高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时课件 新人教A版必修1
1.3.1 单调性与最大(小)值—第一课时单调性
练习:
利用刚才 的方法描 述一下左 侧四个函 数图象的 “上升” “下降” 的 情况.
思考
如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大, 相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的 f(x)也随着增大.”? 有同学认为可以这样描述:在区间(0,+∞)上, x1＜x2时, 有f(x1)＜f(x2).他并且画出了如下示意图,你认为他的 说法对吗?
练习:
例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说出函数 的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是 增函数.
第一课时:单调性 :
教学目标:
知识教学目标： 知识教学目标： 1.理解函数的单调性概念 理解函数的单调性概念. 理解函数的单调性概念 2.会判定函数的单调性 会判定函数的单调性. 会判定函数的单调性 能力训练目标： 能力训练目标： 1.培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力 培养学生利用数学概念进行判断、 培养学生利用数学概念进行判断 推理的能力. 2.加强化归转化能力的训练 加强化归转化能力的训练. 加强化归转化能力的训练 情感渗透目标： 情感渗透目标： 1.通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规 通过新概念的引进过程培养学生探索问题、 通过新概念的引进过程培养学生探索问题 归纳概括的能力. 律、归纳概括的能力 2.培养学生辨证思维、求异思维等能力 培养学生辨证思维、 培养学生辨证思维 求异思维等能力.
例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一定 量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之. 证明: 1 2 1.设(自变量); 2.比(函数值); 3.判(函数值大小关系); 4.结(论) 3 4
高中数学_第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性课件 新人教版必修1
答案
知识点二 函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 思考 若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x) 的减区间能写成D1∪D2吗？ 答 单调区间不能取并集，如 y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也 递减，但不能说 y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减.
－1<1－a<1， 正解 由题意可知－1<2a－1<1， 解得 0<a<1.①
又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，
∴1－a>2a－1，即 a<23.②
由①②可知，0<a<23，即所求
a
的取值范围是
2 0<a<3.
易错警示
解析答案
解析答案
(2)函数 y＝x－1 1的单调递减区间是_(_－__∞__，__1_)，__(_1_，__＋__∞__)_. 解析 y＝x－1 1的图象可由函数 y＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图 所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞).
解析答案
例2 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间. 解 y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，xx≥ ＜00， ， 即 y＝－－xx＋－1122＋＋22，，xx＜≥00.， 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区 间为[－1,0]，[1，＋∞).
高中数学第一章集合与函数的概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性素材新人教版必修1
（1）取值；
（2）作差变形；
（3）定号；
（4）判断.
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1．函数的单调性的定义． 2．利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ①取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2 ； ②作差变形：作差f(x1)-f(x2) ； ③定号：判断上述差f(x1)-f(x2)的符号； ④结论：根据(gēnjù)差的符号，得出单调性的结论.
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情境：如图为我市某日24小时内的气温变化图．观察 这张气温变化图，试说出在哪段气温是上升 (shàngshēng)的，哪段是下降的？
思考：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出(kàn chū)对应的函数值y 有什么变化趋势？如何用数学语言来描述？
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1.函数的单调性定义的内涵与外延： 内涵:是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况； 外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致 时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是 单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若函数的图象(tú xiànɡ)上升，则为增函数，图象(tú xiànɡ)下降则为减 函数.
用定义证明函数(hánshù)单调性的 步骤是： （1）取值
即取 x1, x2 是该区间内的任意两个值且 x1 < x2
（2）作差变形
(bià即n 求xíngf)(x1 ) - f(x2 ) ，通过因式分解、配方、有理
化等方法
（3）定号
即根据给定的区间和
f(x1 ) - f(x2 ) 的符号
x2 - x1 的符号，确定
（4）判断
根据单调性的定义得结论
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1．在证明函数单调性时，所取的两个变量 (biànliàng)x1，x2应具有什么特征？ 提示：x1、x2有三个特征：一是同属于一个单调区间； 二是任意性；三是有大小，通常规定x1＜x2.三者缺 一不可．
2021_2022学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单
第1课时 函数的单调性[A 根底达标]1．如图是函数y ＝f (x )的图象，那么此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．应选B. 2．以下函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|解析：选B.y ＝3－x ，y ＝1x，y ＝－|x ＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y ＝x 2＋1在(0，2)上是增函数．3．假设函数f (x )在R 上是减函数，那么以下关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a 2)解析：选D.因为f (x )是R 上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．应选D. 4．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3，0]上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增D ．先增后减解析：选C.因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x ＜－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，如下图，易知在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．5．(2021·宣城高一检测)函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，那么函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0解析：选A.因为y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，应选A.