数学分析第一章

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华东师大第五版数学分析第一章第一节

华东师大第五版数学分析第一章第一节
证 (反证法) 倘若结论不成立, 则根据实数集的有序性, 有 > .
令 = − , 则为正数且 = + , 但这与假设 < + 相矛盾. 从而
必有 ≤ .
1.2 绝对值与不等式
,
≥ 0,
定义: = ቊ
−, < 0.
实数绝对值的性质:
➢ 正定性: = − ≥ 0; 当且仅当 = 0时有 = 0.
其中0 , 0 为非负整数, , ( = 1,2, ⋯ )为整数, 0 ≤ ≤ 9, 0 ≤
≤ 9, 若有
= ,
= 0,1,2, ⋯
则称与相等,记为 = ;若0 > 0 或存在非负整数,使得
= ( = 0,1,2, ⋯ ) 而+1 > +1 ,
• 实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何, ∈ R, 若 > >
0, 则存在正整数, 使得 > .
• 实数集具有稠密性, 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实
数, 且既有有理数,也有无理数.
• 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.
例2 设, ∈ R. 证明:若对任何正数, 有 < + , 则 ≤ .
似分别规定为
= −0 . 1 2 ⋯ − 10− 与ҧ = −0 . 1 2 ⋯ .
注:
0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ ⋯
ҧ0 ≥ ҧ1 ≥ ҧ2 ≥ ⋯
实数的不足近似与过剩近似是用有限小数研究无限小数的重要
工具.
命题
设 = 0 . 1 2 ⋯ 与 = 0 . 1 2 ⋯为两个实数,则 >
的等价条件是:存在非负整数,使得

【自制】数学分析 重点概念整理 保研考研面试必备

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数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。

定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的,但不要求逆像也具有唯一性。

基本初等函数Dirichlet 函数,任何有理数都是其周期。

定义1.2.7 算术平均值:1...n a a n ++,调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义:下确界的定义:定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界。

定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。

2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛,若,且a b <,则存在正整数N ,当n N >是,成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。

(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等),再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。

定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。

定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列,则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。

定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。

由实数构成的基本数列必存在实数极限,这一性质称为实数系的完备性,有理数不具有完备性。

实数系之间的推理关系:定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。

华东师范大学_数学分析_第1章

华东师范大学_数学分析_第1章

§1 实 数1、设a 为有理数,x 为无理数,试证明(1)x a +为无理数; (2)当0≠a 时,ax 是无理数。

证明:用反证法:(1)若x a +为有理数,由条件可得-a 也为有理数,故x x a a =++-)()(为有理数,此与条件矛盾,所以x a +为无理数。

(2)若ax 为有理数,由条件可得1-a 也为有理数,所以x ax a =⋅-)(1为有理数,此与条件矛盾,所以ax 为无理数。

2、试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)0)1(2>-x x ;(2)31-<-xx;(3)23121-≥---x x x ;(4)13≥+x x 。

解:(1)由⎩⎨⎧<<-<⎩⎨⎧⎩⎨⎧>-<>⇒>->⇒>-1101100100)1(22x x x x x x x x x 或或如图2-1; (2)两边平方得29612)3()1(22<⇒+-<+-⇒-<-x x x x x ,如图2-2;(3)两边平方得1210)12)(1(223)12)(1(223==⇒≥---⇒-≥----x x x x x x x x 且,此为矛盾,故解集为空集;(4)用图形法给出数轴表示,如图2-3图2-1 图2-2 图2-3 3、设R b a ∈,.证明:若对任何正数ε有ε<-b a ,则b a =.证 用反证法.若b a ≠,则令00>-=b a ε,由已知得b a b a -=<-0ε,此为矛盾.故b a =.4、设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立。

证明:只需证明0>x 时结论成立。

因为0>x ,故可令2yx =,由210211222≥+⇒≥-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x y y y y ,当1±=x 时,等号成立。

5、证明:对任何实数R x ∈有(1)121≥-+-x x ;(2)2321≥-+-+-x x x 。

数学分析(考研必看)

数学分析(考研必看)

数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、 实数及其性质1. 实数的定义:实数,是有理数和无理数的总称。

2. 实数的六大性质:①(四则运算封闭性):实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算封闭,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数。

②(有序性):实数集是有序的,即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一:a<b 、a=b 、a>b 。

③(传递性):实数的大小关系具有传递性,即若a>b, b>c 则a>c 。

④(阿基米德性):实数具有阿基米德性,即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性):实数集R 具有稠密性,即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数,且既有有理数也有无理数。

⑥实数集R 与数轴上点一一对应。

二、 绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质: ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤ ④a b a b a b -≤±≤+三角不等式⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理一、 区间与邻域1. 有限区间:开区间:{}x a x b <<记作(),a b ;闭区间:{}x a x b ≤≤记作[],a b ;半开半闭区间:{}x a x b ≤<记作[),a b ,{}x a x b <≤记作(],a b无限区间:(]{},a x a -∞=≤,(){},a x x a -∞=≤,(){},a x x a +∞=>,(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域:设a R ∈,0>,满足绝对值不等式x a -<的全体实数x 的集合称为点a 的邻域,记作();U a 或写作()U a ,即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+。

数学分析讲义(第一章)

数学分析讲义(第一章)

Ⅱ 典型例题与方法
1. 利用极限定义验证极限
前提:知道数列(函数)的极限值;
关键:寻找 N (δ ) .
基本方法:
(1)求最小的 N :从不等式 an − a < ε 直接解出 n ;
(2)适当放大法:不等式 an − a < ε 较为复杂,无法直接解出,或求解的过程较繁,
为此先将表达式 an − a 进行化简,并适当放大,使之成为关于 n 的简单函数 H (n) (仍为无
(5). lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x > M 时,有 f (x) − A < ε . x→+∞
(6) lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0, 当 x < −M 时,有 f (x) − A < ε . x→−∞ 2
特别地,若函数以零为极限,则称之为该情形下的无穷小量.理解无穷小量阶的比较的定
义及其意义,掌握等价无穷小量在极限计算中的应用,熟记常用的等价无穷小量:当 x → 0
时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 + x) ~ e x −1,
1 − cos x ~ x2 , (1 + x)α ~ αx, a x − 1 ~ x ln a . 2
n →∞
yn xn
= ⎪⎨+ ∞, ⎪⎩− ∞.
二 函数极限
1 定义 函数极限的六种形式:
(1)
lim f (x) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 <
x → x0
x − x0
< δ 时,有

《数学分析》第一章 实数集与函数 1

《数学分析》第一章 实数集与函数 1
o a
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x obxFra bibliotek区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的 常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.

数学分析第一章

数学分析第一章
1 < 1 (b a). n2
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k
是满足
k n
a
的最大的正整数,即
k +1 n
> a.
于是, a < k + 1 < k + 2 < b, 则 k + 1, k + 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k + 1 + π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 > 0,a < b + ,则 a b.
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c.
4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数 都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯 一的代表一个实数.
证 倘若a > b,设 a b > 0, 则 a b + ,
与 a < b + 矛盾.
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(6)实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系,粗略地可这样描述: 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n + 1之间,则 a0 n. 把(n, n + 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间,则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, L . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 L an L .

