2014期中讲义3勾股定理

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勾股定理复习讲义

勾股定理复习讲义【中考命题趋势】本章内容在中考中多以填空题与选择题的形式出现，应结合直角三角形的有关性质、三角函数知识进行线段的计算或证明，近几年来，以实际问题为背景的探究题、材料分割题、实际应用题、网格试题不断涌出，题目多以中档题为主，这也是今后中考试题发展的重要趋势。

【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题考点一：勾股定理相关概念性质（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理的验证abcab cabcabcababa bba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

勾股定理-综合讲义

数学学科辅导讲义教学内容勾股定理教学目标一．考点：1．求线段长；2．最短路径问题；3．两点之间距离公式．教学重点根据已知条件，分析相应图形，并选取合适的方法，求线段长．教学难点1．在应用勾股定理的过程中，注意分清楚直角边和斜边，选择正确的公式来进行计算；2．所对的直角边是斜边的一半，注意分清楚“所对的直角边”和“斜边”．教学过程知识详解一．求线段长求线段长1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；特殊三角形比例关系图1中，图2中，等面积法求高勾股定理与角平分线结合已知，AD为∠CAB的角平分线，则CD=CE，AC=AE已知AD、AC，根据勾股定理，可求出CD勾股定理与折叠问题结合直角三角形ABC中，折叠使点C与点A重合，则AE=CE，C△ABE=AB+BC=9+12=21网格与勾股定理辅助线构造直角三角形（1）与等腰三角形三线合一结合求各边长上图等腰△ABC中，作AD⊥BC，构造出30°、60°、90°的特殊三角形（2）作垂直构造直角三角形，并与特殊角结合下图中，已知任意一边长，可求出图中其他的边长二．勾股定理与最短距离1. 画出立体图形的展开图2. 利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离分类思路图示正方体1. 画出平面展开图2. 确定A、B两点的对应点，连接后求解长方体长方体的平面展开图会有两种情况，选择路径更短的求解圆柱 B 点应该在侧面展开图的中间线上缠绕多圈1.圆柱体：看做是多个最短路径的结合2.长方体：展开侧面，连接A 、B 两点即可典型例题进门测：1. 适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( ) ①;51,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580; ④;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b aA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 2. 在⊿ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则⊿ABC 是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形3. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°4.已知，如图2，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D 12cm 25．如图（第17题）底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．A ．10B ．8C ．5D ．4AB EF DC （图2）6．如图（第18题），已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC，交AD于点E，AD＝8，AB ＝4，则DE的长为( )．A．3 B．4 C．5 D．67．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )．A．32B．4 C．25D．4.51．点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗：若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ，①当t=2秒时，判断△BPQ的形状，并说明理由；②当PQ⊥BC时，则t=秒．（直接写出结果）2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．3．如图１，△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC=CD，AC=CE．（1）求证：∠A=∠CED；（2）如图2，若∠ACB=60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG=CF，连接DG交BE于H．①求∠DHF的度数；②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC．随堂检测1．直角三角形两锐角的平分线所成钝角的度数是( )A．115°B．125°C．135°D．无法确定2．有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边之比为5：12：13；④三边长分别为7，24，25．其中直角三角形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13：5，则这个三角形三边长分别为( ) A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，104．一等腰三角形底边长为10 cm，腰长为13 cm，则腰上的高为( )A．12 cm B．6013cm C．12013cm D．135cm6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为( )A．42 B．32 C．37或33 D．42或32课后练习1．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形且面积为16，满足条件的P点有( ) A．12个B．10个C．8个D．6个2．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（）A．5 B．5或8 C．52D．4或52第2题图第3题图3．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值_________．4．直角三角形三角形两直角边长为5和12，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________．4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值.选择题专题6．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm7．如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子顶端离地面2.4 m，为了安装壁灯．梯子顶端离地面降至2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向移动( )A．0.4 m B．0.8 m C．1.2 m D．不能确定8．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为( )A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m9．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为( )A．600 m B．500 m C．400 m D．300 m。

勾股定理复习讲义内容

勾股定理复习讲义内容一、第一单元知识结构二、典例归类考点1：面积及面积的应用例1、若直角三角形的两直角边为7和24，在三角形内有一点P 到三边的距离相等，这个距离为。

例2、在直线l 上依次放着七个正方形，如图所示，已知斜放置地三个的正方形的面积分别是1，2，3，正放着的四个正方形面积依次是,,,,1S S S S 则=+++S S S S 。

