人教版初中《第28章操作闻题和逻辑推理闻题》竞赛专题复习含答案
人教版九年级数学下册 第28章28.1---28.2练习题含答案 不全
28.1 锐角三角函数（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 已知在△ABC中，∠B=90∘，且AB=12AC，则∠A的度数是()A.45∘B.30∘C.60∘D.无法确定2. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是()A.√55B.√105C.2D.123. 当45∘<θ<90∘时，下列各式中正确的是（）A.tanθ>cosθ>sinθB.sinθ>cosθ>tanθC.tanθ>sinθ>cosθD.cosθ>sinθ>tanθ4. 已知α是锐角，cosα=13，则tanα的值是（）A.√310B.2√2C.3D.√105. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，下列式子不一定成立的是（）A.tan A=cot BB.sin2A+cos2A=1C.sin2A+sin2B=1D.tan A⋅cot B=16. 已知：如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B=65∘，则直角边BC的长是（）A.m sin65∘B.m cos65∘C.m tan65∘D.mtan65∘7. 当30∘<A<90∘时，sin A的值是（）A.大于√32B.小于√32C.小于12D.大于12且小于18. 若把一个直角三角形的两条直角边都扩大n倍，（n是大于1的自然数），则两个锐角的三角函数值（）A.都变大为原来的n倍B.都缩小为原来的1nC.不变化D.各个函数值变化不一致9. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=4，AC=3，则tan A的值是（）A.4 3B.34C.35D.4510. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2√3, 2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x 轴于点D．下列结论：①OA=BC=2√3；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(2√33, 0)．其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 若sin∠A=0.675，则∠A=________．12. 若0∘<α<90∘，tanα=1，则sinα=________．213. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sin A:sin B=2:3，那么a:b等于________．14. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为________.时，cos A=________．15. 若∠A为锐角，当tan A=√3316. 比较大小：sin87∘________tan47∘．17. 用计算器求值：sin23∘5′+cos66∘55′≈________．（精确到0.0001）=________．18. 若tan A=2，则sin A+cos Asin A−cos A19. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=3BC，则sin B=________，cos B=________．20. 如图，在△ABC中，∠C＝90∘，BC＝1，AB＝2，则sin A＝________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 计算（1）sin45∘+tan30∘cos60∘（2）tan60∘sin60∘−tan30∘tan45∘，求AC的长．22. 在△ABC中，∠C=90∘，BC=8cm，tan A=4323. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=4，求∠B的三个三角函数的值．524. 已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF>∠AOE．（1）求证：tan∠AOF>tan∠AOE；（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．25. 如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是(6, y)，且OP与x轴的，求角α的正弦值．正半轴的夹角α的正切值是4328.2《解直角三角形及其应》一、选择题1.如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A.30.6B.32.1C.37.9D.39.42.如图，河流的两岸PQ,MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树CD之间的距离为50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=45°，然后沿河岸走了130米到达B处，测得∠CBN=60°则河流的宽度CE为（）A.80B.C.D.3.某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°（如图），测量队在山坡上前进600米到D处，再测得树顶的仰角为60°，已知这段山坡的坡角为30°，如果树高为15米，则山高为（）（精确到1米， =1.732）.A.585米B.1014米C.805米D.820米4.如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45)( )A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米5.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于( )A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米6.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α=，则小车上升的高度是( )A.5米B.6米C.6.5米D.12米7.重庆朝天门码头位于置庆市油中半岛的嘉陵江与长江交汇处，是重庆最古老的码头.如图，小王在码头某点E处测得朝天门广场上的某高楼AB的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度为1：2.4的斜坡EC走了26米到达坡顶C处，到C处后继续朝高楼AB的方向前行16米到D处，在D处测得A的仰角为74°，则此时小王距高楼的距离BD的为（）米（结果精确到1米，参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）A.12B.13C.15D.168.底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米9.如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A.6sin15°cmB.6cos15°cmC.6tan15°cmD.cm10.如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A.5sin36°米B.5cos36°米C.5tan36°米D.10tan36°米11.中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游.他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i=1：2.4的斜坡上.宾馆AB高为129米.某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°.则轮船E距离海岸线D的距离ED的长为（）米（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A.262B.212C.244D.27612.春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C 处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处.已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（）米.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A.34.2B.32.7C.31.2D.22.7二、填空题13.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC的值为 .14.如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°.若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为 m.（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）15.某单位门前原有四级台阶，其横截面积如图所示，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人士，拟将它改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i=1:5，则AC的长度是 cm.16.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 .17.如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米.18.如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为 .三、解答题19.图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形.为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA=26°，∠OAB=146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）20.如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离.（结果保留根号）21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功.运载火箭从地面O处发射、当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.已知C,D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米，参考数据：）22.襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中.如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=56O米，∠D=50°.那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：）23.图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC=60°，∠ACB=15°，AC=40cm，求支架BC的长.（结果精确到1cm，参考数据：）24.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？参考答案1.答案为：D；2.答案为：C；3.答案为：C；4.答案为：A；5.答案为：C；6.答案为：A；7.答案为：A；8.答案为：B；9.答案为：C；10.答案为：C；11.答案为：B；12.答案为：D；13.答案为：.14.答案为：262.15.答案为：27016.答案为：17.答案为：750.18.答案为：2+.19.解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，20.解：21.解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，∴AO=2000，∴DO=2000，∵CD=460，∴OC=OD-CD=2000-460，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，∴BO=OC，∵OB=OA+AB=2000+3x，∴2000+3x=2000-460，解得x≈335（米/秒）.答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒.22.解：23.解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，∴△BCD是等腰直角三角形，∵AC=40cm，∴在Rt△ACD中，AD=0.5AC=20cm，∴支架BC的长为49cm.24.解:过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，如图所示.在Rt△BCM中，BC=30cm，∠CBM=30°，∴CM=BC•sin∠CBM=15cm.在Rt△ABF中，AB=40cm，∠BAD=60°，∴BF=AB•sin∠BAD=20cm.∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2=20+17（cm）.答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（20+17）cm.26. 解答下列问题.(1)【问题背景】如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连结格点B，E可得BE // CD，则∠ABE=∠CPB，连结AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为________；(2)【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．。
【数学竞赛】七年级数学思维探究(28)实验与操作(含答案)
王选（1937-2006），江苏无锡人，1958年毕业于北京大学数学系，从事计算机科学的研究．他于1976年设计出一套把汉字轮廓快速复原成点阵的算法，进一步研究于20世纪80年代研制出“激光照排系统”，并在全国的报社、出版社和印刷厂使用，使中国的印刷业告别“铅与火”的历史．他是中国科学院院士，中国工程院院士，激光照排实现了汉字印刷的革命性创造．28．实验与操作解读课标数学实验指的是为了探究数学知识、发现数学结论或假设而进行的某种操作、试验或思维活动． 数学实验是通过操作或借助计算机技术，从而获得经验，发现规律，进而解决问题，构建知识和促进发展．在一定的规则下进行某种实验或操作，问是否或证明能够达到一个预期的目的，这就是实验操作题． 数学实验操作题常借助两种手段完成：一是动手操作，运用事物或教具进行实验与操作；二是以计算机软件的应用为平台，模拟实验，利用数学模型解决问题．这类问题强调手脑并用，注重在“做”的过程中体验问题情境和经历解决、研究问题的过程．有效的数学学习不是单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索是学习数学的重要方法．解实验操作题的关键是：在实验与操作获得直观形象经验的基础上，能发现规律，或成功转化为一个数学问题． 问题解决例1 循环往复 图中的程序表示，输入一个整数x 便会按程序进行计算．设输入的x 值为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9；第2次计算的结果是4，……这样下去第5次计算的结果是__________，第2009次计算的结果是______________． 试一试 从具体的运算中找规律．例2 将一个正方形纸片依次按图①、图②方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪．最后将图④的纸再展开铺平，所看到的图案是（ ）．图①向上对折()图②图③图④A B CD试一试 既可以亲自裁剪，又可以按照折纸的先后顺序，逐步倒推．例3 如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：第1次()第2次()第3次()第1次把它等分成4个小正方形，第2次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．（1）请通过观察和猜想，将第3次、第4次和第n 次划分图中得到的正方形总个数()m 填入下表．试一试略例4 有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现在要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反．问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明．试一试国徽朝上朝下具有相反意义，将国徽朝上赋值“1-”．这样，若干枚国徽的朝+”，朝下赋值“1向情况可用若干个数的乘积来表示，把一个实际操作题转化为一个数学问题．例5 在22⨯方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？分析与解若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的．恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列7个图形作为基本图形：1()2()3()4()5()6()7()由此可得如下23个解答，其中凸多边形7个，凹多边形16个：1()2()3()4()5()6()7()8()()15()16()()14()13()119()10()12()23()()21()21()18()20()1917俄罗斯方块例6 游戏机的“方块”中共有下面7种图形，每种“方块”都由4个11⨯的小方格组成．现用这7种图形拼⨯的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？成一个74⨯的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品”字形必占3个分析与解为了形象化地说明问题，对74黑格1个白格或3个白格1个黑格外，其余6个方块各占2个黑格2个白格．⨯的长方形，方法很多，如图①仅出示一种．用其中的6种不同的图形方块可以拼成74⨯的长方形的28个小方格黑白相间染色，则如图②所示，下面证明不能7种图形方块都各用一次，将74⨯的长方形能用7种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次．其中黑、白格各14个，若74“品”字形如图③必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格．7种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于14．矛盾．因此，不存在7种图形方块⨯的长方形的方法．每个各用一次拼成74所出，要拼成74⨯的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种．图③数学冲浪知识技能广场1．乐在其中七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书《周髀算经》中即有正方形分割术，经历代演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图①）．19世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍．图①图②如果有一副七巧板的总面积是100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是________平方厘米．图②“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”．2．如图，在33⨯的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．3．如图，将长度为20cm，宽为2cm的长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为___________2cm．4．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为35n+；②当n为偶数时，结果为2kn（其中k是使2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取26n=，则26134411F F F−−−→−−−→−−−→第一次第二次第三次②①②若449n=，则第449次“F”运算的结果是____________．5．图中的大正三角形是由9个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图①、②所示．观察图①、图②中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑部分都是三个小正三角形．请在图③、图④内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．图①图②图③图④思维方法天地6．折折剪剪一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：①裁剪并展开请你仿图①，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图②末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分．②7．把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等．请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）：_________________________________________________________________________8．方格纸上有3个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？9．有依次排列的3个数：3，9，8．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1-，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8．继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作至第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？10．有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次从这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：（1）三堆石子的数分别是2，12，22；（2）三堆都是12．如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由[注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表示为()()19,8,918,7,11⇒等]．11．如图a 所示的展览馆有36个陈列室，每两个相邻陈列室之间有门可通，其入口与出口位置如图b 所示，现有人希望每个陈列室都能参观，但只经过每个展室一次，这可能吗？如果可能，请为他设计一条参观路线；如不可能，请说明理由．a入口展览大厅b进口出口应用探究乐园12．如图是一张“35⨯”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同．（1）能否分成5张满足上述条件的纸片？ （2）能否分成6张满足上述条件的纸片？若能分，用“a b ⨯”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．13．图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ） 在图①中，将线段12A A 向右平移1个单位到12B B ，得到封闭图形1221A A B B ，（即阴影部分）；在图②中，将折线123A A A 向右平移1个单位到123B B B ，得到封闭图形123321A A A B B B （即阴影部分）． （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： 1S =_________，2S =__________，3S =_____________； （3）联想与探索：如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．图①22图②33图③图④微探究设而不求字母示数是代数的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃． 字母示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用．为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义．例1 老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，甲、乙、丙、丁的结果分别是34567，34056，23456，34956，老师判定4个结果中只有1个正确，答对的是________．试一试 设原数为abcde ，化简并判断e abcde dcba -的特征．例2 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%．假设不计超市其他费用，如果超市要想获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）． A ．40% B ．33.4% C ．33.3% D ．30% 试一试 若要表示利润，则需指明质量、进价．例3 某地区民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价．某户8月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，9月份白天时段用电量比8月份白天时段用电量少60%，结果9月份的用电量虽比8月份的用电量多20%，但9月份的电费却比8月份的电费少10%．求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数．试一试 本例数量关系复杂，既涉及白天与晚间用电量的关系，不同月份用电量的关系，又关联月份间的电费，故要全面增设未知数．例4 从两个重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？试一试 由于已知条件中涉及合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件．例5 能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例；如果不能，请简述理由．分析 假设存在7个整数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 排成一圈后，满足题意，由此展开计算推理．若推得矛盾，则原假设不成立．a4a解 由题意得 12329a a a ++= 23429a a a ++= ……67129a a a ++= 71229a a a ++=将上述7式相加，得()12345673297a a a a a a a ++++++=⨯，12345672673a a a a a a a ∴++++++=，与1234567a a a a a a a ++++++为整数矛盾，故不存在满足题设要求的7个整数． 难解的结英国剑桥大学有一位数学家（真名叫道奇逊），用刘易士·卡洛尔的笔名写了不少非常有趣的科普读物，其中有一本《乱纷纷的结》，书中的每一章都叫做“绳结”，意即这些问题像绳结一样复杂难解，下面就是一个“绳结”的题目：例6 两个步行者正在急促地以每小时6千米的速度向山下走去，一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面．年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走3千米．在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走4千米．年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗？同伴说，这要看我们了，我们3点钟出来，8点钟该我们回到旅馆的时候了．今天可真走了不少路．年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧， 题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个“结”吗？解 设旅行者一共走过的路程为x 千米，上坡（或下坡）走过的路程为y 千米． 整个行程分为四段：走平路、上坡、下坡、再走平路．开始走平路所花的时间是124x y-小时，上坡所花的时间是3y 小时，下坡所花的时间是6y 小时，再走平路所花的时间是124x y-小时．依题意可得方程：112254364x y x yy y --+++=， 原方程化简得154x =，20x =，故他们一共走了20千米． 练一练1．已知2356x y z -=+，6914y z x =--，则x ，y ，z 的平均数是_______________．2．A 、B 两校男生、女生人数的比分别为8:7，30:31，两校合并后男生、女生人数的比是27:26．若用一位整数的比近似表示合并前A 、B 两校的人数的比，则这个近似比是_________．3．甲、乙两车从A 向B 行驶，甲比乙晚出发6小时，开始时甲、乙的速度比是4:3．甲出发6小时后，速度提高1倍，甲、乙两车同时到达B ．则甲从A 到B 共走了_________小时．4．某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%（每件冬装的利润=出厂价-成本），10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（ ）． A ．2% B ．8% C ．40.5% D ．62%5．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）．A ．28B ．27C ．19D ．186．一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加%a ，则所用的时间减少6%，则a 、b 的关系是（ ）．A ．1001%a b a =+B ．1001%b a =+C ．1a b a =+D ．100100ab a=+7．如图33⨯数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为S ．求证：ihgf e d c b a（1）3S e =；（2）()24a c g i b d f h e +++=++++．8．在一次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司赞助的款购买一批奖品．若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品．问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少？ 9．甲、乙二人分别从A 、B 两地出发，相向而行．若同时出发，经24分钟相遇；若乙比甲提前10分钟出发，甲出发20分钟与乙相遇，求甲从A 地到B 地、乙从B 地到A 地各需多少分钟？10．在车站开始检票时，有()0a a >名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问需要同时开放几个检票口？ 微探究借助图形思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题．当代美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并能创造性地思考问题．”现阶段借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题．例1 A 、B 、C 、D 、E 、F 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、E 五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B 队比赛的球队是___________． 试一试 用算术或代数方法解，易陷入困境，用6个点表示A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点间连一条线，这样用图来辅助解题，形象而直观．例2 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，类似地，称图②中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数，下列数中，既是三角形数，又是正方形数的是（ ）． A ．289 B ．1024 C ．1225 D ．1378图①10631图②16941试一试 分析三角形数、正方形数的特征，并用n 的代数式表示． 例3 有足够长的长方形和正方形卡片，如下图：（1）如果选取的1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．333221这个长方形的代数意义是________________________________________________________（2）小明想用类似方法解释多项式乘法()()2223327a ab a b b a b =++++，那么需要用2号卡片______张，3号卡片___________张．试一试 为避免拼图的盲目性，从整式的乘法入手． 眼见亦可为虚例4 一只小渔船在海上遇到了台风，触到礁石上，船身撞出了一个窟窿．如果不把它堵上，渔船就有沉没的危险．船中只有一块边长是8cm 的正方形木板，但是和船的窟窿相比，木板的面积少21cm ．怎么办好呢？正在焦急当中，有一个船员用锯把这块正方形的木板裁开（如下图），然后用胶粘接拼成了长方形木板．8×8=64cm 2()①②③④535313×5=65cm 2()②①④③3855从图中的计算可知：原来的正方形木板的面积是264cm ，可是改成长方形以后木板的面积却变成265cm 了，正好多出21cm ．船员赶紧把它堵在窟窿上，避免了渔船的沉没．可是大家都感到惊奇的是，这21cm 是从哪里多出来的呢，你能告诉他们吗？ 试一试 略横看成岭侧成峰例5 ()()()()()()22124222a b a b a b a b a b a b a b +-⎡⎤-=+-=+-⨯=⨯⨯⎢⎥⎣⎦． 下面的图形，形象直观验证了平方差公式：aabbb baa柳卡趣题例6 法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士，他对射影几何与微分几何研究都作出了重要贡献，在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，他提出了如下的一个轮船问题，人们称它为“柳卡趣题”．每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国的纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔，轮船在途中需要七天七夜，假定所有轮船都以同一航线、同速匀速行驶，问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？这个问题难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决．后来有一位数学家通过构图解法，才使问题最终得以解决． 解 用“时间—路程图”解答．日期日期纽约勒阿佛尔65432178910111213141516171716151413121110987123456从图上可以很清楚地看到，某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在中途可以遇到13艘从纽约开来的轮船，加上开航时与到达时相遇的2艘，因此一共遇到了15艘从纽约开出的轮船． 练一练1．如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形，现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片_______张，才能用它们拼成一个新的正方形．甲乙丙2．有若干张如图①所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为()2a b +，宽为()a b +的矩形，则需要A 类卡片___________张，B 类卡片_________张，C 类卡片________张，请你在图②中的大矩形中画出一种拼法．图①C B A abb b aa图②2a +b a +b3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图①所示，恰好可以拼成一个大的长方形． 小红看见了，说：“我来试一试，”结果七拼八凑，拼成如图②那样的正方形． 咳，怎么中间还留下了一个边长为2mm 的正方形洞！ 你能帮他们解开其中的奥秘吗？图①图②4．如图①，现有a a ⨯、b b ⨯的正方形纸片和a b ⨯的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为22252a ab b ++，并标出此矩形的长和宽．a ab abb5．用新方法解释旧模式常会推导绝妙的公式．请你依下列图形直观分别写出相应公式．图①2222图④=++36．如图，九块大小不等的正方形纸片A ，B ，…，I 无重叠、无缝隙地铺满了一块长方形，已知E 的边长为7，求其余各正方形的边长．IH GF ED CB A阿28．实验与操作问题解决例1 4-；4- 输入18，依次得到的结果为：9，4，2，1，4-，2-，1-，6-，3-，8-，4-，2-，1-，…显然，除去前4次的结果外，从第5次的结果4-开始，每6次一个循环，而()20094620056334-÷=÷=余1，故第2009次计算的结果为4-． 例2 D例3 （1）当3n =时，13m =；4n =时，17m =；……一般的41m n =+．（2）由41m n =+，得10341n =+，25.5n =，因n 不是正整数，故按此要求操作不可能得到103个正方形．例4 用1997枚硬币的朝向情况可用1997个数的乘积来表示．若这些数之积为1-（或1+），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）．开始时，其乘积为()()1000997111+⨯-=-．每次翻折6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-．经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的． 数学冲浪1．12.5 画图略 2．5 3．36 4．8 5．略6．或7．先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心P 的位置，保持中心P 的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三角形”，可使瓶底中心构成四个边长相等的“正三角形”如图（答案不唯一）．8．9．一个依次排列的n 个数组成一个数串：1a ，2a ，3a ，…，n a ，依题设操作方法可得新增的数为：21a a -，32a a -，43a a -，…，1n n a a --，则新增数之和为：()()()()21324311n n n a a a a a a a a a a --+-+-++-=- （※）原数串为3个数：3，9，8．第1次操作后所得数串为：3，6，9，1-，8，根据（※）可知，新增2项之和为：()61583+-==-，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，10-，1-，9，8，根据（※）可知，新增4项之和为()33109583++-+==-，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：()()39810083520+++⨯-=．10．（1）经过6次操作可达到要求：()()()()()()()19,8,921,7,823,6,725,5,624,4,823,3,1022,2,12⇒⇒⇒⇒⇒⇒． （2）不可能．因为每次操作后，每堆码数要么加2，要么少1，而19，8，9被3除余数分别为1，2，0，经过任何一次操作后余数分别是0，1，2，不可能同时被3整除．11．不可能 我们设想36个展室都依次相间地铺上了两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白→黑→白→黑→白→……的次序前进．因此，不管参观者怎样走法，第36次只能走到一间黑色地毯的展室，绝不可能走到铺白色地毯的展室出口．出口12．（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有11⨯，12⨯，13⨯，14⨯，22⨯，15⨯，23⨯，24⨯，33⨯，25⨯，34⨯，35⨯．若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和应为15，所以满足条件的有11⨯、12⨯、13⨯、14⨯、15⨯（如图①）或11⨯、12⨯、13⨯、22⨯、15⨯（如图②）图①图②（2）若能分成6张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为15，但上面排在前列的6个长方形的面积之和为1112131422151915⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>．所以分成6张满足条件的纸片是不可能的． 13．（1）略；（2）1S 、2S 、3S 的结果都是ab b -；（3）这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等步骤．关键是探索：当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分（即草地）面积情况．猜想：依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是ab b -．方法是将“小路”沿左右两个边界剪去，将其中一侧的草地平移一个单位向另一侧草地靠拢，得到一个新的矩形． 此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是b ，其水平方向的长度变成了1a -，所以草地面积是()1b a ab b -=-．设而不求（微探究） 例1 乙 所得差()()1190990e a d b =⨯-+-⎡⎤⎣⎦是11的倍数例2 B 设水果质量为m ，进价为a ，售价在进价的基础上至少提高x ，则()101120100100m x a ma ma⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=，解得33.4%x ≈． 例3 设白天的单价为a 元/度，晚间的单价比白天低的百分数为x ，即晚间的单价为()1x a -元/度，又设8月份晚间用电量为n 度，则8月份白天用电量为()150% 1.5n n =+度，8月份电费为。