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，那么f (x )的单调递减区间是________．解析：当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．答案：(－∞，1)7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，那么实数a 的取值范围为________．解析：因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2.答案：(－∞，2]8．函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为__________．解析：因为A (0，－2)，B (－3，2)在函数y ＝f (x )的图象上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2<f (x )<2可化为f (0)<f (x )<f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3<x <0.答案：(－3，0)9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，〔x －2〕2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间． 解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，〔x －2〕2＋3，x >1的图象如下图，由图象可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]； 单调递增区间为(2，＋∞)．10．函数f (x )＝2x －1x ＋1.(1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．解：(1)由题意知x ＋1≠0，即x ≠－1.所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)证明：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2， 那么f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2＋1－2x 1－1x 1＋1＝〔2x 2－1〕〔x 1＋1〕－〔2x 1－1〕〔x 2＋1〕〔x 2＋1〕〔x 1＋1〕＝3〔x 2－x 1〕〔x 2＋1〕〔x 1＋1〕.因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0. 又因为x 1，x 2∈[1，＋∞)， 所以x 2＋1>0，x 1＋1>0. 所以f (x 2)－f (x 1)>0， 所以f (x 2)>f (x 1)．所以函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．[B 能力提升]11．函数y ＝2x －3的单调增区间是( ) A ．(－∞，－3] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.由2x －3≥0，得x ≥32.又因为t ＝2x －3在(－∞，＋∞)上单调递增，y ＝t在定义域上是增函数，所以y ＝2x －3的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13解析：选A.当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，所以0≤a ≤13.13．定义在[1，4]上的函数f (x )是减函数，求满足不等式f (1－2a )－f (3－a )>0的实数a 的取值范围．解：由题意，可得f (1－2a )>f (3－a )． 因为f (x )在定义域[1，4]上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤1－2a ≤41≤3－a ≤41－2a <3－a ，解得－1≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[－1，0]．14．(选做题)函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋ax 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1.1单调性与最大(小)值(第1课时)课件新人教a必修1
要点2 单调性和单调区间 如果一个函数在某个区间D上是增函数或减函数就说这个函 数在这个区间D上具有单调性，区间D称为单调区间.
1.画出函数y＝1x的图像，结合图像探讨下列说法是否正确？ (1)函数y＝1x是减函数； (2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).
答：(1)是错误的，从左向右看，函数y＝
得函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞).
方法二：利用已知函数的单调性：f(x)的图像是由y＝
5 x
的图
像先向左平移3个单位，再向下平移一个单位得到的，
∴y＝5x在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数.
∴f(x)＝2x＋－3x在(－∞，－3)及(－3，＋∞)上也是减函数.
方法三：定义法(略).
探究1 (1)证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性 的定义.其步骤是：①取值：在给定区间上任取两个自变量.②作 差变形：将f(x1)－f(x2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形 式，且含有x1－x2的因式.③判断符号：根据条件判断f(x1)－f(x2) 变形后的正负.④得出结论.
(2)在“作差变形”中，我们尽量化成几个最简因式乘积的 形式，也可以把其中的因式化成几个完全平方式和差的形式， 例如(x＋1)2＋2，－(x＋1)2－3等，这也是值得学习的解题技巧.
题型三 含参数的函数的单调性 例3 已知f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数， 求实数a的取值范围.
【思路】 由于f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝(x＋a－1)2－(a－1)2＋ 2，所以在区间(－∞，1－a]上单调递减，故有(－∞，4]⊆(－∞，1 －a]，可求a的值.
思考题1
(1)已知函数f(x)＝
人教版高中数学必修1第一章集合与函数的概念-《1.3.1单调性与最大(小)值》教案(1)
1.3.1单调性与最大（小）值（第一课时）教材分析单调性与最大（小）值这节内容选自人教版A版《普通高中课程标准试验教科书必修1》第一章1.3节函数的基本性质的内容。
函数是描述事物运动变化规律的数学模型，学习函数的变化规律能把握事物的变化规律，因此研究函数的性质非常关键。
学生在此之前已经学习了函数的概念及函数的三种表示法，并且学生学会了从集合的角度来认识函数。
本次课的学习是函数的基本性质的第一课时，研究函数的单调性与最大最小值问题，这一性质是函数最直观的一个性质。
也是为后续学习函数的奇偶性等相关性质奠定基础。
因此，本次课的教学尤为关键。
本次课在教学上我将采取两个课时的时间，在第一课时内完成函数单调性概念的教学并掌握判断简单函数单调性的方法，在第二课时内完成最大（小）值概念的教学，并且能进一步掌握部分函数单调性的判断技巧。
教学目标●知识与技能：了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法；●过程与方法：经历情景引入、直观感知、知识形成等过程，掌握数形结合的数学方法，同时学会从直观的图像上发现问题并且掌握作差法，培养学生严谨的数学思维能力；●情感态度与价值观感受数学符号以及图形的魅力，培养学生能从辩证的角度看问题，感受数学与现实生活的联系，体会数学的强大实用功能；教学重难点教学重点：函数单调性的概念以及判断简单函数单调性的方法；教学难点：判断简单函数单调性的方法；重难点突破：学生在学习函数单调性概念的过程中，教师通过引入具体事例加以分析，首先让学生直观感受函数的单调性，进而通过引导探究认识函数的单调性；在判断简单函数的单调性的过程中，教师引导学生通过直接看图像以及做差这两种方法来判断函数的单调性。
教法学法分析新课标的教学理念认为学生是天生的学习者，学生已经具备了一定的生活经验，具备一定数学知识和数学经验。
在教学中力求通过教师的引导，学生根据已有的生活经验进行自主探究，发现数学规律，掌握数学知识，并且能进一步把知识运用到实践中；而教师是学生学习中的引导者、组织者和合作者，教师应该给予学生足够的空间感受数学本身的魅力，感受数学的使用功能。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性aa高一数学
【解析】∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]. ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线(zhíxiàn)x＝4的右侧或与其重合. ∴1－a≥4，解得a≤－3. 故实数a的取值范围为[－∞，－3].