对应练习:1、如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图四边形ABCD 的各边的长。

（2）求∠ADC 的度数L3、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AD=3，AB=4，∠B=60°，则梯形的面积总结归纳：。

考点2、距离（最短距离）问题例3、如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝ 6cm ，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是.如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5，3，4。

在点A ’处有一只蚂蚁，它想吃到与点A ’相对的C 点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少？对应练习: 1、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着立方体的外表面爬到B 顶点的最短路程是（） A 、3 B 、 C 、 D 、12、如上图，则正方体中能放入的最大长度为。

总结归纳：。

考点3：判断三角形的形状例4、如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。

P BC PC 23BC对应练习:1、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为三角形A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角考点4：勾股定理与实际问题结合例6、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

免费版 2014年八年级数学下册同步讲义--勾股定理

4.三边 BC=3,AC=4,AB=5 的三角形沿最长边 AB 翻折后得到△ABC/，则 CC/的长等于（ 12 A. 5 B. 13 5 C. 5 6 D. 24 5
5.直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边上的高为 h,则下列各式中总能成立的是 ( A.ab=h
0
1
八年级数学
课堂练习：
1.已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为（ A.12 B. 7 7 C．12 或 7 7 ） D.以上都不对）
2.如图,AB⊥CD 于 B,△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形,如果 CD=17,BE=5,那么 AC 的长为（ A.12 B.7 C.5 D.13
3.如图,在△ABC 中,∠C=900，BC=6,D、E 分别在 AB,AC 上,将△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE 的中点,则折痕 DE 的长为（ A. ） C.3 D.4
1 2
)
B.2
4.一架 25 分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端 7 分米,如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米,那么梯足将滑动( A.9 分米
16.如图所示,等腰三角形 ABC 的底边长为 8，腰长为 5,一动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0.25 个单位每秒的速度移动,当 P 运动几秒时,P,A,C 三点构成的三角形为直角三角形？
3
八年级数学 0 17.如图，等腰直角三角形 ABC,∠ACB=90 ，AC=BC=4，以 BC 为边作等腰 Rt△BCD，求线段 AD 的长度。
2
八年级数学 12.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 11cm, 则正方形 A，B，C，D 的面积之和为________cm2。

2014初中数学基础知识讲义—直角三角形与勾股定理

考点1 直角三角形的概念、性质与判定考点2 ：勾股定理及逆定理类型一：利用勾股定理求线段的长度命题角度：1. 利用勾股定理求线段的长度；2. 利用勾股定理解决折叠问题．例1：（2013年佛山市）如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( )A ．34.64mB ．34.6mC ．28.3mD ．17.3m例2：一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，求DC 的长。

初中数学基础知识讲义—直角三角形与勾股定理ACB类型之二实际问题中勾股定理的应用命题角度：1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．例1：（2013鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A 、B 两点，测量数据如图，其中矩形CDEF 表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A 、C 、D 、B 四点在同一直线上）问：（1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）1、（2013黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为 A 、5 BCD 、52、（2013柳州）在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD 平分∠BAC 交BC 于D ，则BD 的长为（） A 、B 、C 、D 、3、（2013湘西州）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．图。

勾股定理复习课件

直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
2 勾股定理的几何意义
勾股定理表明：直角三角形的两条边长的平方和等于斜边长的平方。
3 勾股定理的公式
a² + b² = c²
证明方法
1
古希腊证明法
毕达哥拉斯提出了几何证明勾股定理的方法，被广泛接受。
2
辅助圆证明法
通过构造辅助圆，可以简单而直观地证明勾股定理。
勾股定理复习
勾股定理是数学中一项重要的定理，用于解决直角三角形相关问题。本PPT将带您回顾勾股定理的定义、证明和应用，以Байду номын сангаас拓展到高维空间的可能性。
引言
1 历史背景
勾股定理最早可追溯到古希腊时期，由毕达哥拉斯提出。
2 意义
勾股定理在数学中的应用广泛，是直角三角形和几何学中的基础。
定义和公式
1 直角三角形的定义
高维空间中的勾股定理
勾股定理也可以推广到高维空间，拓展了其应用范围。
总结与展望
数学中的重要性
勾股定理是数学中的基础知识，对于几何学和三角学的理解至关重要。
未来的发展趋势
勾股定理在数学领域仍有很多未解之谜和未来的发展方向等待我们去探索。
3
三角函数证明法
利用三角函数的性质，可以用代数方法证明勾股定理。
应用
解决实际问题
通过勾股定理，可以计算直角三角形的未知边长和角度，用于解决实际问题。
工程领域的应用
勾股定理在工程测量、建筑设计等领域中发挥重要作用。
拓展
平面直角坐标系中的勾股定理
通过将直角三角形映射到平面直角坐标系中，可以推导出勾股定理的更广义形式。

