2012年自主招生北约数学试题及参考答案
2012华约自主招生考试数学试题
2012年华约自主招生考试数学试题一、选择题1. 在锐角三角形ABC 中，已知A B C >>，则cos B 取值范围是（ ）A 、⎛ ⎝⎭B 、12⎛ ⎝⎭C 、()0,1D 、⎫⎪⎪⎝⎭2. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同色的棋子中，均为红棋在前，蓝棋在后，满足这种条件的不同排列方式共有（ ）A 、36B 、60C 、90D 、1203. 正四棱锥S -ABCD 中，侧棱底面所成的角为α，侧面与底面所成的二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 对角线所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ，则四个角大小顺序为（ ）A 、α<β<θ<γB 、α<β<γ<θC 、α<γ<β<θD 、β<α<γ<θ4. 向量e α≠，1e =，若对t R ∀∈，te e αα-≥+，则（ ）A 、e α⊥B 、()e αα⊥+C 、()e e α⊥+D 、()()e e αα+⊥-5. 若C ω∈，11ωω-+的实数部为0，求复数11ω+在复平面内对应的点的轨迹（ ） A 、一条直线 B 、一条线段 C 、一个圆 D 、一段圆弧6. 椭圆长轴长是4，左顶点在圆22(4)(1)4x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆的离心率的范围是（ ）A 、11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦7. 已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 是正三角形，点A 在侧面SBC 的射影H 是SBC 的垂心，二面角H -AB -C 为30度，且SA =2，则此三棱锥体积为（ ）A 、12BCD 、348. 已知锐角ABC ∆，BE AC ⊥于E ，CD AB ⊥于D ，25BC =，7CE =，15BD =，BECD H =，连接DE ，以DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F ，AF 的长度为（ ）A 、8B 、9C 、10D 、119. 数列{}n a 的通项公式是22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=（ ） A 、0B 、lg 32C 、lg2D 、lg310. 已知610i x -≤≤（1,2,,10i =），10150i i x ==∑，当1021i i x =∑取得最大值时，在i x 这10个数中等于6-的共有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、4二、解答题 11. 三角形ABC 中，22sin 1cos22A B C +=+， （1）求角C 大小； （2）22222c b a =-，求cos2cos2A B -的值．12. 点P 在y 轴上的投影为H ，若()2,0A -，()2,0B ，22AP BP PH ⋅=．（1）求点P 的轨迹；（2）过B 的直线在x 轴下方交P 点轨迹于M 、N 两点，MN 的中点为R ，求过R 与()0,2Q -的直线斜率的取值范围．13. 系统内每个元件正常工作的概率为p ，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作．（1）某系统配置21k -有个元件，k 为整数，求系统正常工作的概率k P ，并讨论k P 的单调性；（2）现为改善（1）中性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统可靠性． 14. 已知2()12!!n n x x f x x n =++++（n N *∈），求证：当n 为偶数时，()0n f x =无解；当n 为奇数时，()0n f x =有唯一解且2n n x x +<．15. 乒乓球队有n 个队员，在一次双打集训中，任意两名队员作为队友，恰好只搭档过一次双打比赛，求n的所有可能值并每个给一种比赛方案．16.。
“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
2012北大自主招生数学试题
2012北大自主招生数学试题(理科)1.求x 的取值范围,使得()21f x x x x =+++-是增函数.2.1的实数根的个数.3.已知22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的4个根组成首项为14的等差数列,求m n -.4.已知锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ,求O 到三角形三边的距离之比.5.已知点(2,0),(0,2)A B -,若点C 是圆2220x x y -+=上的动点,求ABC ∆面积的最小值.6.在1,2,,2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？7.设点A 、B 、C 分别在边长为1的正三角形的三边上,求222AB BC CA ++的最小值.8.若关于x 的方程sin 4sin 2sin sin 3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的a ,求实数a 的范围.9.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.10.求证:对于任意的正整数n ,(1n 的形式,其中s N +∈.2012年清华等五校自主招生试题−−通用基础测试数 学一、选择题1.若P 为ABC ∆内部任一点(不包括边界),且()(2)0PB PA PB PA PC -+-=,则ABC ∆必为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形2.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若MA MP ⊥,则P 点形成的轨迹的长度为( )C.3D.32 3.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,,1n -中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9,99,999都出现的概率是( ) A.4110 B.5110 C.6110 D.7110 4.已知,R αβ∈,直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上,则cos sin c in s s o ααββ+++=( )A.0B.1C.1-D.25.若正整数集合A k 的最小元素为1,最元素为2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列,则并集1759A A 中的元素个数为A.119B.120C.151D.1546.三角式111cos 0cos1cos1cos 2cos88cos89+++化简为 A.cot1csc1 B.tan1csc1 C.cot1sec1 D.tan1sec17．设k<3,k≠0，则二次曲线2213x y k k -=-与22152x y +=必有 (A)不同的顶点；(B)不同的准线；(C)相同的焦点；(D)相同的离心率．8.若P 为椭圆221169x y +=l 在第一象限上的动点，过点P 引圆x 2＋y 2=9的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则S MON ∆的最小值为( )(A)92;(B)(C)274;(D) 9. 设x 1、x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根，若x 1是虚数，212x x 是实数,则 248200711111222221x x x x x S x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A.0B.−1003C.1004D.−100410.函数f:R →R ，对任意的实数x 、y ，只要x+y≠0，就有f(xy)=()()f x f y x y++成立,则函数f(x)(x ∈R)的奇偶性为(A)一定是奇函数； (B)一定是偶函数; (C)既是奇函数，又是偶函数； (D)既不是奇函数，又不是偶函数．