高等数学微积分9
高等数学教材微积分课后答案
高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。
令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。
然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。
因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。
(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。
2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。
令f'(x) = 0，解得x = ln6。
然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。
因此，函数在x = ln6处取得极值。
(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。
第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式高等数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
在微积分的学习中，我们需要掌握许多公式，在处理函数的变化过程中起到了非常重要的作用。
下面是高等数学中常见的微积分公式。
一、导数公式1.常数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} C=0\]其中C为常数。
2.幂函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}\]其中n为常数。
3.自然指数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} e^{x}=e^{x}\]4.对数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}\]5.三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin(x)=cos(x)\]\[\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)\]6.反三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\] \[\frac{d}{dx} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]7.复合函数的导数公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\]二、微分公式1.常数函数的微分公式：\[d(C)=0\]其中C为常数。
2.幂函数的微分公式：\[d(x^{n})=nx^{n-1}dx\]其中n为常数。
3.指数函数的微分公式：\[d(e^{x})=e^{x}dx\]4.三角函数的微分公式：\[d(sin(x))=cos(x)dx\]\[d(cos(x))=-sin(x)dx\]5.反三角函数的微分公式：\[d(sin^{-1}(x))=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]\[d(cos^{-1}(x))=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]6.复合函数的微分公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[dy=\frac{dy}{du}\times du\]三、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某点的值表示为一系列关于该点的导数的和。
高等数学微积分教材答案
高等数学微积分教材答案第一章：导数与微分1.1 导数的定义1.1.1 极限的概念1.1.2 函数的极限1.1.3 导数的定义及计算方法1.2 导数的基本性质1.2.1 可导性与连续性的关系1.2.2 导数的四则运算法则1.2.3 导数的链式法则1.3 高阶导数与隐函数微分1.3.1 高阶导数的定义1.3.2 隐函数的导数计算方法1.4 微分的定义与微分公式1.4.1 微分的定义1.4.2 微分的性质1.4.3 微分公式第二章：微分学的应用2.1 函数的单调性与极值2.1.1 函数单调性的判定2.1.2 函数的极值与最值2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的凹凸性定义2.2.2 函数的拐点2.3 泰勒公式与函数的近似计算 2.3.1 泰勒公式的定义2.3.2 泰勒公式的应用2.4 最值问题与优化问题2.4.1 最值问题的分析方法2.4.2 优化问题的数学建模第三章：不定积分3.1 