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函数单调性的证明(zhèngmíng)与判断
【例 1】证明：函数 y＝x＋9x在区间(0,3]上单调递减. 【解题探究】 取值 → 作差 → 变形 → 判断符号 → 得结论 【证明】设 0＜x1＜x2≤3， 则有 y1－y2＝x1＋x91－x2＋x92 ＝(x1－x2)－9xx11－x2x2＝(x1－x2)1－x19x2.
值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差 f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易 判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1) －f(x2)的符号及定义判断单调性.
2．证明抽象函数的单调性时，因为抽象函数不知道解析(jiě
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4.已知函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数
(shìshù)m的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，
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2.作出函数 f(x)＝－ x－x－232＋，3x≤，1x＞，1 的图象，并指出函数
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时
1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性1.下列说法中正确的有( A )①若x1,x2∈I,当x1<x2时,f(x1)<f(x2),则y=f(x)在I上是增函数;②函数y=x2在R上是增函数;③函数y=-在定义域上是增函数;④y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由于①中的x1,x2不是任意的,因此①不正确;②③④显然不正确.2.如图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增(B)函数在区间[1,4]上单调递增(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.3.下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0”的是( C )(A)f(x)= (B)f(x)=-3x+1(C)f(x)=x2+4x+3 (D)f(x)=x+解析:>0⇔f(x)在(0,+∞)上为增函数,而f(x)=及f(x)=-3x+1在(0,+∞)上均为减函数,故A,B错误;f(x)=x+在(0,1)上递减,在[1,+∞)上递增,故D错误;f(x)=x2+4x+3=x2+4x+4-1=(x+2)2-1,所以f(x)在[-2,+∞)上递增,故选C.4.下列函数中,在(-∞,0]内为增函数的是( C )(A)y=x2-2 (B)y=(C)y=1+2x (D)y=-(x+2)2解析:选项A,B在(-∞,0)上为减函数,选项D在(-2,0]上为减函数,只有选项C满足在(-∞,0]内为增函数.故选C.5.已知函数y=ax和y=-在(0,+∞)上都是减函数,则函数f(x)=bx+a在R上是( A )(A)减函数且f(0)<0 (B)增函数且f(0)<0(C)减函数且f(0)>0 (D)增函数且f(0)>0解析:因为y=ax和y=-在(0,+∞)都是减函数,所以a<0,b<0,f(x)=bx+a为减函数且f(0)=a<0,故选A.6.若函数f(x)在R上单调递增,则f(x2-2x)与f(-1)的大小关系为( A )(A)f(x2-2x)≥f(-1) (B)f(x2-2x)≤f(-1)(C)f(x2-2x)=f(-1) (D)不能确定解析:因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,又函数f(x)在R上单调递增,所以f(x2-2x)≥f(-1).故选A.7.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值X围是( A )(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a满足≤1,所以a≤4,选A.8.在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1(C)y= (D)y=2x2+x+1解析:A选项在R上是增函数;B选项在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数;C选项在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;D选项y=2x2+x+1在(-∞,-]上是减函数,在[-,+∞)上是增函数.故选C.9.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是.解析:当x≥1时,f(x)是增函数;当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1).答案:(-∞,1)10.函数f(x)=|2x-1|的单调减区间为,单调增区间为.解析:函数f(x)=|2x-1|=2|x-|的图象如图所示,由图可知函数f(x)的单调递增区间为[,+∞),单调递减区间为(-∞,].答案:(-∞,][,+∞)11.已知函数f(x)在区间[-1,1]上是单调函数且f(0)<f(1),则满足f(x)<f()的实数x的取值X围为.解析:由题意知函数f(x)在区间[-1,1]上是单调增函数,所以不等式f(x)<f()等价于即-1≤x<.答案:[-1,)12.函数f(x)是定义域上的单调递减函数,且过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2的自变量x 的取值X围是.解析:因为f(x)是定义域上的减函数,f(-3)=2,f(1)=-2,所以当x>-3时,f(x)<2,当x<1时,f(x)>-2,则当-3<x<1时,|f(x)|<2.答案:(-3,1)13.已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),求a的取值X围.解:由题意可知解得0<a<1,①又f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),所以1-a>2a-1,即a<,②由①②可知,a的取值X围是(0,).14.