高中数学选修1-1优质课件13：2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)
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人教A版高中数学选修1-1课件：2.1.2椭圆的简单几何性质.pptx
B1（0,-b）、B2（0，b） （2）长轴：线段A1A2 短轴：线段B1B2
y
4 B2
3 2
长轴长:2a;长半轴长:a
A1
1
A2
短轴长:2b;短半轴长:b
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
（3）六个特殊点：四个顶点， 两个焦点。
-3
-4 B1
Hale Waihona Puke 短轴端点、中心、焦点构成一直角Δ，且三边长为a,b,c
y2 b2
1(a
b
0)
（1）由图知：-a≤x≤a;-b≤y≤b
（2）由方程：x2 a2
1
x2 a2
y2 1
y2 b2
b2
-a≤x≤a -b≤y≤b
by
a
椭圆位于直线x=±a和直线
-a
O
x
y=±b围成的矩形区域内。
-b
椭圆的几 何性 质.swfk
2、对称性
（1）由图知：关于x、y轴成轴对称，关于原 点成中心对称。
y
0
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
x 0
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对
（a,0称）。,(0,b)
（b,0）,(0,a)
(c,0)
(0,c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c a
题型一、椭圆的几何性质的简单应用
A. 2 2
B. 2 1 2
C .2 2 D. 2 1
椭圆的第二定义
人教A版高中数学选修1-1课件2.1.2椭圆的简单几何性质新.pptx
a
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形. 解：把方程化为标准方程:
x2 y2 1
25 16
所以:a=5,b=4
c= 25 16 3
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8；
离心率为0.6；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
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让我们一起研究：
标准方程为:的x椭2 圆 的y 2性质1 a2 b2
y
横坐标的范围：
B2
-axa
A1 F1 O
A2
F2
x
纵坐标的范围：
B1
-byb
由式子知x 2 y 2 1 a2 b2
x2 a2 1
所以 x2 a2 从而：-axa
y
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1 a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a
1 2
(|
F1 A
பைடு நூலகம்
率为0.8.
x2 125
y2 45
1
或
y2 125
x2 45
1
16 16
16 16
例直3线：l:点的xM距 (离2x45,y的)与比定等点于F常(4数,0)，的求距M离点和54的它轨到迹定。
解：设d是点M到直线l:的x距 离245， 根据题意，点M的轨迹是集合
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形. 解：把方程化为标准方程:
x2 y2 1
25 16
所以:a=5,b=4
c= 25 16 3
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8；
离心率为0.6；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
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让我们一起研究：
标准方程为:的x椭2 圆 的y 2性质1 a2 b2
y
横坐标的范围：
B2
-axa
A1 F1 O
A2
F2
x
纵坐标的范围：
B1
-byb
由式子知x 2 y 2 1 a2 b2
x2 a2 1
所以 x2 a2 从而：-axa
y
解：如图建立直角坐标系， y
设所求椭圆方程为
A
x2 y2 1 a2 b2
B F1 O F2 x
在Rt△AF1F2中，
C
| AF2 | | F1A |2 | F1F2 |2 2.82 4.52
由椭圆的性质知，| F1A | | F2 A | 2a
所以
a
1 2
(|
F1 A
பைடு நூலகம்
率为0.8.
x2 125
y2 45
1
或
y2 125
x2 45
1
16 16
16 16
例直3线：l:点的xM距 (离2x45,y的)与比定等点于F常(4数,0)，的求距M离点和54的它轨到迹定。
解：设d是点M到直线l:的x距 离245， 根据题意，点M的轨迹是集合
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
合作探究 课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画 图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆 的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
(新课标)高中数学《2.1.2椭圆的简单几何性质》课件-新人教A版选修1-1
由于题目中没有告诉我们焦点的位置，所求标准方程 有两种情况：①焦点在 x 轴上；②焦点在 y 轴上．
第26页，共29页。
[正解] (1)焦点在 x 轴上时，设方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 则有aa＋ －cc＝ ＝140，，解得 a＝7，c＝3. 所以 b2＝a2－c2＝72－32＝40. 所以椭圆的标准方程为4x92 ＋4y02 ＝1.
