焦点在 x轴上； 2 y x2 16 9 ②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5) y2 x2 20 16
1
1
2.已知方程
x 2 m
2
y2 m1
1
表示焦点在y轴的
m＜－2 双曲线，则实数m的取值范围是______________ （变式）：上述方程表示双曲线，则m的取值范围 是 m＜－2或m＞－1 __________________
x2 y2 y2 x2 1与 判断： 1 的焦点位置？ 16 9 9 16
结论： 看
x , y 前的系数，哪一个为正，则
2Байду номын сангаас
2
焦点在哪一个轴上。
双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭
定 义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2 2 2 2 2 2 2 2
令c2－a2=b2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
(a 0，b 0)
判断总结下列方程表示双曲线的焦点位置，并 说出其中的a=___;b=____;c=_____
3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 线段F1F2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式． |MF1|
F1
y
M
o
F2
x
- |MF2|= 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +
典型例题
例：已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距 离差的绝对值等于6，则 (1) a=_______ 3 , c =___
5
_ ,
b =_______ 4
(2) 双曲线的标准方程为______________
变式1：把上面点改为（0，-5），（0,5） 变式2：把上面的绝对值去掉方程会有什么变化？