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域和值域;(2)判断函数f(x)在区间(2,5)上的单调性,并用定义来证明所得结论.解:(1)f(x)===1+,定义域为{x|x≠1},值域为{y|y≠1}.(2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数,下面证明此结论.证明:任取x1,x2∈(2,5),设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为2<x1<x2<5,所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)>f(x2).故函数在(2,5)上为减函数.15.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0.因此f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(3)由f()=f(x1)-f(x2)得F()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,且f(|x|)<-2=f(9),所以|x|>9,解得x>9或x<-9.故不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.16.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值X围是( D )(A)(-,+∞) (B)[-,+∞)(C)[-,0) (D)[-,0]解析:当a=0时,f(x)=2x-3,满足在区间(-∞,4)上是单调递增,排除C,当a≠0时,f(x)=ax2+2x-3的对称轴为x=-,要满足在区间(-∞,4)上是单调递增的,则-≥4且a<0,解得-≤a<0,综上-≤a≤0.17.已知函数f(x)=|x+1|在区间[a,+∞)上是增函数,则实数a的取值X围是.解析:函数f(x)=|x+1|的增区间为[-1,+∞),所以a≥-1.答案:[-1,+∞)18.函数f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则t的取值X围是.解析:y=x2的增区间为[0,+∞),y=x增区间为(-∞,+∞),若f(x)是(0,+∞)上的增函数,则所以t≥1.答案:[1,+∞)19.讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.解:f(x)=x+(a>0).因为定义域为{x|x∈R,且x≠0},所以可分开证明,设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)(1-).当0<x2<x1≤时,恒有>1,则f(x1)-f(x2)<0,故f(x)在(0,]上是减函数;当x1>x2>时,恒有0<<1,则f(x1)-f(x2)>0,故f(x)在(,+∞)上是增函数.同理可证f(x)在(-∞,-)上是增函数,在[-,0)上是减函数.综上所述,f(x)在(-∞,-),(,+∞)上是增函数,在[-,0),(0,]上是减函数.。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单调性学案 新人
2018版高中数学第一章集合与函数概念1.3.1 单调性与最大(小)值（第1课时）函数的单调性学案新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章集合与函数概念1.3.1 单调性与最大(小)值（第1课时）函数的单调性学案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
3 函数的基本性质1．3。
1 单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．（重点、难点）2．会用函数单调性的定义判断（或证明)一些函数的单调性．(难点）3．会求一些具体函数的单调区间．（重点)[基础·初探]教材整理1 增函数与减函数的定义阅读教材P27～P28,完成下列问题．增函数与减函数的定义条件一般地,设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时都有f(x1）＜f（x2)都有f(x1）＞f（x2）结论那么就说函数f（x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x）在区间D上是减函数图示判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1)因为f(－1）<f(2），所以函数f(x)在［－1,2］上是增函数．（)（2）若f(x）为R上的减函数，则f(0）〉f(1）．( )(3)若函数f（x）在区间(1,2］和(2,3）上均为增函数，则函数f(x）在区间(1,3）上为增函数．（）【解析】（1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性．（2）√.由减函数的定义可知f(0)>f(1）．(3)×。
高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性
-(-1)2 + 4, ≥ 0,
即 f(x) =
-( + 1)2 + 4, < 0.
(2)函数图象如图所示.
(3)函数 f(x)的图象在(-∞,-1]和[0,1]上是上升的,在(-1,0)和(1,+∞)
上是下降的,所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[0,1],单调递减区间
1
∴f(x)=x+ 在(0,1)内是减函数.
12/12/2021
第十五页，共二十八页。
=
(1 -2 )(1 2 -1)
.
1 2
IANLI TOUXI
M 目标导航
UBIAODAOHANG
题型一
题型二
题型三
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
证明:设 x1,x2 是区间(0,1)内的任意两个实数,且 x1<x2,则
1
1
f(x1)-f(x2) = 1 +
− 2 +
1
2
2 -1
1
=(x1-x2) +
= (x1-x2) 11 2
1 2
∵0<x1<x2<1,
∴x1x2-1<0,x 1-x2<0,x 1x2>0.
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).