第一章实数集与函数

第一章实数集与函数

《数学分析》科目考试大纲考试内容及要求:第一章实数集与函数(一)考核知识点1.实数集的性质2.确界定义和确界原理3.函数的概念及表示法,分段函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数4. 具有某些特性的函数(二)考核要求1. 实数集的性质(1)熟练掌握:(i)实数及其性质;(ii)绝对值与不等式.(2)深刻理解:(i)实数有序性,大小关系的传递性,稠密性,阿基米德性,实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系;(ii)绝对值的定义及性质.(3)简单应用:(i)会比较实数的大小,能在数轴上表示不等式的解;(ii)会利用绝对值的性质证明简单的不等式.(4)综合应用:会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式,会解简单的不等式.2. 确界定义和确界原理(1)熟练掌握:(i)区间与邻域;(ii)有界集、无界集与确界原理.(2)深刻理解:(i)区间与邻域的定义及表示法;(ii)确界的定义及确界原理.(3)简单应用:用区间表示不等式的解,证明数集的有界性,求数集的上、下确界.(4)综合应用:会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界(或下确界),证明某数集无界.3. 函数的概念(1)熟练掌握:(i)函数的定义;(ii)函数的表示法;(iii)函数的四则运算;(iv)复合函数;(v)反函数;(vi)初等函数.(2)深刻理解:(i)函数概念的两大要素;(ii)分段函数,掌握整数部分函数,小数部分函数,符号函数,狄利克雷和黎曼函数;(iii)函数能够进行四则运算的条件;(iv)复合函数中内函数的值域与外函数的定义域的关系;(v)反函数存在的条件.(3)简单应用:会求函数的定义域、值域,比较几个函数的大小,会求分段函数和复合函数的表达式,能熟练地描绘六类基本初等函数的图像.(4)综合应用:作简单的复合函数的图像,求函数的反函数,证明有关的不等式,会建立简单应用问题的函数关系.4. 具有某些特性的函数(1)熟练掌握:(i)有界函数;(ii)单调函数;(iii)奇函数和偶函数;(iv)周期函数.(2)深刻理解:(i)有界函数和无界函数的定义;(ii)单调函数的定义及其图像的性质;(iii)奇函数和偶函数的定义及其图像的性质;(iv)周期函数的定义及其图像的性质..(3)简单应用:(i)会求函数的上下界,判断无界函数;(ii)判断函数的单调性;(iii)判断周期函数;(iv)判断函数的奇偶性.(4)综合应用:利用函数的各种特性解决简单的应用问题.第二章数列极限(一) 考核知识点1.数列极限的定义2.收敛数列的性质3.数列极限存在的条件(二) 考核要求1. 数列极限的定义ε定义,数(1)熟练掌握:数列的敛散性概念,数列极限的N-列极限的几何意义.ε定义”的逻辑结构,深刻理(2)深刻理解:数列极限的“N-ε定义”解ε的任意性,N的相应性;用“N-ε定义”的证明数列的极限的表述方法;“N-否定说法.(3)简单应用:能够通过观察法初步判断数列的敛散性.ε语言”证明数列的极限存在.(4)综合应用:会用“N-2. 收敛数列的性质(1)熟练掌握:数列极限的唯一性,有界性,收敛数列的保号性,保不等式性,迫敛性,数列极限的四则运算法则,数列子列的概念.(2)深刻理解:收敛数列诸性质的证明.(3)简单应用:运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限.(4)综合应用:运用数列极限的唯一性,收敛数列的有界性、保号性,数列极限的迫敛性等证明数列的各种性质,判断发散数列.3.数列极限存在的条件(1)熟练掌握:(i)单调有界原理;(ii)柯西收敛准则.(2)深刻理解: 单调有界原理和柯西收敛准则的实质及其否定命题.(3)简单应用:会用单调有界原理证明某些极限的存在性.(4)综合应用:会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题,会用柯西收敛准则的否定命题证明数列发散.第三章 函数极限(一) 考核知识点1.函数极限的定义2.函数极限的性质3.函数极限存在的条件4.两个重要的极限5.无穷大量与无穷小量(二) 考核要求1.函数极限的定义(1)熟练掌握:(i )∞→x 时函数极限的定义;(ii )0x x →时函数极限的定义.(2)深刻理解:(i )A x f x =∞→)(lim 的“X -ε定义”的逻辑结构,深刻理解ε的任意性,X 的相应性;用“X-ε定义”证明函数极限的表述方法;“X -ε定义”的否定说法.(ii )A x f x x =→)(lim 0的“δε-定义”的逻辑结构,深刻理解ε的任意性,δ的相应性;用“δε-定义”证明函数极限的表述方法;单侧极限和极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件;“δε-定义”的否定说法.(3)简单应用: 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”证明简单函数的极限.(4)综合应用: 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”等分析语言证明一般的函数极限问题;用极限存在的充要条件证明极限不存在.2.函数极限的性质(1)熟练掌握:函数极限的唯一性,有极限的函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性,函数极限的迫敛性,函数极限的四则运算法则.(2)深刻理解:函数极限诸性质的证明.(3)简单应用:运用函数极限的四则运算法则计算函数的极限.(4)综合应用:运用函数极限的唯一性,局部有界性、局部保号性,函数极限的迫敛性等证明函数的各种性质.3.函数极限存在的条件(1)熟练掌握:(i )归结原则;(ii )柯西收敛准则.(2)深刻理解:归结原则和柯西收敛准则的实质.(3)简单应用:会用归结原则证明函数的极限不存在,用柯西收敛准则证明函数极限存在.(4)综合应用:用柯西收敛准则的否定命题证明函数极限不存在.4.两个重要的极限(1)熟练掌握:1sin lim 0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim . (2)深刻理解:两个重要极限的证明.(3)简单应用:利用两个重要极限求极限的方法.(4)综合应用:综合利用归结原则和两个重要极限求极限的方法.5.无穷小量与无穷大量(1)熟练掌握:无穷小量,无穷大量.(2)深刻理解:无穷小量和无穷大量的性质和关系,无穷小量的比较.(3)简单应用:无穷小量的比较方法,用无穷小量和无穷大量求极限.(4)综合应用:用等价无穷小求极限.第四章 函数的连续性(一)考核知识点1.连续性概念2.连续函数的性质3.初等函数的连续性(二)考核要求1. 连续性概念(1)熟练掌握:函数在一点的连续性,区间上的连续函数,间断点及其分类.(2)深刻理解:函数在一点左、右连续的概念,函数在一点的连续的充要条件.(3)简单应用:用定义证明函数在一点连续.(4)综合应用:利用函数在一点的连续的充要条件证明函数在一点连续.2.连续函数的性质(1)熟练掌握:连续函数的局部性质,闭区间上连续函数的基本性质,反函数的连续性,复合函数的连续性.(2)深刻理解:一致连续性.(3)简单应用:用连续函数求极限.(4)综合应用:证明函数的一致连续性,利用闭区间上连续函数的基本性质论证某些问题.3.初等函数的连续性(1)熟练掌握:基本初等函数的连续性.(2)深刻理解:初等函数在其定义的区间内连续.(3)简单应用:证明基本初等函数在定义域内连续,判断初等函数间断点的类型.