精品学案：第六章 万有引力与航天复习学案

第六章 万有引力与航天复习学案一、知识梳理一、开普勒运动定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，太阳处在椭圆的一个 上．2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它和太阳的 在相等的时间内扫过相等的 ．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的 的三次方跟它的 的二次方的比值都相等，表达式： .常数k 与环绕天体 ，由_________________决定。

二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m 1和m 2的 成正比，与它们之间距离r 的 成反比．2．公式：F ＝ 其中G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2叫引力常数．3．适用条件： 万有引力定律只适用 的相互作用4．特殊情况(1)两质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 为两球心间的距离．(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为质点到球心间的距离．5、万有引力定律应用：（1）基本方法：①把天体运动看成 运动，所需向心力由万有引力提供： 。

②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力与万有引力的关系： 。

（2）天体质量，密度的估算。

方法１：“r T -”法测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r ，周期为T ，由 得中心天体的质量为 ，密度为 ，（R 为中心天体的半径）。

当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r ＝R ，则密度为 。

方法２：“ g R -”法测出某天体表面重力加速度为g ，该天体半径为R ，由 得天体的质量为 。

（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期、向心加速度与半径的关系。

①由22Mm v G m r r=得 ∴r 越大，v ②由22Mm G m r rω=得 ∴r 越大，ω ③由ma rMm G =2得 ∴r 越大，a ③由2224Mm G m r r Tπ=得 ∴r 越大，T （4）三种宇宙速度．第一宇宙速度(即环绕速度)是发射速度中的最 速度，是轨道运行速度中的最 速度，大小为___________（注意单位）。

由 ，得v 1= ，又 ，得v 1=第二宇宙速度大小 ，第三宇宙速度大小 。

(5)地球同步卫星的特点：同步卫星都与 共面，在其正上方。

_______和_______与地球相同。

所有同步卫星轨道、线速度大小、向心加速度大小、角速度、周期、离地面的高度、轨道半径 都 。

二、专题剖析1、测天体的质量及密度：【例1】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。

这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t 。

试计算土星的质量和平均密度。

解析： 由环绕n 周飞行时间为t ，得探测器周期T = 且其轨道半径r =由万有引力提供向心力列式： (此处应为轨道半径r )得土星质量为又根据球体体积公式 （此处应为土星本身半径R 得土星密度为2、天体表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）【例2】如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度为0ω，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心． （1）求卫星B 的运行周期；（2）如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？解析：（1）设地球质量M ，卫星B 质量m ，据卫星B 向心力由地球对其万有引力提供有： ，但地球质量M 为未知量。

题目已知地表处重力加速度为g ，故在地球表面有： ，联立得：（2）因为A 比B 轨道半径 ，所以T A T B ，当它们再一次相距最近时，B 比A 转了一圈，有： 解得：【例3】火箭发射卫星的开始阶段是竖直升高，设向上的加速度a=5m/s 2,在卫星中用弹簧秤悬挂一个质量m=9kg 的物体，当卫星升到某高度处，弹簧秤的示数为85N ，那么此时卫星距地面的高度是多少千米？(地球半径R=6400km ，g 取10m/s 2)解析：对m 进行受力分析，受到重力mg h （此处重力与地表处不同），弹簧秤拉力F在这两个力作用下小物体具有向上的加速度a ，据牛顿第二定律列式：解得距地表高h 处重力加速度：又此处重力等于此处万有引力： （注意式中r ）解得：3、人造卫星、宇宙速度：【例4】据报道,我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空,经过4次变轨控制后,于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”,下列说法正确的是（ ）A.运行速度大于7.9 km/sB.离地面高度一定,相对地面静止C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析：由题知“天链一号01星”是地球 卫星,运行半径比月球绕地球运行半径 。

A 、7.9km/s 是第一宇宙速度，是轨道运行速度中最 的。

B 、天链一号是地球 卫星，其轨道是 的。

C 、由万有引力提供向心力，得ω= ， r 越大，ω越 。

D 、卫星只有万有引力提供向心力，而赤道上物体不同，随地球一起做圆周运动物体可与同步卫星比较，根据周期、角速度相同列式。

【例5】地球同步卫星到地心的距离r 可由22234πc b a r =求出，已知式中a 的单位是m ， b 的单位是s ，c 的单位是m/s 2，则： （ ）A ．a 是地球半径，b 是地球自转的周期，C 是地球表面处的重力加速度；B ．a 是地球半径。

b 是同步卫星绕地心运动的周期，C 是同步卫星的加速度；C ．a 是赤道周长，b 是地球自转周期，C 是同步卫星的加速度D ．a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，C 是地球表面处的重力加速度。

解析：据万有引力提供向心力列式： ，得r 3= 比较已知，缺少平方项目，又重力等于万有引力 ，得r 3=4、双星问题：【例6】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，他们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致因万有引力作用而吸引到一起。

（1）设两者的质量分别为m 1和m 2，试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于它们质量的反比。