《勾股定理》教师讲义

《勾股定理》典型例题分析一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边得平方与等于斜边得平方。

也就就是说:如果直角三角形得两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。

公式得变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。

2、勾股定理得逆定理如果三角形ABC得三边长分别就是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 就是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理得逆定理、该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:①已知得条件:某三角形得三条边得长度、②满足得条件:最大边得平方=最小边得平方+中间边得平方、③得到得结论:这个三角形就是直角三角形,并且最大边得对角就是直角、④如果不满足条件,就说明这个三角形不就是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2得三个正整数,称为勾股数。

注意:①勾股数必须就是正整数,不能就是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同得正整数倍后,仍就是勾股数。

常见勾股数有:(3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 ) ( 7,24,25 ) ( 8,15,17 )(9,12,15 )4、最短距离问题:主要运用得依据就是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:(1)阴影部分就是正方形;(2)阴影部分就是长方形;(3)阴影部分就是半圆.2、如图,以Rt△ABC得三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆得面积之间得关系.3、如图所示,分别以直角三角形得三边向外作三个正三角形,其面积分别就是S 1、S2、S3,则它们之间得关系就是( )A、 S1- S2= S3B、 S1+ S2= S3C、 S2+S3< S1D、 S2- S3=S1S3S2S14、四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD得面积。

5、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。

勾股定理讲义

勾股定理姓名：时间：一、勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么_____＝c 2；这一定理在我国被称为___定理。

1.要点诠释勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边；在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题；例题：1. △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．(1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______；(2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______；2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于______；3. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为__；4. 直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的面积是多少？5. Rt △ABC 中，斜边BC ＝5cm ，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为______；已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为。

6.在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B 的角平分线交AC 于D ，求证：AD 2-CD 2=BC 2。

练习：1.△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．(1)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______；(2)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______．2. 如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为______．3. 在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5. 若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理；常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=二、勾股定理的实际应用运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理经典讲义

勾股定理讲义Image考点1、勾股定理的内容和证明勾股定理：Image例1：思考：以下图形中那些能用来证明勾股定理，怎么证？ImageImage图1 图2 图3 图4例2：在中，，若C=，如下图1根据勾股定理可以得出：a+b=c，若不是直角三角形，如图2与图3，请你类比勾股定理猜想a+b与c的关系，并且证明你的结论图1BBBAAACCC图2图3考点2、利用勾股定理求长度在中，若C=，，则例3：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．1、△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．2、如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．3、等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．4、在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．5、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．考点3、勾股定理的实际应用Image例4：如图1，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到影响，那么拖拉机在公路MN沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？请说明理由，如果受影响，那么学校受影响的时间为多少长？（已知拖拉机的速度为18km/h）例5：以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).图①图②图③小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新的正方形的边长为x（x＞0），可得x2=5，x=.由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长.参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．图④图⑤具体要求如下：（1）设拼接后的长方形的长为a，宽为b，则a的长度为；（2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；（3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）Image6、有一块如图的木板，经过适当的剪切后，可拼成一块正方形板材，请在图中画出剪切线，并把剪切后的板材拼成的一个面积最大的正方形在图中画出（保留剪切痕迹，不写画法）7、现场学习题问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．Image小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ________．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的△ABC，并求出它的面积是：．探索创新：（3）若△ABC三边的长分别为、、，请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为：．Image8、如图，一架长25分米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，梯子的底端的水平方向沿一条直线也将滑动4分米吗？用所学知识，论证你的结论．9、如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是．例6：如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．10、如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?11、在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?12、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，则这里的水深是米考点4、勾股定理的逆定理勾股定理逆定理：勾股数：例7：如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由．FEACBD例8：若△ABC的三边的长为a、b、c，根据下列条件判断△ABC的形状（1）（2）a－ab+ ab－ac+ bc－b=0（3）若三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1呢？（n为正整数）13、小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（）A．锐角 B．直角 C ．钝角D．不能确定14、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF15、一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（）A． 20:15:12 B． 3:4:5 C． 5:4:3 D． 10:8:216、在下列说法中是错误的（）A．在△ABC中，∠C＝∠A－∠B，则△ABC为直角三角形．B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形．C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形．D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形．17、三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形D．不能确定18、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）三边a 、b 、ca ＋b －c 3、4、52 5、12、134 8、15、176A ．B ．C ．D ．19、若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以a －2、a 、a ＋2为边的三角形的面积为______．20、△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为____ __．21、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状例9：已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l ．（1）填表：（2）如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜想： (用含有m 的代数式表示)．（3）证明（2）中的结论．3、4、53+ 4=55、12、135+ 12=137、24、257+ 24=259、40、419+ 40=41……..……21、b 、c21+ b =c22、观察下面表格中所给出的三个数a,b ,c ，其中a ,b ,c 为正整数，且a <b <c（1）试找给他们的共同点，并证明你的结论（2）当a =21时，求b ,c 的值23、观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．考点5、勾股定理与面积24、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为l a b cImage25、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A ，B ，C 的面积分别是8cm 2，10cm 2，14cm 2，则正方形D 的面积是 cm 2．26、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于27、有一块土地形状如图3所示，，AB =20米，BC =15米，CD =7米，D C B A 图3请计算这块土地的面积Image28、如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD的面积29、如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，ADCB求这块地的面积．考点6、勾股定理与折叠例10：如图，长方形ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B 重合，折痕为EF，求DE和EF的长．Image30、如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若cm ，则AD 的长（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm31、如图，矩形纸片ABCD 的边AB =10cm ，BC =6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长E G C D B AImage32、有一块直角三角形纸板ABC ，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使点C 恰好落在AB 上于点E ，求CD 的长？Image33、如图，在正方形中，、分别是、上的点，将四边形沿翻折，使得点落在边的上，若，则的长度为______34、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在Q点处，AD与PQ相交于点H，BPE=PHFEQDCBA(1) 求BE、QF的长(2) 求四边形QEFH的面积考点7、勾股定理相关几何问题Image例11：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BC=5cm，DC=4cm，求AC和AB的长.Image例12：如图，已知正方形ABCD边长为1cm，△AEF是等边三角形，求AF的长度DCBA35、在四边形ABCD中，C是直角，AB=13，BC=3，CD=4，AD=12证明：ADBD36、已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．37、如图，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．考点8、勾股定理与旋转例13：在等腰Rt△ABC中，CAB=，P是三角形内一点，且PA=1，PB=3，PC=CBAP求：CPA的大小？38、已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPCPBACImage例14：如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°求证：DE2=AD2+BE239、如图中，为BC上任意一点，求证：．ABPCImage40、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD 求证：考点9、最短路径问题ImageImage41、有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？42、有一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？Image43、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？44、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m，则他所买的竹竿最大长度是多少？Image45、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C为AS 的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.ACBS例15：问题解决：已知：如图，为上一动点，分别过点、作于点，于点，联结、.（1）请问：点满足什么条件时，的值最小？（2）若，，，设.用含的代数式表示的长（直接写出结果）.拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式的最小值.46、（1）【原题呈现】如图，要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？解决问题：请你在所给图中画出泵站P的位置，并保留作图痕迹；（2）【问题拓展】已知a>0，b>0，且a+b=2，写出的最小值；（3）【问题延伸】已知a>0，b>0，写出以、、为边长的三角形的面积.。

【初二】第三章勾股定理讲义

勾股定理1.1 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

1.2勾股定理的证明：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

1.4勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

【例1】下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为（）CABcb aDCGFE Hcb a cba ED CBA【例3】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例4】直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定【例5】三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5 C【例6】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例7】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______；（2）如果68a b ==，，则c =_______；（3）如果512a b ==，，则c =________；（4）如果1520a b ==，，则c =________.(5)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (6)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______；(7)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______．【例8】如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例9】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．【例10】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，EC 的长为．【例11】一个矩形的抽屉长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．【例12】如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？CBA“路”4m3m【例13】将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为（）【例14】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为（）【例15】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．(1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积； (3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ．2 勾股定理的逆定理【例1】分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)5、12、13；(3)8、15、17； (4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)【例2】下列线段不能组成直角三角形的是( )．A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．3,2,1===c b aC ．43,1,45===c b a D ．6,3,2===c b a【例3】已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（）A ．30B ．60C ．78D ．不能确定【例4】在ABC △中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．【例5】若ABC △中，()()2b a b a c -+=，则B ∠=____________；【例6】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC△是______三角形．【例7】下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169【例8】已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．A ．一定是等边三角B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角D ．形状无法确定【例9】若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______．【例10】 ABC △的两边a b ，分别为512，，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．【例11】如图，ABC △中，90C ∠=︒，330AC B =∠=︒，，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A ．B ．C ．D ．7【例12】如图，在△ABC 中，已知AB =AC =2a ，∠ABC =15°，CD 是腰AB 上的高，求CD 的长．DCBA【例13】如图所示，已知∠1=∠2，AD =BD =4，CE ⊥AD ，2CE =AC ，那么CD 的长是（）【例14】如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．【例15】如图，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，9435AC BC DB ===，，．（1）求CD AD ，的值；（2）判断ABC △的形状，并说明理由．【例16】已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【例17】如图所示，在四边形ABCD 中，已知：AB ：BC ：CD ：DA =2：2：3：1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．【例18】如图，已知CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =BE ，AE =BD ．（1）试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC =5，BD =12，求CE 的长．【例19】阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且PBCA21EBDCADCBAABDCD CBACDBE AA12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为5，这边上的中线长为，另两边之和为7，求这个三角形的面积．【例20】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．【例21】已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；BCDN AM MAND CB【例22】在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?． 1.等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．2.如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆CB A底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为3.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于．4. Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )．5.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，则CD 的长为．6.在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 7.如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A ．10B ．12C ．14D ．168.如图，在Rt ABC △中，已知，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且13BD =，则AC 的长是．9. 如图所示，在ABC △中，::3:4:5AB BC CA =，且周长为36，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ △的面积为（）2cm ．10. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．DCBAFECBDAE DBC AQCA。

初二物理--勾股定理讲义(经典)

初二物理--勾股定理讲义(经典)
引言
勾股定理是几何学中一条重要的定理，它描述了直角三角形之
间的关系。

本讲义介绍了勾股定理的原理、公式和应用。

勾股定理的原理
勾股定理由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，它可以用来求解直
角三角形的边长关系。

根据定理，直角三角形的两条边长分别为a、b，斜边长为c，满足以下关系式：
c² = a² + b²
勾股定理的公式
勾股定理的数学表达式为：
c = √(a² + b²)
勾股定理的应用
勾股定理在几何学和物理学中有广泛的应用。

以下是一些常见
的应用场景：
1. 计算直角三角形的边长：已知两条边长，可以通过勾股定理求解第三条边长。

2. 判断三角形是否为直角三角形：根据勾股定理，如果三条边的边长满足a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形。

3. 解决距离和速度问题：勾股定理可以用于计算物体的位移、速度和加速度之间的关系。

总结
勾股定理是一条重要的几何定理，它描述了直角三角形的边长关系。

了解勾股定理的原理、公式和应用，可以帮助我们解决直角三角形相关的问题，并应用到物理学等领域中。

以上是本讲义对勾股定理的简要介绍。

希望能够对你的学习有所帮助！。

勾股定理讲义

勾股定理学习目标与考点分析1、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题2、通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的运用技能3、进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是结局实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识；通过追溯勾股定理的历史，增强学生的爱国情感。

学习重点1.勾股定理的灵活运用2.勾股定理的探究方法---面积法学习方法引导、分析、探究学习内容与过程一、知识回顾（1）提问：你还记得以前学习的任意三角形的三边有什么关系吗？（2）提问：以前学习的任意三角形的三个角有什么关系？直角三角形中两个锐角的关系？（2）问题：直角三角形的三边，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？（3）引出主题：那我们今天就进入第三章----《勾股定理》的学习二、引出定理（1）你以前听说过勾股定理吗？可能你以前听说过，但不知道具体是什么意思，通过今天这节课的学习，相信你对勾股定理会有一个很深的认识（2）相传在两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。

在宴席上，其他的宾客都在尽情的欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖发起呆来。

原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。

主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。

原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系三、探究活动问题1：我们将毕达哥拉斯朋友家的地砖分离开来，观察图2，你能发现三个正方形面积之间有怎样的关系吗？问题2：我们将上述分隔出来的图形放在分成很多小方格的图3中，每个小方格的边长为1，观察A、B、C三个正方形的面积关系问题3：等腰直角三角形具有这样的关系，那不是等腰直角三角形呢?请分别计算图4中正方形A、B、C、D 的面积，看看能得出同样的结论吗？问题4：如图5，a、b、c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系呢？问题5 是不是所有的直角三角形都满足如上所讲的关系呢？下面让我们来验证一下，以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图6所示形状，使A、E、B三点在同一直线上。

