九年级数学上册《证明(二)》同步练习1 北师大版
北师大版-九年级-数学-上册-第一章-特殊平行四边形-同步练习(含答案解析)
第一章特殊平行四边形评价检测(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直2.如图,矩形ABCD中,E在AD上,且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则AE的长是( )A.3B.4C.5D.73.下列说法正确的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形4.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是( )A.2B.C.D.【变式训练】如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,∠BAE=30°,AE=2,则矩形ABCD的面积为.5.如图,已知菱形ABCD与△ABE,其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,则DE的长度为( )A.8B.9C.11D.126.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,则阴影部分图形的周长为( )A.15B.20C.25D.307.如图,正方形ABCD中,AB=3,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论:①点G是BC的中点;②FG=FC;③S△FGC=.其中正确的是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题(每小题5分,共25分)8.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是.【易错提醒】平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形,本题易误认为平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.【知识归纳】特殊平行四边形的对称性(1)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.(2)矩形与菱形有两条对称轴,正方形有四条对称轴.(3)对角线的交点是它们的对称中心,过对称中心的任一条直线均把原图形分成面积相等的两部分.9.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件: ,使得平行四边形ABCD是菱形.【解析】添加AC⊥BD,则对角线互相垂直的平行四边形是菱形;添加AD=DC,则一组邻边相等的平行四边形是菱形.10.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长= .【变式训练】如图,顺次连接菱形ABCD的各边中点E,F,G,H.若AC=a,BD=b,则四边形EFGH的面积是.11.如图,在矩形ABCD中,AE=AF,过点E作EH⊥EF交DC于点H,过F作FG⊥EF交BC于G,连接GH,当AD,AB满足时,四边形EFGH为矩形.12.如图,四边形ABCD与AEFG都是菱形,其中点C在AF上,点E,G分别在BC,CD上,若∠BAD=135°,∠EAG=75°,则= .三、解答题(共47分)13.(10分)如图,在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF 交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.(1)求证:四边形BECF是菱形.(2)若四边形BECF为正方形,求∠A的度数.【互动探究】四边形BECF的面积与△ABC的面积有什么关系?为什么?14.(12分)如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E,F分别是BC,AD的中点,连接AE,CF.(1)证明:四边形AECF是矩形.(2)若AB=8,求菱形的面积.15.(12分)(2014·新民市一模)已知:如图,在四边形ABCD中,点G在边BC的延长线上,CE平分∠BCD,CF平分∠GCD,EF∥BC交CD于点O.(1)求证:OE=OF.(2)若点O为CD的中点,求证:四边形DECF是矩形.16.(13分)(2013·青岛中考)已知:如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点(1)求证:△ABM≌△DCM.(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论.明)。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-3正方形的性质与判定》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）一．选择题1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．四个角都是直角C．对角线互相垂直D．两组对边分别平行2．下列说法正确的是（）A．正方形既是矩形，又是菱形B．有一个内角是直角的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论正确的是（）A．当AB＝BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是正方形4．在正方形ABCD中，BF平分∠DBC交CD于F点，则∠DBF的度数是（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°5．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE相交于点G，下列结论不正确的是（）A．AF＝BE B．AF⊥BEC．AG＝GE D．S△ABG＝S四边形CEGF6．如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQB．EF∥QPC．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半7．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（）A．3.0B．2.5C．2.0D．1.58．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2．其中正确结论有几个（）A．1B．2C．3D．49．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，4），A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，且△ABO的周长是8，则P到直线AB的距离是（）A．4B．3C．2.5D．210．如图四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二．填空题11．如图，已知阴影部分是一个正方形，AB＝4，∠B＝45°，则此正方形的面积为．12．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是．13．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是（只需添加一个即可）14．边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．15．如图，正方形ABCD内部有一个等边△ABE，则∠DAE＝°．16．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，点D的坐标是（2，3），则点B的坐标是．17．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，有下列结论：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．其中正确的有．（填序号）三．解答题18．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AB＝4，CF＝1．（1）求AE，EF，AF的长；（2）求证：∠AEF＝90°．19．如图，在正方形ABCD中，PD＝QC，求证：PB＝AQ，BP⊥AQ．20．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交线段BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长．参考答案一．选择题1．解：∵正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直，故选：C．2．解：A．正方形既是矩形，又是菱形，正确，符合题意；B．有一个内角是直角的四边形是矩形，错误，不符合题意；C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误，不符合题意；D．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意．故选：A．3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：C．4．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠DBC＝45°．∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠DBC＝22.5°．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∵BF＝CE，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∠BAG＝∠CBE，∴选项A不符合题意；∵∠ABG+∠CBE＝∠ABC＝90°，∴∠BAG+∠ABG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AF⊥BE，∴选项B不符合题意；∵△ABF≌△BCE，∴S△ABF＝S△BCE，∴S△ABF﹣S△BFG＝S△BCE﹣S△BFG，∴S△ABG＝S四边形CEGF，∴选项D不符合题意；∵无法证明AG＝GE，∴选项C符合题意；故选：C．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，则EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，故D选项不一定正确，符合题意．故选：D．7．解：∵由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1，∴该细铁丝的长度为4．∴AC+BC+AB＝4，∴AC+BC＝4﹣AB．∵AC+BC＞AB，∴4﹣AB＞AB，∴AB＜2．∴AB的长可能为1.5，故选：D．8．解：如图，连接PC，①∵正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，∴∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠PDC＝∠DBC＝45°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠PEB＝∠PFC＝∠PFD＝90°＝∠BCD，∴∠DPF＝∠PDF＝∠BPE＝∠DBC＝45°，∴PF＝DF，PE＝BE，即△PDF和△BPE均为等腰直角三角形，∴PD＝PF，∵∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴CE＝PF＝DF，PE＝FC，∴PD＝CE，故①正确；②由①知：PE＝BE，且四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2（CE+BE）＝2BC＝2×4＝8，故②正确；③∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝PC，∴AP＝EF，故③正确；④由③得：EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，∴当AP⊥BD时，垂线段最短，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；故④错误；综上，①②③正确．故选：C．9．解：方法一：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，设OB＝a，OA＝b，AB＝c，P到直线AB的距离是h，∵△ABO的周长是8，∴a+b+c＝8，∴a+b＝8﹣c，∴a2+2ab+b2＝64﹣16c+c2根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∴ab＝32﹣8c，∵S△P AB＝4×4﹣ab﹣4（4﹣b）﹣4（4﹣a）＝2（a+b）﹣ab＝2（8﹣c）﹣（32﹣8c）＝16﹣2c﹣16+4c＝2c，∵S△P AB＝×c•h，∴2c＝×c•h，∴h＝4．∴P到直线AB的距离为4．方法二：如图，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂直分别为C，D，∵P（4，4），∴四边形CODP是边长为4的正方形，∴PC＝PD＝OC＝OD＝4，∵A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，∴将△P A′D沿P A′折叠得到△P A′E，延长A′E交y轴于点B，∴∠P A′D＝∠P A′E，PE＝PD，A′D＝A′E，∠PDA′＝∠PEA′＝90°，∴PE＝PC，在Rt△PEB和Rt△PCB中，，∴Rt△PEB≌Rt△PCB（HL），∴BE＝BC，∵△A′BO的周长是8，∴A′O+BO+A′B＝A′O+BO+BE+A′E＝A′O+BO+BC+A′D＝CO+DO＝8，∴△A′BO符合题意中的△ABO，∴P到直线AB的距离PE＝4，故选：A．10．解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，所以这个小孩走的路线所围成的图形是正方形．故选：D．二．填空题11．解：∵阴影部分是一个正方形，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝＝＝2，∴正方形的面积为（2）2＝8，故答案为：8．12．解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．理由：∵四边形ABCD是矩形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．或∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．13．解：条件为∠ABC＝90°或AC＝BD，理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°或AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：∠ABC＝90°或AC＝BD．14．解：过C作CD⊥AB交AB延长线与D，如图：∵∠CBD＝180﹣90°﹣60°＝30°，∠D＝90°，∴CD＝BC＝×4＝2，∴△ABC的面积为AB•CD＝×4×2＝4，故答案为：4．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∵△ABE是等边三角形，∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．16．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∵点D的坐标是（2，3），∴AD＝CD＝BC＝3，OC＝2，∴OB＝1，∴点B的坐标是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．17．解：①∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC的中位线，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四边形AEDF一定是平行四边形，故正确；②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形，故正确；③若AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，∴不能判定四边形AEDF是正方形，故错误；④若AD⊥BC，则AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故正确．故答案为：①②④．三．解答题18．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E为AB的中点，∴BE＝CE＝2，∴AE＝＝＝2，EF＝＝＝，AF＝＝＝5；（2）证明：∵AE2+EF2＝20+5＝25，AF2＝52＝25，∴AE2+EF2＝AF2，∴∠AEF＝90°．19．证明：由题意可得：AD＝AB＝BC＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，∵PD＝QC，∴AP＝DQ，在△ADQ和△BAP中，，∴△ADQ≌△BAP（SAS），∴BP＝AQ，∠APB＝∠AQD，∵∠DAQ+∠AQD＝90°，∴∠DAQ+∠APB＝90°，∴BP⊥AQ，∴BP＝AQ，BP⊥AQ．20．（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，AB＝2，∴AC＝AB＝4，∵CE＝2，∴AE＝4﹣2＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴CG＝CE＝2．。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《正方形的性质与判定》同步练习