（2）若两者相距为L ，试写出它们的角速度的表达式。

解析：（1）双星做圆周运动向心力由彼此间的万有引力提供，且其角速度、周期 。

对m 1列式： （注意等式左右r ）对m 2列式：解得：r 1：r 2 = 又由 ，得v 1：v 2 =（2）对m 1列式： 对m 2列式： 又L= 解得：ω =5、卫星变轨卫星发射通常采取变轨的方式，图为同步卫星发射过程。

对A 、C 圆轨道，r A <r B ,所以卫星在停泊轨道A 与同步轨道C 上运行速度v A v B 。

对椭圆轨道B ，近地点速度 远地点速度。

对变轨处，小圆轨道到椭圆轨道，椭圆轨道到大圆轨道，均为小轨道到大轨道，均为 速。

反之从大轨道到小轨道需 速。

6、地面处随地球一起做圆周运动物体与卫星的比较地面上的物体随地球自转的向心力由地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星的向心力完全由地球对它的引力提供。

故地面上的物体随地球一起做圆周运动的线速度、角速度、周期、向心加速度都不能直接由万有引力提供向心力求解。

例：放于赤道上的物体随地球自转的向心加速度()R T R a 2212πω== ，式中T 为地球自转周期，R 为地球半径；而卫星绕地球环绕运行的向心加速度 22r GM a =，式中M 为地球质量，r 为卫星到地心的距离。

同步卫星由于其 和 与地球自转同，故可用v= ，a= 与地球表面上的物体比较。

三、针对练习：1．设土星绕太阳的运动是匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为Ｒ，土星绕太阳运动周期是Ｔ，已知万有引力恒量为Ｇ，根据这些数据，能够求出的量有（ ）Ａ．土星线速度的大小 Ｂ．土星加速度的大小Ｃ．土星的质量 Ｄ．太阳的质量 2．对于万有引力定律的数学表达式 F=，下列说法正确的是（ ） A ．公式中G 为引力常数，是人为规定的。

B ．r 趋近于零时，万有引力趋于无穷大。

C ．m 1、m 2之间的引力总是大小相等，与m 1、m 2的质量是否相等无关。

D ．m 1、m 2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。

3．已知以下哪组数据，可计算出地球的质量M （ ）Ａ．地球绕太阳运行的周期Ｔ地及地球离太阳中心的距离Ｒ地日Ｂ．月球绕地球运行的周期Ｔ月及月球离地球中心的距离Ｒ月地Ｃ．人造地球卫星在地球表面附近绕行时的速度ｖ和运行周期Ｔ卫Ｄ．若不考虑地球的自转，已知地球的半径及重力加速度4．两个行星的质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，若它们只受太阳万有引力作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为：（ ）A ．1B ．m 2r 1∶m 1r 2C ．m 1r 2∶m 2r 1D ．r 22∶r 12 221r m Gm5．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为r ，密度为ρ，质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T ，下列表达式中正确的是（ ） A. GM r T 32π= B. GM r T 332π= C. ρπG T = D. ρπG T 3= 6．两个质量为M 的星体，其连线的垂直平分线为PQ ，O 为两星体连线的中点。

如图所示，一个质量为m 的物体从O 沿OP 方向一直运动下去，则它所受万有引力大小变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小，后增大D ．先增大，后减小 7．a 是静止在地球赤道上的物体，b 是探测卫星，c 是地球同步卫星，它们在同一平面内沿不同的轨道绕地心做匀速圆周运动，且均沿逆时针方向绕行。

若某一时刻，它们正好运行到同一条直线上（如图甲所示），则再经过6小时，乙图中关于a 、b 和c 三者位置的图示可能正确的是( )8．两颗人造卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，半径之比为1：4，则下列说法正确的是（ ）A ．周期之比T A ：TB =1：8，线速度之比1:2:=B A v vB ．周期之比T A ：T B =1：8，线速度之比2:1:=B A v vC ．向心加速度之比16:1:=B A a a ，角速度之比1:8:=B A ωωD ．向心加速度之比1:16:=B A a a ，角速度之比1:8:=B A ωω9.关于地球的第一宇宙速度，下面说法中正确的是（ ）A ．它是人造地球卫星绕地球运行的最小环绕速度B ．它是在近地圆形轨道上运行的人造地球卫星的环绕速度C ．它是在地面上发射人造地球卫星的最大发射速度D ．它是在地球同步轨道上运行的人造地球卫星的环绕速度10.绕地球作圆周运动的人造卫星中，有一与内壁相接触的物体，这个物体（ ）A ．受到地球的吸引力和卫星内壁的支持力的作用B ．只受地球吸引力的作用C ．物体处于失重状态，不受任何力的作用D ．受到地球的吸引力和向心力的作用11.下面关于同步卫星的说法正确的是（ ）A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小12.关于经典力学和相对论的下列描述中，正确的是（ ）A ．牛顿三定律在任何情况下都适用B ．经典力学适用于宏观物体，低速运动的情况C ．在物体的运动速度接近光速时，相对论物理学和经典物理学的结论几乎没有区别D ．经典力学被相对论完全否定了。