二、解答题11. 系统内有2k−1(k ∈N+)个元件，每个元件正常工作的概率为p(0<p<1)，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作．求系统正常工作的概率p 并讨论p k 的单调性．12.已知2()12!!n n x x f x x n =++++(*n N ∈),求证:当n 为偶数时,方程()0n f x =无解;当n 为奇数时,方程()0n f x =有唯一解n x ,且2n n x x +<.13．已知锐角三角形ABC中，BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D，且BC=25，CE＝7,BD=15，若BE、CD交于点H，联结DE，以DE为直径作圆，该圆与AC交于另一点F，求AF的长度．14.已知有n(n≥2)位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，试求n的所有可能值·15．已知动点P在y轴上投影为H,A(−2,0),B(2,O)，满足2AP BP PH.2||(1)求点P的轨迹方程C;(2)已知一条直线过点B，且与曲线C交于x轴下方两点C、D，M为CD中点，求M与点Q(0，−2)连线的斜率取值范围．2012年名牌大学自主招生考试试题(3)适用高校：北京理工大学、同济大学等十三校一、选择题1．正四面体的4个而上分别写若l,2,3,4,将4个这样的均匀正四面体投掷于桌而上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是( )(A)18 (B)964(C)116 (D)1316 2．设a>0,b ＞0，c ＞0，且a+b+c=1，则22a b c 的最大值为( )(A)613 (B)43123 (C)34123 (D)6123．已知F 1、F 2分别为双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 为双曲线左支上的任意一点, 若221||||PF PF 的最小值为8a, 则双曲线的离心率的取值范围为( ) (A)(l ，+∞); (B)(0,3]； (C)(1,2]； (D)(1,3]4．如果关于x 的方程2x 2+3ax+a 2−a ＝0至少有一个根等于l 的根，那么实数a 的值( )(A)不存在；(B)有一个；(C)有三个；(D)有四个．5.5个顶点不共面的五边形叫空间五边形,空间五边形的5条边所在直线中,互相垂直的直线对至多有( )(A)5对; (B)6对; (C)7对; (D)8对.6．已知定义在实数集R 上的函数f(x),其值域也是R,井且时任意x 、y ∈R ．都有f[xf(y)]=xy,则|f(2007)等于( )(A)0; (B)1; (C)20072; (D)20077．若k 是正位数,且0242401020054010401040104010333C C C C +⨯+⨯++⨯能被2k 整除,则k 的最大值为( )(A)2004; (B)2005; (C)2006; (D)2008.8.已知非零向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,且12||||AB AC AB AC =则ABC ∆为( ) (A)三边均为不相等的三角形; (B)直角三角形; (C)等腰非等边三角形; (D)等边三角形.9.关于x 、y 、z 的方程组333(6),(6),(6),y x z y x z -=-=-=的实数解的组数有( )(A)有一组解； (B)有两组解; (C)有无穷多组解； (D)无法确定10．在欧非杯排球赛中，欧洲的参赛队伍比非洲的参赛队伍多9支,每两支球队赛一场，胜者得1分，败者得0分,若欧洲球队所得总分为非洲球队所得总分的9倍，则非洲球队的各支球队中得分的最大可能值是( )(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.二、解答题11.在m(m≥2)个不同数的排列P 1 P 2 ⋯P m 中, 若1≤i<j≤m 时P i ＞P j (即前面某数大于后面某数)，则称P i 与P j 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n−1)⋯321的逆序数为a n ,如排列21的逆序数a 1=l ，排列4321的逆序数a 3=6.(1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n =11n n n n a a a a +++,求证：2n<12n b b b +++ <2n+3,n=1,2，…12.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 已知sinA ＋sinC=msinB(m ∈R)，且4(A−C)+4cosB+cos2B=1.(1)求证：b 2=4ac;(2)当m=54， b=1时,求a 、c 的值； (3)若角B 为最大内角(即B≥A 且B≥C)．求实数m 的取值范围.13．已知a、b为实数，i为虚数单位．且关于z的二次方程4z2+(2a+i)z−8b(9a+4)−2(a+2b)i=0至少有一个实根．求这个实根的最大值．14.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0,点A(5,0)到双曲线C上动点P(1)求双曲线方程；(2)若过点B(1,0)的直线l交双曲线C上支一点M，下支一点N，且4MB=5BN,求直线l的方程．15．由抛物线x=y2＋2与点(3,1)处的法线及x轴、y轴所围成一个平面图形．(1)求此平面图形的面积；(2)求该平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积．2013年“北约”自主招生试题一、以二、在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有多少种停放方法？三、已知x2=2y+5,y2=2x+5，求x3−2x2y2+y2的值。
北大真题集
北约”的数学题型为5道解答题，各20分，总分为100分，内容上每年都会考一到两题的平面几何，这个知识点是上海学生在初中就学过的，但在全国高考中是作为考核内容的。
此外，三角形和解析几何等也都是“北约”每年的考核重点，难度略高于本市实验性示范性高中平时做的题目。
“2012年“北约”自主招生选拔联合考试数学真题及答案北大联合自招，基本题型包括在阅读文本中选择正确或最好的表达形式、文言综合阅读、现代文学作品阅读、写作等几个部分。
文学作品阅读的选材广泛，因为作品时代差异和作家风格不同，对考生有很强的挑战性，王振宇老师建议：一要把握常见基础题型。
比如理解句子含义，分析段落内涵这类常见题目的答题技巧;二是以读促写，以写悟读，将阅读与写作有效结合起来，提高自我独立阅读能力、培养多角度、个性化思维素养。
三有良好阅读习惯，北约类试题文本阅读都是千字文，卷面试题量大、解题时间有限，考生应积极进行快速阅读训练，迅速理清作者的思想、意图、感受，体验作品的思想境界和作者对人、事、物的感情倾向等能力尤其重要。
关于写作，考生可看一下过去三年北约的作文题目：(北京大学2011)鲁迅曾说：“无尽的远方，无数的人们，都与我有关。
”你认为这是怎样的一种关联?你自己与“无尽的远方，无数的人们”是以什么方式相关联?试结合上述问题，以《无尽的远方，与无数的人们》为题写一篇作文。
(北京大学2010)今年是北京大学中文系林庚教授诞辰100周年，有人评价林庚“建安风骨，盛唐气象，少年精神，布衣情怀”。
请从中选择一个四字短语为题，写一篇要求在诗情画意中富含哲理的散文。
(北京大学2009)有腐败分子认为：腐败，是一种人人难免的“普遍本性”，它有助于刺激消费……请你写一篇800字文章、观点,要求至少有5处正确引用古诗文。
从过去三年北约的作文题目我们不难看出，命题者将学生表达能力和感悟能力结合起来，文章要写得有诗情画意，且要富有哲理，这就有一定的难度的。
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷(二)