正方形的性质与判定（典型题）第1课时正方形及其性质1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是()图1A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2C．8 2D．163．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图24．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE交于点F，则∠BFC的度数为()A．45°B．55°C．60°D．75°5.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.23a2B.14a2C.59a2D.49a26.如图5，正方形ABCD的边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，F A⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．图57．如图6，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．图68．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()图7A．4 2－4 B．4 2＋4 C．8－4 2 D.2＋19．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝()图8A.2＋6B.3＋1C.3＋2D.3＋610．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图911．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.(1)求证：EF＝FC＋AE；(2)若AB＝2，求△DEF的周长．图1012．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．图1113．如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长C n＝________．图1214．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．参考答案1．B2．A3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．D6．6 2[解析]7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°，∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.8．A9．A10．3211．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，则BA＝BC，AE＝CM，BE＝BM，∠ABE＝∠CBM，∠A＝∠BCM.∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴F，C，M三点共线，∠EBM＝90°.∵∠EBF＝45°，∴∠FBM＝45°.在△BEF与△BMF中，BE＝BM，∠EBF＝∠MBF，BF＝BF，∴△BEF≌△BMF，∴EF＝FM＝FC＋CM＝FC＋AE.(2)由(1)知EF＝FC＋AE，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝DE＋DF＋AE＋CF＝AD＋CD＝2AB＝4. 12．解：(1)∠EAF的大小不发生变化．理由如下：根据题意，知AB＝AH，∠B＝∠AHE＝90°.又∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE，∴∠BAE＝∠HAE.同理，Rt△HAF≌Rt△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，∴∠EAF＝12∠BAH＋12∠HAD＝12(∠BAH＋∠HAD)＝12∠BAD.又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF的大小不发生变化．(2)△ECF的周长不发生变化．理由如下：C△ECF＝EF＋EC＋FC.由(1)，得Rt△BAE≌Rt△HAE，∴EB＝HE.同理，HF＝DF.∴C△ECF＝EF＋EC＋FC＝EB＋DF＋EC＋FC＝2BC，∴△ECF的周长不发生变化．13．2n＋114．解：(1)相等互相平行(2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.第2课时正方形的判定（典型题）1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．3．如图14，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝()时，则四边形AECF是正方形．图14A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足____________________，那么四边形EFGH是正方形．5．如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图156．如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．图167．⑥如图17，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是()图17A．7 B．8 C．7 2D．7 38．2017·宜昌如图18，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD 于点H，求证：四边形EFCH为正方形．图189．如图19，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值．图1910.矩形的四个内角平分线围成的四边形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形11．如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．图012．如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？图113．如图2，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.(1)求证：△AED≌△GED；(2)求证：四边形AEGF是菱形；(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．图214．如图3①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.连接DE，DF.(1)试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形．(2)当AB＞AC，∠ABC＝20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC 的度数；如果不能，请说明理由．(3)若AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D，在直线AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交直线AD于点F，如图②”，设∠ABC＝x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系式；如果不能，试说明理由．图3参考答案1．D2．①③④3．D.4．对角线互相垂直且相等5．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEB中，∠EAF＝∠EDB，AE＝DE，∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(ASA)，∴AF＝BD.∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC＝12BC，∴AD＝AF.(2)四边形ADCF是正方形．证明：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC.又∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．6．证明：(1)∵AD＝CD，E是边AC的中点，∴DE⊥AC，∴DE是线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠F AC＝∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠F AC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．又∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，即F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形．7．C8．解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°.又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.在△OFE和△ABO中，∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝OB，OF＝AB.又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，∴CF＝BO＝EF，∴四边形EFCH为正方形．9．解：(1)证明：连接CD，如图①所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.在△ADE和△CDF中，AE＝CF，∠A＝∠DCF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形．(2)过点D作DE′⊥AC于点E′，如图②所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝12BC＝2，AB＝42，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜22(点E与点E′重合时取等号)，∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.10．A11．3212．解：(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.∵E是BC的中点，∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°.在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，∴四边形PHEF是矩形．(2)当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形．理由如下：由(1)可得∠BAE＝∠CDE＝45°，∴∠F AP＝∠HDP＝45°.又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，∴Rt△AFP≌Rt△DHP，∴PF＝PH，∴矩形PHEF是正方形．13．解：(1)证明：由旋转可知DG＝DC，∠DGH＝∠DCB＝90°. ∵AD＝CD，∴AD＝DG.又∵ED＝ED，∴Rt△AED≌Rt△GED(HL)．(2)证明：由(1)知△AED≌△GED，∴AE＝EG，∠ADE＝∠GDE＝12∠BDA＝22.5°，∴∠CDF＝67.5°，∠CFD＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD.又∵AC＝BD，CD＝DG，∴AF＝BG＝EG.由旋转知∠H＝∠DBC＝45°.又∵∠DAC＝45°，∴AF∥EG，∴四边形AEGF是平行四边形．又∵AE＝EG，∴▱AEGF是菱形．(3)由(2)知四边形AEGF是菱形，∴AF＝FG.由(2)知CF＝CD，∴BC＝CF，∴BC＋FG＝CF＋AF＝AC＝1.。
北师大版九年级数学上册《1.3 正方形的性质与判定》 同步练习试题
1.3 正方形的性质与判定一．选择题1．下列说法错误的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．对角线相等的菱形是正方形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④4．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题6．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．7．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为．8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．9．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．10．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD＝度．11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠DEB的度数为度．12．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝．15．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．三．解答题16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）当∠ACB＝度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．17．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．20．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．21．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？参考答案一．选择题1．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；矩形的对角线相等，故选项B正确；对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；故选：A．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．3．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形直尺的宽度相等，∴DE＝DF，又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，∴这个四边形一定是轴对称图形，故选：C．4．解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．∵CE＝DF，∴AF＝DE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴AE＝BF，故（1）正确．∵△ABF≌△DAE，∴∠AFB＝∠AED．∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AFB+∠DAE＝90°，∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故（2）正确．∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△ADE．∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即∴S△AOB＝S四边形DEOF．如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG＝AD．∵HE＞OE，GE＞HE，∴GE＞OE．∴AD＞OE，故（3）错误．故选：B．二．填空题6．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．7．解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，同理可得HE＝1，在Rt△GHE中，GH＝＝＝，故答案为：．8．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，∴CF＝4，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故答案为：．10．解：∵∠CBA＝90°，∠ABE＝60°，∴∠CBE＝150°，∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形∴∠BEC＝15°，∵∠FBE＝∠DBA+∠ABE＝105°，∴∠BFE＝60°，在△CBF和△ABF中，，∴△CBF≌△ABF（SAS），∴∠BAF＝∠BCE＝15°，又∠ABF＝45°，且∠AFD为△AFB的外角，∴∠AFD＝∠ABF+∠F AB＝15°+45°＝60°．故答案为60．11．解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵△ABE是等边三角形∴AE＝AB，∠BAE＝∠BEA＝60°∴AD＝AE，∠DAE＝150°∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝15°∴∠DEB＝∠BEA﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°故答案为：45．12．解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，AD＝BC，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∴∠EAB＝＝75°．故答案为75°．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．14．解：过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF，在Rt△COE和Rt△CFE中，∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），∴CO＝FC，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝，∴CO＝AC＝，∴CF＝CO＝，∴EF＝DF＝DC﹣CF＝1﹣，∴DE＝＝﹣1，另法：因为四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°＝∠DBC＝∠DAC，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴∠ACE＝∠DCE＝22.5°，∴∠BCE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠CBE＝45°，∴∠BEC＝67.5°，∴BE＝BC，∵正方形ABCD的边长为1，∴BC＝1，∴BE＝1，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝，∴DE＝﹣1，故答案为：﹣1．15．解：如图作FH∥BC交BD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，∴OH＝OF＝1，FH＝＝，∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，∴BC＝OB＝2+．故答案为2+．三．解答题16．证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O∵BE＝BC，BD平分∠ABC∴EO＝CO，BD⊥CE∴EF＝FC，DE＝CD，∵CF∥DE∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE ∴△DOE≌△FOC（AAS）∴DE＝CF∴EF＝FC＝CD＝DE∴四边形EFCD是菱形（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，理由如下：∵∠ACB＝120°，BC＝AC∴∠ABC＝∠BAC＝30°∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC∴∠BCO＝75°∴∠ACE＝45°，∵四边形EFCD是菱形∴∠FCD＝2∠ACE＝90°∴四边形CDEF是正方形，∴∠ADE＝90°如图，过点C作CP⊥AB于点P，∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB∴CP＝3，BP＝CP＝3，AB＝2BP＝6，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣6∵∠A＝30°，∠ADE＝90°∴DE＝AE＝3﹣317．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．18．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝．19．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO＝90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO＝60°，∴∠AEB＝30°∵∠AEB＝2∠EAB，∴∠EAB＝15°，∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD＝2∠BAO＝90°∴四边形ABCD是正方形．21．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。