A1(0，－a)、A2(0，a) B1(－b，0)、B2(b，0)
第4页，共29页。
轴长
短轴长＝ 2b ，长轴长＝ 2a
焦点 F1(－c，0)、F2(c，0) F1(0，－c)、F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝ 2c
对称性 对称轴 x轴和y轴 ，对称中心 (0，0)
离心率
e＝ ac(0＜e＜1)
第5页，共29页。
第14页，共29页。
解 (1)设椭圆的方程为 ax22＋by22＝1(a>b>0)或ay22＋bx22＝1(a>b>0)． 由已知得，2a＝10，a＝5.e＝ac＝圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1 或x92＋2y52 ＝1.
第15页，共29页。
∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6，2c＝2 5，
焦点坐标为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)， 顶点坐标为 A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，离
心率
e＝ac＝
5 3.
第13页，共29页。
题型二 由椭圆的几何性质求标准方程 【例 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是 10，离心率是45； (2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且 焦距为 6. [思路探索] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并 设出标准方程，再利用待定系数法求参数 a，b，c.
第26页，共29页。
[正解] (1)焦点在 x 轴上时，设方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， 则有aa＋ －cc＝ ＝140，，解得 a＝7，c＝3. 所以 b2＝a2－c2＝72－32＝40. 所以椭圆的标准方程为4x92 ＋4y02 ＝1.
A1(0，－a)、A2(0，a) B1(－b，0)、B2(b，0)
第4页，共29页。
轴长
短轴长＝ 2b ，长轴长＝ 2a
焦点 F1(－c，0)、F2(c，0) F1(0，－c)、F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝ 2c
对称性 对称轴 x轴和y轴 ，对称中心 (0，0)
离心率
e＝ ac(0＜e＜1)
第5页，共29页。
第14页，共29页。
解 (1)设椭圆的方程为 ax22＋by22＝1(a>b>0)或ay22＋bx22＝1(a>b>0)． 由已知得，2a＝10，a＝5.e＝ac＝圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1 或x92＋2y52 ＝1.
第15页，共29页。
∴a＝3，b＝2，∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6，2c＝2 5，
焦点坐标为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)， 顶点坐标为 A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，离
心率
e＝ac＝
5 3.
第13页，共29页。
题型二 由椭圆的几何性质求标准方程 【例 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是 10，离心率是45； (2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且 焦距为 6. [思路探索] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并 设出标准方程，再利用待定系数法求参数 a，b，c.
高中数学选修1-1优质课件4：2.1.2 椭圆的简单几何性质
椭圆有四个顶点： A1(－a, 0)、 A2(a, 0)、 B1(0, －b)、B2(0, b)．
椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．
讲授新课
3．顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. a叫做椭圆的长半轴长． b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝ a
讲授新课
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质 以焦点在x轴上的椭圆为例
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)．
讲授新课
1．范围
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)．
椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式
x2 a2
1,
y2 b2
1,
即x2≤a2，y2≤b2，
∴|x|≤a，|y|≤b．
椭圆位于直线x＝±a和 y＝±b围成的矩形里．
第二章 圆锥曲线与方程
2.1.2 椭圆的简单几何性质
复习引入 1. 椭圆的定义是什么？
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）
的动点的轨迹叫做椭圆。
2. 椭圆的标准方程是什么？
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
讲授新课
2．对称性
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)．
在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或 把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时， 方程有变化吗？这说明什么？
椭圆关于y轴、x轴、原点 都是对称的．
坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心． 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．
讲授新课
3．顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b. a叫做椭圆的长半轴长． b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝ a
讲授新课
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质 以焦点在x轴上的椭圆为例
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)．
讲授新课
1．范围
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)．
椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式
x2 a2
1,
y2 b2
1,
即x2≤a2，y2≤b2，
∴|x|≤a，|y|≤b．
椭圆位于直线x＝±a和 y＝±b围成的矩形里．
第二章 圆锥曲线与方程
2.1.2 椭圆的简单几何性质
复习引入 1. 椭圆的定义是什么？
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）
的动点的轨迹叫做椭圆。
2. 椭圆的标准方程是什么？
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
讲授新课
2．对称性
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)．
在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或 把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时， 方程有变化吗？这说明什么？
椭圆关于y轴、x轴、原点 都是对称的．
坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心． 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
新课标高中数学人教版选修1-1精品课件-2.1.2椭圆的简单几何性质 课件
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2
或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
椭圆的简单几何性质 例 1 已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23， 求 m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
[解] 把椭圆的方程化为标准方程x92＋y42＝1. 可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3，短半轴 长 b＝2；
又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5. 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点 的坐标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分别是(－ 3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2).