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）1．（3分）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（）A．一定是非零偶数B．等于零C．一定为奇数D．可能是奇数，也可能是偶数考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项．解答：解：a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2abc﹣2ab=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab），已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，∴a+b﹣c也为奇数，则（a+b+c）（a+b﹣c）也为奇数，2（abc﹣ab）是偶数，∴a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab）一定是奇数，故选：C．点评：本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键．2．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A．﹣1 B．C．2D．考点：分式的化简求值．分析：由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．解答：解：由a+b+c=2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，将已知代入，得ab+bc+ac=；由a+b+c=2得：c﹣1=1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1=ab+1﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1=（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1=（c﹣1）（a﹣1），∴原式=++=====﹣．故选D．点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．3．（3分）设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2B．3C．4D．0考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：分类讨论．分析：利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．解答：解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．故本题选B．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．4．（3分）设函数y=﹣x2﹣2kx﹣3k2﹣4k﹣5的最大值为M，为使M最大，k=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：二次函数的最值．专题：计算题．分析：由于M是最大值，那么M=，即M=﹣2k2﹣4k﹣5，于是求k=﹣的值即可．解答：解：∵y=﹣x2﹣2kx+（﹣3k2﹣4k﹣5），∴M==∴M=﹣2k2﹣4k﹣5，又∵M最大，∴k=﹣=﹣=﹣1．故选A．点评：本题考查了函数的最值．注意y最大值=即可．5．（3分）若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（）A．2011 B．2010 C．2009 D．2008考点：因式分解的应用．专题：计算题；整体思想．分析：将3x2﹣x=1化简为3x2﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008变形的式子3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010，计算即可求解．解答：解：∵3x2﹣x=1，即3x2﹣x﹣1=0，∴9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010=2010．故选B．点评：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．6．（3分）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（）A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：应用题．分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现交点．解答：解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．如图所示，显然这样的点有8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的定义，运用数形结合的思想进行解决，难度适中．7．（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）A．11个B．12个C．13个D．14个考点：面积及等积变换．分析：由有六个面积为1的正方形组成的长方形，然后依据三角形的面积等于底乘以高，抓住底与高一个为2，一个为1，然后从一边开始，依次求解即可求得答案，小心别漏解．解答：解：∵如图是六个面积为1的正方形组成的长方形，∴以AB为边：△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，以AC为边：△ACG，以AD为边：△ADE，以AE为边：△AEF，以AF为边：△AFG，以BC为边：△BCF，以BD为边：△BDE，以BE为边：△BEF，以BF为边：△BFG，以CD为边：△CDF，以CE为边：△CEG．故以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有14个．故选D．点评：此题考查了三角形的面积问题．此题属于易错题，难度较大，解题的关键是注意依次数得，小心别漏解．8．（3分）锐角△ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，∠BAD+∠C=90°，则AD一定过△ABC 的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理．分析：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，根据三角形的内角和定理求出∠BAD+∠E=90°，推出∠C=∠E，根据三角形的外接圆的圆心的定义求出即可．解答：解：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，∴∠BAD+∠E=90°，∵∠C+∠BAD=90°，∴∠C=∠E，∴E在△ABC的外接圆上，∵∠ABE=90°，∴AE是直径，∴AD一定过△ABC的外心．故选C．点评：本题主要考查对三角形的外接圆与外心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠E=∠C是解此题的关键．9．（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：5，则桶的容积为（）A．30升B．40升C．50升D．60升考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：首先设出桶的容积为x升，倒出两次后纯农药的容积为（x﹣20﹣）升，倒入两次水后水的容积为【20﹣（1﹣）×10+10】升，由农药与水的容积之比为3：5列出方程解答即可．解答：解：设桶的容积为x升，根据题意列方程得，（x﹣20﹣）：[20﹣（1﹣）×10+10]=3：5，整理得x2﹣48x+320=0，解得x1=40，x2=8（不合题意，舍去），答：桶的容积为40升．点评：解答此题需要计算农药与水占总容积的百分比，紧扣容积不变，再据题意，分别求得纯农药和水的容积，建立方程问题得解．10．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A．4B．5C．D．考点：正方形的性质；平行线之间的距离；勾股定理．分析：过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．解答：解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B．