高中数学：《曲边梯形的面积》课件苏教版选修2-2.ppt

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人教版高中数学选修2-2 1.5.1曲边梯形的面积教学课件 (共27张ppt)

思考1：怎样“以直代曲”？
y
能整体以“直”代“曲吗？
思考2：怎样分割最简单？
y x2
o
1x
案例探究
1、分割把底边[0,1]分成n等份, 在每个分点作底边
的垂线, 这样[0,1]区间
分成n个小区间：0,
1 n
,
1 n
,
2 n
,
n
n
1
,1
记第i个区间为 i
1, n
i n
i
1,2,
,
n
y
长度: x i i 1 1
n
n
O i 1 i
nn
1x
方案. 方案.. 方案… 方案….
深入思考
怎样使各个结果更接近真实值？
深入思考
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细，各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大，这就是一个求极限的过程。
第四步：取极限
方案一方案二方案三
两个结论
• （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响结果吗？ • （12.在）分在割近时似，代不替管时采用用小等区分间与内不任等一分点，处结的果函一数样值。
影响结果吗？ • （2.3）在总近结似一代般替曲时边，梯用形小面区积间的内表任达一式点？处的函数值作
为近似值，结果也是一样的。
归纳概括
一般曲边梯形的面积的表达式
n b a
S lim n n i1
f
i
即时小结
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
近似代替
求和
逼近
y
y
y
y
O
xO
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到

【数学】1.4.1《曲边梯形面积与定积分》课件(选修2-2)

定积分的一般定义是相当的,并且ξi可都取为每
个小区间的左端点或都取为右端点.
限接近某个常数, 这个常数叫做函数f x 在区间
a,b上的定积分definiteint egral,记作
b fxdx,即
a
b fxdx lim
a
n
n
i1
b af n
示图1.5 8 中阴影部分的面积S吗?
容易发现,S
b a
f1xdx

b a
f2
x
dx
.
例1 利用定积分的定义,计算 1x3dx的值. 0
解令fx x3.
1分割在区间0,1上等间隔地插入n 1分点,把
区间0,1等分成n个小区间i
1, n
的路程S 1vtdt 1 t2 2 dt 5 .
0
0
3
思考你能说说定积分的几何意义吗?
从几何上看,如果在
y
区间a,b上函数fx fb
y fx
连续且恒有fx 0,
那么定积分 b fxdx fa a
表示直线x a ,x
ξi
;
变速运动的路程
S
lim
Δt0
n
v
i1
ξi
Δt lim n
n i1
1v n
ξi
.
事实上,许多问题都可以归结为求这种特定形式
和的极限.一般地,我们有
如果函数f x 在区间a,b上连续,用分点
a x0 x1 xi1 xi 别叫做积分下限与积分上限,区间

高三数学曲边梯形的面积课件(PPT)5-5

一教材分析
地位和作用：曲边梯形的面积”是（人教版）普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第五节的内容，曲边梯形的面积中蕴涵的积分思想贯穿整个定积分的始终，作为定积分的前奏曲，是定积分概念的引例和重要铺垫材料，借助曲边梯形的面积这一直观具体的实例来初步感受定积分的定义。使学生了解定积分的实际背景，建立定积分概念的认知基础，为理解后续定积分概念及几何意义奠定基础。也是充分感受用极限的思想方法思考与处பைடு நூலகம்问题的好题材。
ī比喻处境困难，临时勉强应付。【拆兑】〈方〉动临；作文大全作文大全；时借用（钱、物）：跟您～点儿钱买辆自行车。【拆分】动将整体的事物拆开分解：这家著名大公司已被～为两家公司。【拆毁】动拆除毁坏：敌人逃跑前～了这座大桥。【拆伙】∥动散伙。【拆建】动拆除后修建：这片平房～成为市民广场。【拆解】动①拆开；拆散：淘汰的旧车被回收～。②解析（内情）：把魔术招数一一～。【拆借】动借贷（指短期、按
日计息的）：向银行～两千万元。【拆零】动把成套或成批的商品拆成零散的（出售）：～供应。【拆卖】动拆开零卖：这套家具不～。【拆迁】动拆除原有的建筑物，居民迁移到别处：～户｜限期～。【拆墙脚】比喻拆台。【拆散】∥动使成套的物件分散：这套瓷器千万不要～了。【拆散】∥动使家庭、集体等分散：～婚姻｜～联盟。【拆台】∥动用破坏手段使人或集体倒台或使事情不能顺利进行。【拆息】ī名存款放款按日计算的利率。【拆洗】动（把棉衣、棉被等）拆开来洗干净后又缝上。【拆卸】动（把机器等）拆开并卸下部件。【拆账】∥动旧时某些行业（如戏班、饮食、理发等行业）的工作人员无固定工资，根据收入和劳动量，按比例分钱。也泛指按比例分配某种利益。【拆字】∥动测字。【钗】（釵）旧时妇女别在发髻上的一种首饰，由两股簪子合成：金～｜荆～布裙（形容妇女装束朴素）。【差】动①派遣（去做事）：～遣｜鬼使神～｜立即～人去取。②被派遣去做的事；公务；

苏教版高中数学选修2-2《曲边梯形的面积》教学课件2

y
y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
1分割在区间0,1上间 y
隔地插入n 1个点,将它等
y x2
分成n个小区间:
0,
n1 ,
1 n
,
2 n
,
,
n
n
1,1
,
o
i1 i nn
1x
记第i个区间为i
1, n
i n
i
1,2,
,n,其长度为
Δx
i n
i
1 n
ξi
1. 3
一般地,对如图1.5 1 y 所示的曲边梯形,我们 fb
y fx
也可以采用分割、近 fa
似代替、求和、取极
o
值的方法求出其面积.
a
bx
图1.5 1
练习
求直线x 0, x 2, y 0与曲线y x2 所围成的曲边梯形的面积.
总结
求曲边梯形面积的方法：
分割
以直代曲
求和
逼近
y
它近似地等于左端点i 1
y x2
n
处的函数值f i 1.从图形 n
上看, 就是用平行于x轴的
o
直线段近似 i1 i nn
1x
y
地代替小曲边梯形的曲
y x2
边.这样,在区间
i
n
1,
i n
上,用小矩形的面积 Si'
o
i1 i nn
1 x 近似地代替Si ,即在局部
y
小范围内"以直代曲",则有
y
y x2
S
o

高二数学曲边梯形的面积2精选教学PPT课件

作业：
P42 练习.
长久以来，一颗流浪的心忽然间找到了一个可以安歇的去处。坐在窗前，我在试问我自己：你有多久没有好好看看这蓝蓝的天，闻一闻这芬芳的花香，听一听那鸟儿的鸣唱？有多久没有回家看看，听听家人的倾诉？有多久没和他们一起吃饭了，听听那年老的欢笑？有多久没与他们谈心，听听他门的烦恼、他们的心声呢？是不是因为一路风风雨雨，而忘了天边的彩虹？是不是因为行色匆匆的脚步，而忽视了沿路的风景？除了一颗疲惫的心，麻木的心，你还有一颗感恩的心吗？不要因为生命过于沉重，而忽略了感恩的心！也许坎坷，让我看到互相搀扶的身影；也许失败，我才体会的一句鼓励的真诚；也许不幸，我才更懂得珍惜幸福。
y y＝x2
O
1x
第i个矩形的高为 hi 1
=
( i )2， n
每个矩形的宽为 .
n
思考4：利用公式
12 + 22 + L + n 2
=
n (n
+
1)(2n
+
1)
6
计算，这n－1个小矩形的面积之和Sn－1
等于多少？
y
y＝x2
O
1x
(n - 1)n(2n - 1)
Sn- 1 =
6n 3
思考5：如何利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？
我感恩，感恩生活，感恩网络，感恩朋友，感恩大自然，每天，我都以一颗感动的心去承接生活中的一切。我感谢……
感谢伤害我的人，因为他磨练了我的心志；感谢欺骗我的人, 因为他增进了我的见识；感谢遗弃我的人, 因为他教导了我应自立；感谢绊倒我的人，因为他强化了我的能力；感谢斥责我的人，因为他助长了我的智慧；感谢藐视我的人，因为他觉醒了我的自尊；

苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 曲边梯形的面积

§1.5 定积分 1．5.1 曲边梯形的面积课时目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念建立的背景，借助于几何直观体会定积分的基本思想．1．曲边梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形．2．计算曲边梯形面积的方法：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形可“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值作和，就得到曲边梯形面积的近似值．3．求曲边梯形面积的流程：→ → → .一、填空题1．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) [f (x )≥0]及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边形分成n 个小曲边梯形过程中，下列说法正确的是________．(填序号)①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． 2．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度Δx ＝________.3．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为________．4.∑n i ＝1 i n＝________. 5．以速度v ＝6t 沿直线运动的物体在t ＝1到t ＝6这段时间内所走的路程为________．6．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．7．由直线y ＝x ＋1与x ＝0，x ＝2，y ＝0所围成的四边形的面积为________．8．汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 作变速直线运动时，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．二、解答题9．求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S .10．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝12x 2所围成的图形的面积．能力提升11．求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝x 3围成的图形的面积．12．已知一物体做变速直线运动，其瞬时速度是v (t )＝2t (单位：m/s)，求该物体在出发后从t ＝1 s 到t ＝5 s 这4 s 内所经过的位移．1．曲边梯形面积的四步曲：分割、以直代曲、作和、逼近．2．物理上常见的“变力做功”、“变速直线运动的位移”等可转化为求曲边梯形的面积问题．答案知识梳理3．分割以直代曲作和逼近作业设计1．① 2.2n3.⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n解析在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1n ，2，所以第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )．4.n ＋12 5．105 6．1.02 解析将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 7．4解析所围成的四边形为直角梯形，x ＝0时，y ＝1，x ＝2时，y ＝3.∴S ＝12(1＋3)×2＝4.8．6.5 m解析将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则 Δt ＝1n ，v (ξi )＝v (1＋i －1n )＝3(1＋i －1n )＋2＝3n(i －1)＋5. ∴S n ＝∑n i ＝1[3n (i －1)＋5]·1n＝{3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n }·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32(1－1n)＋5. 当n →∞时，S n →32＋5＝6.5.9．解 (1)分割把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)以直代曲用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n(i ＝1,2，…，n )． (3)作和∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2. (4)逼近当n →∞时，∑i ＝1ΔS i →1＋13＝43.∴S ＝43.10．解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)以直代曲在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，以i －1n 的函数值12⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2作为高，小区间的长度Δx ＝1n 作为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈12⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n .(3)作和曲边梯形的面积近似值为 S ＝∑ni=1ΔS i ≈∑ni=1 12⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n＝0·1n ＋12·⎝⎛⎭⎫1n 2·1n ＋12·⎝⎛⎭⎫2n 2·1n ＋…＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝12n3[12＋22＋…＋(n －1)2] ＝16⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n . (4)逼近当n →∞时，16⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n →16. ∴S ＝16.11．解 (1)分割把求面积的曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n 把区间[1,2]等分成n 个小区间[1，n ＋1n ]，[n ＋1n ，n ＋2n ]，…，[n ＋i －1n ，n ＋i n ]，…，[n ＋(n －1)n ，2]，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n ，过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)以直代曲取各小区间的左端点ξi ，用以点ξi 的纵坐标(ξi )3为一边，以小区间长Δx ＝1n 为其邻边的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：ΔS i ≈(ξi )3·Δx ＝(n ＋i －1n )3·1n(i ＝1,2,3，…，n )(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即S ＝∑i=1nΔS i ≈∑ni=1 (n ＋i －1n )3·1n ①(4)逼近当分点数目愈多，即Δx 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD 的面积S . 因此，n →＋∞即Δx →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积． ∵∑ni=1 (n ＋i －1n )3·1n ＝1n 4∑ni=1(n ＋i －1)3 ＝1n4 ∑n i=1 [(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2]， ∴当n 无限趋向于＋∞时，∑ni=1 (n ＋i －1n )31n 无限趋近于154.即S ＝154.12．解 (1)分割：把时间段[1,5]分成n 等份，分点依次是：1，1＋4n ，1＋8n ，…，1＋n －1n·4,5，每个小区间的长度Δx ＝4n .(2)以直代曲：在时间的小区间段，以匀速来代替变速，故在每一小时间段内，经过的位移ΔS i ≈ΔS ′i ＝v ⎝⎛⎭⎫1＋4i n ·4n＝⎝⎛⎭⎫2＋8i n ·4n ，其中i ＝1,2，…，n . (3)作和：所求的位移 S ≈S n ＝∑i=1nΔS ′i ＝4n ∑n i=1⎝⎛⎭⎫2＋8i n＝8＋32n 2·n (n ＋1)2＝8＋16·n ＋1n＝8＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n . (4)逼近当n →∞时，S n →8＋16＝24，∴S ＝24. 即所求物体所经过的位移是24 m.。