原函数与不定积分3.1.1 原函数的定义与性质3.1.2 不定积分的定义3.2 积分基本公式3.2.1 基本积分公式3.2.2 积分的线性性质3.3 第一类换元积分法3.3.1 第一类换元积分法的基本思想 3.3.2 第一类换元积分法的具体步骤3.4 分部积分法与第二类换元积分法 3.4.1 分部积分法的定义与应用3.4.2 第二类换元积分法的基本原理第四章：定积分与定积分的应用4.1 定积分的定义与性质4.1.1 定积分的几何意义4.1.2 定积分的性质4.2 定积分的计算方法4.2.1 定积分的基本计算方法4.2.2 定积分的换元法4.3 定积分的应用4.3.1 曲线与曲面的长度4.3.2 曲线与曲面的面积4.3.3 物理应用中的定积分4.4 微积分基本定理与不定积分的计算方法 4.4.1 微积分基本定理4.4.2 不定积分的计算方法第五章：数项级数5.1 数项级数的概念与性质5.1.1 数项级数的定义5.1.2 数项级数的性质5.2 收敛级数的判别法5.2.1 正项级数的判别法5.2.2 任意项级数的判别法5.3 幂级数与函数展开5.3.1 幂级数的收敛半径5.3.2 幂级数的函数展开5.4 常数项级数的求和5.4.1 等比级数的求和5.4.2 绝对收敛级数的求和第六章：级数的应用6.1 函数展开与泰勒级数6.1.1 函数展开与泰勒级数的概念6.1.2 泰勒级数的求法6.2 常微分方程与级数解6.2.1 常微分方程的基本概念6.2.2 幂级数解的构造6.3 分析几何中的级数应用6.3.1 曲线与曲面的参数方程6.3.2 空间曲线与曲面的求交问题6.4 物理学中的级数应用6.4.1 物理学中的振动问题6.4.2 物理学中的波动问题总结高等数学微积分教材涵盖了导数与微分、微分学的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、数项级数和级数的应用等内容。
高等数学(微积分)ppt课件
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
高等数学微积分公式大全
高等数学微积分公式大全
微积分是数学中最基本的概念，无论是科学研究还是工程分析，都会用到微积分的知识。
微积分的公式包括微分、积分、曲线积分、极限等。
它们是用来描述函数变化的连续性、快慢性、极限、导数、积分的公式。
微分的公式包括梯形公式、抛物线公式、椭圆公式、双曲线公式、圆公式等。
梯形公式表示两个函数在相同的点上的导数之差，抛物线公式是曲线函数的导数，椭圆公式是椭圆函数的导数，双曲线公式是双曲线函数的导数，圆公式是圆函数的导数。
积分公式包括欧拉积分公式、拉格朗日积分公式、牛顿积分公式等。
欧拉积分公式是求解一元函数积分的公式，拉格朗日积分公式是求解反常积分的公式，牛顿积分公式是求解多元函数积分的公式。
曲线积分公式包括平面曲线积分公式、曲面曲线积分公式等。
平面曲线积分公式是求解一元函数曲线积分的公式，曲面曲线积分公式是求解多元函数曲线积分的公式。
极限公式包括极限绝对值公式、极限比值公式等。
极限绝对值公式表示某函数在某一点的极限，极限比值公式表示某函数在某一点的极限的比值。
以上就是高等数学微积分的公式大全，它们涵盖了微积分涉及的各个方面。
通过研究和掌握这些公式，可以帮助我们更好地理解微积分理论，更好地分析和解决实际问题。
高等数学微积分
高等数学微积分
高等数学微积分是数学中的一门重要学科，也是各个工科、理科中的必修课程之一。
微积分的基本概念是无穷小和极限，其研究对象是变化中的量和量的变化率。
微积分主要涉及到导数、积分、微分方程等知识。
一、导数
导数是微积分最基本的概念之一。
导数表示函数在某一
点上的变化率，可以理解为切线的斜率。
导数的求法主要有极限法和微商法两种方法。
其中，极限法是通过求出某一点的左侧或右侧的斜率来得到导数；微商法则是通过对函数进行微小增量的变化来推算导数。
二、积分
积分是导数的逆运算，是微积分中的另一个基本概念。
积分可以理解为曲线下的面积，也可以看作是一个变量在一定范围内的累加。
积分的求法主要有不定积分和定积分两种方法。
其中，不定积分是指求导数的逆运算，求出的结果为原函数；定积分则是对函数在一定范围内的积分，求出的结果为该变量在该范围内的累加。
三、微分方程
微分方程是微积分中的另一个重要概念，是描述自然现
象和工程问题的数学模型。
微分方程主要涉及到解微分方程和应用微分方程两个方面。
解微分方程是指找出满足某些条件的函数，而应用微分方程则是将微分方程应用到实际问题中，通过解法得到实际问题的解。
总之，微积分是一门深奥的学科，涉及到很多复杂的概念和理论。
只有通过多次练习和深入学习，才能对微积分有更深刻的理解和掌握。
高等数学微积分
极限的计算涉及到各种技巧和方 法，如因式分解、等价无穷小替 换、洛必达法则等。
极限的运算
求极限的方法
求极限的方法有很多，包括直接求法、利用重要极限、利用洛必达法则等。
极限的应用
极限在很多领域都有应用，如物理、工程、经济学等。例如，在物理学中，极限被广泛应用于连续介质力学和量 子力学等领域。
02 导数与微分
极限与连续性的关系
连续函数的极限值等于函数值。
多元函数的导数与微分
导数
描述函数在某点处的变化率。