(4)综合应用:证明一般初等函数在定义域内连续,判断分段函数间断点的类型.第五章导数与微分(一)考核知识点1.导数的概念2.求导法则3.参变量函数的导数4.高阶导数5.微分(二)考核要求1.导数的概念(1)熟练掌握:导数的定义,导函数.(2)深刻理解:函数在一点的变化率,左、右导数,导数的几何意义,导函数的介值性,函数可导与连续的关系.(3)简单应用:会求函数的平均变化率,确定曲线切线的斜率,求函数的稳定点.(4)综合应用:求分段函数的导数,运用导数概念证明曲线的某些几何性质.2.求导法则(1)熟练掌握:导数的四则运算,反函数的导数,复合导数的导数,基本求导法则与公式.(2)深刻理解:导数的四则运算、反函数的导数、复合导数的导数、基本求导法则与公式的证明.(3)简单应用:会用各种求导法则计算初等函数的导数.(4)综合应用:综合运用各种求导法则计算函数的导数.3.参变量函数的导数(1)熟练掌握:参变量函数的导数的定义.(2)深刻理解:参变量函数的导数的几何意义.(3)简单应用:会求参变量函数所确定函数的导数.(4)综合应用:利用参变量函数的导数证明曲线的某些几何性质.4.高阶导数(1)熟练掌握:高阶导数的定义.(2)深刻理解:高阶导函数的概念.(3)简单应用:高阶导数的计算.(4)综合应用:利用莱布尼茨公式计算高阶导数,计算参变量函数的高阶导数.5.微分(1)熟练掌握:微分概念.(2)深刻理解:微分的几何意义,导数与微分的关系,一阶微分形式的不变性.(3)简单应用:微分的计算.(4)综合应用:高阶微分的计算,微分在近似计算中的应用.第六章微分中值定理及其应用(一)考核知识点1.拉格朗日定理和函数单调性2.柯西中值定理和不定式极限3.泰勒公式4.函数的极值与最值5.函数的凸性与拐点,函数图像的讨论(二)考核要求1.拉格朗日定理和函数单调性(1)熟练掌握:罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,函数单调性.(2)深刻理解:罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论、证明方法,它们的几何意义.(3)简单应用:判断函数是否满足罗尔中值定理和拉格朗日中值定理,会求简单函数的中值点.(4)综合应用:用拉格朗日中值定理证明函数的单调性,利用拉格朗日中值定理和函数的单调性,证明某些恒等式和不等式.2. 柯西中值定理和不定式极限(1)熟练掌握:柯西中值定理,不定式的极限.(2)深刻理解:柯西中值定理的证明方法,求不定式极限的方法.(3)简单应用:求不定式的极限.(4)综合应用:用柯西中值定理证明某些带中值的等式.3. 泰勒公式(1)熟练掌握:泰勒定理,泰勒公式,麦克劳林公式.(2)深刻理解:泰勒定理的实质,泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系.(3)简单应用:利用泰勒定理展开六种函数的麦克劳林公式,余项估计.(4)综合应用:利用泰勒公式和等价无穷小变换计算极限,泰勒公式在近似计算上的应用.4. 函数的极值与最大〔小〕值(1)熟练掌握:函数的极值与最值,取极值的必要条件,驻点.(2)深刻理解:判断极值的两个充分条件.(3)简单应用:会求函数极值与最值.(4)综合应用:证明某些不等式,解决求最值的应用问题.5. 函数的凸性与拐点,函数图像的讨论(1)熟练掌握:函数图像的凸性与拐点,函数图像的性态.(2)深刻理解:凸函数,函数为凸函数的充要条件,曲线的渐近线.(3)简单应用:判断函数图像的凸性与拐点,渐近线的求法,函数图像的性态的讨论,简单函数图像的描绘.(4)综合应用:利用函数的凸性证明不等式.第七章实数的完备性(一)考核知识点1.关于实数集完备性的基本定理2.闭区间上连续函数性质的证明(二)考核要求1.关于实数集完备性的基本定理(1)熟练掌握:实数集完备性的意义,实数集完备性的几个基本定理.(2)深刻理解:区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理的条件和结论,它们的证明方法,理解有理数集不满足完备性定理的原因(3)简单应用:会求数集的聚点、确界.(4)综合应用:实数集完备性的几个基本定理的等价性证明.2. 闭区间上连续函数性质的证明(1)熟练掌握:闭区间上连续函数的有界性,有最大、最小值性,介值性和一致连续性.(2)深刻理解:闭区间上连续函数性质的证明思路和方法.第八章不定积分(一)考核知识点1.不定积分概念与基本积分公式2.换元积分法与分部积分法3.有理函数和可化为有理函数的不定积分(二)考核要求1.不定积分概念与基本积分公式(1)熟练掌握:原函数、不定积分及二者的区别,基本积分表.(2)深刻理解:原函数与导数的关系,不定积分的基本性质,不定积分的几何意义.(3)简单应用:会求简单初等函数的不定积分.(4)综合应用:根据不定积分的几何意义求曲线方程.2.换元积分法与分部积分法(1)熟练掌握:换元积分法,分部积分法.(2)深刻理解:换元积分法与复合函数求导法则的关系,分部积分法与乘积求导法的关系.(3)简单应用:会用换元积分法与分部积分法计算简单函数的不定积分.(4)综合应用:综合运用换元积分法与分部积分法计算某些函数的不定积分,证明某些递推公式.3.有理函数和可化为有理函数的不定积分(1)熟练掌握:有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.(2)深刻理解:以上各种不定积分的计算步骤.(3)应用:会算有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.第九章定积分(一)考核知识点1.定积分概念和性质2.可积条件3.微积分学基本定理·定积分的计算(二)考核要求1.定积分概念和性质(1)熟练掌握:定积分的实际背景,黎曼和,定积分的性质.(2)深刻理解:构造积分和的方法,定积分及其性质的几何意义.(3)简单应用:用定积分定义计算简单函数的定积分,利用定积分的性质比较积分的大小,估计积分值.(4)综合应用:用定积分定义计算某些复杂和式的极限,利用定积分的性质证明不等式,论证函数的某些性质.2.可积条件(1)熟练掌握:可积的必要条件和充分条件,可积函数类.(2)深刻理解:达布和,可积准则及其证明方法.(3)简单应用:判断函数的可积性.(4)综合应用:论证可积函数的某些性质.3.微积分学基本定理和定积分的计算(1)熟练掌握:变限定积分所确定的函数及其性质,微积分学基本定理.(2)深刻理解:微积分学基本定理的实质,原函数的存在性.(3)简单应用:用牛顿——莱布尼茨公式计算定积分,用换元积分法与分部积分法计算定积分.(4)综合应用:综合运用各种方法计算定积分.第十章定积分的应用(一)考核知识点:平面图形的面积,由平行截面面积求体积,平面曲线的弧长,旋转曲面的面积(二)考核要求1.熟练掌握:用定积分表达和计算一些几何量.2.深刻理解:定积分的应用的实质—微元法.3.应用:计算平面图形的面积,由平行截面面积求体积,平面曲线的弧长,旋转曲面的面积.第十一章反常积分(一)考核知识点1.反常积分概念2.无穷积分的性质与收敛判别3.瑕积分的性质与收敛判别(二)考核要求1.反常积分概念(1)熟练掌握:两类反常积分的定义.(2)深刻理解:反常积分即变限定积分的极限.2.无穷积分的性质与收敛判别(1)熟练掌握:无穷积分的性质,条件收敛,绝对收敛.(2)深刻理解:比较判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法.(3)简单应用:计算无穷积分,判别无穷积分的收敛性.(4)综合应用:运用无穷积分的性质和判别法论证某些问题.3.瑕积分的性质与收敛判别(1)熟练掌握:瑕积分的性质,条件收敛,绝对收敛.(2)深刻理解:比较判别法.