间 D 上的任意两个自变量的值 x 1,x2,当 x 1<x2 时,都有
f(x1)>f(x2)
定 f(x1)<f(x2)
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性教案 新人
第1课时函数的单调性[目标] 1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数的单调性；2.会用函数的单调性解答有关问题；3.记住常见函数的单调性．[重点] 函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性及应用；函数单调性的证明．[难点] 函数单调性定义的理解及函数单调性的证明.知识点一增函数与减函数的定义[填一填]设函数f(x)的定义域是I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．设函数f(x)的定义域是I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．[答一答]1．在增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？提示：不能，如图所示：虽然f(－1)<f(2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．2．设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？(1)对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)；(2)对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；(3)对任意x 1、x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命题． 3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题？提示：减函数(x 1，x 2∈M )⇔任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)<0.知识点二 函数的单调性与单调区间[填一填]如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数(或减函数)，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．[答一答]4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．5．函数f (x )＝1x的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)吗？提示：不是．例如：取x 1＝1，x 2＝－1，则x 1>x 2，这时f (x 1)＝f (1)＝1，f (x 2)＝f (－1)＝－1，故有f (x 1)>f (x 2)．这样与函数f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减矛盾．事实上，f (x )＝1x的单调减区间应为(－∞，0)和(0，＋∞)．知识点三 常见函数的单调性[填一填]1．设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，当k >0时，函数y ＝kx ＋b 在R 上是增函数；当k <0时，函数y ＝kx ＋b 在R 上是减函数．2．设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．若a >0，则该函数在(－∞，－b2a]上是减函数，在[－b 2a ，＋∞)上是增函数．若a <0，则该函数在(－∞，－b2a ]上是增函数，在[－b2a，＋∞)上是减函数．3．设反比例函数的解析式为y ＝k x (k ≠0)．若k >0，则函数y ＝k x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数；若k <0，则函数y ＝k x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上也是增函数．[答一答]6．函数y ＝x 2－x ＋2的单调区间如何划分？提示：函数在(－∞，12]上是减函数，在[12，＋∞)上是增函数．类型一 判断或证明函数的单调性 [例1] 证明函数y ＝x ＋9x在(0,3]上递减．[证明] 设0<x 1<x 2≤3，则有y 1－y 2 ＝(x 1＋9x 1)－(x 2＋9x 2)＝(x 1－x 2)－9(x 1－x 2)x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－9x 1x 2)．∵0<x 1<x 2≤3，∴x 1－x 2<0，9x 1x 2>1，即1－9x 1x 2<0，∴y 1－y 2>0，即y 1>y 2.∴函数y ＝x ＋9x在(0,3]上递减．函数单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤：第一步：取值.即设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2. 第二步：作差.准确作出差值f (x 1)－f (x 2)[或f (x 2)－f (x 1)].第三步：变形.通过因式分解、配方、分子(分母)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.第四步：确定f (x 1)－f (x 2)[或f (x 2)－f (x 1)]的符号.当符号不能直接确定时，可通过分类讨论、等价转化，然后作差，作商等思路进行.第五步：判断.根据定义作出结论.,以上五个步骤可以简记为“取值——作差——变形——定号——判断”.[变式训练1] 判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1x1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1 ＝－1x 1＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2.由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0.于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此，f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．类型二 利用图象确定函数的单调区间[例2] 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间． [分析] 去绝对值→化为分段函数→作图象→ 求单调区间[解] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.,注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”“或”连接，不能用“∪”连接.[变式训练2] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x <0，－3x ＋3，0≤x <1，－x 2＋6x －5，1≤x ≤6.(1)画出这个函数的图象； (2)求函数的单调区间．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x <0，－3x ＋3，0≤x <1，－x 2＋6x －5，1≤x ≤6，作出其图象如下：(2)由f (x )的图象可得，单调递减区间为[－3，－2)，[0,1)，[3,6]；单调递增区间为[－2,0)，[1,3)．类型三 函数单调性的应用命题视角1：利用函数的单调性比较大小[例3] 已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小．[分析] 要比较两个函数值的大小，需先比较自变量的大小．[解] ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，∴34与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值． ∵f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减的，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.[变式训练3] 设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，若a ∈R ，则( D ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：选项D 中，∵a 2＋1>a ，f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f (a 2＋1)<f (a )．而其他选项中，当a ＝0时，自变量均是0，应取等号．