微分
函数在某点处的局部近似值。
导数与微分的应用
近似计算、优化问题等。
二元函数的极值与最值
极值
函数在某点处的局部最大或最小值。
最值
函数在整个区间上的全局最大或最小 值。
极值与最值的判定方法
导数法、二阶导数法、凹凸分析法等 。
微分方程的基本概念
微分方程是包含未知函数及其导数的等式，用来描述现实世界中的各种变化规律。
微分方程的分类
根据方程的形式和复杂程度，微分方程可以分为线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微 分方程等。
一阶微分方程的解法
定义和例子
一阶微分方程是最简单的微分方程，如 y'=2x, xy'=1 等。
面积和体积计算
定积分在计算平面图形面积和旋转体体积等 方面有广泛应用。
物理应用
定积分在物理中有广泛应用，如计算变力做 功、引力等。
经济应用
定积分在经济中有广泛应用，如计算成本、 收益、利润等。
04 多元微积分
多元函数的极限与连续性
连续性
函数在某点处可平滑过渡，无间断。
极限
描述函数在某点处的变化趋势，是函数值的 界限。
微积分和高等数学的区别
微积分和高等数学的区别微积分和高等数学的区别一、高等数学是数学专业的课程，偏重数学专业，而微积分属于大学数学中的一部分，以理解为主。
1、微积分对应的概念，是数学学习中非常重要的一部分。
就像我们小学时期学习的乘法口诀、小数、整数一样。
例如：4×7＝20。
这个算式的意思就是4个7相加的和等于20。
当然，你也可以表达成20×7＝280。
同样的道理，6×2＝12。
2、微积分学习过程中需要掌握一定的计算技巧，要学会数形结合，学会举一反三。
2、微积分属于高数的二级学科，要有一定的高数基础才能学习，不建议没有高数基础的人直接学习。
因为它还牵扯到许多线性代数的知识，容易混淆。
并且微积分和微分也有一定的联系，前面提到的，运用洛必达法则和泰勒公式等都是很好的选择。
如果你能学懂微积分，那么函数与导数的内容你也可以理解得很深刻。
3、微积分与微分属于同类，同类的东西学习起来难度上差不多，如果想学得精深些，就得多做题目了，建议选择网上的资源，看书本做题效率比较低，往往看完了之后自己也不能完全掌握。
题目量不够，自然无法体会出其中的奥秘所在。
我觉得华东理工大学出版社的《微积分》讲义和网上的题目都比较经典。
当然，做题最重要的是有解题思路，把解题思路融会贯通了，在做题中就更加熟练了。
4、微积分比较抽象，有时候很多解决方法比较晦涩难懂，容易混淆。
微积分的内容比较多，所以记忆量比较大，如果要求自己掌握全部知识点，难度不是一般的大。
而且很多知识点就像散落在沙漠里的珍珠，需要有坚实的基础去串联，不然到最后，会变得比较零散，抓不住重点。
这也是很多人认为微积分比较难的原因之一。
因此，建议先打好微积分的基础，再去逐步深入。
总之，微积分只是我们学习数学的一个基础阶段，并不代表数学的结束。
它就像建房子的一块砖头，起到非常重要的作用，是进行更高层次数学学习的基石。
二、微积分与高数微积分主要研究微分与积分。
他们是互逆关系。
高等数学微积分教材
高等数学微积分教材一、引言高等数学微积分是数学系学生必修的一门课程，也是学习理工科的基础。
微积分的概念和方法对于了解和解决实际问题具有重要意义。
因此，编写一本优质的高等数学微积分教材对于学生的学习和教师的教学都非常重要。
二、教材特点1.系统性和连贯性高等数学微积分教材应该以系统性为前提，从基础概念出发，逐步引入相关原理和定理，并通过具体例子和问题来说明和应用这些概念。
同时，教材的内容应该是连贯的，能够帮助学生理解微积分在数学发展中的内在逻辑。
2.简明扼要高等数学微积分教材应避免冗长的语言和繁琐的推导过程，尽量以简明扼要的方式呈现知识点，使学生能够迅速理解并掌握基本概念和方法。
3.实践应用高等数学微积分教材应该结合实际应用场景，引导学生将微积分理论与实际问题相结合，培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
4.举一反三优秀的高等数学微积分教材应该通过合理的例题设计，激发学生的思维，引导他们理解和拓展微积分的相关理论，从而能够灵活运用所学知识解决其他问题。
三、教材内容1.微分学微分学是高等数学微积分的基础，它包括函数的极限、连续性、导数和微分等内容。
在教材中，应重点介绍函数的极限概念以及导数的定义和求法，引导学生理解微分学在实际问题中的应用。
2.积分学积分学是高等数学微积分的核心内容，它包括不定积分、定积分和微积分基本定理等内容。
在教材中，应注重介绍不定积分与定积分的概念和性质，深入讲解微积分基本定理的证明和应用，帮助学生理解积分学的重要性和应用范围。
3.微分方程微分方程是高等数学微积分的应用领域，它是许多实际问题的数学模型。
在教材中，应重点讲解一阶和二阶微分方程的求解方法，引导学生通过建立微分方程来解决实际问题。
四、教学方法1.理论联系实际在教学过程中，教师应注重理论知识与实际问题的联系，引导学生从应用的角度去理解和学习微积分的概念和方法。
2.互动式教学采用互动式教学，鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问题和解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力。