点评：此题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．难度中等．二、填空题（每小题6分，满分42分）11．（6分）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于76．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．专题：计算题．分析：根据相对的两个面上两数之和都相等列出等式，并整理出a﹣b，b﹣c，a﹣c，的值，然后把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca整理分解因式，然后再代入数据计算即可．解答：解：根据题意得，a+13=b+9，b+9=c+3，c+3=a+13，整理得a﹣b=﹣4，b﹣c=﹣6，a﹣c=﹣10，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=×16+×36+×100，=8+18+50，=76．故答案为：76．点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，把多项式乘以2后因式分解是解题的关键．12．（6分）Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=﹣．考点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系．分析：根据锐角三角函数关系式，得sin2A+sin2B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解．解答：解：∵sinA和sinB是方程的两个根，∴sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sin2A+sin2B=1，∴2+2k=1，解得，k=﹣．故答案为：﹣．点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式．13．（6分）在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，，若，则BC=2．考点：三角形的重心；勾股定理．分析：根据中点这个条件，把CD延长至两倍于点F，连接AF，BF，则四边形ACBF为平行四边形，由ED=CD，CE=AB，得AB=CF，所以ACBF为矩形．再用勾股定理列式算出a，即可求出BC的长．解答：解：把CD延长至点F，使DF=CD．连接AF，BF．∵AD=DB，FD=DC，∴四边形ACBF为平行四边形，∵ED=CD，∴CE=CD，∵CE=AB，∴CD=AB，∴CD=AB，∴AB=CF，∴ACBF只能为矩形．设DE为a，则CE=2a，AD=3a，算出AE2=8a2，CE2=4a2，又因为AC=2，用勾股定理列式算出a，∴a=，∴AB=6×=2，∴BC==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了重心的性质以及平行四边形的判定与矩形的判定和勾股定理的应用，根据已知得出正确的辅助线是解决问题的关键．14．（6分）方程的解为．考点：无理方程．分析：首先两边进行平方，然后移项合并同类项，再两边平方求解．解答：解：两边平方得：3x+2﹣2+3x﹣2=4移项得：2=6x﹣4两边平方得：36x2﹣16=36x2﹣48x+16解得：x=，检验：当x=时：原方程的左边=右边，∴x=是原方程的解．故答案为．点评：本题主要考查解无理方程，关键在于首先对方程两边分别平方已达到去根号的目的．15．（6分）在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．考点：多边形的对角线．专题：计算题．分析：根据n边形的对角线有n（n﹣3）条，将正八边形的边数代入可求出对角线的总数，而正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，由此可得出答案．解答：解：正八边形的对角线条数=×8×（8﹣3）=20，又∵正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，∴在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．故答案为：12．点评：本题考查多边形的对角线的知识，关键是掌握多边形的对角线与正多边形边数的关系n（n ﹣3），另外要知道正八边形的每条边均有2条对角线与之平行．16．（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有8个．考点：数的整除性．专题：新定义．分析：首先根据正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，可得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数），然后分别分析27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999是否符合奇异数的特点即可求得答案．解答：解：易得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．∴27=3×3×3=33，是奇异数（第一类）；42=2×3×7不是奇异数；69=3×23是奇异数（第二类），111=3×37是奇异数（第二类），125=53是奇异数（第一类），137是质数，不是奇异数，343=73是奇异数（第一类），899=900﹣1=（30﹣1）（30+1）=29×31是奇异数（第二类），3599=3600﹣1=（60﹣1）（60+1）=59×61是奇异数（第二类），7999=8000﹣1=203﹣1=（20﹣1）（202+20+1）=19×421是奇异数（第二类）．因此符合条件的奇异数有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8个．故答案为：8．点评：此题考查了学生的分析能力，考查了质数的性质与数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是找到奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．17．（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN 上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=2厘米．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．专题：数形结合．分析：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB，易得∠BOA′=90°，利用等腰直角三角形的性质可得半径的长．解答：解：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB．∴A′B=2，∵A是半圆的一个三等分点，B是的中点，∴∠BON=30°，∠A′0N=60°，∴△A′OB是等腰直角三角形，∴OA′=2．故答案为2．点评：考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点；作出整个圆的辅助性是解决本题的难点．三、解答题（每小题16分，满分48分）18．（16分）已知二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．（2）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．解答：解：（1）∵y=mx2+（m﹣3）x﹣3=（mx﹣3）（x+1），∴x1=﹣1，x2=，∴AB=﹣（﹣1）=4，即m=1；∴y=x2﹣2x﹣3，得A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，∵AC==，∵AM=CM，∴AM==，∴R=，S=π．（2）设PD与BC的交点为E，可求直线BC解析式为y=x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3）；当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，得﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣3（x﹣3），解得x=2或3，∴或（舍去），∴P（2，﹣3）；当S△PBE：S△BED=1：2时，同理可得P（，﹣），故存在P（2，﹣3）或P（，﹣）．