19年秋北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》同步练习
第 30 题．
时，关于 的方程 是一元二次方程．
第 31 题． 某 种洗 衣机的包装箱外形是长方体，其高为 1．2 米，体积
为 1．2 立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为
米．
5
1.答案： 2.答案：Ｃ
3.答案：Ａ 4.答案：（1） ，二次项系数为： ，一次项系数 ，常数项为 ． （2） ，二次项系数为 2，一次项系数为 ，常数项为 ． 5.答案：Ｃ 6.答案：
第 7 题． 关于 的方程 是一元二次方程，求 的值．
第 8 题． 方程 化为一般形式后，二次项系数是
，一次项系数是
，常
数项是
．
第 9 题． 若 是一元二次方程，则不等式 的解集是
．
第 10 题． 下列方程中，不是整式方程的是（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
第 11 题． 若方程 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是（
第 14 题． 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系 数和常数项： （1） ； （2） （3） ．
第 15 题． 不解方程，估计方程 的根的大小（精确到 0．1）
第 16 题． 下列方程中属于一元二次方程的是（
）
Ａ． ．
Ｂ． ．
Ｃ． ．
Ｄ． ．
第 17 题． 关于 的一元二次方程 中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（
3. 一元二次方程 7x2－2x=0 的二次项、一次项、常数项依次是
A. 7x2,2x,0
B. 7x2,－2x，无常数项
C. 7x2,0,2x
D. 7x2,－2x,0
4. 方程 x2－ =( － )x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定 同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。
北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案
北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（）A．10 B．8 C．5√3D．52．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（）A．1 B．√2C．√3D．23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°4．如图，在矩形ABCD中E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD=20，则GH的长为( )A．4B．5C．8D．105．如图∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点（点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8C．5.2D．66．如图，在矩形纸片ABCD中AB=10，AD=6点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为（）A．83B．72C．103D．1347．如右图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（）A．15 B．5+5√5C．10+5√2D．18二、填空题9．在矩形ABCD中AB=2，对角线AC与BD相交于点 O，若∠BAO=60°，则边BC的长为．10．如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°若AB=3cm，则AC=cm．11．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1=70°，则∠KNC=°12．如图，在矩形ABCD中AB=2AD=6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将ΔADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM,BM，当ΔBCM为等腰三角形时，BP的长为．13．如图，在矩形ABCD中AB=8，BC=12，E为BC上一点，CE=4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE=2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为．三、解答题14．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处AB=6cm，BC=10cm求CE的长．15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且AB=4，BE=3，EF=6，AF=√61求三角形AEF的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．17．如图，四边形ABCD中∠DAB=45°，AB=8，AD=3√2，E为AB中点，且CD⊥DE，连接CE．（1）求DE的长度；（2）若∠BEC=∠ADE，求BC的长度．18．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。
北师大版数学九年级上册2.3用公式法求解一元二次方程同步练习题及
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程 2.3用公式法求解一元二次方程同步练习题1.一元二次方程 x2＋2 2x－6＝ 0 的根是 ( )A．x1＝x2＝2 B ．x1＝0，x2＝2 2C．x1＝2， x2＝－32D．x1＝2，x2＝3 22. 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a ≠0) 有实数根，则 b2－4ac 知足的条件是 ( ) A．b2－4ac＝0 B ．b2－4ac＞0 C．b2－4ac＜0 D ．b2－4ac≥03.直角三角形两条直角边之和为 7，面积为 6，则斜边长为 ( )A.37B．5 C.38D． 74.方程x2－4x＝0中，b2－4ac的值为()A．－ 16B． 16C．4D．－ 45.方程 x2＋x－1＝0 的一个根是 ( )A．1－5 B. 1－ 5C ．－ 1＋5 D.－1＋ 52 26.一元二次方程 x2＋2x＋1＝0 的根的状况是 ( )A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根7.已知命题“对于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋1＝0，当 b<0 时，必有实数解”，能说明这个命题是假命题的反例是 ( )A．b＝－1 B ．b＝2 C．b＝－ 2 D ．b＝08.以下选项中，能使对于 x 的一元二次方程 ax2－4x＋c＝ 0 必定有实数根的是 ( ) A．a＞0 B ．a＝0 C．c＞0 D ．c＝09.a，b，c 为常数，且 (a －c) 2＞a2＋c2，则对于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的状况是( )A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有一根为 010.对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a ≠0) ，当 b2－4ac>0 时，方程有的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有的实数根；当b2－4ac<0时，方程____实数根．我们把叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0( a≠0)的根的鉴别式，往常用希腊字母“ ”来表示．11.方程 x2－x－12＝0 的解为．212.一个正方形的边长减少 3 cm后，它的面积比原面积的一半还少 1 cm，则本来的边长为 ____．13.一小球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h( m) 与时间 t( s) 知足关系 h＝15t －5t 2，则小球经过 ____s 达到 10 m 高．14.若对于x的一元二次方程x2－4x－m＝0 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．15.若实数范围内定义一种运算“ * ”，使 a*b ＝(a ＋1) 2－ab，则方程 (x ＋2)*5 ＝0 的解为．16.一元二次方程 2x2－3x－1＝0 中，a＝____，b＝____，c＝____，b2－4ac＝ ____，方程的解为 x1＝， x2＝．17.用公式法解方程：(1)2x 2－3x＋1＝0；(2) x2－23x＋3＝0.18.解方程2x2＋4 3x＝2 2. 有一位同学解答以下：这里 a＝2，b＝4 3，c＝2 2，∴ b2－4ac＝(4 3) 2－4×2×2 2＝32.∴x＝－b± b2－4ac －4 3±326±2，2a＝2＝－2∴x1＝－ 6＋2，x2＝－ 6－2.请你剖析以上解答有无错误，若有错误，指犯错误的地方，并写出正确的结果．19.已知对于x 的一元二次方程ax2＋bx＋ 1＝0(a ≠0) 有两个相等的实数根，求ab2（a－2）2＋b2－4的值．2 220.已知对于x的方程x－2(m＋1)x＋m＝0.(1)当 m取何值时，方程没有实数根；(2)为 m选用一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．21.如图，在宽为 20 米，长为 30 米的矩形地面上修筑两条相同宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551 平方米，则修筑的路宽应为多少米？22. 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为2 2 46 000 m，施工队在绿化了22 000 m后，将每日的工作量增添为本来的 1.5 倍，结果提早 4 天达成了该项绿化工程．(1)该项绿化工程原计划每日达成多少平方米？(2)该项绿化工程中有一块长 20 m，宽 8 m的矩形空地，计划在此中修筑两块相同的2矩形绿地，它们的面积之和为56 m，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道( 以下图 ) ，问人行通道的宽度是多少米？参照答案：1---9 CDBBD BADB10. 两个不相等两个相等没有b2－4ac11. x 1＝4，x 2＝－ 312. 10cm13. 1 或 214. m ＞－ 415. x 1＝ －1＋ 5 －1－ 5，x 2＝2 216. 2 －3 －1 17 3＋ 173－ 174 43±1 117. (1) ∵Δ＝ 9－4×2×1＝1，∴ x ＝4 ，∴ x 1＝1，x 2＝2(2) ∵Δ＝ 12－4×3＝0，∴ x 1＝x 2＝ 318. 有错误，错误的原由是没有将方程化为一般形式，c 应为－ 2 2，结果是 x ＝－ 6±2 22 ab2 ab2 b219. ∵b －4a ＝0，∴原式＝ a2－4a ＋4＋b2－4＝ a2 ＝ a ＝42 2 120. (1) ∵Δ＝ [ －2(m ＋1)] －4m<0，∴m<－2(2) 取 m ＝0，代入解得 x 1＝0，x 2 ＝221. 设道路宽为 x 米，由题意得 (30 －x) ·(20 － x) ＝551，解得 x 1 ＝1，x 2＝49( 舍去 ) ．答：修筑的道路的宽应为 1 米22. (1) 设该项绿化工程原计划每日达成 x m 2，依据题意得 46 000 －22 000 － 46 000 －22 000 ＝4，解得 x ＝2 000 ，x 1.5x经查验， x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每日达成 2 000 平方米(2)设人行通道的宽度为 x m，依据题意得 (20 －3x)(8 －2x) ＝56，26解得 x1＝2 或 x2＝3 ( 不合题意，舍去 ) ．答：人行通道的宽为 2 米。
北师大版九年级数学上册同步练习 第2章
北师大版数学九年级上册第二章第1节认识一元二次方程同步练习1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋21x＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 2．若方程(m ＋2)x ∣m ∣＋3x －1＝0是关于x 的一元二次方程，则m ＝______．3．下列数中：－1，2，－3，－2，3，是一元二次方程x 2－2x ＝3的解的有 ___________． 4．方程()45x x －＝化为一般形式为( )A ．2450x x =－＋B ．2450x x =＋＋C ．2450x x =－－D ．2450x x =＋－ 5．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( )A ．3、7、4B ．3、7、﹣4C ．3、﹣7、4D ．3、﹣7、﹣4 6．将一元二次方程2514x x =－化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( )A ．5、－4B ．5、4C ．5x 2、4xD ．5x 2、－4x 、 7．一元二次方程x 2－4＝0的根是( )A ．－2B ．±2C ．2D ．以上都不对 8．关于x 的方程x 2＋x －a ＝0一个解是x ＝1，则a 为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－19．下列方程中关于x 2203x =－；②21kx x =－3；③211x x x－－＝；④()210x x x －＋＝；⑤()2320k x kx ＋－＝；⑥221x ax =－；是关于x 一元二次方程的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ．11．下列数中－1，－2，1，2，是一元二次方程一元二次方程x 2－x －2＝0的根是___________． 12．若0是一元二次方程22610x x m ＋＋－＝的一个根，则m 的取值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．以上都不是 13．已知关于x 的方程20x bx a =＋＋有一个根是－a (a≠0)，则a －b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．214．在一次聚会时，x 个人见面后每两人握一次手，共握手10次，则可列方程( )A ．()110x x =－B ．()2110x x =－C ．()1102x x =⨯＋D ．()1102x x =⨯－15．某地区的消费品月零售总额持续增长，九月份为⒈2亿元，十月、十一月两个月一共为2．8亿元．设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为x ，则可列方程( )A ．()1.212 2.8x ＋＝ B ．()21.212.8x ＋＝ C ．()1.2.21 2.8x =＋1＋ D ．()()21.21 1.212.8x x =＋＋＋16．已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，求代数式4m 2－4m －2的值． 17．若()1160m m x mx -＋＋＋2＝是关于x 的一元二次方程，求m 的值．18．把下列一元二次方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项系数，一次项系数，常数项．(1)(3x －2)(2x －3)＝x 2－5； (2)(x 2＋7)＝x ＋2．19．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是x ＝－1，求m 的值．20． 若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2＋5x ＋m 2﹣3m ＋2＝0有一个根为0，求m 的值．21． 已知x 2＋3x ＋5的值为7，求代数式3x 2＋9x ﹣2的值22．试判断：关于x 的方程（2a —4）x 2－2bx ＋c ＝0． （1）何时为一元二次方程？（2）何时为一元一次方程？答案：1．C2．m＝23．－1,34．C5．C6．A7．B8．A9．B10．2x2－x＋12＝0；a＝2，b＝－1，c＝12；11．2，－112．C13．A14．D15．D16．解：由已知，得m2－m－2＝0∴m2－m＝2∴4m2－4m－2＝4(m2－m)－2＝4×2－2＝6．17．m＝118．（1）3x2－5x＋1＝0；a＝3，b＝－5，c＝1；（2）3x2－5x＋1＝0；a＝3，b＝－5，c＝1；19．m＝－320．m＝221．解：由已知，得x2＋3x＋5＝7∴x2＋3x＝2∴3x2＋9x－2＝3(x2＋3x)－2＝3×2－2＝4．22．（1）a≠2；（2）a＝2且b≠0；北师大版数学九年级上册第二章第2节用配方法解一元二次方程（第1课时）1．16的平方根是( )A ．4B ．－4C ．±4D ．±8 2．方程x 2＝9的解是( )A ．x 1＝x 2＝3B ．x 1＝x 2＝－3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x ＝33．方程x 2＝3的解是( )A ．12x x =＝B ．12x x =＝C ．1x 2x =D ．x ＝34．方程()210x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝x 2＝1C ． x 1＝x 2＝－1D ． x 1＝1，x 2＝－25．方程()219x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ． x 1＝4，x 2＝－4C ． x 1＝4，x 2＝－2D ． x ＝36．若1是一元二次方程x 2＋x －m 2＝0的一个根，则m 为 ． 7．直接写出方程的解：（1）()2190x -=＋的解是__________；（2）()2316x -=的解是__________． 8．直接写出方程的解：（1）x 2＋2x ＋1＝9的解是 ； （2）x 2－2x －3＝0的解是__________． 9．用直接开方法解方程．⑴9x 2＝25 ⑵2x 2－98＝0⑶3(x －2)2＝0 ⑷3(x －1)2＝2710．如果12x =是关于x 的方程22320x ax a -=＋的根，求关于y 的方程23y a -=的解．11．一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )A ．()2+1100x =B ．()21100x =﹣C ．()2+2100x = D ．()22100x -=12．将方程2250x x --=变形为()2+x m n =的形式正确的是( )A ．()2+16x =B ．()2+29x =C ．()216x -= D ．()229x -=13．方程3x 2＝2的根是___________．14．一元二次方程22426x x -＋＝的根是___________．15．解下列方程：⑴()22510x +-= ⑵（x －2）2＝9⑶()23175y -= ⑷2215x x -＋＝⑸()2531250x --= ⑹24415x x -＋＝16．用配方法解下列方程：⑴x 2＋2x －3＝0 ⑵x 2－6x －8＝0⑶x 2－8x ＋7＝0 (4)x 2－4x ＝1(5)x 2－4x －6＝0， (6) x 2＋12x +36＝017．已知x 、y 、z 满足2246130＋＋-=x x y y ，求代数式()zxy 的值．答案：1．C 2．C 3．C 4．B 5．C 6．±27．（1）4或-2；（2）7或-1； 8．（1）2或-4；（2）3或-1；9．