高中数学向量秒杀第二辑
12. 【立体几何篇】内切球和法向量秒杀公式
大招二 内切球半径秒杀公式方法1：锥体的内切球半径3Vr S=，V 为锥体体积，S 为表面积。
一般可用等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等。
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒rS S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABCO ABCP S S S S V r -----+++=3方法2：锥形的内切球半径，也可用相似来求。
如图，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高； 第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r1．如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥M ﹣ABCD 为阳马，侧棱MA ⊥面ABCD ，且MA ＝BC ＝AB ＝2，则该阳马的内切球表面积为（ ） A ．24π﹣16B ．16π﹣C ．12πD ．243．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放图14A在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．4．已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为3的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为（）A．6πB．54πC．12πD．48π5．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥内切球的表面积为．6．已知在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC＝，BC＝6，若点A在侧面SBC 内的射影恰是△SBC的垂心，则三棱锥S﹣ABC的内切球的体积为7.三棱锥P-ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，P A⊥底面ABC，且PA=2，则此三棱锥的内切球的半径为_____________大招三 法向量求法秒杀技能在求立体几何线面角，二面角问题时，往往用向量的方法求解时需要求法向量，下面我们介绍一种简单的方法：叉乘法求解法向量. 结论：若=AB （x,y,z ） (a ,b ,c )CD = 则平面ABCD 的法向量00,0(x ,y ,z )n =()()()000=,,,,,,,,,,AB x y z CD a b c y z x yc bz b cx z y xc az a cx y z xb aya b===-=-=--==-即法向量可求出()()()()000000=,,2,3253424,51,3153343,51,2142323,42,4,2=-12-1n x y z x y z n n ==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯=+==⨯-⨯=-∴=-+-叉乘法：设为法向量即，，()()()00000000000000001,2,3345.,,.230345023011,345021,2,1AB CD n x y z n AB x y z CD n x y z x y x z x y y n ===⎧⎫⋅=++=⎪⎪⎨⎬⋅=++=⎪⎪⎩⎭+-==-⎧⎫⎧⎫=-⇒⎨⎬⎨⎬+-==⎩⎭⎩⎭∴=--例题：若（），，，常规解法：设为法向量则有令则。
高考数学专题课：定比分点的向量模型秒杀
教师：李飞月 2019年 3月19日21：30-22：00
难度系数 ：⭐⭐ 高考分值：5分 考试频率：80%
2018年全国1卷理科数学第6题，文科数学第7题
1.向量的加减法和基底向量 2.三角形中线和中点
2018年全国1卷理科数学第6题，文科数学第7题
解 析
①由定比分点的黄金定律知道 AD=1/2AB+1/2AC
理科
可以直接利用秒杀法求解吗
除此之外，你还能怎 么办呢？
THANKS
3.定比分点向量的黄金定律与向量的加减法则提炼 后的推论
效率 ：60秒 准确率：100% 推荐度：⭐⭐⭐
A
B
C
2014年全国1卷数学高考卷理 科数学
第15题
①.如图，显然，ABCO四点构成 定比分点模型，且0为中点
②由题意，A、B、O三点共线 且AB为直径，O为中点
③直径AB所对的圆周角是90度
A
E
C
B
D
②因为E为中点，所以AE=1/2AD =1/4AB+1/4AC
③由加减法则知道EB=EA+AB =-1/4AB-1/4AC+AB =3/4AB-1/4AC
所以选A
1.定比分点向量黄金定律 =m +n ,且m+n=1, : =n:m
2.常见的模型有中点模型，三等分点模型，
提 角平分线模型 醒
高考数学秒杀干货盘点
高考数学秒杀干货内容盘点高考数学秒杀干货内容盘点板块一：函数板块秒杀干货1：已知函数奇偶性求解参数的值【策略】带一对数值秒解，比如为偶函数，则(1)(1)f f −=即可；甚至如果为奇函数，且0x =可取，则(0)0f =，计算更快。
【例题】若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.【解析】(0)0f =，则2a =秒杀干货2：“奇函数+常数”模型 【策略】()()2f f −+=常数【例题】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f −的值为（ ） 3.A0.B1.−C2.−D【解析】()()()02f a f a f a −+=⇒−=1【例题】设，已知，求的值____________ 【解析】(7)(7)5(7)272f f f −+=⇒=:秒杀干货3：函数周期性结论()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=−+=+=−+=−+=−−+=−⎧−⎨+=−⎩+=−⎧⎨⎩+=−−⎧−⎨+=−−⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=−−⎧⎨⎩+=−⎧−⎨+=−−⎩+=−⎧⎨⎩+=−−⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数注：记住结论，可以大幅度提高我们解题速度和准度，不用现场推算。
高考数学知识点复习：奔驰定理与向量四心
专题5奔驰定理与向量四心秒杀秘籍：第一讲奔驰定理与三角形四心重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，则△ABC 的重心坐标为),(y x G .注意：（1）在△ABC 中，若O 为重心，则0OA OB OC++=．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．定理：重心的向量表示：1133AG AB AC=+．定理：0B A C S OA S OB S OC（奔驰定理），则AOB 、AOC 、△BOC 的面积之比等于123:: 垂心定理：三角形三边上的高相交于一点．点O 是ABC 的垂心，则OA OB OB OC OC OA．角平分线定理：若OA a ，OB b ，则AOB 平分线上的向量OM 为(||||ab a b ， 由OM 决定外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；（1）212AO AB AB ，212AO AC AC ；212BO BC BC ；（2）221144AO AF AB AC ，221144BO BE AB BC ，221144CO CD BC AC ；（3）221122AO BC AC AB ，221122BO AC BC BA ，2211.22CO AB BC AC 重心定理证明：2211133233AG AD AB AC AB AC奔驰定理证明：如图，令112131,,OA OA OB OB OC OC ，即满足1110OA OB OC11121AOB A OB S S ，11131AOC A OC S S ，11231BOC B OC S S ，故321::::AOB AOC BOC S S S l l l =.垂心定理证明：()00OA OB OC OB OB OA OC OB CA ，即OB CA^，以此类推．角平分线定理证明：||a a 和||b b 分别为OA 和OB 方向上的单位向量，||||a b a b 是以||a a 和||bb 为一组邻边的平行四边形过O 点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故||||ab a b 在AOB 平分线上，但AOB 平分线上的向量OM 终点的位置由OM决定.当1 时，四边形OAMB 构成以 120AOB 的菱形．外心定理证明：如图，ABC △中，D 、E 、F 分别为AD 、AC 、BC 边中点，O 为ABC △外心，则AB OD ，AC OE ，BC OF ，AO AD DO AE EO ，221122AO AB AD DO AB AB DO AB AB ，同理可证：212AO AC AC ×= ，212BO BC BC ；22111111222244AO AF AO AB AC AO AB AO AC AB AC骣琪×=×+=×+×=+琪桫；同理221144BO BE AB BC ×=+；同理221144CO CD AC BC ×=+.【例1】在四边形ABCD 中，AB DC = =(1,0)，BA BC BDBA BC BD+=，则四边形ABCD 的面积是（）A ．32B ．3C ．34D ．32【解析】,||||1||||||BA BC BDBD ABC BD BA BA BC BD为的角平分线且，又因为 1,0AB DC ，故ABCD 是一个菱形，且120ABC Ð=°，故面积为131322S =创=，选A.【例2】已知点O 为ABC 内一点，且230OA OB OC，则AOB 、AOC 、BOC 的面积之比等于（）A ．9∶4∶1B ．1∶4∶9C ．3∶2∶1D ．1∶2∶3【解析】如图，令1123OB OB OC OC，即满足1110OA OB OC112AOB AOB S S ，113AOC AOC S S ，11123BOC B OC S S ，故111::::3:2:1.236AOB AOC BOC S S S 例2图例3图例4图【例3】已知G 为ABC 的重心，令AB a = ，AC b = ，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且AP ma =，AQ nb = ，则11m n+=．【解析】1133AG a b =+，AP AP ma a m，AQ AQ nb b n ；11;3333AP AQ AG a b m n =+=+令PG PQ l =，即()1AG AP AQ l l =-+，()1AG AP AQ l l =-+，故11111333m n m nl l -=Þ=Þ+=．【例4】在OAB 中，OA a = ，OB b = ，若2a b a b×=-=．（1）求22a b + 的值；（2）若()0a b a b a b 骣琪+×-=琪琪桫，3AB AM = ，2BA BN = ，求OM ON ×的值．【解析】（1）由于22222224428a b a b a ab b a b ab -=Þ-=-+=Þ+=+= ；（2）||||a b a b +表示AOB 的角平分线OD 的共线向量，a b -表示BA ，()0.||||a b a b a b骣琪+-=琪桫可知OAB 为等腰三角形，即a b ，2282a b a b a b OAB为等边三角形．1122ON a b ，1233OM b a ，22112111142432233326326ON OM a b a b a ab b．【例5】已知O 为ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO×的值（）A ．23B ．12C ．6D ．5【解析】22111152244AO AM AO AB AC AB AC骣琪×=×+=+=琪桫．