微积分与高等数学的区别
微积分与高等数学的区别微积分和高等数学是数学学科中的两个重要分支，它们有着密切的联系，但又存在一些区别。
微积分是高等数学的一部分，是研究函数的导数和积分以及它们之间的关系的学科。
而高等数学是数学学科中的一个大类，包括微积分、线性代数、概率论等多个分支。
微积分和高等数学在研究对象上存在一些差异。
微积分主要关注函数的变化率和曲线的面积，研究对象主要是函数、曲线以及其相关的概念和性质。
而高等数学则更加广泛，涉及的对象包括函数、向量、矩阵、概率等多个领域，研究的范围更加广泛。
微积分和高等数学在应用领域上也有所不同。
微积分在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
例如在物理学中，微积分可以用来描述物体的运动状态和变化规律；在工程学中，微积分可以用来优化设计和分析系统的性能。
而高等数学则更加注重理论和抽象的推理，对于数学领域的研究和应用有着重要的作用。
微积分和高等数学在教学内容和难度上也存在一些差异。
微积分作为高等数学的一部分，通常在大学数学课程中进行教学。
它的内容包括极限、导数、积分等基本概念和定理，以及一些应用例如曲线的切线和面积计算等。
而高等数学的内容更加广泛，涵盖了微积分以外的领域，例如线性代数、概率论等。
高等数学的教学内容和难度相对较大，需要对数学基础有一定的掌握。
微积分和高等数学在研究方法上也有一些不同。
微积分注重具体问题的求解和计算，强调计算方法和技巧的应用。
而高等数学则更加注重理论和证明，需要学习者具备一定的推理和证明能力。
总的来说，微积分和高等数学是数学学科中的两个重要分支，它们在研究对象、应用领域、教学内容和研究方法等方面存在一些差异。
微积分是高等数学的一部分，是研究函数的导数和积分以及它们之间的关系的学科；而高等数学则更加广泛，涵盖了微积分以外的领域。
无论是微积分还是高等数学，都是数学学科中重要的基础和工具，对于理工科的学习和研究有着重要的作用。
大学高等数学教材微积分
大学高等数学教材微积分微积分是数学中的一个重要分支，也是大学高等数学教材中必不可少的一部分。
本文将从微积分的基本概念、应用领域和学习方法等方面进行探讨，旨在使读者对微积分有一个全面的了解与认识。
一、微积分的基本概念微积分的基本概念包括导数和积分。
导数描述了函数变化的速率，反映了函数曲线的斜率；积分则是导数的逆运算，表示了函数下方面积的累加。
通过导数和积分的运算，可以研究函数的极值、曲线的形状以及曲线下面的面积等问题。
二、微积分的应用领域微积分在许多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学和生物学等。
在物理学中，微积分被用来描述物体的运动和力学定律；在工程学中，微积分被用来解决结构设计和优化问题；在经济学中，微积分被用来研究市场供求关系和最优生产方案；在生物学中，微积分被用来分析生物体的发展和变化规律。
三、学习微积分的方法学习微积分需要一定的数学基础和逻辑思维能力。
以下是一些学习微积分的方法和技巧：1. 理论与实践相结合：理解微积分的基本概念和定理，同时进行实际问题的应用练习，以便更好地掌握微积分的应用能力。
2. 多做习题：通过大量的练习，培养解题的技巧和思维方式，提高对微积分知识的理解和应用能力。
3. 注重推导与证明：理解微积分的原理和推导过程，学会用数学语言描述和解释问题。
4. 参考教材与辅导资料：选择适合自己的教材和辅导资料，结合课堂学习进行综合学习。
5. 与他人讨论与交流：与同学或老师讨论问题，加深对微积分知识的理解，发现和纠正自己的错误。
通过以上学习方法的应用，相信读者能够更好地掌握和应用微积分知识。
总结：微积分作为大学高等数学教材中的一部分，具有重要的理论意义和实际应用价值。
学习微积分不仅需要掌握其基本概念和定理，还需要善于应用和思考。
通过多做习题、注重推导和证明、参考教材与辅导资料、与他人讨论与交流等方法，可以帮助读者更好地学习和应用微积分知识。
希望本文能够对读者在学习大学高等数学教材中的微积分内容有所帮助。
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式
在高等数学里，微积分公式即微积分的基本公式，它由积分的概
念和积分操作组成。
积分的概念是指把一个有限或无限的连续区间中的某个函数f（x）在指定范围内的值求和，换个说，就是把连续范围、一定方向上的一
类函数，折合为指定函数定义范围内的一个实数。
如果在定积分区间[a,b]内把f (x)折叠为：
∫a bf(x)dx
就称上式为定积分，并且称f (x)为积分函数。
是不是把积分概念记住了，想要把它应用到实际生活里，就要把
积分进一步拆解为它的基本操作，即微积分公式。
主要公式如下：
1. 一阶导数：f'(x) = lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h
2. 二阶导数：f'(x) = lim(h→0)[f′(x+h) -f′(x)]/h