（1）x 1＝53，x 2＝－53；（2）x 1＝7，x 2＝－7；（3）x 1＝2＋33，x 2＝2－33；（4）x 1＝4，x 2＝－2； 10．y 1＝2，y 2＝－2； 11．A 12．C13．x 1=63，x 2=-63； 14．x 1＝1＋3，x 2＝1－3； 15．（1）x 1＝－2，x 2＝－3；（2）x 1＝5，x 2＝－1；（3）y 1＝6，y 2＝－4； （4）x 1＝1＋5，x 2＝1－5； （5）x 1＝8，x 2＝－2；（6）x 1＝1＋52，x 2＝1－52；16．（1）x 1＝1，x 2＝－3；（2）x 1＝3＋17，x 2＝3－17； （3）x 1＝7，x 2＝－1； （4）x 1＝2＋5，x 2＝2－5；（5）x 1＝2＋10，x 2＝2－10； （6）x 1＝x 2＝－6； 17．解：由已知，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0∴（x －2）2＋（y ＋3）2＋z ＋2＝0 ∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2．∴（xy）z＝[2×（－3）]－2＝（－6）－2＝1 36．北师大版数学九年级上册第二章第4节用因式分解法解一元二次方程同步练习1．方程x（x+3）＝x的解是（）A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0．x2＝﹣2 2．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝33．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解是（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝14解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（）A．.直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法5．方程x2－3x－4＝0的所有根为( )A．x1＝－1，x2＝－4；B．x1＝－1，x2＝4 ；C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－46．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )A．x＝2 B．x＝－3 C．x1＝2，x2＝－3 D．x1＝－2，x2＝37．方程x(x－2)＝x－2的根是( )A．x＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝1，x2＝2 D．x＝28．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16 B．24 C．16或24 D．489．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则这个三角形的周长为（）A．7 B．3或7 C．15 D．11或15 10．将下列多项式分解因式（1）x2－5x＝＝___________；（2）2x(x－3)－5(x－3) ＝___________；（3）x2＋2x－8 ＝___________；（4）9x2－6x＋1＝0＝___________；11．元二次方程x(x－1)＝x的解是____ ．12．小华在解一元二次方程x2－4x＝0时，得出一个根是x1＝4，则另一个根是x2＝______．13．用适当解下列方程：(1)5x2－2x＝0；（可提公因式）⑵9x2－4＝0（平方差公式）(3)y2＋2y＝15．(4) (x－1)2－2(x－1)＝02＝3x（可移项再提公因式）； (6)(x－2)(x＋3)＝0(5)x14．已知：m是关于x的一元二次方程mx2－2x＋m＝0的一个根，求m的值．15．阅读材料，解答问题：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0．解得y1＝4，y2＝1．①当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5．②当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2．∴原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－5．在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．利用上面的方法解方程x 4－x 2－6＝0．16．已知：在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴上，且线段OA 、OB （OA ＜OB ）的长分别等于方程x 2﹣5x +4＝0的两个根，点C 在y 轴正半轴上，且OB ＝2OC ． （1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）将△OBC 绕点C 顺时针旋转90°后得到△O ′B ′C ，求直线B ′C 的表达式．xy –1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案： 1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．C10．（1）x (x －5)；（2）(x －3)(2x －5)；（3）(x ＋4)(x －2)；（4）(3x －1)2； 11．x 1＝0，x 2＝2； 12．013．（1）x 1＝0，x 2＝25； （2）x 1＝23，x 2＝－23； （3）y 1＝－5，y 2＝3；（4）x 1＝1，x 2＝3； （5）x 1＝0，x 2＝3； （6）x 1＝2，x 2＝－3； 14．m ＝0，－1,1； 15．x ＝± 316．解：（1）解方程x 2﹣5x +4＝0得x 1＝1，x 2＝4， ∵OA ＜OB ， ∴OA ＝1，OB ＝4，∵A 、B 分别在x 轴正半轴上， ∴A （1，0）、B （4，0）；又∵OB ＝2OC ，且点C 在y 轴正半轴上 ∴OC ＝2，则C （0，2）；（2）∵将△OBC 绕点C 顺时针旋转90°后得△O ′B ′C ，∴OB ＝O ′B ′＝4，OC ＝O ′C ′＝2，∠COB ＝∠C O′B ′＝90°，∠OCO ′＝∠BCB ′＝90° ∴O ′（﹣2，2）、B ′（﹣2，﹣2）， 设直线B ′C 的解析式为y ＝kx +b ， 把B ′（﹣2，﹣2），C （0，2）代入得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝－2b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝2， ∴直线B ′C 的解析式为y ＝2x +2．xyA BCB'O'O北师大版数学九年级上册第二章第5节一元二次方程根与系数的关系同步练习1．若x 1、x 2是一元一次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是 ( ) A ．1 B ．5 C ．－5 D ．6 2．若x 1、x 2是一元一次方程x 2＋x －2＝0的两个根，则x 1·x 2的值是 ( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2 3．以3和—2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2＋x －6＝0 B ．x 2＋x ＋6＝0 C ．x 2－x －6＝0 D ．x 2－x ＋6＝0 4．已知x 2－(m －1)x －(2m －2)＝0两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ） A ．1 B ．—1 C ．2 D ．—2 5．已知方程3x 2－5x －7＝0的两根为x 1、x 2，则下列各式中正确的是 ( ) A ．x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝7 B ．x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝－7 C ．x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝－73 D ．x 1＋x 2＝－53，x 1·x 2＝－73 6．设方程x 2＋x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α＋β﹣αβ的值等于（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．37．关于x 的一元二次方程x 2＋（a 2﹣3a ）x ＋a ＝0的两个实数根互为倒数，则a 的值为（ ） A ．﹣3B ．0C ．1D ．﹣3 或 08．关于x 的一元二次方程2x 2＋kx ﹣4＝0的一个根x 1＝﹣2，则方程的另一个根x 2和k 的值为（ ） A ．x 2＝1，k ＝2B ．x 2＝2，k ＝2C ．x 2＝1，k ＝﹣1D ．x 2＝2，k ＝﹣19．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x ＋2p ＝0的一个根为1，则另一根为（ ） A ．﹣6B ．2C ．4D ．110．已知m 、n 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两个实数根，则1m +1n ＝（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D ．﹣1311．一元二次方程x 2－4x －c ＝0的一个根是3，则c ＝_________，另一个根是_________． 12．一元二次方程x 2－x －3＝0两根的倒数和等于__________．13．关于x 的方程x 2＋px ＋a ＝0的根为x 1＝1＋2，x 2＝1－2，则p ＝______，q ＝____． 14．若x 1、x 2是方程x 2－5x －7＝0的两根，那么（1）x 2 1＋x 2 2＝________；（2）(x 1－x 2)2＝__________；15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca ．根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 1x 2＋ x 2x 1＝ ．16．利用方程的根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积： （1）x 2－3x －5＝0 （2）2x 2＋5x －5＝017．已知x 1、x 2是一元二次方程2x 2－2x ＋1－3m ＝0的两个实数根，且x 1·x 2＋2(x 1＋x 2)＞0，求实数m 的取值范围．18．已知实数a 、b 满足等式a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，求b a ＋ab 的值．19．已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0的两根是一个长方形形两邻边的长．（1）k 为何值时，方程有两个实数根； （2）当该长方形形的对角线长为5时，求k ． （3）当k 为何值时，矩形变为正方形？20．关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋m 2＋m ＝0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围．（2）设出x 1、x 2是方程的两根，且x 12＋x 22＝12，求m 的值．21．已知：关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）设方程的两根为x 1、x 2，且满足（x 1﹣x 2）2﹣17＝0，求m 的值．22．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得等式1x1＋1x2＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．答案： 1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 9．C 10．B 11．－3；1 12．－13 13．－2；－1 14．39；53 15．10；16．（1）x 1＋x 2＝3，x 1•x 2＝-5；（2）x 1＋x 2＝-52，x 1•x 2＝-52． 17．解：∵x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣2x ＋1﹣3m ＝0的两个实数根， ∴x 1＋x 2＝1，x 1•x 2＝1－3m2．又∵x 1﹣x 2＋2（x 1＋x 2）＞0， ∴1－3m 2＋2＞0 解得：m ＜53 （4分），又∵原方程有实数根，∴b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4×2×（1﹣3m ）＝4﹣8＋24m ＝﹣4＋24m ≥0， ∴m ≥16 （7分） ∴16≤m ＜53 （8分）18解：当a ＝b 时，原式＝1＋1＝2；当a ≠b 时，可以把a 、b 看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根， ∴a ＋b ＝2，ab ＝﹣1，∴b a ＋a b ＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝4＋2－1＝﹣6． 综上所述：b a ＋ab 的值为2或﹣6．19．解：（1）△＝[﹣（k ＋1）]2﹣4×1×（14k 2＋1）＝2k ﹣3， ∵方程有两个实数根， ∴△≥0，即2k ﹣3≥0， 解得：k ≥32，∴当k ≥32时，方程有两个实数根． （2）设方程x 2﹣（k ＋1）＋14k 2＋1＝0的两根分别为a 、b ，则a ＋b ＝k ＋1，ab ＝14k 2＋1，∵矩形的对角线长为5，即a 2＋b 2＝5，∴a 2＋b 2＝（a ＋b ）2﹣2ab ＝（k ＋1）2﹣2×（14k 2＋1）＝5， 整理得：k 2＋4k ﹣12＝0， 解得：k ＝2或k ＝﹣6（舍去）．∴当矩形的对角线长为5时，k 的值为2． （3）当矩形为正方形时，方程两根相等， ∴△＝2k ﹣3＝0， 解得：k ＝32．∴当k 为32时，矩形变为正方形． 20．解：（1）根据题意得： △＝（2m ）2﹣4（m 2＋m ）＞0， 解得：m ＜0．∴m 的取值范围是m ＜0．（2）根据题意得：x 1＋x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝m 2＋m ， ∵x 12＋x 22＝12， ∴(x 1＋x 2)2﹣2x 1x 2＝12，∴（﹣2m ）2﹣2（m 2＋m ）＝12，∴解得：m 1＝﹣2，m 2＝3（不合题意，舍去）， ∴m 的值是﹣2．21．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根，∴△＝[π]2﹣4×1×（﹣2）＝m ＋8≥0，且m ≥0， 解得：m ≥0．（2）∵关于x 的一元二次方程x 2＋πx ﹣2＝0有两个实数根x 1、x 2，∴x1＋x2＝﹣π，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1＋x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m＋8﹣17＝0，解得：m＝9．22．解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k＋2）≥0，解得：k≤﹣1．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＋k＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝k＋2．∵1x1＋1x2＝k﹣2，∴x1＋x2x1·x2＝2k+2＝k﹣2，∴k2﹣6＝0，解得：k1＝﹣6，k2＝6．又∵k≤﹣1，∴k＝﹣6．∴存在这样的k值，使得等式1x1＋1x2＝k﹣2成立，k值为﹣6．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝，x2＝；（3）x1＝，x2＝；（4）x1＝，x2＝；（5）x1＝，x2＝；（6）x1＝，x2＝；北师大版数学九年级上册第二章第6节应用一元二次方程（第1课时）同步练习1．在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽应为xm，则可列方程为（）A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝3562．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121 C．100(1＋x)2＝121D．100(1－x)2＝1213．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315 C．560(1－2x)2＝315D．560(1＋x2)＝3154．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为()A．200(1＋x)2＝1000 B．200＋200×2x＝1000C．200＋200×3x＝1000 D．200[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝10005．某厂今年一月的总产量为500吨，前三个月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，根据题意可列方程___________ _____．6．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题 含答案
北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x ＝0B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1C ．x ＝x 2D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．任何实数B ．m≠0C ．m≠1 D．m≠－13．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)3x 2＝5x －3；(2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4.5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )A ．x(x ＋2)＝323B ．x(x －2)＝323C ．x(x ＋1)＝323D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝3236．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )A ．1B ．2C ．3D ．49．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x3.25<x<3.2610．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．11．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________．12．方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．m ＝±1B ．m ＝－1C ．m ＝1D ．m ≠113．若方程(k －1)x 2＋kx ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ．k ≠1B ．k ≥0C ．k ≥0且k ≠1D ．k 为任意实数 2A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是215．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( ) A ．－52 B.12 C ．－52或12 D ．116．已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋4m ＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．17．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？18. 有这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：(1)下面式子中是方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)①12x 2－x －2＝0，②－12x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤3x 2－23x －43＝0.(2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？答案：1. C2. C3. 3x2－5x－12＝0 3 －5 －124. (1) 一般形式是3x2－5x＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.(2) 一般形式是x2＋3x－8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8.5. D6. (1) x(x－5)＝150.(2) (x＋1)2－1＝24.7. (1)6x2＝36，一般形式为6x2－36＝0.(2)x(x－1)＝1 980，一般形式为x2－x－1 980＝0.8. D9. C10. 611. －112. B13. C14. C15. C16. ≠±2＝－217. 整理方程，得(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.18. (1) ①②④⑤(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)。
北师大版九年级数学上册 2.1 认识一元二次方程 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章 2.1 认识一元二次方程 同步练习题第1课时 一元二次方程1．下列方程中是一元二次方程的是(D)A ．x 2＋1x ＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．3x 2－2xy －5y 2＝0 D ．(x －1)(x ＋2)＝22．若关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是(C) A ．任意实数 B ．m ≠1 C ．m ≠－1 D ．m ＞13．将一元二次方程5x 2－1＝4x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(C) A ．5，－1 B ．5，4 C ．5，－4 D ．5，1 4．已知关于x 的方程(a －3)x|a －1|＋x －1＝0是一元二次方程，则a 的值是(A)A ．－1B ．2C ．－1或3D ．35．下列方程中：(1)3(x ＋1)2＝2(x ＋1)；(2)1x 2＋1x －2＝0；(3)ax 2＋bx ＋c ＝0；(4)x2＋2x ＝x 2－1中，关于x 的一元二次方程是(1)．6．若方程mx 2＋3x －4＝2x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是m ≠2． 7．把一元二次方程(x ＋1)2－x ＝3(x 2－2)化成一般形式是2x 2－x －7＝0．8．若将关于x 的一元二次方程3x 2＋x －2＝ax(x －2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为－2，则该方程中的一次项系数为5．9．若关于x 的一元二次方程(2a －4)x 2＋(a 2－4)x ＋a －8＝0没有一次项，则a 的值为－2.10．将下列一元二次方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x(x －2)＝4x －1； (2)(y －3)(2y ＋5)＝2－y.解：(1)整理，得3x 2－10x ＋1＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，－10，1.(2)整理，得2y 2－17＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，0，－17.11．已知关于x 的方程(k ＋1)xk 2＋1＋(k －3)x －1＝0. (1)当k 取何值时，它是一元一次方程？ (2)当k 取何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝0，k －3≠0或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝1，k ＋1＋k －3≠0. 解得k ＝－1或k ＝0.∴当k ＝－1或0时，它是一元一次方程． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝2，k ＋1≠0，解得k ＝1. ∴当k ＝1时，它是一元二次方程．12．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖线，记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，上述记法叫做二阶行列式．那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 2x ＝22表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式．解：根据题意，得(x ＋1)·2x－(x ＋2)(x －2)＝22， 整理，得x 2＋2x －18＝0，它是一元二次方程，一般形式为x 2＋2x －18＝0.13．观察下列一元二次方程：①x 2＋2x －3＝0；②x 2－7x ＋6＝0；③3x 2－2x －1＝0；④5x 2＋3x －8＝0.(1)上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征； (2)请你写出符合此特征的一个一元二次方程．解：(1)在①中，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，则a ＋b ＋c ＝0； 在②中，a ＝1，b ＝－7，c ＝6，则a ＋b ＋c ＝0； 在③中，a ＝3，b ＝－2，c ＝－1，则a ＋b ＋c ＝0； 在④中，a ＝5，b ＝3，c ＝－8，则a ＋b ＋c ＝0， 由上可得方程的系数公共特征为a ＋b ＋c ＝0. (2)x 2－x ＝0(答案不唯一)．第2课时 一元二次方程的解及其估算1．下列各未知数的值是方程3x 2＋x －2＝0的解的是(B) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－22．(成都青羊区月考)若a －b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)必有一个根是(C) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－b a3．如果关于x 的一元二次方程(m －3)x 2＋3x ＋m 2－9＝0有一个解是0，那么m 的值是(B) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．0或－34．先填表，再探索一元二次方程x 2＋x －12＝0的解的取值范围．从表中看出方程有一个解应介于2和4之间． 5．已知a 2－5a ＋1＝0，则a ＋1a－3的值为2．6．已知a 是方程x 2－2x －1＝0的一个根，则代数式2a 2－4a －1的值为1． 7．已知a 是方程x 2＋x －1＝0的一个根，则2a 2－1－1a 2－a的值为1． 8．若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是1．9．已知a 是方程x 2－3x －2＝0的根，则代数式a 3－2a 2－5a ＋2 019的值为2_021．10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图)，要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x 米，则可列方程为(35－2x)(20－x)＝600(或2x 2－75x ＋100＝0)．11．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a ，b 满足b ＝a －3＋3－a ＋3，求c.解：将x ＝1代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 得a ＋b ＋c ＝0，即c ＝－a －b.∵a ，b 满足等式b ＝a －3＋3－a ＋3， ∴a －3≥0，3－a≥0，即a ＝3.∴b＝3. ∴c ＝－a －b ＝－6.12．已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，求代数式x －33x 2－6x ÷(x＋2－5x －2)的值．解：∵x 2＋3x －1＝0， ∴x 2＋3x ＝1，即x(x ＋3)＝1.∴原式＝x －33x （x －2）÷（x ＋3）（x －3）x －2＝13x （x ＋3）＝13.13．某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行走道，如图．若设人行走道宽为x m.(1)请列出相应的方程；(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由；(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．解：(1)由题意可知网球场的长和宽分别为(80－2x)m，(60－2x)m，则可列方程为(80－2x)(60－2x)＝3 500，整理，得x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时，网球场的宽60－2x<0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，故人行走道的宽为5 m.。
最新北师大版九年级数学上册全册课时练习(附详细解析过程)
北师大版九年级数学上册全册课时练习1.1菱形的性质与判定 (1)1.2矩形的性质与判定 (11)1.3正方形的性质与判定 (19)2.1 认识一元二次方程 (28)2.2 用配方法求解一元二次方程 (31)2.3 用公式法求解一元二次方程 (36)2.4 用因式分解法求解一元二次方程 (40)2.5 一元二次方程的根与系数的关系 (44)2.6 应用一元二次方程 (48)3.1 用树状图或表格求概率 (54)3.2用频率估计概率 (65)4.1 成比例线段 (72)4.3相似多边形 (75)4.4 探索三角形相似的条件 (81)*4.5相似三角形判定定理的证明 (93)4.6利用相似三角形测高 (100)4.7相似三角形的性质 (108)4.8图形的位似 (115)5.1投影 (125)5.2视图 (133)6.1反比例函数 (142)6.2反比例函数的图象与性质 (148)6.3 反比例函数的应用 (158)1.1菱形的性质与判定一、选择题（本题包括12个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（）A. 4B. 3C. 2D.2. 如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A. 6.5B. 6C. 5.5D. 53. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A. B. 2 C. D.4. 如图，在菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A. 3.5B. 4C. 7D. 145. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A. 18B. 18C. 36D. 366. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y =（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A. -12B. -27C. -32D. -367. 菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A. 两组对边分别平行B. 两组对角分别相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直8. 某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A. 20mB. 25mC. 30mD. 35m9. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A. 108°B. 72°C. 90°D. 100°10. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）A. 10B. 20C. 24D. 4811. 在菱形ABCD中，下列结论错误的是（）A. BO=DOB. ∠DAC=∠BACC. AC⊥BDD. AO=DO12. 如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A. 30B. 24C. 18D. 6二、填空题（本题包括4个小题）13. 如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF 是菱形．14. 如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形15. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．16. 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是_________三、解答题（本题包括4个小题）17. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）求证：BC=ED．18. 如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．19. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．20. 如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明答案1.【答案】B【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=AB×sin60°=∴EF=AE=∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是：EF•AM=××3=.故选:B.2.【答案】C【解析】根据题意可得四边形AEOF和四边形CGOH为菱形，且OH=EB，设AE=x，则BE=8－x，根据菱形的周长之差为12，可得两个菱形的边长之差为3，即x－（8－x）=3，解得：x=5．5 3. 【答案】D【解析】根据菱形的性质，在菱形ABCD中，AB=BC，E为AB的中点，因此可知BE=，又由CE⊥AB，可知△BCA为直角三角形，∠BCE=30°，∠EBC=60°，再由菱形的对角线平分每一组对角，可得∠EBF=∠EBC=30°，因此可求∠BFE=60°，进而可得tan∠BFE=．故选D 4. 【答案】A【解析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD 的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选A．5. 【答案】B【解析】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=，∴菱形ABCD的面积是=，故选B．6. 【答案】C【解析】∵A（﹣3，4），∴OA==5，∵四边形OABC是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B的坐标为：（﹣8，4），将点B的坐标代入得，4=，解得：k=﹣32．故选C．7. 【答案】D【解析】A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．8. 【答案】C【解析】如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF,∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选C．9. 【答案】B【解析】如图，连接AP，∵在菱形ABCD中，∠ADC=72°，BD为菱形ABCD的对角线，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，∴PA=PD.∴∠DAP=∠ADP=36°.∴∠APB=∠DAP+∠ADP=72°.又∵菱形ABCD是关于对角线BD对称的，∴∠CPB=∠APB=72°.故选B.点睛：连接AP，利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质求得∠APB的度数是解本题的基础，而利用通常容易忽略的“菱形是关于对称轴所在直线对称的”，由轴对称的性质得到∠CPB=∠APB才是解决本题的关键.10.【答案】C【解析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：×6×8=24．故选C．11. 【答案】D【解析】根据菱形的性质：“菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角”可知：选项A、B、C的结论都是正确的，只有选项D的结论不一定成立.故选D.12. 【答案】B【解析】∵P，Q分别是AD，AC的中点，∴PQ是△ADC的中位线，∴DC=2PQ=6.又∵在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，∴C菱形ABCD=6+6+6+6=24.故选B.13. 【答案】AB=AC或∠B=∠C【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形.所以当四边形AEDF中有一组邻边相等时，它就是菱形了.由此在△ABC中可添加条件：（1）AB=AC或（2）∠B=∠C.（1）当添加条件“AB=AC”时，∵AD是△ABC的高，AB=AC，∴点D是BC边的中点，又∵DE∥AC，DF∥AB，∴点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AB，AF=AC，∴AE=AF，∴平行四边形AEDF 是菱形.（2）当添加条件“∠B=∠C”时，则由∠B=∠C可得AB=AC，同（1）的方法可证得：AE=AF，∴平行四边形AEDF是菱形.14. 【答案】AB=AC，答案不唯一【解析】根据DE∥AC，DF∥AB，可直接判断出四边形AEDF是平行四边形，要使其变为菱形，只要邻边相等即可，从而可以得出．条件AE=AF（或AD平分角BAC，等）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又AE=AF，∴四边形AEDF是菱形．15. 【答案】AB=AD，答案不唯一【解析】由已知条件可证四边形ABCD是平行四边形，而要使平行四边形是菱形，根据菱形的判定方法可添加：（1）四边形ABCD中，有一组邻边相等；（2）四边形ABCD的对角线互相垂直；因此，本题的答案不唯一，如可添加：AB=AD，证明如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形.点睛：本题方法不唯一，由已知条件可证得四边形ABCD是平行四边形，结合菱形判定方法中的：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线相等的平行四边形是菱形；就可得到本题添加条件的方法有3种：（1）直接添加四组邻边中的任意一组相等；（2）直接添加对角线AC⊥BD；（3）在题中添加能够证明（1）或（2）的其它条件.16. 【答案】菱形【解析】∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边形ADBC是菱形．故答案为：菱形．17. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，可证得：CE=AE，再由△ACD与△ACE（2）由（1）可得DC∥BE，关于直线AC对称，可得AD=AE=CE=CD，从而可得四边形ADCE是菱形；DC=AE=BE，从而可证得：四边形BCDE是平行四边形，就可得到：BC=DE.（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，∴EA=EC.∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．∴△ACD≌△ACE，∴EA=EC=DA=DC，∴四边形ADCE是菱形；（2）∵四边形ADCE是菱形，∴CD∥AE且CD=AE，∵AE=EB，∴CD∥EB且CD=EB∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC．18. 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由△ABC是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点可证得：EF=EC=FC；由△DEC是等边三角形可得：DE=DC=EC，从而可得EF=FC=CD=DE，由此可得：四边形EFCD是菱形；（2）连接DF交AC于点G，由已知易证EF=EC=4，再由菱形的对角线互相垂直平分，可得EG=2，再由勾股定理可得：FG=，从而可得DF=.解：（1）∵△ABC与△CDE都是等边三角形∴AB=AC=BC，ED=DC=EC∵点E、F分别为AC、BC的中点∴EF=AB，EC=AC，FC=BC∴EF=EC=FC，∴EF=FC=ED=DC，∴四边形EFCD是菱形．（2）连接DF，与EC相交于点G，∵四边形EFCD是菱形，∴DF⊥EC，垂足为G ，EG=EC，∴∠EGF=90°，又∵AB=8， EF=AB，EC=AC，∴EF=4，EC=4，EG=2，∴GF=，∴DF=2GF=.19. 【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形．解：（1）四边形ABCD中，AB∥CD，过C作CE∥AD交AB于E，则四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因为AB∥CD，所以；AC平分∠BAD，所以，因此，所以AD=CD，所以四边形AECD是菱形.（2）由（1）知四边形AECD是菱形，所以AE=CE；点E是AB的中点，AE=BE，所以CE=AE=BE，所以△ABC是直角三角形（斜边上的中线等于斜边的一半是直角三角形）20. 【答案】四边形ABCD是菱形．证明见解析.【解析】过点A作AR⊥BC于点R，AS⊥CD于点S，由已知可得：AD∥BC，AB∥CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形；由矩形纸条等宽可得AR=AS，由面积法可证得：BC=DC，从而可得：平行四边形ABCD是菱形.解：四边形ABCD是菱形．理由如下：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵S平行四边形ABCD=AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形.点睛：本题第一步容易证得四边形ABCD是平行四边形；第二步抓住题中条件“等宽的矩形”通过作辅助线AR⊥BC，AS⊥CD，就可得AR=AS，再用“面积法”证得：BC=CD是解决本题的关键.1.2矩形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B 与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. BD的长度增大C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A. 17B. 18C. 19D. 204. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A. 4B. 3C. 2D. 16. 一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A. 602B. 702C. 1202D. 14027. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 对角线相等B. 两组对边分别平行C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A. 16cmB. 22cmC. 26cmD. 22cm或26cm10. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A. 57.5°B. 32.5°C. 57.5°，23.5°D. 57.5°，32.5°11. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A. 对角线相等的四边形B. 对角线垂直的四边形C. 对角线互相平分且相等的四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形二、填空题（本题包括3个小题）12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．13. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________14. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）三、解答题（本题包括5个小题）15. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形18. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案1. 【答案】C【解析】由题意可知，当向右扭动框架时，BD可伸长，故BD的长度变大，四边形ABCD由矩形变为平行四边形，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD的周长不变.原来矩形ABCD 的面积等于BC乘以AB，变化后平行四边形ABCD的面积等于底乘以高，即BC乘以BC边上的高，BC边上的高小于AB，所以四边形ABCD的面积变小了，故A,B,D说法正确，C说法错误.故正确的选项是C.2. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误3. 【答案】D【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=CD=2.5，AC==13，∵O是矩形ABCD 的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选D．4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D．5. 【答案】A【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．6. 【答案】A【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．故选A．7.【答案】A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=，∠OAD=60°，∴∠OAE=30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A．8.【答案】A【解析】∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．9. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．10. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=×（180°﹣∠AOB）=×（180°﹣65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°﹣57.5°=32.5°，即∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．点睛：本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能正确运用矩形的性质进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．11. 【答案】B【解析】∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选B．12. 【答案】AC=BD．答案不唯一【解析】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．13.【答案】①⑤【解析】要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．14. 【答案】合格【解析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.∵∴这个桌面合格.15. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°-α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．∴∠DHG=∠DGH=．∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．16. 【答案】12.【解析】利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC 中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD．解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．17. 【答案】证明见解析.【解析】欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F.∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．18. 【答案】AD＝140cm．【解析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可．解：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．19. 【答案】证明见解析.【解析】先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC 的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．1.3正方形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）（2）如果a≥0，1. 下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；那么=a;（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2. 下列命题，真命题是（）A. 两条对角线相等的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形D. 两条对角线平分且相等的四边形是正方形3. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①④⑤C. ①③④D.③④⑤4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC=90°时，它是矩形D. 当AC=BD时，它是正方形5. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A. ∠D=90°B. AB=CDC. AD=BCD. BC=CD6. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A. 22.5°角B. 30°角C. 45°角D. 60°角7. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A. AC=BD，AB∥CD，AB=CDB. AD∥BC，∠A=∠CC. AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD. AO=CO，BO=DO，AB=BC8. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A. （1）（2）（5）B. （2）（3）（5）C. （1）（4）（5）D. （1）（2）（3）9. 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A. ①④⑥B. ①③⑤C. ①②⑥D. ②③④10. 下列说法中错误的是（）A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的矩形是正方形C. 对角线相等的菱形是正方形D. 四条边相等的四边形是正方形11. 矩形的四个内角平分线围成的四边形（）A. 一定是正方形B. 是矩形C. 菱形D. 只能是平行四边形二、填空题（本题包括2个小题）12. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是．13. 把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上．（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成；（3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成．三、解答题（本题包括6个小题）14. 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：CE=CF；（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．15. 已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．16. 如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．17. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．18. 如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．19. 如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）答案1. 【答案】B【解析】（1）由于直角三角形的两条边长为5和12，这两条边没有确定是否是直角边，所以第三边长不唯一，故命题错误；（2）符合二次根式的意义，命题正确；（3）∵点P（a，b）在第三象限，∴a＜0、b＜0，∴﹣a＞0，﹣b+1＞0，∴点P（﹣a，﹣b+1）.在第一象限，故命题正确；（4）正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故命题错误；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是正确的．故选A．2. 【答案】C【解析】A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误；B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B错误；C、两条对角线互相垂直平分的四边边是菱形，故C正确；D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D错误；故选C．3. 【答案】B【解析】解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△D EF 是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF（SAS）；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4（故③错误）．当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．故选：B．4. 【答案】D【解析】A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC 时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选D．5.【答案】D【解析】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D．6. 【答案】C【解析】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C．7. 【答案】C【解析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．A，不能，只能判定为矩形；B，不能，只能判定为平行四边形；C，能；D，不能，只能判定为菱形．故选C．8. 【答案】A【解析】拿两个“90°、60°、30°的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故选A．9. 【答案】C【解析】A．符合邻边相等的矩形是正方形；B．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；D．可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；故选C．10. 【答案】D【解析】A正确，符合矩形的定义；B正确，符合正方形的判定；C正确，符合正方形的判定；D不正确，也可能是菱形；故选D．11. 【答案】A【解析】矩形的四个角平分线将举行的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个。