人教版 九年级数学 下册 第28章 锐角三角函数 综合训练(含答案)
18. 如图，大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 A 处观察 灯塔 P 在北偏东 60°方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，这时观察 灯塔 P 恰好在北偏东 45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险 吗？试说明理由．(参考数据： 3≈1.73)
C． 3 5
B． 3 4
D． 4 5
3. （2020·扬州）如图，由边长为 1 的小正方形构成的网格中，点 A、B、C 都在 格点上，以 AB 为直径的圆经过点 C、D.则 sin∠ADC 的值为
（）
A. 2 13
13
B. 3 13 13
C. 2 3
D. 3 2
4. 如图，点 A,B,C 在正方形网格的格点上，则 sin∠BAC=（ ）
＝6 3＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6 3≈39.4(米)．
6. 【答案】C 【解析】如解图，过点 P 作 PC⊥OB 于点 C，则在 Rt△OPC 中， OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα ＝cosα ，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα ＝sinα ，即 点 P 的坐标为(cosα ，sinα )．
7. 【答案】D 【解析】如图，过点 A 作 AE⊥OC 于点 E，作 AF⊥OB 于点 F，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°， ∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴ FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx， 故选 D．
8. 【答案】A
13. 【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD
人教新版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷含答案解析
第28章锐角三角函数单元测试卷一．选择题（共12小题）1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）A．B．C．D．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A．B．C．1D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C 的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5B．C．1D．7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）A．29.0B．28.5C．27.5D．27.010．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50°方向上；②A地在B地的北偏西30°方向上；③cos∠BAC=；④∠ACB=50°．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④二．填空题（共12小题）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是．16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα=．17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．21．计算：tan45°+=；22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为．B．用科学计算器计算：sin69°≈（精确到0.01）．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）三．解答题（共26小题）25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．26．计算：sin30°﹣cos45°+tan260°．27．计算：2sin30°﹣2cos45°．28．计算：2cos230°+﹣sin60°．29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．30．（1）计算与化简：cos60°•tan30°（2）因式分解：3a2﹣6a+3．31．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．34．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．35．在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B （﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．36．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20．（1）求BC的长度；（2）若∠ADC=75°，求CD的长．37．C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM ∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）38．如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60°，∠ACB=45°，量得BC的长为30m，求这条河的宽度（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732．）39．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是1.6米．（1）请在指定区域内画出小红和小阳测量古松树高的示意图；（2）通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）40．如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）41．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i=1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD=8x（m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→B）到达B地，平均速度是2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．42．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）43．电影《厉害了，我的国》震撼上演后，引起了大家的强烈共鸣，当“复兴号”一幕又一幕的奔驰在祖国广袤的大地上，中国高铁的车轮快速的滚出了崭新中国的新画卷．中国高铁的飞速发展，使越来越多的人选择高铁出行．为了保证市民出行方便，某市的高铁站出入口与地铁站出入口进行对接．已知某人沿着坡角为30°的楼梯AB从A行至B，后沿BC路线上斜坡CD，坡角为30°，再行走一段距离DE，到达高铁入口处．若入口处楼梯EF的坡角为45°，DE∥BC∥AF，AB=20米，CD=4米，那么EF的长度是多少米？（保留0.1米）（≈1.414）44．图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图2，AB ⊥BC，垂足为点B，CD∥AB，FG⊥DE，垂足为点G，若∠θ=37°50′，FG=30cm，CD=10cm，求CF的长（结果取整数，参考数据：sin37°50′≈0.6l，cos37°50′≈079，tan37°50′≈0.78）45．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】46．如图，李强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼，为了求得对面办公大楼的高度，李强测得办公大楼顶部点A的仰角为30°，测得办公大楼底部点B 的俯角为37°，已知测量点P到对面办公大楼上部AD的距离PM为30m，办公大楼平台CD=10m．求办公大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，≈1.73）47．为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）48．如图是宁夏沙坡头的沙丘滑沙场景．已知滑沙斜坡AC的坡度是tanα=，在与滑沙坡底C距离20米的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B 在同一直线上，求滑坡的高AB．（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．49．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）50．如图，在一次海警演习中，A、B两地分别同时派出甲、乙两快艇营救一货轮C，已知B地位于A地正西方向相距84海里位置，货轮C位于A地正北方向，位于B地北偏东48.2°方向（所有数据精确到个位，sin48.2°≈0.7，cos48.2°≈0.6，tan48.2°≈1.05）（1）求A、B两地分别与货轮C的距离；（2）若乙快艇每小时比甲快艇多行驶20海里，且它们同时达到货轮C位置，求甲、乙快艇的速度．答案一．选择题（共12小题）1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x，∴tanA===，故选：A．【点评】本题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，∴=，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴==，设AD=2a，则AC=5a，根据勾股定理得到CD=a，因而sinA==．故选：B．【点评】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED∽△ABC是解决本题的关键．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A．B．C．1D．【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用sin60°=，cos60°=可求DB=，AD=，把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【解答】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴DB=，AD=c，在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，∴（a﹣）2=b2﹣c2，即a2+c2=b2+ac，∴．故选：C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C 的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出===2，推出BH=﹣2a，CH=2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得=，推出=，推出FH=2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b=﹣2a，推出2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断；【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC==2，∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°，∴∠CBH=∠BAO，∵∠CHB=∠AOB=90°，∴△CBH∽△BAO，∴===2，∴BH=﹣2a，CH=2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴=，∴=，∴FH=2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b=﹣2a，∴2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．故选：C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5B．C．1D．【分析】过F作FG⊥AC于G，然后连接AF，根据△ACF和△ABC底和高的比例可得出△ACF的面积，然后根据S ACF=AC×FG可求出FG的长，继而得出了答案．【解答】解：过F作FG⊥AC于G，连接AF，可得：△ACF和△ABC底之比为1：3；高之比为1：1；∴△ACF和△ABC的面积之比为1：3，又∵AB=2，BC=3，∴S△ABC =3，S△ACF=1，又∵S△ACF=AC×FG，∴FG=．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，难度较大，首先要判断出FG可表示最短距离，然后解答本题关键的一步是利用底与高的关系求出△AFC的面积．7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m【分析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM=BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN=AB．【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AB=MN，AM=BN．在直角△ACM，∵∠ACM=45°，AM=50m，∴CM=AM=50m．∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，∴CN=（m），∴MN=CM﹣CN=50﹣（m）．则AB=MN=（50﹣）m．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm【分析】根据OA=OB，可知△AOB是等腰三角形，作OG⊥AB于点G，从而可以得到AG=BG，∠AOB=2∠AOG，从而可以得到OG的长．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA=OB=14厘米，∠AOB=60°，∴∠AOG=∠BOG=30°，AG=BG，∴OG=OA•cos30°=7厘米，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）A．29.0B．28.5C．27.5D．27.0【分析】作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．想办法求出BC、AH即可解决问题；【解答】解：作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．则四边形BCMF，四边形CDGH 是矩形．在Rt△FEM中，FM：EM=1：2.4，EF=5.2m，∴FM=BC=2m，EM=4.8m，CM=BF=30m，∴CD=CM+EM+DE=45m，∴GH=CD=45m，在Rt△AGH中，AH=GH•tan26°≈22.05m，∵CH=DG=51.5m，∴AB=CH﹣BC﹣AH=51.5﹣2﹣22.05≈27.5（m），故选：C．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米【分析】延长BC交AD于H．在Rt△DCH中，求出CH，再在Rt△ABH中求出AB即可；【解答】解：延长BC交AD于H．在Rt△CDH中，∵DH：CH=1：0.75，CD=0.5，∴DH=0.4，CH=0.3，∴BH=1.3，在Rt△ABH中，cos63°=，∴AB≈2.9（米），故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角俯角的概念，理解坡度坡角的定义，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°﹣75°）=60°，∴BD=AB•cos60°=AB=6，AD=AB•sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决问题的关键．12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50°方向上；②A地在B地的北偏西30°方向上；③cos∠BAC=；④∠ACB=50°．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60°，∠4=50°，∴∠5=∠4=50°，即B在C处的北偏西50°，故①正确；∵∠2=60°，∴∠3+∠7=180°﹣60°=120°，即A在B处的北偏西120°，故②错误；∵∠1=∠2=60°，∴∠BAC=30°，∴cos∠BAC=，故③正确；∵∠6=90°﹣∠5=40°，即公路AC和BC的夹角是40°，故④错误．故选：B．【点评】本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．二．填空题（共12小题）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC=，再利用勾股定理计算出AC=，然后利用面积法计算CD的长【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中，∵sinA==，∴BC=×4=，∴AC==，∵CD•AB=AC•BC，∴CD==，即斜边上的高为．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图，tanα==故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是α=β＞γ．【分析】首先根据锐角三角函数的概念表示出tan∠1=，tan∠4=，进一步分析平行线，再根据平行线的性质进行分析．【解答】解：如图所示，tan∠1=，tan∠4=，故∠1=∠4．根据两直线平行，内错角相等，得∠3=∠2，于是∠1+∠2=∠3+∠4，即α=β．根据两直线平行，内错角相等，得∠4=∠5，又∠3＞∠6，故∠3+∠4＞∠5+∠6，即β＞γ．所以α=β＞γ．【点评】考查了平行线的性质及识图分析能力．从图中找出同位角、内错角和同旁内角、根据平行线的性质解答．16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα=．【分析】由0°＜α＜90°、tanα=1知∠α=45°，据此可得sinα=．【解答】解：∵0°＜α＜90°，tanα=1，∴∠α=45°，则sinα=，故答案为：．【点评】本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．【分析】根据tanA=和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值．【解答】解：如图，∵tanA==，∴设AB=5x，则BC=4x，AC=3x，则有：sinA+cosA=+=+=，故答案为：．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进而得出结论．18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=．【分析】根据一个角的余切等于它余角的正切，可得答案．【解答】解：由α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=，故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用一个角的余切等于它余角的正切是解题关键．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【解答】解：由∠C=90°，若sinA=，得cosB=sinA=，故答案为：．【点评】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．【分析】根据正切的定义，可得直角边，根据勾股定理，可得斜边，根据余弦函数，可得答案．【解答】解：如图，由tanB=，得AC=4k，BC=3k，由勾股定理，得AB=5k，cosA===，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用正切的定义得出直角边是解题关键．21．计算：tan45°+=5；【分析】先代入三角函数值、计算算术平方根，再计算加法可得答案．【解答】解：tan45°+=1+4=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值和算术平方根的定义．22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=30°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：∵∠A是锐角，tanA=，∴∠A=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为π．B．用科学计算器计算：sin69°≈ 2.47（精确到0.01）．【分析】A．根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．B．直接使用科学计算器进行计算．【解答】解：A．∵AB=BC，CD=DE，∴=，=，∴+=+，∴∠BOD=90°，==π．∴S阴影=S扇形OBDB．sin69°≈2.47．故答案是：π；2.47．【点评】A．考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．B．考查了计算器的使用．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为8.16．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）【分析】根据计算器的使用，可得答案．【解答】解：tan 42≈0.9004，=0.9004，AC≈8.16，故答案为：8.16．【点评】本题考查了计算器，正确使用计算器是解题关键．三．解答题（共26小题）25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM==．【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．26．计算：sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求值即可．【解答】解：原式=﹣×+×（）2=﹣+×3=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值即可解题，属于基础题型．27．计算：2sin30°﹣2cos45°．【分析】首先计算特殊角的三角函数，然后再计算乘法，后计算加减即可．【解答】解：原式=2×﹣2×=1﹣+2=1+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．28．计算：2cos230°+﹣sin60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式=2×（）2+﹣，=+﹣，=3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣sin60°==．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．30．（1）计算与化简：cos60°•tan30°（2）因式分解：3a2﹣6a+3．【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得答案；（2）根据提公因式法、公式法，可得答案．【解答】解：（1）原式=×=；（2）3a2﹣6a+3=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，分解因式要彻底，分解到不能分解为止．31．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+3﹣=3．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．（2）通过解直角△ABC得到AC的长，利用勾股定理即可得到BC的长度．【解答】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：。
最新人教版九年级数学下册第28章同步测试题及答案
最新人教版九年级数学下册第28章同步测试题及答案28.1 锐角三角函数一、选择题（每小题只有一个正确答案）1. cos30°的相反数是( )A. －B. －C. －D. －2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sin A=，那么sin B的值是（）A. B. C. D.3. 已知在△ABC中，∠C=90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sin B=n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（）A. B. C. D.4．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 以上都不对5. 点（－sin 30°，cos 30°）关于y轴对称的点的坐标是（）A. （，）B. （，－）C. （－，－）D. （－，）6. 在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值A. 扩大2倍B. 缩小C. 不变D. 无法确定7. 如图，是的外接圆，AD是的直径，若的半径为则的值是A. B. C. D.二、填空题8. 计算：sin 45°+tan 60°•tan 30°﹣cos 60°=_____．9. 在锐角△ABC中，如果∠A，∠B满足|tan A－1|＋＝0，那么∠C＝________．10. 如图，若点A的坐标为，则sin∠1=_____．11. 观察下列等式根据上述规律，计算 ______ ．12. 如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则sin∠AFG的值是________．三、解答题13. 计算+|-2|-2tan 60°+（）-1．14. 计算：（1）﹣2sin 45°+（2﹣π）0﹣tan 30°；（2）2cos 60°﹣（）﹣1+tan 600+|﹣2|.15. 先化简，再求值：，其中．参考答案1.C 【解析】∵cos30°=，∴cos30°的相反数是－.故选C.2.A 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，∴cos A=，∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A=．故选A．3.A 【解析】根据直角三角形的性质可知最小的内角的度数为0°至45°之间，则，即，故选A．4.B 【解析】根据直角三角形的三角函数可得：sin A=，cos A=，tan A=，故选B．5.A 【解析】点即为关于y轴对称的点的坐标是故选A.6.C7.B 【解析】如图，连接CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，且∠B=∠D.在Rt△ACD中，AD=5×2=10，AC=8，∴CD=6，∴cos D===，∴cos B=cos D=.故选B．8.【解析】原式＝＝1＋1－＝．9.75°【解析】∵|tan A－1|＋2＝0，∴tanA=1，cosB= .∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．10.故答案：.11. 1 【解析】∵根据已知的式子可以得到sin （90°-α）=cos α，∴sin 2α+sin 2（90°-α）=1. 12. 【解析】∵等边△ABC ，∴AC =AB ，∠B =∠CAD =60°.∵在△ADC 和△BEA 中，，∴△ADC ≌△BEA ，∴∠CDA =∠AEB ，∴∠CEA =∠CDB ，∴∠CFE =∠B =60°，∴∠AFG =60°，∴sin ∠AFG =. 13.解：+|-2|-2tan 60°+（）-1＝2＝5-.14.解：（1）原式=2﹣+1﹣1=.（2）原式=1﹣2+1+2﹣=2﹣．15.解：－=－==－．当x =tan 60°－1即x =－1时，原式=－=－=－．28.2.1 解直角三角形知识点 1 解直角三角形1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB 的长为( )A ．4B ．6C ．8D ．102.在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 的长为( ) A.3sin40° B ．3sin50°C.3tan40° D ．3tan50°3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝6，b ＝2 3，则∠B 的度数为________．4.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，c ＝8 3，∠A ＝60°，则a ＝________，b ＝________.5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，由下列条件解直角三角形. (1)已知∠A ＝60°，b ＝4； (2)已知a ＝13，c ＝23；(3)已知c ＝28 2，∠B ＝30°.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，AB ＝6，求BC 的长．知识点 2 解直角三角形的应用7.如图，为了测量一河岸相对的两电线杆A ，B 间的距离，在距A 点15米的C 处(AC ⊥AB )测得∠ACB ＝50°，则A ，B 间的距离应为( )A.15sin50° 米 B ．15tan50° 米 C.15tan40° 米 D ．15cos50° 米8.某楼梯的示意图如图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽为1米，则地毯的面积至少为( )A.4sin θ平方米B.4cos θ平方米C.(4＋4tan θ)平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米9.如图，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E .若sin B ＝23，AD ＝6，则菱形ABCD 的面积为( )A.12 B ．12 5 C ．24 D ．5410.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E .设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为( )A.3B.163C.203D.22311.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．能力提升12.如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是( )A.R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin36°C.a ＝2r tan36° D ．r ＝R cos36°13.如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D .已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A.1B.203 C ．3 D.16314.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直，∠CAB ＝α，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.h sin αB.h cos αC.htan αD ．h ·cos α 15.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，cos ∠ABC ＝45，点D 在BC 边上，BD ＝6，CD ＝AB ，则AD 的长为__________．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB 上的高CD ＝3，BD ＝1，解这个直角三角形．17.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝2 3，求△ABC 的面积．18.如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝8，D 为线段BC 上一点，并且CD ＝2.