第一章二次函数复习课件
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浙教版初中数学第一章 二次函数 复习课 (共31张PPT)
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为
常数，a≠0)的图象如图1－4所示，有下列结论：①abc＞0， ②b2－4ac＜0，③a－b＋c＞0，④4a－2b＋c＜0，其中正 确结论的个数是 ( ) A
图1－4
A．1
C．3
B．2
D．4
类型之三
二次函数与一元二次方程关系的应用
1 2 例 3 如图 1－6 所示， 已知抛物线 y＝－ x ＋x＋4 交 x 2 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B. (1)求A，B两点的坐标，并求直线AB的表达式；
抛物线的函数表达式为y＝(x－3)2－4； (2)∵抛物线 y＝ (x－ 3)2－ 4 过点 E(4，m)，∴ m＝1－4＝－3， ∴ E(4，－3)， ∵ E(4，－3)，C(0， 5)， 4k＋ b＝－ 3 ∴ ， b＝ 5
k＝－ 2， 解得： ， b＝ 5
∴直线表达式为 y＝－2x＋5， 过点 B 作 y 轴的垂线，并反向延长交直线 y＝ kx＋ b 于点 F，
∵ B 点坐标为(3，－ 4)，则 y＝－ 4，－4＝－2x＋ 5， 解得 x＝ 4.5，故 BF＝ 4.5－ 3＝ 1.5， 1 3 S△ BEF＝ × 1.5×1＝ ， 2 4 1 27 S△ CBF＝ × 9× 1.5＝ ， 2 4 27 3 ∴△ CBE 的面积为 － ＝ 6. 4 4
【点悟】 此题用顶点式求解较为容易．用一般式也 可以求出，但仍要利用顶点坐标公式．
【点悟】 解这一类型题目，注意数形结合思想的运用．
1.已知函数y＝x2－4x＋1.
(1)求函数的最小值； (2)在如图1－7所示的坐标系中，画出函数的图象； (3)设函数图象与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)， 求x12＋x22的值．
二次函数复习课第一课时PPT
二次函数复习课第一课时 PPT
本节课为二次函数复习课的第一课时，将重点回顾二次函数的定义及基本形 式，并介绍二次函数的图像特征和性质。
二次函数的图像特征
对称性
二次函数的图像以顶点为对称轴对称。
顶点坐标
顶点坐标为(x,y)，其中y为二次函数的最 小值（当开口向上时）或最大值（当开口 向下时）。
开口方向
焦点
焦点是图像上的特殊点，与 抛物线的形状有关。
对称轴
对称轴是二次函数图像的对 称线，通过顶点且垂直于准 线。
二次函数的变形与图像
1
垂直方向缩放
通过改变二次系数a的绝对值，可以
水平方向平移
2
改变二次函数图像的形状与开口大 小。
通过改变二次函数中x的常数项或线
性项，可以使图像左右移动。
3
对称轴变化
通过改变二次函数中x的线性项，可 以改变图像关于y轴的对称轴位置。
3
注意事项
注意事项包括仔细阅读题目、画出 准确的图像以及验证计算结果等。
二次函数的应用举例
抛物线轨迹
抛物线轨迹的运动可以用二次函数来描述， 如投射运动、弹道等。
面积与最大值
通过优化二次函数来求解相关问题，如求最 大面积。
二次函数拟合及其应用
拟合
通过将实际数据点与二次函数图像相拟合， 可以预测用于经济学、物理 学、工程学等领域中的数据模型和问题求 解。
二次函数的常见错误及纠错方法
1
常见错误
常见错误包括图像方向、顶点坐标
纠错方法
2
计算错误等。
纠错方法包括通过复习基本概念、
练习题目以及请教老师等。
当二次系数a为正数时，图像开口向上； 当a为负数时，图像开口向下。
本节课为二次函数复习课的第一课时，将重点回顾二次函数的定义及基本形 式，并介绍二次函数的图像特征和性质。
二次函数的图像特征
对称性
二次函数的图像以顶点为对称轴对称。
顶点坐标
顶点坐标为(x,y)，其中y为二次函数的最 小值（当开口向上时）或最大值（当开口 向下时）。
开口方向
焦点
焦点是图像上的特殊点，与 抛物线的形状有关。
对称轴
对称轴是二次函数图像的对 称线，通过顶点且垂直于准 线。
二次函数的变形与图像
1
垂直方向缩放
通过改变二次系数a的绝对值，可以
水平方向平移
2
改变二次函数图像的形状与开口大 小。
通过改变二次函数中x的常数项或线
性项，可以使图像左右移动。
3
对称轴变化
通过改变二次函数中x的线性项，可 以改变图像关于y轴的对称轴位置。
3
注意事项
注意事项包括仔细阅读题目、画出 准确的图像以及验证计算结果等。
二次函数的应用举例
抛物线轨迹
抛物线轨迹的运动可以用二次函数来描述， 如投射运动、弹道等。
面积与最大值
通过优化二次函数来求解相关问题，如求最 大面积。
二次函数拟合及其应用
拟合
通过将实际数据点与二次函数图像相拟合， 可以预测用于经济学、物理 学、工程学等领域中的数据模型和问题求 解。
二次函数的常见错误及纠错方法
1
常见错误
常见错误包括图像方向、顶点坐标
纠错方法
2
计算错误等。
纠错方法包括通过复习基本概念、
练习题目以及请教老师等。
当二次系数a为正数时，图像开口向上； 当a为负数时，图像开口向下。
二次函数知识点复习PPT课件
=
=
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 中 a、b、c的符号判别：
①a的符号判别由开口方向确定：当开口向 上时，a＞0；当开口向下时，a＜0； ②c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若交 点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴的下 方，则C＜0； ③b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的 左侧，则a、b同号；若对称轴在Y 轴的右侧， 则a、b异号；(a与b左同右异)
5.(杭州中考题)已知某二次项系数为1的一元二 次方程的两根为p,q,且满足关系式p+q(p+1)=5 和 p2q+pq2=6,求这个一元二次方程
两式分别化为(p+q)+pq=5, (p+q)pq=6后得 p+q=3,pq=2或p+q=2,pq=3,所以方程为: x2-2x+3=0 或x2-3x+2=0
韦达定理
ax2+bx+c=0（a 0, 0）的两根为x1，x2 则x1+x2= ，x1.x2=
1.已知一元二次方程,不解方程,求与根有关
的代数式; 2.构造一元二次方程;(减和加积等于0): X2-(x1+x2)x+(x1.x2)=o 3.分解二次三项式.(两根双减,a放最前): ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 4.构造一元二次方程来解方程或方程组
图象与X轴的交点个数 当Δ=b2-4ac>0时，函数与X轴有两个交点； Δ=b2-4ac <0时，函数与X轴没有交点； Δ=b2-4ac =0时；函数与X轴只有一个交点；
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只 有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则 Δ=b2-4ac=0； （2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在 Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称，则 b=0； （3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点， 则c=0；
二次函数复习课课件
提升习题
提升习题1
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(m,n)$上 单调递增，求$a, b, c$的取值范围。
提升习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(m,n)$上 有两个不同的零点，求$a, b, c$的取值范围。
综合习题
综合习题1
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面内沿x 轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括横向和纵向的缩放。横向缩放 是指图像在x轴方向上缩小或放大，纵向缩 放是指图像在y轴方向上缩小或放大。在伸 缩变换过程中，二次函数的解析式会相应地 乘以或除以一个大于0的常数。例如，将二 次函数y=ax^2+bx+c的图像沿x轴方向缩 小k倍，解析式变为y=a(x/k)^2+b(x/k)+c；
二次函数的性 质
总结词
二次函数具有开口方向、对称轴、顶点 和与坐标轴交点等性质。
VS
详细描述
二次函数的性质包括开口方向、对称轴、 顶点、与坐标轴交点等。根据系数$a$的 正负，抛物线有不同的开口方向：当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时， 抛物线开口向下。对称轴为直线$x = frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(frac{b}{2a}, fleft(frac{b}{2a}right)right)$。与y轴的交点 为$(0, c)$，与x轴的交点可以通过求解方 程$ax^2 + bx + c = 0$得到。
沿y轴方向缩小k倍，解析式变为 y=ax^2+bx/k+c/k。
对称变换
《二次函数》复习课件
The End
感谢观看本次《二次函数》复习ppt课件，希望对你复习和应用二次函数有所帮助。祝你学业有成！
通过平移抛物线，可以直接求解最值和零点。
3 利用变形公式解题
4 利用图像性质解题
通过变形公式，将复杂的二次函数转化为简单的 标准形式。
通过观察图像，可以判断二次函数不等式的解集 等问题。
典型例题
1
函数 $y=-3(x-2)^2 +4 $ 的对称轴、顶点、最小值
通过平移和对称性，求解函数的对称轴、顶点坐标，以及最小值。