3. 曲线的面积：∫a bf(x) dx = F(b)-F(a)
4. 曲线的长度：L = ∫a b[1+(f′(x))2]1/2 dx
5. 平面曲线的曲率：k = |f″(x) / [1+(f′(x))2]3/2|
6. 曲面积分公式：∫ S f(x, y) dS = ∫∫ D(∇f) dD
7. 毕达哥拉斯公式：1/2π ∫0 2πf(cosθ,sinθ) dθ =
∫∫ Bf(x, y) d S
…
微积分的基本公式涵盖的范围极广，几乎可以把它应用到多种领域，可以求解机械運動的微积分問題，也可以解决金融领域利息计算
问题等，为工程中矩阵计算、计时和财务模拟分析提供各类运算算法，是统计学，随机分布理论和经济学中不可或缺的工具。
高等数学微积分公式大全
高等数学微积分公式大全高等数学微积分公式是高等数学中重要的一部分，也是我们在研究数学问题和应用数学技术时必须掌握的基础。
下面就让我们来看看高等数学微积分中常用的公式吧。
第一部分：导数公式1. 导数的定义公式$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$2. 导数的四则运算公式$$\left(f(x)\pm g(x)\right)'=f'(x)\pm g'(x)$$$$\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{g^2(x)}(g(x)\neq 0)$$$$\left(g(f(x))\right)'=g'(f(x))f'(x)$$3. 高阶导数公式$$f''(x)=(f'(x))'$$$$f'''(x)=(f''(x))'$$$$f^{(n)}(x)=\left(f^{(n-1)}(x)\right)'$$4. 链式法则$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$5. 反函数求导若$f(x)$的反函数为$y=g(x)$，则有$$\frac{d}{dx}g(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$6. 隐函数求导设有方程$F(x,y)=0$，其中$y$是$x$的隐函数，则有$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$$第二部分：微分公式7. 微分的定义公式$$df(x)=f'(x)dx$$8. 微分的四则运算公式$$(u\pm v)'=u'dx\pm v'dx$$$$(uv)'=(u'v+uv')dx$$$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}dx(v\neq 0)$$$$(g\circ f)'=(g'\circ f)f'dx$$9. 高阶微分公式$$d^2y=d(dy)=d\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^ 2y}{dx^2}dx$$$$d^3y=d(d^2y)=d\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)=\f rac{d^3y}{dx^3}dx$$$$d^ny=d(d^{n-1}y)=d\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)=\frac{d^ny}{dx^n}dx$$10. 多元函数微分公式设$z=f(x,y)$，则有$$dz=\frac{\partial z}{\partialx}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$其中，$\frac{\partial z}{\partial x}$表示$f(x,y)$对$x$的偏导数，$\frac{\partial z}{\partialy}$表示$f(x,y)$对$y$的偏导数。
《高等数学课件——微积分篇》
微积分是数学中最关键的学科之一。它的研究内容和方法在物理、化学、工 程学等领域都有广泛应用。通过本课件，您将掌握微积分的基础知识和应用 方法，培养解决实际问题的能力。
微积分的基本概念和方法
曲线下面积的计算方式
学习曲线下面积的计算方法， 从而深入理解导数的概念。
导数的定义与计算
反常积分和广义积分
反常积分的概念和判敛准则
掌握反常积分的定义和判敛准则，并能应用到实际问题中。
广义积分的概念和收敛性判定
学习广义积分的概念，以及判断其收敛性的方法和技巧。
高阶导数与广义积分的关系
学习高阶导数和广义积分的关系，并灵活运用到实际问题中。
多元函数的偏导数和全微分
偏导数与方向导数
学习偏导数和方向导数，以及 掌握求解全微分的方法。
母函数的引入和应用
学习母函数的定义和应用，如 何使用母函数来快速求解数列 中的元素。
微分中值定理和极值
1
罗尔中值定理
学习罗尔中值定理及其应用，了解如何判断函数的导数符号及图象的单调特性。
2
拉格朗日中值定理
学习拉格朗日中值定理及其应用，如何快速求解函数的值。
3
极值的概念和求解
学习极值的定义和求解方法，应用到实际问题中。
定积分的运算方法和性质