(1)求BD 的长； (2)求cos ∠DAC 的值．参考答案1．D [解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝BC AB ＝35，BC ＝6，∴AB ＝BC sin A ＝635＝10.2.D [解析] 已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，∴∠B ＝50°.∵tan B ＝AC BC ，即tan50°＝AC3，∴AC ＝3tan50°.故选D.3.30° [解析] ∵tan B ＝b a ，b ＝2 3，a ＝6，∴tan B ＝2 36＝33，∴∠B ＝30°.4.12 43 [解析] 本题是已知一锐角和斜边，解直角三角形，由sin A ＝ac ，得a ＝c ·sin A ＝8 3·sin60°＝8 3×32＝12，由勾股定理易知b ＝4 3. 5.解：(1)∵∠A ＝60°，∴∠B ＝30°. ∵tan A ＝ab，∴a ＝b tan A ＝4tan60°＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.即∠B ＝30°，a ＝4 3，c ＝8. (2)由勾股定理，知b ＝c 2－a 2＝（23）2－（13）2＝13，∴a ＝b ， ∴∠A ＝∠B ＝45°. 即∠A ＝∠B ＝45°，b ＝13.(3)∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，b ＝12c ＝12×28 2＝14 2.又∵cos B ＝ac，∴a ＝c ·cos B ＝28 2×cos30°＝14 6. 即∠A ＝60°，a ＝14 6，b ＝14 2.6.解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴sin A ＝BCAB .∵AB ＝6，sin A ＝23，∴BC 6＝23，∴BC ＝4.7.B [解析] 由tan ∠ACB ＝ABAC 知AB ＝AC ·tan ∠ACB ＝15tan50°.故选B.8.D9.C [解析]∵四边形ABCD 是菱形，AD ＝6，∴AB ＝BC ＝6.在Rt △ABE 中，sin B ＝AEAB.∵sin B ＝23，∴AE 6＝23，解得AE ＝4，∴菱形ABCD 的面积是6×4＝24.故选C.10.B [解析] 由已知可得AB ＝CD ＝4，∠ADE ＝∠ACD ＝α.在Rt △DEC 中，cos α＝CE CD ＝35，即CE4＝35，∴CE ＝125.根据勾股定理，得DE ＝165.在Rt △AED 中，cos α＝DE AD ＝35，即165AD ＝35，∴AD ＝163.故选B. 11.解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BCtan A ＝2 3，则EF ＝AC ＝2 3.∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.12.A[解析]∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，∴∠BOC ＝15×360°＝72°.∵OB ＝OC ，OH ⊥BC ，∴∠BOH ＝12∠BOC ＝36°，BH ＝12BC ＝12a .在Rt △BOH 中，OB 2－OH 2＝BH 2，∴R 2－r 2＝(12a )2＝14a 2，则选项A 错误．∵sin36°＝BH OB ，∴BH ＝OB ·sin36°，即12a ＝R sin36°，∴a ＝2R sin36°，则选项B 正确．∵tan36°＝BH OH ，∴BH ＝OH ·tan36°，即12a ＝r tan36°，∴a ＝2r tan36°，则选项C 正确．∵cos36°＝OHOB ，∴OH ＝OB ·cos36°，∴r ＝R cos36°，则选项D 正确．故选A.13. D [解析]∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A＋∠B ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B .在Rt △ABC 中，∵cos B ＝ cos ∠ACD ＝BC AB ＝35，BC ＝4，∴AB ＝203，∴AC ＝AB 2－BC 2＝（203）2－42＝163.故选D. 14.B [解析] 根据同角的余角相等，得∠CAD ＝∠BCD ，由cos ∠BCD ＝CD BC ，知BC ＝CD cos ∠BCD ＝hcos α.故选B.15.2 10 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .设DE ＝x ，则BE ＝6＋x ，CD ＝6＋2x .∵cos ∠ABC ＝45，AB ＝CD ＝6＋2x ，∴BE AB ＝6＋x 6＋2x ＝45，解得x ＝2.∴AB ＝10，BE ＝8，∴AE ＝AB 2－BE 2＝6.∴在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2＋DE 2＝210.16.解：在Rt △BCD 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝12＋（3）2＝2， ∴sin B ＝CD BC ＝32，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC cos B ＝2cos60°＝212＝4，∴AC ＝AB 2－BC 2＝42－22＝16－4＝12＝2 3. 即∠A ＝30°，∠B ＝60°，AB ＝4，BC ＝2，AC ＝2 3. 17.解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得 AD ＝AC 2－CD 2＝12－3＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3，∴△ABC 的面积为12CD ·AB ＝12×3×(3＋3)＝3＋3 32.18.解：(1)在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ＝45.∵AC ＝8，∴AB ＝10，BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6， ∴BD ＝BC －CD ＝6－2＝4. (2)在Rt △ACD 中，∵AD ＝AC 2＋CD 2＝82＋22＝217， ∴cos ∠DAC ＝AC AD ＝8217＝41717.28.2.2 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形知识点1利用直角三角形解决一般的实际问题1.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶即可到达B地．已知AC＝120 km，∠A＝30°，∠B＝135°，求隧道开通后汽车从A地到B地需行驶多少千米．2.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据求出河宽．(精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)知识点2利用仰角、俯角解决实际问题3.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为()A.100 3m B．50 2mC.50 3m D.100 33m4.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为()A.160 3m B．120 3mC.300 m D．160 2m5.孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为__________米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)6.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测得B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.7.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)能力提升8．为解决停车难的问题，在如图的一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位(2≈1.4)．9.如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后在E 处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处．已知AC⊥BC于点C，DE∥BC，BC＝110 m，DE＝9 m，BD＝60 m，α＝32°，β＝68°，求AC的高度．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)10.如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60 m，随后无人机从A处继续水平飞行30 3m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．11.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．参考答案1．解：如图，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E .∵∠A ＝30°，AC ＝120 km ，∴EC ＝60 km ，AE ＝120×cos30°＝60 3(km)． ∵∠ABC ＝135°， ∴∠CBE ＝45°， ∴BE ＝EC ＝60 km ，∴AB ＝AE －BE ＝60 3－60＝60(3－1)km.答：隧道开通后汽车从A 地到B 地需行驶60(3－1)km. 2.解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，设CE ＝x 米．在Rt △AEC 中，∠CAE ＝45°，AE ＝CE ＝x 米． 在Rt △BEC 中，∠CBE ＝30°，BE ＝3CE ＝3x （米）． ∴3x ＝x ＋50，解得x ＝253＋25≈68.30. 答：河宽约为68.30米．3.A [解析] 因为tan ∠ABC ＝tan30°＝AC BC ＝100BC ＝33，所以BC ＝100 3m ．故选A.4.A5.182 [解析] 如图，仰角∠A ＝20°，AC ＝500米.在Rt △ABC 中，tan A ＝BCAC ，所以塔高BC ＝AC ·tan A≈500×0.3640＝182(米).故答案为182.6.解：(1)根据题意，在Rt △ABD 中，∠BDA ＝α＝60°，AB ＝30米， ∴AD ＝AB tan60°＝303＝10 3(米)．答：甲、乙两建筑物之间的距离AD 为10 3米．(2)过点C 作CE ⊥AB 于点E .根据题意，得∠BCE ＝β＝30°，CE ＝AD ＝10 3米，CD ＝AE . 在Rt △BEC 中，tan ∠BCE ＝BECE， 即tan30°＝BE10 3，∴BE ＝10(米)，∴CD ＝AE ＝AB －BE ＝30－10＝20(米)． 答：乙建筑物的高CD 为20米．7.解：由题知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. ∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDC ， ∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则ED ＝BE ＝2EC ＝2x (m)，DC ＝EC ＋ED ＝x ＋2x ＝3x (m)， ∴BC ＝BE 2－EC 2＝3x (m).由题意可知∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形， ∴AC ＝DC ， 即3x ＋60＝3x ， 解得x ＝30＋10 3. ∴ED ＝2x ＝(60＋20 3)m. 答：塔ED 的高度为(60＋20 3)m.8. 17 [解析] 设这个路段可以划出x 个这样的停车位，根据题意，水平距离为2.22＋2.2×2(x －1)＋52≤56，解得x 的最大整数值为17.故答案为17.9.过点D 作DH ⊥BC 于点H ，延长DE 交AC 于点F ，则DF ＝CH ，DH ＝CF .∵在Rt △BDH 中，α＝32°， ∴DH ＝BD ·sin32°≈60×0.53＝31.8， BH ＝BD ·cos32°≈60×0.85＝51，∴CF ＝DH ≈31.8，CH ＝BC －BH ≈110－51＝59， ∴DF ＝CH ≈59，∴EF ＝DF －DE ≈59－9＝50. ∵在Rt △AEF 中，β＝68°， ∴AF ＝EF ·tan68°≈50×2.48＝124， ∴AC ＝AF ＋CF ≈124＋31.8＝155.8(m)． 答：AC 的高度约为155.8 m.10.(1)∵∠BAC ＝90°－30°＝60°，AC ＝60 m ， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC cos ∠BAC ＝60cos60°＝120(m)．(2)过点D 作DE ⊥AA ′于点E ，连接A ′D .∵∠DAC ＝90°－60°＝30°，AC ＝60 m ， ∴在Rt △ADC 中，CD ＝AC ·tan ∠DAC ＝60×tan30°＝20 3(m)． ∵∠AED ＝∠EAC ＝∠C ＝90°， ∴四边形ACDE 是矩形．∵ED ＝AC ＝60 m ，EA ＝CD ＝20 3 m ，∴在Rt △A ′ED 中，tan ∠EA ′D ＝ED EA ′＝ED EA ＋AA ′＝6020 3＋30 3＝2 35.即从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值为2 35.11.(1)在Rt △DCE 中，∠DCE ＝30°， sin ∠DCE ＝DECD ，∴DE ＝CD ·sin ∠DCE ， ∴DE ＝4×12＝2(米)．(2)如图，延长BD 交AE 的延长线于点F .由题意知∠BDG ＝45°， ∴∠F ＝∠BDG ＝45°. ∵∠DEF ＝90°， ∴∠EDF ＝∠F ＝45°， ∴EF ＝DE ＝2米．设AC ＝x 米，则AB ＝AC ·tan ∠ACB ， ∴AB ＝x ·tan60°＝3x 米．在Rt △DCE 中，CE ＝CD 2－DE 2＝2 3(米)， ∴AF ＝EF ＋CE ＋AC ＝(2＋2 3＋x )米． 在Rt △ABF 中，tan F ＝ABAF ，即tan45°＝3x2＋2 3＋x ，解得x ＝(3＋1)2＝4＋2 3， ∴AB ＝3x ＝(6＋4 3)米． 答：大楼AB 的高度为(6＋4 3)米．第2课时 坡角、方向角与解直角三角形知识点 1 方向角问题1.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB 是( )A.2海里 B ．2sin55°海里C.2cos55°海里 D ．2tan55°海里2.如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在西偏南68°方向上．航行2小时后到达N 处，观测到灯塔P 在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)()A.22.48海里B．41.68海里C.43.16海里D．55.63海里3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为()A.4 km B．2 3kmC.2 2km D．(3＋1)km4.如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？知识点2坡角问题5.如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了________米．6.如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他距离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°.7.如图，小华站在河岸上的点G ，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C 的俯角是∠FDC ＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6 m ，BG ＝0.7 m ，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡的坡度i ＝4∶3，坡长AB ＝8 m ，点A ，B ，C ，D ，F ，G 在同一个平面上，则此时小船C 到岸边的距离CA 的长为________m ．(结果保留根号)8.如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB ＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果精确到0.1米，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.19)9.某地一天桥如图所示，天桥高6米，坡面BC 的坡度为1∶1.为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．10. 如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60 3米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6， tan53°≈43，计算结果用根号表示)11.如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2 3，无人机的飞行高度AH＝500 3米，桥的长为1255米．(1)求H到桥的左端点P的距离；(2)无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度．参考答案1.C [解析] 由题意可知∠NP A ＝55°，AP ＝2海里，∠ABP ＝90°.∵AB ∥NP ，∴∠A ＝∠NP A ＝55°.在Rt △ABP 中，∵∠ABP ＝90°，∠A ＝55°，AP ＝2海里，∴AB ＝AP ·cos A ＝2cos55°（海里）．故选C.2.B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A .由题意，得MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠MNC ＝90°，∠CNP ＝46°，∴∠MNP ＝∠MNC ＋∠CNP ＝136°.∵∠BMP ＝68°，∴∠PMN ＝90°－∠BMP ＝22°，∴∠MPN ＝180°－∠PMN －∠MNP ＝22°，∴∠PMN ＝∠MPN ，∴MN ＝PN ＝60海里．∵∠CNP ＝46°，∴∠PNA ＝44°，∴P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)．3.C [解析] 由题意知OA ＝4 km ，∠AOB ＝30°，∠BAC ＝75°，则∠B ＝45°.过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H .在Rt △OAH 中，∠AHO ＝90°，OA ＝4 km ，∠AOB ＝30°，∴AH ＝12OA ＝2（km ）.在Rt △BAH 中，∠AHB ＝90°，∠B ＝45°，AH ＝2 km ，∴AB ＝2AH ＝2 2（km ）.故选C.4.解：如图，作AC ⊥BD 于点C .由题意知∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°.设AC ＝x 海里，则BC ＝3x 海里，DC ＝33x 海里．因为BC －DC ＝3x －33x ＝12，所以x ＝6 3.因为6 3＝108>64＝8，所以渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．5.100 [解析] 根据题意，得tan A ＝BC AC ＝13＝33，所以∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×200＝100(米)． 6.30 [解析] 因为sin A ＝h AB ＝24＝12，所以∠A ＝30°.7.(8 3－112) [解析] 如图所示，延长DG 交CA 的延长线于点H ，则DH ⊥CH ，过点B 作BE ⊥AH ，垂足为E .在Rt △ABE 中，i AB ＝4∶3，即BE AE ＝43.设BE ＝4x ，AE ＝3x (x >0).由勾股定理，得AB ＝5x .由AB ＝8，得x ＝85，从而BE ＝325＝GH ，AE ＝245.∴DH ＝DG ＋GH ＝1.6＋325＝8，AH ＝245＋0.7＝112.∵∠FDC ＝30°，∴∠C ＝30°.在Rt △CDH 中，DH CH ＝tan30°，即8CH ＝33，∴CH ＝8 3，∴CA ＝CH －AH ＝8 3－112（m ）.8.解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .在Rt △ABE 中，AB ＝25米，∠ABC ＝62°，∴AE ＝AB ·sin ∠ABC ＝25sin62°≈25×0.88＝22(米)，BE ＝AB ·cos ∠ABC ＝25cos62°≈25×0.47＝11.75(米)．在Rt △ADE 中，AE ≈22米，tan50°≈1.19，∴DE ＝AE tan50°≈221.19≈18.49(米)， ∴DB ＝DE －BE ≈18.49－11.75＝6.74≈6.7(米)．答：应将坝底向外拓宽约6.7米．9.解：(1)由tan α＝13＝33，得α＝30°. (2)文化墙PM 不需要拆除．理由：作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD ＝6米，∴AD ＝CD tan α＝6 3（米），BD ＝6米， ∴AB ＝AD －BD ＝6 3－6（米）<8米，∴文化墙PM 不需要拆除．10.解：过点B 作BE ⊥CD 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，则四边形CEBF 是矩形．∵斜坡的斜面DB 的坡度i ＝1∶3，∴∠BDE ＝30°.在Rt △BDE 中，BD ＝30米，∴BE ＝BD ·sin30°＝15（米），ED ＝BD ·cos30°＝15 3（米），∴BF ＝CE ＝CD －ED ＝45 3（米）．在Rt △AFB 中，∠ABF ＝53°，∵tan ∠ABF ＝AF BF， ∴AF ＝BF ·tan53°≈45 3×43＝60 3(米)， ∴AC ＝AF ＋CF ＝AF ＋BE ≈60 3＋15（米）．答：楼房AC 的高度约是(60 3＋15)米．11.解：(1)在Rt △AHP 中，∵∠APH ＝α，AH ＝500 3米，∴tan ∠APH ＝AH HP＝tan α， 即500 3HP＝2 3，解得HP ＝250(米)． 答：H 到桥的左端点P 的距离为250米．(2)过点Q 作QM ⊥AB 交AB 的延长线于点M ，则可得AM ＝HQ ＝HP ＋PQ ＝1255＋250＝1505(米)，QM ＝AH ＝500 3米．∵在Rt △QMB 中，∠QMB ＝90°，∠QBM ＝30°，QM ＝500 3米，∴BM ＝QM tan ∠QBM ＝500 333＝1500(米)， ∴AB ＝AM －BM ＝1505－1500＝5(米)．答：这架无人机的长度为5米．。
人教版九年级数学下册 第28章 达标检测卷(含答案)
人教版九年级数学下册 第28章 达标检测卷(考试时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1252．某段河堤的横断面如图所示，堤高BC ＝5 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AC 的长是( ) A ．5 3 m B ．10 m C ．15 m D ．10 3 m3．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°.设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )A ．0<n <22B ．0<n <12C ．0<n <33D ．0<n <324．将一张矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在点C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED 的值是( )A ．2 B.12 C.22 D.325．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm6．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( )A. 3B. 4C. 6D. 8 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，则cos B ＝ ．8．若 3tan (x ＋10°)＝1，则锐角x 的度数为 ．9．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长为10 m ，则大树的长约为 m ．(结果精确到1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)10．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为 米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，⊙D 过A ，B ，O 三点，C 为ABO ︵上一点(不与O ，A 两点重合)，则cos C 的值是 .12．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ．据此判断下列等式成立的是 (写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cosx ·sin y .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：(1)sin 2 60°＋tan 45°－32cos 30°－tan 260°；(2)sin 30°－cos 2 45°＋34tan 2 30°＋sin 260°.14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝25，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AB 的长．15．如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，AC ＝BD ，已知sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．16．有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1) m ，请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2019益阳中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB ＝∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 的延长线于点E.(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB ＝14，cos ∠CAB ＝78，求线段OE 的长．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC ＝15，cos A ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．20．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直马路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．一数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A ，B 两点，并在AB 路段进行区间测速．在l 外取一点P ，作PC ⊥l ，垂足为点C ，测得PC ＝30米，∠APC ＝71°，∠BPC ＝35°，上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的值．22．如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1，l2，l3都垂直，垂足分别为点A，点B和点C，l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝ 3 km，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝1313，MN＝213 km，点A和点N是城际铁路线L上的两个相邻的站点．(1)求l2和l3之间的距离；(2)若城际火车平均时速为150 km/h，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时(结果用分数表示)．六、(本大题共12分)23．(2019年遂宁中考第24题 )如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝1252．某段河堤的横断面如图所示，堤高BC ＝5 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AC 的长是( A ) A ．5 3 m B ．10 m C ．15 m D ．10 3 m3．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°.设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( A )A ．0<n <22B ．0<n <12C ．0<n <33D ．0<n <324．将一张矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折起，使顶点C 落在点C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED 的值是( B )A ．2 B.12 C.22 D.325．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm6．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B .若反比例函数y ＝k x的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，则k 的值为( C )A. 3B. 4C. 6D. 8 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝32，则cos B ＝ 12．8．若 3tan (x ＋10°)＝1，则锐角x 的度数为__20°__．9．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长为10 m ，则大树的长约为 17 m ．(结果精确到1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)10．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为 2.9 米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．如图，O 为原点，点A 的坐标为(3，0)，点B 的坐标为(0，4)，⊙D 过A ，B ，O 三点，C 为ABO ︵上一点(不与O ，A 两点重合)，则cos C 的值是 45.12．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ．据此判断下列等式成立的是 ②③④ (写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24；③sin 2x ＝2sin x ·cos x ；④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cosx ·sin y .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：(1)sin 2 60°＋tan 45°－32cos 30°－tan 260°；解：原式＝(32)2＋1－32×32－(3)2 ＝34＋1－34－3 ＝－2.(2)sin 30°－cos 2 45°＋34tan 2 30°＋sin 260°.解：原式＝12－(22)2＋34×(33)2＋(32)2＝12－12＋34×13＋34 ＝1.15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝25，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AB 的长．解：∵∠C ＝90°，∠BDC ＝45°， ∴∠DBC ＝45°，∴DC ＝BC ＝6.又∵sin A ＝25，∴BC AB ＝25，∴AB ＝15.15．如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，AC ＝BD ，已知sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：∵AD ⊥BC ，∴△ADC 为直角三角形，故sin C ＝AD AC ＝1213，设AD ＝12k ，则AC ＝13k ，∵AC ＝BD ，∴DC ＝BC －BD ＝12－13k ；由勾股定理得(13k)2＝(12k)2＋(12－13k)2，整理得6k 2－13k ＋6＝0，解得k ＝23或32；∴AD ＝8或AD ＝18(不合题意，舍去)． 故AD ＝8.16．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2(3＋1) m ，请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m 的圆形门？解：如图，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D. 在Rt △ABD 中，∠A ＝30°，则AD ＝3BD. 在Rt △BCD 中，∠C ＝45°，则CD ＝BD.∵AC ＝AD ＋CD ＝3BD ＋BD ＝(3＋1)BD ＝2(3＋1)， ∴BD ＝2，2<2.1.故工人师傅搬运此钢架能通过这个直径为2.1 m 的圆形门．17．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtan A＝23，则EF ＝AC ＝23，∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sin E ＝6， ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(10分)(益阳中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB ＝∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 的延长线于点E.(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB ＝14，cos ∠CAB ＝78，求线段OE 的长．(1)证明：∵∠CAB ＝∠ACB ，∴AB ＝CB ， ∴▱ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD.(2)解：在Rt △AOB 中，cos ∠CAB ＝AO AB ＝78，AB ＝14，∴AO ＝14× 78＝494， 在Rt △ABE 中，cos ∠EAB ＝AB AE ＝78，AB ＝14，∴AE ＝87AB ＝16，∴OE ＝AE －AO ＝16－494＝154.19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，垂足为点E .已知AC ＝15，cos A ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝15，cos A ＝35，∴AB ＝15cos A ＝25.又∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝252.(2)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴DC ＝DB ＝252，∴∠DCB ＝∠DBC .又∵∠E ＝∠ACB ＝90°，∴△BEC ∽△ACB ，∴EC BC ＝BCAB.又BC ＝AB 2－AC 2＝252－152＝20，∴EC 20＝2025，∴EC ＝16.∵CD ＝252，∴DE ＝16－252＝72.∴在Rt △DEB 中，sin ∠DBE ＝72×225＝725.20．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直马路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．一数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A ，B 两点，并在AB 路段进行区间测速．在l 外取一点P ，作PC ⊥l ，垂足为点C ，测得PC ＝30米，∠APC ＝71°，∠BPC ＝35°，上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)．解：在Rt △APC 中，AC ＝PC · tan ∠APC ≈30×2.90＝87(米)． 同理求得BC ≈21米．∴AB ＝AC －BC ＝87－21＝66(米)．∴汽车的速度为666＝11(米/秒)＝39.6(千米/时)．∵39.6<40，∴该车没有超速．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的值．解：(1)∵∠ACB ＝90°， CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACH ＝90°， ∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH.∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ，∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝55；(2)∵sin B ＝55，∴AC ∶AB ＝1∶ 5.又∵CD ＝5，∴AB ＝25，∴AC ＝2. 设CE ＝x(x>0)，则AE ＝5x ，则在Rt △ACE 中，有x 2＋22＝(5x)2，∴x ＝1，即CE ＝1.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3.22．如图为某区域部分交通线路图，其中直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 与直线l 1，l 2，l 3都垂直，垂足分别为点A ，点B 和点C ，l 2上的点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝ 3 km ，l 3上的点N 位于点M 的北偏东α方向上，且cos α＝1313，MN ＝213 km ，点A 和点N 是城际铁路线L 上的两个相邻的站点．(1)求l 2和l 3之间的距离； (2)若城际火车平均时速为150 km /h ，求市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要多少小时(结果用分数表示)．解：(1)过点M 作MD ⊥NC 于点D.∵cos α＝1313，MN ＝213， ∴cos α＝DM MN ＝DM 213＝1313，解得DM ＝2 km .答：l 2和l 3之间的距离为2 km .(2)∵点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝3，∴tan 30°＝BM AB ＝3AB ＝33，解得AB ＝3，可得，AC ＝3＋2＝5.∵MN ＝213，DM ＝2，∴DN ＝（213）2－22＝43，则NC ＝DN ＋CD ＝DN ＋BM ＝53，∴AN ＝CN 2＋AC 2＝（53）2＋52＝10(km )．∵城际火车平均时速为150 km /h ，∴10150＝115.答：市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要115 h .六、(本大题共12分)23．(2019年遂宁中考第24题 )如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为；（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．。
人教版 九年级数学 第28章 锐角三角函数 综合训练(含答案)
人教版九年级数学第28章锐角三角函数综合训练一、选择题1. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是()A. 34 B.43 C.35 D.452. 下列式子错误．．的是()A. cos40°＝sin50°B. tan15°·tan75°＝1C. sin225°＋cos225°＝1D. sin60°＝2sin30°3. （2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为（）A. B. C.23D.324. (2019•山东威海)如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B 点．已知坡角为20°，山高BC=2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是A．B．C．D．5. 如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 3 m，则鱼竿转过的角度是()A. 60°B. 45°C. 15°D. 90°6. （2020·咸宁）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC=E 是BC 的中点，将ABE △沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ECF ∠的值为（ ）A.23 B. C. D.7. （2020·湖北荆州）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则cos BAC 的值为（ ）A. B. C. 12D.8. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于A ．asinx+bsinxB ．acosx+bcosxC ．asinx+bcosxD ．acosx+bsinx二、填空题9. 【题目】 （2020·攀枝花）sin60︒= . 10. 【题目】（2020·黔东南州）cos60°＝ ．11. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm，可用科学计算器)．12. （2020·天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是________．+|sin30°﹣．13. (2019•湖北荆门)14. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1 m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)三、解答题15. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．16. 如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60 m，随后无人机从A处继续水平飞行30 3 m到达A′处．(1)求A，B之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．17. (2019•江苏宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD 都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD=64°，BC=60cm，坐垫E与点B 的距离BE为15cm．(1)求坐垫E到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)18. (2019·湖南常德)图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB=37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，t an72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．人教版九年级数学第28章锐角三角函数综合训练-答案一、选择题1. 【答案】A【解析】如解图，由勾股定理得AC＝AB2－BC2＝52－32＝4，所以tan A＝BCAC＝34.3. 【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是AC，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，∴在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABCACBC=，∵AC＝2，CB＝3，∴AB=，∴sin∠ABC==，∴∠ADC 因此本题选B．4. 【答案】A【解析】在△ABC中，sinA=sin20°=BCAB，∴AB=sin20BC︒=2sin20︒，∴按键顺序为：2÷sin20=，故选A．5. 【答案】C【解析】∵sin∠CAB＝BCAC＝326＝22，∴∠CAB′＝45°，∵sin∠C′AB′＝B′C′AC′＝336＝32，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.6. 【答案】C【解析】本题考查了余弦的定义、等腰三角形的性质上、矩形的性质和折叠的性质，由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵点E是BC中点，BC=∴EFC=∠ECF，3=，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF ，∴∠ECF=∠AEB ，∴cos ECF ∠=cos AEB ∠=BE AE =因此本题选C ． 7. 【答案】B【解析】过A 点作BC 的垂线，垂足为D ，∵每个小正方形的边长都是1，点A ，B ，C 均在网格交点上， ∴AD=1，CD=3，∴223110AC ，过点B 作AC 的垂线，垂足为E ，∴BE AC BC AD S ABC •=•=∆2121,即BE ⨯⨯=⨯⨯10212121,∴105BE.在Rt ABD 中，22112AB，在Rt ABE 中，AE=5102)510()2(22=-，∴cos ∠BAC=55225102==AB AE ．8. 【答案】D【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a •cosx+b •sinx ， 故选D ．二、填空题9. 【答案】3【解析】由特殊角的三角函数值可知sin60︒=3.10. 【答案】【答案】11. 【答案】14.1【解析】如解图，过点B作BE⊥CD于点E，∵BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝20°，在Rt△CBE中，BE＝BC·cos∠CBE≈15×0.940＝14.1(cm)．12. 【答案】22【解析】连接AB，利用勾股定理的逆定理证明△OAB是等腰直角三角形，得到∠AOB＝45°，再根据特殊角的三角函数求解．∵AB2＝12＋32＝10，OB2＝12＋32＝10，OA2＝22＋42＝20，∴AB2＋OB2＝OA2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝sin45°＝22．13. 【答案】1﹣3【解析】原式=2﹣3+1﹣12﹣32=1﹣．故答案为：1﹣．14. 【答案】103＋1【解析】如解图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE ＝CD＝10 m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×3＝10 3 m，∴BC＝BE ＋EC＝BE＋AD＝(103＋1)m.33三、解答题15. 【答案】解：∵tan∠OBC＝tan30°＝OCBC＝33，∴OC＝33BC，(2分)∵sin∠OAC＝sin75°＝OCOA≈0.97，∴33BC40≈0.97，(6分)∴BC≈67.1(cm)．(8分)16. 【答案】解：(1)如解图，过点D作DE⊥AA′于点E，由题意得，AA′∥BC，∴∠B＝∠FAB＝30°，(2分)又∵AC＝60 m，在Rt△ABC中，sin B＝ACAB，即12＝60AB，∴AB＝120 m.答：A，B之间的距离为120 m．(4分)(2)如解图，连接A′D，作A′E⊥BC交BC延长线于E，∵AA′∥BC，∠ACB＝90°，∴∠A′AC＝90°，(5分)∴四边形AA′EC为矩形，∴A′E＝AC＝60 m，又∵∠ADC＝∠FAD＝60°，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝ACCD，即5＝60CD，∴CD＝20 3 m，(8分)∴DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝303＋203＝50 3 m，(10分)∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝A′EDE＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值为235.(12分)17. 【答案】(1)如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM=64°、EC=BC+BE=60+15=75cm，∴EM=ECsin∠BCM=75sin64°≈67.5(cm)，则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5(cm)；(2)如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H=80×0.8=64，则E′C=sin E HECH'∠=64sin64︒≈71，1，∴EE′=CE﹣CE′=75﹣71.1=3.9(cm)．18. 【答案】过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB=25，DE=50，∴sin37°=GBAB，cos37°=GAAB，∴GB≈25×0.60=15，GA≈25×0.80=20，∴BF=50﹣15=35，∵∠ABC=72°，∠D′AB=37°，∴∠GBA=53°，∴∠CBF=55°，∴∠BCF=35°，∵tan35°=BFCF，∴CF≈350.70=50，∴FE=50+130=180，∴GD=FE=180，∴AD=180﹣20=160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．。
数学初中竞赛逻辑推理专题训练(含答案)
数学初中竞赛逻辑推理专题训练一．选择题1．某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念（站成一行），若老师站在中间，则不同的站位方法有（）A．6种B．120种C．240种D．720种2．钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（）A．4 B．5 C．6 D．73．仪表板上有四个开关，每个开关只能处于开或者关状态，如果相邻的两个开关不能同时是开的，那么所有不同的状态有（）A．6种B．7种C．8种D．9种4．小明训练上楼梯赛跑．他每步可上2阶或3阶（不上1阶），那么小明上12阶楼梯的不同方法共有（）（注：两种上楼梯的方法，只要有1步所踏楼梯阶数不相同，便认为是不同的上法．）A．15种B．14种C．13种D．12种5．如图，2×5的正方形网格中，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖方法有（）A．3种B．5种C．8种D．13种6．﹣2和2对应的点将数轴分成3段，如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之一段，那么n的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．87．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）A．5种B．6种C．10种D．12种8．用六根火柴棒搭成4个正三角形（如图），现有一只虫子从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，则不同的爬行路径共有（）A．4条B．5条C．6条D．7条9．将四边ABCD的每个顶点涂上一种颜色，并使每条边的两端异色，若共有3种颜色可供使用（并不要求每种颜色都用上），则不同的涂色方法为（）种．A．6 B．12 C．18 D．2410．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了3盆花，韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花，先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序．A．8 B．12 C．16 D．2011．如图，在一块木板上均匀钉了9颗钉子，用细绳可以像图中那样围成三角形，在这块木板上，还可以围成x个与图中三角形全等但位置不同的三角形，则x的值为（）A．8 B．12 C．15 D．1712．初二（1）班有37名学生，其中参加数学竞赛的有30人，参加物理竞赛的有20人，有4人没有参加任何一项竞赛，则同时参加这两项竞赛的学生共有（）人．A．16 B．17 C．18 D．19二．填空题13．湖南卫视推出的电视节目《我是歌手第三季》于3月27日落下帷幕，歌手韩红夺得歌王称号．在这个节目中，每场比赛7位歌手的成绩排位顺序是由现场500位大众评委投票决定的，每场比赛每位大众评委有3张票（必须使用）以投给不同的3位歌手．在某一场比赛中，假设全部票都有效，也不会产生并列冠军，那么要夺得冠军至少要获得张票．14．如图，在一个4×4的方格棋盘的A格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格，那么这枚棋子走28步后到达B处．（填“一定能”或“一定不能”或“可能”）15．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是．16．在表达式S＝中，x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x 2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）．则使S为实数的不同排列的种数有种．17．如图，一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物，要求同一个区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有种栽种方案．18．6名乒乓球运动员穿着4种颜色的服装进行表演赛，其中2人穿红色的，2人穿黄色的，1人穿蓝色的，1人穿黑色的．每次表演选3人出场，且仅在服装颜色不同的选手间对局比赛，具体规则是：（1）出场的“3人组”中若服装均不相同，则每两人都进行1局比赛，且比赛过的2名选手在不同的“3人组”中再相遇时还要比赛．（2）出场的“3人组”中若有服装相同的2名选手，则这2名选手之间不比赛，并且只派1人与另1名选手进行1局比赛．按照这样的规则，当所有不同的“3人组”都出场后，共进行了局比赛．19．将1、2、3、…、64填入右图8×8的表格中，每格一个数．如果某格所填的数至少大于同行中的5个，且至少大于同列的5个，那么就将这个格子涂上红色．涂上红色的格子最多个．三．解答题20．120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？21．某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．22．世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛，采用单循环赛制（即每两个队之间要进行一场比赛），每场比赛获胜的一方得3分，负的一方得0分，如果两队战平，那么双方各得1分，小组赛结束后，积分多的前两名从小组出线．如果积分相同，两队可以通过比净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名，确保有两支队伍出线．（1）某队小组比赛后共得6分，是否一定从小组出线？（2）某队小组比赛后共得3分，能从小组出线吗？（3）某队小组比赛后共得2分，能从小组出线吗？（4）某队小组比赛后共得1分，有没有出线的可能？23．把一条宽为1厘米的长方形纸片对折n次，得到一个小长方形，宽仍然是1厘米，长是整数厘米．然后，从小长方形的一端起，每隔1厘米剪一刀，最后得到一些面积为1平方厘米的正方形纸片和面积为2平方厘米的长方形纸片．如果这些纸片中恰好有1282块正方形，那么，对折的此数n共有多少种不同的数值？24．圆周上的十个点将圆周十等分，连接间隔两个点的等分点，共得到圆的十条弦，它们彼此相交，构成各种几何图形．图中有多少个平行四边形？25．足球的球面由若干个五边形和正六边形拼接而成，已知有12块正五边形，则正六边形的块数是？26．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2P 3…P m 中，若1≤i ＜j ≤m 时，P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n +1）n （n ﹣1）…321的逆序数为a n ，如排列21的逆序数a 1＝1，排列4321的逆序数a 3＝6．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式（用n 表示，不要求证明）； （2）令b n ＝+﹣2，求b 1+b 2+…b n 并证明b 1+b 2+…b n ＜3，n ＝1，2，…．参考答案一．选择1．解：老师在中间，故第一位同学有6种选择方法，第二名同学有5种选法，第三名同学有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学有2种选法，第六名同学有1种选法， 所以共有6×5×4×3×2×1＝720种． 故选：D ．2．解：因为1+2+3+…+11+12＝78，所以78÷2＝39，也就是添上负号的数的和为﹣39，其余数的和为39使代数和等于零， 要填负号最少，首先从大数前面加负号， 因此﹣10﹣11﹣12＝﹣33，﹣33﹣6＝﹣39， 由此得到至少要添4个负号． 故选：A ．3．解：我们用O 表示开的状态，F 表示关的状态，则各种不同的状态有OOOO ，OOOF ，OOFO ，OFOO ，FOOO ，FOFO ，OFOF ，FOOF 共8种状态． 故选：C ．4．解：设小明上n 阶楼梯有a n 种上法，n 是正整数，则a 1＝0，a 2＝1，a 3＝1． 由加法原理知a n ＝a n ﹣2+a n ﹣3，n ≥4． 递推可得a 4＝a 2+a 1＝1，a 5＝a 3+a 2＝2， a 6＝a 4+a 3＝2， a 7＝a 5+a 4＝3， a 8＝a 6+a 5＝4， a 9＝a 7+a 6＝5， a 10＝a 8+a 7＝7， a 11＝a 9+a 8＝9， a 12＝a 10+a 9＝12．故选：D ．5．解：如图所示，直线代表一个1×2的小矩形纸片：1+4+3＝8（种）．答：不同的覆盖方法有8种．故选：C．6．解：∵令每个抽屉最多有2个点，则最多有6个点，∴n≥7．故选：C．7．解：先取出堆栈（1）的数据首次取出的只能是a，可以有下列情况，abcde，acbde，acdbe，acdeb四种情况；先取出堆栈（2）的数据首次取出的只能是c，可以有下列情况，cdeab，cdabe，cdaeb，cabde，caedb，cadeb六种情况，综上所知，共10种取法．故选：C．8．解：从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，不同的爬行路径有：①AB﹣BC ﹣CA﹣AD﹣DC；②AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AC；③AC﹣CB﹣BA﹣AD﹣DC；④AC﹣CD﹣DA﹣AB﹣BC；⑤AD﹣DC﹣CA﹣AB﹣BC；⑥AD﹣DC﹣CB﹣BA﹣AC．共有6条．故选：C．9．解：设供选用的颜色分别为1，2，3；当A选1时，有两种情况：①C与A的颜色相同时，B、D的选法有：一、B选2，D选3；二、B选3，D选2；三、B选2，D选2；四、B选3，D选3；共4种涂色方法；②C与A的颜色不同时，选法有：一、C选2，B、D选3；二、C选3，B、D选2；共2种涂色方法；因此当A选1时，共有2+4＝6种涂色方法；而A可选1、2、3三种颜色；因此总共有3×6＝18种涂色方法．故选C．10．解：韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次，我们将三个左和三个右组成的排列（例如：左左右左右右是一种情况）分别对应一种搬花的顺序，并且不同的排列对应不同的搬花顺序，所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个数相同，故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数，对于这种排列只需要考虑在6个位置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有＝20．故选：D．11．解：如图所示：将图形分成①、②、③、④四部分，第①个小正方形中符合题意的三角形有3个；第②个小正方形中符合题意的三角形有4个；第③个小正方形中符合题意的三角形有4个；第④个小正方形中符合题意的三角形有4个；综上可得共有15个与图中三角形全等但位置不同的三角形，即x＝15．故选：C．12．解：设同时参加两项竞赛的学生有x人，根据题意可列出方程：37＝30+20+4﹣x，解得x＝17（人）；故选：B．二．填空13．解：∵（500×3）÷7＝214（张）…2（张），又∵全部票都有效，也不会产生并列冠军，∴夺得冠军至少要获得票数＝214+2＝216（张）故答案为：216．14．解：棋子每走一步都有2一4种可能的选择，所以该棋子走完28步后，可能出现的情况十分复杂．如果把棋盘上的方格分成黑白相间的两类，且使每个黑格的四周都是白格，那么，棋子从黑色A格出发，第一步必定进人白格；第二步必定进人黑格，第三步又进入白格…也就是说棋子走奇数步时进人白格；走偶数步时，进人黑格，所以当棋子从A格出发28步后，必定落在黑格．故这枚棋子走28步后可能到达B处．故答案为：可能．15．解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．故答案为：黄、红、白．16．解：∵x1﹣x2+x3﹣x4≥0，∴x1+x3≥x2+x4；符合条件的排列数是：P44﹣C42P22＝24﹣8＝16（种）故答案为：16．17．解：若A，C种同一种植物，则A，C有4×1种栽种方法，B，D都有3种栽种法，共有4×3×3＝36种栽种方案；若A ，C 种不同的植物，则有4×3种栽种法，B ，D 都有2种栽种法，一共有4×3×2×2＝48种栽种法．所以共有36+48＝84种．故答案为：84．18．解：将穿红色服装的2名选手表示为平行直线l 1、l 2；将穿黄色服装的2名选手表示为另两条平行直线l 3、l 4；将穿蓝色、黑色服装的选手表示为相交直线l 5、l 6、且与l 1、l 2、l 3、l 4均相交，这就得到了图1，图中无三线共点．（1）“3人组”的服装均不相同时，按规则，对应着3条直线两两相交，其比赛局数恰为图中的线段数（图2）因为l 1、l 2、l 3、l 4上各有4个交点，每条直线有6条线段，共有24条线段．（2）当“3人组”有2人服装相同，按规则，其比赛局数恰好为图中的线段数（图3）因为l 5、l 6上各有5个交点，每条直线上都有10条线段，共得20条线段．两种情况合计，总比赛局数为44局．故答案为：44．19．解：因为一行有8个数，至多有3个数可以大于同行的5个数，只有当这两个数分别同时大于所在列的5个数时，涂上红色，所以一行最多有3个涂上红色，8行最多有3×8＝24个涂上红色，如图所示：1所在位置，都可以涂成红色．故答案为：24．三．解答20．解：将这120人分别编号为P 1，P 2，…，P 120，并视为数轴上的120个点，用A k 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组， |A k |为该组人数，k ＝1，2，3，4，5，则|A 1|＝24，|A 2|＝37，|A 3|＝46，|A 4|＝54，|A 5|＝85，将以上五个组分别赋予五种颜色，如果某人未做对第k 题，则将表示该人点染第k 色，k ＝1，2，3，4，5，问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？由于|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|+|A 5|＝246，故至少染有三色的点不多于＝82个，图是满足条件的一个最佳染法，即点P 1，P 2，…，P 85这85个点染第五色；点P 1，P 2，…，P 37这37个点染第二色；点P 38，P 39，…，P 83这46个点染第四色；点P 1，P 2，…，P 24这24个点染第一色；点P 25，P 26，…，P 78这54个点染第三色；于是染有三色的点最多有78个．因此染色数不多于两种的点至少有42个，即获奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如P 79，P 80，…，P 120这42个人）．答：获奖人数至少有42个人．21．解：设有x个学生，y个管理员．该宿舍每位学生与赠一张贺卡，那么每个人收到的贺卡就是x﹣1张，那么总共就用去了x（x﹣1）张贺卡；每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了xy张贺卡；每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y张贺卡；∴x（x﹣1）+xy+y＝51，∴51＝x（x﹣1）+xy+y＝x（x﹣1）+y（x+1）≥x（x﹣1）+x+1＝x2+1（当y＝1时取“＝”），解得，x≤7；x（x﹣1）+（x+1）y＝51∵51是奇数，而x和x﹣1中，有一个是偶数，∴x（x﹣1）是偶数，∴（x+1）y是奇数，∴x是偶数，而x≤7，所以x只有2 4 6三种情况；当x＝2时，y＝（不是整数，舍去）；当x＝4时，y＝（不是整数，舍去）；当x＝6时，y＝3．所以这个宿舍有6个学生．22．解：（1）不一定．设四个球队分别为A、B、C、D，如四个球队的比赛结果是A战胜了B，D，而B战胜了C，D，C战胜了A，D，D在3场比赛中都输了，这样，小组赛之后，ABC三个球队都得6分，D队积0分，因此小组中的第三名积分是6分，∴不能出线；（2）有可能出线．如A在3场比赛中获得全胜，而B战胜了C，C战胜了D，D战胜了B，这样，小组赛之后，A积9分，B、C、D都积3分，因此这个小组的第二名，一定是3分出线；（3）有可能出线．如A队三战全胜，B、C、D之间的比赛都战平，这样这个小组的第二名的积分一定是2分，自然有出线的可能．（4）不可能出线．如果只得1分，说明他的3场比赛成绩是1平2负，而他负的两个球队的积分至少是3分，他就不可能排到小组的前两名，必然被淘汰．23．解：设长方形的长为a，若n＝1，即对折一次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2＝a﹣2＝1282，解得：a＝1284，2|1284，符合条件；若n＝2，即对折2次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2+（﹣2）×（4﹣2）＝a﹣6＝1282，解得：a＝1288，4|1288，符合条件；若n＝3，即对折3次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2+（﹣2）×（8﹣2）＝a﹣2×（8﹣1）＝1282，解得：a＝1296，8|1296，符合条件；对一般的n，得到的正方形个数为；a﹣2×（2n﹣1），另a﹣2×（2n﹣1）＝1282，解得：a＝2×（2n﹣1）+1282＝2×2n+1280，若2n|a，则符合条件，显然，当2n|1280时符合条件，1280＝28×5，∴n可取1到8，对折的次数n共有8种不同的可能数值．24．解：连接圆周上的十个等分点的“对径点”，则可得5条直径，因为每条直径是一个平行四边形的较长的那条对角线，所以可得5个平行四边形．即图中有5个平行四边形．25．解：设正六边形有5x块，则正五边形有3x块，由题意得：共有12块正五边形，即3x＝12，解得：x＝4，5x＝20．即正六边形的块数是20块．26．解：（1）由排列21的逆序数a1＝1，排列4321的逆序数a3＝6，得a4＝4+3+2+1＝10，a5＝5+4+3+2+1＝15，∴a n＝n+（n﹣1）+…+2+1＝；（2）∵a n＝n+（n﹣1）+…+2+1＝，b n＝+﹣2，∴b n＝+﹣2＝+﹣2＝﹣，∴b1+b2+…+b n＝2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝3﹣﹣；又∵n＝1，2，…，∴b1+b2+…b n＝3﹣﹣＜3．。
八年级数学竞赛培优专题及答案 28 整体与完形
专题28 整体与完形阅读与思考许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有：1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：例题与求解【例1】如图，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝080，∠C＝0124，则∠AFE＝_________度. (北京市竞赛试题) 解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.B【例2】设,,a b c分别是△ABC的三边长，且满足a a bb a b c+=++，则它的内角∠A、∠B的关系是（）.A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不确定（全国初中数学竞赛试题）解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形.【例3】 如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F ，G ，连结FG ，延长AF ，AG ，与直线BC 相交，易证()12FG AB BC AC =++. 若（1）BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为∠ABC 的内角平分线；（3）CE 为△ABC 的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.（黑龙江省中考试题）解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形.图3图2图1【例4】 如图，四边形ABCD 中，∠ABC ＝0135，∠BCD ＝0120，AB ，BC ＝5 CD ＝6，求AD 的长.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：由于四边形ABCD 是一般四边形，所以直接求AD 比较困难，应设法将AD 转化为特殊三角形的边.A23A 54例4题图 例5题图 【例5】 如图，凸八边形1238...A A A A 中，∠1A ＝∠5A ，∠2A ＝∠6A ，∠3A ＝∠7A ，∠4A ＝∠8A ，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.（山东省竞赛试题）解题思路：本例是一个几何定值证明问题，关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决，若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形.【例6】 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝045，点D 在边BC 上，∠ADC ＝060，且12BD CD =.将△ACD 以直线AD 为轴作轴对称变换，得到△AC D '，连结BC '. (1) 证明：BC '⊥BC ; (2) 求∠C 的大小.（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.D能力训练1.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝090，AB ＝AD ，若这个四边形的面积为12，则BC ＋CD ＝_____________. （山东省竞赛试题） 2. 如图，凸五边形ABCDE 中，∠A ＝∠B ＝0120，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，则这个五边形的面积为_______________.（美国AHSME 试题）3. 如图，一个凸六边形六个内角都是0120，其中连续四条边的长依次为1,9,9,5，则该六边形的周长为______________.第1题图第2题图第3题图B4. 如图，ABCDEF 是正六边形，M ，N 分别是边CD ，DE 的中点，线段AM 与BN 相交于P ，则BPPN＝_________. （浙江省竞赛试题）5. 如图，长为2的三条线段,,AA BB CC '''交于O 点，并且∠B OA '＝∠C OB '＝∠A OC '＝060，则三个三角形的面积和123S S S ++，“＝”，或“＞”）.（“希望杯”邀请赛试题）6. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝060，∠B ＝∠D ＝090，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝ ( ). A. 4 B. 5C.D.（广西壮族自治区中考试题）第6题图第5题图第4题图DB7. 如图，在△ABC 中，M 为BC 中点，AN 平分∠A ，AN ⊥BN 于N ，且AB ＝10，AC ＝16，则MN 等于（ ）.A. 2B. 2.5C. 3D. 3.58. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝090，BE ⊥AD 于E ，8ABCD S =四边形，则BE 的长为（ ）A. 2B. 3C.D.第7题图第8题图第9题图AA9. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝4-BC ＝1，CD ＝3，∠B ＝0135，∠C ＝090，则∠D 等于（ ）A. 060 B. 067.5 C. 075 D.条件不够，无法求出（重庆市竞赛试题）10. 如图，在△ABC 中，E 是AC 中点，D 是BC 边上一点，若BC ＝1，∠ABC ＝060，∠BAC ＝0100，∠CED ＝080，求2ABC CDE S S ∆∆+的值.CB11. 如图，设c 是Rt ABC ∆的斜边长，,a b是直角边，求证：a b +≤.（加拿大中学生竞赛试题）a CA12. 如图，已知八边形ABCDEFGH 所有的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等.FB C13. 如图，设P 为△ABC 的中位线DE 上的一点，BP 交AC 于N ，CP 交AB 于M ，求证：1AN AMNC MB+=. （齐齐哈尔市竞赛试题）B14. 一个圆内接八边形相邻的四条边长是1，另四条边长是2，求八边形的面积.专题28 整体与完形——补形法例1 134 例2 B 提示：由已知得b a ca b+=例 3 （1）()12FG AB AC BC =+-，分别延长AG 、AF 交BC 于H ，K ，则AF=KF ，AB=KB,AG=HG,AC=HC.()()111222FG HK BK BH AB AC BC ==-=+-.（2）()12FG BC AC AB =+-例4 提示：作DG ⊥BC 交BC 延长线于Q ，AM ⊥CB 交CB 延长线于M ，DN ⊥MA 于N ，则MNDQ 为矩形，19AD =例5 延长A 8A 1，A 3A 2相交于M ，延长A 2A 3，A 5A 4相交于N ，延长A 4A 5、A 7A 6相交于P ，延长A 6A 7、A 1A 8相交于Q.∵∠A 1=∠A 5, ∠A 2=∠A 6，∴∠MA 1A 2=∠PA 5A 6, ∠MA 2A 1=∠PA 6A 5, ∴∠M=∠P ，同理可证：∠N=∠Q 。
初中数学竞赛专项训练之逻辑推理附答案
初中数学竞赛专项训练之逻辑推理一、选择题：1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积 （ ）A. 6分B. 7分C. 8分D. 9分2、甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局，如果丙负3局，那么丙胜 （ ）A. 0局B. 1局C. 2局D. 3局3、已知四边形ABCD 从下列条件中①AB ∥CD ②BC ∥AD ③AB ＝CD ④BC ＝AD ⑤∠A ＝∠C ⑥∠B ＝∠D ，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有 （ ）A. 4种B. 9种C. 13种D. 15种4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人，一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排法的方案有 （ ）A. 1种B. 2种C. 4种D. 0种5、正整数n 小于100，并且满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有（ ）个A. 2B. 3C. 12D. 166、周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是 （ ）A. 15B. 14C. 13D. 127、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（ ）个展室。
人教版九年级数学下册 第28章基础训练题(含答案)
人教版九年级数学下册 第28章基础训练题（含答案）28.1《正弦》一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论中不正确的是( ) A ．sin B ＝AD AB B ．sin B ＝ACBCC ．sin B ＝AD AC D ．sin B ＝CDAC2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( ) A.513 B.1213 C.512 D.1253．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠OAB 的正弦值是( ) A.55 B.12C.13D.10104．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sinα的值是( ) A.35 B.34 C.45 D.435．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sinA ＝35，则AB 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．126. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝35，则斜边上的高等于( )A.6425B.4825C.165D.1257．已知锐角A 满足关系式2sin 2A －7sinA ＋3＝0，则sinA 的值为( ) A.12B ．3 C.12或3 D ．4 8．如图，在直角坐标系中AB 垂直于y 轴，垂足为A ，CD 垂直于y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－1)，sinB ＝13，则点C 的坐标为( )A ．(－1，－3)B ．(－3，－1)C ．(－22，－1)D ．(－1，－22)9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E.连接AC 交DE 于点F.若sin ∠CAB ＝35，DF ＝5，则BC 的长为( )A ．8B ．10C ．12D ．1610．如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于( ) A ．OM 的长 B ．2OM 的长 C ．CD 的长 D ．2CD 的长二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，sin B ＝35，则AB 的长等于________.12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于_______-.13. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC ＝0.8，则BC ＝______．14．如图，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若AC ＝7，AB ＝4，则sinC 的值为______．15．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值为______．16．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα＝______．17. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为________.18. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3 m ，若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC 为_________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝14，BC ＝2，求AC ，AB 的长．20．(6分)如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ∶c ＝2∶3，求sinA 和sinB 的值．21．(6分)如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sinA ＝35，求DE 的长和菱形ABCD 的面积．22．(6分)在Rt △ABC 中，有两条边5，12，求两锐角的正弦值．23．(6分) 网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点在网格的交点处，求sinA 的值．24.(8分)已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9.(1)求ADAB 的值；(2)若BD ＝10，求sin A 的值．25．(8分) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的点，AE ＝BC ，DF ⊥AE ，垂足为点F ，连接DE.(1)求证：△ABE ≌△DFA ；(2)如果AD ＝10，AB ＝6，求sin ∠EDF 的值．参考答案：1-5CBACC 6-10BACCA 11．15 12.35 13. 45 14. 25 15.6 16. 55 17 .45 18．3sin α m19. 解：∵sinA ＝14，∴BC AB ＝14，∴AB ＝4BC ＝4×2＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2＝82－22＝60＝21520. 解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a ∶c ＝2∶3， 设a ＝2k ，c ＝3k ，∴b ＝c 2－a 2＝5k ， ∴sinA ＝a c ＝2k 3k ＝23，sinB ＝b c ＝5k 3k ＝5320. 解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°. 在Rt △AED 中，sinA ＝DE AD ，即35＝DE10，解得DE ＝6(cm)， ∴菱形ABCD 的面积为10×6＝60(cm 2)22. 解：①当5，12为直角边时，则斜边为13.两锐角的正弦值分别为1213，513；②当5为直角边，12为斜边时，则另一直角边为119，两锐角的正弦值分别为512，1191223. 解：作AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ， 由勾股定理得AB ＝AC ＝25，BC ＝22，AD ＝3 2. 由BC ·AD ＝AB ·CE ，得CE ＝22×3225＝655，sinA ＝CE AC ＝65525＝3524. 解：(1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝DE BC. 又∵DE ＝3，BC ＝9， ∴AD AB ＝39＝13. (2)根据(1)中AD AB ＝DE BC ，得AD AD ＋BD ＝DEBC .∵BD ＝10，DE ＝3，BC ＝9， ∴AD AD ＋10＝39，解得AD ＝5，∴AB ＝15.∴sin A ＝BC AB ＝915＝35.25. 解：(1)证明：在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，AD ∥BC ，∠B ＝90°， ∴∠DAF ＝∠AEB. ∵DF ⊥AE ，AE ＝BC ，∴∠AFD ＝90°＝∠B ，AE ＝AD ， ∴△ABE ≌△DFA(2)由(1)知△ABE ≌△DFA ，∴AB ＝DF ＝6. 在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2－DF 2＝102－62＝8， ∴EF ＝AE －AF ＝AD －AF ＝2.在Rt △DFE 中，DE ＝DF 2＋EF 2＝62＋22＝210， ∴sin ∠EDF ＝EF DE ＝2210＝101028.2解直角三角形及其应用一、选择题1、如图，在等腰△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D是AC 上一点，若，则AD 的长为（ ）A. B.2 C.1 D.2、如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，AB=2，则∠A等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，点D在AC上，∠BDC=60°，若AD=1，则BD等于( ) A．B．C．D．5、已知△ABC中，AD是高，AD=2，DB=2，CD=，则∠BAC=( )A．105°B．15°C．105°或15° D．60°6、在Rt△ABC中，∠C=90°，，则的值为（）A．2 B． C．D．7、如图，路灯距地面8米，身高1．6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）A．增大1．5米 B．减小1．5米C．增大3．5米 D．减小3．5米8、如图，为了测量小河的宽度，小明先在河岸边任意取一点A，再在河岸另一边取两点B、C，测得∠ABC ＝45°，∠ACB＝30°，量得BC为20米，根据以上数据，请帮小明算出河的宽度为结果保留根号（）A 10B 20C D9、如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（）A．B．C．D．10、如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）Ａ.250ｍＢ．ｍＣ．ｍＤ．ｍ11、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜, 光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD，CD⊥BD, 且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米,那么该古城墙的高度是（）A. 6米B. 8米C. 18米D.24米12、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）A．B．C．D．二、填空题13、一个人沿坡度比为1：2的斜坡向上走了10m，那么它的垂直高度上升了 m．14、在Rt△ABC中，∠C=90°，3a=，则sinA= ．15、如下图，在△ABD中，∠D=90°，AC是角平分线，CD=2cm，则△ABC的AB边上的高等于cm。
(人教版)初中数学九年级下册第二十八章综合测试试卷(含答案)03
第二十八章综合测试一、选择题（每小题4分，共32分）1︒的值为（ ）AB .C .3D .12.已知在ABC △中，若90C ∠=︒，1sin 3A =，则cosB 等于（ ）A .13B .1C .23D .33.在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，如果222a b c +=，那么下列结论正确的是（ ） A . sin c A a = B . cos b B c = C . tan a A b =D . tan c B b =4.如图28-8，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，把A ∠的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作cot bA a=.则下列关系式中不成立的是（ ） A .tan cot 1A A ⋅= B .sin tan cos A A A =⋅ C .cos cot sin A A A =⋅ D .22tan cot 1A A +=5.如图28-9，已知AD 是ABC △的外接圆的直径，13 cm AD =，5cos 13B =，则AC 的长等于（ ） A .5 cmB .6 cmC .12 cmD .10 cm6.在ABC △中，若21sin cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则ABC △是（ ）A .不等边的等腰三角形B .等边三角形C .不等腰的直角三角形D .等腰直角三角形7.（2014·山东威海）如图28-10，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则AOB ∠的正弦值是（ ）A .10B .12C .13D .108.如图28-11（示意图），小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30︒，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60︒，已知小敏同学眼睛到地面的距离AB 为1.6 m ，则这棵树的高度为（结果精确到0.1 m1.73≈）（ ）A .3.5 mB .3.6 mC .4.3 mD .5.1 m二、填空题（每小题5分，共20分）9.如图28-12，一束光线照在坡度为1:3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α=_________.10.如图28-13，在Rt ABC △中，斜边BC 上的高，4AD =，4cos 5B =，则AC =_________. 11.如图28-14所示，将以点A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到'''A B C △，使点'B 与点C 重合，连接'A B ，则tan ''A BC ∠=_________.12.如图28-15，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AB 于点E ，若4BC =，AOE △的面积为5，则sin BOE ∠的值为________.三、解答题（共48分）13.（12分）如图28-16，一根长63 m 的木棒（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，与地面的倾斜角（ABO ∠）为60︒.当木棒A 端沿墙下滑至点'A 时，B 端沿地面向右滑行至点'B . （1）求OB 的长；（2）当' 1 m AA =时，求'BB 的长.14.（12分）海上有一小岛，为了测量小岛两端A ，B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图28-17所示，已知点B 是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，测得8.3 n mile AE =，30 n mile DE =，且DE EC ⊥，3cos 5D =.（1）求小岛两端A ，B 的距离；（2）过点C 作CF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，求sin BCF ∠的值.15.（12分）如图28-18，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为60︒，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45︒.已知90 m BC =，且B ，C ，D 在同一条直线上，山坡坡度为12（即1tan 2PCD ∠=）. （1）求该建筑物的高度（即AB 的长）；（2）求此人所在位置点P 的铅直高度（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）.16.（12分）在东西方向的海岸线l 上有一长为1 km 的码头MN （如图28-19），在码头西端M 的正西19.5 km 处有一观察站A .某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30︒，且与A 相距40 km 的B 处，经过1 h 20 min ，又测得该轮船位于A 的北偏东60︒，且与A 相距的C 处.（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由.第二十八章综合测试答案解析一、 1.【答案】C3︒==. 2.【答案】A【解析】因为90A B ∠+∠=︒，所以1cos sin 3B A == 3.【答案】A【解析】因为222a b c +=，所以90C ∠=︒.因为sin aA c=，所以 sin c A a =，所以选项A 正确。
初中数学竞赛之逻辑推理问题(含答案)
初中数学竞赛之逻辑推理问题1．41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．2．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，证明至少有5人植树的株数相同．3．有50名同学站在操场上玩游戏，他们彼此间的距离都各不相等．每人手中有一把水枪，游戏规则是：每人都向离自己最近的人打一枪．试证明：每一个人至多挨了5枪．（提示：也就是要证明：假定有一个人至少挨6枪是不可能的）4．把1到3这三个自然数填入10×10的方格内，每格内填一个数，求证：无论怎样填法都能使在各行、各列、两条对角线上的数字和中，必有两个是相同的．5．一个口袋内有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个．从袋中任意取球，如果要求一次取出的球中至少有15个球的颜色相同，那么至少要从袋中取出多少个球？6．环行跑道的一周插了若干红、黄两种颜色的彩旗，已知一共变色了46次（一个红旗与一个黄旗相邻或一个黄旗与一个红旗相邻，称为一次变色），现可将相邻的旗子对调，如果若干次对调后，变色次数减少为26次．试说明：在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次．7．有17个科学家，他们中的每一个都和其他的科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论三个问题，每一对科学家互相通信时，仅仅讨论同一个问题．证明至少有三个科学家关于同一个题目互相通信．8．对于平面上给定的25个点，如果其中任何3个点中都有某两个点的距离小于1，那么在这些给定的点中，一定可以找到13个点，这13个点都位于一个半径为1的圆内．9．如果三个完全平方数之和能被9整除，那么可以从这三个数中选出两个来，使得这两个完全平立数之差也能被9整除．10．某夏令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人必须去一处，至多去两处游览．求证：至少有332人游览的地方完全相同．11．将2002张卡片分别标记1，2，3，…，2002的数，数字面朝上放在桌上．二位玩家轮流自桌上各取一张牌，直到桌上的牌取光为止．先计算每个人所有取的牌的数之总和，再比较这两个总和的个位数，较大者为胜方．请问两位玩家中哪一位有必胜之策略（无论对手如何对应）？如果有，这个必胜策略是什么？12．从1到100这100个自然数中，任意取出51个数，其中一定存在两个数，这两个数中的一个是另一个的整数倍．13．证明：在21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1﹣1这n﹣1个数中，至少有一个数能被n整除（其中n为大于1的奇数）．14．今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款共有多少种？15．圆周上有12个点，其中有一个是涂了红色，还有一个是涂了蓝色，其余10个是没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形，只包含红点（蓝点）的称为红色（蓝色）多边形，不包含红点及蓝点的称为无色多边形．试问以这12个点为顶点的所有凸多边形（边数从三角形到12边形）中，双色多边形的个数与无色多边形的个数哪一种多？多多少？16．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着．现将其顺序编号为1，2，3，…，1997．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？17．某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表求这个班的学生数．18．把数、理、化、语、英5本参考书，排成一行放在书架上．（1）化学不放在第1位，共有多少种不同排法？（2）语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？（3）物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？（4）文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？19．山城电信大楼一架最多可以容纳32人的33层电梯出故障，只能在第2层至第33层中的某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层办公．请你设计一个方案，使电梯停在某一层，使得这32个人的不满意总分达到最小，并求出这个最小值．注意：有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼．20．如图所示，有一个正方体形的铁丝架，把它的侧棱中点I、J、K、L也用铁丝连上．（1）现在一个蚂蚁想沿着铁丝从A点爬到G点，问最近的路线一共有几条？并用字母把这些路线表示出来（用所经过的连接点字母表示，譬如蚂蚁从A点出发，经过I点L点，最后到达H点，这样的路线用AILH表示）．（2）蚂蚁是否可能从A点出发，沿着铁丝经过每一个连接点，恰好一次最后到达G点？如果可能，请找出一条这样的路线；如果不可能，说明为什么？参考答案1．解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．（2）不能办到．若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）2．证明：利用抽屉原理，按植树的多少，从50至100株可以构造51个抽屉，则问题转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里；假设5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有4人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：4（50+51+52+…+100）＝4×＝15300＜15301，得出矛盾．因此，至少有5人植树的株数相同．3．解：假定有一个人至少挨了6枪，设此人为A、若B射向A，C也射向A，则在△ABC中，BC边最长（如图）．又由于三边不等，则角A应该大于60度．若有6个人都射向A，则从A出发的6个角都大于等于60度，从而周角就大于了360度，这是不可能的．4．证明：由于每个格内数字为1，2，3，则在各行、各列，两格对角线数字和中，最小的为10，最大的为30，共有21种取值，实际上，10行，10列，加2条对角线共22个和．所以由抽屉原理，必有两个和是相等的．5．解：最不利条件：前面取的球都没有达到15个球颜色相同的状况．也就是：黄球，白球，黑球全部都取完了（这些同颜色的都在15个球以下，全部取完也不会有15个球颜色相同），一共是12+10+10＝32个球然后红球，绿球，蓝球各取14个．14×3＝42个．依然没有15个球颜色相同．然后再取任意一个球，就能达到至少有15个球的颜色相同了，因此一共有32+42+1＝75个球．6．解：首先说明，将相邻的旗子对调一次，变色次数或不变，或增加2次，或减少2次．显然，如果对调的两旗同色，则不改变变色数，以下为了方便，用⊙表示红色旗，用△表示黄色旗，可设对调前两旗为⊙△，因对调一次只可能影响这两旗相邻旗子的变色数，因此（考虑对称性），只需考虑如下几种对调前的情形：⊙⊙△△，⊙⊙△⊙，△⊙△⊙，△⊙△△（变色数依次为1，2，3，2），将中间两旗对调后变为⊙△⊙△，⊙△⊙⊙，△△⊙⊙，△△⊙△（变色数依次为3，2，1，2）．由此可见，变色数或不变，或增加2次，或减少2次．由原来的变色数46，经过若干次增、减2，现在成为26，故必须经过46与26之间的所有偶数．所以在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次．7．证明：从17个点中的一点，比如点A处作引16条线段，共三种颜色，由抽屉原理至少有6条线段同色，设为AB、AC、AD、AE、AF、AG且均为红色．若B、C、D、E、F、G这六个点中有两点连线为红线，设这两点为B、C，则△ABC是一个三边同为红色的三角形．若B、C、D、E、F、G这六点中任两点的连线不是红色，则考虑5条线段BC、BD、BE、BF、BG的颜色只能是两种，必有3条线段同色，设为BC、BD、BE均为黄色，再研究△CDE的三边的颜色，要么同为蓝色，则△CDE是一个三边同色的三角形，要么至少有一边为黄色，设这边为CD，则△BCD是一个三边同为黄色的三角形，即至少有三个科学家关于同一个题目互相通信．8．解：在给定的25个点中任取一点，记为A，以A为圆心，1为半径作圆，若⊙A盖住所有的点，则结论成立；若不然，则至少有一点B不在圆内，再以B为圆心，1为半径做圆，则所给的25个点中的任意一点要么在⊙A内，要么在⊙B内，否则，至少有一点C既不在⊙A内，又不在⊙B内，这样，所得三点A、B、C的连线AB、AC、BC的长都大于1，即在A、B、C三点中无两点距离小于1，与题设矛盾，因此⊙A、⊙B就可以盖住这25个点．把⊙A、⊙B作为两个抽屉，把25个点放进去，因为25＝12×2+1，由抽屉原理可知，至少有一个圆内有12+1＝13个点都位于一个半径为1的圆内．9．解：下面我们先来讨论任意的完全平方数被9除的余数．根据同余理论，我们知道，任何一个整数总可以表示成：9k，9k±1，9k±2，9k±3及9k±4这九种情况中的一种．现在将这九种情况分别平方，于是可得：（9k）2＝9×9k2+0；（9k±1）2＝9（9k2±2k）+1；（9k±2）2＝9（9k2±4）+4；（9k±3）2＝9（9k2±6k+1）+0及（9k±4）2＝9（9k2±8k+1）+7．可见，任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0，1，4，7这四种情况之一．另一方面，由于所选的三个完全平方数之和能被9整除，因此这三个数的余数之和也一定能被9整除；而从0、1、4、7这四个数中选出三个，其和要能被9整除，只可能是{0，0，0}、{1，1，7}、{1，4，4}或{4，7，7}这四种情况中的一种．而在上面这四种可能的余数组合中，每一组都至多有两种余数，因此至少有两个完全平方数被所9除的余数相同，从而这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除．10．解：因为营员所去地方可分为（故宫），（景山），（北海），（故宫，北海），（故宫，景山），（北海，景山），共6种，构造为6个抽屉，而营员共有1987名．由抽屉原理可知，必有人游览的地方相同，所以至少有332人游览的地方完全相同．11．解：由题目可知，胜负的关键在于这个位数的大小，于是只考虑这个位数，试着将范围缩小，从2002缩小到22，∵2002＝2000+2，同理：22＝20+2，得到排列：1 2 3 4 5 6 7 8 9 1020 19 18 17 16 15 14 13 12 1121 22由上面的排列不难看出上面的两排数将其以横的相加，所得总和的个位数会一样，那么先取的人拿到22，再根据对称性拿，就可以必胜．将其推广：先取的人拿到2002，再根据对称性拿，就可以必胜．12．证明：由于任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2n和乘积的形式，而且这种表示方法是惟一的．因此，我们可以按下面的方法来构造50个抽屉：{1，1×2，1×22，1×23，1×26}；{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；…；{49，49×2}；{51}；{53}；…；{99}．于是从这50个抽屉中任取51个数，根据抽屉原则，其中一定存在至少两个数属于同一个抽屉，即命题得证．13．证明：用数学归纳法来证明．（1）当n＝2时成立．（2）假设，当n＝k时，成立．（3）证明：当n＝k+1时也成立．（31）2n﹣1个互不相同的整数中n个整数的和，有C（n，2n﹣1）种互不相同的可能性．（32）这C（n，2n﹣1）种互不相同的可能性，落在[0，（2n﹣1）•n]区间内．在这个区间内，不能被n整除的整数个数是（2n﹣1）•（n﹣1）个．（33）证明C（n，2n﹣1）＞（2n﹣1）•（n﹣1）．（34）原命题得证．14．解：∵不管怎么组合都不会重复，∴共有3×5×2×2×2﹣1＝120﹣1＝119种．故可以付出不同数额的款共有119种．15．解：对于任何一个双色n（n≥5）边形，显然去掉红、蓝顶点后，得到一个无色n﹣2边形，不同的双色n边形去掉红蓝顶点后，得到的是不同的无色n﹣2边形．反过来，对任一无色多边形，添上红蓝顶点后，总可以得到一个双色多边形，由此可知，无色多边形（从三角形到十边形）的个数与双色多边形（从五边形到十二边形）的个数相等．因此，双色多边形的个数多，多出来的数目恰是双色三角形和双色四边形的数目．双色三角形有10个．双色四边形有×10×9＝45个．这是由于每对应一个双色三角形，可以有九个双色四边形，而在90个双色四边形中，两两相重，故只有45个双色四边形．∴双色多边形比无色多边形多55个．16．解：①．被拉了三次的灯，为2、3、5的最小公倍数，也就是＝66②．被拉了两次的灯，也就是求2和3、3和5、2和5的最小公倍数的和，这里注意要扣除被重复拉的灯（也就是2、3、5三个数的最小公倍数）：++﹣3×66＝466③．被拉了一次的灯，++﹣2×466﹣3×66＝932那么最后亮着的灯的数量：1997﹣66﹣932＝99917．解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17，18，15，因而，总人数是17+18+15+4＝54，但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54﹣6﹣6﹣5＝37，又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去．即这个班学生数为：37+2＝39．18．解：（1）4×4×3×2×1＝96种．故化学不放在第1位，共有96种不同排法．（2）2×4×3×2×1＝48种．故语文与数学必须相邻，共有48种不同排法．（3）（5×4﹣2×4）×3×2×1＝72种．故物理与化学不得相邻，共有72种不同排法．（4）3×2×1×2×1＝12种．故文科书与理科书交叉排放，共有12种不同排法．19．解：将人群分成三组，A组：直接上楼；B组：从电梯下楼；C组：从电梯上楼；由于各种组合是有限的，因此最小值是存在的，那么在达到最小值时，下楼的人数是一个确定的值m，除了1人不需要上下楼，上楼的人数为31﹣m，这31﹣m个人分在A，C两组，由于A，C两组的地位均等，因此要达到最小值人数要相等，但涉及到整数有可能相差1人，设A组的人有n，那么爬得最高的人要爬n层，3n分，如果C组的人比A组的人数多2个以上，则C组爬得最高的人＞＝3（n+2），这样如果我们从C组中移1个人到A组，将至少减少3（n+2）分，而A组增加1人增加的分是3（n+1），显然会使总分减少，同时B组的人数没有变动，分值没有变化，由此说明了A，C组人数应当相等或相差1人，基于以上分析，先考虑AC组人数相等的情况：设A，C组人数均为x，B组人数为31﹣2x，总分S＝＝5x2﹣60x+496，当x＝＝6，S最小＝316．20．解：（1）一共有12条：ABCKG、ABJKG、ABJFG、ADCKG、ADLKG、ADLHG、AIJKG、AIJFG、AILKG、AILHG、AIEFG、AIEHG；（2）不可能．用反证法证明．假设可能，那么将所有连接点染上黑、白两色，凡与黑点相邻的都是白点，凡与白点相邻的都是黑点．若A是白点，则黑白点的分布如下表：．由于A与G都是白点，所以蚂蚁从A点出发，依次经过其它各点，到达G点的路线应为白→黑→白→黑→…→黑→白．其中有奇数个白点，这与图中共有偶数个白点相矛盾．∴蚂蚁不可能从A点出发沿着铁丝经过每一个连接点恰好一次，最后到达G点．。
2022年初中数学人教九下第二十八章测试卷(3)(附答案)
单元检测卷〔三〕一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，那么cosB的值是〔〕A．B．C．D．2．如果α是锐角，且，那么cos〔90°﹣α〕的值为〔〕A．B．C．D．3．：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么cosB的值为〔〕A．B．C．D．4．在△ABC中，假设tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是〔〕A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形5．在△ABC中，假设|sinA﹣|+〔﹣cosB〕2=0，∠A，∠B都是锐角，那么∠C的度数是〔〕A．75°B．90°C．105° D．120°6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，那么拉线BC的长度为〔A、D、B在同一条直线上〕〔〕A．B．C．D．h•cosα7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，cosα=，那么小车上升的高度是〔〕A．5米 B．6米 C．6.5米D．12米8．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，测倾器AB的高度为1.6米，那么楼房CD的高度约为〔结果精确到0.1米，≈1.414〕〔〕9．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，假设DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，那么此时AB的长约为〔〕〔参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84〕．二、填空题10．假设是二次函数，那么m的值是．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，那么sin=．12．如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，AB⊥BC于B，站在河岸C的C处测得∠BCA=50°，BC=10m，那么桥长AB=m〔用计算器计算，结果精确到0.1米〕13．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，假设tanB=，那么tan∠CAD的值．14．如下图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，那么火箭在这n秒中上升的高度是km．三、解答题15．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．16．计算：+〔〕﹣1﹣4cos45°﹣〔〕0．17．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅的距离AC的长．〔结果精确到0.1米〕〔参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60〕18．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．〔结果不取近似值〕19．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．〔结果保存根号〕20．耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔〞之一〔如图1〕．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米〔A、B、C在同一直线上，如图2〕，求运河两岸上的A、B两点的距离〔精确到1米〕．〔参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈0.95，tan17.9°≈0.32〕21．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．答案解析1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，那么cosB的值是〔〕A．B．C．D．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【专题】选择题【分析】根据余弦的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，∴cosB==，应选：A．【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．2．如果α是锐角，且，那么cos〔90°﹣α〕的值为〔〕A．B．C．D．【考点】T3：同角三角函数的关系．【专题】选择题【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．【解答】解：∵α为锐角，，∴cos〔90°﹣α〕=sinα=．应选B．【点评】此题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的根底．3．：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么cosB的值为〔〕A．B．C．D．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【专题】选择题【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C=90°，得∠A+∠B=90°，cosB=sinA=，应选：D．【点评】此题考查了互余两角三角函数关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．4．在△ABC中，假设tanA=1，sinB=，你认为最确切的判断是〔〕A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形【考点】T5：特殊角的三角函数值．【专题】选择题【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的值，再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断．【解答】解：∵tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°．又∵三角形内角和为180°，∴∠C=90°．∴△ABC是等腰直角三角形．应选B．【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰三角形的判定．5．在△ABC中，假设|sinA﹣|+〔﹣cosB〕2=0，∠A，∠B都是锐角，那么∠C的度数是〔〕A．75°B．90°C．105° D．120°【考点】T5：特殊角的三角函数值；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方．【专题】选择题【分析】此题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．〞分别求出∠A、∠B的值．然后用三角形内角和定理即可求出∠C的值．【解答】解：∵|sinA﹣|=0，〔﹣cosB〕2=0，∴sinA﹣=0，﹣cosB=0，∴sinA=，=cosB，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．应选C．【点评】此题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式、绝对值、非负数等考点的运算．6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，那么拉线BC的长度为〔A、D、B在同一条直线上〕〔〕A．B．C．D．h•cosα【考点】T8：解直角三角形的应用．【专题】选择题【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=知BC==．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，∴BC==，应选：B．【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．7．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，cosα=，那么小车上升的高度是〔〕A．5米 B．6米 C．6.5米D．12米【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】选择题【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，∵cosα==，∴AB=12，∴BC==132﹣122=5，∴小车上升的高度是5m．应选A．【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，测倾器AB的高度为1.6米，那么楼房CD的高度约为〔结果精确到0.1米，≈1.414〕〔〕【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】选择题【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=1.6米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD于F，∴AB=A′B′=CF=1.6米，在Rt△DFB′中，B′F=，在Rt△DFB中，BF=DF，∵BB′=AA′=20，∴BF﹣B′F=DF﹣=20，∴DF≈34.1米，∴CD=DF+CF=35.7米，答：楼房CD的高度约为35.7米，应选C．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．9．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，假设DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，那么此时AB的长约为〔〕〔参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84〕．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】选择题【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE=PQ=2、CQ=PE，由i===可设CQ=4x、BQ=3x，根据BQ2+CQ2=BC2求得x的值，即可知DP=11，由AP==结合AB=AP﹣BQ﹣PQ可得答案．【解答】解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i===，∴设CQ=4x、BQ=3x，由BQ2+CQ2=BC2可得〔4x〕2+〔3x〕2=102，解得：x=2或x=﹣2〔舍〕，那么CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中，∵AP==≈13.1，∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，应选：A．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．10．假设是二次函数，那么m的值是﹣3．【考点】H1：二次函数的定义．【专题】填空题【分析】根据二次函数的定义列出有关m的方程，然后求解即可．【解答】解：由二次函数的定义可知：m2+2m﹣1=2，解得：m=﹣3或1，又m﹣1≠0，m≠1，∴m=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查了二次函数的定义，属于根底题，难度不大，注意掌握二次函数的定义．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，那么sin=．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【专题】填空题【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．【解答】解：∵sinA==，∴∠A=60°，∴sin=sin30°=．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．12．如图，BC是一条河的直线河岸，点A是河岸BC对岸上的一点，AB⊥BC于B，站在河岸C的C处测得∠BCA=50°，BC=10m，那么桥长AB=11.9m〔用计算器计算，结果精确到0.1米〕【考点】T8：解直角三角形的应用．【专题】填空题【分析】在Rt△ABC中，tan∠BCA=，由此可以求出AB之长．【解答】解：在△ABC中，∵BC⊥BA，∴tan∠BCA=．又∵BC=10m，∠BCA=50°，∴AB=BC•tan50°=10×tan50°≈11.9m．故答案为11.9．【点评】此题考查了正切的概念和运用，关键是把实际问题转化成数学问题，把它抽象到直角三角形中来．13．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，假设tanB=，那么tan∠CAD的值．【考点】T7：解直角三角形．【专题】填空题【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5x，那么AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：===，进而可得CE=x，DE=x，从而可求tan∠CAD==．【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，那么AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴===，∴CE=x，DE=x，∴AE=，∴tan∠CAD==，故答案为．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是根底知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．14．如下图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，那么火箭在这n秒中上升的高度是〔20﹣20〕km．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】填空题【分析】分别在Rt△ALR，Rt△BLR中，求出AL、BL即可解决问题．【解答】解：在Rt△ARL中，∵LR=AR•cos30°=40×=20〔km〕，AL=AR•sin30°=20〔km〕，在Rt△BLR中，∵∠BRL=45°，∴RL=LB=20，∴AB=LB﹣AL=〔20﹣20〕km，故答案为〔20﹣20〕km．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题．15．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【专题】解答题【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=〔〕2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，解答此题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．16．计算：+〔〕﹣1﹣4cos45°﹣〔〕0．【考点】T5：特殊角的三角函数值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【专题】解答题【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法那么进行计算即可．【解答】解：原式=2+2﹣4×﹣1，=2+2﹣2﹣1，=1．故答案为：1．【点评】此题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．17．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅的距离AC的长．〔结果精确到0.1米〕〔参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60〕【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解答题【分析】利用余弦函数的定义即可求出AC的长．【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AC=AB•cos∠BAC=12×≈10.3〔米〕．即大厅的距离AC的长约为10.3米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．18．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．〔结果不取近似值〕【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；U5：平行投影．【专题】解答题【分析】如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，那么四边形EMFQ是矩形．分别在Rt△EQN、Rt△PFM中解直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，那么四边形EMFQ是矩形．在Rt△QEN中，设EN=x，那么EQ=2x，∵QN2=EN2+QE2，∴20=5x2，∵x＞0，∴x=2，∴EN=2，EQ=MF=4，∵MN=3，∴FQ=EM=1，在Rt△PFM中，PF=FM•tan60°=4，∴PQ=PF+FQ=4+1．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．〔结果保存根号〕【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解答题【分析】先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=xm，那么BE=2xm，DE=2xm，DC=3xm，BC=xm，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度．【解答】解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°，∴∠DBE=∠DBC﹣∠EBC=60°﹣30°=30°．又∵∠BCD=90°，∴∠BDC=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°．∴∠DBE=∠BDE．∴BE=DE．设EC=xm，那么DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm，BC===x，由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=20，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC=DC．∴x+60=3x，解得：x=30+10，2x=60+20．答：塔高约为〔60+20〕m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答此题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．20．耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔〞之一〔如图1〕．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米〔A、B、C在同一直线上，如图2〕，求运河两岸上的A、B两点的距离〔精确到1米〕．〔参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈0.95，tan17.9°≈0.32〕【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解答题【分析】在Rt△PBC中，求出BC，在Rt△PAC中，求出AC，根据AB=AC﹣BC计算即可．【解答】解：根据题意，BC=142米，∠PBC=22°，∠PAC=17.9°，在Rt△PBC中，tan∠PBC=，∴PC=BCtan∠PBC=142•tan22°，在Rt△PAC中，tan∠PAC=，∴AC==≈≈177.5，∴AB=AC﹣BC=177.5﹣142≈36米．答：运河两岸上的A、B两点的距离为36米．【点评】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形，利用三角函数解决问题，属于中考常考题型．21．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解答题【分析】设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=10m，列出方程即可解决问题．【解答】解：设AG=x．在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，∴CG=AG=x，∵DE=10，∴x﹣=10，解得：x=15+5∴AB=15+5+1=16+5〔米〕．答：这棵树的高度AB为〔16+5〕米．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．期末测试〔2〕一、选择题1．假设有意义，那么m能取的最小整数值是〔〕A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=32．以下各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是〔〕A．1，，B．3，4，5 C．5，12，13 D．2，2，33．以下二次根式中属于最简二次根式的是〔〕A． B． C．D．4．函数y=2x﹣5的图象经过〔〕A．第一、三、四象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．假设∠AOB=60°，BD=8，那么AB的长为〔〕A．4 B．C．3 D．56．如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，那么阴影局部的面积是〔〕7．某市一周的日最高气温如下图，那么该市这周的日最高气温的众数是〔〕A．25 B．26 C．27 D．288．P1〔﹣3，y1〕，P2〔2，y2〕是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，那么y1，y2的大小关系是〔〕A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定9．2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：队员1队员2队员3队员4平均数〔秒〕51505150方差s2〔秒2〕根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运发动参加比赛，应该选择〔〕A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员410．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，假设BF=12，AB=10，那么AE的长为〔〕11．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，那么菱形ABCD的周长为〔〕A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm12．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，那么以下结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是〔〕A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13．一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是．14．函数中，自变量x的取值范围是．15．计算=．16．矩形纸片ABCD的边长AB=8，AD=4，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C 重合，折叠后在某一面着色〔如图〕，那么着色局部的面积为．17．如图，直线y=kx+b〔k≠0〕与x轴交于点〔﹣4，0〕，那么关于x的方程kx+b=0的解为x=．三、解答题18．当x=时，求x2﹣x+1的值．19．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口〔如图〕，向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口一个半小时后相距30海里〔即BA=30〕，问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？20．：如图，点E，F分别为▱ABCD的边BC，AD上的点，且∠1=∠2．求证：AE=CF．21．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日〞．某校本学年开展了读书活动，在这次活动中，八年级(1)班40名学生读书册数的情况如表：读书册数45678人数〔人〕6410128根据表中的数据，求：(1)该班学生读书册数的平均数；(2)该班学生读书册数的中位数．22．世界上大局部国家都使用摄氏温度〔℃〕，但美国、英国等国家的天气预报使用华氏温度〔℉〕．两种计量之间有如表对应：摄氏温度x〔℃〕…0510152025…华氏温度y〔℉〕…324150596877…华氏温度y〔℉〕是摄氏温度x〔℃〕的一次函数．(1)求该一次函数的表达式；(2)当华氏温度﹣4℉时，求其所对应的摄氏温度．23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)假设∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．24．：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y〔千米〕与行驶时间x〔小时〕之间的函数图象．(1)求甲车离出发地的距离y甲〔千米〕与行驶时间x〔小时〕之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)它们出发小时时，离各自出发地的距离相等，求乙车离出发地的距离y乙〔千米〕与行驶时间x〔小时〕之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)在(2)的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．答案1．假设有意义，那么m能取的最小整数值是〔〕A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】选择题．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解．【解答】解：由有意义，那么满足3m﹣1≥0，解得m≥，即m≥时，二次根式有意义．那么m能取的最小整数值是m=1．应选B．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子〔a≥0〕叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否那么二次根式无意义．2．以下各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是〔〕A．1，，B．3，4，5 C．5，12，13 D．2，2，3【考点】勾股定理的逆定理．【专题】选择题．【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+〔〕2=3=〔〕2，故是直角三角形，故错误；B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．应选D．【点评】此题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3．以下二次根式中属于最简二次根式的是〔〕A． B． C．D．【考点】最简二次根式．【专题】选择题．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为：B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．应选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式〔或因数〕，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．4．函数y=2x﹣5的图象经过〔〕A．第一、三、四象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限【考点】一次函数的性质．【专题】选择题．【分析】根据一次函数的性质解答．【解答】解：在y=2x﹣5中，∵k=2＞0，b=﹣5＜0，∴函数过第一、三、四象限，应选A．【点评】此题考查了一次函数的性质，能根据k和b的值确定函数所过象限是解题的关键．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．假设∠AOB=60°，BD=8，那么AB的长为〔〕A．4 B．C．3 D．5【考点】矩形的性质．【专题】选择题．【分析】先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC，OB=BD=4，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB=4；应选A．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．6．如图，正方形ABCD中，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，那么阴影局部的面积是〔〕A．16 B．18 C．19 D．21【考点】勾股定理；正方形的性质．【专题】选择题．【分析】由得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影局部=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．【解答】解：∵AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=25，∴S阴影局部=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE=25﹣×3×4=19．应选C．【点评】此题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．7．某市一周的日最高气温如下图，那么该市这周的日最高气温的众数是〔〕A．25 B．26 C．27 D．28【考点】众数；折线统计图．【专题】选择题．【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可．【解答】解：由图形可知，25出现了3次，次数最多，所以众数是25．应选A．【点评】此题考查了众数的概念，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，假设几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．8．P1〔﹣3，y1〕，P2〔2，y2〕是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，那么y1，y2的大小关系是〔〕A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定【考点】一次函数的性质．【专题】选择题．【分析】根据P1〔﹣3，y1〕，P2〔2，y2〕是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，由﹣3＜2，结合一次函数y=﹣x﹣1在定义域内是单调递减函数，判断出y1，y2的大小关系即可．【解答】解：∵P1〔﹣3，y1〕，P2〔2，y2〕是一次函数y=﹣x﹣1的图象上的两个点，且﹣3＜2，∴y1＞y2．应选C．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握．9．2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：队员1队员2队员3队员4平均数〔秒〕51505150方差s2〔秒2〕根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运发动参加比赛，应该选择〔〕A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4【考点】方差；加权平均数．【专题】选择题．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，说明这组数据分布比拟集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为队员1和2的方差最小，但队员2平均数最小，所以成绩好，所以队员2成绩好又发挥稳定．应选B．【点评】此题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，说明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，说明这组数据分布比拟集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，假设BF=12，AB=10，那么AE的长为〔〕A．13 B．14 C．15 D．16【考点】平行四边形的性质．【专题】选择题．【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF 是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【解答】解：如下图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，∴OA===8，∴AE=2OA=16；应选D．【点评】此题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．11．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，那么菱形ABCD的周长为〔〕A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【专题】选择题．【分析】根据菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AO=OC，根据三角形的中位线求出BC，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AO=OC，∵AM=BM，∴BC=2MO=2×5cm=10cm，即AB=BC=CD=AD=10cm，即菱形ABCD的周长为40cm，应选D．【点评】此题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理，能根据菱形的性质得出AO=OC是解此题的关键．。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)复习测试(含答案)
人教版初3数学9年级下册 第28章（锐角三角函数）复习测试一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）1. 在△ABC 中，∠C =90∘，sin A =12，则cos B 等于（ ） A.12 B.22C.32D.12. 已知α为锐角，如果sin α=22，那么α等于（ ） A.30∘ B.45∘ C.60∘ D.不确定3. 已知∠A 为锐角，且tan A =2，则∠A 的取值范围是（ ） A.0∘<∠A <30∘ B.30∘<∠A <45∘ C.45∘<∠A <60∘ D.60∘<∠A <90∘4. 在Rt △ABC 中，∠C =90∘，若AB =4，sin A =35，则斜边上的高等于（ ） A.6425 B.165C.4825D.1255. 如图，已知轮船甲在A 处沿北偏东65∘的方向匀速航行，同时轮船乙在轮船甲的南偏东40∘方向的点B 处沿某一方向航行，速度与甲轮船的速度相同．若经过一段时间后，两艘轮船恰好相遇，则轮船乙的航行方向为( )A.北偏西40∘B.北偏东40∘C.北偏西35∘D.北偏东35∘6. 如图，市政府准备修建一座高AB ＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的余弦值为45，则坡面AC 的长度为（ ）A.152mB.10mC.10mD.302m7. 如图，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与环相切，将这个游戏抽象为数学问题，如图②，已知铁环的半径为26cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切的点为M，铁环与地面接触点为A，∠AOM=α且tanα=5，若人站立点C与点A的水平距离AC等于46cm，则铁环钩MF的长度为（）12A.36cmB.39cmC.40cmD.42cm8. 如图，某人在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15∘，山脚B处的俯角为60∘，已知该山坡的坡度i为1:3，点P， H，B， C， A在同一个平面上，点 H，B， C在同一条直线上，且PH⊥HC，则A， B两点间的距离是( )A.15米B.203米C.202米D.103米9. 在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，从原点O引一条射线，设这条射，则这条射线是( )线与x轴的正半轴的夹角为α，若cosα=35A.OAB.OBC.OCD.OD10. 如图为滑梯的侧面示意图，过点A作水平面的垂线AD，测得BD=2米，CD=1米，设上行面AC的坡度为i AC，滑行面AB的坡度为i AB，则下列结论正确的是（）A.i AC=2i ABB.i AC=i ABC.2i AC=i ABD.i AC=4i AB二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分，）11. 已知sin46∘=cosα，则α=________度．12. 如图，在距旗杆4米的A处，用测角仪测得旗杆顶端C的仰角为60∘，已知测角仪AB的高为1.5米，则旗杆CE的高等于________米．13. 如图C、D是两个村庄，分别位于一个湖面的南北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30∘方向上，CD=6km，则AB=________km．14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点A，B，C都在格点上，则cos∠ABC的值等于________．15. 如图，曲线l是由函数y=6在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45∘得到的，x过点A(−42, 42)，B(22, 22)的直线与曲线l相交于点M，N，连接OA，OB.(1)tan∠OAB=________；(2)△OMN的面积为________．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分，）.16. 在△ABC中，AB=6,BC=4,∠B为锐角且cos B=12(1)∠B=___________;(2)求tan C．17. 某中学广场上有一个旗杆，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72∘，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度．（结果精确到小数点后一位，参考数据：sin72∘≈0.95，cos72∘≈0.31，tan72∘≈3.08）18. 如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CBD ，BC =8cm ，tan ∠CDA =12.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)求⊙O 的半径；(3)过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，连接OE ，求四边形OEDA 的面积．19. 已知：在矩形ABCD 中，E 为AB 边的中点，F 为边AD 上的动点，过点F 作EF 的垂线交DC 于点H ，以EF 为直径作半圆O ．(1)填空：①点A 与⊙O 的位置关系是________；②当⌢AE =⌢AF 时，tan ∠AFF 的值是________；③当点F 与点A 重合时，⊙O 与矩形ABCD 的边AD 的位置关系是________；(2)当△EFH 的顶点F 是边AD 的中点时，若AB =8，AD =6，求线段DH 的长．20. 如图，⊙O 的半径为5，弦BC =6，A 为BC 所对优弧上一动点，△ABC 的外角平分线AP 交⊙O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．(1)求证：P为优弧BAC的中点；(2)连接PC，求PC的长度；(3)求sin∠BAC的值；(4)若△ABC为非锐角三角形，请直接写出△ABC的面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】特殊角的三角函数值锐角三角函数的定义【解析】本题考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，解题关键是掌握这些内容并能熟练运用.先求出∠A的度数，进而即可得出答案.【解答】,解：∵在△ABC中，∠C=90∘，sinA=12∴∠A=30∘∴∠B=60∘,.∴cosB=12故选A.2.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】，∵α为锐角，sinα=22∴α＝45∘．3.【答案】C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】首先明确tan45∘=1，tan60∘=3，再根据正切值随角增大而增大，进行分析．【解答】解：∵tan45∘=1，tan60∘=3，正切值随角增大而增大，又1<2<3，∴45∘<∠A<60∘．故选C．4.【答案】C【考点】解直角三角形【解析】在直角三角形ABC 中，由AB 与sin A 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt △ABC 中，AB =4，sin A =35，∴ BC =AB sin A =2.4，根据勾股定理得：AC =AB 2−BC 2=3.2，∵ S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CD ，∴ CD =AC ⋅BC AB=4825．