2
函数 $y=-x^2+2 x+3 $ 的图像方程，及其最值、零点
通过变形公式，求解函数的图像方程，以及最值和零点。
3
判断不等式 $2x^2 -3x+1 <0$ 的解集
通过观察图像和根的关系，判断不等式的解集。
注意事项
二次函数解题的基本思 路和方法
通过掌握基本思路和方法，可 以更快解决二次函数相关问题。
《二次函数》复习ppt课 件
本PPT复习大纲将详细介绍二次函数的概念、性质、解题思路，以及一些典型 例题。通过图像和公式，帮助学生加深对二次函数的理解和应用。
概念及性质
定义及基本形式
二次函数是指$y=ax^2+bx+c$的函数形式，其中 $a\neq0$。
对称轴和顶点的求法
对称轴是抛物线的对称中心，顶点是抛物线的最低 点或最高点。
二次函数图像的基本形 状和性质
熟悉二次函数图像的形状和性 质，有助于理解题目及解答。
二次函数解题时应注意 判断最值和零点是否有 意义
在解题过程中，需要判断最值
和零点是否在给定范围内有意
义。
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二次函数 y=ax2+bx+c的图象 和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有一个交点
有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
没有交点
B
1.从抛物线上两点的纵坐 标相等获得对称信息; A
2.从抛物线上两点之间的 线段被抛物线的对称轴垂 直平分获得对称信息.
0
B
形成天才的决定因素应 该是勤奋.
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________
y
y=2(x-1)2+2
y=2x2
2 1
o
y=2(x-1)2
1 2
x
2
-1 -2
2 y=a(x-h) +k
y=2(x-1) +2的图象可看作是 2 由y=2x 的图象经过怎样平 移得到的
y=2x2+2 y
y=2(x-1)2+2 y=2x2
2 1
o
1
2
x
-1
2 y=a(x-h) +k
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象 是怎样由y=x2的图象平移得到的？
练习（四） 填空
1 2 1、二次函数y= 2 x +2x+1写成顶点式为： 1 y= 2 (x+2)2-1 x=-2 ，顶点为______ (-2，-1) __________，对称轴为_____
2、已知二次函数y=0 。 顶点在y轴上，则b=___
1 2 2 x +bx-5的图象的
练习
根据下列条件，求二次函数的解析式。
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
2.选择
(1)抛物线y=x2-4x+3的对称轴是______. c A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
B (2)抛物线y=3x2-1的__________
A 开口向上,有最向下,有最低点
想一想
我思考，我进步
2 形如:y=ax +bx+c(a≠0)
的函数叫二次函数
y
O
抛物线
x
想一想
我思考，我进步
（一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数
开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
a＞0
向上
向下
y = ax
2
X=0
(0,0)
a＜0
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
巩固练习1： 2 （1）抛物线y= 3 x2的开口向 上 ,对称 轴是 Y轴 ,顶点坐标是 (0,0) ,图象过 第 1、2 象限 ；
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
y B C O A x
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)当x为何值时，y<0。 y (3)求它的解析式和顶点坐标；
O
x
业精于勤荒于嬉
（2）已知（如图）抛物线y=ax2+k的 图象，则a ＞ 0，k ＜ 0； 若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ， 则a= 1/2 ,k= - 2 ； Y 函数关系式是 y = 1/2x2-2 。 O
B X A
想一想
我思考，我进步
（三）、形如y=a (x-h) 2( a≠0 ) 的二次函数
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
探究练习:
1.若a>0, b>0, c>0,你能否画出 y=ax2+bx+c 的大致图象呢?
0
0
0
要画出二次函数的大致图象,不但 要知道a,b,c的符号,还必须明白b2-4ac 的大小.
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
abc___0 > 2a+b_____0 <
1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
二次函数复习
想一想
我思考，我进步
说一说：通过二次函数的学习，
你应该学什么？你学会了什么？ 1、理解二次函数的概念； 2、会用描点法画出二次函数的图象；
3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向， 对称轴，顶点坐标；
4、会用待定系数法求二次函数的解析式； 5、能用二次函数的知识解决生活中的实际问题 及简单的综合运用。
2的开口向 下
练习巩固3：
(1)y = - 2(x+3) 对称轴是 x=-3 ,
，
顶点坐标是 ， （-3，0）
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
（2）如图是y = a（x-h）2的图象， 则a ＜ 0，h ＞ 0 ； 若图象过A (2，0) 和B (0,-4) 则 a = -1 , h= 2 ； 2 （ x -2 ） 函数关系式是 y = 。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2， 图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过 点（3，-6）。求a、b、c。
a___0, b_< _0, c___0, < >
= b = 2a, 2a-b___0, b2-4ac_____0 >
< a+b+c_____0, > a-b+c____0 > 4a-2b+c_____0
-2 -1
0
1
对称是一种数学美，它展 示出整体的和谐与平衡之美， A 抛物线是轴对称图形，解题中 应积极捕捉，创造对称关系， 以便从整体上把握问题，由抛 物线捕捉对称信息的方式有： 0
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
2x + 1
3.说说下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 -
y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1 =(x-1)2
因为a=1>0, 所以开口向上 对称轴:直线x=1 顶点坐标:(1,0)
解:y= -2x2-4x-6 = -2(x2+2x+1+2) = -2(x+1)2-4 因为a=-2<0, 所以开口向下 对称轴:直线x=-1 顶点坐标:(-1,-4)
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=a（x-h)2
a ＞ 0 向上 a ＜0 向下 x=h （h,0）
我思考，我进步 y=a(x-h)2 (a≠0)
想一想
y y=2(x+1)2 2 y=2(x-1)2 y=2x y=2(x+2)2
-2 -1 o 1 2
y=2(x-2)2
x
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是 x=1 ，最高点在直线y=2x+4上。 （1）求抛物线解析式. （2）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1 ∴图象的顶点横坐标为1 又∵图象的最高点在直线y=2x+4上 ∴当x=1时，y=6 ∴顶点坐标为（1，6）
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负 半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于 点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求 抛物线解析式。
二次函数 开口方向 对称轴
顶点坐标
a＞ 0
向上
y = ax2+k
a<
0 向下
x=0 （0，k）
业精于勤荒于嬉 巩固练习2：
小试牛刀
（1）抛物线y = x 2+3的开口 向 上 ,对称轴是 x=0,顶点坐标 1 （0，3） 是 ,是由抛物线y = 2 x2
向 上 平移 3 个单位得到的；
1 2
小试牛刀
y A X
O
B
想一想
我思考，我进步
(四) 形如y=a (x-h)2 +k (a ≠0) 的 二次函数
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a＞0
y=a(x-h)2+k
向上
向下
x=h （h，k）
a＜0
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
练习巩固4: （1）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向 上 , 对称轴 x=1/2 , 顶 点坐标是（1/2，1） ； （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开 口向下，顶点在第四象限，则 a ＜ 0, m ＜ 0, n ＜ 0。
（2）已知（如图）二次函数y=mx2的 o < 图象，则m 0； .A 若图象过(2,-4)，则m= -1 ；
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有一个交点
有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
没有交点
B
1.从抛物线上两点的纵坐 标相等获得对称信息; A
2.从抛物线上两点之间的 线段被抛物线的对称轴垂 直平分获得对称信息.
0
B
形成天才的决定因素应 该是勤奋.
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________
y
y=2(x-1)2+2
y=2x2
2 1
o
y=2(x-1)2
1 2
x
2
-1 -2
2 y=a(x-h) +k
y=2(x-1) +2的图象可看作是 2 由y=2x 的图象经过怎样平 移得到的
y=2x2+2 y
y=2(x-1)2+2 y=2x2
2 1
o
1
2
x
-1
2 y=a(x-h) +k
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象 是怎样由y=x2的图象平移得到的？
练习（四） 填空
1 2 1、二次函数y= 2 x +2x+1写成顶点式为： 1 y= 2 (x+2)2-1 x=-2 ，顶点为______ (-2，-1) __________，对称轴为_____
2、已知二次函数y=0 。 顶点在y轴上，则b=___
1 2 2 x +bx-5的图象的
练习
根据下列条件，求二次函数的解析式。
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
2.选择
(1)抛物线y=x2-4x+3的对称轴是______. c A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
B (2)抛物线y=3x2-1的__________
A 开口向上,有最向下,有最低点
想一想
我思考，我进步
2 形如:y=ax +bx+c(a≠0)
的函数叫二次函数
y
O
抛物线
x
想一想
我思考，我进步
（一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数
开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
a＞0
向上
向下
y = ax
2
X=0
(0,0)
a＜0
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
巩固练习1： 2 （1）抛物线y= 3 x2的开口向 上 ,对称 轴是 Y轴 ,顶点坐标是 (0,0) ,图象过 第 1、2 象限 ；
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
y B C O A x
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)当x为何值时，y<0。 y (3)求它的解析式和顶点坐标；
O
x
业精于勤荒于嬉
（2）已知（如图）抛物线y=ax2+k的 图象，则a ＞ 0，k ＜ 0； 若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ， 则a= 1/2 ,k= - 2 ； Y 函数关系式是 y = 1/2x2-2 。 O
B X A
想一想
我思考，我进步
（三）、形如y=a (x-h) 2( a≠0 ) 的二次函数
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
探究练习:
1.若a>0, b>0, c>0,你能否画出 y=ax2+bx+c 的大致图象呢?