(3)简单应用:计算,瑕积分,判别瑕积分的收敛性.(4)综合应用:运用瑕积分的性质和判别法论证某些问题.第十二章数项级数(一)考核知识点1.级数的收敛性2.正项级数和一般项级数(二)考核要求1. 级数的收敛性(1)熟练掌握:数项级数的定义.(2)深刻理解:级数收敛、发散的概念,收敛级数的性质,级数收敛的柯西准则.(3)简单应用:判断级数的收敛和发散.(4)综合应用:应用柯西准则讨论级数的敛散性.2.正项级数(1)熟练掌握:正项级数收敛的必要条件,正项级数的比较原则.(2)深刻理解:正项级数收敛比式判别法,根式判别法和积分判别法.(3)简单应用:判别正项级数的收敛性.(4)综合应用:运用正项级数收敛的必要条件,比较原则和几个判别法等论证一些问题.3.一般项级数(1)熟练掌握:交错级数的概念,条件收敛与绝对收敛的概念及关系,莱布尼茨判别法.(2)深刻理解:绝对收敛级数的性质,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法.(3)应用:判别一般项级数的收敛性.第十三章函数列与函数项级数(一)考核知识点1.一致收敛性2.一致收敛函数列与函数项级数的性质(二)考核要求1.一致收敛性(1)熟练掌握:函数列与函数项级数的一致收敛性的定义,一致收敛的充要条件.(2)深刻理解:一致收敛定义的否定叙述,一致收敛的柯西准则,函数列与函数项级数一致收敛性的判别法(3)应用:会用一致收敛性的定义或判别法判别函数列的一致收敛性,用M判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法判别一些函数级数的一致收敛性.2.一致收敛函数列与函数项级数的性质(1)熟练掌握:一致收敛函数列的极限函数与函数项级数的和函数.(2)深刻理解:连续性,可积性,可微性定理.(3)简单应用:由定理讨论函数项级数的和函数的连续性,可积性,可微性.(4)综合应用:由定理证明和函数的分析性质,计算函数项级数的积分.第十四章幂级数(一)考核知识点1.幂级数2.函数的幂级数展开式(二)考核要求1.幂级数(1)熟练掌握:幂级数的定义.(2)深刻理解:幂级数的性质.(3)应用:幂级数的计算,求幂级数的收敛半径、收敛域.2.函数的幂级数展开式(1)熟练掌握:泰勒级数定义.(2)深刻理解:泰勒级数和麦克劳林级数.(3)简单应用:六个常用的初等函数的麦克劳林级数.(4)综合应用:把一些简单的函数展成泰勒级数或麦克劳林级数.第十六章多元函数的极限与连续(一)考核知识点1.平面点集与多元函数2.二元函数的极限和连续性(二)考核要求1.平面点集与多元函数(1)熟练掌握:二元函数和二元函数极限的定义.弄清二重极限与累次极限的区别极其联系.(2)深刻理解:平面点集的一些概念:邻域、内点、界点、聚点、开区域、闭区域、有界区域、无界区域等.完备性定理.(3)简单应用:求函数的定义域,画定义域的图形,说明何种点集.(4)综合应用:判断平面点集的性质及其平面点集的聚点与界点.2.二元函数的极限和连续性(1)熟练掌握:二元函数的极限和连续性的概念.(2)深刻理解:累次极限和二元连续函数的性质.(3)简单应用:求累次极限,运用连续性定理.(4)综合应用:会求函数的极限.讨论函数的连续性.第十七章多元函数微分学(一)考核知识点1.可微性2.复合函数微分法3.方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题(二)考核要求1.可微性(1)熟练掌握:可微与全微分定义.可微性几何意义及应用.(2)深刻理解:可微性条件.(3)简单应用:可微性充分条件.(4)综合应用:求函数的导数.2.复合函数微分法(1)熟练掌握:复合函数的有关定义.(2)深刻理解:复合函数的全微分(3)简单应用:复合函数的求导法则.(4)综合应用:求函数的偏导数或导数.3.方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题(1)熟练掌握:方向导数与梯度的定义.(2)深刻理解:中值定理和极值充分条件.(3)简单应用:熟练计算偏导数和高阶偏导数.(4)综合应用:运用泰勒公式解决极值问题.第十八章隐函数定理及其应用(一)考核知识点1.隐函数及隐函数组2.几何应用和条件极值(二)考核要求1.隐函数及隐函数组(1)熟练掌握:隐函数及隐函数组的概念,反函数组与坐标变换.(2)深刻理解:隐函数定理和隐函数组的定理.(3)简单应用:隐函数存在性的条件分析.(4)综合应用:对隐函数求导.2.几何应用和条件极值(1)熟练掌握:平面曲线、空间曲线的切线于法平面,曲面的切平面与法线.(2)深刻理解:条件极值.(3)简单应用:拉格朗日函数.(4)综合应用:应用拉格朗日乘数法求函数的条件极值.第十九章含参量积分(一)考核知识点1.含参量正常积分2.含参量反常积分(二)考核要求1. 含参量正常积分(1)熟练掌握:含参量积分的定义.(2)深刻理解:含参量积分的连续性、可微性、可积性.(3)简单应用:累次积分.(4)综合应用:求函数的积分.2. 含参量反常积分(1)熟练掌握:含参量反常积分的定义.(2)深刻理解:含参量反常积分的性质.(3)简单应用:一致收敛及其判别法.(4)综合应用:证明一致收敛性.第二十章曲线积分(一)考核知识点1.第一型曲线积分2.第二型曲线积分(二)考核要求1. 第一型曲线积分(1)熟练掌握:第一型曲线积分的定义.(2)深刻理解:第一型曲线积分的性质.(3)应用:第一型曲线积分的计算.2. 第二型曲线积分(1)熟练掌握:第二型曲线积分的定义.(2)深刻理解:第二型曲线积分的性质,第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系.(3)应用:第二型曲线积分的计算.第二十一章重积分(一)考核知识点1.二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算2.格林公式•曲线积分与路线的无关性3.二重积分的变量变换与三重积分4.重积分的应用(二)考核要求1.二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算(1)熟练掌握:二重积分的概念极其存在性,平面图形的存在性.(2)深刻理解:二重积分的性质.二元函数的可积性定理.(3)简单应用:直角坐标系下二重积分的计算.(4)综合应用:计算二重积分及二重积分所围的区域.2. 格林公式•曲线积分与路线的无关性(1)熟练掌握:连通区域的概念,(2)深刻理解:格林公式,积分与路线的无关性定理.(3)简单应用:验证积分与路线无关并会求积分.(4)综合应用:应用格林公式计算曲线积分.3.二重积分的变量变换与三重积分(1)熟练掌握:三重积分的概念.(2)深刻理解:二重积分的可积函数类与性质,二重积分的变量变换公式与化三重积分为累次积分.(3)简单应用:用极坐标计算二重积分,会三重积分换元法.(4)综合应用:对积分进行极坐标变换并计算二重积分.计算三重积分及累次积分.第二十二章曲面积分(一)考核知识点1.第一型曲面积分和第二型曲面积分2.高斯公式与托克斯公式(二)考核要求1.第一型曲面积分和第二型曲面积分(1)熟练掌握:第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义及二者之间的关系.(2)深刻理解:第一型曲面积分和第二型曲面积分的物理背景.(3)应用:第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算.2.高斯公式与托克斯公式(1)熟练掌握:高斯公式和斯托克斯公式的物理意义.(2)深刻理解:高斯公式和斯托克斯公式及其证明过程.(3)应用:用高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分.。

