2.3.1《向量数量积的物理背景与定义人教B版必修4
人教B版高中数学必修四《2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义》_6
教学设计1教学目标1.知识目标：（1）理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及运算。
（2）能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直、平行有关的问题。
（3）培养学生互动探究能力。
2.能力目标：（1）使学生能从代数角度理解平面向量数量积的坐标表示公式，并能简单应用;（2）能从数形结合的角度解决数学问题; 通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识。
（3）通过一例一练的方式使学生能够更熟练的应用向量的坐标表示。
3.情感目标：（1）通过教师指导下的交流活动，培养学生的团结合作精神；（2）通过学生上台板演，激发学生学习数学的兴趣和勇气。
2学情分析1. 对公式的推导，为便于学生理解，回顾平面向量的坐标表示。
从而推导平面向量数量积的坐标表示。
2. 前面学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示。
学生有了平面向量的坐标表示及坐标运算的经验，就顺其自然的考虑到平面向量的数量积是否也可以用坐标表示的问题，因此在实现平面向量的数量积坐标表示后，向量的模、夹角及其垂直也都可以与向量的坐标联系起来。
通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识。
3重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示及几个公式的应用。
难点：用坐标法处理长度、角度、垂直问题。
4教学过程 4.1 第一学时教学活动活动1【导入】呈现目标1.理解并掌握平面量数量积的坐标表示及运算。
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直、平行有关的问题。
3.培养学生互动探究能力。
教师：呈现学习目标，教师阅读教学目标。
期望学生：通过学习目标的呈现，激发学生学习兴趣，希望学生带着方向走近课堂。
活动2【导入】复习引入1.数量积的定义。
2.平面向量数量积的运算律。
3.三个重要结论。
教师：要求学生共同回答以上问题，并对细节进行再次强调。
人教版高中必修4(B版)2.3.1向量数量积的物理背景与定义课程设计
人教版高中必修4(B版)2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课程设计引言在我们的日常生活中，经常会使用到向量及其相关的数学工具。
对于高中学生来说，向量数量积是一个必须要掌握的概念和技能。
本文将从物理背景和概念定义两个方面，为学生展开向量数量积的课程设计。
一、物理背景1.1 向量概念向量是一个既有大小（又叫模长）、又有方向的量，通常用有向线段表示。
向量最早源于物理学，但现在已经在各种领域广泛应用。
1.2 力和位移在力学中，向量被用来描述力和位移。
力是物体间的相互作用，可以分解为大小和方向。
位移也是一种向量，它描述物体在空间中的位置变化。
1.3 力与位移的物理背景在力学中，可以通过向量的数量积来描述力和位移之间的关系。
具体来说，力在物体运动方向上产生的位移可以表示为力与位移的数量积。
二、概念定义2.1 向量的数量积定义向量的数量积又称点积或内积，是使用向量的长度和夹角计算两个向量的乘积。
设有向量a和b的夹角为θ，a和b的数量积为a·b，则a·b=|a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的长度。
2.2 向量的数量积计算以二维空间为例，设向量a的坐标为(a1,a2)，向量b的坐标为(b1,b2)则向量a、b的数量积为a·b=a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>2.3 向量的数量积性质向量的数量积具有以下性质：1.交换律：a·b = b·a2.分配律：a·(b+c) = a·b + a·c3.数量积为0的向量互相垂直4.若a,b的夹角为90度，则a·b = 0三、课程设计本次课程设计主要是让学生了解向量的数量积的物理背景和概念定义。
具体来说，课程将分为以下几个步骤：3.1 知识预热为了让学生更好的理解向量数量积的物理背景，可以从以下几个方面进行预热。
【成才之路】高中数学 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课件 新人教B版必修4
4．向量数量积的性质 |a|· cos〈a，e〉 (1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝______________. a· b＝0 ； (2)a⊥b⇔________
a· a (3)a·a＝|a|2或|a|＝________ ； a· b |a||b| (4)cos<a，b>＝_________( a≠0，b≠0)；
→ → 6．指出下图中两向量OA、OB的夹角．
→ → → → [解析] ①OA与OB的夹角为 0° ； ②OA与OB的夹角为 180° ； → → → → ③OA与OB的夹角是∠AOB；④OA与AB的夹角是 θ.