故选D.命题视角2：利用函数的单调性解不等式[例4] 已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．[解] ∵f (x )在[－1,1]上为增函数， 且f (x －2)<f (1－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1－1≤1－x ≤1，x －2<1－x解得1≤x <32.∴x 的取值范围是1≤x <32.对于x 1<x 2⇔f (x 1)<f (x 2)(函数f (x )为增函数)，要注意“双向性”；左到右两边同“加”“f ”不等号方向不变，右到左两边同“脱”“f ”不等号方向也不变，若f (x )为减函数则恰恰相反.[变式训练4] 已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (3a －7)>f (11＋8a )，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－185.解析：由题意3a －7>11＋8a ，解得a <－185.命题视角3：利用函数的单调性确定参数的值或取值范围 [例5] 函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2，(1)若函数f (x )的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a 的值(或范围)是________． (2)若函数f (x )在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 的值(或范围)是________． [分析] 说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I .而函数在某一区间上单调递减，则指此区间是相应单调区间的子集．[答案] (1)－3 (2)(－∞，－3][解析] (1)因为函数f (x )的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1－a ，所以有1－a ＝4，即a ＝－3.故应填－3.(2)因为函数f (x )在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1－a ，所以1－a ≥4，即a ≤－3.故应填(－∞，－3]．已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围的一般方法：(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间作比较，求出参数的取值范围．(2)运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围，即将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化．[变式训练5] 已知函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2－4x (x >1)，x 2＋2ax －3a ＋3(x ≤1)，若函数f (x )在[－7，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．解：令g (x )＝2－4x ，h (x )＝x 2＋2ax －3a ＋3.显然，函数g (x )＝2－4x在(1，＋∞)上递增，且g (x )>2－41＝－2；函数h (x )＝x 2＋2ax －3a ＋3在[－a,1]上递增，且h (1)＝4－a ， 故若函数f (x )在[－7，＋∞)上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤－7，h (1)≤g (1)，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥7，4－a ≤－2，∴a ≥7，∴a 的取值范围为[7，＋∞)．1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( C ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数．2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( D ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12解析：当2k ＋1<0，即k <－12时，函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数．3．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．解析：由题图可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．4．已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (4a －3)>f (5＋6a )，则实数a 的取值范围是(－∞，－4)．解析：由题意，知4a －3>5＋6a ，a <－4.5．求证：函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．证明：对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2. 有f (x 1)－f (x 2)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 22>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．——本课须掌握的两大问题1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1、x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f (x )是增(减)函数且f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2(x 1>x 2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．2．单调性的判断方法(1)定义法：利用定义严格判断．(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”．学习至此，请完成课时作业10。
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.1 函数的单调性
[规律方法] 1.本题逆用函数单调性，将函数值的不等关系，转 化为与之等价的代数不等式组，但一定注意定义域．
2．设x1，x2∈D，且x1＜x2： (1)f(x1)＜f(x2)⇔f(x)在D上是增函数； (2)f(x1)＞f(x2)⇔f(x)在D上是减函数．
【活学活用 3】 已知函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且 f(x)在区 间[－2,2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，求实数 m 的取值范围． 解 ∵f(x)在[－2,2]上是增函数，且 f(1－m)＜f(m)，
类型二 求函数的单调区间 【例 2】 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋1 的图象并写出函数的单调 区间． [ 思 路 探 索 ] 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象 → 求单调区间
解 y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥＜00，， 即 y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ ＜00，. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]， 单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
高一数学必修一
第一章 集合与函数概念 1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
【课标要求】 1．理解函数的单调性的概念． 2．掌握判断函数单调性的一般方法． 【核心扫描】 1．单调性的概念．(重点、难点) 2．判断函数的单调性及函数单调性的应用．(重点)
新知导学 1．定义域为I的函数f(x)的增减性
探究点3 若函数f(x)在定义域内的两个区间A、B上都是减(增) 函数，你能认为f(x)在区间A∪B上是减(增)函数吗？ 提示 不能．如f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上 也是减函数，但不能说它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是 减函数，如取x1＝－1＜1＝x2，有f(－1)＝－1＜1＝f(1)，不 满足减函数．