2．1.2 椭圆的简单几何性质
1.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质． 2．能用椭圆的简单性质求椭圆方程． 3．能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
1.椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的几何性质与研究方法
几何性 质
从图形上看
从方程上研究
范围 位于矩形框内
x∈[_－__a_，__a_]_， y∈[_－__b_，__b_]_
答案：C
3．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为
A，点 B 在椭圆上，且 BF⊥x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.
若A→P＝2P→B，则椭圆的离心率是( )
3
2
1
1
A. 2
B. 2
C.3
D.2
解析：如图，由于 BF⊥x 轴，故 xB＝－c，yB＝ba2， 设 P(0，t)， ∵A→P＝2P→B， ∴(－a，t)＝2(－c，ba2－t)． ∴a＝2c.∴ac＝12.
或|AB|＝ 1＋k12|y1－y2|＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
椭圆的简单几何性质 例 1 已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23， 求 m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
[解] 把椭圆的方程化为标准方程x92＋y42＝1. 可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3，短半轴 长 b＝2；
又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5. 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点 的坐标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分别是(－ 3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2).
2．1.2 椭圆的简单几何性质
1.掌握椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质． 2．能用椭圆的简单性质求椭圆方程． 3．能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
1.椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的几何性质与研究方法
几何性 质
从图形上看
从方程上研究
范围 位于矩形框内
x∈[_－__a_，__a_]_， y∈[_－__b_，__b_]_
答案：C
3．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为
A，点 B 在椭圆上，且 BF⊥x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.
若A→P＝2P→B，则椭圆的离心率是( )
3
2
1
1
A. 2
B. 2
C.3
D.2
解析：如图，由于 BF⊥x 轴，故 xB＝－c，yB＝ba2， 设 P(0，t)， ∵A→P＝2P→B， ∴(－a，t)＝2(－c，ba2－t)． ∴a＝2c.∴ac＝12.
最新北师大版选修1-1高中数学2.1.2《椭圆的简单性质》ppt课件
离心率 e=ac(0<e<1)
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
名师点拨
1.判断曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称的依据: (1)若把方程中的 x 换成-x,方程不变,则曲线关于 y 轴对称. (2)若把方程中的 y 换成-y,方程不变,则曲线关于 x 轴对称. (3)若把方程中的 x,y 同时换成-x,-y,方程不变,则曲线关于原点对称. 2.椭圆的顶点是它与对称轴的交点,所以必有两个顶点与焦点在同一 条直线上. 3.a,b,c 在椭圆内可构成 Rt△OFB,Rt△OFB 叫作椭圆的特征三角形,这是 a,b,c 的一个几何意义.
1.2 椭圆的简单性质
-*-
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
学习目标
1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、 短轴、离心率的概念,理解椭圆的范围和 对称性. 2.掌握椭圆中 a,b,c,e 的几何意义及 a,b,c,e 之间的相互关系. 3.用代数法研究曲线的简单性质,熟练 掌握椭圆的简单性质,体会数形结合的 思想.
思维脉络
首页
椭圆的简单性质
标准方 程
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0)
2017版高中数学选修1-1(课件)：2.1 椭 圆 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆
x
M(x,-y)
原点是椭圆的对称中心，又叫做椭圆的中心.
第五页，编辑于星期六：三点 二十四分。
想一想:椭圆的对称轴一定是ｘ轴和ｙ轴吗？对称中 心一定是原点吗？
y
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
第六页，编辑于星期六：三点 二十四分。
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
椭圆的简单几何性质
范围
顶点
对称性
离心率
记 一个框，四个点，
忆 口
注意光滑和圆扁,
诀 莫忘对称要体现．
第二十页，编辑于星期六：三点 二十四分。
不要害怕批评。当你提出新的观念，就 要准备接受别人的批评。
第二十一页，编辑于星期六：三点 二十四分。
1，
在遇到椭圆方 程为非标准方 程的时候都要 将方程化为标
于是 a 5, b 4, c 2 5 1 6 3 .
准方程
椭圆的长轴长和短轴长分别是
2a 10, 2b 8,
第十一页，编辑于星期六：三点 二十四分。
离心率 e c 3 ，
a5
两个焦点坐标分别为
F1 3,0, F2 3,0,
B. x2 y2 1 81 9
D.x2 y2 1 81 36
第十八页，编辑于星期六：三点 二十四分。
4.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点坐标，
顶点坐标．
（１）x2 4y2 16.