点评：此题是二次函数的综合类题目，涉及到：二次函数解析式的确定、圆周角定理、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大．19．（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（m•n+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．考点：数的整除性．专题：计算题．分析：根据题意得到m+11=n+9，从（m+11）（n+9）+46的整除性得到m、n的值．解答：解：据题意m+11=n+9，且整除m•n+9m+11n+145，而m•n+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，故m+11，n+9都整除46，由此得①或②，在①时，得每人捐款25元，在②时，每人捐款47元，综上可知，每人捐款数为25元或47元．点评：此题考查了数的整除性，要通过逻辑推理得到正确答案，体现了竞赛题的一般特征．20．（16分）已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．考点：切线的性质．分析：利用切线的性质以及圆周角、弦切角、弧之间的关系证明直线平行和三角形相似分别求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，从而求出BC的值．解答：解：∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．∴△ADE∽△DCE∴∴DE2=AE•EC∴DE2=（AC+EC）EC∵DE+EC=6∴DE=6﹣EC∴（6﹣EC）2=AC•EC+EC2∵∠CBD=∠DAC，∴∠CDE=∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CDE=∠BCD．∴BC∥DE．∴△ABD∽△DCE，∴∴AB•EC=18∵AB：AC=3：2设AB=3x，AC=2x，EC=y，则有解得：∴AB=9，AC=6，EC=2∴DE=4∵BC∥DE．∴△AFC∽△ADE∴=∴∴FC=3可以证明△DFC∽△BFA∴∴FA=∴∴AD=6∴DF=∵DF•AF=BF•FC∴∴BF=∴BC==．故BC的长为．点评：本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定．综合性较强，难度较大．。
北约自主招生数学题及解答
北约自主招生数学题及解答∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。
解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+x 2=2(9+25)，x 2=32，∴x=4√2。
∎2求过抛物线y =2x 2−2x −1，y =−5x 2+2x +3交点的直线方程。
解：{y =2x 2−2x −1y =−5x 2+2x +3，{5y =10x 2−10x −52y =−10x 2+4x +6，7y=−6x+1，∴6x+7y −1=0为所求。
∎3、等差数列a 1,a 2,⋯满足a 3=−13，a 7=3，这个数列的前n 项和为S n ，数列S 1,S 2,⋯中哪一项最小，并求出这个最小值。
解：d=a 7−a 37−3=164=4，∴a 1=−21，S n =2n 2−23n ，当n=234，即n=6时S n 最小，最小为−66。
∎4、∆ABC 的三边a,b,c 满足a+b ≥2c ，A,B,C 为∆ABC 的内角，求证：C ≤60°。
解：ab ≤(a+b 2)2，cosC=a 2+b 2−c 22ab=(a+b)2−2ab−c 22ab≥(a+b)2−c 2(a+b)22−1=1−2c 2(a+b)2≥1−2c 24c 2=12，所以C ≤60°。
∎ 5、是否存有四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？解：设存有四个正实数分别为a<b<c<d ，依题意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，∴a 2bc =6，∴a =1，b=2，c=3，d=5，而cd=15≠16，故不存有。
或解：∵abcd=32，而(abcd)3=1800×16，不满足，故不存有。
∎6、C 1和C 2是平面上两个不重合的固定圆，C 是该平面上的一个动圆，C 和C 1，C 2都相切，则C 的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。
2012年高考理科数学北京卷-答案
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】 ，利用二次不等式的解法可得 或 ，易得 ．
【提示】求出集合 ，然后直接求解 ．
【考点】集合间的基本运算．
2.【答案】D
【解析】题目中 表示的区域表示正方形区域，而动点 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此 ，故选D．
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ1
（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）由题意可知 ， ， ， ，
∴
（Ⅱ）先用反证法证明 ：
若 ，则 ，∴
同理可知 ，
∴ ，由题目所有数和为 ，即 ，
∴ 与题目条件矛盾
∴ ．
易知当 时， 存在
∴ 的最大值为1．
（Ⅲ） 的最大值为 ．
首先构造满足 的 ：
， ．
经计算知， 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ， ， ．
下面证明 是最大值．若不然，则存在一个数表 ，使得 ．
由 的定义知 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 中．由于 ，故 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 ．
设 中有 列的列和为正，有 列的列和为负，由对称性不妨设 ，则 ．另外，由对称性不妨设 的第一行行和为正，第二行行和为负．
【考点】由三视图求几何体的表面积．
8.【答案】C
【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C．
【提示】由已知中图像表示某棵果树前 年的总产量 与 之间的关系，结合图像可得答案．
【考点】函数图像的应用．
2012年自主招生考试数学试卷1
2012年高中自主招生考试理综试卷注意事项：1. 本试卷由数学、物理及化学三部分构成，数学1—8页；理化9—12页； 2．分值设置：数学100分，物理40分，化学40分，共180分； 3．考试时间：数学、物理及化学同场考试，时间为150分钟.4．答卷前，务必将自己的姓名、考号用钢笔（圆珠笔）写在每张试卷密封线内相应的位置上.5．考试结束后，考生须将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷一并交回．数学部分第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入第Ⅱ卷选择题答题表中相应题号下的方格内，填错或不填均为零分. 1. 下列运算正确的是A ．236(2)8a a -=-B ．3362a a a +=C ．632a a a ÷=D ．3332a a a ⋅= 2. 若某三角形的两边长分别为6和8，则下列长度的线段能作为其第三边的是A ．2B ．10C ．14D ．163．实数aA . 7B . -7C . 2a -15D . 无法确定 4. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的顶点A 、C 分别 在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切．若点A 的坐标 为（0，4），则圆心M 的坐标为A ．（25，﹣2） B ．（25-，2） C ．（﹣2，25）D ．（2，25-）（第3题图）（第4题图）5. 