高中数学第1章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单调性aa高一数学
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减
结论
函数
函数
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图示 思考 1：增(减)函数定义中的 x1，x2 有什么特征？
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[提示] 定义中的 x1，x2 有以下 3 个特征 (1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特 殊代替一般； (2)有大小，通常规定 x1<x2； (3)属于同一个单调区间．
(－∞，1) [因为 f(x)＝x2－2x＋3 是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 x ＝1，所以函数 f(x)的单调减区间是(－∞，1)．]
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[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的单调区间 例 1 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减 函数． (1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝52－x＋x，1，x<x≥1；1， (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
作差：fx1－fx2 ―变―形→ 判号：fx1>fx2 ―结―论→ 减函数
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[证明] 设 x1，x2 是区间(0,1)上的任意两个实数，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11
－
x2＋x12
＝
(x1
－
x2)
＋
x11－x12
＝
(x1
－
x2)
＋
x2－x1 x1x2
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[规律方法] 1．求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要 根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象，如本例(3)． 2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要 用“,”隔开，如本例(3)．
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(
1.3.1 单调性与最大（小）值疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、单调性1.增函数和减函数一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f （x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.要点提示注意此处空半格函数的单调性是相对于函数定义域I内的某个区间D而言的，显然D I.对于给定定义域内的任意两个不同的自变量，当函数值的改变量与自变量的改变量符号相同时，即为增函数；符号相反时，即为减函数.若函数y=f（x）在区间D上是增函数，反映到图象上，从左至右呈上升趋势，反之，呈下降趋势.2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤：（1）取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.（2）作差变形.求f（x2）-f（x1），通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.（3）定号.根据给定的区间和x2-x1的符号确定f（x2）-f（x1）的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论.（4）判断.根据单调性定义作出结论.即取值——作差——变形——定号——判断.函数f（x）在给定区间上的单调性，反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，即若证明f（x）在［a，b］上是递增的，就必须证明对于区间［a，b］上任意的两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）成立，而不可以用两个特殊值来替换，但是要否定一个函数在某一区间上的单调性，只要举一个反例即可.误区警示注意此处空半格函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，即“任意”取x1、x2，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定x1＜x2.三者缺一不可.二、函数的最大（小）值一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（或f（x）≥M）；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M，那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值（或最小值）.对于一次函数可直接根据单调性写出最值.求二次函数在给定区间上的最值，要注意分析它的开口方向和对称轴，如课本36页例3.一般地，若给定区间在对称轴的同侧，它是单调函数，可直接利用单调性求出最值；若对称轴在给定区间内，要注意它在对称轴处取得一个最值.要点提示 注意此处空半格最值包括最大值和最小值.对于二次函数而言，若给定闭区间在对称轴的同侧，则最值在区间的两个端点处；若对称轴在给定的区间内，则在对称轴处取得一最值，在距对称轴较远的端点处取得另一最值.求函数在某个闭区间的最值问题，可以先做出函数的图象，判断其在该区间上的单调性，并加以证明，利用函数的单调性求函数的最大值和最小值.另外利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；求某些函数的值域，也常用于解（证）不等式；还可以绘制某些函数的略图等等.问题·思路·探究问题 如果一个函数在两个区间上同增减,那么在这两个区间的并集是不是还符合原来的增减性?思路:根据函数增减性的定义和并集的概念考虑,同时注意区间上的特殊点.探究:对某一函数y=f(x)，它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增（减）函数，不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增（减）函数.比如说,函数y=x1在 (-∞,0),(0,+∞)内都是减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)不能说是减函数,这是因为取个特例x 1=1,x 2=-1,可见y 1=1,y 2=-1,这时变成x 1＞x 2时,却有y 1＞y 2,不再符合减函数的定义.典题·热题·新题例1 作出下列函数的图象，并指出函数的单调区间:（1）f （x ）=5x+2；（2）f （x ）=x 2+x+2；（3）f （x ）=-x2. 思路解析：写函数的单调区间时，能画出函数图象的要画出图象，或者根据所求函数与某些已知函数的关系去判断.解：（1）函数f （x ）=5x+2图象的单调增区间为（-∞，+∞）,无单调减区间.如图(1).（2）函数f （x ）=x 2+x+2的图象如图(2),单调递增区间为［-21，+∞］,单调递减区间为（-∞，-21］. （3）函数f （x ）=-x 2的图象如图(3),函数在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上也是增函数.(1) (2) (3) 深化升华 注意此处空半格(1)画一次函数的图象，只需描出两个点即可 .(2)画二次函数的图象只需描出顶点以及关于对称轴对称的两点即可.(3)反比例函数y=xk （k ≠0）的单调性仅与系数k 的正负有关. 例2 利用单调性定义证明：函数f （x ）=1-x 在其定义域内是增函数.思路解析：本题是利用单调性定义证明单调性的一个典型例子，由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明.证明：证法一：函数f （x ）=1-x 的定义域是x ∈［1，+∞），任取x 1、x 2∈［1，+∞）且x 1＜x 2，则f （x 2）-f （x 1）=12-x -11-x =1111)1)1)(11(1212121212-+--=-+--+----x x x x x x x x x x .