（２）9x2 y2 81.
【解析】（1）已知方程化为标准方程为 x2 + y2 = 1，
16 4
第四页，编辑于星期六：三点 二十四分。
2.椭圆的对称性：
【高中数学选修1-1课件】2.1.2椭圆的简单的几何性质
2
的动点的轨迹方程.
3、点M(x,y)与定点F(-4,0)的距离和它到直线l: x 25 的距离之比是常数0.8，求点M的轨迹.
4
椭圆的第二定义：到定点F(±c,0)与到定直线l：
x c 的距离之比为e(0<e<1)的点的轨迹是一个 椭圆.a
椭圆的性质： 1、范围 2、对称性 3、顶点坐标（有四个），长轴长、短轴长 4、离心率的定义及其数学表达式 5、椭圆的第二定义
此时 P(4,- 9), 5
40 25 65 41
d最大
42 52
41
所以，椭圆上点P(-4, 9)到直线l的最小距离为15 41 ，
5
41
点P(4,- 9)到直线l的最大距离为65 41 .
5
41
1、已知三角形⊿ABC的一边长为6，周长为16，求 顶点C的轨迹方程. 2、求到定点A(2,0)与到定直线x=8的距离之比为 2
并求出该点坐标.最大呢？
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 l 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
y
m
O
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
目标
根据椭圆的方程研究曲线的 几何性质，并正确地画出它 的图形；根据几何条件求出 曲线方程，并利用曲线的方 程研究它的性质，画图.
重点 通过几何性质求椭圆方程并画图
难点 通过几何性质求椭圆方程并画图
复习 旧知
1、椭圆是怎样定义的？代数表达式是 什么？ F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点 间的距离叫做椭圆的 。 2、焦点在x轴上的椭圆的标准方程怎样 写？ｙ轴上呢？ 3、a、b、c三者是怎样的关系？
的动点的轨迹方程.
3、点M(x,y)与定点F(-4,0)的距离和它到直线l: x 25 的距离之比是常数0.8，求点M的轨迹.
4
椭圆的第二定义：到定点F(±c,0)与到定直线l：
x c 的距离之比为e(0<e<1)的点的轨迹是一个 椭圆.a
椭圆的性质： 1、范围 2、对称性 3、顶点坐标（有四个），长轴长、短轴长 4、离心率的定义及其数学表达式 5、椭圆的第二定义
此时 P(4,- 9), 5
40 25 65 41
d最大
42 52
41
所以，椭圆上点P(-4, 9)到直线l的最小距离为15 41 ，
5
41
点P(4,- 9)到直线l的最大距离为65 41 .
5
41
1、已知三角形⊿ABC的一边长为6，周长为16，求 顶点C的轨迹方程. 2、求到定点A(2,0)与到定直线x=8的距离之比为 2
并求出该点坐标.最大呢？
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 l 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
y
m
O
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
目标
根据椭圆的方程研究曲线的 几何性质，并正确地画出它 的图形；根据几何条件求出 曲线方程，并利用曲线的方 程研究它的性质，画图.
重点 通过几何性质求椭圆方程并画图
难点 通过几何性质求椭圆方程并画图
复习 旧知
1、椭圆是怎样定义的？代数表达式是 什么？ F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点 间的距离叫做椭圆的 。 2、焦点在x轴上的椭圆的标准方程怎样 写？ｙ轴上呢？ 3、a、b、c三者是怎样的关系？
《2.1.2 椭圆的简单几何性质》课件-优质公开课-北师大选修1-1精品
x轴、y轴和原点 对称 关于__________________ 2b 长轴长_____ 2a ，短轴长_____ c a (0<e<1) e＝_____
c c 如图所示，在 Rt△BF2O 中，cos∠BF2O＝a，记 e＝a则 0<e<1，e 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF2O 越 大，椭圆越圆．
《2.1.2 椭圆的简单几何性质》课 件
1
自主预习学案
2
典例探究学案
自主预习学案
• 1．理解椭圆的简单几何性质． • 2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问 题.
• 重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何 性质． • 难点：椭圆的几何性质的实际应用．
• 椭圆的简单几何性质
思维导航 x2 y2 1．观察椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的形状，你能从图中看出它 的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
[ 答案]
x2 y 2 12＋ 9 ＝1
[ 解析 ]
x2 y2 ∵椭圆的焦点在 Hale Waihona Puke 轴上，则设方程为 a2 ＋ b2 ＝
1(a>b>0)，两焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)，P(0，b)． 不妨设 x 轴与椭圆的一个交点为 A(a,0)， ∴c＝ a2－b2， 由△PF1F2 为正三角形可知：|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|， ∴a＝2c 又焦点到椭圆上的点的最短距离为 a－c， 于是 a－c＝ 3 由①②可得：a＝2 3，c＝ 3，从而 b2＝a2－c2＝9. x2 y2 ∴所求椭圆方程为12＋ 9 ＝1. ② ①
牛刀小试 1． (2014· 佛山质检)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点 恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( 1 A.3 3 C. 3
《2.1.2椭圆的简单几何性质》课件3-优质公开课-人教A版选修1-1精品
2.1.2 椭圆的简单几何性质
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
迁移与应用
1.已知椭圆 C:������������22 + ������������22=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相
交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=45,则 C 的离心
|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB||BF|cos∠ABF,即|OF|=5.
又根据椭圆的对称性,|AF|+|BF|=2a=14,∴a=7,|OF|=5=c,所以离心 率为57,故选 B.
2.1.2 椭圆的简单几何性质
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率为( )
A.35
B.57
C.45
D.67
答案:B
2.1.2 椭圆的简单几何性质
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解析:如图所示,根据余弦定理,|AF|2=|BF|2+|AB|22|BF||AB|cos∠ABF,即|AF|=6,又
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4.直线与椭圆的位置关系及判定
设直线方程 Ax+By+C=0,将直线与椭圆方程联立,消去 y 得关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+q=0(m≠0),则直线与椭圆的位置关系如下表
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第1课时)》名师课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二:椭圆中 a,b, c, e 的几何意义及相互关系 ★▲ 重难点
例1.求椭圆 25x2 y2 25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
详解:把原方程化成标准方程:
y2 25
x2
1
即 a 5,b 1 ,所以c 25 1 2 6
因此,椭圆的长轴和短轴长分别是2a 10, 2b 2
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程. （2）在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直且焦距为8. 详解:设椭圆的方程为 x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
如图所示, A1FA2 为等腰三角形,OF是斜边A1A2 的中线(高), 且 OF c, A1A2 2b c b 4,a2 b2 c2 32 故所求椭圆的方程为 x2 y2 1
心率确定a,b,c时,常用到e c =
a
1
b2 a2
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探究二:椭圆中 a,b, c, e 的几何意义及相互关系 ★▲ 重难点
例3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O是坐标原点,F是一个焦点,A是一个 顶点.若椭圆的长轴长是6,且 cosOFA 2 .求椭圆的方程.
（4）如图所示,在Rt
BF2O
中,
cos
BF2O
c a
,记 e c 则0<e<1,e越
a
大, BF2O 越小,椭圆越扁;e越小, BF2O 越大,椭圆越圆.
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配套课后作业: 《椭圆的简单几何性质（第1课时） 》基础型 《椭圆的简单几何性质（第1课时） 》能力型 《椭圆的简单几何性质（第1课时） 》探究型 《椭圆的简单几何性质（第1课时） 》自助餐
2.1.2椭圆的几何性质课件人教B版高中数学选修1-1
x轴、y轴、原点对称
b xb a y a
(b,0), (b,0), (0,a), (0, a)
x轴、y轴、原点对称
课后作业：
1、课本第41页 2
2、 求下列椭圆的标准方程： （1）经过点 P(2 2,0), Q(0, 5)
（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点 (2,4)
焦点和顶点的坐标以及 x, y 的取值范围。
y
解：把已知方程化成标准方程：
x2 y2
• B1
1
52 42
这里 a 5, b 4，所以 c 25 16 3 A1• F1• O
x •F2 • A2
椭圆的长轴和短轴长分别为 2a 10和2b 8
• B2
x 因为焦点在 轴上，所以两个焦点分别为 F1(3,0)和F2 (3,0)
b
0)
Y
Y
F1
图象
o F1
F2
X
X
F2
范围
顶点 坐标
对称性
axa b yb