故选C ．5.【答案】D【考点】方位角平行线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图：设经过一段时间后，两艘轮船在点C 处相遇，AC =BC ，∴ ∠CAB =∠CBA .∵ 轮船甲沿北偏东65∘方向航行，点B 在点A 的南偏东40∘方向，∴ ∠CAB =180∘−65∘−402=75∘，过点B 作BE//AD 交AF 于点E ，则∠ABE =∠BAD =40∘,∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=35∘，即轮船乙的航行方向为北偏东35∘.故选D.6.【答案】B【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解析】在Rt△ABC中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC的长度．【解答】由在Rt△ABC中，cos∠ACB=BCAC =45，设BC＝4x，AC＝5x，则AB＝3x，则sin∠ACB=ABAC =35；又∵AB＝6m，∴AC＝10m；7.【答案】B【考点】解直角三角形的应用【解析】此题暂无解析【解答】略8.【答案】B【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题解直角三角形的应用-坡度坡角问题锐角三角函数的定义【解析】由题意可得：∠APB=60∘−15∘=45∘，∠PBH=60∘，则可由三角函数求得PB的长，又由山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1:3，即可求得∠ABC的度数，△ABP是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】解：根据题意，得∠APB=60∘−15∘=45∘，∠PBH=60∘，∵PH⊥HC，PH=30米，∴PB=PHsin60∘=3032=203米.∵tan∠ABC=13=33，∴∠ABC=30∘，∴ABP=180∘−∠PBH−∠ABC=180∘−60∘−30∘=90∘，∠PAB=∠APB=45∘，∴AB=PB=203米，即A，B两点间的距离是203米．故选B.9.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义--利用网格【解析】此题暂无解析【解答】解：由图知：cos∠COx=425=255，不符合题意；cos∠BOx=45，不符合题意；cos∠AOx=35，符合题意；cos∠DOx=117=1717，不符合题意.故选A.10.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，上行面AC的坡度iAC=ADCD，滑行面AB的坡度i AB=ADBD，∵BD=2CD，∴i AC=2i AB．故选A．二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）11.【答案】44【考点】互余两角三角函数的关系【解析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，依此求解即可．【解答】解：∵sin46∘=cosα，∴α=90∘−46∘=44∘．故答案为44．12.【答案】(43+3 2 )【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】利用60∘的正切值即可求得CD长，加上AB长即为旗杆CE的高．【解答】解：根据题意可得：CD=AD×tan60∘=43．∴旗杆CE的高等于CD+DE=43+32（米）．13.【答案】33【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】过C作CE⊥BD于E．根据已知求得∠ECD的度数，再根据三角函数即可求得CE的长．【解答】解：过C作CE⊥BD于E，那么CE=AB．直角△CED中，∵D位于C的北偏东30∘方向上，∴∠ECD=30∘．∵CD=6，∴CE=CD⋅cos30∘=33(km)．14.【答案】55【考点】锐角三角函数的定义【解析】先设小正方形的边长为1，再建构直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵小正方形的边长为1，则BD=2，AD=4，∴AB=BD2+AD2=22+42=25，∴cos∠ABC=BDAB =225=55，故答案为：55．15.【答案】128【考点】反比例函数与一次函数的综合锐角三角函数的定义坐标与图形变化-旋转勾股定理坐标与图形性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵A(−42, 42)，B(22, 22)，∴OA⊥OB，建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．在新的坐标系中，A(0, 8)，B(4, 0)，tan∠OAB=OBOA =12.故答案为：12.(2)直线AB解析式为y′=−2x′+8，由y′=−2x′+8，y′=6x′，解得x′=1，y′=6 或x′=3，y′=2.∴M(1, 6)，N(3, 2).∴S△OMN=S△OBM−S△OBN=12×4×6−12×4×2=8.故答案为：8.三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）16.【答案】60∘(2)作AD⊥BC于D，如图所示：∵∠B=60∘，∴∠BAD=90∘−60∘=30∘，∴BD=12AB=3，∴AD=3BD=33.∵BC=4，∴CD=BC−BD=1，∴tan C=ADCD =331=33.【考点】特殊角的三角函数值锐角三角函数的定义含30度角的直角三角形【解析】（1）由特殊锐角的三角函数值即可得出答案；（2）作AD⊥BC于D，求出∠BAD=90∘−60∘=30∘，由直角三角形的性质得出BD=12 AB=3，得出AD=3BD=33，求出CD的长，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：(1)∵∠B为锐角且cos B=12，∴∠B=60∘.故答案为：60∘.(2)作AD⊥BC于D，如图所示：∵∠B=60∘，∴∠BAD=90∘−60∘=30∘，∴BD=12AB=3，∴AD=3BD=33.∵BC=4，∴CD=BC−BD=1，∴tan C=ADCD =331=33.17.【答案】解：如图作CM // AB交AD于M，MN⊥AB于N．则四边形BCMN为矩形.由题意CMCD =PQQR，即CM3=12，CM=32（米）.在Rt△AMN中，∵∠ANM=90∘，MN=BC=4，∠AMN=72∘，∴tan72∘=ANNM，∴AN≈12.3（米）.∵BN=CM=32，∴AB=AN+BN=13.8（米）．答：旗杆的高度为13.8米.【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解析】如图作CM // AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据CMCD =PQQR，求出CM，在Rt△AMN中利用tan72∘=ANNM，求出AN即可解决问题．【解答】解：如图作CM // AB交AD于M，MN⊥AB于N．则四边形BCMN为矩形.由题意CMCD =PQQR，即CM3=12，CM=32（米）.在Rt△AMN中，∵∠ANM=90∘，MN=BC=4，∠AMN=72∘，∴tan72∘=ANNM，∴AN≈12.3（米）.∵BN=CM=32，∴AB=AN+BN=13.8（米）．答：旗杆的高度为13.8米.18.【答案】(1)证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90∘，又∵OD=OA，∠CDA=∠CBD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠CBD+∠OAD=180∘−∠BDA=90∘，∴∠ODA+∠CDA=∠OAD+∠CBD=90∘，∴∠ODC=90∘，即CD是⊙O的切线；(2)解：∵∠DCA=∠BCD，∠CDA=∠CBD，∴△CDA∼△CBD，∴CDCB =CACD=DABD，又∵BC=8cm，tan∠CDA=12，∠CDA=∠CBD，∠BDA=90∘，∴tan∠CBD=DABD =12，∴CDCB =CACD=DABD=12，∴CD8=CACD=12，解得，CD=4，CA=2，∴BA=CB−CA=8−2=6，∴OB=3，即⊙O的半径是3cm；(3)解：作DF⊥BC于点F，由已知可得，∠ODC=∠EBC=90∘，∠DCO=∠BCE，∴△DCO∼△BCE，∴ODEB =CDCB，∵OD=3，CD=4，CB=8，∴EB=6，又∵CO=CB−OB=8−3=5，OD=3，CD=4，∠ODC=90∘，DF⊥OC，∴CO⋅DF2=OD⋅CD2，解得DF=2.4，∴S四边形OEDA=S△EBC−S△EBO−S△DAC=BC⋅EB2−EB⋅OB2−CA⋅DF2=8×62−6×32−2×2.42=12.6cm2，即四边形OEDA的面积是12.6cm2．【考点】锐角三角函数的定义--利用三角形相似比例相似三角形的性质与判定三角形的面积切线的判定切线的性质【解析】（1）要证明CD是⊙O的切线，只需要连接OD，证明∠ODC=90∘即可，由∠CDA=∠CBD，∠BDA=90∘，OA=OD得到∠ODA=∠OAD，然后进行转化即可得到∠ODC=90∘，本题得以解决；（2）根据题意可以得到△CDA和△CBD相似，然后根据BC=8cm，tan∠CDA=12，∠CDA=∠CBD，可以求得CD、CA的长，从而可以求得BA的长，进而可以得到⊙O的半径；（3）由题意可得，∠EBC=90∘，可以证明△EBC和△ODC相似，从而可以求得EB的长，然后根据四边形OEDA的面积等于△EBC的面积减去△EBO的面积再减去△DAC 的面积，从而可以得到四边形OEDA的面积，本题得以解决．【解答】(1)证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90∘，又∵OD=OA，∠CDA=∠CBD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠CBD+∠OAD=180∘−∠BDA=90∘，∴∠ODA+∠CDA=∠OAD+∠CBD=90∘，∴∠ODC=90∘，即CD是⊙O的切线；(2)解：∵∠DCA=∠BCD，∠CDA=∠CBD，∴△CDA∼△CBD，∴CDCB =CACD=DABD，又∵BC=8cm，tan∠CDA=12，∠CDA=∠CBD，∠BDA=90∘，∴tan∠CBD=DABD =12，∴CDCB =CACD=DABD=12，∴CD8=CACD=12，解得，CD=4，CA=2，∴BA=CB−CA=8−2=6，∴OB=3，即⊙O的半径是3cm；(3)解：作DF⊥BC于点F，由已知可得，∠ODC=∠EBC=90∘，∠DCO=∠BCE，∴△DCO∼△BCE，∴ODEB =CDCB，∵OD=3，CD=4，CB=8，∴EB=6，又∵CO=CB−OB=8−3=5，OD=3，CD=4，∠ODC=90∘，DF⊥OC，∴CO⋅DF2=OD⋅CD2，解得DF=2.4，∴S四边形OEDA=S△EBC−S△EBO−S△DAC=BC⋅EB2−EB⋅OB2−CA⋅DF2=8×62−6×32−2×2.42=12.6cm2，即四边形OEDA的面积是12.6cm2．19.【答案】在圆上,1,相切(2)∵EF⊥FH，∴∠EFH=90∘，∴∠AFE+∠DFH=90∘.∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90∘，∴∠AEF+∠AFE=90∘，∴∠AEF=∠DFH，∴△AEF∽△DFH，∴AEDF =AFDH.∵E为AB边的中点，AB=8，∴AE=12AB=4.∵F是AD边的中点，AD=6，∴AF=DF=12AD=3，∴AD=AF⋅DFAE =3×34=94.【考点】四边形综合题圆心角、弧、弦的关系点与圆的位置关系锐角三角函数的定义相似三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)①∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90∘，∴AO=12EF.∵EF为直径，∴点A在圆上.∵⌢AE=⌢AF，∴AE=AF.∵∠A=90∘，∴∠AEF=45∘，∴tan∠AFF=1.∵∠A=90∘，EF为直径∴当点F与点A重合时，⊙O与矩形ABCD的边AD的位置关系为相切.故答案为：在圆上；1；相切.(2)∵EF⊥FH，∴∠EFH=90∘，∴∠AFE+∠DFH=90∘.∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90∘，∴∠AEF+∠AFE=90∘，∴∠AEF=∠DFH，∴△AEF∽△DFH，∴AEDF =AFDH.∵E为AB边的中点，AB=8，∴AE=12AB=4.∵F是AD边的中点，AD=6，∴AF=DF=12AD=3，∴AD=AF⋅DFAE =3×34=94.20.【答案】(1)证明：∵四边形APBC内接于☉O，∴∠PBC+∠PAC=180∘．又∵∠PAF+∠PAC=180∘，∴∠PAF=∠PBC．∵AP平分∠BAF，∴∠PAF=∠BAP，∴∠BAP=∠PBC，∴PB=PC，∴P为优弧BAC的中点.解：(2)如图，连接PO并延长，交BC于点G．连接OB，OC．∵OB=OC=OP，∴∠OBC=∠OCB，∠OPB=∠OBP，∠OPC=∠OCP．由(1)可得PB=PC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∴∠OBP=∠OCP，∴∠OPB=∠OPC.∵PB=PC，∴PG⊥BC，且BG=GC=12BC=3．∵在Rt△COG中，OC=5，∴由勾股定理得OG=4，∴PG=9，∴在Rt△PCG中，由勾股定理得PC=310.(3)由(2)易得∠BOC=2∠COG．∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BAC=∠COG，∴sin∠BAC=sin∠COG=CGOC =35.(4)∵△ABC为非锐角三角形，∴当AB为直径时，即AB过圆心O时，△ABC的面积最大，此时∠BCA=90∘，由勾股定理得AC=8，∴S△ABCmax =12×6×8=24．【考点】圆内接四边形的性质圆心角、弧、弦的关系二次函数综合题勾股定理圆的综合题垂径定理锐角三角函数的定义--与圆有关【解析】（1）证明：∵四边形APBC内接于☉O，∴∠PBC+∠PAC=180∘．又∵∠PAF+∠PAC=180∘，∴∠PAF=∠PBC．∵AP平分∠BAF，∴∠PAF=∠BAP，∴∠BAP=∠PBC，∴弧PB=弧PC，∴P为优弧BAC的中点；（2）连接PO并延长，交BC于点G．连接OB，OC．∵OB=OC=OP，∴∠OBC=∠OCB，∠OPB=∠OBP，∠OPC=∠OCP．由（1）可得弧PB=弧PC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∴∠OBP=∠OCP，∴∠OPB=∠OPC.∵PB=PC，∴PG⊥BC，且BG=GC=12BC=3．∵在Rt△COG中，OC=5，∴由勾股定理得OG=4，∴PG=9，∴在Rt△PCG中由勾股定理得PC=310；（3）由（2）易得∠BOC=2∠COG．∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BAC=∠COG，∴sin∠BAC=sin∠COG=CGOC =−35；（4）△ABC的面积的最大值是24．【解答】(1)证明：∵四边形APBC内接于☉O，∴∠PBC+∠PAC=180∘．又∵∠PAF+∠PAC=180∘，∴∠PAF=∠PBC．∵AP平分∠BAF，∴∠PAF=∠BAP，∴∠BAP=∠PBC，∴PB=PC，∴P为优弧BAC的中点.解：(2)如图，连接PO并延长，交BC于点G．连接OB，OC．∵OB=OC=OP，∴∠OBC=∠OCB，∠OPB=∠OBP，∠OPC=∠OCP．由(1)可得PB=PC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∴∠OBP=∠OCP，∴∠OPB=∠OPC.∵PB=PC，∴PG⊥BC，且BG=GC=12BC=3．∵在Rt△COG中，OC=5，∴由勾股定理得OG=4，∴PG=9，∴在Rt△PCG中，由勾股定理得PC=310.(3)由(2)易得∠BOC=2∠COG．∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BAC=∠COG，∴sin∠BAC=sin∠COG=CGOC =35.(4)∵△ABC为非锐角三角形，∴当AB为直径时，即AB过圆心O时，△ABC的面积最大，此时∠BCA=90∘，由勾股定理得AC=8，∴S△ABCmax =12×6×8=24．。
2019年人教版九年级下册数学第28章测试卷及答案
九年级数学人教版《三角函数》单元测试题（有答案）(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值( ) A ．扩大2倍 B ．缩小12 C ．不变 D ．无法确定2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是( )A.35B.34C.43D.453．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AB 的长等于( )A.2sin α B ．2sin α C.2cos αD ．2cos α 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm 5．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，tanA ＝512，则cosA ＝( )A.125B.1213C.513D.5126．三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则最小角的正切值是( )A ．1 B.22 C.33D.37．(－sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A ．(32，12) B ．(－32，12)C ．(－32，－12)D ．(－12，－32)8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.255C.55 D.129．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D.若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．32 D ．2310．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC11．将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是( )A.23 3 cmB.433 cm C. 5 cm D ．2 cm12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13 m 至坡顶B 处，再沿水平方向行走6 m 至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A ．8.1 mB ．17.2 mC ．19.7 mD ．25.5 m13．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC ＝2BF ，连接AE ，EF.若AB ＝2，AD ＝3，则cos ∠AEF 的值是( )A.3 B.32 C.22 D.1214．如图，以坐标原点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(sin α，cos α)D ．(cos α，sin α)15．如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米16．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P在四边形ABCD 的边上，若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上) 17．计算：cos 245°＋3tan60°＋cos30°＋2sin30°－2tan45°＝ ．18．张丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝63，tanC ＝，求BC 的长度”．张丽翻看答案后，得知BC ＝6＋33，则部分为 ．19．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝113，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝ ．(用含n 的代数式表示)三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝0.8，b ＝0.4，解这个直角三角形．解：21．(本小题满分9分)△ABC 中，(3·tanA －3)2＋|2cosB －3|＝0.(1) 判断△ABC 的形状；(2) 若AB ＝10，求BC ，AC 的长． 解：22．(本小题满分9分)如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A 处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°.若房屋的高BC＝6 m．求树高DE.解：23．(本小题满分9分)如图，某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°方向，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．24．(本小题满分10分)如图，为了固定一棵珍贵的古树AD，在树干A处向地面引钢管AB，与地面夹角为60°，向高1. 5 m的建筑物CE引钢管AC，与水平面夹角为30°，建筑物CE 离古树的距离ED为6 m，求钢管AB的长．(结果保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：25．(本小题满分10分)一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F ＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求BC，CD的长．解：26．(本小题满分11分)阅读下面材料：(1)小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝43，BC＝3，求AD的长．小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．请回答：AD 的长为6；(2)参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，tanA ＝12，∠B ＝∠C ＝135°，AB ＝9，CD ＝3，求BC 和AD的长．解：答案一、选择题 题号 1 2345678910 11 12 13 14 15 16答案C DACBCADACBACDAB二、填空题172＋52．18．32．19．＝1n 2－n ＋1．(用含n 的代数式表示)解析：作CH ⊥BA 4于点H ，由勾股定理得，BA 4＝42＋12＝17，A 4C ＝10，△BA 4C 的面积＝4－2－32＝12，∴12×17×CH ＝12，解得CH ＝1717.则A 4H ＝A 4C 2－CH 2＝131717.∴tan ∠BA 4C ＝CH A 4H ＝113. ∵1＝12－1＋1，3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，∴tan ∠BA n C ＝1n 2－n ＋1.三、解答题 20．解：∵sinB ＝b c ＝12，∴∠B ＝30°.∴∠A ＝60°，a ＝c 2－b 2＝253.21．解：(1)由题意，得tanA ＝3，cosB ＝32，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°.∴∠C ＝90°.∴△ABC为直角三角形．(2)由(1)，得BC ＝AB ·sinA ＝10×sin60°＝53，AC ＝AB ·sinB ＝10×sin30°＝5.22．解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝6 m ， ∴AC ＝BCsin ∠CAB＝62 m.在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，∴AD ＝ACcos ∠CAD ＝122 m. 在Rt △DEA 中，∠EAD ＝60°，∴DE ＝AD ·sin60°＝122·32＝6 6 (m)．答：树DE 的高为6 6 m.23．解：设此时船到小岛的距离为x 海里．在Rt △BOC 中，∠OBC ＝45°，∴OC ＝BC ＝x 海里．在Rt △AOC 中，∠OAC ＝30°，tan ∠OAC ＝OC AC ，即tan30°＝x10＋x .∴33＝xx ＋10，解得x ＝53＋5.答：此时船到小岛的距离为(53＋5)海里.24．解：过点C 作CF ⊥AD 于点F ，可得矩形CEDF.∴CF ＝DE ＝6 m ，AF ＝CF ·tan30°＝6×33＝2 3 (m)． ∴AD ＝AF ＋DF ＝(23＋1.5)m.在Rt △ABD 中，AB ＝AD sin60°＝(23＋1.5)÷32＝4＋3≈6 (m)．答：钢管AB 的长约为6 m.25．解：在△ACB 中，∠ACB ＝90°， ∠A ＝60°，AC ＝10， ∴∠ABC ＝30°， BC ＝AC ·tan60°＝10 3.过点B 作BM ⊥FD 于点M.∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝30°.∴BM ＝BC ·sin30°＝103×12＝53，CM ＝BC ·cos30°＝103×32＝15. 在△EFD 中，∠F ＝90°， ∠E ＝45°，∴∠EDF ＝45°. ∴MD ＝BM ＝5 3.∴CD ＝CM －MD ＝15－5 3. 26．解：(1)延长AB 与DC 相交于点E ，在△ADE 中，∵∠A ＝90°，∠D ＝60°，∴∠E ＝30°.在Rt △BEC 中，∵∠BCE ＝90°，∠E ＝30°，BC ＝3， ∴BE ＝2BC ＝2 3.∴AE ＝AB ＋BE ＝43＋23＝6 3.在Rt △ADE 中，∵A ＝90°，∠E ＝30°，AE ＝63， ∴AD ＝AE ·tanE ＝63×33＝6.(2)延长AB 与DC 相交于点E ，∵∠ABC ＝∠BCD ＝135°，∴∠EBC ＝∠ECB ＝45°. ∴BE ＝CE ，∠E ＝90°.设BE ＝CE ＝x ，则BC ＝2x ，AE ＝9＋x ，DE ＝3＋x. 在Rt △ADE 中，∠E ＝90°，∵tanA ＝12，∴DEAE ＝12，即3＋x9＋x ＝12.∴x ＝3.经检验x ＝3是所列方程的解，且符合题意．∴BC＝32，AE＝12，DE＝6.∴AD＝AE2＋DE2＝122＋62＝6 5.。
人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)
人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)28.1《锐角三角函数》一、选择题1.2cos60°=（）A.1B.C.D.2.在菱形ABCD中，BD为对角线，AB=BD，则sin∠BAD=（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（）个（1）（2）（3）（4）.A.1B.2C.3D.44.tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=（）A. B. C. D.5.计算的值是（）A. B. C. D.6.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（）A.1B.C.D.7.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A. B. C. D.8.计算sin60°+cos45°的值等于（）A. B. C. D.9.sin60°的值等于（）A. B. C. D.10.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则sinA的值是( )A. B. C. D.11.tan30°的值为（）A. B. C. D.12.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定二、填空题13.计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°= .14.已知在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB=____________.15.△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= .16.在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是________.17.计算：=18.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形.三、计算题19.计算：20.计算：四、解答题21.先化简，再求值，其中a=1+2cos45°；b=1－2sin45°22.一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β；sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β.例如sin 90°=sin(60°＋30°)=sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°=×＋×=1.类似地，可以求得sin 15°的值是___________________.23.小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1.(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.24.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值.参考答案1.答案为：A；.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：D.5.答案为：A；6.答案为：C.7.答案为：A；8.答案为：B；9.答案为：C10.答案为：C11.答案为：B；.12.答案为：C13.答案为：14.答案为：0.75；15.答案为：60°.16.答案为：75°17.答案为：18.答案为：直角.19.原式=120.原式=721.原式=22.原式=.23.解1：(1)当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=1；(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1.24.解：（1）CD与⊙O相切.理由是：连接OD.则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°.∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切.（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）.在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=.28.2解直角三角形及其应用一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（）A．15°B．20°C．30°D．60°2．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sin A的值为（）3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．B．C．D．4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．米C．2米D．3米5．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29B．4.71C．4D．5.336．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B 滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（）7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）A．27B．28C．29D．308．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．（100+100•sinα）米B．（100+100•tanα）米C．（100+）米D．（100+）米9．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．39.3B．37.8C．33.3D．25.710．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．9.5米B．9.6米C．9.7米D．9.8米二．填空题11．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是．12．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．13．一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了平方米．14．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段CD的长；（2）sin∠BAC的值．17．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC ＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．18．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）参考答案一．选择题1．解：∵∠C＝90°，BC＝，AB＝2，∴cos B＝＝，∴∠B＝30°，故选：C．2．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝．故选：A．3．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE，∴AE＝＝＝3，∴CE＝＝＝1，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：B．4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：∵BC：AC＝1：3，即1：AC＝1：3，∴AC＝3（米），∴AB＝＝＝（米），即物体从A到B所经过的路程为米，故选：B．5．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．6．解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，∴AB＝＝＝5x，∴A′B′＝AB＝5x．∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，∴cosβ＝．故选：A．7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，∴AF＝FE•tan24°≈84×0.45＝37.8（米），∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；即建筑物AB的高度为28米；故选：B．8．解：在Rt△ABC中，，∴BC＝AB•tanα，在Rt△ABD中，tan45°＝，∴BD＝AB•tan45°＝AB，∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB＝（100+100•tanα）米，故选：B．9．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，∴设BF＝k，则CF＝k，∴BC＝2k．又∵BC＝12，∴k＝6，∴BF＝6，CF＝6，∵DF＝DC+CF，∴DF＝40+6在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），∵BH＝BF﹣FH，∴BH＝6﹣1.5＝4.5．∵AB＝AH﹣HB，∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．故选：C．10．解：作DH⊥FC交FC的延长线于点H，延长AB交CF的延长线于点T，作DJ⊥AT于点J，如图所示：则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形，∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，在Rt△DCH中，CD＝2.6米，＝，∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，∴AT＝TC，设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，tan∠ADJ＝＝0.75，∴＝0.75，解得：x＝11.2，∴AB＝AT﹣BT＝11.2﹣1.4＝9.8（米），故选：D．二．填空题11．解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：∵DB＝CK＝2，DB∥CK，∴四边形CDBK是平行四边形，∴CD∥BK，∴∠AOC＝∠ABK，过点K作KH⊥AB于H．∵AB＝＝，S△ABK＝•AK•4＝•AB•KH＝20，∴HK＝＝，∵BK＝＝2，∴BH＝＝＝，∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，故答案为：．12．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．13．解：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，∴＝0.75，解得，BC＝3，∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，∴CD＝8，∴BD＝DC﹣BC＝5，∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），故答案为：10．14．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．三．解答题16．解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°，在Rt△ABD中，∵sin B＝．∴＝，又∵AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝9，又∵BC＝4，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；答：线段CD的长为5；（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CE∴×4×12＝×15×CE，∴CE＝，在Rt△AEC中，∴sin∠BAC＝＝＝，答：sin∠BAC的值为．17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝＝＝5米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝15米，∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，∴CD的长为17.32米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，而10÷2≈8.66＞，∴汽车超速．18．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC＝x，∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，在Rt△P AC中，∵∠P AC＝22°，∴tan∠P AC＝，即＝，解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，∵16＜16，∴有危险．如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，在Rt△PBD中，∵sin∠PBD＝＝＝，∴∠PBD＝45°，∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．。