课堂典例讲练
向量在轴上的射影
已知向量 a 与轴 l.则下列命题 ①a 在 l 上的射影为正数； ②a 在 l 上的射影为非负数； ③a 在 l 上的射影为向量； ④a 在 l 上的数量为非负数； ⑤a 在 l 上的数量为实数；
已知向量 a、 b 满足 |b|＝ 2 ，a 与b的夹角为60° ，则b 与a上
的投影是________． [答案] 1
[解析] ∵|a|＝2，a 与 b 的夹角为 60° ， 1 ∴b 与 a 的投影是|b|· cos60° ＝2×2＝1.
关于向量数量积的定义和应用
|a||b|cos〈a，b〉 叫做向量 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ) ，记 (1)_______________ |a______________. ||b|cos〈a，b〉 作a·b，即a·b＝ 数量 ，它可以为正 (2) 两向量的数量积不是向量而是 ________ 数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义》0
§平面向量的数量积的物理背景及含义教学设计授课人：杜超丽一、教材、学情、考纲分析1、教材分析：本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修4》（B版）平面向量的数量积的物理背影及其含义平面向量的数量积的是继向量的线性运算之后的又一重要运算，是平面向量的核心内容。
向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、模又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
数量积既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，也是本节课学习的重点之一。
2、学情分析（1）有利因素：学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
（2）不利因素：一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点之一也是数量积的概念。
3、考纲分析1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决问题．基于以上教材、学情、考纲分析，我确定了以下学习目标及重难点：二、学习目标1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．通过物理中的“做功”分析，掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义．3．通过实数运算的类比，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决问题．三、学习重、难点1重点：平面向量数量积的概念和性质；2难点：平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解四、学习方法1．教法分析从上面的教材分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。
人教B版高中数学必修四《2.3.1 向量数量积的物理背景与定义》_9
2.3.1向量数量积的物理背景与定义【学习目标】知识与技能：能准确刻划两个向量的夹角，能解释向量数量积的含义且顺利地将数量积公式进行变型，能用数学语言说明物理学中功的意义，会利用公式进行简单计算。
过程与方法：通过向量在轴上的正射影的探究过程体会转化的思想方法，通过定义的剖析培养学生从不同角度思考问题的习惯，通过力做功数学意义的分析体验数学知识在物理学中的应用。
情感态度与价值观：培养学生养成主动探究公式结构特征的习惯，训练学生思维的深刻性品质。
【学习重、难点】重点：平面向量数量积的定义。
难点：数量积公式的意义，功的数学意义，转化思想的应用意识。
【学习过程】一、问题导入 力做功的计算如图所示：一物体在力F 的作用下产生位移S （1） 力F 所做的功W =---------（2） 请同学们分析这个公式的特点二、探究归纳思考：如何刻划两个非零向量的位置关系？1、两个向量的夹角已知两个非零向量b a ,,作a OA =→，b OB =→，则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角， 记作><b a ,，并规定 π>≤≤<b a ,0 当2,π>=<b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直。
记作b a ⊥ 规定零向量与任意向量垂直练习1 指出下列图中两向量的夹角O A B A O B(1) (2)O BθO B(3) A (4)2、向量在轴上的正射影射影的概念及公式：||cos l a a θ=。
练习2（1）若||5,,60OA OA l =〈〉=︒，求OA 在l 上的正射影的数量1OA ；（2）若||5,,120OB OB l =〈〉=︒，求OB 在l 上的正射影的数量1OB 。
3、平面向量数量积定义定义 ><b a b a ,cos 叫做向量a 和b 的数量积（或内积）。
记作 ，即 ><=∙b a b a b a ,cos剖析定义：三、智能训练1、已知><b a b a ,,,，求b a ∙（1）32,,4,5π>=<==b a b a（2）2,,2,4π>=<==b a b a变式、已知b a ∙，><b a b a ,,求（1） 5=∙b a ，10=b a（2）25-=∙b a ，25=a bO B A l2、如图，在平行四边形ABCD 中，4,3,60AB AD DAB ︒==∠= 求 (1)AB AD ∙ (2)∙(3)∙ (4) ∙自主探究内积的重要性质四、归纳小结。
人教B版高中数学必修四《 2.3 平面向量的数量积 2.3.1 向量数量积的物理背景与定义》_13
§2.4.1 《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案学习目标：（2）掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
教学重点：平面向量数量积的概念．教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解．教学方法：情景导入，自主合作探究．教具准备：向量模型，ppt 演示向量的数量积教学过程：（一）新课引入：复习：我们学习了平面向量的线性运算，即向量的加法、减法和数乘运算． 我们来看物理学中的例子．我们知道，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W ＝|F ||s |cos θ，其中θ是F 与s 的夹角.功是一个标量，它由力和位移两个向量根据某种法则来确定，也就是说，“功”是两个向量的一种运算结果．这是一种我们没有见过的新的运算，我们称之为向量的“数量积”．这就是我们本节课要学习的新内容．（二）讲授新课：⒈向量数量积的概念引导学生自己得出定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(0)θπ≤≤，其中θ是向量a 与b 的夹角说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0；⑵符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.⒉数量积的性质已知︱a ︱=3，︱b ︱=5，a 与b 的夹角θ=120°，求a ·b 。
（例题变式）探究1 当a 与b 夹角为0°时，a ·b 等于______当a 与b 夹角在0°＜θ ＜ 90°时，a ·b 为______？(正负)当a 与b 夹角为90°时，a ·b 等于______当a 与b 夹角在90°＜θ ＜ 180°时，a ·b 为______？(正负)当a 与b 夹角为180°时，a ·b 等于______特别地，a ·a 等于______︱a |如何计算？探究2：︱a ·b ︱与︱a ︱︱b ︱的大小关系如何？⒊数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积.探究3：向量a 在b 方向上的投影是什么？投影一定是正数吗？这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.巩固练习：︱a ︱=6,e 为单位向量，它们之间的夹角为60°，则a 在e 方向上的投影是（ ）⒋数量积的运算律已知向量a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a ·b ＝b ·a (交换律)②（λa ）·b ＝λ（a ·b ）＝a ·（λb ） (数乘结合律)③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (数乘对加法的分配律)探究4：讨论数量积的运算律，向量的数量积满足结合律吗？ 为什么？不满足数量积的结合律 5.例题探究例2 (1)已知|a |＝4，|b |＝5，且向量a 与b 的夹角为60°，求（1）(a ＋2b )·(a －2b )；（1）(a ＋2b )·(a －3b )；拓展探究：已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直（三）课后练习：课本117P 练习（四）课堂小结:今天你学会了些平面向量的那些知识？师生共同总结（五）课后作业：课本119P 习题2.4 A 组 1.2.3.6.7板书设计：教学后记::()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅即()()2222222222,()2,()(-)-.,1()2;2()(-)-;a b R a b a ab b a b a b a b a b a b a a b b a b a b a b ∈+=+++=+=+⋅++⋅=我们知道，对任意,恒有对任意向量.是否也有下面类似的结论？例1、。