学习定积分的运算方法和性质，灵活应用到实际 问题中。
牛顿-莱布尼茨公式和换元积分法
1
牛顿-莱布尼茨公式
学习牛顿莱布尼茨公式的定义和应用，
换元积分法
2
并能解决含参变量的积分问题。
学习换元积分法的概念和计算方法，
并掌握其应用到不同类型的积分问题
中。
3
分部积分法和定积分的应用
高等数学 微积分
高等数学微积分高等数学是指相对于初等数学和中等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分，中学的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。
通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
主要内容包括：数列、极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。
工科、理科、财经类研究生考试的基础科目。
微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
高等数学和微积分的区别有：1、定义不一样：高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
微积分是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
因此微积分只是高数的一部分内容，并不等同于高数。
2、包括的内容不一样：高等数学主要内容包括极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。
微积分内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
3、时间不一样：17世纪以后建立的数学学科基本上都是高等数学的内容。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽。
所以微积分是要早于高等数学的。
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式1. 导数公式1.1 基本导数公式导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
下面是高等数学中常用的基本导数公式：1.常数导数公式：对于常数c，其导数为0，即$\\frac{d(c)}{dx}=0$。
2.幂函数导数公式：对于幂函数c(c)=c c（其中c为常数），其导数为 $\\frac{d(x^n)}{dx}=nx^{n-1}$。
3.指数函数导数公式：对于指数函数c(c)=c c（其中c为常数且c>0），其导数为$\\frac{d(a^x)}{dx}=a^x\\ln a$。
4.对数函数导数公式：对于对数函数$f(x)=\\log_ax$（其中c为常数且c>0），其导数为$\\frac{d(\\log_a x)}{dx}=\\frac{1}{x\\ln a}$。
5.三角函数导数公式：常用的三角函数包括正弦函数（$\\sin x$）、余弦函数（$\\cos x$）、正切函数（$\\tan x$）等，它们的导数分别为：$\\frac{d(\\sinx)}{dx}=\\cos x$，$\\frac{d(\\cos x)}{dx}=-\\sin x$，$\\frac{d(\\tan x)}{dx}=\\sec^2 x$。
1.2 乘法法则与商法则在计算复杂函数的导数时，乘法法则和商法则是非常有用的工具。
1.乘法法则：设c(c)和c(c)是关于c的可导函数，则它们的乘积c(c)=c(c)c(c)的导数为：$\\frac{d(uv)}{dx}=u\\frac{dv}{dx}+v\\frac{du}{dx}$。
2.商法则：设c(c)和c(c)是关于c的可导函数，且c(c)不为0，则它们的商$w(x)=\\frac{u(x)}{v(x)}$的导数为：$\\frac{d\\left(\\frac{u}{v}\\right)}{dx}=\\frac{v\\frac{d u}{dx}-u\\frac{dv}{dx}}{v^2}$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Chapter 4 1. Determine the continuity of a function at one point.
Using the definition of continuity, discuss the continuity of each
function at the indicated points. (A) f ( x) x2 1 at x=2 x 1 (B) f ( x) at x=1, x=-4 ( x 1)( x 4) x (C) h( x) at x=0 and x=1 | x|
2.Find derivatives of composite function. 1) Find the derivatives of composite functions by chain rule.