北师大版九年级数学上册第一章 1.3正方形的性质与判定 同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章 1.3正方形的性质与判定同步练习题第1课时正方形的性质1．正方形具有而菱形不一定具有的特征有(C)A．对角线互相垂直平分 B．内角和为360°C．对角线相等 D．对角线平分内角2．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠BED为(C)A．15° B．35° C．45° D．55°3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(C)A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，点D是CG边上一点，H是AF的中点，那么CH5．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为(－1，5)．6．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是CD，BC的中点，AE与DF交于点P，连接CP，则CP57．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，延长DA到H，使DH＝DB，在DB 上截取DG＝DC，连接GH交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC＋FG＝1.5.其中正确结论的序号是①②③．8．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE ＝DF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°.在△ABE和△ADF中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)． (2)∵△ABE≌△ADF， ∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠DAF. ∵∠BAE ＋∠EAD＝90°，∴∠DAF ＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°. ∴EF ＝2AE ＝5 2.9．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 在对角线BD 上，AE ∥CF ，连接AF ，CE. (1)求证：△ABE≌△CDF；(2)试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF＝45°， 又∵AE∥CF，∴∠AEF ＝∠CFE. ∴∠AEB ＝∠CFD. ∴△ABE ≌△CDF(AAS)．(2)四边形AECF 是菱形．理由如下： 连接AC 交BD 于点O ，则AC⊥BD. ∵△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF.又∵OB＝OD ，∴OB －BE ＝OD －DF ，即OE ＝OF.又∵AC⊥EF，OA ＝OC ， ∴四边形AECF 是菱形．10．如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，E 为AB 边上一点，F 为BC 边上一点，△EBF 的周长等于BC 的长．(1)若AB ＝24，BE ＝6，求EF 的长； (2)求∠EOF 的度数．解：(1)设BF ＝x ，则FC ＝BC －BF ＝24－x. ∵BE ＝6，BE ＋BF ＋EF ＝BC ， ∴EF ＝18－x.在Rt △BEF 中，BE 2＋BF 2＝EF 2， ∴62＋x 2＝(18－x)2，解得x ＝8. ∴EF ＝18－x ＝10.(2)在FC 上截取FM ＝FE ，连接OM ， ∵C △EBF ＝BE ＋EF ＋BF ＝BC ， ∴BE ＋EF ＋BF ＝BF ＋FM ＋MC. ∴BE ＝MC ＝6.∵四边形ABCD 为正方形， ∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCM＝45°. 在△OBE 和△OCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCM，BE ＝CM ，∴△OBE ≌△OCM(SAS)．∴∠EOB ＝∠MOC，OE ＝OM. ∴∠EOM ＝∠BOC＝90°. 在△OFE 和△OFM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OM ，OF ＝OF ，EF ＝MF ，∴△OFE ≌△OFM(SSS)． ∴∠EOF ＝∠MOF＝12∠EOM＝45°.11．如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CB ，DC 延长线上的点，且BE ＝CF ，过点E 作EG ∥BF ，交正方形外角的平分线CG 于点G ，连接GF.求证：(1)AE⊥BF；(2)四边形BEGF 是平行四边形．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD＝90°. ∴∠ABE ＝∠BCF＝90°.在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF(SAS)． ∴AE ＝BF ，∠BAE ＝∠CBF.∵EG ∥BF ，∴∠CBF ＝∠CEG.∴∠CEG＝∠BAE.∵∠BAE ＋∠BEA＝90°，∴∠CEG ＋∠BEA＝90°，即∠AEG＝90°. ∴AE ⊥EG.又∵EG∥BF，∴AE ⊥BF. (2)延长AB 至点P ，使BP ＝BE ，连接EP ， 则AP ＝CE ，∠EBP ＝90°. ∴∠P ＝45°.∵CG 为正方形ABCD 外角的平分线， ∴∠ECG ＝45°.∴∠P ＝∠ECG. 在△APE 和△ECG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠P＝∠ECG，AP ＝EC ，∠PAE ＝∠CEG，∴△APE ≌△ECG(ASA)．∴AE＝EG. ∵AE ＝BF ，∴EG ＝BF. ∵EG ∥BF ，∴四边形BEGF 是平行四边形．12．如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，∠CDE 的平分线交AM 延长线于点F.(1)如图1，若点E 为线段AM 的中点，BM ∶CM ＝1∶2，BE ＝10，求AB 的长； (2)如图2，若DA ＝DE ，求证：BF ＋DF ＝2AF.解：(1)设BM ＝x ，则CM ＝2x ，BA ＝BC ＝3x. 在Rt △ABM 中，E 为斜边AM 的中点，∴AM＝2BE＝210.∵AM2＝MB2＋AB2，∴40＝x2＋9x2，解得x＝2.∴AB＝3x＝6.(2)证明：如图，过点A作AH⊥AF，交FD的延长线点H，过点D作DP⊥AF于点P.∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2.∵DE＝DA，DP⊥AF，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∴∠2＋∠3＝45°.∴∠DFP＝90°－45°＝45°.∴AH＝AF.∴HF＝2AF.∵∠BAF＋∠DAF＝90°，∠HAD＋∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH.又∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADH(SAS)．∴BF＝DH.∵HF＝DH＋DF＝BF＋DF，∴BF＋DF＝2AF.第2课时正方形的判定1．下列说法中，不正确的是(D)A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．对角线垂直的矩形是正方形D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形2．如图，将矩形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE.若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(A)A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC ＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)A．①② B．②③ C．①③ D．②④4．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是(A)A．AB＝CD，AB⊥CDB．AB＝CD，AD＝BCC．AB＝CD，AC⊥BDD．AB＝CD，AD∥BC5．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，∠B＝60°，当边＋1)∶2时，四边形AECF是正方形．6．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是7．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD 外一点，连接BE，CE.现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的是①②③④．(填序号)8．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．正确结论的序号是①②③．9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE＋DF＝AF＋DE.其中正确的是②③④(填序号)．10．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB，PC相交于点P.(1)猜想四边形PCOB是什么四边形？并说明理由；(2)当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形？解：(1)四边形PCOB是菱形．理由如下：∵PB∥AC，PC∥BD，∴四边形PCOB为平行四边形．∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OC.∴四边形PCOB为菱形．(2)当AC⊥BD时，四边形PCOB是正方形．理由如下：∵四边形PCOB为菱形，AC⊥BD，∴四边形PCOB为正方形．11．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC. ∵△ACE 是等边三角形， ∴EO ⊥AC ，即 BD⊥AC. ∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵△ACE 是等边三角形，EO ⊥AC ，AO ＝OC ， ∴∠AEO ＝∠CEO＝30°.∵∠AED ＝2∠EAD，∴∠EAD ＝15°. ∴∠DAO ＝∠EAO－∠EAD＝45°. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BAD ＝2∠DAO＝90°. ∴四边形ABCD 是正方形．12．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC. (1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE≌△CDE(SSS)．∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD.∴∠CDE＝∠CBD.∴BC＝CD.∵AD＝CD，∴BC＝AD.∴四边形ABCD为平行四边形．∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.∵∠C BE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180°×22＋3＋3＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°.∴∠ABC＝90°.∴四边形ABCD是正方形．13．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝22，CE＝2，求CG的长；(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．解：(1)证明：作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，∵∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP.∴∠CEQ＝∠CEP＝45°.∴∠QEF ＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°. ∴∠QEF ＝∠PED.在△EQF 和△EPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠QEF＝∠PED，EQ ＝EP ，∠EQF ＝∠EPD，∴△EQF ≌△EPD(ASA)．∴EF＝ED. ∴矩形DEFG 是正方形．(2)在Rt △ABC 中，AC ＝2AB ＝4. ∵EC ＝2，∴AE ＝CE ＝2. ∴DE ⊥AC ，DE ＝EC.∴点F 与C 重合，此时△DCG 是等腰直角三角形． ∴CG ＝2.(3)∠EFC ＝130°或40°.第3课时 正方形的性质与判定的运用1．如图所示，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，过点O 作OE⊥OF，分别交AB ，BC 于E ，F.若AE ＝4，CF ＝3，则EF 的长为(C)A ．3B ．4C ．5D ．62．将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是(B)A．n B．n－1C．4(n－1) D．4n3．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线交于点O，点E是边AB上一动点，点F在边BC上，且满足OE⊥OF，在点E由A运动到B的过程中，以下结论中正确的个数为(B)①线段OE的大小先变小后变大；②线段EF的大小先变大后变小；③四边形OEBF的面积先变大后变小．A．0 B．1 C．2 D．34．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为6，则正方形ABCD的边长为3．5．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH26．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC，CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，AC＝3，3DP＝AB，则FP7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上．若CE＝35，且∠ECF＝45°，则CF的长为8．如图，已知在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC与CD上的点，且∠EAF＝45°，AE与AF分别交对角线BD于点M，N，则下列结论正确的是①②④．①∠BAE＋∠DAF＝45°；②∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；③BM＋DN＝MN；④BE＋DF＝EF.9．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是10．如图，已知正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°.求证：MN＝DN－BM.证明：在DN上截取DE＝MB，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD ＝AB ，∠D ＝∠ABM＝90°. 在△ABM 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABM ＝∠D，BM ＝DE ，∴△ABM ≌△ADE(SAS)． ∴AM ＝AE ，∠MAB ＝∠EAD. ∵∠MAN ＝∠MAB＋∠BAN＝45°， ∴∠DAE ＋∠BAN＝45°. ∴∠EAN ＝∠MAN＝45°.在△AMN 和△AEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AE ，∠MAN ＝∠EAN，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AEN(SAS)． ∴MN ＝EN. ∵EN ＝DN －DE ， ∴MN ＝DN －BM.11．操作：将一把三角尺放在如图1的正方形ABCD 中，使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q.探究：(1)如图2，当点Q 在DC 上时，求证：PQ ＝PB ；(2)如图3，当点Q 在DC 延长线上时，(1)中的结论还成立吗？简要说明理由．解：(1)证明：过点P 作PN⊥AB 于点N ，NP 延长线交CD 于点M ，在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACD ＝45°， ∴∠PMQ ＝∠PNB ＝∠CBN＝90°. ∴四边形CBNM 是矩形．∴CM ＝BN ，△CMP 是等腰直角三角形． ∴PM ＝CM ＝BN.∵∠PBN ＋∠BPN＝90°，∠BPN ＋∠MPQ＝90°， ∴∠MPQ ＝∠PBN.在△PMQ 和△BNP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MPQ＝∠NBP，∠PMQ ＝∠BNP，PM ＝BN ，∴△PMQ ≌△BNP(AAS)． ∴PQ ＝PB.(2)(1)中结论成立．理由：过点P 作PN⊥AB 于点N ，NP 延长线交CD 于点M ， 在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACD ＝45°， ∴∠PMQ ＝∠PNB＝∠CBN＝90°. ∴四边形CBNM 是矩形．∴CM ＝BN ，∴△CMP 是等腰直角三角形． ∴PM ＝CM ＝BN.∵∠PBN ＋∠BPN＝90°，∠BPN ＋∠MPQ＝90°， ∴∠MPQ ＝∠PBN.在△PMQ 和△BNP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MPQ＝∠NBP，∠PMQ ＝∠BNP，PM ＝BN ，∴△PMQ ≌△BNP(AAS)． ∴PQ ＝PB.12．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一动点(不与B，C重合)：①CE平分∠DCF；②AP⊥PE；③AP＝EP.以此三个条件中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①.(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答)；(2)请选择一个你认为正确的命题给予证明．解：(1)上述三个命题均正确．(2)答案不唯一，选①③⇒②证明：在AB上截取AM＝CP，则BM＝BP.∴∠BMP＝∠BPM＝45°，∠AMP＝135°.∵CE平分∠DCF，∴∠DCE＝45°.∴∠ECP＝135°.过点A作AG⊥MP交MP的延长线于点G，过点P作PH⊥EC交EC的延长线于点H，∴∠AMG＝∠PCH＝45°，∠G＝∠H.∴△AGM≌△PHC(AAS)．∴AG＝PH.∵AP＝PE，∴Rt△AGP≌Rt△PHE(HL)．∴∠GPA＝∠PEH.∵∠BPM＝∠CPH＝45°，B，P，C三点共线，∴M，P，H三点共线．∵∠PEH＋∠EPH＝90°，∴∠GPA＋∠EPH＝90°.∴∠APE＝90°.∴AP⊥PE.。
2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第一章 菱形的性质与判定》同步练习题附含答案
2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第一章菱形的性质与判定》同步练习题附含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2．如图，菱形ABCD的周长为8，∠ABC=120°，则AC的长为（）A．2 √3B．2 C．√3D．13．如图，在菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且OA=4，直线y=23x+43过点C，则菱形ABOC的面积是 ( ）A．4 B．323C．8 D．1634．如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．2√3cm2 B．3√3cm2 C．4√3cm2 D．6√3cm25．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为√3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：√2D．1：√36．如图有一张长为12，宽为8的长方形（矩形）纸片，先将其上下对折，再左右对折，最后沿着虚线剪下一个直角三角形①，若该直角三角形①的直角边长为整数，将①展开可得一个四边形，则下列哪个选项不能作为该四边形的面积（）A．18 B．24 C．28 D．307．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°8．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）个。