第3课勾股定理(1)

第3课勾股定理一、知识方法1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理是平面几何最重要的定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的作用，它沟通了代数和几何，将几何证明转化为代数计算，是一种重要的数学方法.逆定理常用于证明三角形是直角三角形.利用勾股定理的逆定理，可以用来判断三角形的形状：△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,(1)若222c a b<+，则∠C是锐角；(2)若222c a b>+，则∠C是钝角.3、勾股数：满足方程222a b c+=的正整数a、b、c叫做勾股数.二、勾股定理的应用例1、如图，“十”字形纸片由5个大小相同的正方形构成，将它剪3刀，拼成一个正方形.例2、已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证：（1）c+h＞a+b；（2）试判断以c+h，a+b，h为边能否构成三角形？其形状如何？试说明理由.例3、(1)△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：BD2+DC2=2AD2;(2)△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，求证：AB2-AD2=DB·DC.BD例4、边长为整数的直角三角形称为整边直角三角形，说明在整边直角三角形中必有一条边的长度是3的倍数.例5、有人将《九章算术》中的一道古题编成诗歌形式：城外一扇矩形门，有人扛竿去量应.横着量之四尺余，立着量之两尺剩.对角又复比一比，斜竿恰好端抵尽.此门宽高各几何？还有竹竿有几尺？例6、设a、b为任意正数，a＞b，求证：边长分别为2ab、a2-b2、a2+b2的三角形为直角三角形.例7、如图，已知AB=3，BC=AD=DCABC=90°，求∠DAB的度数.若把△ADC沿AC翻折得△AEC，则∠EAB等于多少度？D AC例8、设P是正三角形ABC内一点，且PA=5,PB=4,PC=3,求此正三角形的边长.例9、△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC上的任意两点，求证：2222AD BE AB DE+=+.A E三、练习1、如图，已知每个小方格的边长为1，A ，B ，C 三点都在小方格的顶点上，则点C 到AB 所在直线的距离等于（） (A) 810(B) 108 (C) 10 (D)82、在△ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长是（）．（A ）14 （B ）4 （C ）14或4 （D ）以上都有可能3、下列各组数据,不能构成直角三角形的三边是 ( )A 、3，4 ，5B 、13，12，5C 、3，5，6D 、41，40 ，94、已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（）(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 95、等腰三角形的周长为16，底边上的高是4，则这个三角形的三边长分别是____，____，____.6、已知一直角三角形的斜边长10，周长是24，则这个三角形的面积是________.7、在等腰△ABC 中，AB =1，∠A =900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积.8、ABC ∆中，AB=17，AC=10，BC=21，求ABC ∆的面积S.AB C E F A B C9、直角三角形的两条直角边长为3和4,三角形内有一点到各边距离相等,那么这个距离为多少?10、已知111,,,BB PP AA B A ∠=∠均垂直于20,16,17,11111===BB PP AA B A ,1211=B A ,则AP+PB是多少?11、将下图剪3刀,拼成一个大正方形(图中小方格均为正方形,三角形均为等腰直角三角形)12、如图,长方形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上任意一点,PE ⊥AC,PF ⊥BD,则PE+PF 是多少?。

勾股定理讲义

勾股定理复习课教学目标：1. 回顾熟知勾股定理，理解勾股定理的探究，掌握勾股定理逆定理，理解它们的产生及证明过程，形成体系，能运用勾股定理及逆定理进行计算、证明和解决实际问题.2. 理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念，能写出一个命题的逆命题.3，经历勾股定理、勾股定理逆定理、逆命题等的应用和证明体会数形结合思想以及转化思想在解决数学问题中的作用，学会运用数学的方式解决实际问题重点：勾股定理的简单计算证明，用勾股定理解三角形以及勾股定理的综合运用。

难点：勾股定理解三角形以及勾股定理的灵活运用。

知识梳理1勾股定理的概念：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a2 +b2 ＝c2 ）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b =，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识梳理2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）知识梳理3勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

勾股定理(讲义)

勾股定理一、知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系二、题型题型一：直接考查勾股定理例１. 在ABC ∆中，90C ∠=︒⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为21EDCB AAB CD E例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

2. 常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

2014期中讲义3勾股定理

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