应用倒数巧解题
用倒数法解题举例-
用倒数法解题举例有些分式题，如果直接求解，往往难以入手，若根据题目条件或欲求结论，将其倒过来求解，则可能立即奏效，化难为易。
以下举几例加以说明，以便大家在解题中参考。
一、在分式排序中倒过来例1. 已知a、b、c、d都是正实数，且abcd<，则Aba bdc d=+-+与0的大小关系是（）A. A＞0B. A≥0C. A＜0D. A≤0解：由abcd<，得abcd+<+11，即a bbc dd+<+又因为a、b、c、d为正实数，所以b a bdc dAba bdc d+>+=+-+>，0故选A。
例2. （2001“希望杯”初二培训题）由小到大排列下列各数：61110171219152320336091，，，，，是___________。
解：把以上各数倒立得：11617101912231533209160，，，，，通分后分别为：11060102609560926099609160，，，，，而91609260956099601026011060<<<<<，故60911523121920331017611>>>>>二、在分式求值中倒过来例3. （1988年广州五城市初中竞赛题） 设x x +=13，求x x x 2421++的值。
解：因为x x +=13，所以x x221927+=-= 对所求值式倒过来得：x x x x x 42222111718++=++=+= 所以x x x 242118++=例4. （1997年“希望杯”初二试题）已知a 、b 、c 为实数，且ab a b bc b c ca c a +=+=+=131415，，，那么abc ab bc ca ++的值是___________。
解：将三个条件等式取倒数是a b ab b c bc c a ca+=+=+=345，， 则113114115a b b c c a+=+=+=，， 三式相加，并整理得：1116a b c ++= 将所求式倒立得：abc ab bc ca c a b++=++=1116 所以ab bc ca abc ++=16三、在解分式方程（组）中倒过来例5. 求出方程组414414414222222x x y y yz z z x +=+=+=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪的所有实数解，并说明你的解答是正确的。
数学解题方法谈18：倒数法解题
数学解题方法谈18：倒数法解题■说明：这里的数学式不是用公式编辑器编辑的，而都是用EQ 码编打的，它可以变文字的颜色和调整文字的大小。
这些编辑法,你不仿下载试试，一些心得供参考。
■由于网络原因,先前发的已打不开,故修整后重发例1、已知a 、b 、c 为实数，且ab a ＋b =13, bc b ＋c =14, ca c ＋a =15 求abc ab ＋bc ＋ca的值（1997年第八届“希望杯”竞赛试题） 解：由题设知：a 、b 、c 均不为零，对已知条件取倒数得：1a ＋1b =3, 1b ＋1c =4, 1c ＋1a=4 ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c =12 1a ＋1b ＋1c =6 ab ＋bc ＋ca abc =1a ＋1b ＋1c =6 ∴abc ab ＋bc ＋ca =16例2、实数a 、b 、c 、d 满足：abcd a ＋b ＋c =1 abcd a ＋b ＋d =2 abcd a ＋c ＋d =3 abcd b ＋c ＋d=6 则abcd =解：由题设知：a 、b 、c 均不为零，对已知条件取倒数得：a ＋b ＋c abcd =1, a ＋b ＋d abcd =12, a ＋c ＋d abcd =13 ,b ＋c ＋d abcd =16……(1) 四式相加得：3(a ＋b ＋c ＋d)abcd =2 ∴a ＋b ＋c ＋d abcd =23分别减去倒数式(1)可得：a abcd =12 b abcd =13 c abcd =16 d abcd =－13四式相乘得：abcd (abcd)4=－1108(abcd)3=－108 ∴abcd=3－108=－334 例3、设x x 2－2x ＋1=1求x 3x 6－22x ＋1的值. 解：∵x ≠0∴x 2－2x ＋1x =1 ∴x ＋1x=2＋1∴原式=x 3＋1x 3－22=(x ＋1x )3－3(x ＋1x )－22=(2＋1)3－3(2＋1)―22=4 例4、设x x 2－mx ＋1=1求x 3x 6－m 3x 3＋1的值 解：由已知得：x 2－mx ＋1x =1则有x ＋1x=m ＋1 ∵x 6－m 3x 3＋1x 3=x 3－m 3＋1m 3=(x+1x )[(x ＋1x )2―3]－m 3 =(m ＋1)3－3(m ＋1)－m 3=3m 3－2 ∴原式=13m 2－2例10、已知：x 2x 2－2=11－3－2， 求⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x －11＋x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2－1＋x 的值 解：把已知式两边都取倒数得x 2－2x 2=1－3－ 2 即1－2x 2=1－3－ 2 ∴－2x 2=－(3＋2) ∴原式=2x 1－x 2·x 2－1x 3=－2x 2=－(3＋2)=－3－2 得x=32x=－52（舍去）。
小学数学六年级上册《倒数的认识》优质教案通用