【例6】设P 为锐角ABC 的外心（三角形外接圆圆心），AP k AB AC =+ （k ∈R ）．若cos ∠BAC =25，则k （）A ．514B ．214C ．57D ．37【解析】()()22221212252512122525AP AB AB k AB k AC AB k AB k AB AC k AB k AC AP AC AC k AB k AC AC k AC k AB AC k AC k AB 骣琪×==+×=+Þ-=琪桫骣琪×==+×=+Þ-=琪桫 üïïïýïïïþ；AB AC \= 故1252314k k k 骣琪-=Þ=琪桫，选A ．达标训练1．已知两个非零向量a ，b 满足||||b a b a ，则下面结论正确的是（）A ．b a ∥B ．b a C ．||||b a D ．ba b a 2．已知ABC △和点M 满足0MA MA MC ++= ．若存在实数m 使得AB AC mAM += 成立，则m =（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．OD AOB ．ODAO 2 C ．OD AO 3 D ．ODAO 24．已知非零向量AB 与AC 满足()0||||AB AC BC AB AC，且12||||AB AC AB AC +=，则ABC △为（）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形5．点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OD OC OA，则点O 是ABC △的（）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点6．点P 是ABC △所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P 是ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7．点O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC l =++，),0[ ，则P 的轨迹一定通过ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．设点O 在ABC △的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC △的面积与AOC △的面积的比为（）A ．2B ．32C ．3D ．539．已知P 为ABC 内部任一点（不包括边界），且满足0)()2)(( CA CB AB PC P A PB P A PB ，则ABC 一定为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC （）A ．8B ．8C ．4D ．4第10题第15题11．已知点G 是ABC △内一点，满足0GA GB GC ++= ，若3BAC ，1AB AC ，则||AG 的最小值是（）A 3B 2C 6D 612．边长为8的等边ABC △所在平面内一点O ，满足230OA OB OC --=，若19|| OP ，则||PA 的最大值为（）A ．63B ．219C ．319D ．41913．已知O 是ABC △的外心，4|| AB ，2|| AC ，则)(AC AB AO =（）A ．10B ．9C ．8D ．614．已知ABC △中， 45A ， 60B ，点H 是ABC △的垂心，存在实数s ，t ，使得AH s AB t AC =+，则s ，t 的值分别为（）A ．32 s ，33 t B ．32 s ，3 t C ．32 s ，33t D ．32 s ，32 t 15．如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M 、N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB =6，MN =4，则PM PN=（）A ．13B ．7C ．5D ．316．在ABC △中，AB =AC =5，BC =6，I 是ABC △的内心，若BI mBA nBC =+)(R n m ，（m ，n ∈R ），则nm=（）A ．43B ．65C ．2D ．1217．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（）A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC=-- C ．1233OA AB BC =--D ．2133OA AB BC=+ 18．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则16h +25k 的最小值（）A ．27B ．81C ．66D ．4119．已知ABC △为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AC AB AP ，则 2 的最大值为（）A ．12B ．331C ．52D ．23220．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若54OC OB OC =- ，则||||AB BC等于（）A ．1B ．2C ．3D ．421．ABC △所在平面上一点P 满足PA PB PC AB ++=，则P AB △的面积与ABC △的面积比为（）A ．3:2B ．3:1C ．4:1D ．6:122．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则k h 11 =（）A ．3B ．4C ．5D ．623．已知平面向量OA 、OB 、OC 满足：||||||1OA OB OC ===，12OA OB ．若OB y OC x OC ，)(R y x ，，则y x 的最大值是（）A ．1B ．33C ．2D ．23324．在ABC △中，点G 满足0GA GB GC ++= ．若存在点O ，使得16OG BC =，且OA mOB nOC =+ ，则n m =（）A ．