(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)
x轴、y轴、原点对称
b xb a y a
(b,0), (b,0), (0,a), (0, a)
x轴、y轴、原点对称
例1 、求椭圆 16 x2 25 y2 400 中，长轴和短轴的长、
中心对称：关于原点对称
原点是它的对称中心。椭圆的对称中心叫 椭圆的中心。
椭圆
的几何性质：
2、范围
(1) a x a
b y b
(2) 椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的
矩形区域里。
椭圆
的几何性质：
3、顶点
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
b xb a y a
(b,0), (b,0), (0,a), (0, a)
x轴、y轴、原点对称
课后作业：
1、课本第41页 2
2、 求下列椭圆的标准方程： （1）经过点 P(2 2,0), Q(0, 5)
（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点 (2,4)
焦点和顶点的坐标以及 x, y 的取值范围。
y
解：把已知方程化成标准方程：
x2 y2
• B1
1
52 42
这里 a 5, b 4，所以 c 25 16 3 A1• F1• O
x •F2 • A2
椭圆的长轴和短轴长分别为 2a 10和2b 8
• B2
x 因为焦点在 轴上，所以两个焦点分别为 F1(3,0)和F2 (3,0)
b
0)
Y
Y
F1
图象
o F1
F2
X
X
F2
范围
顶点 坐标
对称性
axa b yb
(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)
x轴、y轴、原点对称
b xb a y a
(b,0), (b,0), (0,a), (0, a)
x轴、y轴、原点对称
例1 、求椭圆 16 x2 25 y2 400 中，长轴和短轴的长、
中心对称：关于原点对称
原点是它的对称中心。椭圆的对称中心叫 椭圆的中心。
椭圆
的几何性质：
2、范围
(1) a x a
b y b
(2) 椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的
矩形区域里。
椭圆
的几何性质：
3、顶点
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
高中数学人教A版选修1-1课件：2.1.2《椭圆的简单几何性质》
__ay_22_＋__xb_22_＝__1_ (_a_＞__b_＞__0_)_
【提升总结】
基本量：a，b，c，e（共四个量）. 基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）.
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程 2、确的问题就可以解决了！
x2 y2 1 25 16
y 4
3 2 O1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -11 2 3 4 -2 -3
e
c. a
因为a>c>0，所以0 < e <1.
y
当e c 1, c a, a
b
b a2 c2 0, 椭圆 扁
●c
当e c 0, c 0,
O
a
b a2 c2 a, 椭圆 圆
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆．
总之： 离心率 e
1(a
b
0)
|x| b |y| a
对称性 焦点 顶点 离心率
关于x轴、y轴、原点对称
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b) e= c a
(b,0)、(0,a) (0<e<1)
典例展示
例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦
2.1 椭圆
2.1.2 椭圆的简单几何性质（1）
通过视频介绍国家大剧院。 为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢?
国家大剧院采用椭球设计
如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作 成一个最大的椭圆呢？
长方形
8cm
10cm
范围
以焦点在X轴上的为例：
高中数学选修1-1北师大版 2.1.2椭圆的简单性质课件 (38张)
轴 离心率 准线
x2 y2 1．已知点 P(x，y)在椭圆 9 ＋16＝1 上，且点 P 在第三 象限，则有( A．－4<y<0 C．－4≤y<4 ) B．0<y<4 D．－4≤y≤4
答案： A
2．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个 正方形，则此椭圆的离心率为( 1 A. 2 3 C. 2 2 B. 2 3 D. 3 )
x2 y2 (2)设椭圆方程为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b 如图所示，△A1FA2 为一等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18， x2 y2 故所求椭圆的方程为18＋ 9 ＝1.
2.已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且
[解题过程]
(1)设椭圆的方程为
x2 y2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0)或 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a2 b2 a b c 2 由已知得 2a＝6，a＝3.e＝a＝3，∴c＝2. ∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为 9 ＋ 5 ＝1 或 5 ＋ 9 ＝1.
答案：
B
1 3 ．一个顶点是 (3,0) ，且离心率为 的椭圆标准方程为 3 ________．
x2 y2 x2 y2 答案： ＋ ＝1 或 ＋ ＝1 9 8 9 81 8
y2 x2 4．椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的两焦点为 F1(0，－c)，F2(0， 3 c)(c>0)，离心率 e＝ 2 ，焦点到椭圆上点的最短距离为 2－ 3，求椭圆的标准方程．
1.求椭圆6x2＋y2＝6的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标
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