大学数学《数学分析》第一章_实数集与函数

大学数学《数学分析》第一章_实数集与函数

数学分析(mathematical analysis)课程简介一、背景:从切线、面积等问题引入.1极限 (limit) —— 变量数学的基本运算.2数学分析的基本内容:数学分析以极限作为工具来研究函数的一门学科(仅在实数范围内进行讨论).主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.3 数学分析的形成过程:孕育于古希腊时期:在我国很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期:十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期.二、内容安排1.课时分配: 第一学期16×6=96; 第二学期18×6=108;第三学期18×4=72.2.内容分配: 第一学期一元函数微分学; 第二学期一元函数积分学与级数论; 第三学期二元函数微积分学.第一章 实数集与函数(计划课时:6 时)P1—22§1 实 数(1时)一.实数及其性质:回顾中学中关于实数集的定义.1. 实数用无限小数表示的方法:为了把有限小数(包括整数)表示为无限小数, 规定: 对于正有限小数(包括正整数)x ,n a a a a x 210. 时,其中,90 i a ,0,,,2,1 n a n i 0a 为非负整数,记 9999)1(.210 n a a a a x ; 而当0a x 为正整数时,则记 9999).1(0 a x ;对于负有限小数(包括负整数)y ,则先将y 表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号;又规定数0表示为 000.0.例如 010999.2011.2 , 999.78 .2. 实数的大小:定义1: (实数大小的概念)见[1]P1.定义2: (不足近似与过剩近似的概念)见[1]P2.命题: 设 210.a a a x 与 210.b b b y 为两个实数,则y x n ,使得n n y x .例1 设x 、y 为实数,y x .证明:存在有理数r 满足y r x . [1]P17E1.3. 实数的性质:⑴.四则运算封闭性:⑵.三歧性(即有序性):⑶.Rrchimedes 性:b na N n a b R b a ,,0,,.⑷.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.⑸.实数集的几何表示 ─── 数轴:⑺.两实数相等的充要条件: . ,0 b a b a二. 区间和邻域的概念:见[1]P5三.几个重要不等式:1. 绝对值不等式: 定义 . , max a a a [1]P2 的六个不等式.2. 其它不等式: ⑴ ,222ab b a .1 sin x . sin x x⑵ 均值不等式: 对,,,,21R n a a a 记,1 )(121 n i i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121n n i i n n i a a a a a G(几何平均值) .1111111)(1121 n i i n i i n i a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H 等号当且仅当n a a a 21时成立.⑶ Bernoulli 不等式: ,1 x 有不等式 . ,1)1(N n nx x n当1 x 且 0 x , N n 且2 n 时, 有严格不等式 .1)1(nx x n 证 由 01 x 且 111)1(1)1( ,01 nn x n x x).1( )1( x n x n n n .1)1( nx x n ⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对,0 h 由二项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h 有 n h )1( 上式右端任何一项. Ex [1]P4: 3,4,5,6;§2 确界原理(2时)一、有界数集:定义(上、下有界,有界), 闭区间、b a b a ,( ),(为有限数)、邻域等都是有界数集,如集合 ) , ( ,sin x x y y E 也是有界数集.二、无界数集: 定义, ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , ( 等都是无界数集,如集合) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 三、确界:给出直观和刻画两种定义.例1 ⑴,) 1(1n S n 则._______inf ______,sup S S⑵.),0( ,sin x x y y E 则._________inf ________,sup E E例2 非空有界数集的上(或下)确界是唯一的.例3 设S 和A 是非空数集,且有.A S 则有 .inf inf ,sup sup A S A S .例4 设A 和B 是非空数集. 若对A x 和,B y 都有,y x 则有.inf sup B A证,B y y 是A 的上界,.sup y A A sup 是B 的下界,.inf sup B A 例5 A 和B 为非空数集, .B A S 试证明:. inf , inf m in inf B A S 证 ,S x 有A x 或,B x 由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf 或 . inf , inf m in .inf B A x B x 即 inf , inf m in B A 是数集S 的下界, . inf , inf m in inf B A S 又S A S , 的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界, S inf 是A 的下界, ;inf inf A S 同理有.inf inf B S 于是有inf , inf m in inf B A S . 综上, 有 inf , inf m in inf B A S .四、数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.五、确界与最值的关系:设E 为数集.⑴E 的最值必属于E , 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶若E max 存在, 必有 .sup max E E 对下确界有类似的结论.六、确界原理: Th (确界原理).Ex [1]P9: 2,4,5.§3 函数概念 ( 2时 )一. 函数的定义:1. 函数: [1]P10—11的四点说明.2. 定义域: 定义域和存在域.3. 函数的表示法:4. 反函数: 一 一对应, 反函数存在定理.5. 函数的代数运算:二.分段函数:函数1 ,,1 ,2,1 ,1)(2x x x x x x f 和 1 ,,1 ,2)(2x x x x x g ,123)( x x f 去掉绝对值符号.例2 .1 ,1,1 ,)(x x x x x f 求 ).2( ),1( ),0(f f f例3 设 .10 ,)5(,10 ,3)(x x f f x x x f 求 ).5(f三. 复合函数:例4 .1)( ,)(2x x g u u u f y 求 ).()(x g f x g f 并求定义域. 例5 ⑴ ._______________)( ,1)1(2 x f x x x f⑵ .1122x x x x f则) ( )( x fA. ,2xB. ,12 xC. ,22 xD. .22 x四. 初等函数:1. 基本初等函数:2. 初等函数:3. 初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则⑴ )( x f 是初等函数, 因为 .)( )( 2x f x f⑵ )( , )(m ax )(x g x f x 和 )( , )(m in )(x g x f x 都是初等函数, 因为 )( , )(m ax )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f ,)( , )(m in )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f .⑶ 幂指函数 0)( )()( x f x f x g 是初等函数,因为 .)()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g五. 介绍一些特殊函数:1. 符号函数2. Dirichlet 函数3. Riemann 函数4. 取整函数5. 非负小数部分函数Ex [1]P15 1(4)(5),2, 3,4,5, 6, 7, 8;§4 具有某些特性的函数 ( 1时 )一、有界函数: 有界与无界函数的概念. 例1 验证函数 325)(2 x xx f 在R 内有界.解法一 由,62322)3()2(32222x x x x 当0 x 时,有.3625625325325 )( 22 x xx xx xx f 30 )0( f ,对 ,R x 总有 ,3 )( x f 即)(x f 在R 内有界. 解法二 令 3252 x xy 关于x 的二次方程 03522 y x yx 有实数根.22245 y .2 ,42425,02 y y解法三 令2,2 ,23t tgt x 对应). , ( x 于是tt tt tg tgt tgt tgtx x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)(.6252sin 625)( ,2sin 625t x f t例2 见[1]P17.例3 见[1]P17.二、关于单调函数、奇偶函数和周期函数 (略) ,参阅[1]P17—19, Ex [1]P20 1,2, 3,4,5, 6, 7;。

《初中数学》数学分析-第一章第一节:极限(文字版)

《初中数学》数学分析-第一章第一节:极限(文字版)

二、极限
【夹逼法求极限】例
谢谢
II 高中数学学科知识
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识 知识构架
I 高等数学基础知识
第一章 数学分析
III 初中数学学科知识
II 高中数学学科知识
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析
考试重点 考试重点
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国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
一、实数的完备性
【单调数列】
单调数列:若数列 {a n } 的各项满足关系式 an an1 ,则{a n } 为递增数 列.同理可定义递减数列,递增数列和递减数列统称为单调数列.
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节 极限
二、极限
【极限的定义】 【例】
【2014 下半年】 :函数列{ f n ( x)} 与函数 f ( x) 都在闭区间[a, b] 有定 义,则在 [a, b] 上 { f n ( x)} 一致收敛于 f ( x) 的充要条件是( )
A. 0, x [a, b], 正整数N,使得当n N时,有 f n ( x) f ( x) B. 0, x0 [a, b], 正整数N,使得当n N时,有 f n ( x) f ( x) C.正整数N , 0, x0 [a, b], 使得当n N时,有 f n ( x) f ( x) D. 0, 正整数N,使得当n N时,x [a, b], 有 f n ( x) f ( x)

数学分析第一章

数学分析第一章

第一章 实数集与函数§1 实数Ⅰ.教学目的与要求1.理解实数的概念,掌握实数的表示方法2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用3.理解绝对值的概念,掌握绝对值的性质,并在有关命题中正确地加以应用. Ⅱ.教学重点与难点重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式.难点: 实数的定义及其应用.Ⅲ.讲授内容一 实数及其性质实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成.有理数的表示:有理数可用分数形式q p(p ˛q 为整数,q ≠0)表示,也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示.无理数:无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数.有限小数(包括整数)也表示为无限小数.规定如下:对于正有限小数(包括整数)x,当x=a 0.a1a 2n a K 时,其中0,9≤≤i a i=1,2,K n, na ,0≠0a 为非负整数,记x=a 0.a 1a 2-n a (K 1)̣.999 9,K而当x=a 1为正整数时,则记x=(a 0—1).999 9…,例如2.001记为2.000 999 9…;对于负有限小数(包括负整数)y ,则先将—y 表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号,例如—8记为—7.999 9…;又规定数0表示为0.000 0….于是,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.现定义两个实数的大小关系. 定义1 给定两个非负实数x= 0a .a a 1n a K ,K y=,.210K K n b b b b其中00,b a 为非负整数,k k b a ,(k=1,2,…)为整数,0≤a k ≤9,0≤b k ≤9.若有==k b a k k ,0,1,2,,K 则称x 与y 相等,记为x=y ;若00b a >或存在非负整数L ,使得 a k =b k (k=0,1,2,…,L)而11++>l l b a ,则称x 大于y 或y 小于x ,分别记为x>y 或y<x .对于负实数x ,y ,若按上述规定分别有y x -=-与y x ->-,则分别称x=y 与x<y(或y>x).另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数.定义2 : x =a 0.a 1a 2n a K K 为非负实数.称有理=n x a 0.1a a 2n a K K 为实数x 的n 位不足近似,而有理数=n x nn x 101+称为x 的n 位过剩近似,n=0,1,2,K . 对于负实数ΛΛn a a a a a x 3210.-=,其n 位不足近似与过剩近似分别规定为n n n a a a a a x 101.3210--=Λ与=n x n a a a a a Λ3210.-. 注 不难看出,实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减,即有x 0≤x 1≤x 2≤…,而过剩近似n x 当n 增大时不增,即有0x ≥1x ≥2x ≥….命题 设x=a 0.a 1a2K 与y=b 0.b 1b 2…为两个实数,则x>y 的等价条件是:存在非负整数n ,使得 x n >n y ,其中x n 表示x 的n 位不足近似,n y 表示y 的n 位过剩近似.例1 设x 、y 为实数,x<y.证明:存在有理数r 满足x y r <<.证 由于x y <,故存在非负整数n,使得n n y x <,令 r=),(21n n y x + 则r 为有理数,且有 x ,y y r x n n ≤<<≤即得 x<r<y .全体实数构成的集合记为R,即 R =}.|{为实数x x实数的主要性质:1.实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的,即任意两实数a 、b 必须满足下述三个关系之一:a <b, a =b ,a >b .3.实数的大小关系具有传递性,即若a >b ,b >c ,则有a >c .4.实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何a 、b ∈R ,若b >a >0,则存在正整数n ,使得n a >b .5.实数集R 具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数(见例1),也有无理数.6.如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O 作为原点,指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于是,实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系.因此在以后的叙述中,常把“实数a ”与“数轴上的点a ”看作具有相同的含义﹒例2 设a 、b ∈R .证明:若对任何正数ε有a <b +ε,则a ≤b .证 用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集的有序性,有a >b .令a =εb -,则ε为正数且ε+=b a ,但这与假设a <b ε+相矛盾.从而必有a ≤b .二 绝对值与不等式实数a 的绝对值定义为⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,a a a a a 从数轴上看,数a 的绝对值a 就是点a 到原点的距离.实数的绝对值有如下一些性质:1. a a -=≥0;当且仅当a =0时有a =0.2.a -≤a ≤a .3.a h <h a h <<-⇔;()0>≤≤-⇔≤h h a h h a ﹒4.对于任何a 、b ∈R 有如下的三角形不等式:b a b a b a +≤±≤-.5.b a ab =.6.()0≠=b ba b a . 下面只证明性质4,其余性质由学生自行证明.由性质2有.,b b b a a a ≤≤-≤≤-两式相加后得到 .)(b a b a b a +≤+≤+-根据性质3,上式等价于.b a b a +≤+ ()1将(1)式b 换成b -,(1)式右边不变,即得b a b a +≤-,这就证明了性质4不等式的右半部分.又由)式有据(1,b b a a +-=.b b a a +-≤从而得.b a b a -≤- ()2 将(2)式中b 换成b -,即得得性质4.b a b a +≤-证.Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握实数的概念及其性质,牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及常见的不等式,并在有关命题证明中正确地加以运用.3、4、5、6、7、8、9.Ⅴ课外作业:P4。