2B ．2C ．1D ．125．已知O 为ABC △内一点，且有230OA OB OC ++=，记ABC △，BCO △，ACO △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则321S S S ：：等于（）A ．1:2:3B ．2:1:3C ．2:1:6D ．1:2:626．已知G 是ABC △的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且AM xAB =，AC y AN ，)0( y x ，，则y x 3的最小值是（）A ．83B ．72C ．52D ．4233327．已知P 为ABC △所在平面内一点，0AB PB PC ++= ，2|||||| AB PC PC ，则PBC △的面积等于（）A ．33B ．23C 3D ．4328．A ，B ，C ，D 在一个平面内，满足2DA DB DB DC DC DA ×=×=×=-.||||||DC DB DA ，动点P ，M满足PM MC = ，|PA|1=，则||MB 的最大值是（）A ．72B ．4C ．92D ．529．在ABC △中，O 为中线AM 上的一个动点，若4 AM ，则)(OC OB OA 的最小值是（）A ．4B ．8C ．10D ．1230．在ABC △中，1 AB ， 60ABC ，1AC AB ，若O 是ABC △的重心，则BO AC的值为（）A ．1B ．52C ．83D ．531．已知点P 在圆122x y 上，点A 的坐标为)0,2( ，O 为原点，则AO AP ×的最大值为．32．过点3,1(P 作圆122 x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PB P A =．33．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．34．在ABC △中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ×=．35．在四边形ABCD 中，AB DC = =（1，1），3||||||BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是．36．在ABC △中，M 是BC 的中点，120A ，12AB AC ，则线段AM 长的最小值为．。
数学秒杀型公式及方法
20XX高考复习数学秒杀型公式及方法20XX高考复习：数学秒杀型公式及方法1、适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2、函数的周期性问题(记忆三个)：（1）若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;（2）若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;（3）若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3、关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：（1）若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;（2）函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;（3）若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4、函数奇偶性：（1）对于属于R上的奇函数有f(0)=0;（2）对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项（3）奇偶性作用不大，一般用于选择填空5、数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6、数列的终极利器，特征根方程。
(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
高考数学爆强秒杀公式及方法（精华）
高考数学爆强秒杀公式与方法一1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A 为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x 为别离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2，函数的周期性问题(记忆三个)：1、假设f(x)=-f(x+k)，那么T=2k; 2、假设f(x)=m/(x+k)(m 不为0)，那么T=2k;3、假设f(x)=f(x+k)+f(x-k)，那么T=6k 。
注意点：a.周期函数，周期必无限 b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin 派x 相加不是周期函数。
3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1，假设在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3、假设f(a+x)+f(a-x)=2b ，那么f(x)图像关于(a ，b)中心对称4，函数奇偶性1、对于属于R 上的奇函数有f(0)=0;2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项3，奇偶性作用不大，一般用于选择填空5，数列爆强定律：1，等差数列中：S 奇=na 中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.*|*|*|*||欢.|迎.|下.|载.6，数列的终极利器，特征根方程。
(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n 为下角标)，a1，那么特征根x=q/(1-p)，那么数列通项公式为an=(a1-x)p 2(n-1)+x ，这是一阶特征根方程的运用。