1. 教学难点：倒数概念和性质理解，求倒数方法。
2. 教学重点：倒数实际应用，解决实际问题。
四、教具与学具准备
1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程
1. 实践情景引入
通过一个简单实际情景，引导学生思考：如果小明和小红同时从A地出发，相向而行，他们相遇时间与他们速度有什关系？
2. 新课导入
根据实践情景，引导学生探讨倒数定义和性质。
3. 例题讲解
讲解例题1：求下列各数倒数。
解题步骤：
（1）列出各数；
（2）求出各数倒数；
（3）解释倒数作用。
4. 随堂练习
让学生完成练习册上第1、2题，巩固求倒数方法。
5ห้องสมุดไป่ตู้ 小组讨论
（1）倒数性质有哪些？
（2）如何求一个数倒数？
七、作业设计
1. 作业题目：
所以，他们相遇时间是12/7小时。
八、课后反思及拓展延伸
1. 课后反思
通过本节课学习，学生对倒数认识有更深入解，能熟练掌握求倒数方法。
2. 拓展延伸
（1）让学生思考：倒数概念在日常生活中有哪些应用？
（2）探讨分数、小数倒数如何求？
（3）研究负数倒数是否存在，若存在，如何求？
重点和难点解析
一、教学难点与重点把握
二、实践情景引入深度与广度
实践情景引入对于激发学生学习兴趣至关重要。我会精心设计情景，使之既有趣又具有启发性。例如，我会创设一个关于两个人在不同速度下相向而行情景，引导学生思考速度与相遇时间关系，从而引出倒数概念。我会确保情景内容与学生生活经验紧密相关，以提高他们参与度和思考广度。
三、例题讲解步骤与方法
基本不等式 —“倒数形式”的应用精炼
基本不等式典型习题“e bx c ax y ++=”的应用精炼 一、母版题（1）已知x 为正实数，求x1x +的最小值. 解题思路：该类型题主要借助于基本不等式的一正二定三相等，比较好理解，但是由它延伸出来的求函数范围及其值域问题就稍显复杂一点，主要就是与对勾函数的平移变化及其次数函数相结合，从而转化为“e bxc ax y ++=”的形式求解最值和函数范围问题。
以该题为例，讲解下具体的书写过程，下面题目只讲述下解题思路。
解析：∵x 为正实数∴x ＞0，x 1＞0（使用基本不等式需强调同是正数才可以使用） ∴x 1x +≥x x 12⋅=2（x 和x1积为定值，故可以使用基本不等式） 当且仅当x=x1时，即x=1时，不等式取‘=’ 即当x=1时，x 1x +取得最小值为2.二、子版题（母版题＋数字变化）（1）已知x 为正实数，求x32x +的最小值. 解题思路：系数的变化不会影响解题方法的变化，比照母版解题过程解决。
（2）已知x 为正实数，求已知x 为正实数，求x3x 32+的最小值. 解题思路：系数的变化不会影响解题方法的变化，比照母版解题过程解决（3）已知x 为正实数，求1x3x ++的最小值. 解题思路：系数的变化不会影响解题方法的变化，比照母版解题过程解决，利用母版题解题思路先计算x 3x +的范围，进而再去求出来1x3x ++的范围。
（4）已知x ＞-1，求1x 3x ++的最小值. 解题思路：整体化思路，这样构造过程就会相对比较方便了。
1x 3x ++可以转化为1-1x 31x +++）（，只需要把x+1当做为一个整体，就相当于（3）的解决方法了。
类型题练习（1）已知x 为正实数，求x43x +的最小值. （2）已知x 为正实数，求x3x 21+的最小值. （3）已知x 为正实数，求21-x 1x +的最小值. （4）已知x 为正实数，求7x 34x ++的最小值. （5）已知x 为正实数，求1x 82x ++的最小值. （6）已知x 为正实数，求32x 82x +++的最小值.三、变形题（母版题+数字变化+形式变化） （1）已知x 为正实数，求x1x 2+的最小值.解题思路：该类型题一次二次 题目，主要就是分离过程相对难一点，具体思路为x1x 2+可以化解成x 1x x 2+，从而化解为x1x +，参照母版去求解范围即可 （2）已知x ＞-1，求1x 5x 4x 2+++的最小值. 解题思路：该类型题一次二次 题目，主要就是分离过程相对难一点，下面我们就将分子的凑配过程来仔细说下，有两种分离法：方法一：1x 5x 4x 2+++=1x 21)x (31)x x +++++（=1x 23x +++=21x 21x ++++）（ 方法：1x 5x 4x 2+++=1x 21)x (21x 2+++++）（=21x 21x ++++）（ 殊途同归，都是为了构造出来1x 21x +++这样积为定值的情况，从而求解最小值 （3）已知x ＞21-，求12x 5x 4x 2+++的最小值. 解题思路：该类型题一次二次 题目，参照上一题我们用第一种方法进行配凑分子可以凑配出以下结果：4131x 2471x 2x 215x 4x 2++++⋅=++）（）（，从而进行分离即可。
分数除法、量率对应、六大类分数除法应用题解题技巧
分数除法、量率对应、六大类分数除法应用题解题技巧一、倒数。
（1）、倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数。
一定是乘积是1，和是1的不算；一定是两个数，3个数相乘的乘积是1的不算；互为倒数，也就是互相依存，不能单独存在，要说明谁是谁的倒数；若M和N互为倒数，可推出MN=1；若MN=1，可推出M和N互为倒数。
【例：若a和b互为倒数，那么2016+3ab=2016+3×1=2019】（2）、求倒数的方法：求分数的倒数：交换分子和分母的位置。
求整数的倒数：把整数看做分母是1 的分数，再交换分子和分母的位置。
求带分数的倒数：先把带分数化为假分数，再交换分子和分母的位置。
求小数的倒数：先把小数化为分数，再交换分子和分母的位置。
例：如果a是一个自然数，那么a的倒数是1/a。
（错误，当a=0的时候无倒数，所以a≠0）（3）、倒数中的特殊情况：1 的倒数是1（因为1×1=1）；0 没有倒数（0乘任何数都0，分母不能为0）。
（4）、真分数的倒数大于1（大于它本身）；假分数的倒数小于或等于1（小于或等于它本身）；带分数的倒数小于1（小于它本身）。
或者：真分数的倒数一定是假分数；假分数的倒数可以是真分数，也可以是等于1的假分数；带分数的倒数一定是真分数。
二、分数除法的计算。
（1）、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
乘法：因数×因数= 积；除法：积÷一个因数= 另一个因数（2）、分数除法的计算法则：除以一个不为0 的数，等于乘以这个数的倒数，再用分数乘法的计算法则计算。
被除数÷除数= 被除数×除数的倒数。
被除数一定不能变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。
分数除法计算中出现小数、带分数时，要先化成分数、假分数再计算。
分数乘法和分数除法的计算结果都要保留最简分数。
分数除以整数分数除以分数（3）、商的变化规律（分数除法中比较大小时）：当除数大于1，商小于被除数。
中考数学复习微专题：例谈利用倒数法解题
例谈利用倒数法解题在解代数题时，有的问题直接求解非常困难，但根据题目的条件结构特征，可把相关式子“倒”过来，求其倒数，往往能够化繁为简、化难为易，此法称之为倒数法.现举例分享.一、有理数的运算例1 计算1111()361249÷-+ 解1111111()()361249361249-+÷=-+⨯ 11136363639421249=⨯-⨯+⨯=-+=- 11111()3612492∴÷-+=- 评析本题往往出现一种错误解法:11111111111111()3612493612361236939436÷-+=÷-÷+÷=-+=-此法实际上是误认为除法也有分配律，显然错误.而本题若直接计算，则需要将括号内先通分、再计算，比较繁琐.二、求代数式的值例2 若13x x +=，求2421x x x ++的值. 解13x x+= 221()3x x∴+= 即2217x x +=42222111718x x x x x ++∴=++=+= 242118x x x ∴=++评析 本题若直接求出x 的值，再由求根公式，得32x ±=，此时计算量较大.通过观察，可将式子“倒”过来，然后再求221x x+的值，则只需要将已知条件等价变形就可以了.此题的解法实际上也体现了转化与化归及整体思想的运用.三、比较大小例3.解1 75==-2==而22><评析数的大小比较方法一般有:作差法、作商法、平方法等等，但都对此题不太适合.现将所求式子“倒”过来，式子结构看似复杂了，但是进一步进行分母有理化，可直接比较(a、b、c、d为正数且a b c d-=-)，都可使用倒数法比较大小.4. 解方程组例4 解方程组:22121yzy xxyzyz xz xyxyzyz xz xy⎧=⎪+⎪⎪=⎨-+⎪⎪=⎪++⎩解对三个方程分别取倒数，得121221111111z yx y zx y z⎧+=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪++=⎪⎩令1ax=，1by=，1cz=方程组可化为122211c ba b ca b c⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪++=⎪⎩解得11212 abc⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以，原方程组的解是122 xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩评析通过倒数法将原方程组进行简化(主要是对式子的分子与分母进行“降次”)，然后利用换元法，将分式方程组转化为熟悉的整式方程组(三元一次方程组)，顺利求解.。
七年级上册数学倒数知识点
七年级上册数学倒数知识点本文主要介绍七年级上册数学的倒数知识点，希望对同学们加深理解和掌握倒数的概念和运算方法有所帮助。
一、倒数的概念倒数就是一个数的倒数等于1与这个数的乘积为1的数。
例如，3的倒数为1/3，7的倒数为1/7等。
二、倒数的运算1.数的倒数相加减两个数的和的倒数等于两个数的倒数之和。
例如：1/2 + 1/3 = （3+2）/6=5/6，则（1/2 + 1/3）的倒数为6/5。
两个数的差的倒数等于两个数的倒数之差。
例如：1/2 - 1/3 = （3-2）/6=1/6，则（1/2 - 1/3）的倒数为6/1。
2.数的倒数相乘除两个数的积的倒数等于两个数的倒数之积。
例如：1/2 × 1/3 = 1/6，则（1/2 × 1/3）的倒数为6。
一个数的倒数除以另一个数的倒数，等于这两个数的和的倒数。
例如：（1/2）÷（1/3）= 3/2，则（1/2）和（1/3）的倒数之和为2/3，故（1/2）÷（1/3）的倒数为3/2。
三、常用倒数的操作1.分数的倒数一个分数的倒数等于分子与分母交换位置后所得分数。
例如：5/7的倒数为 7/5。
2.小数的倒数把小数转化为分数后，求出倒数，再把倒数转化为小数。
例如：0.6的倒数为1/0.6 = 10/6 = 1.6666… ≈ 1.67。
3.百分数的倒数将百分数转化为小数后再求倒数，再将倒数转化为百分数。
例如：20%的倒数为5，因为20%等于0.2，而0.2的倒数为5，所以20%的倒数为5%.四、倒数的应用1.倒数可以用来表示比例中的分母。
例如：20%表示折扣时，即打8折，也可以看作原价的倒数为5，打的折扣数为10-5=5，故为20%折扣。
2.倒数可以用来求解速度、时间等概念的运算问题。
例如：小明每小时走5/4千米的速度走了16千米，需要多长时间？由速度公式可得，时间等于路程除以速度，即时间=16÷(5/4)=16×4/5=12.8，所以小明走了12.8小时。
六年级倒数的认识知识点
六年级倒数的认识知识点认识数字是我们在六年级学习数学的重要内容之一。
学好这一知识点，对我们进一步深入理解数学概念和解题方法具有重要的意义。
本文将从不同角度介绍六年级倒数的认识知识点。
一、六年级倒数的概念倒数是指一个数与1之间的数的差。
例如，1的倒数是1，2的倒数是1/2，3的倒数是1/3，以此类推。
倒数是数学中的一个重要概念，它能帮助我们计算分数、求解方程等。
二、倒数的运算规律1. 任何数的倒数乘以该数等于1。
即，若a ≠ 0，则1/a ×a = 1。
2. 两个数的倒数相乘等于它们的乘积的倒数。
即，若a ≠ 0，b≠ 0，则(1/a) × (1/b) = 1/ab。
3. 如果一个数的倒数是正数，那么此数一定是正数。
如果一个数的倒数是负数，那么此数一定是负数。
例如，-3的倒数是-1/3。
三、倒数的应用1. 计算带分数的分数：将带分数改写为假分数，然后再求倒数。
例如，计算5 1/3的倒数，可以先将它转化为16/3，再求倒数，即1 / (16/3) = 3/16。
2. 计算连乘的倒数：如果要计算一个数与其后面n个数的连乘的倒数，可以先将这n个数求倒数，再求它们的连乘的倒数。
例如，计算2 × 3 × 4 × 5的倒数，可以先将2、3、4、5依次求倒数，得到1/2、1/3、1/4、1/5，然后再将它们连乘的倒数，即(1/2) ×(1/3) × (1/4) × (1/5) = 1/(2 × 3 × 4 × 5)。
3. 解方程：当解方程时有倒数的问题出现时，我们可以利用倒数的运算规律简化计算。
例如，对于方程1/x + 1/(x-2) = 1/3，我们可以令x-2 = a，然后将方程转化为1/(a+2) + 1/a = 1/3，再求解得到a = 6，进而得到x = 8。
四、倒数的扩展知识倒数不仅限于正整数，我们还可以求分数、小数的倒数。
六年级数学上册人教版《倒数的认识》教学设计
2.学生在心理发展上，好奇心强，对新知识充满兴趣，但注意力容易分散，需要在教学中激发和保持学生的学习兴趣。
3.学生在思维方式上，具有较强的直观思维能力，但抽象思维能力尚在发展中，因此在教学中需结合具体实例，帮助学生理解倒数概念。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学设计：以生活中的实例导入倒数概念，激发学生的好奇心和求知欲。
-通过提问方式引导学生思考：“在生活中，你们有没有遇到过两个数相乘等于1的情况？”
-引入例子，如：走一段路程，如果以2公里/小时的速度，需要0.5小时；如果以4公里/小时的速度，需要0.25小时。这两种情况下，路程是相同的，速度和时间之间有什么关系？
4.学生在合作交流上，具备一定的团队协作能力，但个体差异较大，需要在小组合作中关注每个学生的学习需求。
针对以上学情，本章节教学应注重激发学生的兴趣，通过生动形象的教学方法，帮助学生构建倒数概念，并在此基础上，培养学生的抽象思维能力和团队协作能力。同时，关注学生的个体差异，为每个学生提供合适的学习支持，使他们在轻松愉快的氛围中掌握倒数知识。
-教师通过举例，展示不同的解题方法，引导学生思考。
-学生在解决问题时，尝试运用不同的方法，培养灵活思维。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，增强自信心。
-通过有趣的数学活动，激发学生对倒数的兴趣。
-学生在解决倒数问题的过程中，感受到成功的喜悦，增强自信心。
2.培养学生的团队合作意识，学会倾听、尊重他人。
-学生能够运用倒数知识，简化分数表达。
-学生能够运用倒数知识，解决涉及比例的实际问题。
3.能够理解并运用乘积为1的两个数互为倒数的性质，进行相关计算。
高中数学不等式解题技巧
不等式解题漫谈一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1b等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。
如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1x)>1.分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a,1x 同号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0<a<1时，原不等式等价于 0<1- 1x <a,∴1-a<1x <1, ∵0<a<1，∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1<x<11-a;综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0<a<1时，x ∈(1,11-a).注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。
二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。
这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。
当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线；当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。
如：若1<1a <1b,则下列结论中不正确的是（ ）A 、log a b>log b aB 、| log a b+log b a|>2C 、(log b a)2<1D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a|分析：由已知，得0<b<a<1,∴a,b 同号，故|log a b|+|log b a|=|log a b+log b a|，∴D 错。
《倒数》(教案)2023-2024学年数学五年级下册
《倒数》（教案）20232024学年数学五年级下册一、教学内容今天我要为大家教授的是五年级下册数学教材中的《倒数》一章。
在这一章节中，学生们将学习倒数的定义，掌握求一个数的倒数的方法，以及理解倒数在实际生活中的应用。
二、教学目标1. 理解倒数的含义，掌握求一个数的倒数的方法。
2. 能够运用倒数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的团队合作精神，提高学生的口头表达能力。
三、教学难点与重点本节课的重点是让学生掌握求一个数的倒数的方法，难点是理解倒数在实际生活中的应用。
四、教具与学具准备1. PPT课件，内容包括倒数的定义、求倒数的方法以及倒数在实际生活中的应用。
2. 倒数的练习题，用于随堂练习。
3. 倒数的小故事，用于引发学生的兴趣。
五、教学过程1. 实践情景引入：我会给学生讲一个小故事，故事中会出现倒数的概念，让学生对倒数产生兴趣。
2. 知识讲解：通过PPT课件，我會为学生详细讲解倒数的定义，以及如何求一个数的倒数。
3. 例题讲解：我会用PPT课件展示一些例题，让学生跟随我的讲解步骤，一起求解这些例题的倒数。
4. 随堂练习：我会分发练习题给学生，让学生独立完成，然后我会挑选一些学生的作业进行讲解和点评。
5. 小组讨论：我会让学生分组讨论，每组选出一个实际问题，运用倒数的方法解决，并派代表进行汇报。
六、板书设计板书设计如下：倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数。
求倒数的方法：一个数的倒数就是1除以这个数。
七、作业设计作业题目：1. 求下列各数的倒数：2，3，4，5。
2. 找一组互为倒数的数：答案：1. 2的倒数是0.5，3的倒数是0.333，4的倒数是0.25，5的倒数是0.2。
2. 例如：2和1/2，3和1/3。
八、课后反思及拓展延伸课后反思：在本节课中，学生们对倒数的定义和求倒数的方法掌握得较好，但在解决实际问题时，部分学生还存在一定的困难。
在今后的教学中，我将继续通过举例和练习，帮助学生更好地理解和运用倒数。
一年级数学倒数练习题
一年级数学倒数练习题在一年级的数学学习中，倒数是非常重要的一个概念。
倒数是指一个数与1的商的结果，即倒数是原数的倒数。
通过倒数，我们可以更好地理解数的大小关系和运算法则。
在本文中，我们将介绍一些一年级数学倒数的练习题，帮助孩子们巩固和加深对倒数的理解和运用。
1. 倒数的基础运算第一组练习题是倒数的基础运算。
请你完成以下计算题：1) 5的倒数是多少？2) 2的倒数是多少？3) 10的倒数是多少？通过计算，我们可以得出答案：1) 1/5；2) 1/2；3) 1/10。
这些答案告诉我们，倒数越大，数值越小。
倒数是原数的倒数，所以倒数始终小于1。
2. 倒数的应用第二组练习题是倒数的应用。
请你根据题意完成以下计算题：1) 小明走了1/4的路程，剩下的路程还有多少？2) 小红喝掉了2/5杯水，剩下的水还有多少？3) 爸爸分给小明1/3块蛋糕，剩下的蛋糕还有多少？这些计算题可以帮助孩子们学会运用倒数解决实际问题。
通过计算，我们可以得出答案：1) 3/4；2) 3/5；3) 2/3。
这些答案告诉我们，倒数也可以表示剩余的部分。
3. 倒数的运算法则第三组练习题是倒数的运算法则。
请你根据题意完成以下计算题：1) 1/2 + 1/3 = ?2) 1/4 - 1/5 = ?3) 3 * 1/6 = ?通过运算，我们可以得出答案：1) 5/6；2) 1/20；3) 1/2。
这些答案告诉我们，倒数也可以进行加减乘除运算。
4. 倒数的应用拓展第四组练习题是倒数的应用拓展。
请你根据题意完成以下计算题：1) 120米的绳子剪成了1/4，剪下来的绳子有多长？2) 汽车行驶了1/5小时，这段时间内汽车行驶的距离是多少？3) 一箱子有450个苹果，小明拿走了1/3，剩下的苹果还有多少？通过计算，我们可以得出答案：1) 30米；2) 距离 = 速度 ×时间，所以需要知道速度才能计算；3) 300个。
这些答案告诉我们，倒数也可以用来解决与长度、时间、数量相关的问题。
【doc】“倒数变换”在解题中的妙用
“倒数变换”在解题中的妙用中学数学研究2000年第7期5]上无解?解:(1)由q:2得f(z):z+pz+2,...(z)<2~:0x+px+2<2目z(z+P)<0,因其解集A要满足(0,2)CAc(0,10),...2<一P<10,...一10<p<一2.(2)欲使If(x)I>2在区间[1,5]上无解.即要使If(z)I≤2在[1,5]上恒成立,故只需lf(x)l～=2即可....If(z)I～=仇仳{If(1)I,If(5)l,If(一鲁)Il,fIf(1)I≤2,..只If(5)I≤2,II厂(一号)I≤2,f一2≤l+P+q≤2……①一2≤25+5p+q≤2…-.②l一2≤一4+q≤2……③da03,②消去q得:一4≤1+P+≤4,解得:一6≤p≤2.由②,③消去q得:一4≤+25+5p+.^≤4.解得:一l4≤p≤一6,...P=一6.~p=-6代回①,②,③得{;三;..'.q=7.所以存在实数对(P,q)(P=一6,q=7),使I厂(z)I>2在[1,5]上无解.毒痔辩寤肆弗肆崭薜寤冀寤肆弗肆弗*寤肆牵肆弗辩弗冀守辩弗辩弗冀每冀枣冀寄麓守辩晦肆辩寄肆痔善意冀移冀莽翁笳莽翁葬拳嚣孬冀癸#嚣笮嚣牟碲箕嚣莽转#冀冀蓑封i嚣第嚣莽翁存每翁搏冀苫莽嚣彝#葛#謦翁靠#翁尊冀嚣存冀务冀湖南省郴州市三中欧小平(423000)某些数学问题,尤其是含有分式,根式的问题,当直接求解较为繁琐,困难时,可根据其题设,结论的特征,对题中的变量或关系式施行"倒数变换",这样往往会使原命题等价化归为一个较易或较熟悉的命题,从而使原命题得以轻松获解.本文就"倒数变换"在解题中的"妙用"举例作以下说明.一,在解方程组中的"妙用"陵=z,例1解方程3,I监±型±兰±一【Y+z+3分析:若按常规方法求解,则较难,观察方程组中每个方程的分子与分母的特征,可将原方程组化为:兰(±2一,)【兰±2—+(3,+1)一'z+(z+2)一J'24?f±)(兰±)一d(3,+1)+(+2)一叶'+=,+:{,南+f4xl—1+4—x2Y.{4y42:,I42【—1+4—z2～舯黼舯瓣糊瓣舯一一中学数学研究2000年第7期力.'.xyzV:o,对每个方程的两边施行"倒数变换",则可得:击十一=,寿+-={,+-=.把这三个方程的两边同时相加并整理可得,(1一1+1)+(412一1+1)+(1一{+1)_0'即(一1)+(一1)+(一1)=0...===吉为原方程组的非零解.二,在求数列的通项公式中的"妙用"例3设,()7X,0<z<1,若口1=f(x),a2=f(口1),……,口=f(口一1), 分析:显然>0'I~]art--,'川2暨专,两边施行"倒数变换"得,:士一1'...一士:一1,.?.数列口一口一1'口口一1一'一姒刈{麦}是以为首项,一1为公差的等差数列,.?.1:L≠一(一1):≠,口z'z''口>卜船>口丽X?例4已知数列{a)满足a1=a(a>0 且口≠1),当≥2[F~,an--,求口=7.分析:当>2时,对递推式n=上的两边实行"倒数变换"可得11-a一111+一1,?'一112一2.n"2n一1.'～n"2n,I—l'..【L:'...数列{1—1}是以2一上一1一.姒口H疋(一1)为首项,丢为公比的等比数列, .一1—1:(一1).()..2_.口一1+(2～一1)口'注:以上两例虽可用常规方法求解,但求解过程都很繁难.三,在不等式证明中的"妙用"例5设a,b,c∈R,求证:(口6+幻+ca)>3abc(a十b+c).分析:此不等式若用常规方法去证,则运算量较大.若对变量a,b,c施行"倒数变换",则更简捷.令口:1,b:1,c:,则原不等式的左边:,右边:z￡二_,即需证不等式:(口,+口b2C'2'".uL寸:,". b+c)≥3(口,6+6,c+c)成立,这是一道熟悉的不等式,可用综合法证之.(从略)例6设a,b,c∈R,且abc=1,求证:b+bl_-t-+-t-b≥2.口(+c)'(c口)'c(口),/.分析:这是一道IMO试题,其证法较多.若对变量a,b,c施行"倒数变换",则较易.令口=,6=,c=1,则口c=1,.原不等式的左边=+2一十南,..濡证为+十南≥-5-~E,-L,这是一道易证的不等式,事实上由柯西不等式可得,+72_十≥(堡:±:±:2一堡:±垒:±￡:,>迢一2(cz-t-b-t-c)22号,.?.原不等式得证.四,在求函数最值中的"妙用"例7设∈N,>/2,X>七>0,求函数的最小值?分析:显然.,r>0,对函数解析式的两边施行"倒数变换"得,,.?.=【_2S?中学数学研究2000年第7期了x-k=÷…(1一)=l(iE?一…)(一n-1),.,,忌{+{+…"+{+一...[上——L上]=(n珊-1)",..≥"(),当且仅当=旦:一旦时取等号..?.当=时="()一.例8求函数=一3一~/—xZ-6—x+8的最大值.分析.南2—6十8>/0.可知此函数的定义域为:{l≤2或3:>f--4},显然y:fiO,对1函数解析式的两边施行"倒数变换"得:÷=-y————__==:=,'.'函数Yl=一3与,_—————————一,'MI一0一3+,/2x'一6x+8函数Y2=~/一6+8当>14时,同为的增函数,.'.当=4时,()TIli=1,.'.,-,=1.例7,例8都是通过"倒数变换"而寻找到解题的突破口.以上各例充分说明:"倒数变换"对解题过程的确定具有化繁为简,化难为易之功效,此法运用范围虽较窄,但就丰富解题技巧,优化思维品质而言,它不失为是一种好方法.i蕊;荔l蔷毯l;jl;:;jj≧j}西.蔷j善j.j:l善蔷现jll;:蔷j否|}《釜甄莓爸盼j毫飘董冀甄冀羹叠'飘jt≦冀誓毒蔑蔓冀麓蔓冀誓錾蔑冀Et奠毫: ;豢i娄豢豢簧截妻线囊妻的羞喜妻蠹萋闻羹薹豢豢豢羹甚甄翳奠巍誓奠冀专0≤曩j奠:叠':!