某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i =1i =1∶1，则两个坡角的和为A ．o 60B ．o 75C ．o 90D ．o 1056．如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为 A ．9B ．10.5C ．12D ．157. 如图，函数x y =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1）， （2，2）两点．当21y y <时，x 的取值范围是 A ．x ＞-1 B ．-1＜x ＜2 C ．x ＜2D . x ＜-1或x ＞28．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的 面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）,则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是(第6题图)(第7题图)A BCDEF PA ．B ．C ．D ．Ａ ＦＣＤＢＥ （第12题图）2012年高中自主招生考试数 学 试 卷总 分 表选择题答题表第Ⅱ卷 （非选择题 共76分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将结果直接填写在每题的横线上. 9．分解因式：2224xy xy y -+-= .10．将二次函数2x y =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ．11．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm ，则此扇形的面积是 2cm （结果保留π）． 12．如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形； ④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF是正方形.其中错误的是 （只填序号）. 13．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则直线y kx b =+的解析式为 .B n 的坐标是 ．三、解答题：（本大题共8个小题，满分61分）14.（本题满分5分）化简：22222369x y x y yx y x xy y x y --÷-++++．15.（本题满分6分）已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．16.（本题满分6分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．（1）请用树状图表示出三位评委给出A选手的所有可能的结论；（2）比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A，进行下一轮比赛的概率是多少？17.（本题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．EADB C18.（本题满分8分）如图，△ABC 内接于⊙O ，CA =CB ，CD ∥AB 与OA 的延长线交于点D ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若∠ACB =120°，OA = 4，求CD 的长．19.（本题满分8分）如图，已知菱形OABC 的边长为6，O 点为坐标原点，C 点在x 轴上，D 为BC 边的中点，双曲线y =xk(k >0)经过A 、D 两点. （1）求反比例函数y =xk的解析式； （2）若点P 为x 轴上一点，且满足PD =AD ，求出点P 的坐标.ABC DO20．（本题满分10分）为迎新年，某公司用10台机器生产A、B两种不同的龙年吉祥玩具，每台机器只生产其中一种玩具，每天所需生产原料总数不超过950千克，每天生产的B种玩具不小于A种玩具的件数，每天连续工作10小时.下表是这种机器生产不同玩设生产A种玩具的机器x台，则生产B种玩具的机器有（10-x）台.（1）求x的取值范围.（2）若A种玩具每2件包装成一盒，B种玩具每4件包装成一盒，每天生产的各种玩具恰好包装完．．．．．.A种玩具每盒可获利5元，B种玩具每盒可获利6元.(包装了才能销售)怎样安排机器生产使每天生产玩具获利最大.（3）若用6台机器生产A种玩具，4台机器生产B种玩具，且将A种玩具2件，B种玩具4件混合包装成一盒，这样安排后，每天生产出来的玩具不能成套包装的有多少件？21．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ，①用m 的代数式表示点P 的坐标；②当m 为何值时，线段PB 最短；（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2012年北约自主招生文科试题及答案
北京大学自主招生数学（文科）解答24. 解法一：（4分）（6分）（6分）（2分）说明1. 直接猜出取中点时取得最小值43，得2分.解答二：建立坐标系，设)0,(a A ，)3,(b b B ，))1(3,(c c C -222CA BC AB ++6126422882222+--+--++=c c bc ca ab c b a （4分）61263215215)2(2222+--++++-=c b bc c b c b a （6分） 4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a （6分）当43 =c ，41 =b ，21 =a 时，222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)说明1. 原点取在别处（比如某边中点），可相应给分解答三：建立坐标系，设)0,(x A ，))21(3,(y y B -，))21(3,(z z C +222CA BC AB ++2333422882222++-+--++=z y yz xz xy z y x （4分） 4343)41(536)51(215)2(2222≥+++-+++-=z z y z y x （6分）4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a （6分）当且仅当41- =z ，41 =y ，0 =x 时，222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)25. 证明：内角相等的圆内接五边形必为正五边形。
解法一：证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x ， y ， z ，u ，v . 利用等角对等弧这一结论 我们有x + y + z = y + z + u （5分）同理 x + y + z = y + z + u =z + u + v = u + v + x = v + x + y (10 分)由此可知 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦，所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法二：证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x ， y ， z ，u ，v . 