∵x 1、x 2∈［1，+∞），且x 1＜x 2，∴12-x +11-x ＞0，x 2-x 1＞0.∴f （x 1）＜f （x 2），即函数f （x ）=1-x 在定义域上是增函数.证法二：函数f （x ）=1-x 的定义域是x ∈［1，+∞］，任取x 1、x 2∈［1，+∞)且x 1＜x 2， 则1111)()(212121--=--=x x x x x f x f ， ∵x 1、x 2∈［1，+∞），且x 1＜x 2，∴0≤x 1-1＜x 2-1.∴0≤1121--x x ＜1.∴1121--x x ＜1.∵f （x 2）=12-x ＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）. ∴函数f （x ）=1-x 在定义域［1，+∞）上是增函数.深化升华 注意此处空半格函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x 的取值必须是连续的.用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”.当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法.解决带根号的问题，常用的方法就是分子、分母有理化.从形式上看是由“-”变成“+”. 例3 作出函数f （x ）=121222+-+++x x x x 的图象，并指出函数f （x ）的单调区间.思路解析：由于所给的函数是两个被开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形式，再作图写出单调区间.解：原函数可化为f （x ）=121222+-+++x x x x =|x+1|+|x-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-.1,2,11,2,1,2x x x x x 作出函数的图象：所以函数的递减区间是（-∞，-1］，函数的递增区间是［1，+∞）.技巧点拔 注意此处空半格若所给的函数解析式较为复杂，可先化简函数解析式，作出草图，再根据函数的定义域和图象的直观性写出单调区间.去绝对值的关键是令每一个绝对值等于0，找到分界点，再讨论去绝对值.例4 已知函数f （x ）=x 2+ax+3在区间［-1，1］上的最小值m 为-3，求实数a 的取值.思路解析：所给二次函数的对称轴x=-2a 是变化的，而区间是固定的，因而只需确定二次函数对称轴与区间的关系，即可求得a 的范围.解：f （x ）=（x+2a ）2+3-42a ，开口向上，区间［-1，1］确定，对称轴x=-2a 随a 变化. （1）当-2a ＜-1，即a ＞2时，作草图（Ⅰ）. f （x ）在［-1，1］上是增函数，所以m=f （-1）=-3，得1-a+3=-3.所以a=7.（2）当-2a ＞1，即a ＜-2时，作草图（Ⅱ）. f （x ）在［-1，1］上是减函数，m=f （1）=1+a+3=-3，所以a=-7.（3）当-1≤-2a ≤1，即-2≤a ≤2时，作草图（Ⅲ）.此时，对称轴在区间［-1，1］内，所以m=f （-3a ）=3-42a =-3，得a=±26，这与-2≤a ≤2矛盾，舍去.因此所求的实数a=-7或7.（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）深化升华 注意此处空半格求二次函数在闭区间上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴在区间的相对位置，简称“两看法”.只需作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合法就可以得到问题的解.运用这个方法，同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题，甚至开口方向、对称轴、区间同时都在变化的问题.当对称轴在给定区间的左侧时，它是增函数，它的最值点在区间的两个端点处取得. 当对称轴在给定区间的右侧时，它是减函数，它的最值点在区间的两个端点处取得. 当对称轴在给定区间内时，在对称轴处取一个最值，在离对称轴较远处取得另一最值. 二次函数在闭区间上的最值问题，只有反复的训练，才能真正掌握利用简单原理解决复杂问题的本领.例5 已知函数y=f(x)在［0，+∞)上是减函数，试比较f （43）与f （a 2+a+1）的大小. 思路解析：利用函数的单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若f(x)在给定的区间上是增函数，当x 1＜x 2时f(x 1)＜f(x 2)；当x 1＞x 2时f(x 1)＞f(x 2)；另一方面是逆向应用，即若f(x)在给定的区间上是增函数，当f(x 1)＜f(x 2)时x 1＜x 2.当f(x 1)＞f(x 2)时x 1＞x 2.当f(x)是减函数时类同. 解：根据函数的单调性的定义，只需比较43与 a 2-a+1的大小即可. ∵a 2-a+1=（a-21）2+43≥43，∴43与a 2-a+1都属于［0，+∞］， 又∵y=f(x)在［0，+∞］上是减函数，∴f （43）≥f （a 2+a+1）. 例6 写出函数f （x ）=12-+x x 的单调区间. 思路解析：把未知的问题转化为已知的问题，用已知问题的解还原说明未知问题的解，这是学好数学的一种常用方法.解决这种分式函数问题，需掌握“凑分母”化简的方法，即把函数的分子拼凑成分母的形式，转化成只在分母中含有变量x 的形式，进而解决问题.解：原函数可化为f （x ）=13131-=-+-x x x +1，显然f （x ）的图象是由y=x3的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的.由于y=x3在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数， 所以f （x ）=12-+x x 在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上也是减函数. 例7 （经典回放）已知函数f （x ）=xa x x ++22，x ∈［1，+∞］. （1）当a=21时，求函数f （x ）的最小值； （2）若对任意x ∈［1，+∞］，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围. 思路解析：对于（1），将f （x ）变形为f （x ）=x+2+x a =x+x 21+2，然后利用单调性求解.对于（2），运用等价转化xa x x ++22＞0（x ∈［1，+∞））恒成立，等价于x 2+2x+a ＞0恒成立，进而解出a 的范围.解：（1）当a=21时，f （x ）=x+x21+2. 因为f （x ）在区间［1，+∞］上为增函数， 所以f （x ）在区间［1，+∞］上的最小值为f （1）=27. （2）解法一：在区间［1，+∞］上，f （x ）=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x+a ＞0恒成立.设y=x 2+2x+a ，∵（x+1）2+a-1在［1，+∞］上单调递增.∴当x=1时，y min =3+a.于是当且仅当y min =3+a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，∴a ＞-3.解法二：f （x ）=x+xa +2，x ∈［1，+∞］. 当a ≥0时，函数f （x ）的值恒为正；当a ＜0时，函数f （x ）单调递增.故当x=1时，f （x ）min =3+a.于是当且仅当f （x ）min =3+a ＞0，函数f （x ）＞0恒成立.故a ＞-3.深化升华 注意此处空半格单调函数在闭区间上必有最大（小）值.如果f （x ）在区间D 上有定义，f （x ）≥0或f （x ）≤0恒成立，则当且仅当f （x ）min ≥0〔或f （x ）max ≤0〕时成立.例8 已知f(x)是定义在(0，+∞)上的单调递增函数，且对定义域内任意x,y 都有f(x ·y)=f(x)+f(y)且f(2)=1，求使不等式f(x)+f(x-3)≤2成立的x 的取值范围.思路解析：这是抽象函数单调性的应用，解题的关键在于处理好f(x ·y)=f(x)+f(y)和f(x)+f(x-3)≤2这两个式子，并且要能够将f(x)+f(x-3)≤2转化成与函数的单调性有关. 解：∵f(x)是定义在(0，+∞)上的单调递增函数，∴x ＞3且f(x ·y)=f(x)+f(y) ,∴f(x)+f(x-3)=f(x 2-3x),且x ＞3，2=f(2)+f(2)=f(4).因此f(x)+f(x-3)≤2f(x 2-3x)≤f(4),即⎩⎨⎧>≤-3,432x x x ⇒3＜x ≤4. 所以x 的取值范围是(3,4］.深化升华 注意此处空半格本题是抽象函数(指没有给出具体函数解析式的函数)单调性的应用，本题解题时很容易忽视定义域的作用，即常犯的错误是不考虑x ＞0且x ＞3这一限制条件，另外本题的难点是将f(x)+f(x-3)≤2转化成f(x 2-3x)≤f(4)，因此对于抽象函数问题，要注意掌握一些变形的技巧.。