高二数学人教B版必修4学案：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 Word版含解析
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义明目标、知重点 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.1.两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，并规定它的范围是0≤〈a ，b 〉≤π. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉. (2)当〈a ，b 〉＝π2时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作a ⊥b .2.向量在轴上的正射影已知向量a 和轴l (如图).作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos θ. 3.向量的数量积(内积)|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.[情境导学]1.请同学们回顾一下我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答向量的加法、减法及数乘运算.2.请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答物理模型→概念→性质→运算律→应用.本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量另一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义.探究点一平面向量数量积的含义思考1如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？答W＝|F||s|cos θ.思考2对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？答a·b的运算结果是数量.0·a＝0.思考3对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？答当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.思考4向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向.例1已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×5×32＝10 3.反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去.跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ； (3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积. 解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向， 则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°， ∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12. (2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°， ∴a·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当a 与b 的夹角为60°时， ∴a·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6.探究点二 向量在轴上的正射影思考 向量b 在a 方向上的正射影不是向量，而是数量，它的符号取决于夹角θ的范围.|b |cos θ>0|b |cos θ＝0|b |cos θ<0例2 －32，求a 与b 的夹角θ. 解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32，∴⎩⎨⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝120°.反思与感悟 (1)理清“谁在谁上”的正射影，再列方程，将条件转化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的正射影的数量. 解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2 ＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12.探究点三 平面向量数量积的性质思考1 设a 与b 都是非零向量，若a ⊥b ，则a·b 等于多少？反之成立吗？ 答 a ⊥b ⇔a·b ＝0思考2 当a 与b 同向时，a·b 等于什么？当a 与b 反向时，a·b 等于什么？特别地，a·a 等于什么？答 当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |； a·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a·a .思考3 ︱a·b ︱与︱a||b ︱的大小关系如何？为什么？对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？ 答 ︱a·b ︱≤︱a||b ︱，设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. 两边取绝对值得：|a·b |＝|a||b ||cos θ|≤|a||b |.当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”. 所以|a·b |≤|a||b|. cos θ＝a·b |a||b |.例3 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.反思与感悟 此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方.跟踪训练3 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角. 解 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12.∵a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝ 1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－32×13×3＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. ∴a 与b 的夹角为120°.1.已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上正射影的数量为( ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案 D解析 b 在a 方向上正射影的数量为|b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2. 2.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 12解析 a ·a ＋a ·b ＝12＋1×1×cos 120°＝12.3.在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________. 答案 －25解析 易知|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2， C ＝90°.cos B ＝513，∴cos 〈AB →，BC →〉＝cos(180°－B ) ＝－cos B ＝－513.∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－B ) ＝13×5×⎝⎛⎭⎫－513＝－25. 4.已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°. ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.[呈重点、现规律]1.两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.b 在a 方向上的正射影：|b |cos θ＝a·b|a |是一个数量而不是向量.具体情况可以借助下表分析：一、基础过关1.已知a 、b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案 B解析 因为a 、b 为单位向量，且其夹角为60°， 所以a ·b ＝1×1×cos 60°＝12，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2 ＝2×12－1＝0.2.已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( ) A.45° B.135° C.120° D.150°答案 B解析 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－549×62＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.3.|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的数量等于( ) A.－3 B.－2 C.2 D.－1 答案 D解析 a 在b 方向上的正射影的数量是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1. 4.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B.－32C.±32D.1答案 A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2 ＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.5.若a ·b <0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( ) A.[0，π2)B.[π2，π) C.(π2，π] D.(π2，π) 答案 C解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ<0，∴cos θ<0， 又θ∈[0，π]，∴θ∈(π2，π].6.已知|a |＝2，|b |＝10，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在向量a 方向上的正射影的数量是________，向量a 在向量b 方向上的正射影的数量是________. 答案 －5 －1解析 b 在a 方向上的正射影的数量为|b |cos 〈a ，b 〉＝10×cos 120°＝－5，a 在b 方向上的正射影的数量为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 120°＝－1.7.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a ·b 满足下列条件时，能确定△ABC 的形状吗？ (1)a ·b <0；(2)a ·b ＝0；(3)a ·b >0.解 ∵a ·b ＝AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A .(1)当a ·b <0时，∠A 为钝角，△ABC 为钝角三角形； (2)当a ·b ＝0时，∠A 为直角，△ABC 为直角三角形； (3)当a ·b >0时，∠A 为锐角，△ABC 的形状不确定. 二、能力提升8.设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( ) A.150° B.120° C.60° D.30°答案 B解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2， 即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.9.已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.答案 3解析 |a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e |2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3.10.已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________. 答案 [0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0， ∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.11.已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解 由已知(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① (a －4b )·(7a －2b )＝0，即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，② 两式相减得2a ·b ＝b 2，∴a ·b ＝12b 2.代入①②中任一式得a 2＝b 2.设a ，b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.12.在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的正射影的数量； (3)AB →在BC →方向上的正射影的数量. 解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3. ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°. ∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16；(2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95；(3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.三、探究与拓展13.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.。
人教B版高中数学必修四《2.3.1 向量数量积的物理背景与定义》_18
向量数量积的物理背景与定义教学设计一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修4第二章、第3节第1课时。
以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
二、学情分析学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。
利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。
由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
三、教材重点和难点重点：平面向量的数量积的概念和性质；平面向量数量积的运算律的探究及应用。
难点：平面向量的数量积的定义；平面向量数量积的灵活应用。
四、教学目标知识与技能目标：（1）阐明平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）概述向量数量积的性质，会求平面向量数量积的运算；（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。
过程与方法目标：通过体验数量积定义的形成过程，体会从特殊到一般的数学思想。
借助实数积的运算律推算出数量积的运算律，体会了类比的思想。
情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，获得了从特殊到一般的能力，形成了学习的主动性和合作交流的学习习惯。
五、教学过程[情景1]问题回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F 的作用下产生的位移为S ，那么力F 所做的功W 等于多少？[设计意图]以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。
数学：2.3.1《向量数量积的物理背景与定义》课件(新人教B版必修4).ppt
练一练：
由向量数量积的定义，试完成下面问题：
0 (1)a b a b _______ .
| a || b | ； (2)若 a 与 b 同向,a b _______ | a || b | ； 若 a 与 b 反向,a b _______ |a| . a a _____
1 5 （1） OA 1 5cos 60 5 2 2 （2） OB 5cos120 5 cos 60 1
5 1 5 2 2
练一练
若 | a | 4 , | b | 8 , a与b夹角为 1）当 30 时a在b上的数量为 （
(× )
(× )
(× ) ( )
(× ) (× )
小组讨论
两非零向量 a 与 b 的数量积是一个实数
，不是一个向量，其值可以为正，也可以为负，还可以 为零，请说出什么时候为正，什么时候为负，什么时候 为零？
a b a b cos a, b
你能根据正投影的定义解释 a b 的几何意义？
| a | | b | cos
B
a
O
特殊情况：
a
A
a
O
a
A B b O A
b
b B 0 a 与 b 同向
O
a
2
a 与 b 反向
A
a 与 b 垂直，
记作
ab
说明（1） a , b b , a （2）在讨论垂直问题时，规定零向量与任 意向量垂直。
做一做:如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 ' C C
说 （1）零向量与任意向量的数量积为0， 即 0 a 0 明 （2）这是一种新的运算法则，“ ”不能省略不写，
2019版数学人教B版必修4课件：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 .pdf
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2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
-2-
M Z Z 2.3.1 向量数量积的 物理背景与定义
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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
A.-3 2
B.-6 2
C.6 2
D.12
解析:a·b=|a||b|cos
135°=3×4×
-2 2=-6源自2.答案:B-7-
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
(3)当<a,b>=
π 2
时,称向量a和向量b互相垂直,记作a⊥b.在讨论垂
直问题时,规定零向量与任意向量垂直.
(4)当<a,b>=0时,a与b同向;当<a,b>=π时,a与b反向.
【做一做1】 在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,则
<������������, ������������>=
,<������������, ������������>=
A.
0,
π 2
C.
π 2
,π
B.
π 2
,π
D.
0,
π 2
答案:C
【做一做4-2】 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则
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一
二
三
首页
3.做一做:已知|a|=6,e为单位向量,若<a,e>=45°,则a在e方向上的
正射影坐标为
.
答案:3 2
一
二
三
首页
三、数量积的定义 【问题思考】 1.如图,在力F的作用下,木块在水平方向上移动了5 m,若F=3 N, 则力F做的功是多少?
=-|������������ |2=-100.
纠错心得准确找出两向量的夹角,是求两向量数量积的关键.
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
变式训练在△ABC 中,BC=5,AC=8,∠ACB=60°,求������������ ·������������. 解:因为|������������|=5,|������������|=8,<������������, ������������>=180°-∠ACB=120°, 所以������������ ·������������=|������������|·|������������|cos<������������, ������������>=5×8×cos 120°=-20.
一
二
三
首页
3.做一做:作出a与b的夹角:
(1)
(2)
答案:略
一
二
三
首页
二、向量在轴上的正射影
【问题思考】
1.若A(1,1),B(5,8),过点A作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A1,A2,过
点B作x轴、y轴的垂线,垂足分别为B1,B2,
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=5×4×cos120°
= －10.
练习2
已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b， ③a与b的夹角是60°时，分别求a· b ①a∥b时， a· =±18； b
②a⊥b时，a· b=0；
③ a与b的夹角是60°时，a· b=9.
例3、 , 在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60 , 如图
a
A
〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b.
（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.
练习1 如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角；
C
'
（2）AB与BC的夹角。 C
120
A
通过平移 变成共起点！
60
B
三.向量在轴上的正射影
（1）概念：
已知向量a和轴l，作 OA =a，过点O，A 分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则 向量 O1 A1 叫做向量a在轴l上的正射影.
A C 锐角三角形 钝角三角形 B D 直角三角形 不能确定
练习4
判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a · b=0.