2
( x 1)2 lim 2 x 1 x 1
( x 1)2 lim 2 x x 1
lim
h 0
2h 2 h
(2) Investigate by the limit from the left and limit from the right. (p 151)
|x| h( x) , if it exists. Let h( x) , find lim x 0 x
f ( x) x3 6x2 9x 1
4. Determine the concavity of the graph of a function f and find the inflection points. ( page259-270 )
f ( x) f ( x )
Increasing Graph of f Concave upward Examples
0
Concave downward
?
Local maxima
Test fails
The first-derivative test must be used whenever f (c) 0 or f (c) does not exist. Find the local maxima and minima for the function.
Chapter 3 1. Calculate limits. (1) Investigate by the limit rules: Sum rule, difference rule, product rule, quotient rule, etc. (page 155)
x 2 3x lim( 2 x 3 ) x 1 x
2) Find the instantaneous velocity Let s( x) x3 6x2 9x , find the velocity at x=2 and x=5 seconds.
3) Find the marginal cost, revenue and profit. (page 206-207) Suppose that the total cost C(x)(in thousands of dollars) for manufacturing x sailboats per year is given by the function
2) Second Derivative Test for Local Extrema Let c be a critical value for f ( x)
f (c )
0
f (c)
Graph of f is Concave upward
f(c)
Local minima
Example
+
0
0
f ( x) | x 1|f ( x h) Fra bibliotekf ( x ) h
3. Application of derivatives. 1) Find the tangent line of a curve. Let
f ( x) x2 2x 12 , find the equation of the tangent line at x=1
x2 f ( x) 2x 1
x 2 3x 1 f ( x) 4 x
3) Computer by chain rule: Power form Find f ( x) for
f ( x) 1 ( x 2 x 4)3
f ( x) lim
h 0
4) Computer by definition
C ( x) 7,000 2 x where $7,000 is the estimate of fixed cost and $2 is the estimate of variable costs per radio.
(A) Find the domain of the function defined by p 10 0.001x, (B) Find the marginal cost function C ( x ) and interpret. (C) Find the revenue function as a function of x, and find its domain. (D) Find the marginal revenue at x=2,000, 5,000 and 7,000 and explain. (E) Graph the cost and revenue function in the same coordinate system, find the intersection points of the two graphs, and interpret the results. (F) Find the profit function and its domain, and sketch its graph. (G) Find the marginal profit at x=1,000, 4,000 and 6,000. Interpret the results.
C( x) 575 25x 0.25x2 (A) Find the marginal cost at a production level of x boats per year.
(B) Find the marginal cost at a production level of 40 boats per year, and interpret the results.
+
Decreasing
3
Concave downward
Let f ( x) x . Find the interval where the graph of f is concave upward and the intervals where the graph of f is concave downward. Sketch a graph of f.
5. Find the absolute Maxima and Minima.
1) Find the absolute extrema of a continuous function on a closed interval. 2) Applications: the maximum revenue or the most economical cost. A company manufactures and sells x transistor radios per week. If the weekly cost and price-demand equations are
2. Increasing and decreasing function For each function, find the partition numbers for f ( x ) , the critical values for f, and determine the intervals where f is increasing and those where f is decreasing. (A)f ( x) x3 12 x2 36 x (C)
5. Sketch a graph. (Section 4-4) 1) intercepts;
2) vertical (horizontal) asymptote;
3) concavity.
...
Chapter 5 1. Derivatives of logarithmic function and exponential function.
f ( x) 1 x2
(B) f ( x) (1 x)1 3
3. Local extrema: 1) First Derivative Test for Local Extrema Given f ( x) x3 6x2 9x 1, g ( x) ( x 4) 3 ( x 1) 2 (A) Find the critical values of f. (B) Find the local maxima and minimal.
2. Calculate derivatives. 1) Computer by formulas Find f ( x) for f ( x) 4x x2 2) Computer by derivative rules: sum rule, difference rule, product rule and quotient rule. Find f ( x) for
The price-demand function is given, x 1000 p 10000 where x is the number of radios retailers are likely to buy at $p per radio. The financial department provides the following cost function: