如何解决以三角形为基础的动点综合问题.doc

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三角形、四边形中动点问题

§1. 三角形、四边形中的动点问题【解题思路与方法】1.关注变化因素和不变因素以及图形的特殊性，寻找常量和变量；2.化动为静 (由一般到特殊)，以静制动；3.数学建模：确定图形运动中的变量关系时常常建立函数模型，确定图形运动中的特殊位置关系时常常建立方程模型；4.关注运动问题的三个要素：运动方向、速度、范围（直线、射线、线段、折线）；5.注重分类讨论，通过分别画图与分离图形使问题简单化；6.根据运动元素的不同分为动点问题、动线问题、动图问题三大类型（包括点、线、图同时运动）.◆典例解析一、三角形中的动点问题例1. 已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动.设运动时间为t （s ），（1）如图1，当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？（2）如图2，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.那么当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?（3）如图3，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D ，连接PC.如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和 △QCD 的面积是否相等？BCPA QDBCPAQDBCPA已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC 的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由。

例2.如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？如图（1）△ABC 为等边三角形，动点D 在边CA 上，动点P 边BC 上，若这两点分别从C 、B 点同时出发，以相同的速度由C 向A 和由B 向C 运动，连接AP ，BD 交于点Q ，两点运动过程中AP=BD 。

七年级下册数学三角形全等动点问题

初一数学全等三角形之动点问题专题（B类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。

动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。

动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。

本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。

对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

二、典型例题1、单动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角三角形？2、双动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 从点A 出发，沿AB 向点BBCPA CQBPA QDBCPAA运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC.请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，连接CP 、AQ 交于M ，如果动点P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。

二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破

二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。

二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．DBOAyxC解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．∴抛物线的函数表达式为：．(2)设P(m,)∴∴△BPD面积的最大值为．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；HF解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B （0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C （0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH 中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。

浅谈三角形中的动点问题

浅谈三角形中的动点问题动点问题是一类灵活、有难度的数学问题，也是近些年来各市中考中常出现的考点。

本文将以湘教版八年级全等三角形中一道习题为例，对变化出来的一系列动点问题从如下几个方面进行探讨和阐述。

一．本文选题背景1、知识背景：本题用到的知识点是：全等三角形；2、思维方法背景：转化思想；二．选择母题的目的：动点问题历来是中考的压轴考点；要让学生解决复杂的动点问题，必须让学生在初二就形成动态问题的思考方式，遵循由易到难的原则，故选择这道题作为母题；三、原题已知：如图，△ABC 是等边三角形、点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为边作△ADE ，△ADE 是等边三角形，连接CE ；求证：BD=CE题目分析：从数量上来看，BE 与CE 是应该相等的；证明边相等，可以考虑全等三角形的判定定理来证明△BAD ≌△EAC ，然后利用全等三角形的性质来说明边相等.证明：∵ △ABC 、△ADE 是等边三角形 ∴ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°；又∵∠DAC=∠DAC ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠EAC∴ △BAD ≌△EAC ∴ BD=CE四、拓展与变式变式1：“正三角形”改为等腰三角形，是否△BAD ≌△EAC 成立那么BD 与CE 的结论成立吗？探究BC=DC+CE 是否成立.题目：在△ABC 中，AB=AC,点D 是线段BC 上一点（不与B 、C 重合），AD 为一边作△ADE ，使AD=AE ，∠DAE=∠BAC ，连接CE.求证：BD=CE ，并直接判断结论BC=DC+CE 是否成立；证明： ∵∠DAE=∠BAC∴DAE-DAC BAC-DAC ∠∠=∠∠ 即EAC BAD ∠=∠又∵AB=AC ，AD=AE∴△BAD ≌△EAC∴CE=BD ∵BC=DC+BD ∴BC=DC+CEC AB F DC B F D变式2：将变式1的条件“点D 是线段BC 上一点（不与B 、C 重合）”修改为“点D 在边CB 的延长线上或者在边BC 的延长线上”，是否△BAD ≌△EAC 成立？并探究“BC 、DC 、CE ”的数量关系。

初二动点问题解题技巧

初二动点问题解题技巧初二动点问题是一个比较常见的数学问题，它涉及到运动和变化，需要学生运用数学知识和逻辑推理来解决。

以下是一些解题技巧，希望能帮助你更好地解决这类问题：1. 建立数学模型：首先，你需要将实际问题转化为数学模型。

这通常涉及到定义变量、建立方程或不等式，以及确定变量的取值范围。

2. 确定变量的关系：在动点问题中，你需要找出变量之间的关系，如距离、速度和时间的关系。

这些关系通常可以通过几何图形、物理定律或逻辑推理来得出。

3. 运用数学定理和公式：在解题过程中，你需要运用各种数学定理和公式，如勾股定理、三角函数、相似三角形等。

这些定理和公式可以帮助你解决各种复杂的数学问题。

4. 进行逻辑推理：动点问题往往涉及到多个因素和条件，你需要通过逻辑推理来分析它们之间的关系，并推断出正确的结论。

5. 进行计算和验证：最后，你需要进行计算和验证，以确保你的答案正确无误。

在计算过程中，要注意单位的统一和计算的准确性。

下面是一个具体的例子，以帮助你更好地理解如何解决初二动点问题：例题：一个圆形的跑道长为100米，甲、乙两人从同一起点出发，沿着跑道练习跑步。

甲每分钟跑10米，乙每分钟跑8米。

当甲第一次追上乙时，甲跑了多少米？解题思路：1. 首先，我们定义甲、乙两人的速度分别为10米/分钟和8米/分钟，跑道长度为100米。

2. 其次，我们需要找出甲追上乙的时间。

由于甲的速度比乙快，所以当甲追上乙时，甲比乙多跑了一圈（100米）。

因此，我们可以建立方程：10t -8t = 100，其中t是时间（分钟）。

3. 解这个方程，我们得到 t = 50 分钟。

这意味着甲追上乙需要50分钟。

4. 最后，我们计算甲跑了多少米。

甲的速度是10米/分钟，所以甲跑了 10 × 50 = 500 米。

通过以上步骤，我们可以得出结论：当甲第一次追上乙时，甲跑了500米。

初中数学动点问题解题思路

2
∵P、Q同时同速出 ∴AP=BQ
设AP=BQ= x ，则PC=6- x ， QC=6+ x
即6-x= 1（6+x）解得x=2 2
∴AP的长是2.
②用含30°角的直角三角形的性质及等边三角形性质进行解答（在
Rt△QCP中）
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AC=BC=6，∠C=60° 又∵∠BQD=30° ∴△QCP是含有30°角的Rt△ ∴CQ=2PC ∵P、Q同时同速出发， ∴AP=BQ ∵AP+PC+BC=2AC=12
而△APF是等边三角形， PE⊥AF,
∴AE=EF ∴BD+AE=FD+EF 又(FD+EF)+(BD+AE)=AB
=6, 即ED+ED=6
∴ ED=3为定值，即ED的长不变
(2) 解法二：构造三角形与 △APE全等
过点Q作QF⊥AB的延长线于点F
先证△APE≌△BQF ∴AE=BF，PE=QF 又∵∠QDF=∠PDE 再证△QDF≌△PDE ∴FD=DE ∵AB=AE+DE+BD=BF+
二、问题引入遵义市2012年中考第26题：
• 26．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P 是 AC边上一动点，由A向C 运动（与A、C不重
• 合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
• （1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
又∵∠A=∠C=60° ∴△APE∽△CQE
利用 AE AP 即 PC CQ
x
1
x 2
x

等腰三角形动点最值问题解题技巧

等腰三角形动点最值问题解题技巧简介等腰三角形是数学中常见的一种三角形形状，其具有许多有趣的几何性质。

在这篇文档中，我们将讨论如何解决等腰三角形动点最值问题。

通过使用解题技巧和公式推导，我们可以轻松找到等腰三角形的各个动点的最值。

基本定义1.等腰三角形等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形。

我们可以通过连接底边中点和顶点，形成一个高。

由于等腰三角形具有对称性，底边中点和顶点之间的连线与底边垂直相交，划分出两个等腰直角三角形。

2.动点在几何学中，动点是指在平面上移动的点。

通过改变动点的位置，我们可以观察到某些几何量的变化情况。

在等腰三角形中，我们可以考虑顶点和底边上的某个点作为动点。

动点最值问题解题步骤步骤一：建立坐标系为了简化问题的分析和计算，我们可以将等腰三角形放在坐标系中。

通过选取合适的坐标轴和原点，我们可以方便地描述动点的位置。

步骤二：确定动点位置根据问题描述，确定我们所关注的是等腰三角形的哪个动点。

例如，我们可以考虑探索顶点和底边上的某个点的变化。

步骤三：建立几何关系通过观察等腰三角形的几何性质，我们可以建立动点与其他几何元素之间的相互关系。

这可以通过直线、角度、距离等几何关系来描述。

步骤四：建立动点与几何量的关系式利用步骤三中建立的几何关系，我们可以将动点的位置表示为其他几何量的函数。

这个函数可以是一个方程、一个不等式或一个定义域。

步骤五：求解最值通过求解动点位置的函数，我们可以得到动点所在位置的最值。

这可能是一个最大值、最小值或其他特定值。

步骤六：验证解的合理性最后，我们需要验证我们得到的最值是否合理，并根据实际情况进行解释。

这可以通过对几何性质和约束条件的分析来完成。

例题分析例题：在等腰三角形A BC中，AB=A C=6c m，B C=8c m。

动点P在边B C 上，求B P+PC的最小值。

解题步骤：步骤一：建立坐标系。

选择顶点A为坐标原点，建立x轴和y轴。

步骤二：确定动点位置。

在边BC上选择点P作为动点。

数学动点问题解题技巧总结

数学动点问题解题技巧总结动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。

下面是为大家整理的关于数学动点问题解题技巧，希望对您有所帮助!动点问题解题技巧归纳解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解。

1、仔细读题,分析给定条件中哪些量是运动的,哪些量是不动的.针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论.针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系。

2、画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系.如果没有静止状态,通过比例、相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

3、做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况。

动点问题解题技巧1.数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数。

2.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。

这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a-b;向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3.数轴是数形结合的.产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

例1.已知数轴上有A、B、C三点，分别代表-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位?⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点;若不能，请说明理由。

全等三角形动点问题[大全]

全等三角形动点问题[大全]第一篇：全等三角形动点问题[大全]全等三角形动点问题专练班级：姓名：1.已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.（2）若将CD沿CB方向平移至图2情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。

（3）若将CD沿CB方向平移至图3情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。

AEBCD 图1AAEEFFBC2C1DC2BC1D图2 图3 1 / 42.如图所示，有一直角三角形△ABC，∠C=900，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC 才能和△APQ全等？MQBDCA3.在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP；（1）如图1，试说明BQ=CP；（2）若将点P在△ABC外，如图2，其它条件不变，结论依然成立吗？试说明理由。

AQAPPQPBCBC/ 44.如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a 于点N，连接PM、PN.（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变.此时PM=PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PM=PN还成立吗？不必说明理由.图1图2/ 4图35.在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？EAAADEDBCFBCEBCDQ图1图2图3/ 4第二篇：全等三角形复习提问通过前两个问题复习巩固上一节所讲的知识，通过问题3引导学生认识到三角形全等是证明角相等、线段相等的重要方法，然后设疑，如何证明两个三角形全等？从而引出课题。

《三角形动点问题》教学设计

《三角形动点问题》教学设计1.如图，已知在 Rt ∆ACB 中，∠C = 90︒，AC = 8 cm，BC = 6 cm，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm/s；连接PQ 。

若设运动的时间为t（s）（0<t≤4），解答下列问题：（1）当t = 时，PQ ∥CB ；（2）当t = 时，PQ ⊥AB ；（3）当t = 时，∆APQ 为直角三角形；【方法点拨】1.利用“路程=速度×时间”的关系式表示图中相关线段的长度；2.化“动”为“静”，研究基本图形，利用平行、三角形相似建模.教学过程教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图初探动点【参考答案】在Rt ∆ABC 中，由勾股定理得，AC 2 +BC 2 =AB2即82 +62 =AB2 ，所以AB =10 .由题意可知，BP =t ，AQ = 2t ，则AP =AB -BP =10 -t ，QC =AC -AQ = 8 - 2t .（1）如右图所示， PQ ∥CB∴Rt ∆AQP ~Rt ∆ACB∴AP : AB =AQ : AC 即(10 -t) :10 = 2t : 8解得t =207（2）如右图所示， PQ ⊥AB∴Rt ∆APQ ~Rt ∆ACB∴A P : AC =AQ : AB 即(10 -t) : 8 = 2t :10解得t =5013（3）由（1）（2）可知，当PQ ∥CB或PQ⊥AB时，∆APQ 均为直角三角形.所以当t =20或50时，∆APQ7 13为直角三角形.动点构成特殊图形解题方法：1、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决问题时所需要的条件用含t 的代数式表示出来；2、确定特定图形中动点的位置，画出符合题意的图形——化动为静；3、根据所求，利用特殊图形的性质或相互关系，找出等量关系列出方程来解决动点问题。

根据第（4）题的题意可画出如下两个静态图：提醒学生抓住等腰三角形“三线合一”这一性质，把问题转化为第一环节的内容。

有关相似三角形的动点问题探究

解法探究２０２４年３月下半月㊀㊀㊀有关相似三角形的动点问题探究◉甘肃省白银市教育科学研究所㊀何丽君㊀㊀摘要:点是构成图形最基本的元素,其多样的运动状态与图形结合构成了一道道灵活且精彩的综合题．本文中从点的运动出发,研究点运动时形成的相似三角形,尝试通过例题分析探讨这类问题的解决方法．通过这样的研究,一方面与更多教师形成教法上的交流,另一方面间接促进学生综合素养的提升．关键词:点;相似三角形;分类讨论思想;运动;策略㊀㊀在教学过程中,时常会遇到点的运动类问题．由于动点处于不断的运动中,教师讲解时倍感压力,而这类问题在练习与检测中又经常出现．因此,研究点的运动问题非常有必要．本文中以点的运动形成相似三角形为切入点,探究图形中点的运动问题的解决方法．１素养体现动点问题一方面综合了诸多知识点,另一方面对解决技巧有较高的要求．由此观之,动点问题通常体现以下素养:(１)画图能力,体现数形结合思想．由于点是运动的,因此分析其运动情况就离不开画图．换言之,将运动情况用图形表现出来,既是解决这类问题的首要环节,也是数形结合的重要体现[１]．(２)问题分析能力,体现分类讨论思想．点的运动形成相似三角形后,往往存在多个符合题意的三角形,这就需要对每种情况进行分类讨论．(３)符号化语言,体现转化思想．根据点的运动情况画好图后,需将相关的线段用代数式表示出来,有利于分析和解决问题,同时也是将文字语言转化成符号语言的过程．下面结合一道题加以说明:图１例题㊀如图１,四边形A B C D是一个长为８c m ㊁宽为６c m 的矩形．在B C ,D C 上分别有动点P ,Q ,点P 的速度是２c m /s ,Q 的速度是１c m /s ．现规定:点P 从点B 出发向点C 运动,点Q 从点C 出发向点D 运动,当一个点到达终点时,另一个点也立即停止运动．几秒时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似本题出现了两个动点,运动的速度㊁方向等为分析动点状态提供了重要条件．那么,本题是如何体现上文中提到的素养的呢(１)通过动点的运动情况画图,体现了数形结合思想．由于P ,Q 两点的运动,线段P Q 与B C 或D C 形成的夹角大小不同．考虑到әA B C 是直角三角形,点P ,Q 在运动的过程中并不能改变øP C Q 为直角这个事实,所以只需线段P Q 与B C 或D C 形成的夹角中有一个与øB A C 相等即可．于是,可画出图２中的简图:图２(２)根据画出的图形,利用分类讨论思想解决问题,体现了分类讨论思想．从图２可以看出,øP Q C 和øB A C 相等㊁øQ P C 和øB A C 相等是动点运动时存在的两种情况．(３)根据点的运动情况,将相关线段用代数式表示出来,并根据需要列方程解决问题,体现了转化思想．在确定两种情况后,接下来需进行分析,而分析中的第一步就是根据两点的运动状况用代数式表示出相关线段．如下:设t s 时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似．情况一:如图２(１),有әA B C ʐәQ １C P １,此时可知B P １＝２t ,C P １＝８－２t ,C Q １＝t ,D Q １＝６－t ．情况二:如图２(２),有әA B C ʐәP ２C Q ２,此时可知B P ２＝２t ,C P ２＝８－２t ,C Q ２＝t ,D Q ２＝６－t ．接下来,由相似三角形的性质列出方程并解出t ．最后,解决本题[２]．２解法说明既然点的运动产生的相似三角形问题蕴含着如６７２０２４年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀此丰富的素养,那么这类问题具体应如何解决呢?下面进行说明:首先,根据动点的运动情况画出符合题意的图形．由于øA B C ＝øP C Q ＝９０ʎ,根据相似三角形的判定,若әA B C 和әP C Q 相似,应有以下两种情况:情况一:øP Q C ＝øB A C ,如图２(１)．情况二:øQ P C ＝øB A C ,如图２(２)．其次,分类讨论并计算．根据以上两种情况,分别利用相似三角形的性质列方程．本题的解决过程如下:解:设t s 时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似．根据题意,有以下两种情况．情况一:øP Q C ＝øB A C ,如图２(１)．此时易证得әA B C ʐәQ １C P １．因为B P １＝２t ,C P １＝８－２t ,C Q １＝t ,D Q １＝６－t ,所以A B C Q １＝B C C P １,即６t ＝８８－２t ,解得t ＝１２５．情况二:øQ P C ＝øB A C ,如图２(２)．此时易证得әA B C ʐәP ２C Q ２．因为B P ２＝２t ,C P ２＝８－２t ,C Q ２＝t ,D Q ２＝６－t ,所以A B P ２C ＝B C C Q ２,即６８－２t ＝８t ,解得t ＝３２１１．综上所述,１２５s 或３２１１s 时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似．３反思与启示本题是在已经确定一组对应角相等的情况下寻求另一组对应相等的角．为了简化问题,将øB A C 设为参考对象,只需寻找øP Q C 或øQ P C 与之相等即可．最后,分析出了两种不同的情况．这种先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角的方法,对解决因动点产生的相似三角形问题有重要作用．如下面这道中考真题:(２０２２湖州)已知在平面直角坐标系x O y 中,O 是坐标原点,以P (１,１)为圆心的☉P 与x 轴㊁y 轴分别相切于点M 和N ,点F 从点M 出发,沿x 轴正方向以１个单位长度/s 的速度运动,连接P F ,过点P 作P E ʅP F 交y 轴于点E ,设点F 运动的时间是t s (t ＞０)．(１)若点E 在y 轴的负半轴上(如图３所示),求证:P E ＝P F ;(２)在点F 运动过程中,设O E ＝a ,O F ＝b ,试用含a 的代数式表示b;图３(３)作点F 关于点M 的对称点F ᶄ,经过M ,E 和F ᶄ三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ,连接Q E ．在点F 运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q ,O ,E 为顶点的三角形与以点P ,M ,F 为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t 的值;若不存在,请说明理由．不难发现,本题第(３)小题与例题类似,故先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角的方法的启示在解决此小题时可发挥作用．因此,本题第(３)小题的解决思路简要分析如下:首先,根据题意确定１＜t ＜２或t ＞２两种情况．然后,在每种情况中根据点的运动情况,同时结合先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角的方法,得到１＜t ＜２时әO E Q ʐәM P F 或әO E Q ʐәM F P 两种情况,如图４;t ＞２时әO E Q ʐәM P F或әO E Q ʐәM F P 两种情况,如图５．最后,进行分类讨论和计算．图４㊀图５４结语综上所述,图形中的动点虽然常令人眼花缭乱,但掌握其分析方法,就可以化繁为简．本文中先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角的方法,适用于因动点产生的相似三角形㊁全等三角形等问题中,是解决这类问题一种行之有效的方法．作为教师,应在讲解中多渗透该种方法,直至学生能掌握并灵活应用于问题解决中[３]．参考文献:[１]朱炜炜．关于相似三角形动态问题的研讨[J ]．中学生数学,２０２０(１８):１１Ｇ１４．[２]陈国玉,郑利年．相似三角形中的分类讨论[J ]．数理化学习(初中版),２０２０(１０):２８Ｇ３０．[３]李松．例谈相似三角形分类讨论问题[J ]．中学数学教学参考,２０２１(１５):６３Ｇ６４．Z ７７。

全等三角形--动点问题

全等三角形的动点问题教学重点难点利用熟悉的知识点解决陌生的问题思路：1.利用图形想到三角形全等2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论.【典型例题】例1. 如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF，BD之间的位置关系为_____________，数量关系为______________．请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）．例2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF.（1）求证：△ADF≌△CEF.（2）试证明△DFE是等腰直角三角形.（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．（4）求△CDE面积的最大值．变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④例3. 正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF．（1）求证：DF=BF（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．例4.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？变式如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q 点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【拓展提高】1..两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3. 已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证12DEF CEF ABCS S S+=△△△．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．4. 如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B做BK⊥BE与B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G.（1）求证：BH=BG；（2）求证：BE=BG+AE.5.正方形四条边都相等，四个角都是90°．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD=4，求△CFH的面积．6.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形.（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE是否依然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕点A旋转到图3位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由.7.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧做△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=_________度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β.①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.8.思考与推理如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD，AB⊥BC，CD⊥AD，∠BCD=120°. ∠PCQ=60°，两边分别交线段AB、AD于点P、Q，把△PBC绕点C顺时针旋转120°得到△MDC.请在图中找出一对全等的三角形并加以证明（△PBC与△MDC除外）.探究与应用在上边的条件下，若∠PCQ绕顶点C在∠BCD内转动，两边始终与线段AB、AD相较于点P、Q，试探究在转动过程中△APQ的周长是否变化，若不变，求它的周长；若变化，请说明理由.9.问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为______________.10.如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．11.如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？12.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．。

二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析

二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。

（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。

二、例题精析㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一．（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．的坐标为（﹣得：解得：，OB=×时，解得：））时，，，，），﹣）㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】（2013鞍山）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c 例二．的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a （x﹣2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，∴0=0.5x+2，∴x=﹣4，与y轴交于点B，∵x=0，∴y=2∴B点坐标为：（0，2），∴A（﹣4，0），B（0，2），∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2∴可设二次函数y=a（x﹣2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由Rt△AOB∽Rt△BOP1∴=，∴=，得：OP1=1，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，∴=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.25﹣4=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D得：，∴，∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．㈢【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB 沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（﹣（（×﹣三、形成训练1．（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．x=）根据﹣∴﹣，x+x x+4=（，﹣+，即﹣+，，y=，=AQ====，==±﹣4+2 ：已知：直线12y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线22y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．3、如图，抛物线21222y x x =-++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点．（1）求A B C 、、三点的坐标；（2）证明ABC △为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．4、如图，已知抛物线224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于Q ．（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ成为以．BQ ．．为一腰．．．的等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．5、（09年成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS ∠BCO ＝10。

初一动点问题的解题技巧

初一动点问题的解题技巧初一动点问题指的是在坐标平面上给出一些点，然后需要求解这些点之间的距离、中点、斜率等问题。

这类问题在初一数学中属于基础内容，求解这类问题的技巧也是很重要的。

以下是初一解决动点问题的一些常用解题技巧：1.距离的计算：计算两个点之间的距离是初一动点问题的基础，也是最简单的。

根据两点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)，可以利用勾股定理公式d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)来计算两个点之间的距离。

这个公式可以通过平方差公式推导得出。

2.中点的计算：中点是指两个点连线的中点，计算中点的坐标是初一动点问题中的常见情况。

假设两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则中点的坐标可以通过以下公式计算得出：x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2。

这个公式可以根据平均数的性质得出。

3.斜率的计算：斜率是指两个点之间连线的斜率，计算斜率可以通过坐标的变化量来计算。

假设两个点分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则斜率可以通过公式k=(y2-y1)/(x2-x1)来计算得出。