(含答案)九年级数学人教版下册第28章《单元测试》03
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！人教九年级下单元测试第28章班级________姓名________一、选择题（每题3分，共30分）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，3BC =，4AC =，则sin ∠A =（）A.34B.35C.45D.432.sin 45°的值是（）A.2B.2C.12D.13.已知，在Rt △ABC 中，∠C =90°，4tan 3A =，8BC =，则AC 等于（）A.6B.323C.10D.124.若1cos 2A =，则锐角A =（）A.30°B.45°C.60°D.75°5.已知△ABC 中，∠C =90°，4tan 3B =，则cos A =（）A.45B.35C.43D.346.把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（）A.不变B.缩小为原来的13C.扩大为原来的3倍D.不能确定7.一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（）A.5sin 31°米B.5cos 310米C.5tan 31°米D.5米第7题第8题第10题8.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A.34B.43C.35D.459.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC=.则∠A=（）A.90°B.60°C.45°D.30°10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠BAC=120°，那么底边上的高AD=（）A.cmB.6cmC.D.二、填空题（每题4分，共28分）11.计算2sin30tan45︒-︒=____________.12.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则sin A=_________.13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=，则AB=_________.第13题第15题14.已知斜坡的坡角30α=︒，则坡度为________.15.如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角30α=︒，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为_________.16.某人沿坡度为i=1的山路行了200m，则该人升高了_________米.第16题第17题17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为32，2AC=，则sin B=________.三、解答题（一）（每题6分，共18分）18.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，6BC=，3sin5A=.求AC的长.19.在△ABC中，∠C=90°，46AB=，43BC=.20.如图，小王在操场上放风筝.已知风筝线AB长200米，风筝线与水平线的夹角30α︒=，小王拿风筝线的手离地面的高度AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE.四、解答题（二）（每题8分，共24分）21.如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，5BO=，sin∠BOA=3 5 .求：（1）点B的坐标；（2）cos∠BAO的值.22.一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处，从A处看房屋顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树与该房屋之间的水平距离为33求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.23.梯形ABCD是拦水坝的横断面图，（图中i=1：3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），∠B=60°，12AB=，6AD=，求BC的长.五、解答题（三）（每题10分，共20分）24.某学校体育场看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底分别为D，C），且∠DAB=66.5°.（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度t（即AD AB BC++，结果精确到0.1米）.（参考数据：sin66.50.92︒≈，cos66.50.40︒≈，tan66.5 2.30︒≈）25.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作OC，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE.（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）当43ABBC=时，求tan E的值.参考答案一、1.B 2.B 3.A4.C5.A6.A7.A8.C9.D 10.B二、11.012.3513.414.3315.2400米16.10017.23三、18.解：6103sin 45BC AB ===，∴2222106AC AB BC =-=-8=19.解：在△ABC 中∵∠C =90°，46AB =，43BC =∴432sin 246A ==∴∠A =45°，∴9045B A ∠=︒-∠=︒∴∠A =∠B =45°，∴43AC BC ==20.解：sin 200sin 30BC AB α=⋅=⨯12001002=⨯=（米）∴BE BC CE BC AD=+=+= 100 + 1.5 = 101.5（米）四、21.解：（1）过B 作BC ⊥OA 于C在Rt △OBC 中，∵3sin 5BOA ∠=，∴35BC OB =，∴355BC =，∴3BC =，∴22534OC =-=∴点B 坐标为（4，3）（2）在Rt △ABC 中，1046AC OA OC =-=-=∴226335AB =+=∴625cos 535BAO ∠==22.解：在Rt △ABC 中，33AB =，∠BAC =30°，∴3tan 303333BC AB =⋅=⋅= （米）336cos3032AB AC ︒===（米）在Rt △ABD 中，∠DBA =90°，∠BAD =45°∴904545BDA ∠=︒-︒=︒∴∠BAD =∠BDA ∴33BD AB ==（米）∴333CD BC BD =+=+（米）23.解：过A 作AF ⊥BC 于F ，又∵DE ⊥BC ，AD //BC ，∴四边形EFAD 是矩形.∴EF =AD =6，DE =AF ，1cos 601262BF AB =⋅=⨯= ，3sin 6012632AF AB =⋅=⨯= ，3318EC DE AF =⋅==∴BC BF EF EC=++661830=++=（米）五、24.解：（1）31.6 1.24DH =⨯=（米）；（2）过B 作BM ⊥AH 于M ，则四边形BCHM 是矩形.∴1MH BC ==∴1 1.21 1.2AM AH MH =-=+-=.在Rt △AMB 中，∠A =66.5°，∴ 1.23.0cos 66.50.40AM AB =≈=︒（米）.∴1 3.01 5.0l AD AB BC =++≈++=（米）.答：点D 与点C 的高度差DH 为1.2米，所用不锈钢材料的总长度约为5.0米.25.（1）证明：∵∠ABC =90°，∴90ABD DBC ∠=︒-∠，由题意知：DE 是直径，∴∠DBE =90°，∴90E BDE ∠=︒-∠，∵BC =CD ，∴∠DBC =∠BDE ，∴∠ABD =∠E ，∴∠A =∠A ，∴△ABD ∽△AEB ；（2）解：∵AB ：BC =4：3，∴设AB =4k ，BC =3k （k >0），∴5AC k =，∵BC =CD =3k ，∴532AD AC CD k k k =-=-=，由（1）可知，△ABD ∽△AEB ，∴AB AD BDAE AB BE==∴2AB AD AE =⋅，∴2(4)2k k AE =⋅，∴8AE k =，在Rt △DBE 中，41tan 82BD AB k E BE AE k ====.。
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第28章 操作闻题和逻辑推理闻题28.1 有趣的操作问题28.1.1** 在黑板上记上数1，2，…，n ，现允许选择任意两个数。
换成其和或差（绝对值），经过1n - 次操作，黑板上只剩下1个数．问对于什么样的，才可能让这最后一个数为0？解析 显然，经过一次操作，原来的奇数个数要么保持不变，要么减少2，因此奇数总数的奇偶性在操作前后保持不变，当1n ≡，2（mod 4）时，奇数个数为奇数个，不可能减到0个（0是偶数）．因此，要满足题目要求，一个必要条件是0n ≡，3（mod 4）．当0n ≡（mod 4）时，由于连续4个整数可以得到两个1，从而进一步得到0，最终可得到一个0；当3n ≡（mod 4）时，先取出1、2、3，得到0，其余仍然4个连续整数一组，仍可最终得到0．因此答案为0n ≡，3（mod 4）．28.1.2** 只盘子排成一行，每次操作任取两只盘子，将它们移到相邻（或左或右）的位置上，盘子可 以重叠，问能否经若干次操作后，使6只盘子叠在一起．解析 设想盘子的位置是数轴上的整数点1、2、3、4、5、6．由于相邻整数的奇偶性不同，故每次移动改变了两个位置的奇偶性． 原来有奇数个盘子在奇数位置，每次移动有三种可能：（i ）将两个奇数位置的盘子移到偶数位置；（ii ）将两个偶数位置的盘子移到奇数位置；（iii ）将一个奇数位置的盘子移到偶数位置，将一个偶数位置的盘子移到奇数位置．无论哪种情况，每次移动后仍有奇数个盘子在奇数位置上，这就表明不能把6只盘子重叠在一起（因为6只盘子叠在一起时，奇数位置的盘子是偶数（6或0个）．28.1.3** 黑板上写有1，12，13，…，1100．每次操作可以从黑板上的数中选取2个数a 、b ，删去a 、b 并在黑板上写上数a b ab ++，问经过99次操作后，黑板上剩下的数是几？解析 因为()()111a b ab a b ++==++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加l 后的乘积不变． 设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则()11111111123100x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋯+=++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1101x +=，于是100x =．28.1.4** 在正方形的3个顶点处各有一只蚂蚱，现在每次有一只蚂蚱从另一只蚂蚱背上跳过，落到对称的位置．问是否在经过几次跳跃之后，有一只蚂蚱跳到了正方形的第4个顶点上？ 解析 不能．不妨设原来3只蚂蚱所在位置是（0，0），（1，0），（0，1）．由中点坐标易见，每次跳跃之后，对称位置的横、纵坐标的奇偶性与原先起跳点的一样，而原先没有一只蚂蚱在奇数格点（即两坐标都是奇数）上，因此也就没有一只蚂蚱会跳到奇数格点上，当然也就不会落到（1，1）上．28.1.5* 中国象棋中的马，每步由1×2格的一个顶点跳到其对角顶点．求证：该马从棋盘上任意一点出发要跳到它的相邻格，必须经过奇数步．解析 赋象棋盘每个格点（i ，j ）以数()1i j+-，马每跳一步，必在行和列中，一种增减2，另一种增减1，即乘以()2111+-=-．所以，马跳k 步后，到它的相邻格点时，必有()()()()()111111i jk i j i j++++-⋅-=-=-⋅-，故()11k-=-，故k 为奇数．28.1.6** 一个箱子里装有p 个白球和q 个黑球，箱子旁边还有一堆黑球．从箱子里取出两球：如果这两个球是同颜色的，则从箱外取出一个黑球放回箱子里；如果这两个球是异色的，则把其中的白球放回箱子．这个过程一直重复到最后一对球从箱子取出，并且最后一个球放回箱子．试问最后一对球有没有可能是白色的？并说明理由．解析 若在白球上记上数字1，黑球上记上数字0，则任何时候箱中的白球数就等于箱内所有球的数字之和S ，并且开始时总和为p ，如果取的两个球是白色，则放回一个黑球，故总和变成2S p =-．如果取的两个球是黑色，则放回一个黑球，故总和是S p =．如果取出的两球是一黑一白，则放回这个白球，故总和也是S p =．由此可知，每完成一个过程，箱子里球的数字之和或者不变，或者减少2，即变换前后S 的奇偶性不变．故p 为偶数时，最终将变成0（黑球）；p 为奇数时，最后必将是1（自球）． 28.1.7* 一堆火柴共1000根，两人轮流拿走p ''根火柴，其中户为质数，”为非负整数，规定谁取到最后一根火柴谁就获胜，证明：先取者必胜．解析 在正确的玩法下，第一人将取胜．由于他在每次执步中，可以取走1、2、3、4或5根火柴，所以他可以执行这样的策略：即不论第二个人如何动作，他都应在自己执步之后，给对方留下能被6整除的火柴数目．这样，在经过有限次执步之后，他将给第二人留下6根火柴．因而在第二人动作之后，他即可取走所有剩余的火柴而结束游戏．28.1.8** 甲、乙两个人取数，若已有的最后一个数为l ，则可以取1l +至21l -中任一个数．若甲先取，开始已有数2，取到2004为胜，问甲必胜还是乙必胜？解析 甲必胜．甲可依次取3、7、15、31、62、125、250、501、1002、2004．这一列数中，后一个数要么是前一个数的2倍，要么是2倍加上1．现在说明只要取到前一个数，就必可取到后一个数，从而必可取到2004．事实上，若甲取到的数为l ，则乙可取1l +至21l -中任一数．而()212l l +>，()2121l l +>+且221l l >-，2121l l +>-，故当乙取完后，甲必可取2l 或21l +．28.1.9** 两个相同的齿轮，各有14个齿，一个平放在另一个的上面，使得它们的齿重合．现在去掉4对重合的齿．是否总可以旋转上面的那个齿轮，使得它们的共同投影是一个完整的齿轮．若两个齿轮各有13个齿，结论如何？解析 14个齿时可以．设去掉的齿为1a ，2a ，3a ，4a ∈{0，1，…，13），两两的差i j a a -有4×3＝12种，取()mod14/i j a a b -≡，0/b ≡（mod14），则转过6个齿后，投影为完整的齿轮． 至于13个齿，则不一定，如去掉的齿为0、1、3、9，即为反例．28.1.10** 正方形的顶点处放有火柴，开始在某一点放x 根火柴，其他三顶点则空着．现允许从某个顶点移走任意根火柴，然后在其两个相邻顶点各放上移走火柴数目两倍的火柴．当2x =，3时，问是否可以经过若干次这样的操作，使得各顶点处的火柴数依次为1、9、8、9？解析 设顶点处火柴数依次为a 、b 、c 、d ，考虑数s a b c d =+++和t a b c d =-+-，易知每经过一次操作，都有s ≡操作后s 操作前（mod 3），t t ≡操作后操作前（mod 5），但是，1+9+8+9/≡2（mod3），1－9+8－9/≡±3（mod 5），之所以取“±”，是因为一开始的t 因3根火柴的位置不同而可能不同．因此当2x =，3时，不可能经过有限步操作后变为1、9、8、9．28.1.11*** 将2n （n ≥1）个数排在一个圆周上，每个数都是+1或－1，现在同时将每个数都乘以它的右边的数，将所得到的数替换原来的数，称为一次操作．证明：经过有限次操作后，每个数都成为+1．解析 设这2n 个数往右依次为1a ，2a ，…，2n a ．下证：经过2k 次操作后，在i a 位置上的数为2k i i a a +⋅，这里当下标大于2n 时，认为模2n 同余的下标则为同一个数．当1k =时，第一次操作后，第i 个位置数为1i i a a +⋅，第二次操作后，第i 个位置上数为1122i i i i i i a a a a a a ++++⋅⋅⋅=⋅，即1k =时成立；若经过2k 次操作后，第i 个位置上数为2k i i a a +⋅，故再经过2k 次操作即共12k +次操作后第i 个数为122222k k k k k i i i i i i a a a a a a ++++++⋅⋅⋅=⋅，因此对一切k 均成立．于是，经过2n 次操作后，第i 个位置上数为221n i i i a a a +⋅==+，即所有数均为+1．28.1.12*** 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其他两数的和减去1，这样继续下去，最后得到17、1967、1983．问原来的三个数能否为 （1）2、2、2； （2）3、3、3．解析 （1）不能为2、2、2．因为2、2、2是三个偶数，按规则，第一次换数后，三个偶数就变成两偶一奇．第二次换数时，若擦去的是偶数，则换上的仍是偶数；若擦去的是奇数，则换上的仍是奇数，同样保持两偶一奇．第一次换数后，以后三个数永远保持两偶一奇不变，而19、1967、1987三个数都是奇数，这种情况决不会出现．所以，原来的三个数不能是2、2、2．（2）能为3、3、3．具体做法如下：首先按下法作8次变换．3、3、3→3、3、5→3、5、7→3、7、9→3、9、11→3、11、13→3、13、15→3、15、17→17、15、31．再注意到1967＝122×16+15，1983＝122×16+31，便知只要由17、15、31再按“17、a 、16a +→17、16a +、32a +”作122次变换，即可得到17、1967、1983．28.1.13*** 任意m n ⨯（m ，n >6，mn 偶数）的棋盘可以被1×2的骨牌覆盖，使得任一条非边界的棋盘网格线必穿过任何骨牌．解析 图（a ）表明，如何铺满矩形5×6和8×8（在铺满矩形8×8的情形中利用了矩形5×6的铺设法）．现在只需证明，如果可以铺满矩形m ×n ，那么就可以铺满矩形m ×（2n +）．为此，需要把已铺满骨牌的矩形m ×n 分成两部分，而不分割骨牌，因此需要右边部分向右边移动距离2．并且用水平骨牌填满间隔（图（b ））．(a)(b)28.1.14** 在n ×n 的方格表中任意填上l 或1-，n 为奇数，在每一列下及每一行右写下该列或该行所有数的积，求证：这2n 个乘积的和不为0．解析 设1p ，2p ，…，n p 为每行之积，1q ，2q ，…，n q 为每列之积，易知1212n n p p p q q q ⋯⋯=，于是在1p ，2p ，…，n p 中有s 个1-，1q ，2q ，…，n a 中有t 个1-，则2|s t +．若2n 个乘积之和为0，则，得n s t =+为偶数，矛盾．28.1.15** 在矩形方格表（至少两行两列）的每个小方格中都填上1或1-，并且l 和1-的个数都不少于两个，求证：存在4个小方格，其中心是一矩形的顶点，且小方格中数字之和等于0．解析 用反证法．若不然，如果有一行全为1，那么其他行最多一个1-，由题设，两个1-分别在不同行中，如这两个1-在同一列中，则任一其他列中的对应数都是1，于是这样的矩形存在．否则，以这两格为对角线的矩形的另两个顶点中的数一定都是1，于是4个数字之和仍为0．如有一行全为1-，同理可证．于是每一行都既有1，又有1-，这样等于只需考虑矩形的两行，把其他行都忽略（即自此每一列都只包含2个格子）．考虑每一列数之和，无非是2、0、2-，显然若所求矩形不存在，则0最多一个，而2与2-不能共存，若只有2，那么1-最多1个，矛盾，若只有2-，那么1最多一个，亦矛盾．因此结论成立．28.1.16*** 一个重40磅的砝码，由于跌落地面而碎成4块，每块的重量都是整数磅，现在可以用这些砝码来称1至40磅之间任意整数磅的重物，问这4块砝码可各重多少磅？ 解析 问题的答案是：4块碎片的重量可分别为1，3，9，27磅．一般的情况：是否可以用一套磅数为1，3，9，…，3n 的砝码，来称磅数为任何正整数，13113932n nn +-⋯++++=≤的物体？那就要设法证明： 任何正整数都是3的有限项不同次幂的代数和33121233333333k k N ααββααββ⋯⋯=++++-----．①证明如下：以3作除数，应用“辗转相除法”，设 103N q c =+，1213q q c =+，2323q q c =+ 2123n n n q q c ---=+，113n n n q q c --=+．此中，03i c <≤（0i =，1，2，…，1n -），03n q <<．于是有()22102103333N q c c q c c =+⋅+=⋅+⋅+ ()23210333q c c c ⋯=⋅+⋅+⋅+=1221221033333n n n n n n q c c c c c ----⋯=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+．②由于03n q <<，03i c <≤（0i =，1，2，…，1n -），即是说，除0外，n q 与i c （0i =，1，2，…，1n -）只能取1或2，而231=-，代入②式的末端经整理便可得到①．改写①得33121233233333k k N ββααββαα⋯⋯+++++=++++．由此可见，只要把重量为13α，23α，…，3k α磅的砝码放在一个盘子里，而把13β磅，23β磅，…，3k β磅的砝码和N 磅的重物放在另一个盘子里，天平的左右两个盘子重量就相等了，这样就称出N 磅重的物体来．28.1.17*** 两个人做如下游戏：甲先报一个数字，乙则根据自己的判断将该数字代替下面的某个星号：* * * ** * * *-规定已经改成数字的不能再动，而且允许在最高位放0．依此类推，共进行8次，直到上式所有小星星变成数为止．甲希望所得差尽可能地大，乙希望所得差尽可能地小．证明：不管甲报什么数字，乙总有办法使得差不超过4000；不管乙怎样安排，甲总可使得所得差不小于4000．解析 若甲第1次报的是0、1、2或3，则乙只要将此数放入被减数的千位即可．若甲第1次报的是6、7、8或9，乙只需将此数放入减数的千位即可．这样所得差小于4000，于是甲只能报4或5．当甲报4时，乙将4放入被减数的千位，接下来甲只能不断报0（否则被乙放入减数的千位），最终差为4000；同理若甲报的是5，则乙将5放入减数的千位，接下来甲只能不断报9，最终差为4000．乙的策略已经找到．甲的策略要复杂一些．用1r 、2r 、3r 、4r 表示从左到右4个数位（每个由上下两个数位组成），甲应注意有最小i 的i r ，在i r 中有一个数字和一个*，或有两个不同的数字．如果，14*r ⎛⎫= ⎪⎝⎭或5*⎛⎫⎪⎝⎭，甲应报4，如所有数位都相同或54i r ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则可报任何数字，比如报5．当乙“不得不”头一次把数字放到1r 上边的数字，甲可报0，如果是下边的数字，甲可报9，这便是甲的策略．28.1.18*** 阿里巴巴试图潜入山洞．在山洞入口处有一面鼓．鼓的表面有四个孔，组成正方形的四个顶点．在每个孔的里面各装有一个开关．开关有“上”“下”两种状态．如果四个开关的状态全都一致，洞门即可打开．现允许将手伸入任意两个孔，触摸开关以了解其状态，并可随自己的意思改变或不改变其状态．但每当这样做了（并伸出手）之后，鼓就要飞快地旋转，以至在停转之后无法确认刚才触动了哪些开关．证明：阿里巴巴至多需要五次这种步骤就可以进入山洞． 解析 首先容易通过两次操作把不少于3个开关扳为状态“上”，如果大门没有打开，这就意味着第四个开关处于状态“下”，这时阿里巴巴应该将手伸入对角线上的两个洞，如果碰到向下的开关，那么应当把它扳为“上”，从而进入山洞；如果这一对开关均向上，那么把其中之一扳为向下．这样，显然两个相邻（即正方形某边的两端）的开关向上，另两个相邻的开关向下．然后阿里巴巴沿着正方形的边伸手；如果两个开关处于同一状态，他就改变它们状态从而进入山洞；如果两个开关状态不同，他应该都改变状态，最后一次沿对角线找到开关，改变里面的开关状态，这样最多五次就可以进入山洞．28.1.19** 圆周上放了n （≥4）个和为1的非负数，求证：相邻数乘积之和不大于14． 解析 设圆周上依次有a 、b 、c 、d 四点，不妨设a ≥b （这样的a 、b 总能找到），显然有()()ab bc cd a b c b c d +++++≤．今去掉b 和c ，代之以b c +，圆周上的数减少1个，和仍为1，但相邻数乘积之和增大或不减．于是在不断调整后，圆周上的数变成只有4个，不妨设依次为x 、y 、z 、t ，而()()21111424xy yz zt tx x z x z x z ⎛⎫+++=+--=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭≤．于是结论成立． 28.1.20*** 在m ×m 的方格表内的每个小方格中各填入0或1，如某一行与某一列的交点处所填数是0，则该行与该列的数之和不小于m ，求证：表中所有数之和不小于等． 解析 考虑所有的行与列，选出0的个数最多的行（或列）．若在这一行中有k 个0和m k -个1，则由条件知对应于这一行的0所在的k 列中每列至少有k 个1，而在其余的m k -列中每列不少于m k -个1（由最初那一行的选择而得）．于是，1的总数不少于()2222m k m k +-≥．28.1.21** 在圆周上均匀地放4枚围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若同色，就在其问放一枚黑子，若异色，就在其间放一枚白子，然后把原来的4枚棋子取走，完成这程序，就算一次操作．求证：无论开始时圆周上的黑白棋子的排列顺序如何，只需操作若干次，圆周上就全是黑子．解析 据题意，对开始时的第1、2、3、4这四枚棋子，依次地用1x 、2x 、3x 、4x 表示，且赋值为 1,;1,.i i x i ⎧=⎨-⎩若第子为黑子若第子为白子（1i =，2，3，4）则21i x =，且 11,;1,1.i i i i x x i i +-⎧=⎨-+⎩若第子与第+1子同色若第子与第子异色（1i =，2，3，4，51x x =）这是因为()212341x x x x =，因此，最多只需操作四次，圆周上全是黑子了．28.1.22**** 正五边形的每个顶点对应一个整数，使得这五个整数的和为正数．若其中三个相邻顶点对应的整数依次为x 、y ，z ，而中间的0y <，则要进行如下的变换：整数x 、y 、z 分别换为x y +、y -、z y +．要是所得的五个整数中至少还有一个为负数，这种变换就继续进行．问：这样的交换进行有限次后是否必定终止？解析 不妨设圆周上五个数依次为v 、w 、x ，y ，z ，且0y <，变换后得到v 、w 、x y +、y -、z y +，其和不变．现考虑五个数的平方及每相邻两数和的平方之和．那么变换后与前之差是()()()()()()2222222222v w x y y z y v w w x y x z y z v ⎡⎤++++-++++++++++++⎣⎦()()()()()2222222222v w x y z v w w x x y y z z v ⎡⎤-++++++++++++++⎣⎦()20y v w x y z =++++<．因此，这一和（一个正整数）每经过一次变换都至少要减少2．由于正整数不能无限减小，所以该变换必定有终止的时候．28.1.23**** 给定4个全等的直角三角形纸片，进行如下操作：每次可选一个直角三角形并将它沿斜边上的高剪开成两个直角三角形．求证：无论经过多少次操作，在所得到的三角形中总有两个全等（不包括重叠情形）．解析 用反证法．即存在4个全等的直角三角形纸片，经过有限次操作可使所得到的直角三角形互不全等．设这样的操作的最少次数为n ，这里操作n 次可以使得到的直角三角形互不全等且与操作顺序无关．开始时4个全等直角三角形必须有3个要沿斜边上的高剪开．不妨设开头的3次操作就是剪开这3个三角形．于是得到新的6个直角三角形可分成两组，每组3个直角三角形彼此全等．这样一来，每组3个全等直角三角形中又都至少剪开两个．不妨设第4至第7次操作就是剪开这4个三角形．注意这时剪开得到的8个直角三角形中有4个是全等的（相当于两个矩形沿它们的一条对角线剪开）．按假设，从这4个全等的直角三角形出发，只要再操作7n -次就可以得到互不全等的三角形，此时与n 的最小性矛盾！这表明无论经过多少次操作，总有两个三角形全等．28.1.24**** 3个数a 、b 、c 围着一圆周，依次将其改为a b -、b c -、c a -，叫做完成一次操作，求证：如果起初的a 、b 、c 是非零整数（或有理数），则若干次操作后迟早会出现0，但可以找到3个实数a 、b 、c ，使得无论经过多少次操作，0都不会出现．解析 用反证法．当a 、b 、c 是整数时，如果0永远不出现，考虑每次操作后最大的那个数，在下一次操作后，至少要减去1，但正整数是不能无限减少的，因此0必定会出现．至于有理数情形，只要乘以各分母的最小公倍数，便转化为整数问题．最后讨论实数问题，先证明一个结论：设p 、q 、r 为整数，且0p +，则0p q r ===．为此，只要将p -两端平方，即得0qr =，但无论是0q =还是0r =，总能得出另外两个数也为0．证毕．ac b|a-b||c-b||b-c|于是令1a =，b =c ，第一次操作后其中一项为a b a b -=-或b a -，即“奇数×1+奇数×，另外两个数分别为“奇数×1+1+奇．第二次操作后，这种状态不变，因此无论经过多少次操作，这种状态一直保持不变，由前面的结论，即知永远不会出现0．评注 对于一般的圆周上n （>3）个数，上述结论全部成立，不过实数情形颇不易处理．28.1.25**** 沿着圆周放着一些数，如果有相连的4个数a 、b 、c 、d 满足不等式()()0a d b c -->，那么就可以交换b 、c 的位置，这称为一次操作．（1）若圆周上依次放着数1、2、3、4、5、6，问是否能经过有限次操作后，对任意相连的4个数a 、b 、c 、d 都有()()0a d b c --≤？（2）若圆周上依次放着数1，2，…，2003，问是否能经过有限次操作后，对任意相连的4个数a 、b 、c 、d 都有()()0a d b c --≤？解析 （1）123456654231623162341625341(1-2)(3-4)>0(3-6)(2-5)>0（2）答案是肯定的．考虑这2003个数的相邻两数乘积之和，开始时 01223342002200320031P ⋯=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅．若圆周上相连的4个数a 、b 、c 、d 满足不等式()()0a d b c -->，即a b c d a c b d +>+，交换b 、c 位置后，相连的4个数为a 、b 、c 、d ，于是圆周上相邻两数乘积之和的改变量为()()0a c c b b d a bb c c da cb d a bcd ++-++=+--<，即≤1-，所以每作一次操作，乘积和至少减少1，由于相邻两数的乘积和不可能为负的，故经有限次操作后，对任意相连的4个数a 、b 、c 、d ，一定有()()0a d b c --≤．28.2 逻辑推理问题28.2.1* 某班甲、乙两名同学因一件事件发生纠纷．老师找了4位在场同学调查情况，他们的回答有真有假．第1位同学说：“我只知道甲没有错．”第2位同学说：“我只知道乙没有错．”第3位同学说：“前面两位同学所说的话至少有一个是真的．”第4位同学说：“我可以肯定第3个同学说的是假话．”经调查，证实第4位同学说的是真话．请问：甲、乙两人谁有错．解析因已证实第4位同学所说属实，所以第3位同学所说的话是假话，即“前面两位同学所说的话至少有一个是真的”是假话．从而，第1、第2两位同学都没说真话，也就是，甲、乙两人都有错．评注如果我们选择前3位同学的话作为突破口，进行假设推理将较为困难．28.2.2* 某校举办数学竞赛．A、B、C、D、E五位同学分获前5名．发奖前，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．A说：“B第三名，C第五名．”B说：“E第四名，D第五名．”C说：“A第一名，E第四名．”D说：“C第一名，B第二名．”E说：“A第三名，D第四名．”结果，每个名次都有人猜对．请问：这五位同学的名次是怎样排列的．解析被猜为第二名仅B一个人，因此，B为第二名．此外，被猜为第一名的有A、C；被猜为第三名的有A、B；被猜为第四名的有E、D；被猜为第五名的有C、D．由B第二推知A第三，进而推知B第一，D第五，E第四．评注寻找突破口是解决逻辑推理问题的基本技巧，有些问题突破口比较隐蔽，需要对问题进行深入分析以后，再进行巧妙的构思，方能找到．28.2.3** 2n个人聚会，已知其中每个人都至少认识n个与会者．证明：可以从中选出4个人围着圆桌坐下，使得每个人都与熟人为邻．解析如果这些人两两认识，结论显然成立．否则找到A、C，他们不认识．在剩下的22n-个人中，必定有B、D与A、C都认识，否则剩下的人数至少有122+->-，矛盾，于是A、B、C、Dn n n可依次围着圆桌坐下而满足要求．28.2.4** 一个骰子，六个面的数字分别为0、1、2、3、4、5．开始掷骰子后，当掷到的总点数超过12就停止不掷了．请问：这种掷骰子的游戏最可能出现的总点数是多少？解析欲使最后一次投掷的点数和≥13，倒数第二次投掷所达到的点数和最大数为12，最小数为8．共有5种情况．如果倒数第二次总点数等于12，再投一次后可能达到的（超过12）的总点数将分别为13、14、15、16、17．而且机会是均等的；如果倒数第二次总点数等于11，再投一次超过12的总点数的可能值分别为13、14、15、16；依次类推……如果倒数第二次总点数等于8，再投一次超过12的总点数只可能是13（此时，最后一次投掷出现的点数必须是5）．综上所述可知，超过12的最大可能出现的总点数值是13（它在每一种情况下都可能出现）．28.2.5** 有红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包好，在桌子上排成一排．五个人猜各包里珠子的颜色．甲猜：第二包是紫色，第三包是黄色；乙猜：第二包是蓝色，第四包是红色；丙猜：第一包是红色，第五包是白色；丁猜：第三包是蓝色，第四包是白色；戊猜：第二包是黄色，第五包是紫色．猜完后，打开纸包一看，每人都猜对了一种，并且每包都有一个人猜对．请你也猜一猜，他们各自都猜中了哪一种颜色的珠子？解析画出如表1所示，第一行表示珠子的颜色，表中的数字表示各个人所猜的包数，第一列表示五个人．由于题目条件申明每人都猜对了一种；每包都有一个人猜对，因此，表中每一行的两个数有且仅有一个正确；表中所标志出的10个数中，1，2，3，4，5各有且仅有一个是正确的，每一列中的两个数中，有且仅有一个是正确的．注意到，包数1在表中只出现1次（丙猜第1包是红色）．按条件，这个猜测应是正确的，以此为突破口，展开推理．我们用“√”表示“正确”；用“×”表示“不正确”，用“→”表示推理的路线．在数字上画一个图表示推理的出发点，表2即可清晰简明地表现出推理的过程．通过表上推理知，甲猜中第3包是黄色，乙猜中第2包是蓝色，丙猜中第1包是红色，丁猜中第4包是白色，戊猜中第5包是紫色．28.2.6** 四位运动员分别来自北京、上海、浙江和吉林．在游泳、田径、乒乓球和足球四项运动中，每人只参加一项，且四人的运动项目各不相同．除此以外，只知道：（1）张明是球类运动员，不是南方人；（2）胡纯是南方人，不是球类运动员；（3）李勇和北京运动员、乒乓球运动员三人同住一个房间；（4）郑路不是北京运动员，年龄比吉林运动员和游泳运动员都小；（5）浙江运动员没有参加游泳比赛．根据这些情况，你能否断定，这四名运动员各来自什么地方？各参加什么运动项目？解析这个问题涉及三种“对象”——姓名、运动项目及籍贯．所知情况很“零碎”．我们设计下面表格，在表格中进行推理．显然，每一个人只能参加一个项目的运动，只有一种籍贯．我们用“√”表示肯定的判断，用“×”表示否定的判断．由（1）、（2）、（3）、（4）得表1．表1从而推知，张明是北京运动员，李勇是吉林运动员（表2）．由（3）知张明（北京运动员）不是乒乓球运动员，从而他是足球运动员，郑路是乒乓球运动员（表3）．由（4）知，李勇（吉林运动员）不是游泳运动员，从而胡纯是游泳运动员，李勇是田径运动员（表4）．表4表5最后一个表格显示：张明是北京的足球运动员，胡纯是上海的游泳运动员，李勇是吉林的田径运动员，郑路是浙江的乒乓球运动员．28.2.7** 三个整数p、q、r满足条件0p q r<<<．把它们分别写在三张卡片上．A、B、C三人进行某种游戏．每次各摸取一张卡片，然后按卡片上写的数走步．在进行n（≥2）次摸取后，A已走了20步，B走了10步，C走了9步．已知最后一次B走了r步，问第一次谁走了q步？解析按题意，每次摸取后，三人共走了（p q r++）步．所以，n次摸取后共走了()2010939n p q r++=++=．()313++=⨯，n p q r由于n≥2及3++>，所以p q rn=，133p q r++=．由于A三次走了20步，因而r≥7．。