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a · b≠0.
(
)
(×)
3.若a≠0,且a · b=0,则b=0.
4.若a· b=0，则a=0或b=0. 5.对任意的向量a，有a2=│a│2. 6.若a≠0,且a · b=a · c,则b=c.
a b 12 | a | cos |b| 5
b在a方向上的正射影的数量是
a b | b | cos 4 |a|
（ ）在ABC中， BC 0，则ABC的形状是 2 AB
A 锐角三角形 C 钝角三角形 B 直角三角形 D 不能确定
D
（ ）在ABC中， BC 0，则ABC的形状是 C 3 AB
A
a
O x
A1 al
O1
l
（2）正射影的数量： 向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在
轴l上的数量或在轴l方向上的数量.
记作： al
向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，
则有
al a cos
几点说明
1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数
量，不是向量.
2. 当为锐角时，数量为正值；
解 : 1因为AD与BC平行且方向相同,
求 : 1. AD BC
2. AB CD
3. AB DA
D
C
AD与BC的夹角为0. AD BC AD BC cos0 3 3 1 9
2 ∵ AB与CD平行, 且方向相反
AB与CD的夹角是180
O( B1 ) a
A
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
3.规定零向量与任意向 量的数量积为0
0a 0
两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量.
1. ea = ae =|a|cos;
2. ab ab = 0 内积为零是判定两向量垂直的条件
记作<a ，b>.
并规定0≤ <a ，b> ≤π
B
b
O
aA几点说明Fra bibliotek（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，
须平移使它们有公共起点； （2）〈a ，b〉=〈b ，a〉；
B
b
O
B b O a A
（3）范围0≤〈a ，b〉≤π； （4）〈a ，b〉=0时, a、b同向；
O b B a A 〈a ，b〉=π时，a、b反向； B b O a A
3. aa = |a|2或 | a | a a 用于计算向量的模
ab 4. cos = | a || b |
5.|ab| ≤ |a|.|b| .
用于计算向量的夹角, ； 以及判断三角形的形状
例2.已知|a|=5，|b|=4，<a,b>=120°，求a· b.
解： ab =|a|· |b|cos<a,b>
几点说明
1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上正
射影的数量|b|cos的乘积.
B
b
O
| b | cos
a b a b cos
a
A
2．两个向量的数量积是一个实数，而数乘 向量是一个向量。
B b B b b B
O
a
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
B1
A
B1
O
a A
(×)
(×) ( )
(×)
课堂小结
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π；
2.向量在轴上的正射影
正射影的数量
al a cos
3.向量的数量积（内积） a· b=
a b cos a, b
4.两个向量的数量积的性质：
(1). (2).
ab ab = 0
aa = |a|2或 | a | a a ab (3). cos = | a || b |
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
练习3
(1)已知|a|=3,
|b|=5，且a·b=－12，求a在b方向
上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的
数量。 a b 4 解：因为 cos
| a || b | 5
所以a在b方向上的正射影的数量是
（2）.向量︱OB︱=5, ＜OB,l ＞=120°, 求OB在l上的正射影的数量OB1
-5/2
(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,<a, b>=600,则向量a在向量b上 的正射影的数量 解：4cos600=2
四.向量的数量积（内积）
定义： a b cos a, b 叫做向量a和b的数量 积（或内积） 记作：a· . b 即 a· = a b cos a, b b
3. 当为钝角时，数量为负值； 4. 当为直角时，数量为0； 5. 当 = 0时，数量为 |a|； 6. 当 = 180时，数量为 |a|.
A2 a
O
a
x l
al
O 1 a l A1
例1.已知轴l
（1）.向量︱OA︱=5, ＜OA, l＞=60°, 求OA在上的正射影的数量OA1
解：OA1=5COS600=5×( ½)=5/2
或 AD BC AD 9
2
60
A120 B
进行向量数量积 计算时,既要考 2 虑向量的模,又 或 AB CD AB 16 要根据两个向量 3. ∵ AB与 AD的夹角是 60 ° AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。 , 1 AB DA AB DA cos120 4 3 6 2
2.3.1 向量数量积的物 理背景与定义
一.力做功的计算
F θ
F
θ S
O
位移S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所 做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
二.两个向量的夹角
已知两个非零向量a、b， OA =a，OB = b. 则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,