曩:奠善蔓蠢:j黑蠢奠蔓毫:j鞲莓黧誓瓢善奠0:0:口i:略拳i出j:靠}:舀j:口j.?0.|:春0j0ij.|:'j.曩j.|..?;...奢矗:;口:-j..0.ji:口口矗j:口山东莘县实验中学(252400)桂淑英关于圆锥曲线弦的中点同题,是解析几何中的重要内容,许多文章中已有论述,本文只就直线被双曲线截得的弦的中点问题作一简单总结.定理:设M(.,)是双曲线丢一菩=1的弦AB的中点,则直线AB的斜率为忌= .b.....2....x.——o^●n'Y o证明:设A(l,Y1),B(x2,Y2),贝4l+x2=2xo,Yl+Y2=2yo,且:季一豢一…㈩紊一y2:1 (2)(1)一(2)得垂2一:0.口b2一'26?i~k=一Yl-Y2Y1Y2:Y o.l—z2n.【十n.(当Y o=0时,k不存在)同理,若M(xo,Y o)是双曲线一1的弦AB的中点,则直线AB的斜率为:k a2xO—b2yO利用此定理解决与双曲线弦的中点有关的问题十分简明.一,中点弦所在直线的方程例1过点B(1,1)能否作直线f与双曲线2一等=1相交于两点Ql,Q2,使B是线段QlQ2的中点?若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在说明理由.解:假设存在这样的直线l,则是=誊=2,此时直线方程为:Y一1。
50道除法倒数题
50道除法倒数题【实用版】目录一、50道除法倒数题1.介绍50道除法倒数题的背景和目的。
2.详细介绍每道题的运算方法和答案。
3.分析50道除法倒数题的结果和意义。
二、运算方法和答案1.题目1：47÷7= 6 (3)解题方法：除法运算，答案为6余3。
答案：47÷7= 6 (3)2.题目2：38÷6= 6 (2)解题方法：除法运算，答案为6余2。
答案：38÷6= 6 (2)3.题目3：54÷9= 6解题方法：除法运算，答案为6。
答案：54÷9= 6正文50道除法倒数题是一道有趣的数学题，通过50道除法倒数题的运算，可以锻炼人们的思维能力。
每道题的运算方法和答案都是非常简单的，但是要想得出正确的答案，就需要一定的思维能力。
通过完成这道题，可以让我们更加深入地了解除法运算的原理和方法，同时也可以提高我们的思维能力和数学素养。
在50道除法倒数题中，每道题的运算方法和答案都是非常简单的，只需要进行除法运算即可得出答案。
但是，要想得出正确的答案，就需要我们进行深入的思考和分析。
例如，题目1：47÷7= 6…3，我们需要进行除法运算，得出商为6余3的答案。
但是，我们还需要思考这个余数3的含义和作用，以及这个余数是否会影响整个运算结果。
同样地，在题目2和题目3中，我们也需要进行深入的思考和分析，才能得出正确的答案。
通过完成50道除法倒数题，我们可以更加深入地了解除法运算的原理和方法，同时也可以提高我们的思维能力和数学素养。
这道题不仅可以锻炼我们的思维能力，还可以让我们更加深入地了解数学知识的应用和价值。
倒数的考试题目及答案
倒数的考试题目及答案在数学学习中，倒数是一个重要的概念，它指的是一个数与1的商。
例如，2的倒数是1/2。
以下是一份关于倒数的考试题目及答案，旨在帮助学生更好地理解和掌握倒数的概念和计算方法。
题目一：定义理解题请解释什么是倒数，并给出一个具体的例子。
答案一：倒数是指一个数与1的商。
例如，如果一个数是3，那么它的倒数就是1/3。
题目二：计算题计算下列各数的倒数：1. 52. 0.253. -4答案二：1. 5的倒数是1/5。
2. 0.25的倒数是1/0.25，等于4。
3. -4的倒数是-1/4。
题目三：应用题如果一个班级有40名学生，每名学生的数学成绩是其倒数的10倍，那么班级平均成绩是多少？答案三：首先，计算每名学生的数学成绩。
由于每名学生的数学成绩是其倒数的10倍，我们可以假设每名学生的数学成绩是10倍的1/40，即10/40。
班级平均成绩是所有学生成绩的总和除以学生人数，即(10/40) * 40 = 10。
题目四：选择题下列哪个数的倒数是-3？A. -1/3B. -3C. 1/3D. 3答案四：B. -3的倒数是-1/3，但题目要求的是-3，所以正确答案是B。
题目五：填空题如果一个数的倒数是1/7，那么这个数是______。
答案五：这个数是7。
题目六：简答题为什么0没有倒数？答案六：0没有倒数，因为任何数除以0都是未定义的，没有结果。
在数学中，除以0没有意义，因此0不能有倒数。
题目七：判断题如果两个数的乘积是1，那么这两个数互为倒数。
这个说法是否正确？答案七：正确。
如果两个数的乘积是1，根据倒数的定义，这两个数确实是互为倒数。
题目八：解答题一个数的倒数是1/8，这个数是多少？如果这个数与4相乘，结果是多少？答案八：这个数是8。
如果这个数与4相乘，结果是8 * 4 = 32。
结束语：通过上述题目的练习，我们可以看到倒数在数学中的应用是多方面的，包括基本的计算、定义理解、实际应用以及与其他数学概念的联系。
“倒数法”的应用
２ ． 已 知 ： 口 ＋ ÷ Ｄ ＝ ４ ， 求 ． － — ４ ３ ｊ ａ 叶 ＋ ３ ２ ａ 口 ／ 出 ， ６ ＋ 一 ４ ３ ｊ ＿ ６ ６ ￣ ｇ 。
３ ・ 已 知 ： ． 老 ＋ ＋ ｌ ， 求 ： ＋ ｌ 的 值 。
经检验 一２ 是原方程的根。
为掌握 以上方法 ， 可 以尝试练习以下几题 ：
１ ． 解方程： 盟 一 二 ！ 一 １ ＝ ０ 。
ｘ －１ ｘ ＋ｌ