需要注意的是，当两个点的x坐标相等时，斜率不存在。

在计算斜率时，还需要注意判断分子为零的情况。

4.平行线和垂直线的性质：初一动点问题中经常涉及到平行线和垂直线的性质。

平行线特点是斜率相等，垂直线特点是斜率的乘积为-1。

利用这些性质，可以判断两条直线是否平行或垂直。

对于两个已知点分别求出它们所在直线的斜率，然后判断斜率是否相等或乘积为-1即可。

5.三角形的性质：初一动点问题中经常涉及到三角形的性质。

根据两点间的距离能够判断出三角形是否为等边三角形：当三边相等时，三角形为等边三角形。

通过计算两边的距离判断三角形的形状也是很常见的方法：当两边距离相等时，三角形为等腰三角形；当两边的距离之和大于第三边的距离时，三角形存在；当两边的距离之和等于第三边的距离时，三角形为直角三角形。

全等三角形动点问题的解题思路

一、问题描述在平面几何学中，全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。

动点问题是指在平面上确定一个点，而后移动这个点以满足一定条件。

全等三角形动点问题则是要求在平面上确定一个点，使得以该点为顶点的所有全等三角形的面积之和最大或最小。

这个问题在数学竞赛和几何学研究中常常出现，解题思路精妙而严谨。

二、解题思路1. 确定顶点我们可以考虑在给定的平面上确定一个点作为全等三角形的顶点，用坐标(x,y)表示。

这个顶点的选取形成了问题的基础。

2. 寻找基线我们需要确定一个基线，可以是平行于x轴或y轴的直线，也可以是不平行于坐标轴的直线。

该基线将与顶点形成两条边，作为全等三角形的两条边。

3. 定义第三顶点在确定了顶点和基线之后，我们需要找到以确定的顶点和基线为两边的所有全等三角形的第三个顶点。

这个顶点与已知两边的长度和角度有关，需要通过数学方法求解。

4. 计算面积我们可以根据已知的三角形三边长度和角度来计算全等三角形的面积，然后将所有全等三角形的面积相加，得到总的面积。

通过对顶点和基线的选择，使得总面积达到最大或最小。

三、求解方法1. 枚举法一种直观的方法是使用枚举法，即遍历所有可能的顶点和基线组合，计算出每一组合对应的全等三角形面积之和，然后找出最大或最小的值。

这种方法的缺点是计算量大，需要耗费大量时间和精力。

2. 几何分析法另一种方法是通过几何分析，利用三角形的性质和面积公式来推导出最优的顶点和基线选择。

这种方法需要一定的数学功底和几何直觉，但可以避免枚举法的缺点，得到更加精确和高效的解答。

3. 数学建模法还可以采用数学建模的方法，将全等三角形动点问题转化为数学问题，通过建立数学模型和运用优化理论来求解。

这种方法需要对数学理论和数值计算都有较高的要求，但可以得到较为严谨和可靠的结果。

四、举例说明以确定顶点为(-1,2)、基线为y=3和寻找基线不平行于坐标轴的情况为例，说明全等三角形动点问题的解题思路。

我们固定顶点为(-1,2)，然后确定基线为y=3，寻找第三个顶点在基线的两侧。

二次函数综合(动点)问题——三角形存在问题培优教案(一)(横版)

教学过程一、课堂导入1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，4）、B（-4，4），试在x轴上找出点P，使△APB为直角三角形，请直接写出所有符合条件的P点的坐标2、在平面直角坐标系中找出所有的点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，且C点的横坐标与纵坐标为自然数．画出C点的位置并写出C点的坐标．问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得三角形是等腰三角形（等边三角形、直角三角形等）并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习根据实际问题列二次函数关系式：1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．2、常见题目类型(1)几何类(三角形、四边形、圆等)一般问题是求图形的面积，首先可以根据特殊图形的面积公式来求解，这时关键是表示出公式里各个部分的代数式；其次，如果不是特殊的图形，可以通过特殊图形的面积相加减来表示；最后，还可以通过构造特殊图形来进行表示求解；总之，要根据题目给的条件实际运用。

(2)桥梁问题这类题型是出现较多的类型，首先应该建立适当的直角坐标系，将桥梁的拱形转化为二次函数来进行求解，强调的是特殊点的表示与运用。

(3)销售问题这类题型会在考试中频繁出现，解题的方法就是：围绕总利润=（售价-进价）×数量这个公式去进行，难度大一点的就是会涉及提价跟降价两种情况，关键是要根据题意分别表示出降价或者提价后商品的售价、数量（进价一般不变），然后再通过公式将各个部分组合在一起就可以了。