2向量(课堂讲义和例题)秒杀高考数学教材
专题1 向量的基础知识（1）向量b 与非零向量．．．．a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a b λ=. （2）设a =()11,x y ，()22,b x y =，12210a b x y x y ⇔-=∥，a ⊥b 001221=+⇔=⋅⇔y y x x b a . （3）两个向量a ，b的夹角公式：cos q .【例1】（2015•四川）设向量(2,4)a =与向量(,6)b x =共线，则实数x =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【例2】（2015•河北）已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（ ） A ．(7,4)--B ．(7,4)C ．(1,4)--D ．(1,4)【例3】（2015•黑龙江）a =(1,1)-，b =(1,2)--，则（2a +b ）⋅a =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【例4】（2015•广东）在平面直角坐标系xoy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB =(1,2)-，AD =(2,1)则AD AC ×=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2,OB OA x y y --cos a b a b =⋅【例5】（2015•山东）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则BD CD ×=（ ）A ．223a -B ．243a -C ．243aD ．223a【例6】（2015•安徽）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1=bB ．b a ⊥C ．1=⋅b aD ．()→⊥+BC b a4【例7】已知向量a 和b 的夹角为120°，1a =，3b =，则 ． 【例8】（2015•重庆）若非零向量a ，b 满足22a b =，且()()32a b a b -^+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4πB ．2πC ．43π D ．π|5|a b -=秒杀秘籍：向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：2222)(b ab a b a +±=±；222b ab a b a +±=±；ac ab c b a +=+)(公式都可通用．异：整式：b a ab ±=，a 仅仅表示数；向量：)(cos 夹角与为b a b a b aθθ=⋅．22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+使用范围广泛，通常是求模或者夹角．m a n b ma nb m a n b -≤±≤+，通常是求ma nb ±最值的时候用．专题 2 共线之对面的女孩看过来【例1】在ABC ∆中，已知3BC BD =，则AD =（ ）A ．1(2)3AC AB + B ．1(2)3AB AC +C ．1(3)4AC AB +D ．1(2)4AC AB +【例2】已知OA a =，OB b =，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，则用a ，b 表示OD 的表达式为（ ）A ．1(45)9a b +B ．1(97)16a b + C ．1(2)3a b +D ．1(3)4a b +【例3】已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ）例3题图 例4题图 例5题图【例4】在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC mAE nAF =+，其中m ，n ∈R ，则m n += ．【例5】在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使|OM |：|OA |=1∶3，|ON |：|OB |=1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA a =，OB b =，用a ，b 表示向量OP ．秒杀秘籍：对面的女孩看过来平面上O ，A ，B 三点不共线，D 在直线AB 上，且AD AB λ=,令a OA =，b OB =，x OD =，则有(1)x b a λλ=+-其表达意思就是从一个顶点O 引出三个向量，且它们共线，每一个向量,a b 分别乘以它对面的比值，简称对面的女孩看过来。
人教A版高中数学选修2-1《3.2立体几何中的向量方法(二)》课件
知识点二 向量法判断线面垂直
思考
若直线 l 的方向向量为 μ1＝2，43，1，平面 α 的法向量为 μ2＝ 3，2，32，则直线 l 与平面 α 的位置关系是怎样的？如何用向量 法判断直线与平面的位置关系？ 答案
梳理
设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥μ⇔ a＝kμ(k∈R) .
思考
若直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝ (1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂 直的一般方法是什么？ 答案
梳理
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)， 则l⊥m⇔ a·b＝0 ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 .
跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝ 90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥ 平面ABC. 证明