利用等角对等弧这一结论我们有 x + y + z = y + z + u （5分）x = u (10 分)同理 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦，所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分) 解法三：证明: 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形∴ ∠A+∠1=180° ∠B+∠2=180°∵ ∠A=∠B∴ ∠1=∠2 （5分） ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 （10分） ∴ DE = CD （15分） 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法四： 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形 ∴ ∠A+∠1=180° ∵ ∠A=108°∴ ∠1= 72° (5分)∴ ∠BOE=2∠1= 144° (10分) 同理 ∠BOD=144°∴ ∠EOD=360°-144°-144°=72° (15分) 同理 ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°∴ AB=BC=CD=DE=EA∴圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法五：证明: ∵∠BAE=∠ABC ∠1=∠2∴∠3=∠10 (5分)∵∠3=∠4 ∠9=∠10∴∠4=∠9∵∠BCD=∠AED∴∠5=∠8∵∠5=∠6 ∠7=∠8∴∠6=∠7 (或∠6=∠7= 54°) (10分) ∴∠5+∠6=∠7+∠8∴∠COD=∠DOE∴ CD=DE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法六：∵半径相等∴∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠5=∠6 ∠7=∠8 ∠9=∠10∵∠1+∠2+∠3+… +∠9+∠10 =540°∴（∠1+∠10）+（∠4+∠5）+∠8=270°∵∠1+∠10=108°∠4+∠5=108°∴∠8= 54°（5分）∴∠9+∠8 = 108°∴∠9= 54°∴∠8=∠9 （10分）∵∠9+∠10=∠7+∠8∴∠AOE=∠DOE∴ AE=DE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法七：∵同弧AB所对的角相等∴∠1=∠2 (5分)∵∠BAE=∠ABC AB=AB∴△ABC ≌△ABE (10分)∴ BC=AE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法八：∵∠B=∠E∴ AC=AD （5分）∴∠1=∠2∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∴ A B=AE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法九：∵ ∠B=∠E ∴ AC=AD （5分） ∴ ∠1=∠2 ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∵ ∠B=∠E AC=AD∴ △ABC ≌ △ADE （15分） ∴ BC=AE同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十： 设AB=a, AE= b2 ，BC= b 1,∵ ∠BAE=∠ABC= 108° ∴ AC=BE （5分）设 AC=BE=c 由余弦定理，得在△ABC 中 c 2= a 2+ b 12 －2 a b cos 108° ①在△ABE 中 c 2= a 2 +b 22 －2 a b cos 108° ② （10分） ①-②,得 （b 1－b 2）(b 1+b 2－2 a b cos 108°）= 0 ∵ cos 108°＜0∴ b 1+b 2－ 2 a b cos 108°＞0 （若同学没有这一步，则这道题只得10分） ∴ b 1= b 2 即BC=AE (15分) 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十一：∵ 圆内接五边形的各内角相等 ∴ AC=BD∴∠A0C=∠BOD (5分) ∴∠A0B+∠B0C=∠COD+∠BOC∴∠A0B =∠COD (10分) ∴ AB=CD (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)阅卷说明：1、只画图，没有证明，记0分。
2012年自主招生北约联考数学试题解答及应试策略
对以后考生参加“北约”自主招生数学考试的备考提出一些建议：
第一，打好基础。
“北约”自主招生考试越来越有小高考的趋势，试卷中出现的大部分问题如果出现在高考试卷中，也并不让人意外。
用到的思想、方法和知识，绝大部分也都在高考的范围之内。
准备高考和准备自主招生应该是相辅相成，并行不悖的。
第二，适当拓展。
自主招生毕竟不是高考。
不管是试题的风格还是难度，都与典型的高考试卷有所不同。
如果学生接触的少，考场上会很不适应。
还有一些在高考范围边缘处的知识，比如三角函数中的和差化积与积化和差，还是应该予以掌握的。
有少部分同学并未做好充分的准备，就“裸考”上阵了。
这样的话，最终“打酱油”的概率会很大。
多学一点知识，多接触一些有思考性的问题，多联系，多总结，才能在自主招生考试中有所斩获。
第三，多做真题。
从近几年“北约”的试卷来看，试题的风格、难度、考点都较为稳定。
考试之前，将往年的真题吃透是非常有益的。
2012年自主招生北约联考数学试题解答。
一道2012年自主招生北约联考试题的联想
一道２０１２年自主招生北约联考试题的联想蔡祖才（江苏省常熟市中学，２１５５００） ２０１２年自主招生北约联考试题中有一道三角形试题，题目描述简单，解答就很容易．但这种优美的设问方法，给我们带来很多联想，有利于我们对数学思维的展开．题目 如果锐角△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ，求Ｏ到三角形三边的距离比．图１解答 因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以圆心Ｏ在△ＡＢＣ内部，如图１，过Ｏ分别作ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的垂线，垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ，设外接圆的半径为Ｒ，根据圆心角与圆周角的定义，可知∠ＤＯＣ＝１２∠ＢＯＣ＝∠Ａ．在Ｒｔ△ＤＯＣ中，ＯＤ＝Ｒｃｏｓ∠ＤＯＣ＝ＲｃｏｓＡ，同理可得，ＯＥ＝ＲｃｏｓＢ，ＯＦ＝ＲｃｏｓＣ．因此，Ｏ到三角形三边的距离比为ＯＤ∶ＯＥ∶ＯＦ＝ｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．锐角三角形外接圆圆心到三边的距离比有这样优美的结论，可以联想，锐角三角形的垂心，重心到三边的距离比也有同样优美的结论．经过探究，我们得到以下结论．结论１ 如果锐角△ＡＢＣ的垂心为Ｈ，则Ｈ到三角形三边的距离比为１ｃｏｓ Ａ∶１ｃｏｓＢ∶１ｃｏｓＣ．图２证明 设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图２，三角形ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ边上的高分别是ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ，因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以垂心Ｈ在△ＡＢＣ内部．在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＤＣ＝ＡＣｃｏｓＣ＝２ＲｓｉｎＢｃｏｓＣ；在Ｒｔ△ＨＤＣ中，∠ＤＨＣ＝∠Ｂ，ＨＤ＝ＤＣｃｏｔ∠ＤＨＣ＝ＤＣｃｏｔ Ｂ＝２ＲｓｉｎＢｃｏｓＣｃｏｔ Ｂ＝２ＲｃｏｓＢｃｏｓＣ，同理可得ＨＥ＝２ＲｃｏｓＣｃｏｓ Ａ，ＨＦ＝２Ｒｃｏｓ ＡｃｏｓＢ，所以ＨＤ∶ＨＥ∶ＨＦ＝ｃｏｓＢｃｏｓＣ∶ｃｏｓＣｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓ ＡｃｏｓＢ＝１ｃｏｓ Ａ∶１ｃｏｓＢ∶１ｃｏｓＣ．结论２ 如果锐角△ＡＢＣ的重心为Ｇ，则Ｇ到三角形三边的距离比为１ｓｉｎＡ∶１ｓｉｎＢ∶１ｓｉｎＣ．图３证明 设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图３，过Ｇ分别作ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的垂线，垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ，ＢＣ的中点为Ｍ，ＢＣ边上的高为ＡＨ，则ＧＤ＝１３ＡＨ＝１３ＡＣｓｉｎＣ＝２Ｒ３ｓｉｎＢｓｉｎＣ．同理可得ＧＥ＝２Ｒ３ｓｉｎＣｓｉｎＡ，ＧＦ＝２Ｒ３ｓｉｎＡｓｉｎＢ，所以ＧＤ∶ＧＥ∶ＧＦ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ∶ｓｉｎＣｓｉｎＡ∶ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝１ｓｉｎＡ∶１ｓｉｎＢ∶１ｓｉｎＣ．