所 以ｙ ｌ ＝ ２ ， ｙ ２ ＝ ｌ ，
当ｙ ２ ＝ ２ 时， 即 ￣ ｉ ｙ ２ ＝ １ １ ｔ ； ］ ＂ ， 即
＝ ２ ， ￣１ ２ ２ ｘ ＝ 一 ２ ， ＝ ｌ ， 此方程无解 ，
＋，ｌ ｉ ｐ ； ｌ 时。
例 ３解 方 程（ ÷ ） ＋ ２ （ ） 一 ３ － － ０
故原式最大值为 、 ／ 了一 、 ／ 。
三、 练 习
凄 兔 ●
）
解： 设 之 ， 则 盟 ： １，
于是 三 一 ３ － － ０ ， 所以产 ３ ２ ＝ ｏ ，
０
技 法 点 拨
● ・ ・
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一
● ● 倒数法 ＂ 的应用
■ 张 生 苗加 朋
： ， 得：
（ ） ２ ＋ ９ ９ ｓ ＋ ｌ ９ ： ０ 。
Ｓ
・ ●
在解决代数 问题 时 ， 适 当使用 “ 倒数法 ” 会起 到
事半功倍 的作用 ， 笔者 现将 教学 实践 中相关感悟 与
４ ． 已 知 ： 去＝ 叶 ６ ÷ ３ ， 羔＝ ６ ＋ ｃ ４ ， 旦＝ ａ ＋ ｃ 了 ５ １ ， 一 求 ： … 代 数 一
式 一 的值。 如果灵活运用此法 ， 它会给我们解题带来简便 ， 会 收到较好的效果 。
巧用倒数法快速解题
巧用倒数法快速解题一、题目1。
1. 题目。
- 已知x+(1)/(x)=3，求x^2+(1)/(x^2)的值。
2. 解析。
- 我们可以根据完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2来求解。
- 对于x+(1)/(x)=3，将其两边平方得(x+(1)/(x))^2 = 3^2。
- 展开(x+(1)/(x))^2得到x^2+2× x×(1)/(x)+(1)/(x^2)=x^2+2+(1)/(x^2)。
- 因为(x +(1)/(x))^2=9，即x^2+2+(1)/(x^2) = 9，所以x^2+(1)/(x^2)=9 - 2=7。
二、题目2。
1. 题目。
- 若a-(1)/(a)=2，求a^2+(1)/(a^2)的值。
2. 解析。
- 对a-(1)/(a)=2两边平方，根据(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
- (a-(1)/(a))^2=2^2，展开得到a^2-2× a×(1)/(a)+(1)/(a^2)=a^2-2+(1)/(a^2)。
- 因为(a-(1)/(a))^2 = 4，即a^2-2+(1)/(a^2)=4，所以a^2+(1)/(a^2)=4 + 2=6。
三、题目3。
1. 题目。
- 已知x+(1)/(x)=5，求x^4+(1)/(x^4)的值。
- 先由x+(1)/(x)=5两边平方得(x+(1)/(x))^2 = 5^2。
- 展开(x+(1)/(x))^2=x^2+2+(1)/(x^2)，所以x^2+(1)/(x^2)=25 - 2 = 23。
- 再对x^2+(1)/(x^2) = 23两边平方，(x^2+(1)/(x^2))^2=23^2。
- 展开(x^2+(1)/(x^2))^2=x^4+2+(1)/(x^4)，所以x^4+(1)/(x^4)=23^2-2=529 - 2 = 527。
四、题目4。
1. 题目。
- 若m-(1)/(m)=4，求(m^2+(1)/(m^2))(m^4+(1)/(m^4))的值。
实际应用训练：如何运用倒数知识解题,全方位教案
实际应用训练：如何运用倒数知识解题倒数（reciprocal）是高中数学里的一个基本概念，它的数学定义是一个数的倒数就是它的倒数。
例如，数3的倒数是1/3，数5的倒数是1/5。
在日常生活或工作中，倒数的应用非常广泛，例如计算比例、速度、密度等等。
在数学考试中，倒数也是很常见的题型。
但是，很多学生对倒数的应用掌握不够熟练，导致出现一些应该能解出的题目答错的情况。
在这篇文章中，我们将讲解如何运用倒数知识解题，并设计一份全方位的教案，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、倒数的定义及基本概念在数学上，倒数就是一个数的倒数。
一个数a的倒数是1/a。
例如，数3的倒数是1/3，数5的倒数是1/5。
通常，我们用字母x表示一个数，则x的倒数为1/x。
在应用中，倒数也有很多种形式，例如：1、比例：比例是两个数的倒数的比，如3:2表示3的倒数是2的1.5倍。
2、时速：时速就是单位时间内走过的路程与该时间的倒数的乘积，如每小时60公里表示每分钟走1公里。
3、密度：密度是物体的质量与其体积的倒数的比，如1克/立方厘米表示每个立方厘米的体积中有1克的质量。
了解基本的倒数概念对于解题很有帮助。
下面是几道常见的倒数应用题：例1：甲乙两人分别在8：10的速度下跑了2400米，谁用的时间更短？解答：根据速度=路程/时间的公式，可以列出甲、乙两人的速度的式子：甲的速度为8/x，乙的速度为10/x，其中x为甲、乙两人的时间。
由于路程相等，可以列出一个方程：8/x=10/x，解得x=20/3。
因为甲的速度比乙的速度低，所以甲所用的时间更长，乙用的时间更短。
例2：已知物体的密度为3克/立方厘米，其质量为27克，它的体积是多少？解答：物体的密度为质量与体积的比，即3=27/体积，解得体积=9立方厘米。
以上两个例子都使用了数学中的“倒数”概念来解题。
二、倒数的应用范围倒数在学科和领域中广泛应用：1、在数学中，倒数可以用来求解比例、速度、密度等相关题目。