当堂训练
1.下列命题中，正确命题的个数为 答案 解析
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β； ②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n1·n2＝0； ③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所 以a⊥b，故选B.
12345
3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则
A.l∥α
规律与方法
几何法
高考数学32条秒杀公式 数学暴强秒杀型推论
高考数学32条秒杀公式数学暴强秒杀型推论1、向量。
做向量运算时可以利用物理上矢量法的正交分解做，对解一些向量难题有好处。
2、四面体。
在三条棱两两垂直的四面体中，设三条棱长为abc底面的高为h，则有，1/h∧2＝1/a∧2+1/b∧2+1/c∧23、平面方程。
空间直角坐标系中的平面方程，先求平面的一个法向量n=（a，b，c）再取平面内任意一点A（e，f，g），则平面的方程为a（x-e）+b（y-f）+c（z-g）=0，化成一般式Ax+By+Cz+D=0，之后就可以解很多东西，比如求点M（o，p，q）到面距离，用公式d=丨Ao+Bp+Cq+D丨/√（A∧2+B∧2+C∧2）（类似点到直线距离公式）4、正弦、余弦的和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到5、函数的周期性问题(记忆三个)：1）若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;2）若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;3）若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
6，数列的终极利器，特征根方程。
(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
（完整版）高中数学秒杀型推论
（完整版）⾼中数学秒杀型推论⾼中数学秒杀型推论⼀．函数1. 抽象函数的周期（1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a（6）f(x)奇f(x+a)偶或f(x)偶f(x+a)奇 T=4a2．奇偶函数概念的推⼴及其周期：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为⼴义（Ⅰ）型偶函数，且当有两个相异实数a，b 同时满⾜时，f（x）为周期函数T=2|b-a|；定义在R上的函数f (x)满⾜f (a+x)=f (a-x)，且⽅程f (x)=0恰有2n个实根，则这2n 个实根的和为2na .（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是⼴义（Ⅰ）型奇函数，当有两个相异实数a，b同时满⾜时，f（x）为周期函数T=2|b-a|3.抽象函数的对称性（1）若f（x)满⾜f（a+x）+f（b-x）=c则函数关于（a+b 2，c2）成中⼼对称（充要）（2）若f （x ）满⾜f （a+x ）=f （b-x ）则函数关于直线x=a+b 2成轴对称（充要）4.洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)lim f (x )→0g(x)→0f(x)g(x)=f ′(x)g ′(x)lim f (x )→∞g(x)→∞f(x)g(x)=f ′(x)g ′(x)⼆、三⾓ 1.三⾓形恒等式（1） tan A2tan B2+tan B2tan C2+tan C2tan A2=1cotAcotB +cotBcotC +cotCcotA =1（2）正切定理&余切定理：在⾮Rt △中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cot A2+cot B2+cot C2=cot A 2cot B 2cot C2（3） sinA +sinB +sinC =4cos A 2cos B 2cos C2cosA +cosB +cosC =1+4sin A 2sin B 2sin C2（4）sin 2A +sin 2B +sin 2C =2+2cosAcosBcosC cos 2A +cos 2B +cos 2C =1?2cosAcosBcosC （5）∑sinAcosBcosC =cycsinAcosBcosC+sinBcosAcosC+sinCcosAcosB=sinAsinBsinC∑cosAsinBsinC=cyccosAsinBsinC+cosBsinAsinC+cosCsinAsinB=cosAcosBcosC?12．任意三⾓形射影定理（⼜称第⼀余弦定理）：在△ABC中a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA 3. 任意三⾓形内切圆半径r=2S a+b+c（S为⾯积），外接圆半径R=abc4S =a2sinA=b2sinB=c2sinC欧拉不等式：R>2r4．梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是CE EA ×AFFB×BDDC=15．塞⽡定理如下图，AD、BE、CF三线共点的充要条件是AF FB ×BDDC×CEEA=16. 斯特⽡尔特定理：如下图，设已知△ABC及其底边上B、C两点间的⼀点D，则有AB2×DC+AC2×BD-AD2×BC＝BC×DC×BD7、和差化积公式（只记忆第⼀条）sinα+sinβ=2sinα+βsinα-sinβ=2cosα+β2sinα?β2cosα+cosβ=2cosα+β2cosα?β2cosα-cosβ=-2sinα+β2sinα?β28、积化和差公式sinαsinβ=-cos(α+β)?cos(α?β)2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α?