数学分析讲义全

数学分析讲义全

数学分析讲义全第一章:实数本章主要介绍实数的定义及其性质。

1.1 实数的定义实数包括有理数和无理数两部分。

有理数是可以表示为两个整数之间的比,无理数则不能用有理数表示。

1.2 实数的性质实数满足一些基本性质,如实数的加法、乘法满足交换律、结合律和分配律等。

第二章:极限与连续本章主要介绍数列极限、函数极限和连续函数的定义及其相关概念。

2.1 数列极限数列极限是数列逐渐逼近某个确定值的概念。

包括数列迫敛、数列发散等。

2.2 函数极限函数极限是函数在某点逐渐接近某个确定值的概念。

包括左极限、右极限等。

2.3 连续函数连续函数是函数在某点处无间断、无跳跃的性质。

第三章:导数与微分本章主要介绍导数、微分的定义及其相关性质。

3.1 导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率。

包括函数的导数定义、导数的性质等。

3.2 微分的定义微分是函数在某点处的线性近似。

包括函数的微分定义、微分的性质等。

第四章:积分与定积分本章主要介绍积分、定积分的定义及其应用。

4.1 积分的定义积分是函数的反导数。

包括不定积分、定积分等。

4.2 定积分的性质定积分具有线性性质、加法性质、区间可加性等。

第五章:级数本章主要介绍级数的概念及其计算方法。

5.1 级数的定义级数是无穷数列之和的概念。

包括级数收敛、级数发散等。

5.2 级数的计算方法级数的计算方法具有求和、判定级数收敛性等。

这份讲义全面介绍了数学分析的基础知识,希望能帮助到您。

数学分析课后答案

数学分析课后答案

第一章 实数集与函数§1实数1、设a 为有理数,x 为无理数,试证明:⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时,ax 是无理数.证: ⑴ 假设x a +是有理数,则x a x a =-+)(是有理数,这与题设x 为无理数相矛盾, 故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数,则x aax =为有理数,这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.1、 试在数轴上表示出下列不等式的解:⑴ 0)1(2>-x x ;⑵⑶2、 设a 、R b ∈.证明:若对任何正数ε有ε<-b a ,则b a =.证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <;若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾;若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾;从而必有b a =.3、 设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x1同号,从而21211=⋅≥+=+x x x x x x , 等号当且仅当x x 1=,即1±=x 时成立.4、 证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ;⑵2321≥-+-+-x x x证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x , 所以121≥-+-x x . ⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222 证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+ bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边.当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与b a 之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, ba xb x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb x a b a ; 故x b x a ++总介于1与b a 之间.7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数 证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使n m p =,且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、 设a 与b 为已知实数,试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解:⑴ b x a x -<-;⑵b x a x -<-;⑶b a x <-2. 解: ⑴原不等式等价于11<---bx b a 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a b x 220 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2 故当b a >时,不等式的解为2b a x +> 当b a <时,不等式的解为2b a x +< 当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a b x 即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x b x 故当b a >时,21b x +>; 当b a ≤时,不等式无解.⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2 因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解 ②当0>+b a 且0>b 时,有解Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<- 即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-。

高等数学(数学分析)

高等数学(数学分析)

第一章函数、极限、连续一、极限1.1数列极限的定义:∀ε>0,存在自然数N,使得当n>N时,就有|x n−a|<ε,那么称数列{x n}收敛于a,记为limn→∞x n=a.称a为此数列的极限;极限不存在的数列称为发散数列.1.2函数极限的定义:设f(x)在a的某个去心领域有定义,A是一个实数。

如果对任一个ε>0,存在一个δ>0,使得当0<|x−a|<δ时,就有|f(x)−A|<ε,那么称f(x)在a处有极限A,记为limx→af(x)=A或f(x)→A(x→a).海涅定理:limx→af(x)=A的充分必要条件是,对任一满足x n→a(∀n,x n≠a)的数列,均有f(x n)→A.定理:limx→af(x)≠A成立的充分必要条件是,存在一个常数ε0>0,使得在a的任何去心邻域,都可以找到一点,满足|f(x)−A|≫ε0.1.3极限的性质及运算定理:如果f(x)在λ处极限存在,则f(x)比在λ的某去心邻域上有界。

定理:函数的极限若存在,则必唯一。

定理:若limx→λf(x)=A,limx→λf(x)=B,且A>B,则存在λ的某个去心邻域N̂λ(δ),使得在N̂λ(δ)上,f(x)>g(x)成立。

(反之,也成立。

)定理(夹逼准则):若f(x)≪ℎ(x)≪g(x)在λ的某个去心邻域上成立,且limx→λf(x)=limx→λg(x)=A,则limx→λℎ(x)=A。

注:(1) limx→af(x)=∞(±∞),函数f(x)为无穷大量;limx→af(x)=0,函数f(x)为无穷小量.(2)若函数极限存在,则函数的极限运算符合四则运算法则。

(3)limx→a f(x)=∞(±∞),则limx→a1f(x)=0;lim x→af (x )=0,limx→a 1f (x )=∞(±∞).(4)若f (x )在λ的某个去心邻域上有界,g (x )当x →λ时为无穷小量,则f(x)g (x )当x →λ时也为无穷小量。

《数学分析》第一章 实数集与函数 2

《数学分析》第一章 实数集与函数 2

y = ex
y = ax
(a > 1)
( 0 ,1)
4,三角函数 , 正弦函数 y = sin x
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = cos x
正切函数 y = tan x
y = tan x
3,对数函数 y = log a x ,
(a > 0, a ≠ 1) y = ln x
恒成立 . 则称f ( x )为周 期函数 , l称为 f ( x )的周期 .
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期). 通常说周期函数的周期是指其最小正周期) 周期
3l 2
l 2
l 2
3l 2
三,反函数
y
函数 y = f ( x )
y0
y
反函数 x = ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x

D
y
D : ( 1,1)
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时,对应的函数值总 是只有一个, 是只有一个,这种函 W y 数叫做单值函数, 数叫做单值函数,否 则叫与多值函数. 则叫与多值函数.
( x, y)
x
例如, 例如, x + y = a .
2 2 2
o
x
D
定义: 定义: 点集C = {( x , y ) y = f ( x ), x ∈ D} 称为
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间 I ∈ D ,
如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 , 当 x1 < x 2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) > f ( x 2 ),

数学分析第一章

数学分析第一章

第一章 函 数§1.1 实 数数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数,为此,我们先简要叙述实数的概念与基本性质。

与基本性质。

一 实数及其性质在中学数学课程中,我们知道实数由有理数和无理数两部分组成。

在中学数学课程中,我们知道实数由有理数和无理数两部分组成。

有理数的特征:全体有理数构成的集合通常记为Q 。

对"q ÎQ (读作任一个有理数q )可以用一个分数表示,即uv q =(u 、v 为整数,且u ¹0),也可以用有限十进小数或无限十进循环小数表示。

如果一个数不能表示成分数,则称为无理数。

有理数和无理数统称为实数。

全体实数构成的集合记为R 。

实数有如下一些主要性质:实数有如下一些主要性质: 1. 实数集关于四则运算是封闭的,即实数集关于四则运算是封闭的,即 "a ,b ÎR ,则a ± b ÎR , a ´ b ÎR ,当b ¹0时,有a ¸b ÎR 。

2. 实数集具有有序性,即"a ,b ÎR ,则以下三个关系式a < b ,a > b ,a = b ,当且仅当只有一个成立。

仅当只有一个成立。

3. 实数的大小关系具有传递性,即"a ,b ,c ÎR ,若a > b ,b > c ,则a > c 。

4. 实数具有阿基米德(Archimedes 287—212 B.C )性,即"a ,b ÎR ,若a > b >0,则$(读作存在)正整数n ,使nb > a 。