我们还可以联想，锐角三角形的垂心和内心到三顶点的距离比也有优美的结论．经过探究，我们还可以得到以下的结论．结论３ 如果锐角△ＡＢＣ的垂心为Ｈ，则Ｈ到三角形三顶点的距离比为ｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．图４证明 设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图４，三角形ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ边上的高分别是ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ，因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以垂心Ｈ在△ＡＢＣ内部．在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＥ＝ＡＢｃｏｓ Ａ＝２ＲｓｉｎＣｃｏｓ Ａ．９５·辅教导学· 数学通讯———２０１２年第７、８期（上半月）在Ｒｔ△ＡＨＥ中，∠ＡＨＥ＝∠Ｃ，ＡＨ＝ＡＥｓｉｎ∠ＡＨＥ＝２ＲｓｉｎＣｃｏｓ ＡｓｉｎＣ＝２Ｒｃｏｓ Ａ．同理可得ＢＨ＝２ＲｃｏｓＢ，ＣＨ＝２ＲｃｏｓＣ，所以ＡＨ∶ＢＨ∶ＣＨ＝ｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．图５结论４ 如果锐角△ＡＢＣ的内心为Ｉ，则Ｉ到三角形三顶点的距离比为１ｓｉｎＡ２∶１ｓｉｎＢ２∶１ｓｉｎＣ２．证明 设△ＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，如图５，过Ｉ作ＡＢ的垂线，垂足为Ｆ，在Ｒｔ△ＡＩＦ中，ＡＩ＝ＩＦｓｉｎ∠ＦＡＩ＝ｒｓｉｎＡ２． 同理可得ＢＩ＝ｒｓｉｎＢ２，ＣＩ＝ｒｓｉｎＣ２，所以ＡＩ∶ＢＩ∶ＣＩ＝１ｓｉｎＡ２∶１ｓｉｎＢ２∶１ｓｉｎＣ２．类似地，若三角形是钝角三角形，也会有类似的结论，请读者自行研究．一道自主招生试题，让我们从锐角三角形的外心类比到垂心、重心，从到三边的距离比类比到三顶点的距离比，这种思维以放射性思考模式为基础，运用了联想，达到了锻炼思维的目的．虽然试题及联想结论简单明了，但结论的优美性和联想思维的价值不言而喻．（收稿日期：２０１２－０３－０１）由一道课本习题引起的思考王业和（安徽省潜山中学，２４６２００） 高中数学必修２（人教版）第１３３面Ｂ组第３题为：已知圆ｘ２＋ｙ２＝４，直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ．当ｂ为何值时，圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有３个点到直线ｌ的距离等于１．分析和解 由题设可知圆的半径ｒ＝２，要使圆上恰有３个点到直线ｌ的距离为１，则只需圆心Ｏ到ｌ的距离为１即可，即ｄ＝ｂ１２＋（－１）槡２＝１，解得ｂ＝±槡２．因此，当ｂ＝±槡２时，圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有３个点到直线ｌ的距离等于１．这是一道经典习题，此题的灵魂和核心就是转化为计算圆心Ｏ到直线ｌ的距离问题，这也是解决此类问题的关键所在．若满足于求出问题的答案为止，则甚为可惜．若对此题进行恰当的变式训练，则能更好地使学生解一题会一类，提高学生触类旁通的能力．一、改变点的个数．思考１ 已知圆ｘ２＋ｙ２＝４，直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ．分别求ｂ的取值范围，使圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有：（１）４个点到直线ｌ的距离等于１； （２）２个点到直线ｌ的距离等于１；（３）１个点到直线ｌ的距离等于１；（４）没有点到直线ｌ的距离等于１．仿照前面的解答易求得答案为：（２）－槡２＜ｂ＜槡２；（２）槡２＜ｂ＜槡３ ２或－槡３ ２＜ｂ＜－槡２；（３）ｂ＝±槡３ ２；（４）ｂ＜－槡３ ２或ｂ＞槡３ ２．二、改变字母参数．思考２ 已知圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上恰有两点到直线ｌ：３ｘ－４ｙ＝２５的距离等于１，求ｒ的取值范围．分析和解 此题改变了未知量，需要求的是圆的半径ｒ的取值范围，难度显然增加，但解题的关键还是利用圆心到直线的距离求解．０６数学通讯———２０１２年第７、８期（上半月） ·辅教导学·。
北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案
综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。
2012年＂北约＂高校自主招生数学试题简解与讨论
中学 数学 杂 志
２１ ０２年第 ５期
ｇ磁 缓 Ａ ２的直 径 中靠近 Ａ ： Ｂ Ｂ 一侧 的端 点．
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中， 已知 （ 一ｋ ｘ＋ｍ） 一ｌ （ ｘ＋ｎ ）＝０的 ４个 根组
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中 ｍ，， ，为给定的常数 ， Ｉ ｋｔ 求 ｍ一儿Ｉ ” ． 同法 可解 得 ４根 之和 ４ ＋６ ｔ ｅ＝ａ＋ｂ＋Ｃ＋ｄ＝
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：Ａ的实根个数为０ Ａ ＜０ （ ） 的两根 ； ③ｚ： 时 ，与 为方程 Ｉ 或 Ⅱ） （
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设 一２ ＋ｍ ＝０的根 为 ａ ｂ 一２ ，， ｘ＋ｎ＝０
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Ｉ ｘ （ ＝３ ＋１ ≥１ 或 ＋ （ ≤１ 或 一 ３ 一 ） ３ ０≤ ） ＋ （ ２≤ ≤０ 或 一 ｘ一１ ≤一 ）所求 的取值范 ） ３ （ ２，
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故 由 韦 达 定 理 ，Ｉ — ｎ Ｉ ａ — ｃ ｍ ＝Ｉ ｂ ｄＩ
2012年自主招生华约数学试题解析
2012 自主招生“北约”数学试卷解析好学网自主招生频道备受关注的2012 年“北约”自主招生考试刚刚落下帷幕，下面笔者针对数学试题作一些简要的评析。
今年“北约”仍然由北大出题，但是阅卷权移交给了考试院。
根据考试院的要求，今年的试题形式上有了一些变化——出现了选择题，但“北约”试题的一贯风格并无本质改变。
函数、方程、解析几何、平面几何、三角函数等领域依然是“北约”考查的重点内容，而像立体几何、复数等内容依然不在“北约”考查的范围之内。
“北约”的考试一向不注重知识点的全面考查，今年也不例外。
从难度上来说，今年的试题比去年的稍难一些，但总体保持稳定。
这和学而思自主招生研究中心之前的预测完全一致。
“北约”的试题一向讲究“顿悟”，一般情况下并不强调非常繁杂的计算，一旦抓住问题的本质，往往就能顺利解答。
比如解答题的第一题：关于x的方程sin 2x⋅sin 4x -sin x⋅sin3x = a在x∈[0,π )时有唯一解，求实数a的值.我们利用和差化积与积化和差公式，可以得到a = sin x⋅sin5x这样一个表达式，接下来构造函数f ( x) = sin x⋅sin5x, x∈R，如果注意到函数f ( x)是关于直线2xπ= 对称的，问题即可迎刃而解。
由于原方程在x∈[0,π )时有唯一解，因此x = 0或2xπ= ，解得a = 0或1。
请大家注意这道题中函数性质与图像的应用。
这样的思想，在学而思自主招生研究中心编写的讲义中是重点强调过的，类型的问题也讲解过很多。
再比如，“数形结合”历来是“北约”考试非常看重的数学思想。
今年的选择题中求函数y = x + 2 + x -1 + x 的递增区间这道题，只要利用绝对值的几何意义，画数轴就能轻松得出答案为(0,+∞)。
还有求关于x的方程x +11-6 x + 2 + x + 27 -10 x + 2 =1的实根的个数这道题，先将原方程变形为x + 2 -3 + x + 2 -5 =1，然后还是利用绝对值的几何意义，即可得出原方程根的个数为0。