九年级数学上册第2章《第1课时_利用一元二次方程解决几何问题》基础训练(北师大版)
《第1课时 利用一元二次方程解决几何问题》类型1 利用一元二次方程解决几何图形问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( )A .(10)900x x -=B .(10)900x x +=C .10(10)900x +=D .[]2(10)900x x ++=2.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A .(5)6x x +=B .(5)6x x -=C .(10)6x x -=D .(102)6x x -=3.已知直角三角形两条直角边的长度之和为7，面积为6，则斜边长为( )A .B .5C .25D .74.如图，某小区内有一块长、宽比为2：1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m 的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312m 2，请求出原来大矩形空地的长和宽.(1)请找出上述问题中的等量关系____________________________________;(2)若设大矩形空地的宽为x m ，可列出的方程为__________________________，方程的解为__________________________，原来大矩形空地的长和宽分别为__________________________.5.如图，某工厂师傅要在一个面积为15m 2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m ，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为_________ m2.6.已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，求出x的值.7.（教材P57复习题T8变式）如图，有一块长方形铁皮，长40 cm，宽30 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？8.如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.(1)当a为10时,花圃的面积为_________平方米;(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3:5？如果能,试求出此时通道的宽.类型2利用一元二次方程解决动态几何问题9.（教材P52例1变式）如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向相距45海里的点A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度准备在点B处将其拦截，试问需要多长时间？10.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4 m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3 m/s的速度由南向北走，当乙走到点O以北50 m处时，甲恰好到点O处，若两人继续向前行走，求两人相距85m 时各自的位置11.（汝州期中）如图，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB=200 cm，OE=260 cm，一只小猫C由柱子底端A点以2 cm/s的速度向顶端B点爬行，同时，另一只小猫D 由O点以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行.问：是否存在这样的时刻，使两只小猫与O点组成的三角形面积是1800 cm2?12.（教材P53习题T2变式）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t s.（1）若△PCQ的面积是△ABC的面积的14，求t的值；（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ的面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由.参考答案1.B2.B3.B4.解:(1)原矩形面积－小路面积=草坪面积(2)(2)(22)312x x --= 1411()x x ==-或舍去 28 m ，14 m .5. 26.解:由题意，得211=24x +-（）.整理，得21=25x +（）.解得x =4或x =﹣6(不合题意,舍去).∴x 的值是4.7.解：设切去的小正方形的边长为x cm .依题意，得402x -（）302=x -（）600.解得12=530x x =，.当x =30时，3020x -＜，∴x =30不合题意，应舍去.∴x =5. 答：铁皮各角应切去边长为5cm 的正方形.8.解:(1)800 (2)根据题意，得5(402)(602)8a a --=⨯60⨯40.解得125,45a a ==(舍去).答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米.9.解:设需要x 小时，根据题意，得222(60)45(75)x x +=，解得121,1x x ==-（舍去）答：需要1小时.10.解:设两人继续向前行走x s 时相距85 m .根据题意，得222(503)(4)85x x ++=.解得129,21x x ==-(舍去).则50377,436x x +==.答：两人相距85 m 时，甲走到点O 以东36 m 处，乙走到点O 以北77m 处.11.解：有两种情况：①当小猫C 在AO 上运动时，设x s 后两只小猫与O 点组成的三角形面积为1800 cm 2，由题意，得12x x ⨯3⨯(100-2)=1800，整理，得2506000x x -+=，解得12=20,30x x =.经检验，12=20,30x x =均符合题意；②当小猫C 在OB 上运动时，设y s 后两只小猫与O 点组成的三角形面积为1800 cm 2，由题意，得11002y y ⨯3⨯(2-)=1800，整理，得2506000y y --=，解得12=60,10()y y =-舍去.经检验，y =60符合题意.答：20 s 或30 s 或60 s 后，两只小猫与O 点组成的三角形面积是1800 cm 2.12.解:(1)t 的值为2. （2）△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等.理由如下：当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 的面积相等时，则1=2PCQ ABC S S △△，即11(164)6422t t ⨯2-=⨯，整理，得2480t t -+=.∵Δ=2(4)--4⨯1-8=-160＜， ∴此方程没有实数根.∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等.。
北师大版九年级数学上册《2.2 用配方法求解一元二次方程》同步练习题-附答案
北师大版九年级数学上册《2.2 用配方法求解一元二次方程》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．用配方法解下列方程，在左右两边同时加上 4 使方程左边成完全平方式的是（ ）A ．x 2+2x=3B ．x 2+8x=2C ．x 2﹣4x=59D ．2x 2﹣4x=12．210x 的解是( )A ．1±B ．1C ．1-D ．无实数根3．用配方法解方程2410x x ++=时，配方结果正确的是（ ）A ．()223x +=B ．()223x -=C ．()225x +=D ．()2415x += 4．用配方法将二次三项式a 2+4a ﹣5变形，结果是（ ）A ．（a ﹣2）2+9B ．（a +2）2+9C ．（a ﹣2）2﹣9D ．（a +2）2﹣95．将方程x 2﹣6x +6＝0变形为（x +m ）2＝n 的形式，结果正确的是（ ）A ．（x ﹣3）2＝15B ．（x ﹣3）2＝﹣3C ．（x ﹣3）2＝0D ．（x ﹣3）2＝36．用配方法解方程2410x x --=，配方正确的是（ ）A ．()223x +=B ．()229x +=C ．()225x -=D ．()2217x -= 7．用配方法解方程2x 2 + 3=7x 时，方程可变形为（ ）A ．（x–）2=B ．（x–）2=C ．（x–）2=D ．（x–）2=8．用配方法解方程2450x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()226x +=B ．()229x +=C ．()229x -=D ．()226x -= 9．将方程2650x x --=化为2()x m n +=的形式，则m ，n 的值分别是（ ）A ．3和5B ．-3和5C ．3和14D ．-3和1410．一元二次方程240x -=的根是（ ）A 2B ．2C 2或2-D ．2或2-二、填空题11．若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根是31m +与9m -，则b a = ． 12．把方程2450x x --=化成()2x a b +=的形式，则a 的值是 b 的值是 ；133x+42y -6y+9=0，则xy= ．14．在Rt △ABC 中，△C =90°，若a ：b =3：4，c =25，则a =15．已知一元二次方程22310x x a +++=有一个根为=1x -，则a 的值为 ．16．方程249x =的解为 ．17．将一元二次方程2215x x ++=化成2()x a b +=的形式，则a b += ．18．方程(x -5)2﹣9=0的根是 ．19．已知方程x 2﹣10x +24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 ． 20．将方程x 2+6x ﹣3=0的左边配成完全平方后所得方程为 ．三、解答题21．【探究学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“20a ≥”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．例如：求2612a a ++的最小值．解：()222261263333a a a a a ++=+++=++，因为2(3)0a +≥，所以()2333a ++≥，所以当2(3)0+=a 时，即当3a =-时，2612a a ++有最小值，最小值为3．【解决问题】(1)当x 为何值时，代数式2811x x -+有最小值？最小值为多少？(2)如图1所示的是一组邻边长分别为7，25a +的长方形，其面积为1S ；如图2所示的是边长为6a +的正方形，其面积为2S ，0a >请比较1S 与2S 的大小，并说明理由．(3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度46m 的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地ABCD ，且CD 边上留两个1m 宽的小门，设BC 的长为m x ，当x 为何值时，长方形场地ABCD 的面积最大？最大值是多少？22．已知函数()4342f x a x x =---(1)求函数的定义域；(2)当(1)3f =时，求a 的值.23．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A 粽子能够畅销．根据预测，每千克A 粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A 粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A 粽子的进价是多少元？(2)如果该商场在节前和节后共购进A 粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A 粽子获得利润最大？最大利润是多少？24．已知a ，b 为两个正实数2222()()2()0a b ab a b a b a b +-=+-≥ 2a b ab ∴+≥2a b ab +≥“a b =”时，等号成立．我们把2a b +叫做正数a ，b ab a ，b 的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当0x >时，求11y x x =++的最小值； 解：11()1213y x x x x =++≥⋅=，当1x x=，即1x =时，y 的最小值为3． (1)探究：当0x >时，求2316x x y x-+=的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n 年的保养，维修费用总和为210n n +万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=所有费用：年数n ）？最少年平均费用为多少万元？(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线AB 经点(3,4)P ，与坐标轴正半轴相交于A ，B 两点，当AOB 的面积最小时，求直线AB 的表达式．25．阅读材料：用配方法求最值．已知x ，y 为非负实数2222()()2?()0x y xy x y x y x y +-+-=≥ 2x y xy ∴+≥“x y =”时，等号成立．示例：当0x >时，求14y x x=++的最小值． 解：11()42?46y x x x x=++≥=，当1x x =，即1x =时，y 的最小值为6． （1）尝试：当0x >时，求21x x y x++=的最小值． （2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n 年的保养、维护费用总和为210n n +万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=n所有费用之和年数）？最少年平均费用为多少万元？参考答案1．C2．A3．A4．D5．D6．C7．D8．C9．D10．D11．4912． 2- 913． -414．1515．1±16．32± 17．618．x 1=2，x 2=819．14或1620．（x+3）2 =12．21．(1)4x =时，代数式2811x x -+有最小值，最小值为-5；(2)当1a =时21=S S ；当1a ≠时21S S >，略(3)当8x =时，长方形场地ABCD 的面积最大，最大值为19222．(1)1423x <≤ (2)125a 225a =23．(1)节后每千克A 粽子的进价为10元(2)节前购进300千克A 粽子获得利润最大，最大利润为3000元 24．(1)5(2)10年；2.5万元 (3)483y x =-+ 25．（1）3；（2）10，2.5．。
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九年级数学第一章证明（二）
班级姓名得分
一、选择题（36分）
1．以下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A．6，8，10 B．5，12，13 C．9，40，41 D．5，6，7
2．已知命题：全等三角形的面积相等，则其逆命题是（）A．不全等三角形的面积不相等
B．面积不相等的两个三角形不全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等
3．对于直角三角形，下列条件不能判定它们全等的是（）A．一锐角和一直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．两个锐角对应相等
D．两条直角边对应相等
4．△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（）A．AB=AC B．AB=BC C．AC=BC D．∠B=∠C
5．△ABC中，边AB、AC的中垂线交于点O，则有（）A．O在△ABC 内部 B．O在△ABC 的外部
C．O在BC边上D．OA=OB=OC
6．已知D是△ABC的边BC上的一点，点B和C到AD的距离相等，那么线段AD是△ABC的
（）A．BC的垂直平分线 B．角平分线 C．中线 D．高线
7．如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不能确定
8．点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）A．BC的中线上B．BC边的垂直平分线上
C．BC边的高线上D．∠A的平分线所在的直线上
9．如果三角形的一个角的平分线也是中线，则该三角形是（）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．任意三角形
10．若一等腰三角形的腰长为4cm，腰上的高为2cm，则等腰三角形的顶角为（）
A．30° B．150° C．30°或150° D．以上都不对
11．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形上 D．以上都不对
12．下列定理中逆定理不存在的是（）
A．等边三角形的三个内角都是60°
B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的对应角相等
二、填空题（36分）
13．若一个等腰三角形的腰长为4，底边上的高为2，则此等腰三角形的顶角为。
14．直角三角形两直角边分别是5cm,12cm，，则其斜边上的高为 cm。
15．有一个三角形的两边长为3，4，要使这个三角形是直角三角形，则第三边的长应为。
16．“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是。
17．用反证法证明“三角形中最多有一个是直角或钝角”时应假设。
中？答：
（填“能”或“不能”）。
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，分别交AB、BC于点D、E，若∠B=30°，
BC=10，则CE= 。
20．已知，如图，AB=CD，CE=DF，请添加一个条件：
，使△ACE≌△BDF。
21．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A的的平分线AD分
对边BC 为BD:DC=3:2，且BC=15cm ，则点D 到AB 边的距离 为 cm 。
22．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交
AC 于点E ，如图所示，若△ABC 与△BEC 的周长分别为
30cm 和18cm ，则△ABC 的腰长为 。
23．已知32
+42
=52
，52
+122
=132
，72
+242
=252
，那么在112
+a 2
=c 2
中，a= 。
24．△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为
50°，则△ABC 的底角∠B 为 。
三、解答题（28分） 25．作图题（8分）
（1）如图，一个三角形状的水池，现要在水池内安装一个喷水头，且喷水头到池边的距离都
要相等，请用尺规找出喷水池的位置点P 。
（2）先用圆规画一个圆，然后在圆弧上确定三个点A 、B 、C ，作线段AB 、BC 的垂直平分线，
你能发现什么结论？
26．（5分）已知，如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分
别为E 、F ，且DE=DF 。
求证：△ABC 是等腰三角形
27．（5分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE 。
C
28．（10分）（1）如图，有四个直角三角形，在提供的三角形中，只有一刀剪下一个与原
三角形相似的三角形，请在图上画出四种不同的裁剪方法（标出必要的记号）。
方法（一） 方法（二） 方法（三） 方法（四） （2）根据（1）的某种剪法，作为解决下列问题的突破口，先按裁剪法构图（作辅助线），
后解决问题。
问题：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，
求BC 和AD 。
D
C
B
A。