5. 实数集R 具有稠密性:"a ,b ÎR ,若a > b ,则$c ÎR 使a >c >b 。

其中c 既可以是有理数,是有理数,也可以是无理数。

也可以是无理数。

数学分析 第一章 集合与映射

数学分析 第一章 集合与映射

引例3.
向 y 轴投影
(点集) (点集)
定义1.2.1 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y x y f (x)
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像(也称为原像). 集合 X 称为映射 f 的定义域 ,记为Df=X; Y 的子集
f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 ,记为Rf 。
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
有理数集
Q
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q p
q Z, p N, p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
正实数集 R x x R, 且 x 0
特殊集合 x x R 且 x2 1 0
开区间 闭区间 半开区间 无限区间
点的 邻域
数学分析中常用 的实数集
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
pN+, qN+,q≤p, q,p互质。我们按以下方式排列这
些有理数。见P8.
作业:p10 2(2),5
5 .笛卡尔( Descartes )乘积集合
设A与B是两个集合,在集合A中任取一个元素x, 在集合B中任取一个元素y,组成一个有序对 (x,y)。
把这样的有序对 (x,y)作为新的元素,它们全体组成
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x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a , b]
o a o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [a , b ) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
o a
( , b ) { x x b}
G ( ai )
n
(算术平均值)
1 n
a1a2 an
n ai , (几何平均值) i 1
H (ai )
n 1 1 1 a1 a2 an

1 1 1 n i 1 ai
n

n 1 a i 1 i
n
.
(调和平均值)
有平均值不等式: H (ai ) G(ai ) M (ai ), 等号当且仅当 a1 a 2 a n 时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: n x 1, 有不等式 (1 x) 1 nx,
定义3 设S是R中的一个数集,若数 满足:
(1)对一切 x S , 有 x (即 是S的下界) ; (2)对任何 ,存在 x0 S ,使得 x0 (即
是S的下界中最大的一个) ,则称数 为数集S 的下确界,记作 inf S .
命题 2 inf S 的充要条件: 1) 是S下界; 2) >0, x0 S , 有x0 < .
实数集 R 对加、减、乘、除(除数不为 0)亦是封闭的. (2) x y, x y, x y.
三者必有其中之一成立,且只有其中之一成立.
(3) 若 x y , y z , 则 x z .
即大小关系具有传递性.
(4)实数的阿基米德性
a , b R + , n N + , 使得 nb a .
2 确界:
直观定义:若数集S有上界,则它有无穷多个上 界,其中最小的一个上界称为数集S的上确界
记作 sup S;
上确界 M 上界 M2
同样,有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界
M1
记作 inf S .
下界 m2
m1
m
下确界
确界的精确定义
定义 2.设 S 为 R 中的一个数集.若数 满足:
(i)对一切 x S ,有 x ,即 是 S 的上界;
(ii) 对任何 , 存在 x0 S , 使得 x0 , 即 是 S 的最小上界,则称数 为数集 S 的 上确界,记作 sup S .
命题 1 M sup E 充要条件 1) M 是 E 上界, 2) 0, x E 使得 x M .
证: 由于S A B显然是非空有界数集
因此S的上, 下确界都存在 x S , 有x A或x B x sup A或x sup B 从而有x max sup A, sup B, 故得 supS max sup A, sup B; 另一方面, x A, x S x sup S sup A sup S , 同理又有 sup B sup S .
命题 3:设数集 A 有上(下)确界,则这上(下) 确界必是唯一的.
( 1 ) n S 1 n ,
例2 ⑴

supS ______, inf S _______.
2 E y y sin x, x (0, ) . 则 sup E ________, inf E _________.
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .

x inf A
或min inf AFra bibliotek, inf B 是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 请举例?
4.确界与最值的关系: 设 E为数集. ⑴ E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界 是一种临界点. ⑵ 非空有界数集必有确界(见下面的确界 原理), 但未必有最值. ⑶ 若 max E 存在, 必有 max E supE. 对下 确界有类似的结论.
不含任何元素的集合称为空集. ( 记作 )
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a , b R , 且a b .
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b )
A f
x

几个重要不等式:
1 a 2 b 2 2 ab ,
sin x
1,
sin x

x .
对a1 , a2 ,, an R , 记 ⑵ 均值不等式:
a1 a2 an 1 n M (ai ) ai , n n i 1
5 确界原理
定理1 (确界原理). 设 E 为非空数集,若E有
上界,则E必有上确界;若E有下界,则E必有下
确界。 证明略.
请注意:任何理论都有一个前提基础,极
限引入也需要在一个基础上得到,本教材 的极限基础便是确界存在定理。
例6 设A,B为非空有限数集, S A B. 证明:
sup S max sup A,sup B;
一、区间与邻域
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a M, a M, A { a1 , a 2 , , a n }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集. 记作 A B .
数集分类:
与 a b 矛盾.
二. 绝对值与不等式
a, a0 绝对值定义: | a | a , a 0
绝对值的一些主要性质**
1. | ab || a | | b |
3
2. a |a| , b0 b |b|
a b ab a b
推论
f ( x) A A f x
例3 设数集S有上确界.证明
sup S S max S
而 S ,故 是数集 S 中最大的数,即
证 ) 设 sup S S ,则对一切 x S 有 x ,
max S .
(i) 对一切 x S 有 x , 是数集 S 的上界; 即
一 . 实数及其性质:
1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 2.两个实数的大小关系
定义2 设 称有理数
x a0 .a1a2 an 为非负实数.
xn a0 .a1a 2 a n
1 n 10
为实数x的n位不足近似,而有理数
xn xn
称为x的n位过剩近似,n=0, 1, 2, ….


x
a a a 0 点a的去心的邻域, 记作U ( a ).
U ( a ) { x 0 x a }.
二 有界集 〃 确界原理
1 有(无)界数集:定义(上、下有界, 有界) M R, x S 有x M. 数集S有上界 M R, x0 S 有x0 M. 数集S无上界 L R, x S 有x L. 数集S有下界 L R, x0 S 有x0 L. 数集S无下界 M R , x S 有 x M. 数集S有界 数集S无界 M R , x0 S 有 x0 M.
无限区间
x
o
b
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a ) { x a x a }.
n N.
当 x 1 且 x 0 , n N 且 n 2 时, (1 x) n 1 nx. 有严格不等式
§1.2 数集〃确界原理
一、区间与邻域 二、上确界、下确界
记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域
U (a; ) { x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集的上界,
中任一数 x 都是B的下界,
故有确界原理知,数集有上确界,数集B有下确界.
y B, y是数集的一个上界,而由上确界的定义知
supA 是数集的最小上界, 故有 supA y.
而此式又表明数 supA 是数集B的一个下界,
故由下确界的定义证得
U (a; ) { x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U (a; ) { x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
U (; M ) { x | | x | M } : 的 M 邻域 U ( ; M ) { x | x M } : 的 M 邻域 U ( ; M ) { x | x M } : 的 M 邻域 max S : 数集 S 的最大值 min S : 数集 S 的最小值
) 设 max S ,则 S ,
(ii)对任何 ,只须取 x0 S ,则 x0 . 从而满足 sup S 的定义.
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