0
0
0
要画出二次函数的大致图象,不但 要知道a,b,c的符号,还必须明白b2-4ac 的大小.
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
abc___0 > 2a+b_____0 <
1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
二次函数复习
想一想
我思考，我进步
说一说：通过二次函数的学习，
你应该学什么？你学会了什么？ 1、理解二次函数的概念； 2、会用描点法画出二次函数的图象；
3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向， 对称轴，顶点坐标；
4、会用待定系数法求二次函数的解析式； 5、能用二次函数的知识解决生活中的实际问题 及简单的综合运用。
2的开口向 下
练习巩固3：
(1)y = - 2(x+3) 对称轴是 x=-3 ,
，
顶点坐标是 ， （-3，0）
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
（2）如图是y = a（x-h）2的图象， 则a ＜ 0，h ＞ 0 ； 若图象过A (2，0) 和B (0,-4) 则 a = -1 , h= 2 ； 2 （ x -2 ） 函数关系式是 y = 。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2， 图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过 点（3，-6）。求a、b、c。
a___0, b_< _0, c___0, < >
= b = 2a, 2a-b___0, b2-4ac_____0 >
< a+b+c_____0, > a-b+c____0 > 4a-2b+c_____0
-2 -1
0
1
对称是一种数学美，它展 示出整体的和谐与平衡之美， A 抛物线是轴对称图形，解题中 应积极捕捉，创造对称关系， 以便从整体上把握问题，由抛 物线捕捉对称信息的方式有： 0
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
2x + 1
3.说说下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 -
y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1 =(x-1)2
因为a=1>0, 所以开口向上 对称轴:直线x=1 顶点坐标:(1,0)
解:y= -2x2-4x-6 = -2(x2+2x+1+2) = -2(x+1)2-4 因为a=-2<0, 所以开口向下 对称轴:直线x=-1 顶点坐标:(-1,-4)
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=a（x-h)2
a ＞ 0 向上 a ＜0 向下 x=h （h,0）
我思考，我进步 y=a(x-h)2 (a≠0)
想一想
y y=2(x+1)2 2 y=2(x-1)2 y=2x y=2(x+2)2
-2 -1 o 1 2
y=2(x-2)2
x
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是 x=1 ，最高点在直线y=2x+4上。 （1）求抛物线解析式. （2）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1 ∴图象的顶点横坐标为1 又∵图象的最高点在直线y=2x+4上 ∴当x=1时，y=6 ∴顶点坐标为（1，6）
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负 半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于 点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求 抛物线解析式。
二次函数 开口方向 对称轴
顶点坐标
a＞ 0
向上
y = ax2+k
a<
0 向下
x=0 （0，k）
业精于勤荒于嬉 巩固练习2：
小试牛刀
（1）抛物线y = x 2+3的开口 向 上 ,对称轴是 x=0,顶点坐标 1 （0，3） 是 ,是由抛物线y = 2 x2
向 上 平移 3 个单位得到的；
1 2
小试牛刀
y A X
O
B
想一想
我思考，我进步
(四) 形如y=a (x-h)2 +k (a ≠0) 的 二次函数
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a＞0
y=a(x-h)2+k
向上
向下
x=h （h，k）
a＜0
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
练习巩固4: （1）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向 上 , 对称轴 x=1/2 , 顶 点坐标是（1/2，1） ； （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开 口向下，顶点在第四象限，则 a ＜ 0, m ＜ 0, n ＜ 0。
（2）已知（如图）二次函数y=mx2的 o < 图象，则m 0； .A 若图象过(2,-4)，则m= -1 ；