精品PPT大物——第三章 振动、波动和声

T
2
T 2
m k
1 2
k m
3、位相和初位相
x A cos( t 0 )
t 0 —位相，决定谐振动物体的运动状态
v A sin( t 0 )
0 是t =0时刻的位相—初位相
t 0时 x0 A cos 0
v0 A sin 0
辐射阻尼： 振动以波的形式向外传波，使振动能量 向周围辐射出去。
阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减） 弱介质阻力是指振子运动速度较低时， 介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 振子受阻力
dx f r v dt
—阻力系数
2 dx d x 振子动力学方程 kx m 2 dt dt d 2x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
1
v m 31.4 A 10cm 3.14
故振动方程为 x 10 cos(t 方法2： 用旋转矢量法辅助求解。

6
)cm
x A cos(t ) v A sin(t ) v m cos(t ) 2 1 v m A 31.4cms
2
) t cos(
2 1
2
t )
合振动不是简谐振动
当21时, 2 1 2 1 则： x A(t ) cos （ t ） 2 1 ) t 随t 缓变 式中 A( t ) 2 A cos( 2 2 1 随t 快变 cos （ t ） cos( t ）

6
)cm
四、 简谐振动的能量
以弹簧振子为例
谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep
某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
v A sin( t 0 ) x A cos( t 0 )
1 E k mv 2 2 1 2 kA sin2 ( t 0 ) 2
v0 tan 0 x 0
位相差
两振动位相之差。
2 1
当=2k ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
当=(2k+1) , k=0,±1,±2... 两振动步调相反,称反相
0
2 超前于1 或 1滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
(3) 20 10

2
x2 y2 1 A1 A2
合振动的轨迹为以x轴和y轴 为轴线的椭圆
x A1 cos( t 10 )
y A1 cos( t 10
y
x

2
)
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
讨论
x y 2 ) 0 (1) 20 10 0 ( A1 A2
A2 y x A1
合振动的轨迹为通过原点且 在第一、第三象限内的直线
A2 斜率 A1
y
x
质点离开平衡位臵的位移
S x y
2 2
A1 A2 cos( t )
2 2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
2
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
x1
t
x2
t
x
t
拍
合振动忽强忽弱的现象
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 2 拍 2 1 或：T 2 1 2 1 v v2 v1 2
=|2-1|
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
分振动
x A1 cos(t 10 )

2
)
a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
x.v .a.
o
x
T/4
T/4
a
T
t
v
例： 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期
T= 2 s， 当t = 0 时，质点对平衡位臵的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
x X
o
x A cos( t 0 )
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x A cos( t 0 )
v A sin( t 0 ) v m cos( t 0
1 2 E p kx 2
1 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
1 E总 kA 2 2
3-2
简谐振动的合成

M
一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成 质点同时参与同方向同频率 的谐振动 :
x1 ( t ) A1 cos( t 10 ) 20 x2 ( t ) A2 cos( t 20 )
合振动是简谐振动, 其频率仍为
分析
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 20 10 )
若两分振动同相：
20 10 2k
A A1 A2
k 0 ,1,2 ,
两分振动相互加强
若两分振动反相:
20 10 ( 2k 1 )
v的旋转矢量 与v轴夹角表 t 2 示t 时刻相位
t 0


2

v
t 1s
2 由图知 2 3

1

6
o
1
s
v m 31.4 A 10cm 3.14
x 10 cos(t
2 1 2 3 3
x0 A cos 0


A sin 0
A
x0 (
2
v0

)
2
2、周期 、频率、角频率
周期T ：物体完成一次全振动所需时间。
1 频率：单位时间内振动的次数。 T 2 2 角频率 2
T
对弹簧振子
k m
A cos( t 0 ) A cos ( t T ) 0
y A2 cos(t 20 )
合振动
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
*四、两个相互垂直方向不同频率的简谐振动的合成
如果两个分振动 的频率相差较大， 但有简单的整数 比关系，这时合 振动为有一定规 则的稳定的闭合 曲线，这种曲线 称为利萨如图形
3-3
阻尼振动 受迫振动 共振
一、 阻尼振动
能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。
阻 尼 振 动 摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的 作用，系统的动能转化为热能。
简谐振动的表达式为
3
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图 所示，试求其振动方程。 v(cms 1 )
解：方法1
31.4 15.7 设振动方程为 0 x A cos( t 0 ) 15.7 31.4
1
t ( s)
v0 A sin 0 15.7cms 1 a0 2 A cos 0 0 v0 15.7 1 1 A v m 31.4cms sin 0 A 31.4 2 5 a0 0 ,则cos 0 0 0 或 0
km
2
d2x kx m 2 dt
简谐振动 微分方程
x
d x 2 x 0 2 dt
2
简谐振动的微分方程
d2x 2 x0 2 dt
其通解为：
x A cos( t 0 ) 简谐振动的运动学方程
cos( t 0 ) sin( t 0
第三章
振动、波动和声
机械振动：物体在一定位臵附近作来回往复的运动。
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。 振动分类
线性振动 非线性振动
自由振动
受迫振动
线性振动：系统中构件的弹性服从胡克定律，运动时产生的阻尼力与广 义速度（广义坐标的时间导数）的一次式成正比的振动。 非线性振动：恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的 系统的振动。 自由振动：系统受初扰动后不再受外界激励时所作的振动。 振动按照能量是否亏损分为阻尼振动(减幅振动)和无阻尼振动（等幅 振动)；按照振动的成因又分为受迫振动和自激振动.
合振动 : x x1 x 2
A2
M 2
x A cos( t 0 )
A A A 2 A1 A2 cos( 20 10 )
2 1 2 2
0
x2
10
A A1 M 1
x1
x
A1 sin 10 A2 sin 20 tg 0 A1 cos 10 A2 cos 20
0
k 系统固有角频率 m
阻尼系数 2m
(4) 20 10

2
合振动的轨迹为以x轴和y轴 为轴线的椭圆
x A1 cos( t 10 )
y A1 cos( t 10
y
x

2
)
质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。