β)2sinαcosβ=sin(α+β)+sin(α?β)2cosαsinβ=29、万能公式10．三⾓混合不等式：若x∈（0，π2),sinx＜x＜tanx 当x→0时sinx≈x≈tanx11.海伦公式变式如下图，图中的圆为⼤三⾓形的内切圆，⼤三⾓形三边长分别为a.b.c，⼤三⾓形⾯积为S=√xyz（x+y+z)=14√（a+b+c)(a+b?c)(a+c?b)(b+c?a)12.双曲函数定义双曲正弦函数sinhx=e x?e?x2，双曲余弦函数coshx=e易知（1）奇偶性：sinhx为奇函数，coshx为偶函数（2）导函数：（sinhx）’=coshx，（coshx）’=sinhx （3）两⾓和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy （4）复数域：sinh（ix）=isin（x）；sin（ix）=isinh（x）；cosh（ix）=cos（x）；cos（ix）=cosh（x）.（5）定义域：x∈R（6）值域：sinhx∈R，coshx∈[1，+∞）（7）平⽅差：cosh2x-sinh2x=113.三⾓形三边a.b.c成等差数列，则tan A2tan C2=1314.三⾓形不等式（1）在锐⾓△中，sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosCtanA+tanB+tanC>cotA+cotB+cotC （2）三⾓形内⾓嵌⼊不等式（简称“嵌⼊不等式”）在△中，x2+y2+z2≥2yzcosA+2xzcosB+2zycosC （3）在△中，sinA>sinB?cos2A>cos2B15．ASA的⾯积公式：S=a2sinBsinC2sin （B+C）=b2sinAsinC2sin （A+C）=c2sinAsinB2sin （A+B）16．三⾓形四⼼：对于△ABC （1）重⼼G○1向量定义：GA +GB +GC =0○2向量性质：PG =13(PA +PB +PC),P 为任意⼀点○3⾯积性质：S △AGB =S △BGC =S △CGA =134定⽐分点性质：重⼼G 为中线的⼀个三等分点，即G 到顶点距离：G 到该顶点对边中点的距离=2：1（2）垂⼼H○1向量定义：HA ·HB =HB ·HC ????? =HC ????? ·HA ○2向量性质：tanAHA +tanBHB +tanCHC ????? =0○3⾯积性质：S ?BHC ：S ?AHC :S ?AHB =tanA ：tanB ：tanC（3）外⼼O○1向量定义：|OA |=|OB |=|OC |，即OA 2=OB 2=OC2 ○2向量性质：sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0○3⾯积性质：S ?BOC ：S ?AOC :S ?AOB =sin ∠BOC:sin ∠AOC:sin ∠AOB=sin2A ：sin2B ：sin2C（4）内⼼I对于⾮Rt ?ABC○1向量定义： IA ·(AB ? |AB ? |?AC ? |AC ? |)=IB ·(BA ? |BA ? |?BC ? |BC |)=IC ???? ·(CA |CA|?CB |CB |)○2向量性质：aIA +bIB +cIC =0sinAIA +sinBIB +sinCIC =0 向量λ(AB |AB |+AC|AC |)//AI，λ>0时同向，λ<0时反向○3⾯积性质：S ?BIC ：S ?AIC :S ?AIB =a ：b ：c PS ：涉及单位向量就很有可能涉及到内⼼（5）欧拉线定义：重⼼G.外⼼O.垂⼼H.九点圆N四点共线，该线称为欧拉线性质：GH:GO=2:1 三、复数 1．欧拉公式cos θ+isin θ=e i θ{sinx =e ix ?e ?ix2icosx =22．棣莫弗定理（cos θ+isin θ）n=cos(n θ)+isin(n θ) 3.复数模不等式（三⾓不等式） |z 1+z 2+∧+z n |≤|z 1|+|z 2|+∧+|z n |当且仅当所有复数幅⾓主值相等时等号成⽴ 4．|z 1?z 2|2+|z 1+z 2|2=2（|z 1|2+|z 2|2） 5. 复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)= (a-c)(b-d)四、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验⾸项） 1.A n+1=kA n +f(n) 两边同除以kn+1，构造数列｛Ankn ｝，通过累加法得出通项公式2. A n+1=kA n +C设⼀常数x ，A n+1-x=k （A n -x ） A n+1 =kA n +（1-k ）x 则（1-k ）x=C ，求出x=C 1?k，即为不动点，得到等⽐数列｛A n ?x ｝,公⽐为k 3．不动点法：形如A n+1=bA n +c dA n +e （d ≠0，当d=0时，则是第⼆种情况），设函数f(x)=bx+cdx+e，x=bx+c dx+e的根称为f(x)的不动点，（1）若函数f （x ）有2个不动点α，β则数列{A n ?αA n ?β}是⼀个等⽐数列，A ’n =A n ?αA n ?β=A 1?αA 1?β（b?αd b?βd )n?1，A n =βA n ′αA n ′?1（2）若函数f （x ）只有⼀个不动点α则数列{1A n ?α}是⼀个等差数列，A ’n =1A 1?α+（n ?1)d b?dα（3）若函数f （x ）没有不动点，则数列{A n }是周期数列，周期⾃⼰找4．特征⽅程法：形如A n+2=pA n+1+qA n 称为⼆阶递推数列，我们可以⽤它的特征⽅程x 2-px-q=0的根来求它的通项公式（1）若⽅程有两根x1，x2，则A n =µx 1n-1+λx 2n-1(µ, λ可根据题⽬确定) （2）若只有⼀个根x 0A n =(µ+λn)x 0n-1 (µ, λ可根据题⽬确定) 5．变系数⼀阶递推数列四、不等式 1.权⽅和不等式A m+1x m +B m+1ym +∧≥(A +B +∧)m+1(x +y +∧)m 当且仅当Ax =B y=∧时，等号成⽴2.黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数f(x) 当f(x)为减时，∫f(x)dx n+1 1≤∑f(x)n 1 当f(x)为增时，∫f(x)dx n+11≥∑f(x)n 13．琴⽣不等式函数的平均数与平均数的函数之间的关系当f(x)为凹函数，即f’’（x）>0时f(x1)+f(x2)+∧+f(x n）≥f(x1+x2+∧+x n）当f(x)为凸函数，即f’’（x）<0时f(x1)+f(x2)+∧+f(x n）≤f(x1+x2+∧+x n）当且仅当x1=x2=∧=x n时，等号成⽴4.卡尔松不等式[x11?x1mx n1?x nm]√∏∑x ijni=1mj=1m≥∑√∏x ijmj=1mni=15．排序不等式当且时，其中xσ表⽰x的任意⼀项以上可概括为顺序和≥乱序和≥倒序和5．切⽐雪夫总和不等式（排序不等式推出）当a n与b n逆序时当a n与b n顺序时不等式反向6．舒尔不等式（Schur不等式）x t（x-y）（x-z）+y t（y-x）（y-z）+z t（z-x）(z-y)≥0 当x=y=z时，等号成⽴配Schur法（Schur分拆法）三元齐三次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是{a=f(0,0,1)≥0b=f(0,1,1)≥0c=f(1,1,1)≥0因为f(x,y,z)=a∑x（x?y)(x?z)+b∑（y+z)（x?y)(x?z)+cxyz三元齐四次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是{a=f(0,0,1)≥0b=f(0,1,1)≥0c=f(1,1,1)≥0d=a+c?f（1，0，1）≥0因为f(x,y,z)=a∑x2(x?y)(x?z)+b∑x(y+z)(x?y)(x?z)+c∑yz(x?y)(x?z)+dxyz(x+y+z)三元齐五次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是{a=f(0,0,1)≥0b=f(1,i,0)2（1+i）≥0c=f(1,1,0)2≥0d=f(?1,i,1)i+8b+e?2a2≥0 e=f(1,1,1)≥0因为f(x,y,z)=a∑x3(x?y)(x?z)+b∑x2（y+z)(x?y)(x?z)+c∑yz(y+z)(x?y)(x?z)+dxyz∑(x?y)(x?z)+ exyz(xy+yz+zx) 7．常⽤对数不等式当x〉-1时，x1+x≤ln （x+1)≤xex1+x≤x+1≤e x当且仅当x=0时等号成⽴8.伯努利不等式当x≥-1，n≥0时或n为正偶数，x∈R时（1+x）n≥1+nx当n=0或1，或x=0时等号成⽴9．uvw法和pqr法（解决三元对称轮换式）uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式当a.b.c为⾮负实数时，⽤uvw法；当a,b,c∈R时，⽤pqr法10.SOS法（配⽅法）不解释11．拉格朗⽇乘数法（解决条件极值问题）已知f(x,y,z)=0，求F（x,y,z）的极值构造拉格朗⽇函数L=F（x,y,z）+λf(x,y,z)对F（x,y,z）分别关于x,y,z，λ求偏导，得到四元⽅程组，其中对F（x,y,z）关于λ求偏导所得⽅程即f(x,y,z)=0 解四元⽅程组所得解，即F（x,y,z）的极值点，从⽽算出极值。
高中数学向量秒杀第二辑
方法四：奔驰定理例 1(单选)已知点O是在△ABC内部一点，且满足201+30B+406=0,则△AOB,△BOC,△AOC的面积之比依次为()。
A.4:2:3B.2:3:4C.4:3:2D.3:4:5例2(单选)已知P是△ABC所在平面内一点，PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()。
A.B.C.D.例 3已知O为三角形ABC内一点，且满足0A+AOB+(λ- 1)OC=7若△0AB 的面积与△OAC的面积比值为,则λ的值为()A.B, 2CD.(单选)已知点P 是△ABC所在平面内一点，且满足 3PA+5PB+2PC=0,设△ABC 的面积为S,则 △PAB 的面积为()。
A. B...例5(单选)设M 是△ABC 所在平面上一点，且 27B+3MA+3MC=0,则△MAC 面积与△ADC面积的比值为()。
...D.(单选)在△ABC 所在的平面内有一点P,如果2PI+PC=AB - PB,那么△PBC 的面积与 △ABC 的面积之比是()。
A.B.C. D.C B A 例6D C(单选)已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为0,且3○X+40B+50℃=0,则△ABC的面积为()。
A.B.C.D.方法五：数形结合例8(单选)设|zl= |8J= | ā+1≠0,那么à-与方的夹角为()。
A.30°B.60°C.120°D.150°例9已知à,.6是单位向量，二.6=0.若向量乙满足E-à-引=1则己的最大值是例10已知二，石是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量己满足 ( 7 - z ) ( 下- z ) = 0 , 则 | | 最大值是(单选)设向量a , 6 , z满足| a l = | 6 | = 1 ,口 .÷- z与δ- z的夹角为60°,则乙的最大值等于()。
高考数学48条秒杀型公式与方法
高考数学48条秒杀型公式与方法1.适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2.函数的周期性问题(记忆三个)：(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4.函数奇偶性：(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空5.数列爆强定律：(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6.数列的终极利器，特征根方程。
(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。